Fisica III

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INDICE

Contenido1.-Factores de escala22.-Breve introduccin al sistema de coordenadas32.1.-Coordenadas Rectangulares32.2.-Coordenadas cilndricas42.3.-Coordenadas esfricas42.4.-tranformacion de coordenadas cartesianas a cilndricas52.5.-tranformacion de coordenadas cartesianas a esfricas63.-Operadores diferenciales83.1.-Operador nabla83.2.-Gradiente103.3.- Divergencia123.4.-Rotacional143.5.-Laplaciano163.6.-D'Alembertiano173.7.-Wronskiano173.8.-Jacobiano18 3.9.-Tensores..224.-Conclusiones.355.-Bibliografia..36

GENERALIDADES

OBJETIVO GENERAL Conocer la importancia de los operadores diferenciales y poder darle uso en los diferentes problemas que se sucita a lo largo de la carrera, para poder minimizar el trabajo y tener un entendimiento claro de ello

OBJETIVOS ESPECIFICOSEspecificar para que sirve cada uno de ellos, sus utilidades y su forma de aplicar sin cometer errores al resolver los problemas

MARCO TEORIO

1.-Factores de escalaLas lneas coordenadas de un sistema de coordenadas en el espacio eucldeo tridimensional son aquellas que se obtienen partiendo de un punto dado, de coordenadas (q1, q2, q3), variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos. Un sistema de coordenadas se dice ortogonal si las lneas coordenadas son ortogonales en cada punto. Las coordenadas cartesianas, las cilndricas y las esfricas, son ejemplos de coordenadas ortogonales.Dado un conjunto de coordenadas sobre el espacio eucldeo cuyas lneas coordenadas se cortan en ngulo recto, puede construirse una base vectorial ortonormal en cada punto, a partir de los vectores tangentes a cada lnea coordenada. En la obtencin de estos vectores se definen unas cantidades, denominadas factores de escala, que aparecen frecuentemente en las frmulas del clculo vectorial. Tomando los vectores tangentes a cada lnea en un punto, obtenemos tres vectores ortogonales entre s, pero no necesariamente unitarios:

Para obtener un sistema ortonormal, dividimos cada vector por su mdulo

Las cantidades hi, son los denominados factores de escala. Su nombre proviene de que dan la proporcin entre lo que vara una coordenada y el desplazamiento que produce esta variacin. De hecho el tensor mtrico del espacio eucldeo expresado en este sistema de coordenadas:

Debe recordarse que el espacio eucldeo, en el que existe una funcin para medir distancias y longitudes de curvas, tiene la estructura de variedad de Riemann gracias a la existencia de dicho tensor mtrico. Gracias a esa relacin entre los factores de escala y el tensor mtrico, estas magnitudes aparecen en multitud de expresiones de clculo vectorial. As, un "desplazamiento infinitesimal" se escribe:

Aplicando el clculo de los factores de escala a las coordenadas cartesianas se obtiene:

En coordenadas cilndricas:

y en coordenadas esfricas:

2.-Breve introduccin al sistema de coordenadasSe conoce como sistema de coordenadas al conjunto de los valores que permiten identificar de manera inequvoca la posicin de un punto en un espacio eucldeo (un tipo de espacio geomtrico). Los sistemas de coordenadas ms simples se definen sobre espacios planos.2.1.-Coordenadas RectangularesEn el sistema de coordenadas rectangulares, tambin denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemtico francs Rene Descartes, la posicin de un punto se encuentra determinada por tres nmeros independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados.En la Figura1, se pueden observar los tres planos coordenados que forman ngulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados.Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posicin del punto dado.

Figura(1)

2.2.-Coordenadas cilndricasEl sistema de coordenadas cilndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyeccin del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada del sistema. El ngulo de direccin de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.En la Figura 2 pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilndrico de coordenadas.Figura 2

2.3.-Coordenadas esfricas

En el sistema de coordenadas esfricas se utilizan tambin tres coordenadas para notar la posicin de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es mtrica.Se utiliza la longitud de un vector (R) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ngulo que este vector forma con el semieje z positivo y el ngulo que su proyeccin sobre el plano XY forma con el semieje X positivo , tal como se muestra en la Figura 8 .Los ngulos y toman los nombres de n gulo polar y ngulo azimutal respectivamente.Figura 3

2.4.-tranformacion de coordenadas cartesianas a cilndricas

2.4.1.-Base coordenadaA partir del sistema de coordenadas cilndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

2.4.2.-Diferenciales de lnea, superficie y volumenUn desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie: La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada.Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas.En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son

Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilndricas da

2.5.-tranformacion de coordenadas cartesianas a esfricas

Convenciones utilizadasLa mayora de los fsicos, ingenieros y matemticos no norteamericanos escriben: la colatitud, de 0 a 360 el azimutal, de 0 a 180

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje z, donde, en el cual , no est definida. Adems, no es continua en ningn punto tal que x = 0:La funcin inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en trminos de las relaciones inversas:Relacin con las coordenadas cilndricasComo sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esfricas, est el de las coordenadas cilndricas, que se relaciona con el de las esfricas por las relaciones

y sus inversas

Base coordenadaA partir del sistema de coordenadas esfricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el clculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas esfricas se obtiene que la expresin del vector de posicin en estas coordenadas es

Ntese que no aparece trminos en o. La dependencia en estas coordenadas est oculta en el vector.Diferenciales de lnea, superficie y volumenDiferencial de lneaUn desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esfricas, viene dado por

Diferenciales de superficieLa expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas.En el caso particular de las coordenadas esfricas, los diferenciales de superficie son

Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas esfricas da

3.-Operadores diferenciales3.1.-Operador nablaEn geometra diferencial, nabla (tambin llamado del) es un operador diferencial vectorial representado por el smbolo: (nabla).En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

Puede darse una definicin del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definicin es una generalizacin de la que se emplea para definir la divergencia:

En la expresin anterior * representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y A es un campo escalar, vectorial o tensorial. es un volumen diferencial que en el lmite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrnseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.SimbologaEl nombre del smbolo proviene de la palabra griega equivalente a la palabra hebrea arpa, instrumento que tiene una forma similar. Hay palabras relacionadas en los lenguajes arameo y hebreo. El smbolo fue usado por primera vez por William Rowan Hamilton, pero de forma lateral: . Otro nombre menos conocido del smbolo es atled (delta deletreado al revs), porque nabla es una letra griega delta () invertida: en el griego actual se la llam