Kumpulan Soal-Soal Diferensial

1.      Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)4+(4x-1)3 adalah . . .

Jawab:

misalnya :

f (x) = y = (3x-2)4 misal U = (3x-2) du/dx = 3

dy/dx = n.Un-1 . du/dx

= 4. (3x-2)4-1.3

= 12 (3x-2)3

Terus berlanjut ke persamaan berikutnya :

f (x) = y = (4x-1)3 misal U = (4x-1) du/dx = 4

dy/dx = n.U.n-1 . du/dx

= 3. (4x-1)3-1. 4

= 12 (4x-1)2

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

f (x) = y = (3x-2)4+(4x-1)3

= 12 (3x-2)3 + 12 (4x-1)2

= 12 (3x-2)3 + (4x-1)2

2.      Tentukan turunan pertama dari y = adalah . . .

Jawab :

y = , kita misalkan U = 5x2+7 maka du/dx = 10x

V = 4x + 3 maka dv/dx = 4

= (4x+3) (10x) – (5x 2 + 7) (4) (4x + 3)2

= 40x 2 + 30x – 20x 2 – 28 (4x + 3)2

= 20x 2 + 30x – 28 (4x + 3)2

3.      Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t2 maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang !

Jawab :

f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t2

f’ (t) = 11.000 - 8.00 t

sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah

f’ (5) = 11.000- 8.00 . (5)

= 11.000 – 4.000

= 7.000

Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang

4.      Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah

TC = x3-4x2+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang !

Jawab :

TC = x3-4x2+16x+80

MC = TCI = 3x2-8x+16

Sehingga MC untuk x = 20 adalah

MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16

= 3 (4.00) – 8 (20) + 16

= 1.200 – 1.60 + 16

= 1.050

Satuan rupiah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah

Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.

5.      Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah

y = (2x + - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . .

jawab :

y = (2x + - 80)

y (x) = (2x2 + 10.000 – 80x)

biaya minimum diperoleh jika yI (x) = 0

4x-80 = 0 x = 20

Biaya minimum adalah :

y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20

= 800 + 10.000 – 1.600

= 9.200

Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp. 9.200.000,-

6. Jika f(x) = sin2 (2x + π/6), maka nilai f′(0) = …

Jawab :

f(x) = sin2 (2x + π/6)

f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2)

= 4 sin (2x + π/6)

f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6)

= 4 sin (π/6)

= 4(1/2)

= 2

7. Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = …

jawab:

f(x) = sin3(3x2 – 2)

f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2)

= 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)

8. Turunan dari f(x) = adalah f‘(x) = …

jawab :

f(x) =

= (cos2(3x2 + 5x))1/3

= cos2/3(3x2 + 5x)

f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x2 + 5x).(-sin(3x2 + 5x)).(6x + 5)

= -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x2 + 5x) sin(3x2 + 5x)

9. Turunan pertama f(x) = cos3 x adalah …

Jawab :

f(x) = cos3 x

f’(x) = 3 cos2 x (-sin x)

= -3 cos2 x sin x

= -3/2 cos x (2 cos x sin x)

= -3/2 cos x sin 2x

10. Persamaan garis singgung kurva y = di titik dengan absis 3 adalah …

Jawab :

y = = (5 + x)1/3

m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1)

y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1)

= 1/3 ((8)2/3)-1

= 1/3 (4)-1

= 1/12

Untuk memperoleh y1 maka kita substitusi nilai absis (x1 = 3) ke persamaan di soal

sehingga diperoleh y1 = = 2

Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y1) = m(x – x1)

(y – 2) = 1/12 (x – 3) [kalikan 12 kedua ruas]

12(y – 2) = (x – 3)

12y – 24 = x – 3

x – 12y + 21 = 0

11. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …

Jawab :

Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/x

Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)x

f(x) = 4x2 – 160x + 2000

Agar biaya minimum :

f’(x) = 0

f’(x) = 8x – 160

0 = 8x – 160

8x = 160

x = 20 hari

Jadi biaya minimum per hari adalah

= (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah

= (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah

= (80 – 160 + 100) ribu rupiah

= 20 ribu rupiah

= 20.000

12. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.

Jawab :

Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/x

Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)x

f(x) = 4x2 – 800x + 120

Agar biaya minimum :

f’(x) = 0

f’(x) = 8x – 800

0 = 8x – 800

8x = 800

x = 100 jam

13. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det.

Jawab :

s = f(t) = = (3t + 1)1/2

v = = f’(t) = 1/2 (3t + 1)-1/2 (3)

f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2

= 3/2 (24 + 1)-1/2

= 3/2 (251/2)-1

= 3/2 (5)-1

= 3/10

14. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …

Jawab :

Keuntungan setiap barang : 225x – x2

Keuntungan x barang : (225x – x2)x

f(x) = 225x2 – x3

f’(x) = 450x – 3x2

0 = 450x – 3x2

0 = x(450 – 3x)

x = 0 atau x = 150

jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang.

15. f(x) = 13x-6 ,tentukan f’(4) !

Jawab:

f’(4) = = = = = 13

16. diberikan (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1) cari turunan ke 100 dari ( x² +1 ) / ( x³ - x )

JAWAB:

(x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1)

(x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1)) / [x(x + 1)(x - 1)]

(x² + 1) = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1))

x² + 1 = (A+B+C)x² + (C-B)x - A

A = -1B = 1 C = 1

Jadi (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1)

y = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1)

dy/dx = 1/x^2 - 1/(x+1)^2 - 1/(x-1)^2

d²y/dx ² = -2/x^3 + 2/(x+1)^3 + 2/(x-1)^3

d³y / dx³ = 6/x^4 + 6/(x+1)^4 + 6/(x-1)^4turunan ke 100 sbb:deret untuk angka pembilang 1, 2, 6, 24, 120, .........., n!suku ke 100 = 100!

17. turunan ke 100 :d^100 y / (dx)^100 = -(100!)/x^101 + 100!/(x+1)^101 + 100!/(x-1)^101

Turunan dari y = sin 2x cos 4x^3

JAWAB:

y = u . vy' = u' v + v' u

y = sin 2x cos 4x^3y' = 2cos2x cos4x³ + 12x²(-sin4x³)sin2xy' = 2cos2x cos4x³ - 12x² sin4x³ sin2x

18. tentukan turunan dari y = x^(x^2 )

JAWAB:

y = x^(x^2)ln y = x^2ln xTurunkan tiap ruasdy/y = 2x*dx*lnx + x^2*dx/x, bagi semua ruas dengan dxdy/dx*1/y = 2xlnx + x^2/x, dy/dx = y'y' = y*(2xlnx + x^2/x)y' = x^(x^2)*(2xlnx + x)

y' = x^(x^2)*x*(2lnx + 1)y' =[x^(x^2+1)]*(2lnx + 1)

19. dengan rumus f'(c)= lim h menuju 0 = f(c+h)-f(c)/hf'(2)=jika =f(c)=x^2

JAWAB:

f'( c ) = lim x→0 f( c + h) - f( c ) / h maka f ( 2 + h ) → x = 2

f'( 2 + h ) = lim h→0 ( 2 + h )² - f( c ) / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 4 + 4h + h² - f( 2 ) / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h + 4 ( 2² ) / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h + 4 - 4 / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h / h

f'( 2 + h ) = lim h→0 h( h + 4 )/ h ( coret h )

f'( 2 + h ) = lim h→0 h + 4 = 0 + 4 = 4

jadi f'( 2 ) = jika = f( c ) = x² = 2x = 2*2 = 4

20. g = 2x (m1+m2) / t^2 (m2-m1)

JAWAB:

g = (2 x(m1+m2)) / (t^2 (m2-m1))

g = ((2 x(m1+m2))/(m2-m1)) * t^-2

dg/dt= (-2)* ((2 x (m1+m2)) / (m2-m1)) * t^(-2-1)

dg/dt= (-4x(m1 + m2)) / (m2-m1)) * t^-3 ato bisa juga ditulisdg/dt= -4x(m1+m2) / t^3 (m2-m1)

21. buktikan bahwa turunan y=arc tan u adalah 1/u^2+1

JAWAB:

y = arc tan utan y = u(tan y)' = 1(1+tan^2 y) y' = 1y' = 1/ (1 + tan^2y)y' = 1 / (1 + u^2)

22. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva y= tan x di titik ( pi/4 , 1 ) adalah

JAWAB:

misalkan jarak terpendek koordinat (4,2) melalui (x,y) pada kurva parabola yang diketahui,

y² = 8x

turunan implisitnya adalah

2yy' = 8

y' = 4/y

y' adalah gradien garis singgung di titik (x,y), maka gradien garis normalnya adalah

m = -1/y' = (y-2)/(x-4)

y' = (4-x)/(y-2)

y' = y'

4/y = (4 - x)/(y - 2). . . . . . . . . (persamaan 1)

tetapi y² = 8x ⇔ x = y²/8. . . . . . . . . (persamaan 2)

substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1,

4/y = (4 - y²/8)/(y - 2)

-(y - 4)(y² + 4y + 16)/[8y(y - 2)] = 0

y ≠ 2

y ≠ 0

y = 4

x = y²/8 = 4²/8 = 2

maka jarak terpendek (4,2) ke kurva y² = 8x adalah jarak dari (2,4) ke (4,2) sejauh r

r² = (2 - 4)² + (4 - 2)²

r = 2√2

24. ln xy + e^xy = xy

JAWAB:

turunan implisitnya :

1/(xy)(y + xy') + (y + xy') e^(xy) = (y + xy')

sederhanakan

y' = -y/x

9) (x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1)f’(1) = . . . ?

JAWAB:

f(x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1)

= (x^6-1)(2x+5)=2x^7+5x^6-2x-5

f(x)' = 14x^6+30x^5-2f(1)' = 14 + 30 - 2= 42

25.  y =(akar)2x^5

JAWAB:

y =√(2x^5 ) = √2x^(5/2) → y’= 5/2 √2 x^(3/2)

y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5

y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11

y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5

y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5

y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2)

26. jika f'(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax+b) adalah...

JAWAB:

misalkan u = ax + b

df/dx = (df/du)(du/dx)

df/dx = (df/du) (d(ax + b)/dx)

df/dx = a (df/du)

27. Jika y=f(x) maka turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai....

JAWAB:

y'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x))/Δx. . . .Δx → 0

28.Nilai dari : Lim x-->tak terhingga ( (akar dari 4x kuadrat + 3x - 5 ) - (akar dari 4x kuadrat - 9x + 8) )

JAWAB:

A = lim √(4x² + 3x - 5) - √(4x² - 9x + 8). . . .x → ∞

kalikan dengan [√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)] sehingga diperoleh

A = lim [(4x² + 3x - 5) - (4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]. . . .x → ∞

sederhanakan

A = lim [(12x - 13]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]. . . .x → ∞

penyebut dan pembilang dibagi dengan 2x

A = lim [(6 - 6.5/x]/[√(1 + 0.75/x - 1.25/x²) + √(1 - 2.25/x + 2/x²)]

. . . .x → ∞

A = [(6 - 0]/[√(1 + 0 - 0) + √(1 - 0 + 0)] = 6/2

A = 3

29. 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4

JAWAB:

4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=04xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2)

d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2

30. turunan dari : ( X pangkat 2 + 2 X ) pangkat ¾

JAWAB:

y = -(x² + 2x)^3/4

y' = - 3/4 (x² + 2x)^-1/4) (2x + 2)

y' = - 3(2x+2) / (x²+2x)^1/4