Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

DALIL DELHOSPITAL

Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit

yaitu : 00

0, , .∞∞

∞ ∞ − ∞dan . Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan

oleh Delhospital.

Bentuk 00

dan∞∞

Misal lim f(x) = lim g(x) = 0 atau lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka

lim( )( )

lim' ( )' ( )

f xg x

f xg x

= . Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk 00

atau ∞∞

maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan merupakan bentuk

tak tentu tersebut. Penulisan lim mengandung maksud

∞→−∞→→→→ −+ xxaxaxaxlimataulim,lim,lim,lim .

Contoh :

Hitung limit berikut

a. limcos

x

x

x→

−

0 21 2

b. limx

x x

x→∞

+

+

3

42

1

Jawab :

a. limcos

limsin

limcos

x x x

x

x

xx

x

→ → →

−= = =

0 2 0 0

1 2 2 22

4 22

2

b. lim lim lim limx x x x

x x

x

x

x

x

x x→∞ →∞ →∞ →∞

+

+= + = = =

3

4

2

3 22

1

3 2

4

6

12

624

0

Bentuk 0 . ∞∞

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Misal lim f(x) = 0 dan lim g(x) = ∞. Maka lim f(x) g(x) merupakan bentuk 0 . ∞ .

Untuk menyelesaikannya kita ubah menjadi bentuk 00

atau ∞∞

yaitu :

lim ( ) ( ) lim( )

lim( )

( ) ( )f x g x

f x g x

g x f x= =1 1 . Selanjutnya solusi dari limit tersebut

diselesaikan dengan cara seperti bentuk sebelumnya.

Contoh :

Hitung limit berikut

a. lim sec/x

x x→

−

π

π

2 2

b. lim cscx

x x→0

2

Jawab :

a. lim sec limcos

limsin/ / /x x x

x xx

x x→ → →−

=

−=

−= −

π π π

ππ

2 2 222 1

1

b. lim csc limsin

limcosx x x

x xx

xxx→ → →

= = =0

20

2

0

20

Bentuk ∞∞ - ∞∞

Misal lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka untuk menyelesaikan lim [ f(x) - g(x) ]

dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f(x) - g(x) ] sehingga dapat dikerjakan

menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya.

Contoh

Hitung ( )lim csc cotx

x x→

−0

Jawab :

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

( )lim csc cot limsin

cossin

limcos

sinlim

sincosx x x x

x xx

xx

xx

xx→ → → →

− = −

=

−= =

0 0 0 0

1 10

Sebagai catatan bahwa tidak semua bentuk limit tak tentu dapat diselesaikan

menggunakan dalil Delhospital. Hal ini seringkali terjadi di dalam menyelesaikan limit

fungsi f(x) dengan f(x) bukan merupakan fungsi rasional. Untuk lebih jelasnya diberikan

contoh berikut.

Contoh

Hitung limit berikut :

a. limx

x xx→−∞

−−

2 31

b. limx

x x x→∞

+ − +

2 2 1

Jawab:

a. lim lim( )

x x

x xx

x

xx x

xx

x→−∞ →−∞

−−

= −−

− =2 2

23

13

11

b. lim limx x

x x xx

x x x

xx→∞ →∞

+ − +

= −

+ + +=2 2

2 2

21

1

1

12

Soal latihan

Hitung limit berikut ( bila ada )

1. limx

xx→+∞

+−

2 12 5

2. limx

x x

x→−∞

−

−

4

2 1

2

3

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

3. limx

xx→+∞

−+

5 34

3

4. limx

xx→+∞

−+

3 56 2

3

5. limx

xx→+∞

−+

2 11

2

6. limx

x

x→−∞

+

+

2 1

1 2 2

7. lim cscx

x x→0

2

8. ( )lim cot cosx

x x→

−0

2 1 2

9. limx

x x x→+∞

+ −

2

10. limx

x x→+∞

+ −

2 3

11. limx

x x x x→+∞

+ − −

2 2

12. limx

x x x→−∞

− − −

2 23 3

13. l i m x x xx → +∞

+ − −

2 6 5

14. ( )

limsin

x

axax→0

15. limtansinx

xx→0

52

16. limsin ( )

x

x

x→0

2

25

17. limsin

cosx

xx→ −01

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

18. limsincosx

x xx→ −01

19. limcos

cosx

xx→

−−0

2 11 5

20. limcosx

xx→ −0

2

1