Pengantar Derivative

Garis Tangen

Menggunakan konsep limit

Garis Tangen dan Secan

Gradien garis secan P dan Q :

Garis tangen pada titik P :

Contoh 1

Tentukan gradien garis tangen fungsi :

pada titik (2,4)

Contoh 2 Tentukan gradien garis tangen pada kurva dengan persamaan

pada titik -1, , 2 dan 3.

Sehingga pada titik-titik tersebut diperoleh gradien masing-masing 4, 1, -2 dan -4

Contoh 3 Tentukan persamaan garis dari fungsi pada titik

(2, ).

Kecepatan Rata-rata dan Sesaat

Apabila kita mengendarai mobil untukmenempuh jarak 100 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatannya adalah 80 km/jam. Angkaini disebut sebagai kecepatan rata-rata.

Benda P bergerak dari suatutitik dengan persamaan 16t2

meter pada ruang hampa, sehingga benda tersebutmenempuh jarak 16 meter pada detik pertama dan 64 meter pada detik ke dua.

Grafik jarak sebagai fungsiwaktu :

Kecepatan rata-rata antara t=1 dan t=2 adalah :

Pada interval t=1 dan t=1.5, kecepatanrata-ratanya :

Kecepatan sesaat pada t=1 adalah 32

Dengan konsep limit

Kecepatan Rata-rata :

Kecepatan Sesaat :

Sehingga kecepatan sesaat fungsi f(t)=16t2

pada t=1 adalah

Derivative

Definisi

Suatu fungsi f apabila di-derivative kanmenjadi :

Artinya fungsi f diturunkan terhadap (padatitik) x. Proses penurunannya disebutdiferensiasi dan bagian kalkulus yang mempelajari tentang turunan disebut kalkulusdiferensial.

Contoh 1

Apabila , tentukan

Contoh 2

Tentukan ,apabila

Bentuk Ekivalen dari Derivative

Apabila c+h diganti dengan x, maka h = x-c, maka :

Contoh 3

Tentukan g(c) apbila g(x)=2/(x+3)

Notasi Leibniz(Gottfried Wilhelm Leibniz)

Variabel independen x berubahmenjadi x+x, maka :

Apabila x mendekati 0, maka :

Leibniz : dy/dx kecil sekali nilainya samar

Operator Dx

Merupakan operator yang dapatmerepresentasikan derivative dari suatufungsi. { }

Apabila y=f(x), maka derivative dari y adalah :

Contoh :