The Derivative Indonesia
description
Transcript of The Derivative Indonesia
FAKULTAS CIVIL ENGINEERINGUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA
2012
JAWABAN UTS TUGAS MANAJEMEN KOSTRUKSI PROGRAM RSBI
OLEH ALFIA MAGFIRONA
DAFTAR SLIDE
A. SOAL
B. JAWABAN No. 1
C. JAWABAN No. 2
22
D. JAWABAN No. 3
A. DEFINISI
33
Apakah deivatif itu?
A. DEFINISI
44
Dalam kalkulus (cabang matematika) derivatif adalah ukuran bagaimana perubahan fungsi sebagai perubahan input. Longgar berbicara, derivatif bisa dianggap sebagai berapa banyak satu kuantitas yang berubah dalam menanggapi perubahan dalam kuantitas yang lain, misalnya, turunan dari posisi benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek
A. DEFINISI
55
Turunan dari suatu fungsi pada nilai input yang dipilih menggambarkan pendekatan linear terbaik fungsi mendekati nilai input. Untuk fungsi-nyata nilai dari variabel yang nyata tunggal, derivatif pada suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Dalam dimensi yang lebih tinggi, turunan dari suatu fungsi pada suatu titik merupakan transformasi linear yang disebut Linearisasi. [1] Sebuah gagasan terkait erat adalah diferensial dari suatu fungsi. Proses pencarian derivatif adalah disebut diferensiasi.
A. DEFINISI
66
Itu dapat ditunjukkan oleh grafik fungsi dibawah ini :
Grafik fungsi, dibuat dalam warna hitam, dan garis singgung fungsi yang, dibuat dengan warna merah. Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik yang ditandai.
A. DEFINISI
77
Berbagai Macam Simbol-simbol Derivatif
( ) or '( ) or
dy df xf x
dx dx
0Definition: lim
x
dy y
dx x
A. DEFINISI
88
Derivatif orde lebih tinggi
Jika y’ = f’(x). Kita memiliki:
99
Beberapa Rumus Dasar Derivatif
A. DEFINISI
1010
A. DEFINISI
1111
A. DEFINISIChain Rule
Rumus Disebut sebagai Chain Rule formula. Itu dapat ditulis kembali dengan :
Atau rumus persamaan yang lain :
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
1212
Derivatif fungsi Trigonometri
1313
contoh
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
1.𝑦= 𝑠𝑖𝑛4𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥,𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑦𝑑𝑥…
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠4𝑥− 2𝑠𝑖𝑛2𝑥
2. 𝑦= 2 𝑡𝑔𝑥ሺ𝑥3 + 4ሻ, 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛𝑑𝑦𝑑𝑥 …
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐2ሺ𝑥3 + 4ሻ.3𝑥2
= 6𝑥2.𝑠𝑒𝑐2ሺ𝑥3 + 4ሻ
1414
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
Derivatif Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
1515
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
1616
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
Menyebutkan kembali definisi fungsi trigonometri
1717
Derivatif fungsi Eksponensial dan Logaritma
FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
1818
CONTOH
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
𝑦 = 𝑙𝑛2ሺ4+ 3𝑥ሻ, 𝑑𝑦𝑑𝑥 ……?
Penyelesaian :
1) Ingat rumus turunan :
𝑑(𝑢)𝑛𝑑𝑥 = 𝑛 𝑢ሺ𝑛−1ሻ𝑑𝑢𝑑𝑥
𝑑(𝑙𝑛24+ 3𝑥)𝑑𝑥 = 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ.𝑑(𝑙𝑛ሺ4 + 3𝑥ሻ𝑑𝑥
2) Setelah itu, turunkan 𝑑(𝑙𝑛ሺ4+3𝑥ሻ𝑑𝑥 , dengan menggunakan rumus : 𝑑(lnሺ𝑢ሻ)𝑑𝑥 = 1𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥
1919
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF 𝑑(ln(4+3𝑥))𝑑𝑥 = 1(4+3𝑥) .3 = 3(4+3𝑥)
Sehingga, dari penjabaran di atas dapat diselesaikan soal tersebut dengan :
𝑑൫𝑙𝑛24+3𝑥൯𝑑𝑥 = 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ.𝑑(𝑙𝑛ሺ4+3𝑥ሻ𝑑𝑥
= 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ. 1(4+ 3𝑥)𝑑ሺ4+ 3𝑥ሻ𝑑𝑥
= 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ. 3(4+3𝑥) = 6ln(4+3𝑥)(4+3𝑥)
2020
Derivatif fungsi Siklometri
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
Dalam matematika, fungsi siklometri adalah fungsi kebalikan dari fungsi trigonometri.Para invers utama rcantum dalam tabel berikut.
2121
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
Name Usual notation Definition
Domain of x for real result
Range of usual principal value(radians)
Range of usual principal value(degrees)
arcsiney = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤
π/2−90° ≤ y ≤ 90°
arccosiney = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤
180°
arctangent
y = arctan x x = tan y all real
numbers−π/2 < y < π/2
−90° < y < 90°
arccotangent
y = arccot x x = cot y all real
numbers 0 < y < π 0° < y < 180°
arcsecanty = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or
1 ≤ x
0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π
0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant
y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or
1 ≤ x
−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2
-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°
2222
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
Rumus invers fungsi trigonometri atau fungsi siklometri
2323
Contoh
B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF
𝑦= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (𝑥2 − 5), 𝑑𝑦𝑑𝑥 ……?
Jawab : 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −1ඥ1− (𝑥2 − 5)2 .𝑑(𝑥2 − 5)𝑑𝑥
= −1ඥ1−(𝑥2−10+25) .2𝑥
= −2𝑥ξ−𝑥2+10−24
2424
C. FUNGSI PARAMETERBentuk umum dari fungsi parameter adalah :
x = f(t)
y = g(t) (t sebagai parameter)
untuk mendifferensialkan fungsi tersebut ke dalam bentuk parameter, ambil :
x = f(t), maka 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑡)
y = g(t), maka 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 𝑔′(𝑡)
Itu dapat dijelasakan : 𝑑𝑔(𝑡)𝑑𝑓(𝑡) = 𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ�𝑑𝑥 𝑑𝑡ൗ�= 𝑑𝑦𝑑𝑡 .𝑑𝑡𝑑𝑥
RUMUS x = f(t)
y = g(t)
2525
Jika :
contohx = 2t2 + t
y = t5 + 1
Tentukan : a). b).
C FUNGSI PARAMETER
2626
Penyelesaian:𝑎). 𝑥= 2𝑡2 + 𝑡,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 4𝑡+ 1
𝑦= 𝑡5 + 1,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 5𝑡4
𝑑𝑦𝑑𝑥= 𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ�𝑑𝑥 𝑑𝑡ൗ�= 5𝑡44𝑡+ 1
𝑏). 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 5𝑡4,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 = 20𝑡3
𝑑𝑥𝑑𝑡 = 4𝑡+ 1,𝑚𝑎𝑘𝑎𝑑2𝑥𝑑𝑡2 = 4
𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑑𝑥𝑑𝑡𝑥𝑑2𝑦𝑑𝑡2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑥𝑑2𝑥𝑑𝑡2ቄ𝑑𝑥𝑑𝑡ቅ3 =
ሼሺ4𝑡+1ሻ20𝑡3.5𝑡4.4ሽሺ4𝑡+1ሻ3 =20𝑡3(3𝑡+1)
ሺ4𝑡+1ሻ3
C. FUNGSI PARAMETER
2727
Implicit DerivativeDalam banyak contoh, terutama yang diturunkan dari persamaan diferensial, variabel yang terlibat yang tidak terkait satu sama lain dengan cara yang eksplisit. Sebagian besar waktu, mereka berhubungan melalui formula implisit, seperti F (x, y) = 0. Setelah x adalah tetap, kita mungkin menemukan y melalui perhitungan numerik. (Dengan beberapa teorema mewah, kami secara formal mungkin menunjukkan bahwa memang y dapat dilihat sebagai fungsi dari x selama suatu interval tertentu). Pertanyaannya menjadi apa adalah derivatif , setidaknya pada sebuah tertentutitik? Metode diferensiasi implisit jawaban keprihatinan ini. Mari kita menggambarkan hal ini melalui contoh berikut.
D. FUNGSI IMPLISIT
2828
D. FUNGSI IMPLISIT
Jika diketahui fungsi implisit: 𝑥3 + 𝑥𝑦+ 𝑦3 = 0, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 …?
penyelesaian : 𝑥3 + 𝑥𝑦+ 𝑦3 = 0
ሺ3𝑥2 + 𝑦ሻ+ (𝑥.𝑑𝑦𝑑𝑥+ 3𝑦2.𝑑𝑦𝑑𝑥) = 0
ሺ𝑥+ 3𝑦2ሻ.𝑑𝑦𝑑𝑥 = −(3𝑥2 + 𝑦)
= −3𝑥2 + 𝑦𝑥+ 3𝑦2
2929
E. APLIKASI DERVATIF
Sebuah keucut lingkaran tegak terbalik berjari-jari 4 inch dan tinggi 10 inch penuh berisi air. Jika air keluar dari puncak kerucut dengan laju 28 inch3/jam. Tentukan laju turunnya permukaan air di dalam kerucut pada saat ketinggian airnya 8 inch dan 2 inch.
PenyelesaianIkuti prosedur untuk menyelesaikan soal diatas.1. Satuan yang digunakan pada soal diatas adalah inch dan jam. Itu digambarkan pada gambar 1 dan gambar 2, kita menentukan variabel r=jari-jari dan h=tinggi permukaan air pada kerucut.
3030
E. APLIKASI DERVATIF
4
10 10
h
r
4
Gambar 1 Gambar 2
3131
E. APLIKASI DERVATIF2. Dari variable-variabel tersebut kita akan menentukan 𝑑ℎ𝑑𝑡 , pada
saat tinggi air mengalami perubahan. Jika laju turunnya air :
𝑑𝑉𝑑𝑡 = −28 inch3/jam
Dimana V adalah volume air dalam kerucut.
3. Volume air dalam kerucut diberikan rumus volume kerucut
𝑉= 𝜋𝑟2ℎ3
Salah satu variable-variabelnya dapat dieliminasi melalui rumus perbandingan segitiga pada gambar 2.
3232
E. APLIKASI DERVATIF
Yaitu, 𝑟4 = ℎ10
Subtitusi 𝑟 = 0,4ℎ, kita mempunyai :
𝑉= 𝜋(0,4ℎ)2ℎ3 = 0,16𝜋ℎ33
Sehingga, 𝑑𝑉𝑑ℎ = 0,16𝜋(3ℎ2)3 = 0,16𝜋ℎ2
4. Dari persamaan Chain Rule formula: 𝑑𝑉𝑑𝑡 = 𝑑𝑉𝑑ℎ𝑑ℎ𝑑𝑡
3333
E. APLIKASI DERVATIF
Jadi,
𝑑ℎ𝑑𝑡 = 𝑑𝑉𝑑𝑡ൗ�𝑑𝑉𝑑ℎൗ�= −280.16𝜋ℎ2
Untuk ℎ = 8, 𝑑ℎ𝑑𝑡 ℎ=8 = −280,16𝜋(8)2 = −0,87 inch3/jam
Untuk h = 2,
𝑑ℎ𝑑𝑡 ℎ=2 = −280,16𝜋(2)2 = −13,93 inch3/jam
Kesimpulan, Laju turunnya permukaan air dalam kerucut pada saat tinggi air 8 inch dan 2 inch dari bidang atasnya adalah -0,87 inch3/jam dan -13,93 inch3/jam, tanda negative menyatakan bahwa tunggi air dalam kerucut semakin lama semakin berkurang.
3434
DAFTAR PUSTAKAhttp://en.wikipedia.org/wiki/Derivativehttp://www.sosmath.com/.../derivative.htmlhttp://www.sosmath.com/.../der05.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometricL. Mett, Corren & C. Smith, James. 1991. Calculus With Aplication . York Graphich Services, Inc. USA.
3535