1

Konsep Matematika dalam Kimia

(i) Matriks

Pengertian dan notasi suatu matriks

Dalam kehidupan sehari-hari, aplikasi matriks banyak ditemui. Misalnya dalam

bidang olahraga, khusunya sepak bola, sering ditampilkan tabel hasil pertandingan

dalam bentuk baris dan kolom. Misalnya, hasil pertandingan Liga Italia Seri A lima

peringkat teratas periode tahun 2012-2013 pada pekan ke 8, seperti terlihat pada

tabel di bawah ini:

Klub Main Menang Seri Kalah Memasukkan Gol Kemasukan Gol Nilai* Juventus 8 8 0 0 16 2 24 Napoli 8 6 1 1 15 6 19 Lazio 8 6 0 2 16 5 18 Intermilan 8 5 1 2 18 11 16 AS Roma 8 4 2 2 10 7 14 *menang = 3, seri = 1, kalah = 0

Tabel atau daftar tersebut dapat disusun lebih sederhana dengan menghilangkan

judul baris dan judul kolom sehingga tanmpil sebagai berikut

8 8 0 0 16 2 24 8 6 1 1 15 6 19 8 6 0 2 16 5 18 8 5 1 2 18 11 16 8 4 2 2 10 7 14

Jika susunan bilangan-bilangan itu ditulis di dalam tanda kurung biasa atau kurung

siku, akan berbentuk sebagai berikut:

8 8 0 0 16 2 24

8 6 1 1 15 6 19

8 6 0 2 16 5 18

8 5 1 2 18 11 16

8 4 2 2 10 7 14

2

Susunan bilangan tersebut disebut sebagai matriks, secara umum matriks dapat

didefenisikan sebagai berikut:

Matriks: adalah suatu susunan elemen-elemen (bilangan atau huruf) berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom serta ditempatkan

dalam tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku)

Suatu matriks biasanya diberi nama dengan huruf kapital seperti A, B, C atau yang

lainnya. Secara umum matriks A yang mempunyai i baris dan j kolom dapat ditulis

dalam bentuk umum berikut ini

a11 a12 . . a1j

a21 a22 . . a2j

A = . . . . .

. . . . .

ai1 ai2 . . aij

Jika diperhatikan bentuk umum di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

(i) a11, a12,., aij merupakan elemen-elemen matriks A

(ii) banyak baris pada matriks A adalah i buah, dan banyak kolom pada

matriks A adalah j buah

(iii) bentuk matriks A dapat pula ditulis sebagai A = (aij), dengan i

menunjukkan letak baris dan j menunjukkan letak kolom

3

INTEGRAL

Integral merupakan anti diferensial (anti turunan) atau sebagai invers dari diferensial

Pada operasi pendiferensialan, jika y = f(x) + k dengan k konstanta, maka turunan

pertama y terhadap x adalah y = f (x). Untuk mengembalikan y keasalnya y atau

f(x) maka pengintegralan ditulis sebagai berikut:

kxfdxxf )()('

Ada 2 (dua) jenis integral:

1. Integral tak tentu

Integral ini adalah proses untuk menentukan bentuk umum anti turunan dari suatu

fungsi yang diberikan. Dapat pula dikatakan bahwa hasil pengintegralan f (x) masih

mengandung konstanta k sembarang (kadang juga digunakan simbol C (English :

constant).

kxfdxxf )()('

atau

Cxfdxxf )()('

2. Integral tentu

Integral tentu adalah jika hasil pengintegralan f (x) sudah memiliki konstanta tertentu

atau operasi integral dibatasi pada interval tertentu dari a hingga misalnya,

dinyatakan dengan:

)()()()(' afbfxfdxxfb

a

b

a

Aplikasi dalam ilmu kimia

Penentuan persamaan laju reaksi terintegrasi.

4

Misalnya untuk kasus reaksi orde nol:

A P maka persamaan laju dalam bentuk diferensial adalah

kkAdtdA

0 (1)

dimana A adalah konsentrasi reaktan pada saat t dan k adalah tetapan laju reaksi.

Untuk menentukan persamaan/hukum laju terintegrasi (integrated rate laws) dapat

dilakukan dengan melakukan operasi pengintegralan terhadap ke dua sisi dari

persamaan (1), baik dengan operasi integral tak tentu maupun integral tentu.

Dengan integral tak tentu:

CktA

kdtdA

kdtdA

Untuk menentukan nilai C dapat dilakukan dengan menentukan nilai A pada saat t =

0, yaitu A0, yang tidak lain adalah konsentrasi reaktan mula-mula. Nilai ini bisa

diketahui pada setiap eksperimen.

Jadi pada saat t = 0 A = A0

- A0 = k (0) + C C = - A0

Sehingga:

- A = kt + (-A0)

Jika masing-masing sisi dikali dengan 1 akan menjadi:

A = A0 kt (2)

5

Persamaan (2) disebut sebagai persamaan laju terintegrasi (integrated rate laws)

yang diperoleh melalui proses pengintegralan persamaan (1).

Dengan proses integral tentu:

Persamaan laju dalam bentuk diferensial dapat dikonstruksi sebagai sebagai berikut:

A

A

t

t

A

A

kdtdA

kdtdA

0 0

0 (3)

Batas integral yang diambil adalah dari A0 hingga A, karena konsentrasi reaktan

diukur pada konsentrasi mula-mula (A0) pada saat t0 dan konsentrasi A pada saat t. t

adalah waktu akhir eksperimen/percobaan.

Penyelesaian integral di atas adalah sebagai berikut:

)()()(

00

00

ttkAAttkAA

(4)

Jika persamaan terakhir dikali dengan 1 maka

A - A0 = - k (t t0) (5)

Nilai (t t0) adalah waktu yang dibutuhkan oleh reaktan untuk berubah dari A0

menjadi A. Nilai ini kadang ditulis saja sebagai t dengan defenisi seperti yang

dituliskan sebelumnya (t0 = 0). Sehingga persamaan (5) menjadi:

A - A0 = - k (t t0)

A - A0 = - k t

A = A0 - k t

6

DIFERENSIAL

Diferensial merupakan anti integral atau sebagai invers dari integral. Pada operasi

pendiferensialan, jika y = f(x) + k dengan k konstanta, maka turunan pertama y

terhadap x adalah y = f (x). Untuk fungsi dengan dua peubah, Z = f (x,y), cara

penurunannya agak berbeda. Kita mengenal istilah diferensial parsial dan diferensial

total, karena fungsi Z harus diturunkan masing-masing terhadap x dan y.

Z = f (x,y)

dyyZdx

xZdZ

xy

Keterangan:

dZ = diferensial total terhadap Z

Z = diferensial parsial terhadap Z

Aplikasi dalam Ilmu Kimia

Menurut hukum Boyle, hukum Avogadro dan hukum Charles-Gay Lussac bahwa

volum suatu gas ideal merupakan fungsi dari jumlah mol n, tekanan P dan

temperatur T. Secara matematika bisa dituliskan sebagai berikut:

V = f (n, P, T)

Persamaan ini dapat diferensiasi(diturunkan) dengan metode diferensial parsial:

dTTVdP

PVdn

nVdV

PnTnTP ,,,

(a0)

d dibaca de biasa sedangan dibaca dho, d adalah diferensial total dan adalah

diferensial parsial. Falsafah mudahnya adalah jika V diturunkan terhadap n maka

paramater yang lain, dalam hal ini P dan T, dijaga tetap. Demikian juga jika V

diturunkan terhadap paramater P, maka n dan T dijaga konstan, dan seterusnya.

Menurut hukum Avogadro, volume gas , pada tekanan (P) dan temperatur (T) tetap,

berbanding lurus dengan jumlah mol (n) gas:

V = k1 n (P, T tetap) (a)

Persamaan a hanya berlaku jika P dan T tetap.

atau k1 = V/n (b)

7

Turunan parsial V terhadap n, pada P dan T tetap, ditulis sebagai berikut:

1,

knV

TP

(c)

Mudahnya adalah persamaan a diturunkan terhadap n sehingga diperoleh

persamaan c

Persamaan c bisa juga ditulis menjadi

nVnV

TP

/,

(d)

Dengan mensubstitusi nilai k1 dari persamaan b.

Menurut hukum Boyle,

PV = k2 (n, T tetap) (e)

Atau V = k2/P (f)

Jika persamaan diatas diturunkan terhadap P diperoleh hasil:

PV

PPV

Pk

PV

Tn

222

,

(g)

Persamaan g adalah turunan parsial V terhadap P karena parameter-parameter n

dan T dijaga konstan.

Menurut hukum Charles Gay Lussac,

V = k3 T ( n, P tetap) (h)

Atau

k3 = V/T (i)

Turunan V terhadap T dari persamaan h ditulis sebagai berikut:

3,

kTV

Pn

(j)

Jika nilai k3 pada persamaan j disubstitusi dengan nilai k3 dari persamaan (i), maka

persmaan j menjadi:

TV

TV

Pn

,

(k)

8

Dengan memasukkan persamaan d, g dan k ke dalam persamaan a0 akan diperoleh

dTTVdP

PVdn

nVdV (l)

Jika ruas kiri dan ruas kanan persamaan (l) dibagi dengan V akan menjadi

dTT

dPP

dnnV

dV 111 (m)

Jika persamaan m diintegrasi dengan metode integral tak tentu akan diperoleh:

dTT

dPP

dnnV

dV 111

ln V = ln n ln P + ln T + ln R (n)

dengan ln R adalah tetapan integrasi. R kemudian dikenal sebagai tetapan gas

dengan nilai tertentu berdasarkan satuan energi yang digunakan.

PnTRV lnln (o)

Dengan mengambil antilog dari persamaan o akan diperoleh:

PnTRV atau PV = n.R.T (p)

Persamaan p adalah persamaan keadaan gas ideal yang diturunkan dari hukum

Avogadro, hukum Boyle dan hukum Charles Gay Lussac.