Struktur Diskrit_I-1, Logika Proposisi

Struktur Diskrit Bagian dari matematika yang mempelajari objek diskrit.

Banyak masalah yang dapat diatasi dengan menggunakan konsep yang ada di Struktur Diskrit, antara lain :

1. Berapa besar kemungkinan kita menang suatu undian lotere2. Jalan mana yang paling pendek untuk mencapai sebuah kota tertentu

Dalam bidang computer :1. Apakah dua buah computer dalam sebuah jaringan memiliki hubungan, kalau ya

bagaimana jalurnya?2. Berapa banyak password yang valid / sah yang bisa diterima oleh suatu system computer?

Konsep-konsep yang diajarkan dalam Struktur diskrit ini secara khusus merupakan konsep dasar untuk/dari kuliah/bidang computer lain :Struktur data, basis data, system operasi, teori compiler, system keamanan computer,dll.

Bagaimana mempelajari Struktur Diskrit dengan sukses: pahami teorinya, kerjakan / pahami latihan dan PR nya, semakin banyak semakin baik, belajar kelompok.

Logika ProposisiProposisi : kalimat yang bernilai benar atau salah tapi tidak keduanya.Contoh:

1. Jakarta ibukota Indonesia2. Jam berapa sekarang3. X+1 =24. 1+1 = 3

Proposisi biasanya dilambangkan dengan p,q,r,s….Definisi :

Bila p proposisiNot p juga proposisi

p = hari ini hari Senin.¬ p = hari ini bukan hari Senin.

p dan q proposisi maka:1. p ∩ q disebut proposisi conjunction2. p V q disebut proposisi disjunction3. p q disebut implikasi4. p q disebut bikondisional

Pada p qp disebut antecedent / premiseq disebut consequent / konklusi

nama lain untuk implikasi:if p then q p is sufficient for qp implies q q if pIf p,q q whenever pp only if q q is necessary for p

Syandra Sari Page 1 of 4 versi 15 Sept 2011

Struktur Diskrit_I-1, Logika Proposisi

jika p maka q p syarat cukup untuk qp mengimplikasikan q q jika pjika p,q q ketika pp hanya jika q q diperlukan untuk p

Konverse dari p q adalah q pKontra Positif p q dari adalah: ¬q ¬ p

Merubah dari kalimat alami ke proposisi- Kalimat dianalisa - Tiap bagian diberi sebuah simbol- Dirangkai dengan menggunakan penghubung yang sesuai

Contoh:Kamu dapat mengakses internet dari kampus hanya jika kamu dari jurusan informatika, atau kamu bukan mahasiswa tingkat pertama.

Ada tiga kalimat:

Kamu dapat mengakses internet dari kampus = pHanya jika = kamu dari jurusan informatika = qatau = Vkamu mahasiswa tingkat pertama = rbukan = ¬Maka kalimat diatas menjadi: (p q) V ¬r

Bagaimana bila kalimatnya diubah sedikit seperti berikut: (komanya di pindah menjadi dibelakang kata ”kampus”)

Kamu dapat mengakses internet dari kampus hanya jika kamu dari jurusan informatika, atau kamu bukan mahasiswa tingkat pertama.

Kamu dapat mengakses internet dari kampus, hanya jika kamu dari jurusan informatika atau kamu bukan mahasiswa tingkat pertama.

LOGIC dan OPERASI BIT- Dalam bentuk bit 0/1- Bit string

0110 bit string ukuan 4

Bitwise operasi untuk bit string dengan ukuran yang sama sesuai dengan posisi.

PROPOSITIONAL EKIVALENCEMengganti sebuah statement dengan statement yang lain yang memiliki table kebenaran / nilai kebenaran yang sama.

Definisi : Proposisi gabungan yang selalu bernilai true apapun nilai kebenaran masing-masing proposisi yang bangunnya disebut TAUTOLOGI

Syandra Sari Page 2 of 4 versi 15 Sept 2011

Struktur Diskrit_I-1, Logika Proposisi

Proposisi gabungan yang selalu bernilai false disebut KONTRADIKSIProposisi gabungan yang dapat true / false disebut CONTINGENCY

Contoh: Mana dari proposisi ini yang tautology, kontradiksi dan kontingensip or not p, p and not p, p and q

Proposisi p dan q disebut logically equivalent jika p q adalah tautology

Notasinya:

Dua buah proposisi dapat dibuktikan logically equivalent dengan dua cara:1. tabel kebenaran2. proposisi-proposisi yang sudah terbukti logically equivalent

CARA PERTAMA, TABEL KEBENARAN:Berikut 5 buah tabel kebenaran DASAR: Tabel OR, Tabel AND, Tabel Negasi, Tabel Implikasi dan Tabel bi-implikasi

Tabel Kebenaran:AND (^) OR (V) IMPLIKASI (-> )

p q p ^ q p q p Vq p q p-> qT T T T T T T T TT F F T F T T F FF T F F T T F T TF F F F F F F F T

NEGASI (¬) BI-IMPLIKASI ( <-> )p ¬p p q p <-> qT F T T TF T T F F

F T FF F T

Bila ada 2 proposisi sederhana yang berbeda maka diperlukan 22 baris = 4 baris pada tabel kebenaranBila ada 3 proposisi sederhana yg berbeda maka diperlukan 23 baris = 8 baris pada tabel kebenaranBila ada n proposisi sederhana yg berbeda maka diperlukan 2n baris pada tabel kebenaran

Contoh: Buat tabel kebenaran untuk kalimat proposisi berikut: p ^ (q V r)Karena ada 3 buah proposisi sederhana, yaitu p, q, dan r maka tabel kebenarannya akan memiliki 23 baris = 8 baris, seperti berikut:p q r q V r p ^ (q V r)T T T T TT T F T TT F T T TT F F F FF T T T FF T F T FF F T T FF F F F F

Syandra Sari Page 3 of 4 versi 15 Sept 2011

Struktur Diskrit_I-1, Logika Proposisi

Soal: Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa : jika p maka q logically equivalent dengan not p or q.

CARA KEDUA, Menggunakan PROPOSISI yg terbukti EKIVALEN:

Proposisi-proposisi yang terbukti logically equivalent :1. Indentity laws

P ^ T <=> PP V F <=> P

2. Domination lawsP V T <=> TP ^ F <=> F

3.Idempotent lawsP V P <=> PP ^ P <=> P

4. Double negation laws¬(¬ P) <=> P

5. Commutative lawsP V Q <=> Q V PP ^ Q <=> Q ^ P

6. Associative laws(P V Q) V R <=> P V (Q V R)(P ^ Q) ^ R <=> P ^ (Q ^ R)

7. Distributive laws P V (Q ^ R) <=> (P V Q) ^ (P V R) P ^ (Q V R) <=> (P ^ Q) V (P ^ R)8. De morgan’s law

¬ ( P ^ Q ) <=> ¬ P V ¬ Q¬ ( P V Q ) <=> ¬ P ^ ¬ Q

9. ImplikasiP -> Q ¬P V Q

10. Bi-implikasi P <-> Q (P -> Q) ^ (Q -> P)11. Tautologi ¬ P V P <=> T12. Kontradiksi ¬ P ^ P <=> F

Keterangan: T= True, F=False

Contoh:Tunjukkan tanpa menggunakan tabel kebenaran bahwa:

logically equivalent dengan

Jawab:

Soal: Tunjukkan bahwa adalah Tautologi:Jawab untuk membuktikan pernyataan diatas, maka kita harus membuktikan bahwa proposisi tsb logically equivalent dengan True.

Strategi:1. bila ada (…..) gunakan De Morgan2. bila ada (implikasi) gunakan aturan implikasi3. bila ada false atau true gunakan domination law, contoh (A and True) menjadi A saja

menggunakan identity law4. bila ada dua operator berlainan gunakan distributive (A and ( B or C)) operatornya and dan or5. bila ada dua operator sama gunakan assosiati: A or B or C , operatornya sama-sama or

Syandra Sari Page 4 of 4 versi 15 Sept 2011