02. Matriks Jacobian

2 Matrix Jacobian

2. MATRIKS JACOBIAN4.1 PengantarDalam aplikasinya, salah satu robot yang banyak digunakan untuk memudahkan pekerjaan manusia adalah Welding Robot. Fungsi robot tersebut adalah melakukan pengelasan pada objek dengan kondisi tertentu. Kelebihan robot ini adalah mampu bekerja secara terus-menerus dalam rentang waktu yang cukup lama serta bisa memberikan hasil pengelasan yang teliti dan presisi. Salah satu contoh Welding Robot dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut

Gambar 2.1Welding Robot

Untuk memanipulasi pergerakan robot ada dua hal yang harus didefinisikan yaitu joint space dan end effektor. Joint space adalah joint manipulator robot tempat memberikan input agar dapat memanipulasi pergerakan robot. Sedangkan end effektor adalah bagian akhir dari robot yang berfungsi menjalakan perintah sesaui dengan yang diinginkan. Untuk membedakan joint space dan end effektor dapat dilihat ilustrasi pada gambar 2.1

Gambar 2.2 Joint space dan end effektor robot

Hal yang sangat penting diperhatikan pada Welding Robot adalah bagaimana cara menggerakkan semua joint manipulator agar end effecktor mampu mencapai setiap titik atau lintasan pengelasan yang telah didisain. Ada dua metode yang dapat digunakan untuk memanipulasi pergerakan end effektor, yang pertama adalah dengan cara memberikan input pada setiap joint manipulator sehingga didapatkan posisi akhir end efektor, metode ini dikenal dengan nama forward kinematik. Yang kedua adalah inverse kinematik, metode ini adalah kebalikan dari fordward kinematik yaitu posisi end effektor lah yang terlebih dahulu didefinisikan, selanjutnya dimanipulasikan sehingga didapatkan nilai input pada setiap joint manipulator.Pada permasalahan ini forward kinematik bisa diselesaikan dengan metode Denavit-Hartenberg Parameters (DH-Parameter) dan metode screw. Sedangkan untuk inverse kinematik, salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan matriks Jacobi atau yang lebih dikenal dengan Jacobian.4.2 Denavit-Hartenberg Parameters (DH-Parameter)

Dalam membangun sebuah matrik Jacobi, awalnya tetap akan berhubungan dengan DH-Parameter. Hasil akhir DH-Parameter merupakan matrik 4x4 dimana dalam matriks tersebut terdapat matrik 3x3 yang merupakan orientasi end effektor dan matrik 3x1 yang merupakan vektor posisi posisi dari end efektor. Untuk lebih jelas dapat kita lihat contoh berikut ini

Gambar 2.3 3DOF Serial manipulatorTabel DH-Parameter

NoAd

0-1 l1 0 1 0

1-2 l2 0 2 0

2-3 l3 0 3 0

Matriks Transformasi DH-Parameter

.2.1

Dari hasil akhir DH-Parameter serial manipulator diatas dapat terlihat bahwa matrik 3x3 yang berada dalam kotak berwarna merah adalah orientasi end effektor, sedangkan matrik 3x1 yang berada dalam kotak berwarna biru adalah vector posisi end effektor.

4.3 Metode Yau Pitc RollMatrik orientasi end effektor ukuran 3x3 tidak bisa didefinisikan secara langsung dalam matrik jacobi, namun harus disederhanakan dahulu. Salah satu cara menyederhanakan matrik orientasi end effektor tersebut adalah dengan metode Yaw-Pitch-Roll, dimana metode ini adalah merubah matrix orientasi end effektor 3x3 menjadi euler angle dalam bentuk (, , ).definisi (, , ) dapat dilihat pada gambar 2.4 berikut ini

Gambar 2.4 Rotasi Yau Pitch RollPerputaran x pada sumbunya disebut dengan Yaw dilambangkan dengan , Perputaran y pada sumbunya disebut dengan Pitch dilambangkan dengan , sedangkan Perputaran z pada sumbunya disebut dengan Roll dilambangkan dengan . Dengan penjelasan diatas, maka terbentuk lah Yau Pitch Roll.Untuk menjabarkan metode Yaw-Pitch-Roll, matrik trasformasi DH-Parameter terlebih dahulu dihubungkan dengan matrik transformasi Homogeneous Representation

Gambar 2.5 Rotasi Yau Pitch Roll

Dari gambar diatas, bisa dijelaskan tentang matriks transformasi Homogeneous Representation. Titik P yang berasal dari orientasi koordinat (x, y, z) pada posisi 0,0,0 ditransformasikan menuju titik baru dengan orientasi koordinat baru n, s, a. maka matrik transformasi dari perpindahan tersebut dapat dibuat sebagai matrik berikut

.2.2

Masing-masing orientasi koordinat baru ini harus dijabarkan kembali terhadap koordinat awalnya, dimana orientasi n nantinya akan terdiri dari nx ny nz, orientasi s akan menjadi sx sy sz dan orientasi a menjadi ax by cz Maka dari itu matrik trasformasi Homogeneous Representation diatas bisa dikembangkan menjadi matrik transformasi berikut ini.

.2.3

Dalam metode Yau Ptich Roll, matrik transformasi Homogeneous Representation bernilai sama dengan matrik transformasi DH-Parameter.

.2.4

Dari persamaan ini dua matrik diatas maka dapat diterapkan metode Yau Pitch Roll untuk merubah orientasi end effektor 3x3 menjadi euler angle (, , ). Misalkan sebuah matrik transformasi DH-Parameter

Dari dua matrik diats, dapat ditentukan nilai euler angle (, , ) seperti persamaan berikut ini. .2.5

.2.6

.2.7

Nilai (, , ) ini lah yang nantinya akan digunakan dalam membangun matrik Jacobi, khususnya untuk kasus robot dengan koordinat ruang (6 koordinat).4.4 Matrik JacobiDari forward kinematik didapatkan hasil Y = ( x, y, z, , , ), dimana Y ini berasal dari perkalian matrik f (6x1) dengan q

.2.8Apabila Y ini diturunkan, maka didapatkan

..2.9Apabila disederhanakan maka persamaan matrik diatas menjadi

.2.10

Dalam hal ini J adalah matrik jacobi atau lebih dikenal dengan jacobian. Matrik jacobi adalah matrik tnasformasi linear yang menggambarkan n-dimensional kecepatan vector didalam m-dimensional matrik kecepatan vector . Elemen matrik J ini mempengaruhi koofisien vector matrik Y. Secara umum vector Y adalah fungsi non linear dari q, sementara itu matrik Jacobi juga merupakan fungsi dari q. maka dalam hal ini konfigurasi matrik Jacobi bersifat dependent.

Untuk serial manipulator robot, matrik Jacobi didefinisikan sebagai koofisien matrik kecepatan pada end effektor dan kecepatan pada joint space.

Conventional JacobianSeperti penjelasan sebelumnya bahwa setiap titik pada end effektor dapat digunakan sebagai acuan untuk menentukan kecepatan pada end effektor tersebut. Dengan mengambil titik On sebagai titik referensi, maka dapat didefinisikan kecepatan end effektor seperti persamaan berikut ini.

.2.11

.2.12

Dimana Vn adalah kecepatn linear end effektor, n adalah kecepatn sudut end effektor, sedangkan dan adalah pergerakan rotasi dan traslasi pada joint axis yang ke i. sementara adalah unit vector sepanjang joint axis yang ke i. kemudian adalah vector yang didefinisikan dari titik referensi batang yang ke ( i - 1) menuju batang end effektor seperti yang digambarkan oleh gambar 2.6. semua vector yang terdapat pada persamaan 2.11 dan 2.12 ditampilkan pada pada koordinat frame yang tetap (X0 , Y0 , Z0). Bila dituliskan dalam bentuk matrik, maka persamaan 2.11 dan 2.12 dapat ditulis menjadi

.2.13Dimana

Gambar 2.6 Parameter link serial manipulator

Persamaan 6.42 berpengaruh pada komputasi matrik Jacobi, dimana terlebih dahulu harus ditentukan arah dan posisi masing-masing joint. Hal ini dapat dapat dijabarkan dengan matrik berikut ini.

.2.14

.2.15

Dimana

Contoh penerapan matrik Jacobi pada 3 DOF serial munipulator

Gambar 2.7 3 DOF serial manipulator

Pertama harus ditentukan dulu nilai vector Zi-1 dan i-1p3* berdasarkan rumus pada persamaan 2.14 dan 2.15 untuk i = 1, 2, 3sehingga

Subsitusikan hasil persamaan diatas kedalam persamaan 2.13, maka didapatkan hasil seperti berikut

Dimana

Jika point referensi yang diambil menjadi (x2, y2), maka bentuk matrik jacobinya akan berubah menjadi

EMBED Equation.DSMT4














_1400938654.unknown

_1401784492.unknown

_1401787422.unknown

_1401794507.unknown

_1401795200.unknown

_1401795199.unknown

_1401794097.unknown

_1401787435.unknown

_1401784912.unknown

_1401786161.unknown

_1401786269.unknown

_1401785271.unknown

_1401786041.unknown

_1401784619.unknown

_1401782670.unknown

_1401784479.unknown

_1401782606.unknown

_1401782584.unknown

_1400931188.unknown

_1400935454.unknown

_1400936822.unknown

_1400937856.unknown

_1400936962.unknown

_1400932558.unknown

_1400932481.unknown

_1400930148.unknown

_1400930239.unknown

_1400929521.unknown

_1400930086.unknown

_1400928832.unknown

02. Matriks Jacobian

Documents

Transcript of 02. Matriks Jacobian