1. Peluang1.1 Ruang Sampel Dalam mempelajari statistika pada dasarnya perhatian kita ditujukan pada penyajian dan penafsiran dari hasil kemungkinan yang terjadi pada penelitian yang dirancang atau penelitian ilmiah. Sebagai contoh, kita mungkin mencatat banyaknya kecelakaan yang terjadi tiap bulan diprapatan Jalan Ahmat Yani dan Sudirman, dengan harapan penambahan rambu lalu lintas; kita mungkin pula mengelompokkan barang keluaran suatu pabrik sebagai cacat atau tidak cacat; atau mungkin pula kita ingin mengetahui jumlah gas yang dilepaskan dalam suatu reaksi kimia bila konsentrasi asam diubah-ubah. Jadi statistikawan sering berurusan dengan data percobaan yang berbentuk bilangan atau pengukuran, ataupun dengan data pengelompokan (kategori) yang dikelompok kan suatu patokan tertentu. Keterangan yang dicatat , baik berbentuk bilangan maupun pengelompokan, akan kita sebut sebagai pengamatan. Jadi ,bilangan 2, 0, 1, dan 2, yang menyatakan banyaknya kecelakaan yang terjadi tiap bulan Januari sampai April tahun lalu diprapatan Jalan Ahmat Yani dan Sudirman, merupakan sekelompok pengamatan. Begitupun data pengelompokan C, T, C, T dan C yang menyatakan barang yang cacat atau tidak cacat bila lima barang diperiksa, dicatat sebagai pengamatan. Statistikawan menggunakan istilah percobaan untuk menyatakan tiap proses yang menghasilkan data mentah. Suatu contoh yang amat sederhana dari suatu percobaan statistika dapat berupa lantunan uang logam. Dalam percobaan ini hanya ada dua hasil yang mungkin , muka atau belakang. Percobaan lain dapat berupa peluncuran sebuah rudal dan pengamatan kecepatannya pada saat saat tertentu. Pendapat rakyat mengenai rancangan undang-undang dapat pula dipandang sebagai pengamatan suatu percobaan. Perhatian khususnya kan lebih dicurahkan pada pengamatan yang diperoleh dari percobaan yang diulang beberapa kali. Dalam kebanyakan hal hasilnya akan tergantung pada keboleh jadiannya dan, karena itu tidak dapat diramalkan dengan pasti. Bila seorang kimiawan mengadakan analisis kimia beberapa kali dalam kondisi yang sama, hasil pengukurannya akan berlainan dan ini menunjukkanadanya unsur peluang dalam pelaksanaan percobaan. Kendatipun sebuah mata uang dilantunkan berulang kali, kita tidak akan pernah dapat memastikan bahwa suatu lantunan tertentu akan menghasilkan muka. Akan tetapi kita tahu seluruh kemungkinan yang dapat terjadi untuk tiap lantunan.

1

Defenisi 1.1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Statistic disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang T Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut atau dengan singkat suatu titik sampel. Bila ruang sampel mempunyai unsur yang hingga banyaknya, maka anggotanya dapat didaftar, masing-masing unsur dipisah dengan koma. Jadi ruang sampel T yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin dari lantunan mata uang dapat ditulis sebagai T = {M, B} M menyatakan muka dan belakang Contoh 1.1 Pandanglah suatu percobaan melantunkan dadu. Bila yang diselidiki ialah nomor yang muncul disebelah atas, maka ruang sampelnya T1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bila yang ingin diselidiki pada percobaan diatas apakah nomor genap ganjil yang muncul, maka ruang sampelnya T = {ganjil, genap}. Contoh 1.1 menunjukkan bahwa hasil suatu percobaan dapat dinyatakan lebih dari satu ruang sampel. Dalam hal ini T1 memberikan informasi lebih banyak daripada T2. Bila kita tahu unsur yang muncul di T1 maka kita dapat menunjukkan unsur apa yang muncul di T2; akan tetapi, mengetahui unsur yang muncul di T2 tidak menolong kita sama sekali untuk menunjukkan unsur mana yang muncul di T1. Umumnya, lebih baik kita mengguankan ruang sampel yang memberikan informasi terbanyak mengenai hasil suatu percobaan Dalam beberapa percobaan sebaiknyalah mencatat unsur-unsur ruang sampel secara bersistem dengan menggunakan diagram pohon.

Contoh 1.2 Suatu percobaan terdiri atas lantunan suatu mata uang dan kemudian lantunan kedua kalinya bila muncul muka. Bila belakang muncul pada lantunan pertama, maka sebuah dadu digulirkan sekali. Guna mencatat semua unsur ruang sampel yang member informasi terbanyak, kita buat diagram pohon seperti gambar 1.1. sekarang, setiap alur sepanjang cabang pohon itu menyatakan titik sampel yang berlainan. Mulai dari cabang kiri atas dan bergerak kekanan melalui alur pertama, kita peroleh titik sampel MM, yang menunjukkan kemungkinan muncul muka berturut-turut dalam kedua lantunan uang logam. Demikian pula dengan sampel B3 menunjukkan

2

Kemungkinannya uang logam muncul dibelakang diikuti oleh tiga angka pada guliran dadu. Dengan menyelusuri seluruh alur, maka terlihat bahwa ruang sampelnya ialah T = {MM, MB, B1, B2, B3, B4, B5, B6}.

H asil pertam a

H asil kedua M

T itik sam pel M M M B B1 B2 B3 B4 B5 B6

M

B 1 2

B

3 4 5 6

Gambar 1.1 Diagram pohon untuk contoh 1.2 Contoh 1.3 Misalkan tiga barang dipilih secara acak dari hasil suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan sebagai cacat, C, atau takcacat, B. untuk mencatat unsur ruang sampel yang paling banyak member informasi, kita buat diagram pohon seperti gambar 1.2. Sekarang, tiap alur sepanjang pohon itu member titik sampel yang berbeda. Mulai dari alur yang pertama, kita peroleh titik sampel CCC, yang menunjukkan kemungkinan bahwa ketiga barang yang dperiksa cacat. Bila semua alur diperoleh maka kita peroleh ruang sampel. T ={CCC, CCB, CBC, CBB, BCC, BCB, BBC, BBB}. Ruang sampel yang besar atau titik sampelnya takhingga banyaknya lebih mudah ditulis dengan pernyataan atau aturan. Sebagai contoh, bila kemungkinan hasil dari suatu percobaan adalah himpunan kota di dunia yang berpendudu satu juta, maka ruang sampelnya dapat dituliskan sebagai T = {x I x suatu kota yang berpenduduk melebihi satu juta}, Dan dibacaT kumpulan semua x, bila x menyatakan kota yang berpenduduk lebih dari satu juta. Garis tegak yang memisahkan kedua x dibaca bila atau jika. Demikian pula, bila T menyatakan semua titik {x, y} pada batas atau bagian dalam suatu lingkaran berjari-jari 2, dengan pusat di titik asal, maka dapat ditulis T = {(x, y) I x2 + y2 4}

3

Apakah ruang sampel dinyatakan dengan aturan atau daftar, anggotanya akan tergantung pada masalah yang ditangani. Cara aturan mempunyai keuntungan praktis, terutama sekali bila daftarnya panjang sehingga melelahkan menuliskannya.

Barang pertama

Barang kedua

Barang ketiga C B C

Titik sampel CCC CCB CBC CBB BCC BCB BBC

C C

B B C C B

B

B

C B

BBB

Gambar 1.2 Diagram pohon untuk contoh 1.3

1.2 KejadianDalam tipa percobaan n kita mungkin ingin mengetahui munculnya kejadian tertentu dan bukan hasil unsur tertentu dalam ruang sampel. Misalnya kita ingin mengetahuimengenai kejadian A bahwa hasil lantunan suatu dadu dapat dibagai tiga. Ini akan terjadi bila hasilnya merupakanunsur himpunan bagian A = {3, 6} dari ruang sampel T1 dalam contoh 1.1. sebagai contoh selanjutnya, misalnya kejadian D menyatakan jumlah yang cacat lebih dari 1 dalam contoh 1.3. ini akan terjadi bila hasilnya merupakan unsur himpunan D = {CCB, CBC, BCC, CCC} dari ruang sampel T. Tiap kejadian berkaitan dengan sekelompok titik sampel yang membentuk himpunan bagian ruang sampel tersebut. Himpunan bagian ini mewakili semua unsur yang memuat kejadian dapat muncul.

4

Defenisi 1.2 suatu kejadian adalah himpunan dari ruang sampel

Contoh 1.4 Bila diketahui ruang sampel T = {t | t 0}, disini t menyatakan usia dalam tahun suatu komponen mesin tertentu, maka kejadian A bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima adalah himpunan bagian A = {t | 0 t < 5}, Mudah dipahami bahwa suatu kejadian mungkin membentuk himpunan bagian yang meliputi seluruh ruang sampel T, atau bagian dari himpunan dari T yang disebut ruang hampadan dilambangkan dengan , yang sama sekali tidak mempunyai unsur. Sebagai contoh, bila A menyatakan kejadian menemukan suatu organism mikroskopis dengan mata telanjang dalam suatu percobaan biologi maka A = . Begitu pula, bila B = {x | x bilangan genap pembagi 7 } maka B pastilah ruang hampa, karena pembagi 7 hanyalah bilangan ganjil 1 dan 7. Pandanglah suatu percobaan yang mencatat kebiasaan merokok para karyawan suatu pabrik. Suatu kemungkinan ruang sampel dapat berbentuk pengelompokan tiap karyawan dalam kelompok tak perokok, perokok ringan, perokok sedang, atau perokok berat. Ambillah himpunan bagian perokok sebagai suatu kejadian. Maka semua yang tak perokok merupakan kejadian tersendiri, jika himpunan bagian dari T,disebut pelengkap atau komplemen dari himpunan perokok. Defenisi 1.3 Komplemen suatu kejadian A terhadap T ialah himpunan semua unsur T yang tidak termasuk A. Komplemen A dinyatakan dengan lambang A. lambangA. Contoh 1.5 Misalkan R kejadian bahwa suatu kartu merah terambil dari sekotak kartu bridge yang berisi 52 kartu, dan bahwa T menyatakan seluruh kartu. Maka Rkejadian bahwa kartu yang terambilbukan berwarna merah tetapi hitam. Contoh 1.6 Pandanglah ruang sampel T = {buku, rokok, cangkul, montir, temperature, es}. Misalkan A = {rokok, montir, temperatur}. Maka A = {buku, cangkul, es}. Sekarang kita akan membahas operasi yang menyangkut kejadian yang akan Menghasilkan kejadian baru. Kaejadian yang baru ini masih merupakan himpunan bagian dari ruang sampel semula. Misalkan bahwa A dan B dua kejadian berkaitan dengan suatu percobaan. Dengan perkataan lain, A dan B merupakan bagian dari ruang sampel T yang sama. Sebagai contoh, pada lantunan dadu misalkan A kejadian bahwa

5

bilangan genap yang muncul dan B kejadian bahwa bilangan yang lebih besar dari 3 yang muncul. Maka himpunan bagian A = {2, 4, 6} dan B = {4, 5, 6} merupakan himpunan bagian dari ruang sampel T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang sama. Perhatikan bahwa A maupun B akan muncul pada suatu lantunan tertentu bila hasilnya suatu unsur dari himpunan bagian {4, 6}, yang merupakan irisan dari A dan B. Defenisi 1.4 Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B, ialah kejadian yang unsurnya termaasuk dalam A dan B A B, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B. Contoh 1.7 misalkan R kejadian bahwa sesorangyang dipili secara acak selagi makan disuatu warung dekat kampus adalah seorang mahasiswa dan S menyatkan kejadian bahwa seseorang Yang tepilih tinggal diasrama. Kejadian R S menyatakan himpunan semua mahasiswa yang makan diwarung tersebut dan tinggal diasrama. Contoh 1.8 Misalkan P = {a, e, i, o, u} dan Q = {r, s, t}; maka P Q = . yaitu, P dan Q tak mempunyai unsur persekutuan, jadi tidak mungkin muncul serentak. Dalam percobaan statistika tertentu tidak jarang didefenisikan dua kejadian A dan B yang tidak mungkin terjadi sekaligus. Kedua kejadian A dan B seperti itu dikatakan saling meniadakan atau saling terpisah dan dirumuskan sebagai Defenisi 1.5 kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila A B = , yakni, bila A dan B tidak memiliki unsur perseketuan.

Contoh 1.9 Disuatu hotel di Bandung program televises tersedia melalui 8 saluran, tiga diantaranya dari jaringan swasta, dua dari jaringan TVRI, dan satu dari CNN. Dua yang lainnya dari Kualalumpur dan Bangkok. Misalnya seorang tamu hotel menghidupkan televisi tanpa terlebih dahulu memilih saluran. Misalkan A kejadian bahwa programnya berasal dari TVRI dan B kejadian bahwa programnya dari CNN. Karena program televise tidak mungkin berasal dari satu jaringan maka kejadian A dan B tidak mempunyai program yang sama. Karena itu, irisan A B tidak mengandung program, jadi kejadian A dan B saling terpisah. Sering kita ingin mengetahui tentang terjadinya paling sedikit satu dari dua kejadian pada suatu percobaan. Jadi, pada percobaan lantunan dadu, bila A = {2, 4, 6} dan B = { 4, 5, 6}, misalnya ingin diselidiki terjadinya salah satu dari A atau B dan B keduanya merupakan unsur himpunan bagian {2, 4, 5, 6}

6

Defenisi 1. 6 Gabungan dua kejadian a dan b, dinyatakan dengan Lambang A U B, ialah kejadian yang mengandung semu a unsur yang termasuk A dan B atau keduany. Contoh 1. 10 Misalkan A = {a, b, c} dan B = {b, c, d, e}; maka A U B = {a, b, c, d, e} Contoh 1.11 Misalkan P kejadian bahwa seorang karyawan yang dipilih secara acak pada suatu perusahaan pengeboran minyak perokok. Misalkan Q kejadian bahwa karyawan yang terpilih Pentium alcohol. Maka kejadian P U Q merupaklan himpunan semua karyawan yang perokok atau peminum, atau kedua-duanya. Contoh 1. 12 Bila M = {x | 3 < x < 9} dan N = {y | 5 < xy< 12}, maka M U N = {z| 3 < z < 12} Hubungan antara kejadian dan ruang sampel padanannya dapat digambarkan sebagai empat persegi panjang dan dinyatakan sebagai lingkaran dai dalamnya. Jadi, digambar 1.3 terlihat bahwa Jelas bahwa titik sampel persekutuan kejadian A dan C hanyalah kedua as merah( as heart dan as diamond). Hasil berikut mudah diturunkan dari defenisi diatas dan dapat dioeriksa dengan mudah dengan bantuan diagram Venn.

s Gambar 1.3 Kejadian dinyatakan dengan berbagai daerah A B = daerah 1 dan 2, B C = daerah 1 dan 3, AUC = daerah 1, 2, 3, 4, 5, dan 7, B A = daerah daerah 4 dan 7, AB C = daerah 1 (A U B C) = daerah 2, 6, 7,

7

dan seterusnya. Di gambar 1.4 terlihat bahwa kejadian A , B, C, ketiganya adalah himpunan bagian dari runag T. juga jelas terlihat nbahwa kejadian B adalah himpunan bagian dari kejadian A, kejadian B C tidak berunsur dan kejadian A U B = A. jadi gambar 1.4 dapat dipakai untuk menggambarkan keadaan seseorang menarik sebuah kartu secara acak dari sekotak 52 kartu dan mengamati terjadinya kejadian berikut : A B C : kartu ditarik berwarna merah : kartu yang ditarikjack, quenn, atau king diamond : kartu yang ditarik as.

A

B C

Gambar 1.4 Kejadian pada ruang T Jelas bahwa titik sampel persekutuan kejadian A dan C hanyalah kedua as merah ( as heart dan as diamond). Hasil berikut mudah dturunkan dari defenisi di atas dan dapat diperiksa dengan mudah dengan bantuan diagram Venn. 1. A B = 2. A U = A 3. A A = 4. A U A = T 5. T = 6. S= T 7. (A)= A 8. (A B) = A U B 9. (A U B) = A B

8

Soal1 Tuliskan anggota tiap ruang sampel berikut: a himpunan bilangan bulat antara 1 dan 50 yang habis dibagi 8; b himpunan T = {x | x2 + 4x 5 = 0}; c himpunan hasil bial sebuah mata uang dilantunkan sampai belakang muncul atau sampai tiga muka muncul; d himpunan T = {x | x benua}; e himpunan T = {x | 2x 4 0 dan x < 1}; Gunakan cara aturan atau pernyataan untuk menjelaskan ruang sampel T yang terdiri atas semua titik dalam kuadran pertama di dalam satu lingkaran berjari jari 3 dengan pusat titik asal. Yang mana dari kejadian berikut yang sama? a A = {1,3}. b B = { x | x bilangan pada suatu dadu} c C = {x | x2 4x + 3 = 0}. d D = { x | x jumlah muka yang muncul bila enam mata uang dilantunkan}. Dua dadu dilantunkan, satu berwarna merah sedangkan yang satu lagi berwarna hijau, dan hasilnya dicatat. Bila x menyatakan hasil pada dadu hijau dan y pada dadu merah, nyatakanlah ruang sampel T a dengan menuliskan unsur (x,y); b dengan menggunakan cara aturan. Suatu percobaan terdiri atas pengguliran suatu dadu dan kemudian melantun uang logam satu kali bila angka yang muncul pada dadu genap. Bila angka pada dadu ganjil, mata uang tadi dilantunkan dua kali. Dengan menggunakan lambing 4M, misalnya, untuk menyatakan kejadian bahwa pada dadu memberi angka 3 diikuti oleh muka dan kemudian belakang pada dadu, buatlah diagram pohon untuk menunjukkan ke 18 unsur dalam ruang sampel T. Dua juri dipilih dari 4 calon pada suatu perlombaan. Dengan menggunakan lambing C1C3, misalnya, untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa calon 1 dan 3 yang terpilih, tuliskanlah ke 6 unsur ruang sampel T.

2

3

4

5

6

7 Empat mahasiswa dipilih secara acak dari suatau kuliah kimia. Tuliskanlah unsur dari ruang sampel T1 dengan menggunakan huruf P untuk pria dan W untuk wanita. Nyatakan ruang sampel kedua dengan T2 yang unsur unsurnya adalah banyaknya wanita yang terpilih dan kemudian tuliskanlah unsur unsurnya. 8 Untuk ruang sampel di soal 4, a tuliskanlah unsur unsur kejadian A bahwa jumlahnya lebih besar dari 8; b tuliskanlah unsur unsur kejadian B bahwa angka 2 muncul pada salah satu atau kedua dadu.

9

c tuliskan unsur unsur kjadian C bahwa angka yang lebih besar dari 4 muncul pada dadu hijau; d tuliskan unsur unsur kejadian A C; e tuliskan unsur unsur kejadian A B; f tuliskan unsur unsur kejadian B C; g buatlah diagram venn untuk melukiskan irisan dan gabungan kejadian A, B, dan C. 9 Untuk ruang sampel soal 5, a tuliskanlah unsur unsur kejadian Abahwa angka yang lebih kecil dari 3 muncul pada dadu; b tuliskan unsur unsur kejadian B bahwa belakang muncul 2 kali; c tuliskan unsur unsur kejadian A; d tuliskan unsur unsur kejadian A B; e tuliskan unsur unsur kejadian A U B; 10 Tiga wanita dipilih secara acak untuk ditanya apakah mereka mencuci pakaiannya degan sabun merek X. a tuliskanlah anggota ruang sampel T dengan menggunakan huruf Y untuk ya dan B bukan; b tuliskan anggota T yang berkaitan dengan kejadian E bahwa paling sedikit dua wanita menggunakan sabun X; c tentukanlah kejadian yang beranggotakan titik {YYY, BYY, YYB, BYB}. 11 Surat lamaran dua orang pria untuk jabatan di suatu perusahaan diletakkan dalam suatu map yang sama dengan surat lamaran dua orang wanita. Ada dua jabatan yang lowong, yang pertama jabatan direktur dipilih secara acak dari keempat pelamar. Jabatan kedua, wakil direktur, dipilih secara acak dari ketiga sisanya. Dengan menggunakan lambang P2W1, misalnya, untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa jabatan pertama diisi oleh pelamar pria kedua dan jabatan yang kedua diisi oleh pelamar wanita pertama, a Tuliskanlah anggota ruang sampel T; b Tuliskanlah anggota T yang berkaitan dengan kejadian A bahwa lowongan direktur diisi oleh pelamar pria; c Tuliskanlah anggota T yang berkaitan dengan kejadian B bahwa tepat satu dari dua lowongan diisi oleh pelamar pria; d Tuliskanlah anggota T yang berkaitan dengan kejadian C bahwa tidak ada lowongan yang diisi oleh pelamar pria; e Tuliskanlah anggota T yang berkaitan dengan kejadian A B; f Tuliskanlah anggota T yang berkaitan dengan kejadian A U C; g Buatlah diagram venn yang memperlihatkan irisan dan gabungan kejadian A, B, dan C. 12 Seorang pengusaha dari Arab Saudi memutuskan menanam sejumlah besar uang dalam real estate. Empat daerah Sumatra Utar, Jawa Barat, Bali, dan Lombok,

10

dipertimbangkan untuk pembuatan hotel, motel, dan kondominium, semuanya akan terletak ataukah di pantai atau daerah peristirahatan di pegunungan. Dengan menggunakan lambang Smg, misalnya, untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa pengusaha memilih Sumatra Utara sebagai tempat mendirikan motel di pegunungan, buatlah diagram pohon yang menunjukkan ke 24 unsur ruang sampel. 13 Buatlah diagam venn yang menggambarkan kemungkinan irisan dan gabungan nisbi kejadian berikut terhadap ruang sampel T yang terdiri atas semua mahasiswa ITB: S : mahasiswa tingkat sarjana, M : mahasiswa dari jurusan matematika, W : mahasiswa seorang wanita. 14 Bila T = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan A = {0,2,4,6,8}, B = {1,3,5,7,9}, C = {2,3,4,5} dan D {1,6,7}, tuliskan anggota himpunan yang berkaitan dengan kejadian a A U C; b AB c C; d (C D) U B; e (T C); f A C D; 15 Pandanglah ruang sampel T = {tembaga, natrium, nitrogen, kalium, uranium, oksigen, seng} dan kejadian A = {tembaga, natrium, seng}, B = {natrium, nitrogen, kalium}, C = {oksigen}, Tuliskanlah anggota himpunan yang berkaitan dengan kejadian berikut: a A; b A U C; c (A B) U C; d B C; e A B C; f (AU B) (A C). 16 Bila S = {x| 0 < x < 12}, M = {x | 1 < x < 9}, dan N = {x | 0 < X < 5}, carilah a M U N; b M N; c MN; 17 Misalkan A,B dan C kejadian nisbi terhadap ruang sampel T. Dengan menggunakan diagram Venn, arsirlah daerah yang menyatakan kejadian berikut: a (A B); b (A U B); c (A C) U B.

11