BAB IPROBABILITAS

1.1 Pendahuluan

Tugas statistika baru dianggap selesai jika kita berhasil mempertangung jawabkan tentang sifat atau karakteristik populasi. Untuk membuat kesimpulan tentang populasi ini, umumnya penelitian secara sampling dilakukan. Jadi sampel yang representative diambil dari populasi lalu datanya dikumpulkan dan dianalisis. Atas dasar analisis ini dan berbagai pertimbangan yang perlu, dibuat kesimpulan bagaimana karakteristik populasi tersebut. Jelas bahwa kesimpulan yang dibuat, kebenaranya tidak pasti, sehingga timbul persoalan bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang dibuat, yakinkah 100% bahwa kesimpulan yang dibuat itu benar, atau ragu-raugkah untuk mempercayainya? Untuk itu diperlukan teori yang disebut peluang, yang antara lain membahas tentang ukuran atau derajat ketidak pastian suatu peristiwa .

1.2 Ruang SampelDalam setiap sisi kehidupan, setiap orang melakukan suatu tindakan atau usaha untuk mendapatkan suatu hal yang diharapkan. Tindakan ini dilakukan dengan melakukan suatu percobaan. Dari percobaan yang dilakukan, terdapat berbagai kemungkinan hasil yang bisa diperoleh. Bentuk kemungkinan kejadian yang dapat terjadi dari hasil percobaan yang dilakukan disebut sebagai titik sampel. Apabila dibentuk suatu koleksi atau himpunan dari titik sampel, maka himpunan tersebut dinamakan ruang sampel. Definisi 1.1 Percobaana. Suatu bentuk usaha atau tindakan atau kegiatan pengamatan disebut sebagai percobaanb. Kemungkinan dari hasil percobaan disebut sebagai titik sampelc. Himpunan dari titik sampel disebut sebagai ruang sampel

Contoh 1.1:Jika sekeping mata uang logam dilambungkan dan kita beri nama sisinya dengan muka (M) sedang sisi yang lain kita beri nama bealakang (B). Tentukan :a. Jenis percobaanb. Titik sampelc. Ruang sampelSolusi:a. Dalam kasus ini, jenis percobaan adalah usaha/tindakan mengetos sekeping uang logam.b. Kemungkinan dari hasil percobaan ini adalah, munculnya muka (M) atau belakang (B)

sehingga titik sampel adalah M dan B.c. Sedangkan apabila keseluruhan titik sampel ini dikumpulkan dalam suatu himpunan,

misal dengan nama S, maka himpunan S ini dinamakan ruang sampel. Jadi ruang samplelnya adalah S={M,B}.

Contoh 1.2Jika sebuah dadu dan sebuah koin dilambungkan, maka tentukana. Titik sampelb. Ruang sampel

Solusi:a. Untuk membentuk titik sampel, berikut dibuatkan tabel sebagai berikut:

1 2 3 4 5 6M M1 M2 M3 M4 M5 M6B B1 B2 B3 B4 B5 B6

b. Maka ruang sampelnya adalah S = {M1, M2, M3, M4, M5, M6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}

Contoh 1.3:Tentukan ruang sampel dari percobaan yang terdiri dari lantunan sebuah mata uang logam kemudian lantunan keduanya kalinya, jika muncul muka, jika belakangan yang muncul pada lantunan pertama, maka sebuah dadu ditos sekali!Solusi:Untuk menjawab pesoalan ini, sebaiknya memakai diagram pohon sebagai berikut:

Dari diagram tersebut diperoleh ruang sampel S = {MM, MB, B1, B2, B3, B4, B5, B6)

Contoh 1.4:Tiga barang dipilih secara acak dari suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan sebagai “cacat” C, atau “tidak cacat” T. Tentukan ruang sampelnya. Solusi:Untuk menjawab persoalan ini juga sebaiknya memakai diagram pohon sebagai berikut:

Jadi, ruang sampelnya adalah S=

1.3 KejadianDalam suatu percobaan, kita mungkin ingin mengetahui kejadian tertentu dan bukan hasil unsur tertentu dalam ruang sampel. Misalnya, ingin mengetahui mengenai kejadian A bahwa hasil lantunan satu dadu sekali adalah bilangan genap. Ini akan terjadi, jika hasilnya merupakan unsur himpunan bagian, yaitu A = { 2, 4, 6 } dari ruang sampel S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Definisi 1.2 KejadianHimpunan dari suatu pengamatan tertentu pada ruang sampel disebut kejadian dan kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

1.4 Komplemen Dari Kejadian Definisi 1.3 KomplemenKomplemen suatu kejadian A dari ruang sampel S adalah himpunan semua usur S yang tidak termasuk A. Kompplemen A dinyatakan dengan lambang A’ atau A0.

Contoh 1.5 :Misalnya B adalah kejadian bahwa suatu kartu merah terambil dari sekotak kartu Bridge yang berisi 52 kartu, dan bahwa S menyatakan seluruh kartu. Maka B’ adalah kejadian bahwa kartu yang terambil bukan bewarna merah, tetapi hitam.

1.5. Irisan Dua KejadianDefinisi 1.4 Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan AB, ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B.

Contoh 1.6: Dua buah dadu ditos, A adalah kejadian bahwa dua mata dadu yang muncul berjumlah 7, sedangkan B adalah kejadian bahwa dua mata dadu yang muncul hasil kalinya 12. Maka A=

, sedangkan B= . Sehingga, AB =

Jika A dan B tidak mempunyai irisan, maka kejadian A dan B disebut kejadian saling meniadakan.

Contoh 1.7: Pada pengetosan dua dadu di atas, jika C adalah kejadian bahwa yang muncul mata dadu berjumlah 5 dan D adalah kejadian yang muncul mata dadu berjumlah 3, maka C=

dan D= disini terlihat bahwa CD= . Jadi kejadian C dan kejadian D adalah saling meniadakan.Definisi 1.5Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang AB, adalah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.

Contoh 1.8: A= , dan B= ,maka AB= .

1.6 Menghitung Titik Sampel Definisi 1.6 Kaidah PerkalianJika ada m cara yang berbeda dan ada pristiwa lain terjadi dengan n cara yang berbeda, maka kedua pristiwa ini dapat terjadi dengan (m x n) cara.

Contoh 1.9:Amir akan pergi dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko. Dari Selong ke Korleko terdapat tiga jalur, sedangkan dari Korleko ke Pringgabaya ada dua jalur. Berapakah banyak rute berbeda yang dapat ditempuh Amir dari Selong ke Pringgabaya ? Solusi:Untuk menjawab persoalan ini dibuatlah diagram sebagai berikut:

Kemudian dibuat diagram pohon sbb:

Sehingga diperoleh 6 rute yang dapat ditempuh oleh Amir dari Selong ke Pringgabaya.

Berdasarkan analisis tersebut, ada 3 cara yang berbeda dari S ke K, dan ada 2 cara yang berbeda dari K ke P, maka aka diperoleh 3x2 = 6 cara yang berbeda dari S ke P. Definisi 1.7 Prinsip penjumlahan Jika ada m peristiwa yang berbeda atau n peristiwa yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan m + n cara yang berbeda.

Contoh 1.10:Selain lewat Korleko, rute dari Selong ke Pringgabaya juga dapat melalui Wanasaba, maka Amir pergi dari Selong ke Pringgabaya bisa lewat Korleko atau lewat Wanasaba. Jika dari Selong ke Wanasaba ada 2 rute dan dari Wanasaba ke Pringgabaya ada 2 rute juga, maka berapa banyaknya jalan yang berbeda yang dapat ditempuh Amir dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko atau lewat Wanasaba?Solusi:Persoalan di atas diselesekan dengan prisip penjumlahan, yaitu dengan diagram sebagai berikut :

Dari diagram tersebut diperoleh hasil sebagai berikut:Dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko terdapat 6 jalan yang berbeda atau dari Selong ke Pringgabaya lewat Wanasaba terdapat 4 jalan yang berbeda. Jadi, banyaknya jalan (rute) yang dapat ditempuh Amir dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko atau lewat Wanasaba ada : 6 + 4 = 10 rute.

1.7 Pengisian Tempat Tersedia (Filling Slots)Contoh 1.11:Dari angka-angka 2,3,4,5 akan dibuat bilangan-bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan berapa banyaknya bilangan yang terjadi ! Solusi:Untuk menjawab persoalan ini digunakan prinsip pengisian tempat kosong. Pertama kali dibuat diagram pohon sebagai berikut:

Dari diagram pohon tersebut terdapat 24 bilangan. Untuk mempersingkat pekerjaan, maka penyelesaian dapat dibuat dengan cara buat kotak sebagai berikut:

Ada 4 pilihan Ada 3 pilihan Ada 2 pilihan

Jika dikalikan, maka akan diperoleh 4 x 3 x 2 = 24 bilangan yang terjadi1.8 Faktorial

Definisi 1.8n! adalah perkalian bilangan asli dari 1 sampai dengan n n! = 1 x 2 x 3 x …. x (n-2) x (n-1) x n = n x (n-1) x (n-2) x …. x 3 x 2 x 1dan 0! didefinisikan sebagai 1

4

Contoh 1.12:a. 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

b. = = 6 x 5 = 30

1.9 PermutasiDefinisi 1.9Permutasi adalah susunan obyek-obyek dengan memperhatikan letak susunannya.

Contoh 1.13 :Dari huruf A, B, C akan disusun menjadi tiga susunan yang berbeda. Maka susunan yang terjadi adalah:

Jadi, banyaknya susunan yang terjadi ada 6 susunanTeorema 1.1Banyaknya permutasi dari suatu himpunan unsur-unsur yang berlainan diambil seluruhnya pengambilan tanpa pengembalian = n!

Bukti:Bukti dalil ini diperoleh dari prinsip pengisian tempat tersedia (filling slots) dan prinsip perkalian. Untuk keperluan ini diperlukan n kolom, karena banyak unsur ada n buah. Kolom ke- 1 diisi n, kolom ke- 2 diisi (n-1), kolom k- 3 diisi (n-2), dan seterusnya sampai kolom ke- n diisi dengan 1. sehingga dengan menggunakan prinsip perkalian diperoleh n x (n-1) x (n-2) x …x 3 x 2 x 1 = n!Banyaknya permutasi dari n unsur yang berbeda diambil seluruhnya bersama-sama pengambilan tanpa pengembalian disimbolkan dengan = (n)n = n!Sekarang akan dibahas permutasi dari n unsur yang berlainan, tetapi tidak diambil seluruhnya, atau dengan kata lain diambil sebagian saja pengambilan tanpa pengembalian.

Contoh 1.14:Ada beberapa cara memilih 3 buah kaset dari 7 kaset yang berbeda, kemudian disusun pada sebuah tempat kaset.Solusi:Misalkan kase-kasetnya A, B, C, D, E, F, dan GPengambilan kaset ke-1 terdapat 7 cara, Pengambilan kaset ke-2 terdapat 6 cara,Pengambilan kaset ke-3 terdapat 5 cara;

Sehingga banyaknya cara mengambil 3 kaset tersebut terdapat 7 x 6 x 5 = 210 cara. Dan hasil yang diperoleh ini dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Ternyata 210 = 7x6x5 = = =

Hasil akhir tersebut dapat ditulis dengan atau p . Jadi, (7) = P = 7 x 6 x 5 = 210Definisi 1.10: Suatu susunan yang terdiri dari n unsur yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsur (r n) disebut suatu permutasi dari n unsur yang diambil dari r unsur setiap waktu. Banyaknya permutasi semacam ini ditimbulkan dengan P dimana (r n ).

Teorema 1.2Banyaknya permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda diambil r unsur setiap waktu tanpa pengembalian atau diambil r unsur tanpa ulangan adalah:

P =

Bukti:Bukti dalil ini juga menggunakan prinsip perkalian dan pengisian tempat tersedia, yaitu:

N (n-1) (n-2) … n-(r-2) n-(r-1)Pengisian kotak pertama terdapat n caraPengisian kotak kedua terhadat (n-1) cara Pengisian kotak ketiga terdapat (n-2) cara

.

.

.Pengisian kotak terakhir (ke-r) terdapat (n-(r-1)) caraJadi terdapat sebanyak n x (n-1) x (n-2) x …x (n-(r-2)) x (n-(r-1))

Dikalikan dengan diperoleh

=

Contoh 1.15: Tentukan banyaknya nomor kendaraan yang terdiri dari empat angka berlainan, disusun dari angka-angka 1,2,3,4,5,6.

Solusi: Banyaknya nomor kendaraan tersebut adalah

= = = = 6x5x4x3 = 360

1.10. Permutasi jika ada beberapa elemen yang sama

Teorema 1.3:Jika suatu kumpulan yang terdiri dari n unsur terdapat unsur-unsur yang sama, misalkan : n1 unsur jenis ke-1n unsur jenis ke-2n unsur jenis ke-3 .

.

.n unsur jenis ke-k,

maka banyaknya permutasi dari n unsur seluruhnya menjadi =

dimana

Bukti :Jadi semua unsurnya berbeda, maka banyaknya permutasi seluruhnya ada n!Oleh karena terdapat unsur-unsur yang sejenis, yaitu :Unsur-unsur jenis ke-1 yang banyaknya n , pemutasinya n !Unsur-unsur jenis ke-2 yang banyaknya n , pemutasinya n !Unsur-unsur jenis ke-k yang banyaknya n , pemutasinya n !

Sehingga, banyaknya permutasi adalah

Contoh 1.16:Tentukan banyaknya susunan huruf-huruf yang dapat disusun dari kata MATEMATIKA.Solusi:Semua terdapat 10 hurufHuruf M sebanyak 2 buahHuruf A sebanyak 3 buahHuruf T sebanyak 2 buah Jadi, banyaknya susunan huruf =

1.11Permutasi SiklisDefinisi 1.11Permutasi siklis adalah permutasi dengan susunan melingkar

Contoh 1.17:Sebuah Toko sepatu akan memajang tiga buah sepatu merek A, B, C sebagai etalase dengan susunan melingkar. Berapa banyaknya susunan yang dapat dibentuk ?Solusi:Untuk menjawab persoalan di atas, maka perlu gambar sebagai berikut:

Jadi, terdapat susunan = 2!

Teorema 1.4Banyaknya permutasi dari n unsur yang berbeda diambil seluruhnya dan disusun secara melingkar adalah (n-1)! Cara

Bukti :Ambil salah satu unsur sebagai pangkal, maka (n-1) unsur sisa akan mengadakan permutasi penuh yang banyaknya (n-1)!. Jadi, banyaknya permutasi seluruhnya = (n-1)!

1.12 KombinasiDefinisi 1.12Kombinasi adalah susunan obyek yang tidak memperhatikan urutan susunanya

Jika huruf-huruf A, B, C dikombinasikan, maka akan diperoleh ABC, BCA, CABTeorema 1.5Banyaknya kombinasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda,

diambil r unsur yang berbeda adalah

1.13 Peluang Suatu Kejadian Definisi 1.13Peluang kejadian A ditulis P(A) adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi, P(Q)=0, dan P(S)=1

Contoh 1.18: Sebuah mata uang dilantunkan dua kali. Berapakah peluangnya bahwa paling sedikit muncul gambar sekali ?

Solusi : Ruang sampel untuk pecobaan ini adalah S= dimana A = kejadian muncul maka angka, dan G = kejadian muncul maka gambar. Jika mata uang tersebut setakup, maka tiap hasil mepunyai kemungkinan muncul yang sama. Kerena itu tiap titik sampel diberi bobot b, sehingga 4b = 1 atau b = ¼. Jika A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu gambar muncul, maka A = . Jadi, P(A) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾

Teorema 1.6

Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan jika tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A

adalah : P(A) =

Contoh 1.19: Pada pengetosan dua buah dadu tentukan peluang muncul mata dadu berjumlah 10.

Solusi :N = 36. misalnya, A kejadian muncul mata dadu berjumlah 10, maka A =

disini didapat n = 3. Sehingga, P(A) = . Jadi peluang muncul mata dadu

berjumlah 10 adalah 1/12.

1.14 Peluang Aturan Pejumlahan Teorema 1.7JIka A dan B dua kejadian sembarang, maka P

Bukti :

Diperoleh :P =P(A terjadi tetapi B tidak) + P(B terjadi tetapi A tidak) + P(AB)…..….…(1) P(A)=P(A terjadi tetapi B tidak) + P(AB)....……………………………...……..…….(2)P(B)=P(B terjadi tetapi A tidak + P(A B) .…………..............................................(3)(2) dan (3) disubtitusikan ke (1), maka diperoleh :P = P(A) - P(A B) + P(B) - P(A B) + P(A B) P = P(A) + P(B) - P(A B)

Akibat 1.1 : Jika A dan B dua kejadian saling terpisah, maka P =P(A) + P(B).

Akibat 1.2Akibat 2 : Jika A , A , A …. A saling terpisah, makaP(A1,A2,A3,. . . . An)=P(A1) + P(A2) + P(A2) + . . . + P(An)

Contoh 1.20:

A B

S

Tentukan peluang mendapatkan jumlah 7 atau hasil kali 12, jika dua dadu dilantunkan sekali ?

Solusi:

Misalnya, A kejadian memproleh jumlah mata dadu 7, maka P(A)= , dan B adalah kejadian

memperoleh hasil kali dadu 12, maka P(B)= , sedangkan P(AB ) = Sehingga

P( A B ) =

Contoh 1.21: Berapakah mendapatkan jumlah 7 atau 11 jika dadu dilantunkan?

Solusi:

Misal C = kejadian jumlah 7 muncul, maka P(C ) = , dan

D = kejadian jumlah 11 muncul, maka P(D) = , dan karena CD = , maka kejadian C

dan D saling terpisah, sehingga P(CD) =

Teorema 1.8Jika A dan A’ kejadian yang berkomplemen, maka P(A) + P(A’)=1

Bukti:Karena A A’=S dan himpunan A saling terpisah dengan A’, maka 1=P(S)=P(A A’)=P(A) + P(A’). Jadi, P(A) = 1-P(A’).

Contoh 1.22: Jjika tiga uang logam ditos sekali, tentukan berapakah peluang paling sedikit muncul satu angka ?Solusi: N = 8. Misalnya A kejadian muncul paling sedikit satu angka, maka A’ adalah kejadian tidak

ada angka yang muncul, sehingga P(A’) = . Jadi P(A) = 1- = .

1.15 Peluang BersyaratDefinisi 1.14Peluang terjadinya suatu kejadiaan B, jika diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan

P(B/A) = , jika P(A) > 0

Contoh 1.23: Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMU di kota selong. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut:

Jenis kelamin Bekerja Tak Bekerja

Lelaki 460 40

Wanita 140 260

Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke luar daerah. Akan diteliti kejadian:M : lelaki yang terpilihE : orang yang terpilih dalam status bekerjaSolusi:

P(E) = dan P(EM ) = .

Jadi, P(M / E) =

Definisi 1.15Kejadian A dan B bebas, jika dan hanya jika, P(AB) = P(A).P(B)

Contoh 1.24:Sebuah dadu ditos sekali, berapakah peluangnya mendapat jumlah 7 dan 11 ?

Solusi:Pada soal terdahulu sudah dihitung bahwa P(jumlah 7) = 6/36= 1/6 dan P(jumlah 11) = 2/36 = 1/18. Akibatnya diperoleh P(jumlah 7 dan jumlah 11 ) = 1/6 1/18 = 1/108

1.16 Aturan Bayes Teorema 1.9Misalkan {B1, B2, …., Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1,2,…, n. misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) 0, maka untuk k = 1,2,3,…,n.

P(Bk |A) =

Contoh 1.25:Akan dipilih tiga orang menjadi ketua HMJ. Peluang Agus terpilih menjadi ketua adalah 0.3, peluang Dimas terpilih 0,5 sedangkan peluang Dilla terpilih adalah 0,2. jika Agus terpilih, maka peluang terlaksananya program penghijauan adalah 0,8. sedangkan untuk Dimas dan Dilla berturut-turut adalah 0,1 dan 0,4. berapakah peluang Dilla terpilih menjadi ketua, jika ternyata bahwa sekarang pogram penghijauan telah terlaksana ?

Solusi:Misal A = kejadian orang yang terpilih melaksanakan program penghijauan

B1 = kejadian Agus yang terpilihB2 = kejadian Dimas yang terpilihB3 = kejadian Dilla yang terpilihBerdasarkan aturan Bayes:

P(B3|A) =

P(B1|A) = P(B1).P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24P(B2|A) = P(B2).P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05P(B3|A) = P(B3).P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,0

Jadi, P(B3|A) =

1.17. Rangkuman 1. Himpunan semua kejadian yang mungkin dalam suatu percobaan disebut ruang sampel2. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian3. Ruang nol atau ruang hampa adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak

mengandung unsur4. Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan AB, ialah kejadian yang unsurnya

termasuk dalam A dan B5. Dua kejadian A dan B saling terpisah, jika AB = 6. Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang AB, ialah kejadian yang

mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya7. Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur yang tidak

termasuk A.8. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan untuk tiap cara ini operasi kedua

dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi ini dapat dikerjakan bersama-sama dalam n1.n2 cara.

9. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan untuk tiap cara ini operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya. Maka deretan k operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dalam n1.n2.n3….nk

10. Suatu permuasi ialah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

11. Banyaknya permutasi n obyek yang berlainan adalah n!12. Banyak permutasi n benda berlainan jika dambil r benda sekaligus adalah;

nPr =

13. Banyak permutasi n obyek berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!14. Banyak permutasi berlainan dari n obyek jika n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis

kedua,….nk berjenis ke k adalah

15. Kombinasi dari n obyek yang berbeda adalah susunan dari n obyek itu dengan tidak memperhatikan urutannya

16. Banyaknya kombinasi N obyek yang berbeda jika diambil r obyek adalah:

17. nKr =

18. Peluang suatu kejadian A adalah bobot semua titik sampel yang termasuk A.19. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemunkinan sama, dan

jika tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A

adalah: P(A) =

20. Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)21. Jika A dan B dua kejadian yang terpisah, maka P(AB) = P(A) + P(B)22. Jika A1, A2, A3,..., An kejadian-kejadian ang terpisah, maka:23. P(A1A2A3…An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …. + P(An)24. Jika A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A) = 1-P(A’)

25. Peluang bersyarat B dengan diketahui A, dinyatakan dengan P(B|A) =

26. Jika A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P(AB) = P(A) P(B|A)27. Kejadian A dan B bebas, jika dan hanya jika, P(AB) = P(A)P(B)28. Aturan Bayes

Misalkan {B1,B2,….,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(B) 0 untuk i = 1,2,….,n. misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) 0, maka untuk k = 1,2,3,….,n.

P(Bk|A) =

1.18 Soal Latihan

1. Dari angka-angka 2,3,4,6,7, dan 9 akan disusun menjadi bilangan yang terdiri dari 3 angka yang berbeda.a. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadib. Tentukan banyaknya bilangan yang lebih dari 350c. Tentukan banyaknya bilangan ganjil

2. Tiga gadis dan empat orang jejaka duduk berjajar. Tentukan cara mereka duduk, jika:a. Duduknya sembarang b. Gadis kumpul dengan gadisc. Jejaka kumpul dengan jejakad. Gadis kumpul dengan gadis dan jejaka kumpul dengan jejakae. Tidak ada gadis duduk berdekatan dengan gadis

3. Pada suatu ujian disediakan 12 pertanyaan, setiap peserta ujian cukup memilih 10 soal. Ali mengikuti ujian ini. Ada berapa cara dia mengerjakannya, jika:a. Tanpa syaratb. Tiga soal yang pertama wajib dikerjakanc. Dapat memilih 4 soal dari 5 soal yang pertamad. Soal nomor 1,3,5, dan 10 wajib dikerjakan

4. Dua dadu dilantunkan sekalia. Berapakah peluang mendapatkan peluang 5b. Berapakah peluag paling banyak jumlahnya 4

5. Dalam permainan poker, suatu tangan bersisi lima kartu. Berapakah peluangnya mengandung:a. Dua as dan dua kingb. Lima klaper

6. Jika tiga buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair, dan sebuah kamus, berapakah peluangnya bahwa:a. Kamus terpilihb. Dua novel dan sebuah uku syair yang terpilih

7. Kota Selong mempunyai dua mobil pemadam kebakaran ang bekerja saling bebas. Peluang suatu mobil tertentu tersedia jika diperlukan adalah 0,99. berapakah:a. Peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukanb. Peluang satu mobil tersedia bila diperlukan

8. Dari 100 siswa SMU 10 Selong yang diwisuda, 42 belajar Matematika, 68 belajar Biologi, 54 belajar Sejarah, 22 belajar Matematika dan Sejarah, 25 belajar Matematika dan Biologi, 7 belajar Sejarah dan tidak belajar Matematika maupun Biologi, 10 belajar ketiga mata pelajaran tersebut, dan 8 tidak belajar satupun dari ketiga pelajaran tersebut. Jika seorang siswa dipilih secara acak, hitunglah:a. Peluang dia belajar sejarah dan biologi tapi tidak matematikab. Peluang bahwa jika dia beljar sejarah, dia belajar ketiga mata pelajaranc. Peluang dia hanya beljar matematika

9. Peluang seorang pemain bola basket memasukkan bola adalah 50%. Berapakah peluangnya memasukan tiga dari empat tembakan bola

10. Misalkan bola berwarna terbagi dalam tiga kotak yang sama sebagai berikut: Warna Kotak I Kotak II Kotak III

Merah 2 4 3

Putih 3 1 4

Hitam 5 5 3

Satu kotak dipilih secara acak dan dari dalamnya diambil sebuah bola secara acak dan ternyata berwarna merah. Berapakah peluang kotak III yang terambil ?