MATRIKS Oleh : Joko Tri Haryanto SMA N 3 Magelang

MATRIKS

1. Definisi MatriksMatriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

2. Notasi / Nama suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D,......

3. Ordo atau Ukuran Suatu MatriksOrdo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom matriks itu. Ordo suatu matriks A dengan banyak baris m dan banyak kolom n dinyatakan: A ( m x n ) atau Amxn.

4. Eleman atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan ( real atau kompleks ) yang menyusun matriks itu.

Contoh matrik

a11 a12 … a1n baris-1

A =

a21 a22 … a2n baris-2

... ... … ... ……

am1 am2 … amn baris ke-m

k1 k2 ... kn

Pada matriks A, berordo m x n, dan seterusnya. Pada matriks A banyak elemen : m x n

a11 : elemen baris 1 dan kolom 1

a12 : elemen baris 1 dan kolom 2

a21 : elemen baris 2 dan kolom 1 dst.

1 0 -3

B = 5 6 -9

12 8 2

Pada matriks B berordo 3 x 3 Pada matriks B banyak elemen 3 x 3 = 9

0 : elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2

-9 : elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-3

12 : elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-1

8 : elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2

5. Jenis Matriks a. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang berordo ( 1 x n ) atau matriks yang terdiri dari satu baris dan memuat n elemen.

Contoh:

A = ( 6 -9 0 2 ), B = ( 1 -13 )

b. Matriks Kolom

Matriks kolom atau matriks lajur adalah matriks yang berordo ( m x 1 ) atau matriks yang terdiri satu kolom dan memuat m elemen.

Contoh:

2

4

C = -7 , D =

1

1

c. Matriks NolMatriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.

Contoh: 0 0 0

E = ( 0 0 0 ) , F =

0 0 0

d. Matriks PersegiMatriks persegi adalah matriks yang berordo ( m x n ) dengan m = n, atau matriks berordo (n x n ) atau matriks berordo n, atau matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolom.

Contoh: Diagonal samping

1 3 4

H = -9 12 1

0 7 0

Diagonal utama

Matriks H memiliki elemen-elemen pada diagonal utama yaitu 1, 12, 0 dan elemen-elemen pada diagonal samping yaitu 0, 12, 4.

e. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks berordo n yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya semuanya nol, atau elemen-elemen di atas diagonal utamanya semuanya nol.

Contoh:

1 3 12

J = 0 -4 4

0 0 2

f. Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks berordo n yang elemen-elemen di bawah dan di atas diagonal utamanya semua nol.

Contoh:

2 0 0

M = 0 -5 0

0 0 4

g. Matriks IdentitasMatriks identitas dilambangkan I adalah matriks berordo n yang semua elemen-elemen pada diagonal utamanya 1 dan semua elemen-elemen yang lain nol. Matriks identitas juga disebut matriks satuan.

Contoh:

1 0 0

I = 0 1 0

0 0 1

h. Matriks Datar dan Matriks Tegak Matriks Datar adalah matriks berordo ( m x n ) di mana n > m.

Contoh:

1 2 0 7

N = 4 5 3 11

-9 -5 2 1

Matriks Tegak adalah matriks berordo ( m x n ) di mana m > nContoh:

12 4

0 23

O =

2 -9

2 7

6. Tranpos MatriksTranpos matriks A berordo ( m x n ) adalah sebuah matriks baru yang dilambangkan At atau AT berordo ( n x m ) yang disusun dengan cara:

1) Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama matriks At2) Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua matriks At3) Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m matriks AtContoh:

1 2 3 1 6 0

Q = 6 5 4 tranposnya Qt = 2 5 9

0 9 8 3 4 8

7. Kesamaan Dua MatriksMatriks A dan B disebut sama ( A = B ) jika dan hanya jika:

1) Ordo matriks A dan B sama2) Semua unsur yang seletak pada matriks A dan B sama, atau aij = bij dengan

a unsur matriks A dan b unsure matriks B.Contoh:

1 5 3 7 6 4 1 5 3

A = , B = ,C = A = C

7 6 4 1 5 3 7 6 4

8. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriksa. Penjumlahan Dua Matriks

Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan bij maka matriks C = A + B, merupakan matriks berordo m x n dengan elemen-elemen cij = aij + bij ( untuk semua i dan j ).

Contoh:

x-y 2x+1 45 9 40 50

+ = Tentukan 2x + 3y.

-3 15 4y-3 x+y 94 60

x-y+45 2x+10 40 50

=

4y-6 x+y+15 94 60

4y – 6 = 94 2x + 10 = 50

4y = 100 2x = 40

y = 25 x = 20

2x + 3y = 2. 20 + 3. 25 = 115

Sifat-sifat penjumlahan Matriks

Jika A, B, C, O matriks-matriks berordo sama, maka berlaku:

1) Sifat Komutatif : A + B = B + AContoh: -1 4 -3 4 -3 4 -1 4

+ = +

2 -3 6 1 6 1 2 -3

-4 8 -4 8

=

8 -2 8 -2

2) Sifat Asosiatif : ( A + B ) + C = A + ( B + C )3) Ada matriks identitas O sedemikian hingga A + O = O + A = A

Contoh:

1 2 0 0 0 0 1 2 1 2

+ = + =

3 4 0 0 0 0 3 4 3 4

4) Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif –A sedemikian hingga A + ( -A ) = O ( -A sering disebut invers aditif atau invers penjumlahan A ).

b. Pengurangan Dua MatriksJika A dan B adalah matriks-matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan bij maka matriks C = A – B, merupakan matriks berordo m x n dengan elemen-elemen cij = aij – bij ( untuk semua i dan j )

9. Perkalian Bilangan Real Terhadap MatriksJika A = ( aij ) matriks berordo m x n dengan k suatu bilangan real, maka kA = ( k aij ) adalah suatu matriks berordo m x n.

Perkalian bilangan real terhadap matriks juga disebut Perkalian scalar dengan matriks.

Sifat-sifat perkalian scalar dengan matriks

Jika p dan q adalah bilangan real dengan A dan B matriks berordo m x n maka berlaku:

1) ( p + q ) A = pA + qA2) p ( A + B ) = pA + pB3) p ( qA ) = ( pq ) A4) I A = A5) ( - I ) A = - A

A. Pengertian Matriks

A=

1. Transpose A=AT=

(baris kolom)

2. Determinan A = = ad-bc

3. Invers A= A-1=

4. Identitas = satuan= I=

B. Operasi matriks

A= , B=

1. Matriks samaA = B

=

2. Penjumlahan / Pengurangan

A B =

Sifat-sifat :

A+B= B=A

A-B B-A

(A+B) +C = A+(B+C)

3. Perkalian matriks A kxl . B lxn =C kxn(jumlah kolom A= jumlah baris B)

a). k.A = k =

b). A.B = =

sifat-sifat

A X B B X A

A X (B X C)= ( AXB )X C

A X (B C) = ( A X B ) (A X C )

C. Penyelesaian matriks

1. A.B =C B= ?

B= A-1.C

2. A.B=C A=?

A=C . B-1

3. A.B =IB= A-1

A=B-1

J. Menentukan Penyelesaian Siastem persamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Determinan

SPLDV : =

Dengan *. D = = ae-bd, :determinan dari koefisien-koefisien peubah x dan y.

*. Dx = = ce-bf, : merupakan D dimana kolom pertama diganti konstanta c dan f.

*. Dy = = af-cd, : merupakan D dimana kolom keduan diganti konstanta c dan f.

Dari

= * x = = , D ≠ 0

* y = = , D ≠ 0 ; Hp =

Catatan :

i. D ≠ 0 , Himpunan penyelesaian tepat mempunyai satu anggota.

ii. D = 0 , Dx ≠ 0 , dan Dy ≠ 0 , Himpunan penyelesaian tidak mempunyai anggota.

iii. D = 0 , Dx = 0 , dan Dy = 0, Himpunan penyelesaian mempunyai anggota tak

terhingga

K. Determinan Matrik Persegi Berordo 3

Misal matriks A = , determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan cara :

1. Cara Sarrus2. Cara ekspansi kofaktor

1.1 Menenukan determinan matriks A = dengan cara Sarrus.

Det A = = diagonal samping = (aei +bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)

1.2 menentukan Penyelesaian SPLTP dengan Metode Determinan (Metode Cramer)

SPLTP :

Seperti pada penyelesaian SPLDP :

*. D = Δ =

*. Dy = Δy =

*. Dx =

*. Dz =

Penyelesaian SPLTP adalah:

X = = , Y =

Hp =

b. Pengertian kofaktor

Kofaktor matriks A dengan Mij sebagai minor aij adalah bentuk :

(-1)i+j Mij : disebut kofaktor dari aij, dilambangkan α ij = (-1)i+j Mij dengan

i = 1, 2, 3, …dan

j = 1, 2, 3, …

A =

c. Menentukan Determinan Matriks ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor.

Langkah-langkahnya :

1. Tentukan sembarang baris atau kolom yang akan diekspansi.2. Jumlahkan hasil kali masing-masing elemen yang dipilih secara baris atau kolom

dengan kofaktornya.

A = , determinannya adalah :

Misal : Kita pilih ekspansi pada elemen-elemen beris pertama.

Det A = ∆ =

= .(-1)1+1 + .(-1)1+2 + .(-1)1+3

= .(1) + .(-1) + .(1)

= - +

L. Invers Matriks Persegi Ordo 3 x 3

1. Adjoin Matriks Ordo 3

Untuk membahas invers matriks persegi ordo 3, perlu dibahas tentang suatu matriks persegi berordo n.

Definisi Adjoin Matriks Persegi Ordo n

Misalkan A = (aij) berordo n dan αij adalah kofaktor dari aij, maka adjoin A ditentukan:

Adj A =

1. Hasil kali matriks (B A) (B+ A-1)B-1

A. AB +IB. BA +IC. A+ BD. A-1+BE. AB+A

1. Diketahui matriks : A= dan B = maka (A+B)2=

2. Jika A = B = , maka (AB)-1.A t =

3. Jika diketahui a= ,c= ,dan (B-1.A.C )-1= , maka matriks B =??

(B-1.A.C)-1=

C-1.A-1.B =

4. Jika AT adalah transpose matriks A= maka A.AT adalah//

5. Nilai a dari persamaan matriks + = 3

Jawab : 30+a+3= 42 A =9

6. Diketahui matriks P = , Q = . determinan matriks Q-1.P-1 = ….(UN 07/08)

a. 209 d. -1b. 10 e. -209c. 1

7. Diketahui matriks + 2 = =

Nilai x + y =….(UN 08/09)

a. 2 d. 10b. 6 e. 12c. 8

8. Apabila A = matriks berordo 2 x 2, sehingga A

dan A = ), maka A2 = ….(UM UGM 09)

a. d.

b. e.

c.

9. Jika matriks =

Maka x = ….(UM UGM 07)

a. 1 d. 10b. 4 e. 106

c. 6

10. Jika x dan y memenuhi parsamaan matriks +

=

Maka x – y = ….(SNMPTN)

a. 1 d. 4b. 2 e. 5c. 3

11. Matriks X berordo 2x2 yang memenuhi X = adalah… (UN 04/05)

a. d.

b. e.

c.

12. SPMB 2002

Jika A = dan B = , maka (A B) AT = …..

(A) (D)

(B) (E)

(C)

13. UN 2005

Matriks X berordo (2 x 2) yang memenuhi X = adalah ….

(A) (D)

(B) (E)

(C)

14. UN 2004

Diketahui matriks S = dan M = . Jika fungsi f ( S, M ) = S2 – M2, maka matriks f ( S+M,

S-M) adalah …..

(A) (D)

(B) (E)

(C)

15. UN 2003

Jika = , maka x + 2y = ….

(A) 6 (D) 3

(B) 5 (E) 1

(C) 4

16. UN 2001

Diketahui matriks A = , B = , dan C = . Jika matriks A – B = C-1, maka

nilai 2p = …

(A) -1 (B) (C) (D) 1 (E) 2

17. SPMB 2003

Jika matriks A = dan I = memenuhi persamaan A2 = p A + q I, maka p – q = ….

(A) 16 (B) 9 (C) 8 (D) 1 (E) -1

18. (Umptn 90 Ry B)

Determinan matriks K yang memenuhi persamaan K = sama dengan

a. 3b. 1c. -1d. -2e. -3

19.(Umptn 94bRy A)

Jika

a. y = 3xb. y = 2x

c. y =

d. y =

e. y =

20. (Spmb 2002 Regional 2)

Jika A = , B = , dan 2A = Bt ,dengan Bt adalah transpose dari matriks

B, maka konstanata c adalaha. 1b. 2c. 3d. 4e. 5

21.(Spmb 2002 Regional 2)

adalah

a.

b.

c.

d.

e.

22.(Umptn 99 Rayon A)

Jika A = B = maka determinan (AB)-1 =

a. 2b. 1c. -1d. -2e. -3

23.(Umptn 98 Ry A)

Diketahui matriks A= , B = dan c = . Nilai x + y yang memenuhi persamaan

AB – 2AB = C adalaha. 0

b.c.d. 8e. 10