Post on 02-Feb-2023
Math-Net.RuОбщероссийский математический портал
В. П. Коробейников, Задачи теории точечного взрыва в га-зах, Тр. МИАН СССР, 1973, том 119, 3–278
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу-
мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 65.21.229.84
13 января 2022 г., 00:16:20
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее исследование посвящено изучению вопросов теории точечного взрыва (ТТВ) в газах, которая возникла в связи с необходимостью описать явления, имеющие место в сплошных средах при взрыве зарядов малого объема и веса, но обладающих большой удельной энергией. Результаты этой теории дают возможность получить с достаточной точностью многие необходимые данные о характере неустановившегося движения и распространении ударных волн, возникающих при взрывах. Теория точечного взрыва в газах нашла свое приложение в таких явлениях, как ядерные взрывы в атмосфере, взрывные процессы в космическом пространстве, движение тонких затупленных тел (в том числе метеоритов) в атмосфере Земли, распространение ударных волн, вызванных мощным лазерным излучением и электрическими разрядами в газе, электрический взрыв проводников. Эта теория получила свое развитие около 25 лет тому назад благодаря работам Л. И. Седова, а также Дж. Тейлора, К. П. Станюковича, Дж. Неймана. В работах ряда советских и зарубежных ученых решены многие задачи этой теории.
Остановимся кратко на сущности явления сосредоточенного взрыва. Пусть в объеме, достаточно малом по сравнению с объемом окружающей среды, сосредоточена малая масса взрывчатого вещества (ВВ) и в некоторый момент времени происходит взрыв, сопровождающийся быстрым выделением энергии, причем плотность выделившейся энергии (количество энергии в единице объема) намного больше плотности энергии окружающей среды. При этом произойдет почти мгновенное повышение давления и температуры среды в окрестности взрыва и возникнет сильная ударная волна, затухающая по мере ее распространения от места взрыва. Учет всех факторов, влияющих на распространение взрывной волны в реальных условиях, делает задачу о теоретическом описании явления взрыва весьма сложной. Здесь, как и в ряде других сложных явлений, для успешного решения проблемы необходима некоторая идеализация, заключающаяся в учете только тех фактов, которые преобладают в развитии всего явления. В вопросах, связанных со взрывами, основной идеализацией будет предположение о том, что процесс выделения энергии происходит мгновенно, а объем, занятый ВВ, и масса заряда считаются равными нулю, причем в случае сферической симметрии взрыв будет происходить в точке, при цилиндрической симметрии — вдоль прямой, при плоской — вдоль плоскости. Этот идеализированный процесс выделения энергии называется точечным взрывом. Кроме того, мы строим различные идеализированные схемы развития процесса взрыва, модели движения среды.
1* 3
В рассматриваемой работе изучаются как уже известные модели, так и новые модели движения газа при точечном взрыве, учитывающие различные физические процессы, формулируются математические задачи для этих моделей и изучаются методы их решения. В основном здесь излагаются вопросы, которые разрабатывались автором или при его участии. Книга состоит из восьми глав и Приложения. Цитированная литература составлена отдельно для каждой главы. В ней указаны, как правило, лишь работы, которое близки к нашим исследованиям или на результаты которых мы опираемся при изучении различных вопросов.
Глава 1 носит главным образом вспомогательный характер. Здесь приведены известные основные уравнения гидродинамики и магнитной гидродинамики (МГД), а также условия на ударных волнах, вытекающие из законов сохранения, в том числе на магнитогидродинамических волнах (§ 1—4). Указаны некоторые свойства этих уравнений. В § 5, 6 представлены необходимые сведения по теории размерностей, теории групп и введены понятия автомодельных и инвариантных решений уравнений гидродинамики и МГД. Дается также вывод интегралов адиабатических движений для автомодельных решений уравнений одномерной газодинамики и МГД. Эти интегралы используются в дальнейшем при исследовании конкретных задач.
Формулировкам и примерам решений задач для некоторых уравнений математической физики посвящен § 7, причем эти задачи связаны с определением возмущений, вызванных мгновенным локальным выделением энергии. Здесь вводится понятие точечного взрыва и приводятся точные решения задач о точечном взрыве (ЗТВ) для уравнения теплопроводности, уравнений волнового и сферически-симметричных движений несжимаемой жидкости. Здесь же формулируется задача для уравнений газовой динамики, обсуждаются некоторые свойства решений и поведение движущегося газа.
В главе 2 изучается сильный взрыв в совершенном газе, рассмотрены некоторые вопросы учета реальных физических процессов в газах при высоких температурах и кратко излагаются основные приложения теории сильного взрыва к физическим явлениям.
В § 1 приведено известное решение Л. И. Седова автомодельной задачи р сильном взрыве в газе при переменной начальной плотности p 1=Ar~ u ). Исследование некоторых аналитических свойств этого решения дано в § 2 этой главы. В основном мы рассматриваем случай постоянной плотности ((о=0). Здесь дано обоснование представления решения в окрестности центра в виде специальных степенных рядов по безразмерной координате и доказана теорема о непрерывной зависимости решения от показателя адиабаты у. Путем расчетов выяснено фактическое изменение решения при изменении у в диапазоне 1,1 ^ у ^ 7. В частности, в этом диапазоне у вычислен важный для приложений энергетический параметр а, характеризующий безразмерную полную энергию движущегося газа. Проведена аппроксимация зависимости а (у) простыми аналитическими формулами, относительная погрешность которых не превышает 2%.
При со =^= 0 изучено поведение решений в окрестности особых значений (о, где аналитическая запись решения имеет неопределенности.
4
В § 3 этой главы введено понятие гомотермических движений и рассмотрено решение задачи о сильном взрыве для модели гомотермических движений как для сферических, так й для цилиндрических и плоских взрывных волн.
В остальных разделах этой главы даны постановки задач о взрыве с учетом равновесной ионизации и диссоциации, а также теплопроводности и рассмотрены приложения теории к явлениям ядерного взрыва, разрядов в газах и взрывов проводников под действием тока, фокусировки лазерного луча.
В главе 3 рассматривается метод линеаризации, с помощью которого можно учесть поправки к автомодельному решению, обусловленные различными физическими параметрами среды. Сущность применяемого метода линеаризации состоит в следующем.
Пусть Д0 есть функции автомодельного решения. Будем искать другое решение вида / f =/ t -o+° /a» г Д е индексом 1 обозначены новые неизвестные функции (добавки к основному решению или возмущения), а — некоторый малый параметр, Тогда если подставить решение f. и граничные условия в систему уравнений движения и учесть, что fi0 есть решение этих уравнений, то при а - > 0 получим для функций fn линейные дифференциальные уравнения (вообще говоря, в частных производных), т. е. линеаризированную систему. Применимость этого метода вполне оправданна, когда функции fa и их производные конечны. Здесь решены следующие одномерные задачи: учет постоянного противодавления в среде с переменной и постоянной начальной плотностью, учет начальной скорости движения газа, учет переменного противодавления для изометрической сферически-симметричной атмосферы. Исследование свойств решений этих задач весьма полезно для изучения вопросов зависимости решения ЗТВ от постоянных и переменных параметров, входящих в постановку задачи. Так, например, детальное исследование ЗТВ с учетом постоянного противодавления, начатое Н. С. Мельниковой и А. Сакураем, показало, что решение при различных у непрерывно зависит от параметра р г — начального постоянного давления. Были проведены расчеты этой задачи и изданы специальные таблицы функций, характеризующих влияние противодавления р 1 на течение газа.
Метод линеаризации позволяет учесть сразу два или более параметра, нарушающих автомодельность. Так, можно сразу учесть влияние скорости движения в начальном состоянии газа и влияние противодавления.
Отметим также, что в этой главе сформулирована новая ЗТВ в движущемся газе, приложения которой рассматриваются в § 4, а также в главе 8.
Качественное и количественное изучение вопросов распространения ударных волн и движения газа при взрыве в точке, вдоль прямой или вдоль плоскости в однородном газе при постоянном противодавлении дано в главе 4. Рассматриваемая здесь задача важна как в теоретическом, так и в прикладном отношении. Первые два параграфа этой главы посвящены исследованию поведения решения вблизи центра симметрии и асимптотическим законам затухания ударных волн на больших расстояниях от места взрыва. В § 3 дано численное решение ЗТВ с учетом противодавления для плоских, цилиндрических и сферических ударных волн и разных
5
значениях у. Это решение было получено совместно с П. И. Чушкиным. Метод решения основан на применении схемы интегральных соотношений, использованной ранее в других задачах гидродинамики А. А. Дородницыным, О. М. Белоцерковским, П. И. Чушкиным и другими. Система уравнений неустановившихся одномерных движений берется в дивергентной форме и приводится к безразмерному виду, причем используются независимые переменные î=(r/rn)\ q=a2
œ/D2, где г — линейная коорди
ната, aœ — скорость звука невозмущенного газа, гп и D — координата и скорость ударной волны, v — параметр симметрии. За основные искомые функции приняты безразмерные величины, связанные со скоростью, плотностью и давлением.
Вблизи центра взрыва (£=0) выделяется интервал, ограниченный линией Ê 0 (g), которая отвечает фиксированной лагранжевой координате. Внутри этого центрального интервала используются асимптотические формулы для функций. Дифференциальные уравнения газовой динамики заменяются системой интегральных соотношений. Подынтегральные функции этих соотношений в области между £0 и 1 Я=1 представляются через интерполяционные многочлены по I. Здесь п — число областей между £0
и £я, для которых записываются интегральные соотношения. Коэффициенты этих многочленов определяются с помощью численного интегрирования аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений по g, полученных из интегральных соотношений задачи. Интегрирование аппроксимирующей системы уравнений по переменной g, связанной со временем, проводится от некоторого малого значения q=q0, где берется линеаризированное решение с учетом противодавления, до значений g, близких к единице. Указан способ вычисления всех искомых функций, в том числе импульсов давления и скоростного напора для ряда значений пространственной координаты. Расчеты проводились для различных значений п, у и v. Основные вычисления выполнены для значений п=А (область £0 ^ I < Г 1 разбита на четыре полосы), п=8 (область интегрирования разбита на восемь полос) и различных показателей адиабаты у. Точность численного решения контролируется по выполнению интегральных законов сохранения массы и энергии, выяснением поведения решения при разных п, сравнением значений искомых функций для одинаковых £ и q, полученных из разных систем исходных интегральных соотношений, и сравнением с результатами других авторов. По результатам расчетов в ^приближении п=8 составлены таблицы полей основных функций (0,05 ^ q ^ 0,9) для плоского, цилиндрического и сферического взрывов при различных у.
В следующем параграфе рассмотрены отдельно параметры фронта ударных волн для у=1 ,4 и даны некоторые выводы по практическому применению решения.
В § 5 главы 4 получены эффективные приближенные формулы для расчета параметров фронта волны. Эти формулы обладают достаточно высокой точностью и удобны для приложений. Вывод этих формул основан на аппроксимации зависимости скорости частиц газа за фронтом от координаты волны путем использования аналитических зависимостей для сильной стадии взрыва и при вырождении ударной волны в звуковую.
6
Вопросам пересчета решения при применении различных систем переменных и законам подобия посвящен § 6.
Следующий параграф этой главы (§7) посвящен аналогии между взрывом и гиперзвуковым обтеканием затупленных тонких тел. Здесь приведены данные по сравнению результатов определения параметров стационарного обтекания, найденных прямым расчетом задачи и путем пересчета на основе взрывной аналогии. Сделан вывод о возможности применения обратной аналогии к определению параметров цилиндрических и плоских взрывных волн на основании результатов расчетов обтекания затупленных цилиндров и пластин.
В последних двух параграфах рассмотрены вопросы использования полученных решений для расчета взрыва в стационарном однородном потоке газа и при отражении от абсолютно твердой стенки. Даны формулы для определения параметров течения в начальной стадии регулярного отражения ударных волн точечного взрыва от неподвижной плоскости.
Глава 5 посвящена вопросам сосредоточенного взрыва в неоднородных средах и при несимметричном выделении энергии. В § 1 этой главы дается пример точного решения нелинейной ЗТВ в среде с переменной плотностью с учетом противодавления. Приведены формулы, описывающие поле течения газа и изменение параметров фронта волны.
В § 2 изучены вопросы распределения энергии между полупространствами, занятыми газами с различными свойствами, при взрыве на границе раздела двух сред и рассмотрены особенности постановок этих задач.
Приближенному способу определения формы и параметров фронта ударных волн в неоднородной атмосфере при взрыве в точке в основном посвящен § 3. Рассмотренный здесь способ является по существу обобщением нашего метода построения приближенных формул для ударных волн, предложенного в § 5 главы 4. Здесь дается анализ размерности и вводится безразмерный параметр h=H/r°, г°=(Е0/р0У, H — характерный размер неоднородности (высота стандартной атмосферы в изотермическом случае), р0 — давление в точке взрыва. Проводится аппроксимация скорости за фронтом волны v2 (r2, G), где г2, 0 — сферические координаты фронта. Форма ударной волны г 2 ( 0, t) находится из решения задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных первого порядка, определяющего функцию r2 (£, 9). За начальные данные принимаются значения, взятые для г 2 (£, 0) из решения линеаризированной задачи, полученного В. П. Карликовым.
В последнем разделе главы приведены некоторые соображения по использованию принципа плоских сечений для расчета сосредоточенного взрыва вдоль слабо изогнутых линий и поверхностей, а также для случая, когда удельная энергия меняется вдоль прямой или плоскости взрыва. За последние годы стали изучаться явления сосредоточенного взрыва в средах, где распространение ударной волны вызывает химические реакции с выделением энергии. Исследованию возникающих здесь задач посвящена глава 6. Здесь даны постановки задач о плоском, цилиндрическом и сферическом точечном взрывах в горючей смеси газов для различных моделей протекания химических реакций. Кратко описана общая качественная картина движения газа и определены характерные значения
7
координат ударной волны, начиная с которых энергия горения горючей смеси существенно влияет на процесс движения газа. Разработаны методы решения математических задач, которые возникают при исследовании рассматриваемых явлений. Рассмотрены следующие модели течений: 1) модель детонационной волны; 2) модель включения экзотермической реакции непосредственно за фронтом ударной волны с простой кинетикой, когда скорость выгорания смеси задается простым законом Аррениуса; 3) модель двух фронтов (ударная волна и фронт пламени); 4) модель включения экзотермических реакций за фронтом ударной волны после прохождения времени задержки воспламенения, причем в модельной кинетике учитывается прямой и обратный ход реакций. Для модели детонационной волны (§ 2) сформулирован закон подобия, дано решение линеаризированной задачи с учетом тепловыделения на фронте волны, разработан метод численного решения неавтомодельной задачи о сильной детонационной волне, аналогичный методу, примененному в § 3 главы 4, и приведены результаты численного решения ЗТВ для плоской, цилиндрической и сферической волн. Так как образующаяся вследствие взрыва детонационная волна является пересжатой, то рассмотрен вопрос о выходе ее на режим Чепмена—Жуге и дана оценка расстояний, для которых параметры пересжатой волны становятся близкими к параметрам волны Чепмена—Жуге.
Последний параграф этой главы посвящен обсуждению вопросов влияния кинетики химических реакций на картину течения газа. На основании анализа размерностей получены условия автомодельности решений задач при учете кинетики химических реакций. Для модели 2 рассмотрена автомодельная задача для случая взрыва в среде с постоянной плотностью. Используя модель течения с зоной индукции, можно сделать заключение о возможности затухания процесса горения вблизи фронта ударной волны при ее ослаблении с ростом времени. Для случая сильного взрыва показано, что в начальные моменты времени фронт реакций горения практически совпадает с ударной волной и, по существу, имеется пересжатая детонационная волна. Проведенные расчеты задачи показали, что с ростом времени детонационная волна распадается на обычную ударную волну и следующий за ней фронт пламени. Таким образом, теоретически обоснован эффект расщепления детонационной волны (этот эффект наблюдался в опытах Р. И. Солоухина, Л. Г. Гвоздевой и др.). Было также выяснено, что учет обратной реакции существенно влияет на величину полного тепловыделения в потоке газа в зоне химических реакций.
В связи с развитием магнитной гидродинамики и ее приложений возник вопрос об^изучений распространения магнитогидродинамических ударных волн. Теория точечного взрыва в электропроводном газе при приложенных магнитных и электрических полях развивалась в ряде наших работ^1. Созданию основ этой теории и посвящена глава 7 настоящей книги. Здесь даны постановки задач о точечном взрыве для уравнений магнитной гидродинамики при различных конфигурациях магнитных полей как для бесконечной, так и для конечной проводимости
1 Обзор основных результатов дан в статье V. P . Korobeinikov. Ann. Rev. of Fluid Mech., 1971, 3.
8
газа. В предположении бесконечной проводимости (§ 2) дано численное решение задачи о цилиндрическом и плоском взрывах при приложенном магнитном поле, параллельном оси или плоскости взрыва. Обнаружено, что вблизи центра взрыва существуют градиенты давления, скорости ударных волн возрастают по сравнению со случаем отсутствия поля. Исследована автомодельная задача о сильном цилиндрическом взрыве при кольцевом начальном поле и дано ее обобщение на случай уравнений МГД разреженной плазмы. В § 3 найдены приближенные зависимости для параметров плоских ударных волн при начальном поле, наклонном к фронту плоской волны.
В § 4, 5 этой главы рассмотрены двумерные и пространственные нестационарные задачи. Для случая взрыва в точке при постоянном начальном поле разработан метод линеаризации при учете влияния магнитных полей на движение газа и форму волны. Оказалось, что ударная волна будет вытягиваться в направлениях, перпендикулярных к начальному полю. Магнитные поля падают до нуля в узком слое газа за фронтом сильной ударной волны, и имеется своеобразный токовый слой. Дано точное решение ЗТВ для произвольных слабых полей.
Исследование задач для случая конечной проводимости дано в § 6. Здесь мы рассматриваем отдельно случай слабого магнитного поля и любых магнитных чисел Рейнольдса Rm и случай произвольных полей, но малых чисел Rm. Для слабых полей определена структура магнитного поля при прохождении фронта сильной ударной волны. Учтено возмущение магнитного поля впереди фронта волны. Для малых чисел Rm найден и исследован класс автомодельных решений.
В последних разделах главы 7 описаны задачи, связанные с определением электромагнитных волн, возбуждаемых МГД ударными волнами при наличии скачка проводимости. Для плоских волн удается построить точные решения с учетом излученных электромагнитных волн. Рассмотрены некоторые решения и для пространственного случая.
Последняя глава книги посвящена приложению изложенной выше теории к проблеме распространения возмущений от солнечных вспышек. В настоящее время принято считать, что возмущение от вспышки распространяется, как ударная волна. Мы исходим из предположения, что для ряда вспышек можно использовать гидродинамическую модель течения, вызванного точечным взрывом в газе либо локальным подводом энергии и массы при переменной начальной плотности, давлении и скорости. Проанализированы теоретические и экспериментальные данные по закону движения волны и по замедлению ее скорости. Оказалось, что некоторые теоретические результаты хорошо соответствуют данным наблюдений.
Автор глубоко благодарен Л. И. Седову за постановку ряда задач, неоднократное обсуждение результатов, постоянное внимание и поддержку.
Хотелось бы поблагодарить также сотрудников Отдела механики Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, особенно Н. С. Мельникову и А. Г. Куликовского за повседневную помощь и поддержку в работе.
Автор также с благодарностью отмечает своих коллег и товарищей по работе, в особенности В. П. Карликова, П. И. Чушкина, Е. В. Рязанова, В. А. Левина, за участие в разработке изложенной здесь теории.
Г Л А В А 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
§ 1. Уравнения газовой динамики
1.1. Уравнения в интегральной форме. В изложении известных результатов, касающихся основных уравнений газовой динамики, будем следовать работам [1—4]. При исследовании вопросов движения сжимаемой жидкости или газа мы будем рассматривать газ как сплошную среду, и для описания движения изучаемой материальной среды будут использоваться гидродинамические модели.
При изучении движения сжимаемой сплошной среды необходимо ввести скалярные, векторные и тензорные величины: температуру Г, скорость v, тензор напряжений Р и др. Это движение можно рассматривать в разных системах координат. Если наше внимание концентрируется на изучении явления в точках пространства, связанных с системой отсчета наблюдателя, то мы принимаем точку зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды. Таким образом, с точки зрения Эйлера, мы интересуемся изменением скорости, плотности, температуры и других величин в данном месте пространства. Если же мы следим за изменением параметров индивидуальных точек среды, то мы стоим на точке зрения Лагранжа. Введем некоторую фиксированную в пространстве прямоугольную декартову систему координат наблюдателя х1, х2, х2. Тройку координат х1, х2, х3
будем отождествлять с точкой пространства и обозначать вектором т. Математическим понятием, соответствующим физическому представлению о движении жидкости, является понятие непрерывного преобразования трехмерного евклидова пространства & 3 в себя. Параметр t, описывающий это преобразование, отождествляется со временем. Значение 2=0 можно принять за начальный момент, а за область изменения t — всю действительную ось.
Введем лагранжеву, или сопутствующую, систему координат Ê1, I2, £3. Обозначим через £ лагранжеву точку. Пусть в момент £=0 частица движущейся жидкости находилась в точке Е=(Е\ £2, Е3), а в момент t— в точке v (х1, х2, Xs). Тогда мы можем считать, что величина v определена как функция \ и £, и сточки зрения кинематики течение среды можно рассматривать как преобразование
10
= t). (1.1)
Если I фиксировано, a t изменяется, то уравнение (1.1) определяет траекторию частицы Af, первоначально находившейся в точке!. С другой стороны, при фиксированном t соотношение (1.1) определяет преобразование области, занимаемой жидкостью в начальный момент, в область, занимаемую жидкостью в момент времени t.
Если первоначально разные точки остаются различными во все время движения, то можно ввести обратное преобразование
lJ = Q>J(r,t). (1,2)
Будем предполагать, что функции ср* и обладают непрерывными производными до третьего порядка по всем переменным, исключая некоторые особые поверхности, кривые или точки.
В дальнейшем мы будем в основном использовать переменные Эйлера, хотя ряд вопросов будет изучаться с помощью переменных Лагранжа.
Уравнения газовой динамики выражают основные физические законы механики сплошной среды. Если пренебречь эффектами неравновесности, теплопроводностью и вязкостью, то интегральная форма этих уравнений для некоторого жидкого объема Q * имеет вид
i \ 9äQ=0 (1.3)
— закон сохранения массы,
~ J pvdQ= J Fpdü— j> pnd^ ( 1 . 4 ) a*(0 Q*{t) s(*)
— уравнение количеств движения,
Tt S p ( e + — § P^ndS+ jp(Fv)dQ (1.5)
— уравнение сохранения энергии. Здесь Q* (t) — индивидуальный объем жидкости, ограниченный по
верхностью 2 , р — давление, е— внутренняя энергия, F — массовая сила (вектор поля внешних сил, отнесенных к единице массы), п — внешняя нормаль к поверхности 2 .
Если учесть теплопроводность с вектором притока тепла q , заданным законом теплопроводности Фурье
q = —х grad T,
где х — коэффициент теплопроводности, то к правой части уравнения (1. 5) следует добавить слагаемое вида
— I (xgradr)nd2. (1-6)
Уравнения (1.3)—(1.5) можно применить к произвольным объемам, в частности, и в том случае, когда внутри Q* имеется поверхность 2 0 , на которой терпят разрыв гидродинамические функции.
Газ как сплошную среду будем характеризовать в переменных Эйлера следующими основными величинами: вектором скорости v (г, t), плот-
11
ностью р (г, t) и давлением р (г, t). Внутреннюю энергию, как правило,, будем считать заданной термодинамической функцией е=е(ргр) или в = е ( Г , Р).
.1.2. Дифференциальные уравнения газовой динамики и их свойства. Введем четырехмерное -евклидово пространство координат и времени <£4*
О п р е д е л е н и е . Движение газа назовем непрерывным в области ^ С (?4 , если функции v, р, р непрерывны вместе с первыми производными всюду в Q.
Непрерывные движения удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, равносильной системе уравнений в интегральной форме (1. 3)—(1. 5). Для движения газа без учета массовых сил и диссипативных процессов эта система уравнений может быть записана в виде
g + div P» = 0, (1.7)
^ + divP = 0, (1.8) д_
dt ( p e + Ç ) + div»(pa + p + Ç ) = 0, (1.9)
где е = е (р, р ) , Р — тензор с компонентами Pi1e=pbi1c-\- pvW, bik —единичный тензор. Системы уравнений (1. 3)—(1. 5) и (1. 7)—(1. 9) будут служить основой для дальнейших исследований. Вид функции е (р, р) зависит от свойств газа. Для непрерывных движений мы считаем ее непрерывно дифференцируемой функцией аргументов р, р. Простым и вместе с тем важным примером идеальной сжимаемой среды является совершенный газ с постоянным отношением удельных теплоемкостей y=cp/cv^
Для совершенного газа функция е (р, р) имеет вид
£=7^if- + c o n s t ' (1.10)
а связь между плотностью, давлением и температурой дается термическим уравнением состояния
p = RpT, (1.11)
где R — газовая постоянная.
Для адиабатических: обратимых движений газа последнее уравнение системы (1. 9) с помощью уравнений (1. 7), (1. 8) может быть преобразовано к виду di-Vit = °> <1Л2> где ~ = ~ - f - t ? grad есть субстанциальная, или полная, производная. Введя
энтропию S и используя соотношение первого закона термодинамики, имеем
TdS = de + pdj. (1.13)
Отсюда, учитывая (1. 12), получаем
dS_
dt
d4 = 0. (1.14)
12
Таким образом, для адиабатических непрерывных движений невязкой среды уравнение энергии можно брать в виде (1. 14). Энтропия S является функцией термодинамических параметров среды, скажем р, р или р, Т. Для совершенного газа имеем
S = cv In + const, (1.15)
где cv — теплоемкость газа при постоянном объеме. Если S—const всюду в области движения газа, то такое движение называют изэнтропиче-€ К И М .
Отметим некоторые важные случаи движения газа, которые характеризуются специальным геометрическим видом траекторий в пространстве <§з, а также геометрическим видом поверхностей уровня основных величин.
О п р е д е л е н и е . Движение называется двумерным, если основные величины могут быть выражены через функции, которые зависят, кроме времени t, еще только от двух пространственных переменных.
Одним из видов двумерных движений является плоскопараллельное или плоское течение. Движение (или течение) называется плоскопараллельным, если траектории частиц в £ 3 представляют собой плоские кривые, плоскости которых параллельны фиксированной плоскости П, причем в перпендикулярных к П направлениях основные величины не меняются и могут зависеть только от t. Если выбрать декартову систему координат так, чтобы плоскость П была координатной плоскостью Охгх2, получим, что в плоскопараллельном движении вектор скорости v имеет две отличные от нуля составляющие v (v1, v2, 0), причем величины v1, v2 будут функциями только переменных х1, х2, t. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения в скалярной записи легко получить из системы <1. 7 ) - ( 1 .9).
Другим важным примером двумерных движений являются осесиммет-ричные течения. Движение (или течение) называется осесимметричным, если траектории частиц в & 3 представляют собой плоские кривые, плоскости которых проходят через некоторую фиксированную прямую — ось симметрии, причем основные искомые функции могут зависеть только от t на каждой окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии, 6 центром на этой оси.
Для анализа осесимметричного движения удобно использовать цилиндрические или сферические (полярные) координаты. Если выбрать систему цилиндрических координат так, чтобы ее ось совпала с осью симметрии (пусть это будет ось Ох1), то основные величины можно считать зависящими от координаты х и радиуса г. Обозначим через и проекцию скорости на ось Ох1, через v — модуль проекции скорости на плоскость, перпендикулярную оси симметрии. Для декартовых составляющих скорости, плотности р, давления р имеем иг=и (х, г, t), v2=v (х, г, t) cos <р, v3=u (х, г, t) sin ср, р=р(ж, г, t),p=p (х, г, t), х=хх, где <р — полярный угол. Для выбранной системы координат дифференциальны^ уравнения осесимметричного движения будут отличаться от уравнений плоскопараллельного движения тем, что составляющие v1, v2 заменяются на и, v, вместо переменной х2 участ-
13
вует переменная г, и для членов, возникающих из дивергенции, добавятся слагаемые члены с множителем 1/г, ибо
d i v « * = ^ + ^ . + Ç , (1.16)
где ф — некоторая скалярная функция. В ряде случаев осесимметричные движения удобно изучать в полярной
сферической системе координат г, 9, ср с центром, расположенным на оси симметрии. Причем за угол 0 принимается угол между осью симметрии и радиус-вектором точки пространства. Если ввести как искомые функции проекцию vr скорости на радиус-вектор рассматриваемой точки и проекцию v на направление, касательное к окружности с центром в начале координат системы, проходящей через ось симметрии и данную точку пространства, то искомые основные величины не будут зависеть от угла ср. Уравнения газовой динамики здесь могут быть записаны так:
2 dvr
и в , 1 др л dS /*ч
I t T~~T~~i~àr~ ~dt~ ' (1.17)
^e__^i I j_ д_Р_ о dt г rp д Ь ~ '
d д , д , Vf) д
dF~di^~Vrd?~^T'dQ9
О п р е д е л е н и е . Движение называется одномерным, если основные величины могут быть выражены через функции, которые зависят, кроме времени t, еще только от одной пространственной переменной.
Будем различать одномерные движения с плоской, цилиндрической и сферической симметрией.
Одномерное движение с плоской симметрией (или с плоскими волнами) есть такое движение, в котором траектории частиц в пространстве S3 образуют семейство прямых линий, перпендикулярных некоторой фиксированной плоскости П, причем вдоль любой плоскости, параллельной П, основные величины могут зависеть лишь от времени t и не зависят от точки плоскости. Если мы выберем ось декартовой системы координат Ох1
или в других обозначениях Or, перпендикулярно плоскости П, то вектор скорости v будет иметь лишь одну отличную от нуля компоненту vx=v, причем v=v (г, t), р=р (г, t), р= р (г, t). Дифференциальные уравнения для этого случая получаются весьма просто из основной системы (1. 7) — (1. 9).
Одномерное движение с цилиндрической симметрией есть такое осе-симметричное движение, в котором траектории частиц в S3 образуют семейство прямых, ортогонально пересекающих ось симметрии, причем вдоль поверхностей круговых цилиндров, оси которых совпадают с осью симметрии, основные искомые величины не меняются и зависят только от времени.
14
Здесь удобно использовать цилиндрические координаты х, г, ср и за основные величины принять радиальную составляющую скорости vr= =v, плотность р и давление р, причем будем иметь
иг = 0, v2 — v (г, t) cos <р, и3 = у (г, £) sin ср, p = p(r9t), p = p(r,t).
Систему дифференциальных уравнений можно получить из основной системы (1. 7)—(1. 9), используя замечания, сделанные выше для осесимметричного случая.
Одномерное движение со сферической симметрией (или со сферическими волнами) есть такое движение, в котором траектории частиц в & 3
образуют семейство прямых, направленных по лучам, выходящим из фиксированной точки О, причем основные величины не меняются вдоль каждой сферы с центром в точке О и могут зависеть лишь от времени t. Для аналитического описания этих течений удобно воспользоваться сферической системой координат г, б, ср с началом в точке О. Обозначим через v радиальную составляющую скорости v (vr—v), так что для этого течения будем иметь v=v (г, t), р=р (г, t), р=р(г, t).
Система дифференциальных уравнений здесь может быть легко получена из системы (1. 17), где следует лишь положить i>e=.0, ur=v и считать все функции не зависящими от е. В дальнейшем для нас часто будет удобно рассматривать все три типа одномерных движений вместе. С этой целью введем параметр симметрии v, так что v = l для плоской симметрии, v=2 для цилиндрической симметрии, v = 3 для сферической симметрии. Параметр v указывает нам размерность того подпространства из <£3, которое достаточно использовать для описания зависимостей гидродинамических функций от координат.
Учитывая введенные обозначения, объединенную систему дифференциальных уравнений газовой динамики для одномерных течений запишем так:
^ ( r - ^ + l V - ^ ^ O , (1.18)
£ И + . | < Р + И + * ^ ^ = 0, (1.19)
é ^ ( ' + î ) + i [ ^ ( e + f + T ) ] = ° -
Рассмотренные одномерные движения с плоской, цилиндрической и сферической симметрией являются примерами движений, точно допустимых системой уравнений (1. 7)—(1. 9).
В приложениях иногда используется другой вид одномерных движений, который соответствует квазиодномерным течениям сжимаемой среды. Примером таких движений могут служить течения в трубах переменного поперечного сечения, описываемые в одномерном гидравлическом приближении. Мы не будем здесь детально останавливаться на этой приближенной модели одномерных движений. Вывод дифференциальных уравнений одномерных движений гидравлического приближения дан, например, в [2]. Рассмотренные дифференциальные уравнения были записаны в переменных Эйлера.
15
В переменных Лагранжа уравнения газовой динамики имеют вид р / = Ро. (1-21)
V r , S + 7 V p = 0 , ( 1 - 2 2 )
ft=0, (1.23)
где р 0 = Ро (?) — начальное распределение плотности, / — якобиан преобразования (1. 1)
т _ д ( х \ х \ Ж 3 ) _ л ^ ( д х * \
градиент берется в пространстве лагранжевых координат В координатной форме уравнение (1. 22) примет вид
dxi d*x\ _1_ др
dip dt* ~~~ 7 ^ 7 '
где по i подразумевается суммирование. Для случая одномерных движений система (1. 21)—(1. 23) может быть
записана в таком виде: дг дг А
* r ô t (1.24) £ E — _
dv dJL — o ^ — P o r v - ! ^ . d t ~
Здесь l есть начальная координата частицы, т. е. расстояние, на которое была удалена частица от нулевой плоскости, оси симметрии или точки начала координат соответственно в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях.
Отметим некоторые свойства уравнений газовой динамики. Пусть ср, ф, и, / , v, Ф — некоторые непрерывно дифференцируемые функции. Уравнение вида
(в, / , г , t) dt
- div ф (и, /, г, t) v = Ф (a, г, £)
будем называть уравнением в форме закона сохранения или в дивергентном виде.
С в о й с т в о 1. Системы уравнений газовой динамики (1. 7)—(1. 9), (1. 18)—(1. 20) записаны в дивергентном виде. К дивергентному виду можно привести и систему уравнений (1. 24) в лагранжевых переменных. Заметим, что уравнения в дивергентном виде (1. 18)—(1. 20) были приведены в [ 4 ] .
С в о й с т в о 2. Системы (1. 7)—(1. 9), (1. 18)—(1. 20), (1. 21)—(1. 22) и (1. 24) являются гиперболическими системами уравнений в частных производных в евклидовых пространствах координаты — время.
С в о й с т в о 3. Система уравнений (1. 7)—(1. 9) инвариантна относительно преобразований Галилея—Ньютона р*=р, р*=р, ^ = £ + т > r*—r+at+VQ, v¥=v-\-a, где а, т0 — постоянные векторы, т — постоянный скаляр, величины со звездочками соответствуют состоянию движения после преобразования. В истинности свойства 3 можно убедиться непосредственной проверкой.
16
При рассмотрении многих задач газовой динамики за основные величины, или основные газодинамические функции, принимаются скорость v, давление р и плотность р. В ряде случаев (особенно при численном решении) в качестве основных величин принимается р, v и внутренняя энергия е, давление же находится по калорическому уравнению состояния
Р = Р(9, в ) . (1 .25)
Иногда бывает удобно использовать в качестве основных функций скорость плотность р и полную энергию единицы объема Е, которая для случая газовой динамики дается выражением
2? = p ( e + Ç ) . (1.26)
Система (1. 7)—(1. 9) в этих переменных принимает вид
g + d i v p v _ о , ! g + div (PV-V + bikP) = О ,
~ + div Ev + div (pv) = 0, (1.27)
где p в соответствии с (1. 25) и (1. 26) есть заданная функция Е, р, и2. Отметим также следующее простое свойство системы (1. 7)—(1. 9) или
( 1 . 2 7 ) . С в о й с т в о 4. Система уравнений газовой динамики (1. 7)—(1. 9)
имеет простейшее решение
v = 0, р = Ро(г), р = р 0 = const, (1.28)
Решение (1. 28) будем называть состоянием равновесия, или состоянием покоя.
1.3. Некоторые упрощенные и частные виды уравнений движения жидкости. Остановимся на некоторых случаях упрощения уравнений газовой динамики, которые будут давать приближенные решения задач о движении газа. Одним из общих приемов получения упрощенных уравнений является их линеаризация. Смысл линеаризации заключается в следующем. Цусть известно некоторое основное движение, т. е. точное решение нелинейных уравнений газовой динамики. Если уравнения газовой динамики взяты в виде (1. 7), (1. 8), (1. 14), то это решение имеет вид
v0 (г, t), Р о (г, t), Ро (г, t), S0 (г, t). (1.29)
Будем искать другое решение, вида v=v0-\-ov', р= р 0 + ° р \ Р = р 0 + + °/>\ S = S0+aS'i где штрихами обозначены новые неизвестные функции nr, t, т. е. добавки к основному решению или возмущения, а — некоторый малый параметр.
Если подставить это решение в систему (1. 7), (1. 8), (1. 14), то, сократив на а, получим с учетом того, что величины v0, р0, р0, S0 есть решение этой системы,
+ div (p0vf + v0p! + ov'p') = 0,
-§f {PQV + v0p! + ov'p') + div (pQv0v' + p'v0v0 + p0v!v0 + ^'
+ GP'VQV1 + op!v'v0 + ep0vrv' + °2vfvrpf) + grad pf = 0,
2 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 17
*g- + (v0V)S' + (v'V)S0 + o(v'V)S' = 0,
P' = 4b(Po + ° P ' . S + oS')-p0].
Из этой системы следует, что новые искомые функции v', р,' и т. д. будут зависеть не только от г, t, но и от параметра а. Пусть функции v', р ' , S\ р' как решения точных уравнений (1. 30), а также их производные, входящие в эти уравнения, имеют конечный предел при а -^-0. Тогда, переходя к пределу в уравнениях (1. 30), получим линеаризированную систему исходных уравнений
^ + d i v (Pot,' + ty>')=0,
~§f (Po"' + V ) + div (v'p0v0 + p'v0v0 + W ' ) + g r a d P,==°> (!• 31)
dS'
ât
где al=(dp/dp)8 — адиабатическая скорость звука. Процесс получения уравнений типа (1. 31) называется линеаризацией
около известного решения v0J р 0 , р0. Система уравнений (1. 31) является линеаризированной системой уравнений газовой динамики. Метод линеаризации будет широко использоваться нами в дальнейшем.
Если основное решение имеет вид
v0 = 0, р0 = const, SQ —- const, pQ = const,
• + (v0V) S' + ( » ' V ) S0 = 0, p' = ay + (ff)o S>,
то из (1. 31) получаем известные уравнения акустики
d-Ç + Р о div v'=0, ± (Pot>') + VP' = 0, d S ' :0, p* = ay.
(1.32)
d t > v — ~or
Предположим, что *S"=const. Из (1. 32) получаем классическое волновое уравнение для давления
д*рг
•agA// = 0. (1.33)
В теории распространения звука вводится плотность энергии возмущения [5]
£/ = W'2 ; ;о ? i \ (1.34)
Эта энергия соответствует разности между полной энергией в единице объема движущейся жидкости и суммой начальной энергии покоящегося газа с частью, обусловленной изменением количества вещества, а именно
Е> = Е - Р ое 0 - ( s0 + -gl) р' + о (аУ 2).
Из системы (1. 27) для изменения Е' может быть получено уравнение
â-§- + divp>v'=0, (1.35)
которое выражает закон сохранения энергии возмущения.
18
Для одномерных движений система уравнений акустики примет вид
Волновое уравнение (1. 33) для этих случаев примет вид
д^-а* — -(г^д-А (1 36)
Для плоского случая уравнение (1. 36) имеет решение
•p> = A1r + Aj + f 1 ( t - $ + ft(t + $ - (L37>
В случае сферической симметрии получим:
г
Для случая цилиндрической волны решение может быть представлено , в интегральной форме
от / R \ 0 0 / JR\
pi=[l^É-dR+\^±Ë-dR. (139) J v#2 — J V̂ Ä2 —Г2 v 1 -^;
В решениях (1. 37)—(1. 39) / 1 ? / 2 — произвольные функции своих аргументов, i?=r 2-f-£ 2, где z — координата вдоль оси цилиндрической симметрии, А ± , А 2 — произвольные постоянные.
Рассмотрим теперь другой случай упрощенных уравнений газовой динамики, когда вообще считается, что плотность р постоянна (случай несжимаемой жидкости). Тогда вид уравнения (1. 8) не изменится, а уравнение (1. 7) примет вид
divt> = 0. (1.40)
Уравнение энергии с учетом теплопроводности [5] будет иметь вид
* . (ре) + div (p.) v - div xVr + 1 ( Ç ) + d i v [ * ( p + Ç ) ] = 0.
Если учесть уравнение неразрывности и уравнение количества движения, то получим
• ^ ( p e ) + tfV(pe) — d i v x V r = Ö . (1.41)
При x^const, p^const, v=0, 6=^Г-fconst из (1. 41) следует классическое уравнение теплопроводности
5T = Z A 7 , (1.42)
г д е / =х / с д а р , х —коэффициент теплопроводности. Пусть теперь t ? = 0 ,
х = х ( е ) . Из (1.41) получим
dt = d i v 7 © V e - ( 1 - 4 3 )
19
Если учесть, что cv = de/dT, то уравнение (1. 43) можно переписать так:
Сравнение (1. 43) дает пример уравнения нелинейной теплопроводности. Для случаев одномерного процесса распространения тепла это уравнение примет вид
Кроме отмеченных уравнений газовой динамики и некоторых из упрощенных видов этих уравнений, при изучении задач о движении газа часто приходится применять более сложные уравнения и учитывать химические реакции в газе, сопровождающиеся выделением или поглощением тепла. Мы не будем здесь выписывать более сложные уравнения движения газа для этих случаев, а укажем их в разделах, посвященных исследованию соответствующих задач.
§ 2. Условия на сильных разрывах
2.1. Вывод соотношений на сильных разрывах. В дальнейшем мы будем рассматривать более общие движения газа, которые не являются непрерывными движениями. Если газодинамические функции не непрерывно гладкие, а лишь кусочно-гладкие или кусочно-непрерывные, то они уже не могут всюду удовлетворять системе дифференциальных уравнений газовой динамики. Однако для этих движений будут верны уравнения гидродинамики в, интегральной форме. В этом смысле кусочно-непрерывные решения иногда называют разрывными либо обобщенными решениями или же обобщенными движениями. Мы будем рассматривать разрывные решения для движений газа без учета вязкости. Детальный анализ различных типов разрывов дан в [6] .
Если в области определения обобщенного движения существует гиперповерхность s (г, t), на которой величины и, р, р, в имеют разрыв первого рода и вне которой это движение непрерывно, то такое движение называется движением с сильным разрывом. Поверхность s при фиксированных t называется поверхностью сильного разрыва. Если же газодинамические функции непрерывны, а разрывны только их некоторые производные по координатам и времени, то такое движение будет иметь слабый разрыв, а соответствующая поверхность называться поверх-ностью слабого разрыва.
Введем теперь понятие скорости перемещения поверхности разрыва в пространстве S3* Возьмем на поверхности s (t) в момент t некоторую точку M и предположим, что в точке M существует определенная нормаль к s. Найдем далее точку N пересечения нормали, проведенной к s через точку М, с поверхностью s (t-{-At). Пусть H (At) есть длина вектора MN, взятая со знаком «плюс», если направления MN и единичного вектора нормали п к поверхности s в точке M совпадают, и со знаком «минус», если эти направления различны.
20
О п р е д е л е н и е . Скоростью перемещения в пространстве & 3 поверхности s в точке M называется вектор D, нормальный к s и определяемый как предел
D = п hm v ' . А*-И) А ' *
Если уравнение поверхности s (t) задано в виде s (г, t)=0 и эта поверхность гладкая, то для вычисления D имеет место формула
D = - | f - n / | g r a d e | . (1.45)
При преобразованиях координат с переходом к различно движущимся системам вектор скорости D зависит от выбора системы координат.
В силу законов сохранения гидродинамики на поверхности сильного разрыва должны выполняться специальные соотношения между V, р, р, s. Эти условия легко вывести, применяя законы сохранения непосредственно к элементам движущейся или покоящейся среды, по которой распространяется ударная волна, либо используя уравнения газовой динамики в интегральной форме (1. 3)—(1. 5). Дадим краткий вывод условий на поверхностях сильного разрыва, используя (1. 3)—(1. 5). Как уже отмечалось, эти уравнения можно применять к произвольным объемам Q, в частности, и в том случае, когда внутри индивидуального объема Q* имеется поверхность 2о> н а которой терпят разрыв гидродинамические величины. Наряду с подвижным лагранжевым объемом Q* введем подвижный объем ß , совпадающий в рассматриваемый момент t с объемом Й*, но движущийся со скоростью D на границе (D — нормальная скорость движения поверхности 2 , ограничивающей объем Q). В общем случае скорость D не равна нормальной скорости движения частиц газа ип.
Из математического анализа известна (см., например, [7, 8]) формула дифференцирования интеграла по параметру
£ \ QdQ = \ § dQ + § <fcy*2, 4 (1- 4 6 )
где Ф (г, t) — ограниченная, интегрируемая но координатам и дифференцируемая по времени функция, ип — нормальная составляющая скорости частиц поверхности 2> 2 = 2-(£) — переменный объем. Если записать теперь формулу (1.46) для введенных ранее подвижных объемов Q* и Q, то, вычитая соответствующие части равенств, имеем
и ffi*
= S 7 ?
dQ - S W dQ
+ § Ф (Я - "»> d 2 - (1 • 47)
Для момента t по условию выбора объема 2* (t) имеем Q (t) = S* (/); следовательно,
S ' S*'
Отсюда следует, что формула (1.47) переходит в равенство
*-t\<bdQ=±\QdQ + §<I>(D-vn) d%. (1. 48) S*
21
Очевидно, что формула (1.48) будет верна и для векторной функции Ф.
Из системы уравнений (1.3) — (1.5) с помощью (1.48) получаем интегральную форму уравнений газовой динамики для произвольного подвижного объема 2 (t)
ji\pdQ = $?(D-vJd2,
dt j pvdQ = j pFdQ — j> pnd^ + § Pv (D — vn) d%, 2 ' 2 * S E
+ f p ( T - + S ) (° - P«> d 2 - § ff™*2-
(1.49)
(1.50)
d_ f . / y2
(1.51) S s
В (1.51) g — вектор потока тепла. Для случая одномерных движений получим уравнения
p r - i d r = | y - 4 ( £ - * )
o, = 2 ( v - l ) « + ( v - 2 ) ( v - 3 ) ,
' 2 Г2
Ш M 9 ( T + e ) г " ^ г = a v S P r^dr +
+ < - , - „ + p ( ï + s ) ( § - , ) r - ] | ; ; . (1.52)
Предположим теперь, что существует изолированная поверхность сильного разрыва и некоторая произвольная часть ее 2 о Д е л и т объем 2 (t) на два объема: Qx (t) и 2 2 (t), а поверхность 2 (*) — н а поверхности 2 i (0
и S2CO соответственно. Пусть объем 2 Х ограничен поверхностью s1 = 2oi~f* + 2i> а объем 2 2 ограничен s 2 = So2 + 22> г д е Soi» S02— внешние к объемам 2 2 и 2 2 стороны поверхности 2о- Обозначим индексами 1, 2 предельные значения газодинамических функций при стремлении пространственной точки к поверхности 2 о с о стороны объемов 2 Х и 2 2 соответственно.
Тогда, вычитая из (1.49) аналогичные уравнения, записанные для объемов 2 2 и 2 2 , получим
\P(D-Vjd2-\P(D-Vjd2-]P(D-Vi)d2 = 0.
Отсюда, учитывая обратные направления нормалей на сторонах 2 o r 2о2> имеем
J [р 2 (В - v2) — р х (D — v,)] nd% = 0, s ° • •
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности 2о«
22
В силу произвольного выбора части поверхности разрыва 2 0 получаем закон сохранения массы при переходе через поверхность разрыва
P , ( ß - 0 = P i ( * > - » . i ) - ( L 5 3 )
Предположим далее для общности, что в окрестности поверхности разрыва 2 0 со стороны объема Q2 подводится или отводится энергия Ç, рассчитанная на единицу массы. Энергию Q можно рассматривать как энергию, выделяющуюся мгновенно при сгорании горючей смеси газов или поглощающуюся при испарении частичек жидкости в газовом потоке. Тогда для полной энергии единицы объема Е на стороне 2 0 2 поверхности 2 о можно принять
Е.2 = ?.,{^- + Н±0),
где знак «плюс» соответствует отводу энергии, а знак «минус» — подводу энергии к поверхности разрыва, е2 — внутренняя энергия среды в состоянии 2.
Если применим теперь изложенные рассуждения при получении закона сохранения масс к уравнению количеств движения (1. 50), уравнению энергии (1. 51), то получим остальные условия на поверхностях сильного разрыва:
Р2^2 (О — Vj — (D — Vnl) = (p2 — P l ) П,
P2 (D — vnè ( y + 4 + (?) — ?„2 — =
= P l (D - v n l ) ( 4 + h ) - Я* - P i V v (1 • 54)
2.2. Виды поверхностей разрыва и их свойства при Q =0. Если обозначить разности или скачки величин квадратными скобками, например [ р ] = = р2—Ри то соотношения (1. 53)—(1. 54) примут вид
.[Р ( Л - * , ) ] = 0, [ 9 V { D - v J - p n ] = 0, (1.5о)
= 0. р(^-о (т + е ) - ? я - pv
Скорости D—ип1 и D—vn2 можно рассматривать как скорости поверхности разрыва относительно частиц на различных сторонах разрыва.
Если D — У я 1 = 0 , D—vn2=0y то частицы среды не переходят с одной «стороны разрыва на другую, a vnl=v^ В этом случае возможен разрыв касательной составляющей скорости на различных сторонах разрыва и произвольный разрыв плотностей р г т ^ р 2 . Такой разрыв называется тангенциальным или контактным. Для тангенциального разрыва
[Р] = 0, Ш = 0, [ р ] ^ 0 , [vn} = 0. (1.56)
Если [vn]=^=0, то частицы жидкости переходят с одной стороны поверхности 2 0 на другую, изменяя свои характеристики состояния и движения скачком.
Примем теперь, что частицы переходят со стороны 1 на сторону 2 поверхности разрыва, так что [ип] > 0, и дадим следующее
23
О п р е д е л е н и е . Поверхности сильного разрыва, для которых f y J > 0> f j P ] > 0 , [ р ] > 0 , называются ударными волнами или скачками уплотнения.
Если же частицы переходят со стороны 1 на сторону 2 поверхности 2 0 >
но [vj < 0 , [р] < 0 , [р] < 0 , то такие разрывы называются скачками разрежения.
При распространении сильного разрыва по покоящейся среде {vnl= = 0 ) для ударной волны газ за скачком 2 0 набегает на покоящуюся среду и получается уплотнение. Если же ип2 < 0, то скорость жидкости за скачком направлена в сторону, обратную скорости распространения разрыва в неподвижной среде.
Пусть теперь [о]=0, a D—ип1^0. Тогда из уравнений (1. 55) следует, что
[р] = 0, [vj = 0, D - v n l = ^ - r (1.57)
Разрывы, для которых [р]=0, D—vnl=^=0 и выполнено условие (1. 57)т
называются фронтами фазовых изменений или фазовыми фронтами. Фазовые фронты имеют место тогда, когда qn=f^O. Если qn=0, то из (1. 57) следует, что [е]=0 и все величины не терпят скачок при переходе через 2 0 , т. е. сильного разрыва не существует.
Мы будем изучать течения с сильными разрывами, типа обычных ударных волн, и течения с выделением энергии на поверхности разрыва (Q=T^0).
Рассмотрим теперь более подробно случай поверхностей разрыва без тепловыделения и подвода тепла путем теплопроводности ((?=0, #=0 ) . В соответствии с условием роста энтропии ([S] > 0) в газе возможны лишь скачки уплотнения или ударные волны. Ниже мы сформулируем это свойство более детально.
Ту сторону поверхности 2 0 , с которой газ натекает на нее, будем называть передней стороной или стороной перед фронтом, противоположную же сторону — задней стороной или стороной за фронтом ударной волны, причем под фронтом ударной волны будем понимать поверхность разрыва 2 0 .
В дальнейшем будем считать, что нормаль направлена в сторону перед фронтом ударной волны. Параметры газа перед ударной волной будем обозначать индексом 1 или оо (иногда 0), параметры газа непосредственно за фронтом ударной волны индексом 2 или п (иногда 1).
Выбор индексов будет зависеть от удобства при исследовании конкретных задач. Если из уравнений (1. 55) исключить скорости v, D—vnlr
D—vn2, то придем к соотношению вида
s 2 _ 8 l = i - ( p 2 + P l ) ( l _ i ) . (1.58)
Соотношение (1. 58) дает связь между термодинамическими параметрами р1? р г перед ударной волной и р2, р2 — за ударной волной и называется адиабатой Гюгонио, или ударной адиабатой. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями из (1. 58) имеем уравнение ударной адиабаты
Р2 __'(7 + 1) — (т — 1) T r 1 \ ( л
Отметим основные свойства ударных волн. Назовем интенсивностью ударной волны величину [р] (или [р]) и определим, как обычно, адиабатическую скорость звука по соотношению a2 = (dp/dp)s.
С в о й с т в о 1. Вдоль адиабаты Гюгонио для сред, у которых выполняется неравенство d2V/dp2 ^> 0, энтропия возрастает монотонно вместе с давлением р. Отсюда в соответствии со вторым законом термодинамики следует, что ударная волна является скачком уплотнения и для нее р2 > ^ > Р п ?2 > Pi- Этот вывод -v один из фундаментальных в теории сильных разрывов.
С в о й с т в о 2. Скачок энтропии в ударной волне есть величина третьего порядка малости по отношению к интенсивности разрыва, т. е.
С в о й с т в о 3. Абсолютная величина нормальной составляющей скорости движения газа относительно ударной волны больше скорости звука перед фронтом и меньше скорости звука за фронтом, т. е. \ип1— — D \ > a v \vn2—D\ <С <V Этот вывод носит название теоремы Цемплена и он тесно связан с условием роста энтропии в ударной волне.
С в о й с т в о 4. Касательная составляющая скорости v не терпит разрыва при переходе через ударную волну.
О п р е д е л е н и е . Назовем ударную волну сильной, если [р]/рг ^> ^>1, и слабой, если [рУрг < 1.
С в о й с т в о 5. Для слабой ударной волны имеют место равенства
Свойство 5 показывает, что когда интенсивность разрыва стремится к нулю, то относительная скорость газа по нормали к поверхности ударной волны стремится к скорости звука.
Здесь не рассматриваются свойства поверхностей разрыва при Q=^0.. На этом случае мы остановимся в главе 6 при изучении конкретных задач.
2.3. Ударные волны при одномерных течениях. При одномерных течениях газа возможны лишь плоские, цилиндрические или сферические ударные волны в соответствии с теми типами одномерных течений, которые мы рассматривали выше. Условия на ударных волнах можно получить либо из уравнений в интегральной форме (1. 52) для одномерных движений, лдбо из общих условий на ударной волне (1. 55).
Пусть приток тепла отсутствует*(д=0). В случае одномерных движений вектор скорости всегда направлен по нормали к поверхности разрыва, т. е. v=vn. Условия на скачке уплотнения для одномерных движений без подвода тепла можно записать так:
l im Р2 — Pl ?2 — ?1
'2>
(1.60)
25
где, как и прежде, индексом 1 отмечены величины по одну сторону от поверхности разрыва, а индексом 2 — по другую.
Если считать, что среда перед ударной волной покоится, т. е. ^ = 0 , то условия (1. 60) упрощаются:
p1D = p2(D — v2), p2 = p2v2(D — v2) + р1У
P l # e l = ?2 (D — V2) \-f + £ 2 j — /V;2
В случае совершенного газа, вводя величину скорости звука в покоящемся газе #i=(lPi/Pi) l / 2 и заменяя s согласно (1.10), условия (1.61) можно преобразовать к виду
_ 2 /4 П . _ Т + 1 Т
^ (1 - g) D, р2 - 1 ± ± P l [ l + ^ J 1 , (1. 62)
2 П 9
2̂ — 1 7 - 1
2 Т
где q=a\lD2\ v2, р 2 , /? 2 — скорость, плотность и давление непосредственно за ударной волной, распространяющейся по покоящемуся газу со скоростью D.
Заменяя в равенствах (1. 62) D через g, получим
=——г—^-а, , р 9 ~ ' , 0 pi, р 2 = -Ц—тЧт—— Р\ • (l.bo)
Из последнего соотношения (1. 63) можем получить
2 Т
(7 + 1 ) ^ + 7 - 1
Отсюда следует, что для больших величин р21рг, т. е. очень интенсивных ударных волн, величина q, а следовательно, и aJD малы.
Из (1. 62) видно, что для малых q величины в квадратных скобках мало отличаются от единицы. Так, для у = 1 , 4 уже при q < 0,01 эти величины отличаются от единицы менее чем на 0,05. Если в соотношениях (1. 62) положить q=0 (это равносильно тому, что р±=0), то при q < 0,01 будет допущена ошибка в значениях и2, р 2 , р2 менее 5%. При # = 0 условия на ударной волне (1. 62) примут простую форму:
y 2 = Y T Ï ^ P * = Y ^ ï P l . P2 = - p i P r ö 2 - (1-64)
Условия на ударной волне вида (1. 63), (1. 64) будут нами часто использоваться в дальнейшем. Условия (1. 60), (1. 61) записаны в предположении отсутствия передачи тепла в потоке посредством теплопроводности. Если учесть теплопроводность, то к последнему уравнению системы (1. 60), выражающему закон сохранения энергии, следует добавить справа член х 2 (dT/dr)\2, а слева — х х (дТ/дг)\19 дающие приток тепла к ударной волне ( х — коэффициент теплопроводности).
Заметим, что условия вида (1. 64) имеют место и для неодномерных движений при распространении ударной волны по покоящемуся газу, только здесь следует принять, что v2=vn2. Это вытекает из того, что каса-
26
дельная составляющая скорости непрерывна, а так как она равна нулю перед волной, то она будет равна нулю и за ударной волной, т. е.
§ 3. Уравнения магнитной гидродинамики
3 .1 . Система дифференциальных уравнений магнитной гидродинамики. При движении электропроводной жидкости или газа в электромагнитных полях на картину течения газа будут оказывать влияние как электромагнитные силы, так и обмен энергией между движущимся газом и электромагнитным полем. С другой стороны, движение жидкости может оказать существенное влияние на параметры электромагнитного поля.
При описании движения электропроводного газа с учетом взаимодействия с электромагнитным полем можно, как и в обычной газовой динамике, применять переменные Эйлера и переменные Лагранжа. По существу здесь изменится лишь число искомых функций и к уравнениям газовой динамики добавится еще система уравнений Максвелла для изменения магнитных и электрических полей в движущихся проводниках.
Уравнения магнитной гидродинамики состоят из системы уравнений Максвелла и уравнений движения жидкости (уравнения неразрывности, количества движения и энергии) с учетом взаимодействия между электромагнитным полем и движущейся средой.
При описании движения электропроводных газов мы будем пользоваться гауссовской системой электромагнитных единиц. Уравнения Максвелла для проводников возьмем в виде ,
rot 13= — div В = О, С (1 .65)
rotff = ^ j + j ^ , divA, = 4 ^ ,
где JE — вектор напряженности электрического поля, II — вектор напряженности магнитного поля, j — плотность тока, В — вектор магнитной индукции, Du — вектор электрической индукции, ре — макроскопическая плотность электрического заряда, с — скорость света в пустоте.
Поясним некоторые из введенных понятий. Электрический ток, возникший в проводниках, в частности в ионизованном газе (плазме), представляет собой движение заряженных частиц. Обозначим через vk микроскопические скорости электронов и ионов, а их заряды через ек.
Плотность тока j вводится как среднее по малому объему среды Q из -суммы произведений зарядов на скорости электронов и ионов в объеме Q:
Вектор j часто представляют в виде суммы двух слагаемых:
J=f'+PeV> где,?* — обычный ток как в подвижных, так и в неподвижных проводниках, возникающий под действием электромагнитного поля и называемый током проводимости, а часть pev представляет собой ток, связанный с переносом макроскопического заряда. Так как для большинства проводников pev <^
27
< 0 * » мы будем, как правило, пренебрегать конвективной частью тока и считать j=j*.
О п р е д е л е н и е . Назовем законом Ома векторное соотношение* между плотностью тока j, характеристиками магнитного поля и движущейся среды.
В простейшем виде закон Ома для подвижных проводников записывается как
f=o(E+±(vXH)). (1.66)
Здесь скалярный коэффициент а носит название проводимости среды и будет предполагаться функцией от термодинамических параметров среды.
Связь между векторами индукций Du1 В и векторами поля JEJ, H обусловлена свойствами поляризации и намагниченности среды. Для движений сред типа диэлектриков и ферромагнетиков эти связи могут быть достаточно сложными и нелинейными. Во многих случаях для изотропных сред эти связи записываются просто как В= fx£T, Du=eeE, где ^ — коэффициент магнитной проницаемости, ее — диэлектрическая проницаемость (диэлектрическая постоянная). В магнитной гидродинамике обычно не учитываются свойства поляризации и намагничивания и считается (з.= =const, e e=const [9, 10] (в принятой нами системе единиц j j i = e e = l ) . Заметим, что для распространения электромагнитных волн в пустоте B—H, DU=E, т. е. fi = l, е в = 1. Вторая группа уравнений магнитнойтид-родинамики является по существу обобщением приведенных выше уравнений газовой динамики и без учета вязкости и массовых неэлектромагнитных сил может быть записана так:
i L + divp^ = 0 (1.67)
— уравнение неразрывности,
— уравнение количества движения,
(s+4)+р*> + « ] = ^ б?б) — уравнение энергии.
В системе уравнений (1. 67)—(1. 676) — сила Лоренца или массовая пондеромоторная сила воздействия электромагнитного поля на среду
FL = ?eE+\{jxH),
Р —- тензор с компонентами Pik = — bikp-{-pv{vk, q — вектор потока тепла, произведение JE в уравнении (1. 676) характеризует изменение энергии в жидкости, обусловленное наличием электромагнитного поля.
Систему уравнений (1. 67) можно привести к дивергентному виду. Уравнения (1. 67) с учетом уравнений Максвелла могут быть приведены к виду [10]
(1.67а)
28
(1. 68)
I + div И = О,
+ p V + p'«(e + Ç ) ] = 0,
=L + а д - 4 < Я 2 + 8 « -
Уравнения (1. 68) совместно с уравнениями (1. 65), (1. 66) составляют полную систему уравнений движения сжимаемой электропроводной жидкости.
Мы не будем останавливаться здесь на вопросе о пределах применимости этих уравнений при описании движения ионизованных газов. Скажем лишь, что эти уравнения движения электропроводной жидкости очень часто применяются для рассмотрения нерелятивистских явлений в космической физике, таких как движение ионизованных газов в атмосфере Солнца.
Рассмотрим теперь упрощенную систему уравнений, которую часто и называют системой уравнений МГД или, точнее, —- уравнений магнитной газодинамики.
Пренебрегаем токами смещения в уравнениях Максвелла, т. е. числом dJEJ/dt, и конвективным током pev, что оправданно для случаев заметных токов проводимости j* и при отсутствии колебаний очень высоких частот [10]. Проведенные оценки [9—11] показывают, что для проводящих сред отношение электрической энергии единицы объема к соответствующей магнитной энергии имеет порядок и2/с2, что является весьма малой величиной, так как для большинства явлений (v/c) <^ 1.
Уравнения магнитной гидродинамики при указанных условиях примут вид
- J - + d i v p ^ = 0, (1.69)
i(Ç + p 4 - f - ) = - * v { c ( 4 + ' + f)+sI»x(.xi4l}. (1-Я) d-§ = Tot[vXH-,mTotHl (1.72)
divlT = 0, (1.73)
где vm=c2/4tno — магнитная вязкость.
В системе (1. 69)—(1. 72) уравнение (1. 72) является следствием уравнений Максвелла и закона Ома. Уравнение (1. 72) носит название уравнения индукции (как и в системе уравнений Максвелла). В системе (1 в 69)—(1. 73) особое место занимает уравнение (1. 73). Действительно,
29
если мы применим операцию дивергенции к уравнению индукции, то получим, что в магнитной гидродинамике
- £ - d i v f f = 0 . at
Поэтому в нестационарных задачах для удовлетворения решением ВС уравнения (1. 73) достаточно потребовать, чтобы этому уравнению удовлетворяли начальные условия. Таким образом, равенство div Н=0 выполняется в силу уравнения индукции и начальных условий. Однако при решении задач это уравнение удобно использовать вместо одной из проекций уравнения индукции.
О п р е д е л е н и е . Будем называть газ идеально (или бесконечно^ проводящим, если выполняется условие v w = 0 . Из определения магнитной вязкости следует, что это выполняется тогда, когда а-> о о . Уравнения магнитной гидродинамики для идеально проводящего газа легко получить из системы (1. 69)—(1. 73), в которой следует считать v m = 0 .
Заметим, что для идеально проводящего газа закон Ома принимает простой вид:
Е = _ 1 ( г х Я ) . (1. 7 4 )
Пусть L — характерный линейный размер области, в которой происходит течение электропроводного газа, — характерная скорость движения газа. По аналогии с обычным числом Рейнольдса введем безразмерное число
К = ¥~. (1-75)
Число Rm называется магнитным числом Рейнольдса. Если Rm <^ 1, то говорят о движении с малыми магнитными числами Рейнольдса, течение при Rm ^> 1 будем называть движениями с большими числами Рейнольдса. Если Rm <^ 1, то можно не учитывать влияние движения газа на электромагнитное поле [12] . При Rm ^> 1 за уравнения движения можно принять уравнения МГД в приближении идеально проводящего газа. Действительно, если в уравнении индукции и законе Ома перейти к безразмерным величинам и затем устремить Rm к бесконечности, то в предположении конечности других величин мы получаем соответствующие уравнения идеально проводящего газа. Если числа Rm конечные, но достаточно большие, то в качестве приближенной модели явления используется модель бесконечно проводящего газа.
Если магнитные числа Рейнольдса невелики и имеют порядок единицы (что очень часто бывает в реальных процессах), тогда при теоретическом решении задач нужно использовать полную систему уравнений (1. 69) — (1. 73).
Назовем магнитным давлением величину Н2/8к. Если при движении газа имеет место зависимость (# 2/8тс) <^ р ((Н2/8к) <^ pu2), то магнитное поле будем считать слабым. Если числа Rm не малы, то для слабых полей можно пренебречь силой Лоренца и электромагнитной энергией, но учесть влияние движения газа на изменение параметров электромагнитного поля. Указанное выше приближенное описание движений будем называть приближением слабых полей.
20
Остановимся теперь кратко на свойствах симметрии течений газа в магнитном поле. Уравнения магнитной гидродинамики не допускают при Н=уе=0 сферически-симметричных одномерных движений, для которых имеет место взаимодействие среды и поля. Однако одномерные движения с плоской и цилиндрической симметрией вполне возможны и будут рассматриваться нами в дальнейшем. Естественно, что плоские движения и движения с осевой симметрией встречаются весьма часто в задачах магнитной гидродинамики.
В заключение этого раздела отметим некоторые важные свойства уравнений движения идеально проводящей жидкости. Как уже отмечалось, уравнение индукции в рассматриваемом случае имеет вид
?£=T0t(vXH). (1.76)
Это уравнение тождественно уравнению для вихря скорости в гидродинамике невязкой жидкости; как известно, оно означает, что линии вихря движутся вместе с жидкостью.
Таким образом, из уравнения (1. 76) следует, что магнитное поле меняется так, как будто магнитные силовые линии жестко связаны с веществом. Можно показать (см., например, [9]), что уравнение (1. 76) приводит к постоянству магнитного потока, пронизывающего контур, каждая точка которого движется с локальной скоростью v. Движение вдоль силовых линий не сказывается на поле; при движении же в поперечном направлении силовые линии перемещаются вместе с веществом. Указанное свойство движения идеально проводящей жидкости называется свойством вмороженности силовых линий магнитного поля. Следуя [9, 13], приведем теперь некоторые общие результаты, связанные со свойством вмороженности. Используя (1. 69), (1. 73), уравнение (1. 76), определяющее изменение поля, можно преобразовать к виду
L dt ( f h ( f s r a d ) v > (1.77)
где dl dt — субстанциальная производная. Пусть радиус-вектор г 0 какой-либо частицы по истечении некоторого
времени стал т , a HQ и р 0 приняли соответственно значения JÏ, р. Из уравнения (1. 77) следует соотношение между т0, Н0, р 0 и г, 2Т,р.
называемое интегралом вмороженности [9, 13],
(frgrad)r (1.78)
или в координатном виде
Н, H 0J дх1
Po öxi
dxi
dxl
H
охг
dxi
(1.79)
где через дх*
дх{
дх%
обозначен определитель матрицы — г L dxi
Рассмотрим один важный частный вид соотношения (1.79). Пусть движение плоское, а вектор H перпендикулярен к плоскости движения.
31
Тогда из (1. 77) или (1. 78) следует
H щ
Р Ро (1.80)
так как в этом случае длина элемента магнитной силовой линии не меняется.
Формально в этом легко убедиться, если преобразовать (1. 77) с учетом условия div Н=0 в
d H V H v
dt p P *
Отсюда следует отмеченный выше интеграл, так как H v=0. При изучении плоских движений идеально проводящего газа в магнитном поле, перпендикулярном плоскости движения, соотношение (1.80) позволяет исключить H из уравнений МГД. Кроме того, если вместо давления и внутренней энергии ввести функции р*=р-{-(Н2/8к), е* = г-\-(Н2/8к), то уравнения МГД будут совпадать по форме с уравнениями обычной газовой динамики. Отсюда следует, что решения задач МГД в этом случае могут быть получены путем пересчета соответствующих задач обычной газовой динамики. Необходимо лишь сделать изменения в граничных и начальных условиях задач.
Отметим здесь также следующее важное свойство для совершенного газа при у=2: все термодинамические формулы останутся без изменения, если в них вместо р принять р*.
3.2. Уравнения магнитогидродинамического приближения для движения разреженной плазмы. Уравнения, аналогичные гидродинамическим, могут быть написаны и для движения сильно разреженной плазмы в магнитном поле. Из кинетического уравнения Больцмана—Власова и уравнений Максвелла [14, 15] можно получить следующие уравнения гидродинамического приближения:
i L + d i v P » = 0, (1.81)
^ - + divf = 0, (1.82)
£ ( e + -Tr).+ d i v O = °« (1-83) д
(pJB) + div (pj>lВ) = 0, (1.84)
d t + rot (J3 X ») = 0, à\vB = 0. (1.85)
dt
d B
Здесь t — тензор потока импульса с составляющими
та = № + Р А * + BiBk - i (BtBk - 1 вча),
Q — вектор потока энергии
О = PV + s + I f ) + - ^ = ^ В (vB) + ± (В X (v X В)),
в = (1/р) (р± + рй) имеет смысл внутренней энергии плазмы, величины р± и р„, входящие в тензор напряжений, в вектор потока энергии
32
и в выражение для е, носят названия поперечных и продольных давлений. При рассмотрении вопросов движения разреженной плазмы для характеристики магнитного поля мы будем использовать вектор магнитной индукции В, как наиболее часто употребляемый в соответствующей литературе.
Система (1. 81)—(1. 85) грубо описывает поведение разреженной плазмы. Однако она часто используется для качественного исследования движения плазмы весьма низкой плотности при наличии магнитного поля. Обсуждение вопросов применяемости этих уравнений к физическим задачам имеется в работе [16]. Не останавливаясь на этом, заметим, что система (1. 81)—(1. 85) может применяться лишь для описания движений разреженной плазмы при наличии магнитного поля и не может применяться к описанию движения разреженного неэлектропроводного газа. Отметим далее, что уравнение энергии (1. 84) может быть преобразовано с помощью других уравнений системы (1. 81)—(1. 85) к виду
Уравнение (1. 86) можно использовать в системе (1. 81)—(1. 85) вместо уравнения энергии.
Систему уравнений (1. 81)—(1.85) или ей эквивалентную будем в дальнейшем называть системой МГД уравнений разреженной плазмы.
Приведенные системы являются основными для исследования многих задач магнитной гидродинамики и динамики плазмы, В этих уравнениях ионизованный газ рассматривается как единая электропроводная жидкость, поэтому уравнения рассмотренного типа называют уравнениями в одножидкостном приближении,
Возможно введение двухжидкостной или двухкомпонентной модели движения полностью ионизованных газов, т. е. введение электронной жидкости для потока электронов и ионной жидкости для движения ионов и сил, учитывающих их взаимодействие, а также взаимодействие с электромагнитными полями,
Если газ не полностью ионизован, то применяется трехжидкостное, или трехкомпонентное, описание движения газа, состоящего из электронов, ионов (одного сорта) и нейтральных частиц.
Мы не будем здесь рассматривать уравнения двух- или многокомпонентной МГД. Для достаточно плотных газов эти уравнения выводятся в работах [17, 18]. Для сильно разреженной плазмы они приведены, например, в [16, 19].
Помимо уравнений в форме законов сохранения, в физике плазмы используется рассмотрение поведения траекторий отдельных частиц в электромагнитных полях и на основании суммарных данных об этом движении находят токи и заряды, которые используются в уравнениях Максвелла, описывающих изменение параметров электромагнитного поля. Здесь развита специальная техника осреднения движений и учета изменения электромагнитных полей, обусловленного движением частиц [20—25]. Приведем некоторые сведения из теории движения заряженной частицы в электромагнитных полях.
3 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 33
(1.86)
Движение частицы во внешнем электромагнитном поле описывается уравнениями
dr d (mv) dt = v, I^L = e ^ + l v X B ) , (1.87)
где r — радиус-вектор частицы, e — заряд, m — масса частицы. При релятивистских скоростях масса m должна рассматриваться как величина переменная
т = - , (1.88) Vi —|— i;2/c2
где т0 — масса покоя. Если JE7=0, то сила, действующая на частицу F=(e/c)(vxB),не имеет
компоненты, параллельной В, поэтому импульс pe=mv имеет постоянную составляющую, параллельную В. Далее, если умножить уравнение (1. 87) скалярно "на то получим pe(dpjdt) = О, р2
е = const. Отсюда и из (1. 88) следует, что m=const, длина вектора v постоянна.
Пусть магнитное поле постоянно и однородно. Разложим полную скорость v на скорость vl{ вдоль вектора В ж ^перпендикулярно В. В системе координат, движущейся со скоростью v]}, траектория частицы представляет собой окружность. Движение частицы, перпендикулярное к магнитному полю, есть равномерное вращение по окружности с угловой скоростью
( 0 = — — , (1.89) тс ' v . '
которую называют ларморовой или циклотронной частотой. Радиус окружности и сама окружность носят название ларморовых. Для радиуса ларморовой окружности г% имеют место формулы
тси L
О) еВ (1.90)
Для положительно заряженной частицы вектор угловой скорости (*> направлен против JB, а для отрицательно заряженной частицы — по В^
Дадим теперь следующее О п р е д е л е н и е : Назовем магнитным моментом частицы векторную
величину
а = _ ^ В (*- 9 1 >
Магнитный момент (л имеет смысл произведения среднего тока, создаваемого вращающейся частицей, на векторную площадь ларморова кружка: JA = Isle = ( 1 / C ) J * Ö > / | < Ö | .
Отсюда можно получить (1. 91), если принять
2тс '
В постоянном и однородном магнитном поле частица движется по цилиндрической винтовой линии (спирали). Ось винтовой линии параллельна вектору В. Магнитный момент частицы [А остается постоянным при таком движении. Картина движения частицы усложняется, если Е=^=0Г
Ву^О, причем JE ж В переменны. Мы не будем подробно останавливаться на вопросах движения частицы
в переменных 'электромагнитных полях. Заметим, однако, что величина
34
mil для релятивистских скоростей и величина | i для нерелятивистских скоростей изменяются весьма мало в процессе движения при слабых электрических полях и медленности пространственных и временных изменений В. Иначе говоря, эти величины являются приближенными интегралами уравнений движения частицы или адиабатическими инвариантами.
Возвращаясь к уравнениям МГД разреженной плазмы, поясним физический смысл уравнений (1. 81)—(1.86). Заметим, во-первых, что вывод системы этих уравнений осуществляется из уравнения Больцмана—Власова при предположении, что характерный ларморовский радиус движения частиц значительно меньше характерной длины неоднородностей плазмы, а соответствующие ларморовские частоты больше характерных временнйх частот рассматриваемых процессов. • -
Далее, величина р±1 рВ имеет смысл среднего магнитного момента частиц, рассчитанного на единицу массы. Скорость v, входящая в систему уравнений, имеет смысл средней скорости единицы объема ансамбля невзаимодействующих (в смысле отсутствия близких взаимодействий или столкновений) частиц. Поэтому, если мы назовем условно индивидуальным (или жидким) объемом элемент объема, движущийся со скоростью v, то уравнение (1. 84) означает, что средний магнитный момент pJpB сохраняется в индивидуальном объеме. При сжатии плазмы в направлении магнитного поля величины В и р± не меняются, а величины р„ и р связаны адиабатической зависимостью с показателем у=3. Таким образом, уравнение (1. 86) играет роль условия адиабатичности в индивидуальном объеме при движении среды вдоль магнитных силовых линий. Заметим также, что если формально положить р„ = 0 , то система (1. 81)— (1. 85) переходит в систему уравнений идеальной МГД для совершенного газа с т=2, причем pi играет роль обычного давления.
3.3. Линеаризированная система уравнений магнитной гидродинамики. С помощью рассмотренной процедуры линеаризации уравнений гидродинамики можно провести линеаризацию системы МГД уравнений около состояний, когда г? 0 =0, p=const, lT 0=const (однородное поле). Пусть вектор Н0 направлен по оси z , проводимость бесконечна. Тогда из системы уравнений (1. 69) путем преобразований найдем
(1.92)
(1.94)
где дифференциальные операторы L и Lu таковы:
(1.95)
— J L _ „1 ü (1.96)
aï— обычная скорость звука, лА — - = = •—альвеновская скорость.
Заметим, что если аА=0, то вместо (1.92) имеем (d2/dt2—a2
0L\) р=0, т. е. обычное волновое уравнение.
Если же а0—0, то из (1. 92) получим также волновое уравнение, где вместо al будет стоять а\.
В частном случае несжимаемой жидкости (p=const) из (1. 93) получим
LHH=0. (1.97)
Уравнение (1. 97) дает нам уравнение распространения магнитогидродинамических или альвеновских волн. Как видно из (1. 97), эти волны связаны с распространением возмущений вдоль силовых линий вмороженного в несжимаемую среду поля.
Анализ уравнений распространения малых возмущений вдоль оси z показывает [9, 10], что имеются три характерные скорости распространения ал, а+, а_, причем для последних имеет место формула
(1.98)
где а+ — скорость быстрой магнитозвуковой волны, а_ — скорость медленной магнитозвуковой волны.
§ 4. Условия на магнитогидродинамических ударных волнах
4.1. Магнитогидродинамические разрывы. Условия на магнитогидродинамических ударных волнах могут быть получены стандартными приемами из интегральных законов сохранения, написанных как для движущейся жидкости, так и для электромагнитного поля. Мы не будем здесь останавливаться подробно на выводе этих условий для обычной МГД, ибо он может быть выполнен по аналогии с тем, как это было описано в § 2 для газодинамических ударных волн. Вывод этих условий дан, например, в [6, 9, 10, 21].
Для параметров электромагнитного поля имеют место условия [6, 9, 26]
nX[H]-^DlDu] = iy (1.99)
пХ[Щ — Z)[J3) = 0, • (1.100)
: п Х [ Б ] = 0, (1.101)
где через D обозначена скорость ударной волны, п — единичная нормаль, г — поверхностный ток. Если токами смещения пренебречь и считать B—H, DU=JEJ, то в соответствии с уравнениями Максвелла и законом Ома (1. 66) имеем
2!=±(vmTobH—vXH). (1.102)
Если предположить, что по поверхности ударной волны не течет концентрированный ток, то (1. 99) вместе с (1. 101) приводит к непрерывности магнитного поля, ибо в дополнение к (1. 101) разность тангенциальных
36
компонент поля U также равна нулю [9 ]. Таким образом, в случае конечной проводимости (1. 100), (1. 102) дают
w x ( v w r o t l T —1>ХЯГ) = 0. (1.103)
Так как магнитное поле непрерывно в случае конечной проводимости, то гидродинамические условия на поверхности разрыва сведутся к рассмотренным условиям (1. 55). Однако дополнительное условие (1. 103) должно быть учтено при решении задач о движении электропроводного газа конечной проводимости. Для бесконечной проводимости условия на разрывах просто получаются из уравнений МГД в интегральной форме для произвольного движущегося объема Q'(t). Эти уравнения имеют вид
dt
£]pd<2+§9(vn-D)d2 = 0, s s
±\GdQ + $(tn) (vn-D)d2 = 0, 2 S
j WdQ+[Sn(vn-D)d2-=0.
(1.104)
(1.105)
(1.106)
Уравнения (1. 104)—(1. 106) следуют из аналогичных соотношений для постоянного объема, полученных в работе [9] , и из формулы (1. 46) дифференцирования интегралов. В этих уравнениях Т — тензор плотности полного потока импульса с компонентами
т* = Р»Л + Au - é (н<н* + Е<Е*)~ш № + ̂ 8«'
W — плотность полной энергии, W — p(̂ s + y + § ^ ( # 2 + ^ 2))> S — плотность полного потока энергии,
Sn = p(e + ^-)vn + qn-(Tv)n + {-JExn:)n,
D —скорость границы 2 , Sn=S-n. Из уравнений (1. 104)—(1. 106) легко получаются условия на разрывах
для идеально проводящих сред. Если учесть, что JEJ=—(Не) (vxH), и принять во внимание электро
динамические соотношения (1. 99)—(1. 102), то при # = 0 полная система условий на поверхности разрыва примет вид [9, 11] .
[HJ = 0,
[(vn~D)H-Hnv}=0,
UPH-D)P] = 0,
( ^ - ^ ) ( С + р г + ^ + ^ ( р в + - £ ) - & ( ж . , )
(1.107)
(1.108)
(1.109)
(1.110)
= 0. (1.111)
Здесь первое соотношение есть следствие отсутствия магнитных зарядов, второе следует из уравнений для поля (1. 100) и формулы для IS. Соотношение (1. 108) по существу есть выражение закона вмороженности. Ос-
37
тальные соотношения являются соответственно следствиями законов сохранения массы, импульса и энергии. Соотношения (1. 107)—-(1. 111) существенно сложнее аналогичных соотношений для обычной гидродинамики и дают большее разнообразие возможных разрывов. Подробная классификация МГД разрывов дана в работа [9, 10, 27, 28].
Если через поверхность разрыва нет потока вещества, т. е. т—р1-'(viii—D)= ?2 (vn2—D)= 0, то имеет место либо тангенциальный разрыв (Нп=0), либо контактный разрыв (Нп=^0), [р]=0, [vn]^Q, [ Я ] = 0 . При т=т^0 имеют место вращательные разрывы и ударные волны. Вращательным называется разрыв, для которого выполнено условие [ г ^ ] = [ р ] = 0 . Для этого разрыва из соотношений (1. 107)—(1. 111) получаем
На вращательном разрыве непрерывны все термодинамические параметры. Более того, имеем [Я 2]—0, т. е, модуль вектора H непрерывен. Вектор H меняет свое направление при переходе через разрыв, причем [JET] = km iß (Нх + Н2) X п, где к — некоторая постоянная.
Поверхности разрыва, для которых т=^0, [ р ] ^ 0 , называются ударными волнами. Имеются следующие виды ударных волн: быстрая ударная волна, медленная ударная волна, ударная волна включения, ударная волна выключения. Последние являются предельными случаями двух первых.
Быстрая ударная волна — аналог обычной газодинамической волны, причем напряженность магнитного поля увеличивается при переходе через разрыв. В медленной волне магнитное поле уменьшается. Отметим основные свойства быстрых и медленных ударных волн.
С в о й с т в о 1. Ударные волны являются скачками уплотнения. Скачки разрежения невозможны, так как им соответствуют переходы с уменьшением энтропии [29, 30].
С в о й с т в о 2. Изменение энтропии является величиной третьего порядка по интенсивности ударной волны, причем имеет место формула
y(5.-5 1) = i Q > , - P 1 ) 8 - ï J ; Q e ( A - P i ) № - ^ . ) î . ( L i « )
Здесь Т — температура, S — энтропия, V— II р — удельный объем, Нх — величина касательной составляющей поля Н.
С в о й с т в о 3. Для медленных и быстрых волн соответственно имеют место неравенства
a - , 1 < D — vni <aAi, D — vn2 < ; a _ t 2 , a+) г < D — v n V
aA2<D — v n 2 ^ a + f 2 . (1.114)
Условия (1. 114) следуют из условий эволюционности ударной волны. В (1. 114) знаки равенства соответствуют ударным волнам бесконечно малой интенсивности. Дадим теперь
О п р е д е л е н и е . Назовем уравнением ударной адиабаты равенство
Ч - h + Е ^ <У2 -VJ+J^iVi- V,) (H* - Н^Г = 0. (1.115)
38
Отметим еще один важный вид ударных волн, для которых Нп—0, т. е. магнитное поле параллельно фронту волны. Для таких ударных волн из условий (1. 108), (1. 109) находим [HIр]—0.
Ударными волнами включения принято называть ударные волны, для которых Нх1—0, но Нх2у^0. После прохождения такой волны возникает (включается) касательная составляющая магнитного поля, отсутствовавшая перед волной. Ударная волна включения является по существу быстрой ударной волной, интенсивность которой должна быть ниже некоторой критической величины и впереди которой скорость волны Альвена сверхзвуковая.
Заметим, что в волне включения вместе с касательной составляющей поля возникает и касательная составляющая скорости газа. Ударная волна включения может осуществиться, если выполнено неравенство [21 ]
< 1 Л 1 6 >
Ударные волны выключения характеризуются тем, что для них Нх2—0, JT t 1 ^ = 0 , Т . е. при распространении этой волны после ее прохождения ^исчезает (выключается) касательная составляющая магнитного поля, •существовавшая впереди нее. Волна выключения является медленной волной, интенсивность которой достигает некоторого характерного значения, причем скорость волны Альвена за ударной волной сверхзвуковая.
Вопросы влияния конечной проводимости на распространение ударных волн рассмотрены в ряде работ (см., например, [31]).
В МГД возможны также так называемые ударные волны со скачком проводимости. Эти ударные волны возникают и средах, для которых проводимость впереди ударной волны можно считать нулем, а за фронтом ударной волны — отличной от нуля и даже бесконечной [32, 33]. Ударные волны со скачком проводимости могут иметь место в газах при условии распространения сильной ударной волны, ионизующей газ. Условия на ударных волнах этого типа могут быть достаточно разнообразны в зависимости от соотношений между диссипативными коэффициентами (т. е. коэффициентами вязкости, теплопроводности, электропроводности) и их поведением при переходе через разрыв. Отметим, что если определяющим диссипативным коэффициентом является коэффициент магнитной вязкости, то в качестве дополнительного условия на быстрых ионизующих ударных волнах следует принять [33, 34]
[Н] = 0.
Мы будем рассматривать и этот тип волн при решении задач теории взрыва.
4.2. Условия на ударных волнах для гидродинамической модели разреженной плазмы. Изучение структуры ударных волн в обычной гидродинамике с точки зрения кинетической теории газов или применения полных уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости показывает, что ширина ударных волн (т. е. зон с резкими градиентами скоростей ж термодинамических параметров) имеет порядок нескольких длин свободного пробега молекул. Аналогичная ситуация имеет место в плотной нлазме с относительно малой длиной свободного пробега молекул. В плазме
39
весьма низкой плотности длина свободного пробега молекул весьма велика (больше характерных размеров, на которых меняются средние параметры плазмы), и с молекулярно-кинетической точки зрения в образовании зон с достаточно большими градиентами средних параметров плазмы важную роль играют коллективные свойства плазмы, при которых осуществляются взаимодействия частиц через электромагнитные поля и механизмы неустойчивости движущегося ансамбля частиц.
Проведенные здесь исследования (см. [35, 36]) показывают, что возможно существование ударных волн с шириной много меньше длины свободного пробега частиц. Общепринятых соотношений на ударных волнах, аналогичных классическим условиям Рэнкина—Гюгонио, сейчас нет.
При рассмотрении задач разреженной плазмы примем за основу макроскопические уравнения МГД разреженной плазмы (1. 81)—(1. 85). В силу их нелинейности возможности возникновения разрывов здесь следуют из результатов общей теории уравнений в частных производных [37—39] и были предсказаны для уравнений гидродинамики еще Риманом. Так как вывод условий на ударных волнах этого типа слабо освещен в литературе, проведем его кратко здесь. Будем исходить из уравнений МГД разреженной плазмы в интегральной форме.
Заметим, что электродинамическая часть условий будет иметь вид (1. 107), (1. 108), ибо мы здесь также исходим из уравнений Максвелла и условия бесконечной проводимости. Гидродинамическая часть уравнений в интегральной форме будет состоять из уравнения сохранения массы (1. 104), уравнения количеств движения (1. 105) (где следует взять вместо тензора t тензор Г, входящий в уравнение (1. 82)) и уравнения энергии вида (1. 106) (где следует учесть зависимость энергии е от р±, р{1 и принять вместо вектора S вектор потока энергии Q, входящий в уравнение (1. 83)). Кроме того, к уравнениям вида (1. 104)—(1. 106) добавится новое уравнение
соответствующее закону сохранения среднего адиабатического инвари-
сохранения стандартную процедуру, описанную в § 2, и используя для электромагнитного поля условия (1. 107), (1. 108), находим
(1. 117>
анта pJB. Применяя теперь к указанным выше интегральным законам
[(vn-D)B-Bnv] = 0,
[("„-Я)р] = 0,
(1.118)
(1.119>
(1.120)
Pu — Pj_ В*
0, (1.121)
(1.122)
В (vn-D) = 0 . (1.123)
40
Условия (1. 118)—(1. 123) дают возможность проанализировать изменение основных величин при переходе через разрыв. При выводе этих условий было сделано существенное предположение о том, что в ударной волне сохраняется средний магнитный момент pJB р. Это условие было предложено Р. В. Половиным [40]. В пользу этого предположения говорит выполнение условий эволюционности в волне сжатия [40], а также тот факт, что адиабатический инвариант частицы сохраняется с большой точностью при движении ее в электромагнитных полях при пересечении поверхности, где параметры поля имеют разрыв первого рода [41—43].
Условия (1. 118)—(1. 123) будем называть условиями на магнитогидро-динамической ударной волне в разреженной плазме. Отметим некоторые свойства ударных волн в разреженной плазме, следующие из этих условий. Заметим, что эти условия также допускают разрывы типа тангенциальных, контактных и вращательных, аналогичных таковым для случая идеальной МГД.
Здесь могут быть как быстрые, так и медленные ударные волны, а также волны включения. Причем все волны, для которых ВпХ=^=0, Вх1=0г
являются волнами включения (за ними Bz=^0) [43]. Если для энтропии принять формулу [40] S=(k/2) In (р„ р * / р 5 ) , где к — постоянная Больц-мана, то в ударной волне будет иметься рост энтропии.
Движение газа при наличии ударных переходов будет наиболее устойчивым при условии р„—Pi. > 0 [14, 43].
Свойства магнитогидродинамических ударных волн в разреженной плазме изучены значительно слабее свойств аналогичных разрывов в обычной МГД.
§ 5. Элементы теории размерности и понятие об автомодельных движениях среды
При исследовании задач теории точечного взрыва мы будем широко использовать выводы и методы теории подобия и размерностей. Ниже приводятся необходимые для дальнейшего сведения из теории размерности и вводится понятие автомодельных движений [46].
Единицы измерения физических величин делятся на основные и производные. Различные физические величины могут быть связаны между собой определенными соотношениями, выражающими физические законы. Если часть из этих величин принять за основные и установить для них какие-либо единицы измерения, то единицы измерения для всех остальных величин будут выражаться через единицы измерения этих основных величин, т. е. будут производными единицами измерения. Выражение производной единицы измерения через основные называется размерностью.
При изучении механических, тепловых[и некоторых других физических явлений достаточно ввести только три независимые основные единицы измерения: для длины, массы и времени. Этой системой основных единиц измерения мы будем в основном пользоваться при изучении явлений взрыва.
Размерность величин записывается символически в виде формулы, в которой символ единицы длины обозначается буквой L, символ единицы
41
массы — б у к в о й . ЛГ, единицы времени — буквой Г. Для обозначения размерности какой-либо величины а принят символ [а].
Размерность всех физических величин, которые мы будем в дальнейшем использовать, может быть выражена формулой вида [а] = Mn^Ln^Tn\
Говорят, что некоторая размерная величина имеет независимую размерность от остальных величин, входящих в задачу, если формула, выражающая ее размерность, не может быть представлена как комбинация в виде степенного одночлена из формул размерности для других величин. Так, например, размерности плотности [ p]=ML~3 и энергии [E]=--ML2T~2
независимы, размерности длины L, скорости LT'1 и ускорения LT'2
зависимы. При изучении задач физики и механики мы часто сталкиваемся со слу
чаем, когда какая-либо размерная величина есть функция других размерных величин. Пусть мы имеем некоторую размерную величину а, которая является функцией размерных величин аъ а2,. . ., ап,
a = <?(av a2t . . . , ая). ( 1 . 124 )
Будем считать, что зависимость (1. 124) выражает собой некоторый физический закон, фиксированное физическое соотношение, не зависимое от выбора системы единиц измерения.
Пусть среди размерных величин только первые к величин к ^ п имеют независимые размерности. Так как в интересующих нас задачах число основных единиц измерения равно трем, то в нашем случае к 3. Всякое физическое соотношение вида (1. 124) можно рассматривать как соотношение между безразмерными величинами. Если известно, что эта безразмерная величина является функцией ряда размерных величин, то эта функция может зависеть только от безразмерных комбинаций, составленных из определяющих размерных величин.
Согласно тс-теореме теории размерности функциональная связь между п-j-1 -размерными величинами, не зависимая от системы единиц измерения, принимает вид соотношения между п-\-1—/^-безразмерными величинами, представляющими собой безразмерные комбинации из тг+1-размерных величин.
Естественно, что чем меньше число параметров, определяющих изучаемую величину, тем больше ограничена функциональная зависимость типа (1. 124) и тем легче ее изучить. Так, если число основных единиц измерения равно числу определяющих параметров с независимыми размерностями, то эта зависимость определяется с точностью до постоянного множителя. Действительно, если п=к, то из величин аъ а2, . . ., ап нельзя образовать безразмерной комбинации. Для размерности же величины а имеем соотношение [a]=[a1]ki[a2]k* . . Лап]кп, которое выполняется при условии а~ск актк* . . . ак%, где ск — . . . безразмерная постоянная, а показатели к±, к2,. . . , кп легко найдутся из сравнения размерностей правой и левой частей написанного равенства.
Приступая к решению какой-либо физической или механической задачи, мы начинаем с выделения основных факторов, существенных переменных и постоянных параметров, которые определяют интересующие нас величины. Одним из первых шагов исследования функциональных
4 2
зависимостей размерных величин является этап составления таблицы основных параметров, определяющих рассматриваемое явление.
Теория размерности предъявляет к системе определяющих параметров требование наличия среди определяющих параметров размерных величин, через которые могут выражаться размерности всех зависимых величин. Так, например, нельзя утверждать, что статическое состояние совершенного газа определяется только двумя размерными величинами — температурой Т (1Т]=С°) и плотностью р, так как размерность давления не может быть выражена через [Т] и [ р ] . К этим величинам необходимо добавить еще одну размерную постоянную R (R — газовая постоянная).
Перейдем к использованию отмеченных выше выводов теории размерности в задачах о движении сплошных сред. Для решения задач о пространственных движениях сжимаемой жидкости требуется определить давление р, плотность р и компоненты скорости г/по осям х* как функции от времени, координат и постоянных параметров, входящих в условия задачи. В общем случае пространственных движений система определяющих параметров может быть всегда приведена к виду
х\ t, а, 6, с, а 1 э а2, а я , (1.125)
где а, Ь, с — постоянные с независимыми размерностями, аА, а2, . . ая — некоторые безразмерные постоянные.
Некоторая величина определяющая какую-либо характеристику движения среды, будет являться функцией параметров (1. 125), не зависящей от системы единиц измерения. Применим тс-теорему к этой функции. Имеем гг=7, к=3. Образуя безразмерную комбинацию из (1. 125) и ^, можем ввести безразмерную функцию %ч которая согласно тс-теореме может зависеть в рассматриваемом случае от четырех безразмерных переменных. Это следует и непосредственно из того, что из параметров (1. 125) можно образовать четыре независимые безразмерные переменные комбинации. Таким образом, в общем случае имеем
Х = ф(£ ' , ?, « 1 , а 2 , ап),
где х\ t — безразмерные координаты и безразмерное время. Число независимых переменных не уменьшается и равно четырем.
Пусть теперь с=0 и мы имеем в системе определяющих параметров (1. 125) две константы а и & с независимыми размерностями
[а] = МЬкТв, [Ь] = ЬТ~Ь (8=^0). (1.126)
При этом 7 г = 6 , к=3, п—к=3, т. е. безразмерная функция % будет зависеть только от трех безразмерных переменных комбинаций. Эти безразмерные комбинации имеют вид хг1Ыь, x2/btb, xs/btb, никаких других независимых безразмерных комбинаций образовать нельзя. Таким образом,
В случае § = 0 имеем [b] = L, тогда либо а имеет размерность LkT8, либо имеется еще одна размерная постоянная с размерностью, не зависимой от [а], [Ь]. Вторая возможность приводит к общему случаю. Это следует из того, что мы должны образовать безразмерную комбинацию с време-
4 3
нем Z, от которой зависит х- Если [a]=LkT8, то в системе параметров xi;, а, 6, а 1 ? . . ., a w независимую размерность имеют только две величины а и 6, и мы имеем четыре безразмерные комбинации, от которых будет зависеть %•
Дадим О п р е д е л е н и е . Неустановившиеся движения сплошной среды,
в которых все безразмерные характеристики зависят от переменных комбинаций хг1Ыъ, х21Ыь, xs/btb, [b]=LT~b, называются автомодельными. В частном случае одномерных автомодельных движений безразмерные характеристики зависят от одной безразмерной переменной комбинации rlbt\
Из предыдущих рассуждений следует, что для автомодельное™ задачи достаточно, чтобы система размерных определяющих параметров, задаваемая уравнениями и дополнительными условиями, в частности краевыми или начальными условиями, содержала не более двух постоянных с независимыми размерностями, отличными от длины (и времени), т. е. система определяющих параметров имела бы вид х1, х2, х3, t, а, ft, а ь а2, . . ., апГ
где аг, а2, . . ап — безразмерные комбинации, а для [а] и [Ь] верны формулы (1. 126), где к и s — произвольные постоянные. Вместо а можно взять постоянную а, причем [ä]=ML(°~3, где со — произвольное число.
Для одномерных автомодельных движений система определяющих параметров должна иметь вид г, £, а, ft, а ь а2,. . ., ая. Заметим, что в начальной постановке задачи размерных определяющих постоянных параметров может быть и много, но только два из них, которые мы принимаем за а и ft, должны иметь независимые размерности. Все остальные размерные постоянные с помощью а и ft мы можем привести к безразмерному виду и включить их в число параметров сы, . . ., а
й - Так как одномерные автомодельные движения зависят только от одной безразмерной переменной 1=г/Ыь, то для одномерных автомодельных движений система уравнений в частных производных после преобразования к безразмерному виду заменится эквивалентной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, что значительно облегчает решение поставленных задач.
Рассмотрим примеры автомодельных одномерных движений совершенного газа.
1) Распространение фронта пламени или детонации при нулевой толщине зоны горения.
Однородная горючая смесь, заполняющая пространство с постоянным давлением рх и постоянной плотностью р ь поджигается в момент £ = 0 в точке (сферическая симметрия), вдоль линии (цилиндрическая симметрия) или вдоль плоскости (плоская симметрия). По смеси будет распространяться фронт пламени или детонации. Пусть условия распространения пламени или детонации таковы, что можно пренебречь энергией инициирования процесса горения и считать, что вещество мгновенно сгорает на фронте пламени или детонации с выделением энергии.
Определяющими параметрами будут г, £, ръ рг, у, количество теплоты Ç, выделяющееся при сгорании единицы массы газа, и в случае горения — известная скорость фронта пламени С7 2 . Размерность Q в механических единицах может быть выражена через размерности р х и pL. Таким образом,
а
число констант с независимыми размерностями равно двум, т. е. задача автомодельна. Решение этой задачи известно [46, 47]. Другие примеры автомодельных задач о распространении волн в горючей смеси газов рассмотрены в главе 6.
2) Задача об обратном пинч-эффекте. Пусть в бесконечно проводящей среде вдоль прямой пропускается ток / , меняющийся со временем I=oxt {o^const). Начальная плотность газа рх и начальное давление рг постоянны. Начальная скорость 1^=0. В среду вморожено начальное поле ffx=const, направленное параллельно прямой, по которой течет ток.
В силу вмороженности магнитное давление поля линейного тока
8тс 2сг2 о
(г0 — расстояние от оси симметрии до рассматриваемой точки) будет «выталкивать» газ из области, примыкающей к оси, и играть роль расширяющегося с постоянной скоростью поршня радиуса r0 (t) [44]. Возникающий при этом процесс сжатия газа вдоль прямой получил название обратного пинч-эффекта. Так как размерность магнитного поля Нг выражается через размерность давления рг ([Щ]=[р1]), то задача автомодельна. Решение этой задачи рассмотрено нами в работе [48].
Другим важным примером автомодельных задач газовой динамики и МГД является задача о сильном точечном взрыве, которую мы рассмотрим подробно в дальнейшем.
§ 6. Инвариантные и автомодельные решения уравнений одномерных движений
6.1. О связи между анализом размерности и теорией групп преобразований. С математической точки зрения анализ размерности тесным образом связан с выводами теории непрерывных групп преобразований. Приведем ряд известных сведений из теории групп Ли [49—51].
О п р е д е л е н и е . Группа G называется группой Ли, если в G есть подмножество Gr, удовлетворяющее условиям:
1. Gr содержит единичный элемент е группы G. 2. Произведения * элементов Gr порождают G. 3. Элементы Gr можно поставить во взаимно-однозначное соответствие
<s точками а открытого r-мерного шара Q евклидова пространства, причем центру шара О соответствует е. Этим условием в Gr вводятся координаты. Элемент g £ Gr, соответствующий a Ç <?, будем обозначать ga.
4. Произведение ga<gp £ G> е с т ь некоторый элемент gv соответствующий точке Т = С Р ( а 9 ß)> причем запись у=ср (а, ß) означает ? Х = = с р Х (а 1, . . ., ar; ß\ . , . , рГ), * = 1 , 2, . . , , г .
5. В области Qr функция ср (а, ß), определенная в некоторой окрестности точек а, ß, является трижды непрерывно дифференцируемой.
Подмножество Gr называется групповым ядром или докальной группой Ли. Размерность г шара Q называется порядком локальной группы Ли Gr. Свойство ассоциативности для группы Ли имеет вид <р [ср (а, ß), у] = = с р [а, ср (ß, у)]. Изучение свойств локальной группы Ли сводится к изуче-
45
нию не зависящих от системы координат свойств функций срх (а, ß), задающих закон перемножения.
Введем понятие изоморфизма: две группы G ж H называются изоморфными, если каждому элементу А, В, С,. . . первой можно взаимно-однозначно сопоставить элемент а, Ь, с,. . . второй так, что каждый раз, когда имеет место равенство АВ=С, будет иметь место также равенство аЬ=с
О п р е д е л е н и е . Взаимно-однозначное отображение некоторого множества S на себя называется преобразованием множества <§.
Если Тг, Т2 — два преобразования множества <§, то их произведение TXT2—TZ определяется соотношением
при произвольном M ç g. Роль единицы играет тождественное преобразование е (М)=М, M ç <§, причем еТ=Те=Т. Можно показать [49, 50], что определенное выше произведение преобразований обладает свойствами ассоциативности. Преобразование Г"1, обратное преобразованию Г, определяется тем, что переводит всякий элемент Т(М) £ S в элемент М..
Таким образом, совокупность G преобразований множества <§*, содержащая наряду с каждыми двумя преобразованиями их произведение и наряду с преобразованием ему обратное, есть группа в силу установленного закона умножения (1. 127). Всякая такая группа называется группой преобразований.
Имеет место принцип Вейля: любая группа может быть представлена при помощи некоторой группы преобразований, т. е. найдется группа преобразований, изоморфная с данной группой.
Рассмотрим представление отвлеченной группы Ли с помощью групп преобразований. Например, множество G всех невырожденных квадратных матриц порядка п есть группа относительно обычного матричного умножения. Роль единицы играет матрица е=||8*.||, где 8*'=1, 8 / = 0 , j=j4=i. Группе матриц || а) || соответствуют преобразования xf~\\ а*. || х, причем умножению матриц соответствует последовательность преобразований. Таким образом, группа матриц представлена линейными преобразованиями. Пусть теперь в общем случае имеем локальную группу Ли Gr и имеем множество S (х1, х2,. . ., хп). В этом множестве выделим подмножество — ядро. Пусть мы построили преобразования с помощью элементов группы Gry
которые «сдвигают» ядро множества &. Это означает, что в формулы преобразований заданного множества войдут координаты элементов группы Gr, т. е. каждой точке а будет соответствовать преобразование
Под множеством <§ будем в дальнейшем понимать га-мерное евклидово пространство £ п точек х с координатами х1, . . ., я*. Если в (1. 128) /* — трижды непрерывно дифференцируема и преобразование обратимо, а / (х, 0)=х и имеет место свойство / (/ (х, а), ß ) = / (х, ср (а, ß)), то множество преобразований (1. 128) образует локальную группу Ли точечных преобразований <£w. Эта группа дает представление группы Gr. Будем обозначать группу преобразований так:
Г 3 ( М ) = Г 1 ( Г 2 ( М ) ) (1.127).
я'* = / * > \ of, а\ аг). (1. 128)
46
Тогда для Та, Tß 6 Gn
r формуле Т^Та = Tf (а> ß ) соответствует формула
Г (f(x, a), ? ) = / ' ( * , <р(а, р)).
Под действием преобразования Г а некоторая функция F (#), определенная на &п, преобразуется в новую: F' (x) = TaF (x)—F (Тах).
О п р е д е л е н и е. Функция F (^)^const называется инвариантом группы Gr, если она не меняется под действием любого преобразования Та е G;, т. е. Tf {x)=F (х) или F (Tax)=F (х).
Введем в рассмотрение вспомогательные функции
и матрицу Л=|]?*.[| (а —а 0 соответствует единице группы). Пусть общий ранг матрицы А есть R. Имеет место Теорема [51]. Группа G™ имеет инварианты тогда и только тогдау
когда R<Cn. Если это неравенство выполнено, то существует t — n — R функционально независимых инвариантов Ik (х) (k = 1, 2, . . . , t) группы Gn
r
таких, что любой ее инвариант есть функция от них. Это означает, что если F (х) — инвариант, то
F(x) = F(I1(x), Р(х), 1'{х)).
Отсюда можно сделать вывод (обобщенная тс-теорема [52]). Пусть уравнение F (хг) — 0 инвариантно относительно группы Gjf, кото
рая переводит в себя многообразие размерности Z, являющееся -̂мерным подпространством пространства § п . Тогда уравнение F = 0 эквивалентно уравнению '
Ф{1\ 1\ . . ., /»-') = 0 (1.130) между п — I функциями ( l^Z.^ .r ) . / \ / 2 , . . 1 п ~ \ каждая из которых инвариантна относительно Gr. Заметим, что размерность I совпадает с рангом матрицы А.
Отметим, что обобщение этих результатов на тензорные функции и приложения групп Ли к теории кристаллов даны в работе [53].
В анализе размерности постулируется, что некоторые основные единицы ( f t , . . . , qr могут изменяться в любых положительных отношениях преобразованиями вида
ТаЫ=9'< = *&- К > 0 - * = 1, . . - Г ) , • (1.131) называемыми изменениями масштабов. Рассматриваются также однородные величины (>!,. . ., Qn, которые преобразуются уравнениями (1. 131) так:
TAQj) = Q'j = г (1-132)
Таким образом, каждая из Qj имеет размерность q[ß . . . qp'r. Заметим, что формула (1, 131) является частным случаем (1, 132), когда bik= 8*, г=п.
Преобразованиям Т.а взаимно-однозначно соответствуют векторы а=(а х , . . ., аг) с положительными компонентами. Кроме того, если ввести следующие действия:
aß = К ß l t . . ., ar рг), a-i = (а Г\ . . '., а?). (1. 133)
47
то, очевидно, выполняются равенства
7. (Г, (Qj)) = (Г. (<?,)) - ^ (<?у), ?V> ( Т а (О,)) = С , -
Отсюда следует, что равенства (1. 132) дают представление группы положительных r-векторов, определенной по (1. 133), причем равенства (1. 132) задают группу линейных преобразований пространства векторов Q .
Если мы составим матрицу Л по (1. 128), то ее ранг будет равен рангу матрицы II bik II, т. е. равен числу величин с независимыми размерностями. Используя отмеченную выше обобщенную тс-теорему теории групп, мы приходим к сформулированной в предыдущем параграфе ^-теореме теории подобия и размерности. Группу (1. 132) будем называть группой подобия.
При рассмотрении конкретных задач газовой динамики существенную пользу дают приложения теории размерности, и это обстоятельство будет широко использоваться в дальнейшем. Однако большая общность теоретико-групповых методов позволяет распространить результаты и методы теории размерности на более широкие классы задач и получить новые частные решения уравнений газовой динамики.
6.2. Инвариантные решения и их связь с автомодельными решениями. Пусть система уравнений гидродинамики инвариантна относительно группы Gf преобразования в пространстве и*, р, р, х{, £, т. е. система уравнений гидродинамики есть дифференциальный инвариант Gji. В этом случае говорят, что система уравнений гидродинамики допускает группу
Gl-В теории инвариантных решений можно выделить два направления: 1) использование известных групп (например, группы подобия) для
построения инвариантных решений [45. 46]; 2) отыскание наиболее широкой группы Ли преобразований допускае
мой системы уравнений гидродинамики и построение полного набора существенно различных инвариантных решений [51].
Мы не будем здесь детально рассматривать эти вопросы, а лишь докажем, что инвариантные решения уравнений одномерной гидродинамики могут быть получены из автомодельных элементарными преобразованиями и предельными переходами.
В работе [51] показано, что для произвольных значений отношения удельных теплоемкостей у система уравнений (1. 118)—(1. 120) для одномерных движений с цилиндрической и сферической симметрией имеет лишь следующие инвариантные решения:
и = и (г), р = <?'Ц (г), р = е^Р (г), (1.134)
v = r + etu(k)1 р = е (0- 2 ) /#(Х), р = вРф(Х), \ = г е ' * . (1.135)
.17 = 1 и (г), р = ^ + 2 Л ( г ) , p = t*P(r). (1.136)
v = ^u(l), p = rP+2«-2R(\), p = rßP(X), \ = tr~\ (1.137)
Инвариантные решения вида (1. 135)# (1. 137) изучались К. П. Станюковичем [45].
48
Для случая движений с плоскими волнами к этим решениям добавляются
v = и (t), p = PR (t),
v = r + u(k), р = еР'Д(Х),
v = \u(k),. р = **«Д(Х),
р = -1 + в'(Х), P = t?R(\),
v = Y + u(t), 9 = eWR(t),
В решениях (1. 134) — (1. 142) Используя методы анализа размерностей, Л. И. Седов указал класс
автомодельных решений уравнений одномерной газодинамики вида
р = &р (t), (1.138)
р = еЭф(Х), .X = i— (1.139)
р = : E2?P(X), X = te~T, (1.140)
р = (1.141)
р = : 0*1* P (t). (1.142)
р - постоянные.
»=TVW' Р ^ 7 ^ Л ( Х ) ' p=7^pV> X=Ù- ( 1 Л 4 3 )
Здесь a, b — размерные постоянные, a к, s, S — некоторые числа. Установим связь между решениями (1.143) и инвариантными реше
ниями. Назовем решениями, предельными к автомодельным [46, 54], такие решения, которые получаются из автомодельных путем применения преобразования сдвига по времени (или по координате) и предельных переходов по параметрам, входящим в автомодельное решение (1. 143). Имеет место\ следующая теорема [55].
Т е о р е м а 1. Все инвариантные решения уравнений газовой динамики при сферической и цилиндрической симметрии являются либо решениями автомодельными, либо предельными к автомодельным.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Решения (1. 137) являются по существу автомодельными решениями, ибо если в (1. 143) ввести Х = ~ 1 / 8 , преобразовать и переобозначить функции R (A), P (А), V (>) и стоящие перед ними множители, то мы придем к решению вида (1. 137).
Далее, если сделать замену t -> t + t0, tQ = 8т, b = rQ (frc)~5, V = 8F, R = b8R, Р — Ь8+гР и перейти к пределу при 8-* о о , то получим [46, 54] решения вида
Зти решения легко сводятся к виду (1. 135). Если в (1. 143) положить 8=0, s=— 2ß—2, a=b=l и переобозначить
функции V, P , R , то придем к решениям вида (1. 136). Остается получить решения вида (1. 134). Для этого снова в решении (1. 143) заменим t на t+t0 и положим t0=sт, а=а0 (TS)\ P=(TS)2P, V=SV, R = R . Тогда найдем
v = - , p = j± - Л ( Х ) , p= 0 - P ( X )
и, переходя к пределу при s -> œ, 8 --> 0, получим решения вида (1. 134). Теорема доказана.
4 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 49
Эта теорема верна также и для решений уравнений одномерных цилиндрически-симметричных движений идеальной МГД. Соответствующие инвариантные решения рассмотрены в работе автора [55].
Для случая плоской симметрии решения вида (1. 138), (1. 140) могут быть получены как пределы автомодельных с использованием преобразования переноса по. координате г [46, 5 4 ] . Для получения других инвариантных решений нужно было бы еще воспользоваться группой Галилея. Мы не будем рассматривать подробно эти предельные переходы и анализировать получение всех инвариантных решений для случая плоской симметрии.
6.3. Интегралы адиабатических движений и интеграл энергии. Рассмотрим одномерные движения газа, когда диссипативные процессы не учитываются. Будем считать, что движение автомодельно.
Пусть имеет место интегральный закон сохранения вида (1.48)
так что
2 *
Для одномерных движений имеем
г'
Пусть a, b — существенные размерные постоянные, входящие в задачу, [а] = MLkT8, [b] = LT-*.
Для функции Ф можем написать
Ф = а ^ С ( \ ) , Х = ^ .
Для интеграла
J = J Ф9г"-Чг, г' = ЬЛ', г" = 6*V (1 .145)
г'
пусть имеем <? = a*WPK(k', X").
Для функций v, p, р введем безразмерные переменные F, P, R согласно (1.143).
Если функция Ф такова, что [х = 0, то из (1.144) следует адиабатический интеграл [56]
G (X) R (X) [V — Ц X v - ( * + 1 ) = const, (1.146)
Для адиабатического движения совершенного газа за функцию Ф возьмем
(^^j —ex])(~-z^9 где z— некоторое число. Из (1. 145) путем сравнения
размерностей получаем систему уравнений для выбора z
(1 — ï )s + l = av ( З т — i)z = kx + y + 3 — v, —2z = sx — by.
(1.144)
50
Интеграл (1.146) принимает вид
(£>fR(-b + V)\,B' = x1, Ш1 = , - (к+ l)[l + z (!-•()] +
+ 1 — (А + 1) [1 + (1 — Т ) z]. (1.147)
Этот интеграл был получен М. Л. Лидовым [57]. Перейдем к уравнениям МГД при v = l , 2. Пусть
h2 = -^ = ar-(k+1)r(8+2)G2,
h9 = ^=ar-^4-^G^ Н=(Н?, Я,), (1.148)
h9 = 0 (v = l ) .
Тогда в случае бесконечной проводимости из (1. 146) получаем интегралы вмороженности, найденные впервые в нашей работе [58],
Qrn ( Х Л ) " 2 М = Х 2 [R (V — 8 ) - |2-^(Ä + 3) r ( / e + 5) W l + (v-fc + 3)[2- e ( fc + 3)] ) ^
Q = Х 3 [ J î (Р^ 8 ) ] 2 ~ * ~ 8 ( Ä + 5 ) A ~ ( 2 + V ) e ' ~ 2 ( Ä + 3 ~ V )
m = = s + b(k + S — v) (v = l, 2). ' (1.150)
Рассмотрим теперь уравнения МГД разрешенной плазмы для случая одномерных цилиндрических движений. Естественно, что интегралы (1. 149), (1. 150) здесь имеют место. Добавится еще два интеграла адиабатических инвариантов.
Пусть система безразмерных переменных имеет вид (1. 143), (1. 148), причем вместо формулы для р здесь будут аналогичные соотношения для р± и р„. Интегралы адиабатической инвариантности имеют вид
pmR-mQ-mß _ ч iy _ 8^/ 1 [ .+2+8(Ä+.)] \-№+D f (1. 151)
(P,R-*G)m = x5 [R (V — g)]*-'-**™ x- ( 6 8 + 4 f t + ^, G = G9 + Ùg. (1.152)
Если 5+2—S(v—1—&)=0, то системы автомодельных уравнений допускают интеграл энергии.
Для уравнений МГД этот интеграл имеет вид [58]
\p + G ) V + (V-b)(^RV* + P ^ + G)] = KQ. (1.153)
Для разреженной плазмы интеграл (1. 153) (v=2) примет вид
X* [(Р х + G) V + (V - 8) (1RV* + Р± + 1 Pt + G)] = х 7 . (1.154)
Здесь всюду через xi (i = l, 2,. . ., 7) обозначены произвольные постоянные.
Для уравнений газовой динамики интеграл энергии впервые найден Л. И. Седовым (см. [46]).
Пусть 8=2/(2+v—о)), ,v=0, к~ ш—3. Запишем интегралы адиабатич-ности и энергии для этого случая. Для интеграла адиабатичности имеем
a>Y со
4* 51
Здесь мы выбрали произвольную постоянную х ± так, чтобы удовлетворялись условия на сильной ударной волне (1. 64).
Интеграл энергии (1. 153) можно преобразовать к виду
Х - [(P + M*) (х _ ̂ Г) - 2 -^ VP] = *е,
r2=bt\ D = ±f-, (1.156)
px — величина с размерностью плотности. Заметим, что р2, v2, р2 — функции, соответствующие условиям на сильной ударной волне, если г2 — координата ударной волны.
В случае 5с6=0 интеграл (1. 156) удовлетворяет условиям на сильной ударной волне и примет вид
Ат-Чг^ЧЧ1-^- <«•'«> Заметим здесь также, что адиабатические интегралы и интеграл энергии будут иметь место [46] и для движений, предельных к автомодельным, т. е. для других инвариантных решений уравнений газовой динамики и МГД они могут быть получены, в частности, из (1. 146), (1. 153) предельными переходами аналогично тому, как это делалось выше при исследовании связи между автомодельными и инвариантными решениями.
§ 7. Постановки задач о точечном взрыве
7.1. Некоторые задачи для линейных уравнений математической физики.
А. Задача для волнового уравнения о распространении мгновенного точечного возмущения. Изменение давления (или [плотности) в газе, обладающем слабой сжимаемостью, в соответствии с (1. 32), (1. 33) будет описываться волновым уравнением, которое для случая одномерных течений можно записать в виде (1. 36)
rv~i дг \ дг ) ~ а% dt* *
Пусть для простоты внутренняя энергия среды будет пропорциональной давлению, т. е. s=pf (p)-j-const. Тогда, принимая, что е' = е—p0f{?o)>
получаем
т. е. для возмущенной внутренней энергии s' имеет место уравнение
1 д ( v-! дг'Х__ 1 дЧ' ,
Пусть в среде с начальным состоянием р0, р0, е0 (р0, р0) конечная энергия Е0 выделилась в момент времени £ = + 0 (мгновенно) в точке, вдоль линии или вдоль плоскости, причем в последних двух случаях ^рассчитана на единицу длины или площади соответственно. Примем, что точка,
52
прямая или плоскость выделения энергии имеют координату г—0. Возникающее возмущенное состояние будет обладать сферической (v=3), цилиндрической (v=2) или плоской ( v = l ) симметрией соответственно выделенной энергии. Будем считать, что выделившаяся энергия Е0 полностью пошла на изменение внутренней энергии s, и не будем учитывать часть энергии, идущую на макроскопическое движение среды, т. е. на увеличение ее кинетической энергии. Возникающее в среде возмущение s' пусть подчиняется уравнению (1. 158). Предполагая выполненным закон сохранения энергии, имеем равенство
4~со
Е0= \ P oe'd2, (1.159) — 0 0
где dQ — элемент объема, а интегрирование распространено на все пространство.
Это равенство верно для любого t ^ 0. Таким образом, мы приходим к задаче о нахождении функции при начальных данных е'=0 (г > О, £~-}-0) и дополнительном интегральном условии (1. 159). Рассмотрим сначала трехмерный случай (v=3, dQ=dx1dx2dxs). В терминах обобщенных функций можно сказать, что для этой задачи начальные данные заданы в виде сингулярной обобщенной функции, а именно, 8-функции Дирака (об определении и свойствах 8-функции см., например, [59—61])
• ' U = y - ^ » M . ( 1 Л 6 ° )
где 8 (г) — трехмерная В-функция. Обобщенное решение поставленной задачи легко записывается через
обобщенные функции фундаментального решения для волнового оператора в трехмерном случае и имеет вид [60]
dt 4тсро e(t) и ™ r _ (1.161)
где е (t) — единичная функция (е=0у t < О, е=1, 0). Решение (1. 161) показывает, что возмущение е' будет распростра
няться в виде сферической волны с радиусом r=a0t, Движущейся со скоростью а0 по состоянию s '=0 , причем после прохождения этой волны опять наступает невозмущенное состояние.
В случае цилиндрической симметрии (v=2) решение будет иметь вид
'л à Е0 е(а^ — г) ^ M 2 Р о 2%а0 s/alt* — г* '
Из этого решения следует, что возмущение е' от точечного мгновенно действующего источника 1/2 (Е0/р)Ь (х1, х2)Ь (t) к моменту времени t > О займет цилиндрическую область радиуса r=-a0t. Возникающее возмущение, в отличие от пространственного случая, не исчезает за фронтом волны, а сохраняется в некоторой точке пространства после ее прохождения. Для плоского одномерного случая (v=l) решение задачи примет, вид
6 ' = - | ^ 8 ( в о * - | ^ 1 ) (r = * 1 )- (1-103)
53
Из этого решения вытекает, что к моменту времени t > 0 возмущение от источника (EQ/p0) bf (д:1)§(/) распространяется в виде плоской волны l^1! ^ ао*1 передний фронт которой \xl\ =--a0t движется со скоростью а0 в направлении, перпендикулярном плоскости я 1 = 0 . Здесь передний фронт состоит из двух плоскостей x1=a0t, х1^—at, движущихся со скоростью а0
соответственно направо и налево относительно начальной плоскости. Из (1. 163) следует, что возмущение s' в момент времени t будет нахо
диться только в двух точках х— ±aQt так, что после прохождения фронта волны снова наступает иевозмущенное состояние. Учитывая уравнение связи между давлением и скоростью, а именно р 0 (du/dt)~\-(др/дг)~0, можно получить решение задачи о мгновенном выделении энергии и для полной системы уравнений акустики с учетом сохранения полной акустической энергии, определяемой через квадратичную энергию Е (формула (1. 34)).
Б. Задача о мгновенном источнике тепла. Как было показано в § 1, распространение тепла в неподвижной среде описывается уравнением теплопроводности (1. 44). которое для случая const примет вид
$=-г-к^£). (1.164)
Пусть теперь в момент t=0 некоторое конечное количество тепла Е0
выделилось мгновенно в точке, вдоль прямой или вдоль плоскости, причем, как и в задаче предыдущего раздела, в последующих случаях за Е0
принимается удельное количество тепла. Если нет других источников тепла и s = 0 при £ = + 0 , г > 0, то в силу закона сохранения энергии будем иметь, что
+ 0 0
Е0 = р0 \ sdQ. (1.165) о
Таким образом, мы снова приходим к задаче о мгновенном точечном возмущении типа 8-функции
• « 1 ^ = ^ - 8 (г). (1.166)
Решение рассматриваемой задачи широко известно и (при t > 0) дается формулой
• = ^ < ' > е т м р ( - £ ) - ( 1 ' 1 в 7 )
Из решения (1. 167) и свойств о-функции [60] следует, что s -г+Е0Ъ(г) Iр0 при t-> -fO, т. е. выполнено начальное условие (1. 166). Выполнено также и соотношение (1. 165). Далее, так как е (г, t) > О для всех г и t > 0, то в рассматриваемой модели тепло распространяется с бесконечной скоростью. Заметим, что решение (1. 167) является автомодельным.
Дадим теперь определение точечного взрыва. О п р е д е л е н и е . Назовем точечным взрывом процесс мгновенного
выделения конечной энергии в точке, конечной удельной энергии вдоль некоторой линии или вдоль некоторой поверхности трехмерного пространства <£3.
54
Задачу о нахождении возмущений, вызванных точечным взрывом, будем называть задачей о точечном взрыве (ЗТВ). Приведенные примеры говорят о том, что ЗТВ может быть сформулирована для различных уравнений и является специальной задачей Коши. Далее мы приведем формулировки ЗТВ для уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики. • j
Задачу о точечном взрыве в точке (v=3) , вдоль прямой (v—2) или вдоль плоскости ( v = l ) назовем основной задачей. Мы не будем в дальнейшем, как правило, прибегать к формализму 8-функций и единичных функций для записи начальных и граничных условий и решений рассматриваемых задач.
7.2. Точечный взрыв в несжимаемой жидкости. Простейшим примером среды, для которой достаточно просто решается основная задача о точечном взрыве, является несжимаемая жидкость. Рассмотрим случай сферической симметрии (v=3) и будем считать, что начальное давление и начальная плотность постоянны, причем р ^ ог. Постановка этой задачи и путь ее решения были впервые предложены Л. И. Седовым [46]. Ниже излагается способ решения этой задачи, использованный в [4].
Если считать, что р= рх=-const, v=3 , то систему уравнений (1. 18)— (1. 20) можно записать так:
Эта система полностью интегрируется, ее решение будет зависеть от двух произвольных функций времени, которые мы обозначим <j>x (t) и Ф2 (0:
v = bjp.t p = t l W _ _ | P l D . + û . ^ . (1.169)
Решение (1. 169) можно использовать в задаче о точечном взрыве в несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости возмущения распространяются с бесконечно большой скоростью, поэтому в этом случае возможны решения задач о взрыве без ударной волны. Если в начальный момент времени давление в жидкости было р1 и жидкость находилась в покое, то в последующие моменты времени давление, равное pv сохранится при г ~ со.
Так как в задаче имеем три определяющих размерных параметра рх, Е0, р±, то при /?х—0 она будет автомодельной. Рассмотрим этот частный случай. При рх—0 энергия взрыва Е0 целиком расходуется на увеличение кинетической энергии жидкости. Учитывая это, имеем равенство
где — некоторый радиус, определяющий область возмущенного движения (заметим, что величина v2 в начальный момент времени есть трехмерная B-функция). Подставив сюда и иг (1.169), получим
Е0 = 2Щ1&. (1.170) 1 «
55
Из соображений размерности следует, что
r-=4ir) , / , ' v ( 1 Л 7 1 )
Будем считать, что определяет сферу, движущуюся со скоростью частиц жидкости. Тогда
% = ^ = - * ^ . (1.172)
Из (1.171) и (1.172) находим
т-2 dt 5 t
Пользуясь (1.170), можно найти зависимость
р _ _ 8^Pi г* о — 25 *2 •
Подставив сюда из формулы (1.171), найдем постоянную
Окончательно для г# будем иметь формулу
< 1 л ? з >
Учитывая граничное условие на бесконечности р ( о о , £ ) = 0 , из (1. 169) находим ty2=0.
Распределение давлений дается зависимостью
£=М[»-(тУ]- (••««> При г = г # имеем р^О. Это означает, что в центре симметрии образуется пустая сфера— каверна радиуса .г¥, которая расширяется с течением времени по закону (1. 174). .Максимальное давление р2 в пространстве достигается при r=r2~4ll*r¥. Зависимость р2 от времени определяется по формуле
Таким образом, мы получили точное решение задачи о сильном взрыве в несжимаемой жидкости.
Имея общее решение (1. 169) системы (1. 168), можно получить решение автомодельной ЗТВ при Руу^О. Для решения этой задачи имеем начальные и граничные условия: при £—0 p^^Pi—const, v=vx=Q, 0 и в центре взрыва выделилась энергия Е0;
dr при r = r р — р* = 0, у = у —• -—ï
* * * d t (1. 176) при r.==œ р = pœ = pv у = у о о = 0.
Из (1. 169) и (1. 172) с учетом (1. 176) найдем
p - p i _ 1 rj(r;)2 ( Г ;г ; ) /
м 1 7 7 V
56
Штрих означает дифференцирование по времени. При г=г^ будем иметь
(1.178)
Из уравнения (1. 178) находится закон движения r^(t) границы каверны, образующейся при взрыве. Если ввести новую переменную у—г', то уравнение (1. 178) допускает понижение порядка, так как время i в него явно не входит. В результате интегрирования получим
У2 = К г ? - ^ . (1.179)
Постоянную к2 определим из условия, что при р^-О мы должны получить автомодельное решение. Оказывается, что
Назовем максимальным радиусом каверны г ш а х то значение при котором y=drJdt—0. Из (1. 179) получаем
W P i J • P i
Если ввести безразмерные переменные
Гтьх9 V 3 Pi/ Г ш а х
9 * Г
то уравнение (1. 179) примет вид
dlx
dl ~ — 73/2
Отсюда зависимость т (IJ определится квадратурой
(1.180)
Формулы (1. 180) и (1. 181) показывают, что I ^ 1, а так как т растет, то каверна после достижения максимального радиуса начнет двигаться к центру; таким образом возникают своеобразные колебательные движения. При этом величина dljdx переходит через нуль и делается отрицательной, т. е. в формуле (1. 181) знак «плюс» соответствует движению от центра, знак «минус» — движению к центру. После нахождения закона движения границы каверны давление и скорость находятся по формулам
Наконец, можно определить период колебания каверны %
т = 2т(1) = 2 f .
57
Доижшаяся cpeâa
Центр симметрии (аерь/аа)
Ломящаяся среда
Фронт уаарноа долны
Плоскость симметрии (Озрыоа)
Аохоящаясл cpeâa
Доижищаяся cpeâa
ÛCÔ симметрии t*r*^ (âjjjbiâap
Фронт i/âapHoû Оояны
Рис. 1. Схема движения сжимаемой среды при взрыве сферического заряда
Рис. 2 . Схема движения при взрыве цилиндрического заряда
Рис 3 . Схема движения при взрыве плоского заряда
С помощью замены переменных 1^=--хч* этот интеграл преобразуется в интеграл Эйлера вида В (p, g), который выражается через f-функцию Эйлера:
Если перейти к размерным переменным, то получим следующую формулу для периода колебания:
r = l,14p,/.fiv.pî'/..
7.3. Точечный взрыв в газе. Пусть в безграничном газе в точке, вдоль прямой или вдоль плоскости выделилась энергия Е0, рассчитанная на единицу длины или единицу площади для линейного или поверхностного источников энергии соответственно. В результате этого исходное состояние газа получит сильное локальное возмущение. Пусть невозмущенное состояние газа не зависит от времени, и v0—v0 (г), р0^-р0 (̂ *),ро~Ро ( г ) при 2 = 0 . Если через Е обозначим полную энергию единицы объема газа,
то в силу закона сохранения энергии при t^O имеем Е0= ^ AEdQ, где
АЕ = Е — Е°, Е° = (?ovlß) + Роео — начальная энергия газа, а интегрирование распространено на все пространство. Таким образом, как и в приведенных примерах, придем к сингулярной задаче Коши:
I*-о = P Lo = Pv PI/-0 = Ро> A E L + o = 8 И- (1.183) 3 8
Опыт и теория показывают, что при взрыве в газе образуется ударная волна, распространяющаяся по газу от места взрыва. С точки зрения опыта известно, что если энергия взрыва Е0 достаточно велика (скажем, при v = 3 больше начальной внутренней энергии в единице объема газа), а объем, где она выделяется, значительно меньше объема, для которого Е0
становится сравнимо по величине с его начальной энергией, то по газу распространяется ударная волна вследствие резкого повышения давления и температуры в месте взрыва.
С точки зрения теории, во-первых, известно, что даже для задачи Коши с гладкими начальными данными могут возникнуть разрывы в решениях [37—39], тем более они возникнут в задаче, где начальные данные заданы в виде ^-функции для источника энергии. Во-вторых, Л. И. Седовым показано [62] (см. также гл. 2), что решение задачи о сильном взрыве в газе (т. е. в газе с нулевым начальным давлением) не может быть построено в классе непрерывных решений. Таким образом, искомое решение фактически будет обобщенным решением, в котором области непрерывности будут разделены поверхностями разрыва.
Пусть уравнение фронта ударной волны, соответствующего переднему фронту возмущений в газе, есть F ( г ,£)=0 . Тогда при переходе через эту поверхность должны быть выполнены условия (1. 53), (1. 54). Представленная выше задача может быть сформулирована как граничная задача с условиями (1.53), (1.54) на поверхности F—0, причем поверхность F=0 стягивается в точку, в прямую или стремится к плоскости взрыва при t —• 0. Кроме этих условий, имеет место интегральный закон сохранения энергии, который запишем теперь как
EQ= j AEdQ, (1.184)
где Q (t) — объем, занятый возмущенным вследствие взрыва газом внутри фронта ударной волны.
Рассмотрим более подробно постановку основной задачи для случая взрыва в покоящемся совершенном газе, когда p 1=const, р= р (г) и для движения газа за ударной волной выполняется условие адиабатичности. В этом случае двия^ение будет одномерным и соотношение (1. 184) примет вид
E, = o,\(%+Eß%)r~Vr, (1.185) О
где o v " 2 ( v — 1 ) T C + ( V — 2 ) (v—3), г 2 — радиус ударной волны, а на ударной волне, т. е. при г=г2, имеют место условия (1. 63).
В начальный момент времени t=0 имеем при r > 0 р=р\=const, р= ох (г) , их==0 и, кроме того, следующие условия: г 2 (0)=^0, в центре симметрии выделилась энергия Е0. Для определения искомых функций следует проинтегрировать систему уравнений в частных производных (1, 18)—(1. 20) с указанными начальными условиями и условиями на фронте ударной волны. Если нет источника массы в центре симметрии (т. е. при г—0), то из условий задачи в силу симметрии вытекает (см. [4, 46])
у (0, *) = 0. (1.186)
59
Аналогично формулируется задача при описании ее в переменных Лаг-ранжа. Схема движения газа при точечном взрыве показана на рис. 1—3.
ЗТВ в газе была впервые сформулирована и исследована Л. И. Седовым и Дж. Тейлором [63, 64], К одним из первых работ по исследованию этой задачи относятся также работы К. П. Станюковича [65] и Дж. Неймана [66]. Сформулированная ЗТВ в газе может быть естественным образом обобщена на случай движения газа с химическими реакциями и для различных видов неадиабатических движений. Если среда, где происходит взрыв, электропроводна и, кроме того, имеется внешнее приложенное электромагнитное поле, то при точечном взрыве в такой среде будет происходить взаимодействие магнитного поля и движения. Общая формулировка основной задачи здесь остается аналогичной таковой для случая взрыва в газе без учета электромагнитных эффектов. Однако картина движения газа значительно усложняется. Главная цель следующего ниже анализа состоит в исследовании упомянутых в настоящем разделе задач газовой динамики и некоторых приложений результатов этих исследований к физическим явлениям. В дальнейшем мы остановимся также на некоторых обобщениях основной задачи для случаев несимметричного выделения энергии при взрыве.
Г Л А В А 2
СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В ГАЗЕ
§ 1. Точное решение Л. И. Седова автомодельной задачи о сильном взрыве в совершенном газе
при постоянной и переменной начальной плотности
При точечном взрыве в газе образуется сильная ударная волна, причем давление за ее фронтом р2 много больше начального давления рг. Если пренебречь начальным давлением газа рг и считать начальную плотность изменяющейся по закону
Р 1 = Лг-% (2.1)
где А —постоянная с размерностью [А]--МЬШ~3, со — отвлеченная постоянная, то ЗТВ в совершенном газе будет автомодельной [1, 2 ] . Действительно, среди определяющих параметров задачи имеются лишь две постоянные EQ ([EQI^ML^'1!1-2) И А с независимыми размерностями.
В силу автомодельности система уравнений газовой динамики, описывающая возмущенные движения газа за ударной волной, преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Если ввести безразмерные переменные
то для новых искомых функций / (X), g (X), h (X) из уравнений газодинамики (1. 18)—(1. 20) получим систему трех обыкновенных уравнений
* ( / - * ) / ' + Ä ' + ^ / g = 0,
( / - * ) * ' + ( / / + ^ / - < ' > ) * = 0 , (2.3)
(/ _ X) h' +-т (/' + f) h - v h = °-
Траничные условия на фронте сильной ударной волны примут вид
Л. И. Седовым был найден [1, 2] интеграл энергии (1. 57) для системы (2. 3), позволивший получить точное решение основной задачи при нуле-
61
вом противодавлении. В переменных Эйлера это решение с учетом условий (2. 4) может быть записано в виде [2—4]
г 2̂
x ( r t = , - . [ ^ ( , _ l + i ) J - x
Г 2 ( v T - v + 2) Г т + 1 11-?. ( 2 п Л \3v — 2 - т (у - 2) - « (7 + 1) Le (n - v + 2) ?JJ ' °>
£ = ф / = Х, , (2.6)
Р2
X
v Г - 2 - ( ï ± l - «AT** [ 2 И - . + 2) LT — 1V 2 \ 3 v - 2 - 7 ( v - 2 ) - » ( i + 7) Л
x [ ä l ^ ± W - , ] r . (2.7)
f 2 ( v T - v + 2) Г т + 1 11 ,„ я . 1 3v — 2 — 7 (v — 2) — ш (т + 1) L» (VÏ — v + 2) П / ' ^ • ^
^ Б ( , ) = ^ ^ [ ^ ( , - 1 ^ ) ] — X
Lï — 1 \ 2 *7 l 3 v - 2 - T ( v - 2 ) - < o ( T + l) Л
о 2 ( v - * > ) f t ß _ 2 v ~ a ) ( 7 + l) P4 5 ( 2 v ^ - v 7 ~ c o ) ' P 5 2v — v? — a> •
Значения плотности, давления и температуры непосредственно за фронтом ударной волны, т. е. при \—1—0, находятся по формулам
_ 25 (Е0\%-Г_ 25 fE0\Wjï£Z
2-й)
A r 2 = £ s = 2 i 2 ^ 8 2 ^ ^ = 2 i 2 ^ i ) Z ) ï f 8 = •>
где
Для скорости ударной волны и ее кординаты имеем зависимости
( О — V
D - % = 8 r-i = 8 (S)'/2 r ~= 8 (âf ^ • <2-12>
62
Решение (2. 1)—(2. 5) описывает поведение газодинамических функций за фронтом ударной волны, распространяющейся в покоящейся среде с переменной плотностью. Из структуры этого решения следует, что оно записано через параметрическую переменную и, причем X (1) = 1. Параметр .а, входящий в решение задачи, зависит от у, о>, v и определяется из интегрального закона сохранения энергии
о
Учитывая (2. 1)—(2. 13) из интегрального закона сохранения энергии (2. 14), получаем формулу для определения a (v, у, ш):
1
О
Из формулы (2. 15) следует, что а является функционалом от решения. Если примем за лагранжеву координату начальную координату ча
стицы £, то, учитывая, что на фронте ударной волны г 2 = Î, из условий на сильной ударной волне и формул (2. 11)—(2. 12) находим для величины р/рг, которая сохраняется в частице,
Р_ 4 * ( Т - 1 ) т Д о
Решение (2. 5)—(2. 10) и соотношение (2. 16) позволяют найти связь между лагранжевой координатой I, временем t и параметрической переменной fi:
V f 2 ( v T - v + 2) Г Т + 1 _ Jl* / о ! 7 ч * \ 3 v _ _ 2 - T ( v - 2 ) - o > ( T + l ) Lî(vT«v + 2) Hi ' 1 '
где
ße = 2 Т - 2 + v - Ü>7 » 2 v T - v - f - c o Pi' ßs = V T _ 2v + w • ( 2 - 1 8 >
После того как точное аналитическое решение найдено, возникает задача об исследовании его свойств в зависимости от входящих в него параметров и определения значений а.
Отметим здесь лишь некоторые известные важные свойства решения [2, 3] при постоянной начальной плотности рА~ const и при у~1,4 . Для случая постоянной плотности параметр fi меняется от 1 до (у+1)/2у,. если решение продолжимо до центра, причем значение (у+1)/2у соответствует центру симметрии.
Исследование распределения скоростей, плотностей, давлений и температур приводит к следующим выводам.
1) Так как y/i? 2=fiX, а параметр р., принимая значения на отрезке [(у+1)/2у, 1] для 7 = 1,4, не сильно отличается от единицы, то вследствие этого скорость частиц воздуха в фиксированный момент времени примерно пропорциональна их расстояниям г от центра симметрии.
(2.16}
63
2) Плотность р очень быстро убывает по направлению от ударной волны к центру симметрии. Так как на поверхности ударной волны р2===(Т+1)/(т—1) Pi» т - е - П Р И Т = 1 А плотность за фронтом в 6 раз больше начальной, то отсюда вытекает, что основная масса движущегося газа концентрируется в довольно узком слое позади фронта ударной волны.
3) При t > 0 давление в центре симметрии всегда конечно и составляет некоторую долю от его значения на ударной волне. Характерно также то, что до довольно больших расстояний (около 0,5 г2) от центра симметрии давление постоянно по r: p(r, t)œp (0, t), r ^ 0,5 r2. Эту область, где для фиксированного t давление постоянно, иногда называют «плато давлений».
4) Температура стремится к бесконечности при приближении к центру симметрии. Этот факт объясняется пренебрежением теплопроводностью, которая оказывает существенное влияние на распределение температур в окрестности центра.
Отмеченные для случая у=1,4 особенности в распределении скорости, давления и плотности по пространству следуют из решения (2. 2)—(2. 10) и графиков основных функций, приведенных на рис. 4—7 (см. § 2 наст, главы).
§ 2. Зависимость точного решения от параметров у, v
2.1. Зависимость решения для постоянной начальной плотности от параметров у и v. При исследовании зависимости решения (2.2)—(2.10) от у и v в случае ш=0 ранее были установлены следующие важные факты [2]. Для сферической симметрии (v=3) при у = 7 давление и плотность обращаются в нуль в центре симметрии. При у ^ 7 вблизи центра образуется сферическая каверна, где р = 0 , р = 0 , причем с ростом у решение стремится к решению для несжимаемой жидкости, рассмотренному в предыдущей главе. В случае v = l , 2 вблизи центра давление не равно нулю при любых конечных у. Однако оставались не решенными до конца следующие вопросы: детальное поведение основных функций при изменении у в диапазоне 1 < у ^ 7 для всех v и детальное поведение решения при у > 7.
Нами было проведено детальное исследование зависимости решения от у, когда 1 < у ^ 7. Ниже следуют результаты этого исследования. Во-первых, была установлена непрерывная зависимость решения (2.2)— {2. 10) от у. Анализ этого решения показывает, что входящие в него функции непрерывны по у всюду, кроме точки у = 2 . В точке у = 2 функции g и h не определены. Если существует конечный предел для решения при у —> 2, то мы можем доопределить функции g и А, положив их равными в точке у = 2 своим предельным значениям.
Далее, можно определить решение задачи при у-~2 непосредственно из дифференциальных уравнений и граничных данных. Если найденное решение совпадает с функциями, полученными предельным переходом, то это будет означать непрерывную зависимость решения в точке у — 2 . Так как непрерывная зависимость решения от у имеет место для всех других значений у £ (1,7], то решение будет непрерывно зависеть от у.
6 4
Рассмотрим предельный переход по у для зависимости g (jx). И З формулы (2. 7) следует при ш=0
т + 1 1 - 1 X
f 2 ( v T - v + 2) Г Т + 1 _ llß« , 2 1 9 , v + 2)
После простых преобразований эту формулу можно привести к виду
2Т (., Т + 1МЧ 2 (vf — v + 2) 8Ь) = У=\ 2т /
2Т l \ l ß s r 2 ( v f - v + 2) ^
"Л L 3 v - 2 - i ( - 2 ) Ä
X T + l .5 ( v T - v + 2)
(v + 2) (т + 1) ( T - l ) ( v T ~ v + 2) 2 ( v T - v + 2)
3v — 2 — 7 (v — 2) 7 + 1
Последний сомножитель может быть преобразован к следующему виду: 2v(T+l) 1—̂
\ + i_ Г v + 2 [(T+l)/2]-lx̂ х J
где
ж = ( т - ^) (v + 2 ) К 1 - v (т +1) (2 - Y)!" 1-
Таким образом, мы ищем предел следующего выражения:
x ^ { a ^ : ; + ü 2 ) ( ^ ± i f - , r } x v + 2)
Х Н т ( 1 + 1 У " ^ ~ [ ( т + 1 ) / 2 ] - | 1
<
2V(Y+1)
х->со у-»2
Переходя к пределу, находим
, ( r t = 3 [ 4 ( ^ 4 ) - " - [ 2 ( i - , ) (v-2)/(v+2) exp 6v 1 — jx
v + 2 3 . (2.20)
Аналогично можно получить предельные зависимости и для А(^), ^ (р), причем предельный перевод в À (jx) совсем тривиален. Для (fx) мы будем иметь выражение типа (2. 20).
Если же мы подставим значение у = 2 в условия на ударной волне (2. 4) и проинтегрируем систему (2. 3) с условиями (2. 4), то получим решение
X = ^ ) [ 2 ( 4 - p ) ^ J [ 4 ^ - | ) f - 4 ,
/ г = | ^ ^ + 2 ) [ 2 ( | — , ) ] 2 ( - 2 ) / ( ' + 2 ) е Х р 6v 1 — [X '
"v + 2 3
(2. 21)
где выражение для g (fx) совпадает с формулой (2. 20). Из сравнения решения (2. 21) и решения, полученного предельным переходом при у -> 2,
5 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 6 5
следует, что эти два решения совпадают. Аналогично будут совпадать предельные значения функционала a (v, у) с соответствующим значением, полученным для функций (2. 21). Отсюда следует, что решение (2. 5)— (2. 13) непрерывно зависит от у.
Таким образом, доказана следующая теорема. Т е о р е м а 2. Решение основной задачи о сильном взрыве в газе посто
янной начальной плотности непрерывно зависит от показателя адиабаты у при изменении у в интервале (1, 7).
Этот результат был впервые опубликован в работе [5]. Отметим еще в случае у = 2 формулу для безразмерного давления в цен
тре взрыва, т. е. при ^ = ^ о = 3 / 4 :
h (JJL0) = |-34(v-l)/(v+2)4(2-3,)/(v+2)^2v/(v+2) # ^ . 2 2 )
Из этой формулы следует, что давление в центре конечно при любых значениях v и отлично от нуля. Проведенный анализ устраняет всякие сомнения в поведении решения, записанного в форме (2. 5)—(2. 13) при у - > 2, и дает полное решение задачи при у = 2 , которое будет использовано при исследовании задач МГД.
Было проведено исследование влияния у на функции / (X), g (X), h (X), a (v, у). Ввиду того, что точное аналитическое решение задачи о сильном взрыве дается достаточно сложными аналитическими формулами, была выполнена работа по составлению таблиц автомодельных функций [6]. В этих таблицах даны значения искомых функций для следующих величин у: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 5 / 3 ; 2, 3. Был проведен также расчет автомодельных функций для значений у = 4 , 5, 6.
На рис. 4—7 указаны графики функций р/р2, v/v2, Т/Т2, р / р 2 от X при v=3, характеризующие поведение решения для широкого диапазона значений у. Здесь удается проследить весьма тонкий эффект изменения знака кривизны функции р / р 2 при изменении X от нуля до единицы для 4 < у < 7.
Как уже упоминалось, в решение входит энергетический параметр a ( v , у), являющийся функционалом от решения (2. 5)—(2. 10) при о)=0. Знание численных значений а необходимо при приложениях теории к физическим задачам. Численные значения а наиболее точно были ранее найдены для у = 1 , 4 [2, 3] . Нами была предпринята работа по вычислению с большой степенью точности параметра а для широкого диапазона значений у и v = l , 2, 3.
Чтобы представить величину численного значения, дадим нижнюю и верхнюю оценки этого параметра. С этой целью формулу для а запишем так:
1 a ( V ' T ) ~ ( V + 2)2(V
T2-1) \\L + L .Р2 ?2 \ и 2 О
Так как р/р2 <J 1, р / р 2 ^ 1, vlv2 ^ 1, то, заменив эти величины единицами, получаем верхнюю оценку параметра:
^ 16a v
a < \ a i — v (v + 2)2(T2 — 1) •
66
Рис. 4 . Распределения относительных давлений для различных у
2 — т=1 , 1; 2 — 1 , 2 ; 3 — 1, 3; 4 — 1, 4; 5 — 5/3; 6 — 2; 7 — 3; 8 — 4; 9 — 5; 10 — 6
Рис. 5 . Распределения относительных скоростей для различных у Обозначения см. на рис. 4
0,8 ?,0 r/rz
Р и с 6. Распределения относительных температур для различных у Обозначения см. на рис. 4
Рис. 7 . Распределение относительных плотностей для различных у Обозначения см. на рис. 4
Если же примем р/р2? р/Р2» v/v2 равными их минимальным значениям при А=0, то получим нижнюю оценку интеграла:
_ 8о,Д (0) а > а 2 — ( V _ i _ 2 ) 2 2 v (у — 1 ) '
Здесь учтено, что v (0, t)=p (0, t)=0 для у ^ 7. Таким образом, имеем
4avfr (0) ^ ^ 16<у, / о 2 5 \
v ( Т _ 1) (v -f- 2)2 ^ " ^ v ( 7 * — 1 ) (v + 2)2 ' V*'
5 * 67
1
Для получения достаточно точных значений а интеграл, входящий в выражение для а, вычислялся численно. Заметим, что расчетом a (v, у) занимался также американский ученый Джонс [8], но приведенные в этой работе значения а даны для узкого диапазона значений у и оказались ошибочными (исправления даны в работе [8]).
При приближенном вычислении интеграла, входящего в формулу для а, при а < 7 наиболее простой путь заключается в следующем. Преобразуем подынтегральное выражение, воспользовавшись интегралом энергии
а = a * L ( * ^ A f ( 2 . 2 4 )
о где
Интеграл, входящий в (2. 24), вычисляется по правилу трапеций с неравномерным делением отрезка интегрирования по X. При использовании ЭВМ для вычисления интеграла точки деления по X выбирались следующим образом. Отрезок интегрирования по ti, [ (у+1) /2у , 1] делился на п частей, затем в соответствии с формулами ( 2 . 5)—(2. 8) в этих точках вычислялось подынтегральное выражение и находились точки деления отрезка [0, 1 ] по X. После чего интеграл вычислялся по правилу трапеций. Затем число п удваивалось и процесс повторялся. Если при увеличении числа точек деления а не изменяется с заданной точностью, то за значение а принимается то, которое получено при вычислении интеграла с наибольшим п. При расчетах для значений у в диапазоне 1 < у < 7 число п, для которого достигалась хорошая точность, было порядка 500. Вычисленные с высокой точностью (четыре верные значащие цифры) значения а при у <С 4 и разных v опубликованы в таблицах [6 ] . Заметим, что непосредственный расчет интеграла (2. 24) по переменной \х возможен, но здесь следует применять специальные квадратурные формулы, ибо подынтегральное выражение будет иметь (интегрируемую) особенность при р = = ( у + 1 ) / 2 у . Из дальнейшего будет следовать, что при у = 7 , v= 3 интеграл в (2. 24) вычисляется точно.
При расчете а для значений v = 3 , у > 7 интеграл целесообразно преобразовать к переменной ибо в этих случаях решение не доходит до центра и подынтегральное выражение не будет иметь особенности. В этом случае формула для вычисления а приводится к следующему виду:
(Т+1)/2
* = ^ ( 7 - 1 ) 2 * ( Т ^ 7 ) S ( 2 ' 2 4 а > 1
где
« = ^ - 5 ^ - 1 , 6 = 3 ß 8 - l , с = ^ - 2 ,
в - Т - 1 В —В I 7 + 1 2
68
Интеграл, входящий в формулу (2. 24а), можно вычислять по любому стандартному методу.
Некоторые результаты расчета а по формулам (2. 24), (2. 24а) для значений v=3 и j > 3 приводятся ниже.
Y 4 5 6 7 7,1 а 0,076625 0,050894 0,036676 0,027925 0,027248 Y 7,3 8 9 10 11 а 0,025956 0,022161 0,018122 0,015155 0,012899
Так как в приложениях могут встретиться значения, у, отличные от приведенных в [6] и выше, то нами была проведена работа по аппроксимации табличных величин аналитическими формулами вида
а = (у — 1)ä»+*.H?(Y-I) ( Т 2),
a = Ä l T * ( ï > 2 ) .
В результате вычисления й1 ? к2, &3 и х по методу «средних величин» и методу наименьших квадратов [9] получены следующие значения:
v = l
1 , 1 < Т < 3 A„=l,52<>/ 0, = 0,36011, к2 — к3 =
—1,2700, —0,017912,
1 , 2 < т < 2 ,
v = 2
Л а = 0,46<>/0, к, = 0,36011, к2 = к3 =
—1,2537, —0,18471;
1 , 1 < Т < 3 . Дв = 1,55о/0, к, = 0,34649, 6 2 = 6 3 -
—1,19796, —0,14134,
1 , 2 < т < 2 ,
v = 3,
Д. = 0,34%,
т<з
= 0,56235, А = к3 =
1,1768, —0,13945;
1 , 1 < Т < 3 , ^ = 1,38%- = 0,30774, /с2 = /с3 =
—1,1598, —0,11917,
1 , 2 < т < 2 , Д а = 0,30<>/0, = 0,49210, &3 =
:—1,1409, :—0,11735;
v = 3, Т > 2
2,5 < у < 11,5, Д а = 0,50%, & 1 = = 1,238, х = —2,1448 + 0,2325 lg у.
Здесь через Л а обозначена максимальная относительная погрешность, даваемая соответствующей формулой в точках табличных данных для указанного диапазона изменения показателя адиабаты у. Эти формулы могут быть использованы для расчетов, в которых не требуется знать а с высокой точностью.
2.2. Об аналитических свойствах решения в окрестности центра симметрии для случая постоянной начальной плотности. Для решения линеаризированной задачи о точечном взрыве с учетом противодавления, которая будет изложена в главе 3, и для изучения поведения решения общей неавтомодельной задачи (с учетом противодавления) вблизи центра
69
симметрии необходимо знать представление решения автомодельной задачи с помощью рядов по степеням X. Такого рода представление также может быть полезным при вычислении функций / , g, h для малых значений X.
В § 1 этой главы указано, что зависимость X от параметра \х имеет вид (2. 5), (2. 10):
1_ ,Г^Г 2 ( y y - v + 2) / (v + 2 ) ( T + l) \ > ß + 2 Т / 7 + l\~f> [ 3 У - 2 - 7 ( У - 2 ) V 2 ( У Т - У + 2) ~^)] L ï ^ V ^ - ~ 2 Г Л 1 '
Будем рассматривать решение при у <С 7, т. е, случай, когда решение доходит до центра симметрии. В центре симметрии имеем X = 0, jx = — | х 0 =(у + 1)/2у. Преобразуем формулу для X, возведя ее левую и правую части в степень l/ß 2:
- t i l - a-2/(v+2)ß2 / _ 2 И - v + 2) / ( v + 2) (т + 1) _ \ W — T - l ^ 2 T ; L 3 V - 2 - T ( V - 2 ) V 2 ( v T - v + 2) *VJ •
Так как зависимость ß 2 от у и v имеет вид ß 2 = (y — 1)/[2(у — l) + v], то получим
J - = v , + 2 = s + 2, $ = — ß 2 7 — 1
1 1 y — I e
Введем обозначение X 1 / i 3* = X s " 2 = х. Тогда соотношение для МОЖНО
записать так:
Ф (X, f.) = S - A рг*/С*«>Ь ( [ i _ ^ х
X
Уравнение (2.25) определяет fx как неявную функцию от причем
ф(о, ig=o,g(o,b)^o. Из вида функции Ф fx) следует, что Ф fx) разлагается в ряд по
степеням —р.0. Из теории неявных функций известно, что в этом случае функция р(х) также будет разлагаться в сходящийся (в окрестности х=0) ряд по степеням х. Используя теорию рядов, можно найти явную зависимость коэффициентов разложения функции fx по степеням х от величин у и v.
Уравнение (2, 25) можно записать таким образом:
а—а 1 г с Т - У г ^ Г 2 ( У Т - У + 2) / ( у + 2)(у + 1) Vf Ж
f * - P o + * 2 т f * A ; Р 2 [ З У - 2 - Т ( У - 2 ) Л 2 ( У Т - У + 2) ~ *7 J ' ( '
В теории рядов доказывается [10], что если функция у (х) определяется уравнением у=а+х$ (/у), где функция ф (у) разлагается в ряд по степеням у—а, то разложение функции у (х) в окрестности х=0 имеет вид
у « а + ( а ) + ( а ) ] + . . . + £ ^ [ф« (а)].
Этот ряд является частным случаем ряда Лагранжа.
70
Применяя эту формулу к неявной функции р. (х), определяемой уравнением (2. 25а), находим разложение \х по степеням х в окрестности х=0:
а - ц I д Т - ^ ^ а - Г 2 И - v + 2) / ( у + 2) (т + 1) „ V f Л , р . _ ц 0 + Х ^ f V 2 L 3 v _ 2 _ - f ( v_2) l 2(v-f-v + 2) N J +
f / T f - i y p 2 (n - v + 2) 3v — 2 —-y(v — 2 ) X
По указанному выше правилу можно с помощью дифференцирования найти любой член этого ряда. Так как /=2 [хХ/(у+1) , а #=X S + 2 , то полученная формула для fx дает возможность получить разложение функции / (X) в ряд по степеням X. Используя соотношение (2. 256) и формулы (2. 5)—(2. 9), можно найти также разложения g (X), h (X) и 9 (X) в ряды по X. Эти разложения имеют вид
/ № = Ч ° 0 + a i x s + 2 + ^ 2 < s + 2 ) + • • • ).
(̂x) = ̂ ^(s + ̂ s + 2 + ̂ 2(s+2, + ..-), * W = т+ч (8o + 8 i x s + 2 + 8 ^ 2 ( s + 2 ) + • • • ) • 9 ( x ) = C»lo + 7 î i x m + ^ 2 ( 8 + 2 ) + • • • ) •
Зависимости коэффициентов o 0 , a 0 , § 0, ox, 81? a x от величин у и v даны в [3] и здесь не воспроизводятся. Используя приведенные формулы, можно определить зависимости о., а„ 8 Л от у и v. Вид разложений (2. 26) и зависимость коэффициентов от у и v были указаны в книге Л . И. Седова [2]. Проведенный анализ можно рассматривать как обоснование разложений (2. 26) и новый подход к вопросу об определении коэффициентов.
2.3. Зависимость решения от со, v, у в случае переменной плотности. В общем случае переменной плотности решение содержит три параметра: <о, v, у. Рассмотрим изменение свойств решений в зависимости от изменения этих параметров. Пусть, выполняется условие конечности начальной массы в любом конечном объеме, содержащем точку г=0. Рассмотрим массу, заключенную внутри объема между началом координат и координатой г = £:
о К Л 1 п r\\ ( < D = v ) ,
где a v = 2 (v—1) TC-f(v—2) (v—3). Очевидно, что требование конечности массы внутри этого объема мояшо удовлетворить лишь при условии о) < v. Из формул (2. 11), (2. 13) следует, что при ш < vc ростом времени убывают v2, р2
и Ударная волна замедляется. Так как р/рх пропорциональна esjcv, то из соотношения (2. 16) следует, что по мере распространения ударной волны энтропия частиц за фронтом ударной волны убывает, если о) < v/y, возрастает при о> > v/y и остается постоянной при o)=v/y [2]. Интересно заметить, что при значениях о), лежащих в диапазоне v/y <С <о <С v Î ударная волна, удаляясь от места взрыва, замедляется, давление за ее фронтом падает, но, несмотря на это, энтропия растет [2, 3 ] . Этот эффект объясняется сильным убыванием плотности [2, 3] .
71
Из решения (2. 5)—(2. 10) следует, что параметрическая переменная ^ может измениться на отрезке
т + 1 2Т
Т + 1
Значение ^ = f x 2 = l , соответствующее ударной волне (А=1), лежит в этом отрезке, центру симметрии соответствует значение |л 0=(у+1)/2у. Если CD < v, то при
ЗУ — 2 + 7 (2 — v) Т + 1 Ü)<-
решение продолжается до центра симметрии и переменная ^ принимает значения из отрезка
т + 1 2Т
< | х < 1 .
Если v=3 и (7—у)/(т+1) <С 00 <С 6/(т+1)? то вокруг центра взрыва образуется расширяющаяся с течением времени сферическая полость, на границе которой. ц= ^=(т+4)/2, \ ( ï , (i))» а плотность, давление и температура равны нулю. Параметр р. изменяется в пределах 1 ^ ^ <С ^ (Т+1)/2. Асимптотические формулы для нахождения основных функций вблизи центра симметрии и в окрестности сферической полости приведены в [2, 3] .
Е. В. Рязановым и автором [5] проведено исследование поведения решения в окрестности особых значений со, у, т. е. при тех значениях со и у, для которых обращаются в бесконечность либо коэффициенты правых частей формул (2. 5)—(2. 10), либо показатели ßy (у—1, 2, . . ., 5).
Оказалось, что существуют следующие три особых значения:
ЗУ — 2 + т (2 — У) — т + 1
2 ( 7 - 1 ) + * : v ( 2 - T ) . ( 2 . 2 7 )
Решение задачи для первого особого случая, когда о)=(о 1 э было исследовано Л. И. Седовым [2]. Оно имеет простой вид:
Т + 1 J 7 + 1 ' Ô W 7 — 1 ' 7 + (2 . 28 )
Вид решения в двух других случаях, т. е. при со=о)2, ш=а) 3 , и непрерывная зависимость решения от параметров у и со в окрестности кривых ш2 (у) И (Dg (у) устанавливается так же, как это делалось для случая Ü>3—0, у=2 . Мы приведем здесь лишь вид решения для случая со=о)2. Это решение будет иметь вид
27 vy-v+2 7 + 1>
LT
2(V-2+2Y)
7-1 vY-v+2 exp
7 + 1 V7—.V + 2 Т + 1
2 T .
, v Т + 1 V7-V+2
X ' 4-V-27
' 1 -
v-2(7+l) V Ï~ V + 2 X
2 (Т + 1)
( 2 . 2 9 )
V T — У + 2 7 + 1 2Т J
72
2vY _ 7 ( v - 2 ) vy » I \ v Y - v + 2 Г 2 / т + 1 Y
, 2\
В третьем особом случае, т. е. при Ü ) 3 —v(y—2 ) , вид решения будет аналогичен случаю у = 2 , рассмотренному выше, и здесь не воспроизводится. Отметим, что для особого случая ( D = O ) 1 энергетический параметр
2а, (7 + 1) _ _ ( 2 3 0 ) • V ( 7 - 1 ) ( V 7 _ V + 2 ) 2 •
Для произвольных у, CD параметр а может быть определен численно. Заметим также, что на основании теоремы 1 из решения (2. 5)—(2. 10) можно получить путем предельных переходов по 8 и преобразований сдвига по времени (или координате для v ~ l ) вид решений в случае движений, предельных к автомодельным. Непосредственным интегрированием соответствующих инвариантных уравнений газовой динамики эти решения получены H. Н. Кочиной [И] .
§ 3. Задача о сильном взрыве в газе при нулевом градиенте температуры
3.1. Задача о точечном взрыве для уравнения нелинейной теплопроводности. Решение задачи о.сильном взрыве (2.5)—(2.10) для случая адиабатических возмущенных движений, описываемых уравнениями (2. 3), характеризуется большими градиентами температуры. При 1=0 (<D=0) температура в центре взрыва бесконечна и растет при приближении к центру пропорционально r" v / ( T _ 1 ) . Это распределение температур не соответствует реальному распределению, ибо при существенных градиентах температур и высоких температурах большую роль играют процессы теплопроводности, в первую очередь, лучистой теплопроводности [12]. Поэтому представляет интерес рассмотреть другие модели распространения возмущений при точечном взрыве, простейшей из которых является модель нелинейно теплопроводного тела. Задача о распространении тепловой волны для среды, коэффициент теплопроводности которой зависит от температуры по степенному закону, подробно рассмотрена в [12]. Постановка задачи аналогична рассмотренной в § 7 главы 1 для обычного уравнения теплопроводности. Требуется найти решение уравнения (1. 44) с начальным условием (1. 152). Решение этой задачи для произвольной зависимости ^ (Т) и отличной от нуля начальной энергии и (и=р0е) достаточно подробно не исследовано. Пусть теперь ^ = у.0ип, u\t==0=0 (г}>0), где х 0 — постоянная с размерностью [х 0 ] = L N + 1 Т2пМ~п.
Уравнение (1. 44) примет вид
dt — r * - i 0 d r V дг)'
В задаче имеется всего две размерные постоянные х 0 и Е0, т. е. она автомодельна.
73
Заметим, что мы должны учесть интегральный закон сохранения энергии (1. 165) и условие на бесконечности u\r=œ = 0. Решение будет зависеть от одной безразмерной переменной
(2. 31) M * 0 £ g o 1 / ( v w + 2 ) '
Это решение для случая v = l и v = 3 исследовано в [12]. Оно имеет вид
и = е (1 X) и0 (1 - А 2)*/*, (2. 32)
где е ( 1 - Х ) —- единичная функция, и0=и (О, t) — значение энергии и в центре.
Передний фронт волны возмущения, или фронт тепловой волны, распространяется по закону
где Х0 — известная постоянная, определяемая по интегральному закону сохранения энергии. При п > 1 из решения (2. 32) следует, что энергия и слабо меняется в области, близкой к центру, и лишь вблизи Х = 1 , т. е. г = г 2 , резко убывает, обращаясь в нуль. Если считать, что и~Т', то аналогично будет вести себя и температура.
В приближении нелинейной теплопроводности мы не учитываем движение газа. Для сильного взрыва в газе это справедливо лишь в самой начальной стадии процесса [12].
Если коэффициент х весьма велик, то уравнение (1. 44) можно приближенно заменить на ди/дг=0 или (так как и=и (Т)) на дТ/дг=0.
Таким образом, приходим к условию нулевого градиента температуры или внутренней энергии. Решение здесь будет даваться выражением
и = и (0, t) ~и0 (г<^г2). (2.33)
Итак, в средах, где имеется сильный теплообмен между частицами среды, в качестве приближенного условия можно принять условие нулевого градиента температуры.
О п р е д е л е н и е . Процессы, для которых выполнено условие дТ/дг=0 (Т=Т (t)), будем называть гомотермическими. Заметим, что если r=const, то гомотермический процесс совпадает с изотермическим.
3.2. Сильный взрыв при нулевом градиенте температуры. Рассмотрим теперь задачу о сильном точечном взрыве, когда вместо условия адиа-батичности течения за фронтом ударной волны предполагается наличие интенсивного теплообмена. Вследствие этого примем, что в области движения газа отсутствует градиент температуры, т. е. дТ/дг=0. Это предположение о характере течения соответствует начальной стадии развития взрыва большой мощности (например, атомного взрыва), когда в области течения газ имеет высокую температуру, и вследствие излучения и теплопроводности происходит сильный теплообмен между частицами газа. В атомном взрыве это будет соответствовать, примерно, той стадии развития взрыва, когда фронт ударной волны еще не оторвался от огненного шара. В силу указанных предположений температура в области течения зависит только от времени и не зависит от расстояния до центра взрыва, т. е. Т=Т (t), и течение будет гомотермическим.
74
Будем считать, что начальная плотность рх покоящегося газа постоянна. Постановка основной задачи о сильном взрыве для гомотермических движений и ее решение в случае v=3 было впервые опубликовано в нашей работе [13]. Подробный анализ для всех v опубликован в [3]. Случай сферической симметрии был независимо рассмотрен в работе О. С. Рыжова и Г. И. Таганова [14].
Система уравнений в частных производных, описывающая рассматриваемые одномерные неустановившиеся движения, имеет вид
d v . d v . i d p n dT А
Tt+vTr + JTr = 0' dF = °>
= 0. (2. 34)
Из первого уравнения этой системы с помощью уравнения состояния
совершенного газа p = R9T (2.35)
исключим давление, тогда система (2. 34) примет вид
dv . dv . R T dp п dT n
Tt + vTr+T^ = 0> ^ = 0' , 2 3 6
A.- + "5F + P = 0.
Если начальным давлением p± пренебречь, то система определяющих параметров в этой задаче будет иметь вид г, £, /?0> Pi> Y» причем постоянная 7 оказывается существенной лишь при подсчете баланса энергии.
Это движение газа является автомодельным. Все безразмерные характеристики течения можно рассматривать как функции следующих параметров:
где Е — постоянная с размерностью энергии [Е] = МЬ^Т'2, связанная «с энергией взрыва Е0 формулой Е0 — аЕ, а — некоторая постоянная.
Так как для ударной волны координата г 2 является функцией времени t, то r2 —X 2 (£ /p 1 ) 1 / ( v + 2 ) ^ 2 / ( v + 2 ) . Постоянную а определим из условия, что Х2 = 1 на ударной волне. Тогда для X имеет место формула Х = г/г2. Для скорости распространения ударной волны получим
л - 2 II— 2 Ш r-v/2 _ 2 /iv / ( v f 2 ) r^+2)
и — v + 2 t— v + 2VpJ 2 ~ v + 2 V p i /
Введем вместо переменной X новую независимую переменную Л по формуле
Л = ф х , (2.37)
где 02 — некоторая постоянная. На ударной волне Л 2 = I/O1/«, так как Х2 == 1.
Для скорости, плотности и температуры можно написать формулы
У = 6 £ Д / ( Х ) - р = Р 1 вг(М, T = ^ D \ (2.38)
где /(X) и g (к) — безразмерные скорость и плотность.
75
Используя связь (2. 38) между размерными и безразмерными переменными и формулы д/дг = ( 1 / \ Д ) r2 {didA), d/dt = — (DA/r2) (3/ЗЛ), систему (2. 36) можно преобразовать в эквивалентную ей систему обыкновенных уравнений
. £ . • = : ( Л - / ) / ' + у / , / * = ( A - / ) - Ç + ( v _ 2 ) £ . ( 2 . 3 9 )
Штрих означает дифференцирование по Л. Если ввести безразмерно давление h по формуле р = р 2 (r2/£2) h (Л), то из (2.35) и (2.38) получим
^ ( Л ) = ( т т 2 ) 2 ^ ( Л ) - ( 2 - 4 0 >
Это уравнение дает возх\южность найти давление Л (Л), если известна функция g (А) и постоянная 62.
Заметим, что из (2. 39) путем исключения gf/g можно получить уравнение для нахождения / (Л):
y A / ( A - / ) - ( v - l ) /
/ ' = А - [ 1 - ( А - / ) Ч - < 2 ' 4 1 >
Из первого уравнения (2. 39) находим
Интегрируя это уравнение от некоторого Л до Л 2, получаем А
1 п Т = Т (Я - ^ + Л / - Л 2 / 2 + ^ J / d A , (2. 42)
где д2ж / 2 — значения gr и / на ударной волне. При v=2 соотношение (2. 42) дает первый интеграл * системы (2. 39):
1 п ^ = | ( / 1 - / 2 ) + Л / - Л 2 / 2 . (2.43)
Из всего изложенного вытекает, что решение задачи о сильном взрыве при нулевом градиенте температуры по существу сводится к нахождению функции / (Л) из дифференциального уравнения (2. 41). Если функция / ( Л ) найдена, то зависимость g (А) определяется по формуле (2. 42) или (2. 43). При этом функции/и g должны удовлетворять определенным граничным условиям. Выведем эти граничные условия.
Из закона сохранения количества движения и закона сохранения масс при переходе через фронт ударной волны имеем
PlD* = р 2 (и2 - Df + i ? p 2 r 2 , - P i D = р 2 („2 _ д). (2 . 4 4 )
Переходя в (2.44) к безразмерным переменным по формулам (2. 37), (2. 38), получим граничные условия для / (Л) и g (Л) при Л = Л 2 :
/ 2 ( А 2 ) - 4 ( Л 2 + \ /Л|*=Г4), (2 .45)
О Г 2 ( Л 2 ) = ^ . (2.46)
* Этот интеграл другим способом был впервые найден M. Л. Лидовым и сообщен автору.
76
Кроме того, из условия равенства нулю скорости в центре симметрии имеем еще одно граничное условие для / (Л):
/ ( 0 ) = 0. (2.47)
Из граничных условий на ударной волне следует, что решение уравнения (2.41), удовлетворяющее условию (2. 45), параметрически зависит от величины А2=1/Щк Величину Л 2 следует выбрать таким образом, чтобы интегральная кривая / ( Л ) удовлетворяла граничному условию {2. 47). Кроме того, из (2. 45) следует, что для Л 2 должно выполняться условие Л 2 ^ 2.
Нужно отметить, что в рассматриваемой задаче безразмерные функции /, g не зависят от у, что следует из системы уравнений (2. 39) и граничных условий (2. 45)—(2. 47). Влияние величины у скажется только при подсчете баланса энергии.
Выразим постоянную Е, входящую в формулы для характеристик движения, через энергию взрыва Е0 (равную в принятой постановке полной энергии возмущенного газа). Для полной энергии имеем формулу
-Чг.
Здесь первый член соответствует кинетической, а второй — тепловой энергии газа. Переходя к безразмерным переменным, получим
А, Л.2
(2.48)
Для вычисления вторых членов в квадратных скобках можно воспользоваться соотношениями, вытекающими из условия сохранения массы приведенного в движение газа,
av j r^'idr^r^rl (2.49) о
В безразмерных переменных формула (2. 49) примет вид
v_
Л °- ( дА-ЧА = ^-. (2.50)
2 J V
0
Учитывая (2. 50), формулу (2. 48) можно записать так:
1 Е0 / 2 \ 2 q v Г < Е Vv + 2 / Л 2 [ У
(2.51) | A J 1 v ( 7 — 1 )
где
e v = j vÇLtf-idA. * (2.52) о
Формулы (2.51), (2. 52) дают выражение постоянной Е через энергию взрыва Е0 и величину у.
77
Перейдем к рассмотрению конкретных частных случаев этой задачи. Исследуем решения уравнения (2.41), которое запишем как
T y S . - / ) A - ( v - l ) f
f'= 1 - ( А - / ) . Х - ( 2 " 5 3 >
Для исследования поведения решения уравнения (2. 53) рассмотрим поло интегральных кривых этого уравнения при различных значениях v. Это даст нам возможность из множества интегральных кривых найти единственную интегральную кривую, которая удовлетворяет граничным условиям (2. 45) и (2. 46).
а) Случай сферической симметрии. При v=3 уравнение (2. 53) в интересующей нас области плоскости Л, / имеет следующие особые точки:
О(0, 0), А{\, 0), В = (±, 1 ) .
Особая точка О является седлом. В нее входят две интегральные кривые: прямая Л = 0 и прямая / = 0 . Особая точка А — узел, причем в точку А входит интегральная кривая f=0. В особой точке В имеем седло, в нее входят две интегральные кривые с наклоном касательных: ^ = 1,3624, iVa=0,4624. Граничное условие на ударной волне
/ 2 ( Л ^ = 1 ( Л 2 + ^ Л 1 = 4 )
дает в плоскости Л, / кривую, которую должна пересекать искомая интегральная кривая.
Полная картина поля интегральных кривых представлена на рис. 8. Из рассмотрения поля интегральных кривых следует, что единственной кривой, которая может удовлетворять всем граничным условиям, будет кривая ОАВС, начинающаяся в точке О (0, 0), проходящая через особые точки А и В и пересекающая кривую / 2 (Л2) в точке С.
б) Случай цилиндрической симметрии. При v=2 из уравнения (2. 53) имеем
/ А ( А - / ) - 1 2 5 ,
/ — А 1 ~ ( Д - / ) 2 ' ( }
Для конечных значений Л это уравнение имеет две особые точки О (0, 0) и Л (1, 0). Особая точка О — седло. В эту точку входят прямые Л = 0 ,
Рис. 9. Поле интегральных кривых при v = 2 Обозначения см. на рис. 8
Рис. 10. Поле интегральных кривых при v = l Обозначения см. на рис. 8
/ = 0 . Точка А есть особая точка рационального характера [15]. Критическими направлениями, т. е. направлениями, вдоль которых кривые входят в особую точку, являются iV\=0, i V 2 = l . Вдоль каждого из этих критических направлений в особую точку входит по одной интегральной кривой. Поле интегральных кривых уравнения (2. 54) изобрая^ено на рис. 9.
Решению задачи соответствует интегральная кривая О АС. Эта кривая выходит из точки А с наклоном N2=l и пересекает граничную кривую / 2 (Л2) в точке С.
Расположение интегральных кривых в плоскости / , Л для цилиндрического случая отличается от сферического тем, что особая точка В (рис. 8) для задачи с цилиндрической симметрией отсутствует. Как будет показано ниже, это же обстоятельство имеет место и при v = l .
в) Случай плоской симметрии. В случае плоской симметрии имеем
2 [ 1 / ~ A ( / - A 2 ) J • ( 2 * 5 5 )
Картина интегральных кривых уравнения (2. 55) дана на рис. 10. Для конечных Л и / уравнение (2. 55) имеет единственную особую точку А (1, 0) — седло. В нее входят две интегральные кривые с наклоном касательных Л г
1 = 5 / 4 , N2=0. Кроме того, уравнение (2. 55) имеет тривиальное решение f=0. Интегральная кривая /=0 входит в особую точку А. Таким образом, от центра симметрии до кривой / 2 (Л2) можно пройти так: отточки О до точки А — по интегральной кривой / = 0 , от точки А до точки С — по интегральной кривой, выходящей из особой точки А с наклоном ^ i = 5 / 4 .
Проведенное исследование полей интегральных кривых показывает, что для полного решения задачи следует найти зависимость / (Л), соответствующую искомой интегральной кривой, проходящей через особые точки, и определить точку пересечения ее с кривой / 2 ( Л 2 ) . Эта задача была ре-
79
Рис. 11. Зависимость безразмерного давления и плотности от X 1 — v=3; 2 — v=2; 3 — v=l
Рис. 12. Зависимость безразмерной скорости от X 1 _ v=3; -2 — v=2; 5 — v=l
шена с помощью численного интегрирования уравнения (2. 53). В результате расчетов были получены следующие значения констант А 2 и 02:
Л 2 = 2,024, % = 0,244 (v = 3),
Л 2 = 2,040, 6 2 = 0,240 (v = 2),
А2 = 2,076, е 2 = 0,232 (v = l ) .
В соответствии с уравнением (2. 42) была найдена также зависимость 9 (А).
Результаты решения задачи для всех трех симметрии представлены
на графиках — (X), — (X), — (К) (рис. 11 и 12). Полученное решение харак-Р2 Р2 и2
теризуется, во-первых, тем, что вблизи центра до значения г*=9!/т 2
существует область покоящегося газа. Эта область расширяется с течением времени. В плоскости / , Л этой области соответствует интегральная кривая / = 0 . Для г > г # скорость газа направлена от центра и меняется с ростом г по закону, близкому к линейному. В центральной покоящейся области плотность газа постоянна, давление и температура изменяются с течением времени пропорционально д л я значений г > Щ*г2
плотность и давление с увеличением г растут, достигая максимальной величины на фронте ударной волны. При подходе к ударной волне возрастают градиенты плотности и давления. Значения параметра лежат в интервале 1 < ev < 2,5, так при v=3 было найдено ' ev = 1,088. Если считать плотность переменной, меняющейся по закону (2.1), то рассматриваемая задача остается автомодельной. Поведение решения этой задачи для разных со исследовано Е. В. Рязановым [3]. К] оме ЗТВ, для гомотермической модели изучались и другие задачи (см., например, [16]).
80
§ 4. Об учете высокотемпературных эффектов в задаче о сильном взрыве
4.1. Термодинамические свойства газов при высоких температурах. При распространении сильных ударных волн в газе образуются высокие давления и температуры. При высоких температурах на движение газа оказывают влияние эффекты диссоциации молекул и ионизации атомов, а также эффекты, связанные с процессами излучения.
Будем считать- процессы диссоциации и ионизации равновесными и излучение пока не учитывать. Рассмотрим как пример случай однократной ионизации двухатомного газа, т. е. когда перед фронтом ударной волны можно принять 7=1,4 . Для термического уравнения состояния смеси частиц газа можем написать
p = 2/cnjT, (2.56)
где / = 1 , 2, 3, 4; щ—щ — числовые плотности нейтральных атомов, молекул, положительных ионов и электронов соответственно, причем в силу квазинейтральнЬсти щ=п3; к — постоянная Больцмана.
Для химически равновесного процесса А2 ^ п1А1-\-п2А2-{-п3А3+щА^ имеют место соотношения закона действующих масс [17]
т., -
" 2 exp (-4jlkT) ' _ 3
2
"%exp С - е у / А Г ) " - j
exp (—W2jkT) JtL=dJ^-kTY г ^ 1Г =î =! , (2.57) «2 \ m i I Г У exv(-BoJkT)]exp(-WJkT)
4 ? exp (—B3JlkT) exp (—WJkT) / 2 * * ™ . и 5 8
J
где rrij — массы частиц, Wx — энергия ионизации, т. е. энергия, необходимая для ионизации атома А1 при Г = 0 ° К, W2 — энергия диссоциации, т. е. энергия, необходимая для диссоциации молекулы при Т=0° К, h — постоянная Планка, е#.. — энергия частицы А. в различных состояниях. Для массовой плотности газа имеем
Р = 2 т у » у . ( 2 - 5 9 ) j
причем mjm3 <^ 1, m2œ m3.
При известных значениях p, р формулы (2. 56)—(2. 59) позволяют определить неизвестные величины пг, п2, щ и Т. В уравнении движения газа термодинамические свойства газа входят через зависимость между внутренней энергией, плотностью и давлением. Для внутренней энергии е можно написать соотношение [12, 17, 18]
ре = 4 пкТ + 2 Щ (щ + w<), (2. 60) i
и. -=kT2-^r In ^ = 2 е х р ^ - , z 4 = l , где
(2.61)
у YV 2 , ^2 ш 2 -
6 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 81
Простым примером газа, для которого имеет смысл решение задачи о взрыве с учетом эффектов при высоких температурах, является водород. Для случая водорода формулы (2. 56)—(2. 61) дают термодинамические функции вплоть до полной ионизации. Здесь, правда, не учитываются кулоновское взаимодействие и факты появления отрицательных ионов [19, 20], но этими эффектами можно в ряде случаев пренебречь.
Для более сложной смеси газов и многократной ионизации атомов формулы для расчета термодинамических функций сильно усложняются [12]. В настоящее время расчет термодинамических функций воздуха в широком диапазоне температур и давлений выполнен Н.М. Кузнецовым [21]. Для получения грубых оценок и приближенного учета влияния процессов ионизации и диссоциации на изменения температуры и плотности можно прибегнуть к следующим приемам.
1) Считаем газ совершенным с некоторым средним «эффективным» показателем адиабаты у. Проведенные различными авторами оценки показывают, что в стадии сильной ударной волны эффективный показатель адиабаты газов лежит в пределах 1,2 ^ у ^ 1,3. При этом термодинамические функции газа сводятся к таковым для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями. Для грубых оценок температур можно предположить, что изменение термодинамических свойств газа при высоких температурах слабо влияет на распределение давлений и плотностей в потоке газа. Тогда, решая задачу для эффективного у и считая р и р известными, с учетом уравнений типа (2. 56)—(2. 61) или таблиц термодинамических функций можем определить Т и концентрации компонент смеси газа. Такие оценки температур для однократно ионизованного воздуха проводились в работе [22].
2) Для более точного учета свойств газов можно провести аппроксимацию зависимости внутренней энергии s от-_р и р или от р и Т аналитическими формулами и затем применять приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Этот прием широко используется в различных задачах газовой динамики. В приложении к сильному взрыву в воздухе этот подход применялся в работах [23, 24].
Примеры аппроксимации внутренней энергии простыми аналитическими зависимостями даны также в [12]. В качестве приближенной формулы здесь предлагается формула вида
Так, если плотность воздуха меняется в диапазоне 10р 0—Ю _ 3р 0 (р0 — нормальная плотность), а температуры — в диапазоне 10 4 °К — 2,5 X Х10 5 °К, то формула (2. 62) может быть взята в виде
где е0 — значение внутренней энергии при Г = 1 0 4 °К, р—р0. Нами проводилась работа по аппроксимации соотношений на сильной
*' ударной волне и внутренней энергии воздуха. За основные данные о термодинамических функциях были приняты таблицы [21]. Аппроксимация
б = в 0 7 У , е 0 = const. (2. 62)
(2. 63)
-82
табличных данных для соотношений на ударной волне проводилась двумя* способами. В первом способе аппроксимировалась зависимость энтальпии от скорости ударной волны D, во втором — зависимость давления за ударной волной р2 от скорости за ударной волной v2.
Рассмотрим сначала первый способ аппроксимации. Как отмечено в [12], соотношение между энтальпией i и D2 слабо зависит от термодинамических свойств воздуха при высоких температурах. Действительно, из условий на скачке следует, что
и при сильном сжатии отношение i2/D2 меняется слабо. Введем безразмерные переменные
Pi ylPli?1
и будем приближенно аппроксимировать зависимость G7 (D) согласно формуле
G7 = ^ 2 3 2 + / Q 7 0 , 7 = 0 , 1 . (2 .64)
Формулу (2. 64) будем использовать как в случае более грубой аппро^ ксимации 7=0 , так и более точной, когда / = 1 . Конкретные вычисления проводились лишь для случая начальных параметров стандартной атмог сферы на уровне моря: /? 1=1,01325-10 6 дин/см2, р 1=1,224«10~ 3 г/смК
При у=0 аппроксимация таблиц дает значение & 0=0,992, т. е.
^ = 0,4959/)2. (2 .65)
Сравнение с табличными данными показало, что в диапазоне температур за фронтом волны от 1300° К до 2«106 °К ошибки по определению i по формуле (2. 65) не превышают 3%. Естественно, что для температур ниже 1000 °К ошибки будут сильно возрастать. Более точные результаты дает аппроксимация по формуле (2. 64), где 7"=1. Здесь были получены значения /^=2-0,49446, о7 0=0,32, т. е. формула (2. 64) имеет вид
G7 = 0,49446£ 2 + 0 , 32 . (2 .66)
Зависимость (2. 66) обладает более высокой точностью, чем формула (2. 65). При изменении Т от 1 • 10 3 °К до 3-10 6 °К погрешность формулы (2. 66) не превышает 3%.
Таким образом, эти формулы совместно с динамическими условиями на ударной волне вполне могут заменить таблицы [21 ] для определения р2, р2. При этом формулы (2. 64) следует принять вместо закона сохранения энергии при переходе через скачок. Температуры же Т2 следует находить по таблицам, зная р2, i2 или р2, р2 из приближенных формул.
Второй способ аппроксимации данных относится к нахождению приближенной зависимости между P2=p2/pi и v2lax = V2. Для нормальной начальной плотности и давления на уровне моря имеем
ТэФф= - 0 , 3 8 7 5 (Т2 • Ю-з) + 1 > 4 1 5 5 . . .
6* 83
(Г 2 — температура в °К),
(2 . 67 )
Р2 = ( 1 , 6 5 7 1 + 1) — [ 0 , 0 2 4 3 (In F 2 ) 0 ' 7 9 1 ] ( 8 8 , 4 7 < Р2 < 7 7 4 1 0 ) , (2 . 68 )
Р2 = 1,65 7 | + 1 ( 7 7 4 1 0 < Р2 < 5 6 7 4 0 0 ) , (2 . 6 9 )
Р2 = 1 , 6 5 7 1 + 1 + 2 2 2 , 5 6 7 2 — 1 3 7 7 5 0 ( 5 6 7 4 0 0 < Р2 < 9 3 6 6 0 0 ) . (2 . 70 )
Формулы (2. 67)—(2. 70) соответствуют диапазону Т2 от 288,16 до 3.10 6° К и имеют погрешность, не превышающую 3% по отношению к табличным данным.
Для зависимостей термодинамических функций от плотности и давления или от плотности и температуры не удалось получить простые аппроксимирующие формулы, обладающие высокой точностью. Отметим здесь лишь один результат.
Будем искать аппроксимацию внутренней энергии s в виде
•=М*т)- ( 2 Л 1 )
Функцию <р следует подобрать из таблиц. Если ср зависит только от р, то в этом случае мы можем получить лишь весьма грубую аппроксимацию е (р, р ) . Более точная аппроксимация может быть осуществлена, например, формулами вида
T = 6 c t h ( i ± * L ) , (2.72)
где Ь, а0, 80 зависят от отношения pip и мало изменяются при изменении р/р>'Ро — характерная плотность ( р 0 ^ р х ) , давление отнесено к рк. Так* неплохую аппроксимацию дают зависимости b = MjY'm87> « = 2 , 8 9 9 6 ( ^ \ V = 5,606(1)-^. (2.73)
Естественно, что (2. 72), (2. 73) допускают уточнения и обобщения. При высоких температурах иногда бывает важно учитывать кинетику
химических реакций между различными компонентами газа и в процессах диссоциации и ионизации, т. е. не ограничиваться лишь равновесными приближениями. Влияние неравновесностей и скоростей химических реакций на состав газа при сильном взрыве в воздухе описано в [12]. Мы не будем здесь останавливаться на этих вопросах. Вопросы, близкие к этим, будут обсуждаться в главе 6 при изучении химических реакций быстрого горения.
4.2. О влиянии теплового излучения на движение газа. При температурах порядка нескольких тысяч градусов и выше на движение газа существенную роль будет оказывать тепловое излучение. Не останавливаясь здесь на общих вопросах теории переноса тепла излучением, мы ограничимся лишь весьма упрощенной моделью теории переноса тепла излучением, а именно будем предполагать: 1) наличие локального термодинамического равновесия вещества и фотонного газа — излучения;
84
2) процесс переноса тепла излучением происходит путем лучистой теплопроводности, т. е. используется приближение лучистой теплопроводности.
В приближении лучистой теплопроводности поток энергии излучения в условиях локального равновесия пропорционален градиенту температуры, т. е. перенос излучения носит характер теплопроводности, причем коэффициент теплопроводности зависит от температуры (и плотности). Для модели лучистой теплопроводности уравнения гидродинамики сохранят свой вид, если под давлением р в уравнении импульсов понимать сумму P*=Pr-\~Pai Г Д Е Рг ~ давление газа, ря=4/3 (а/с) Г 4 — давление излучения (о — постоянная Стефана—Больцмана, с — скорость света), к внутренней энергии ре добавить плотность энергии излучения е и =4аГ 4 /с , a для вектора потока тепла принять
где —коэффициент молекулярной теплопроводности, х — коэффициент лучистой теплопроводности
х = ^ - о с / в Г > , (2.74)
IR — средний свободный пробег излучения для всех частот. В газах при высоких температурах (Т > 2000° К) х, причем
для оценки lR М О Ж Н О применить формулу [12]
lR = AJ*m-«*, (2.75)
где AR— постоянная, п — числовая плотность, ах, а2 — некоторые постоянные. Для воздуха ах имеет значение около 2, а сс2 — около 1,7 [12]. Значения IR Д Л Я воздуха приведены в таблицах [12].
Уравнения одномерных движений газа для модели лучистой теплопроводности имеют вид
(2.76) 1 ^ в + р т + е я ) + _ г ^ ^ а + ви + р т + / , ) _ - г ' 1 х - = 0.
Вопросы влияния излучения на движение газа при сильном взрыве рассмотрены в работах [12, 25].
4.3. Постановки задач о точечном взрыве в газе с учетом высокотемпературных эффектов. Из приведенных сведений о процессах в газах цри высоких температурах следует, что для их детального учета нужно существенным образом усложнить исходную систему уравнений газовой динамики. Отметим некоторые возможные постановки задач, вытекающие из сделанных выводов. Мы рассмотрим здесь лишь одномерные движения.
Пусть излучением пренебрегается полностью. Тогда в предположении термодинамического равновесия совместно с исходной системой (1. 18) — (1. 20) следует решать уравнения типа (2. 56)—(2. 61) для определения состава смеси газов и внутренней энергии. Соответственно следует взять более общие, чем для обычного совершенного газа, граничные условия на ударной волне.
85
Простейшим случаем задачи такого вида является задача о сильном взрыве в атомарном водороде или при учете лишь однократной ионизации более сложных атомов. Действительно, в этом случае зависимость внутренней энергии от температуры и давления дается выражением типа (2.60)
. e = = l ( l + a ) i? o r + a ^ l - , (2.77)
( 2 ™ « ) > * (kTy
где a — степень ионизации, тв — масса электрона, т0 — масса атома, W1 — энергия ионизации, R 0 — газовая постоянная на единицу массы go и gx — статистические веса основного уровня нейтрального атома и иона.,
Термическое уравнение состояния примет вид
. Р = Р ( 1 + а ) Я 0 Г . ( 2 . 7 9 )
В систему определяющих параметров задачи добавляются две размерные постоянные W ^ M Q И множитель перед экспонентой в уравнении (2. 78). Отсюда следует, что задача перестает быть автомодельной. В книге Л. И. Седова [2] рассмотрены классы калорических уравнений состояний газа, для Которых задача о сильном взрыве в среде с постоянной плотностью остается автомодельной. Для автомодельности зависимость внутренней энергии от p, р должна иметь вид
< 2 - 8 ° >
где р 0 — некоторая постоянная с размерностью плотности. Если начальная плотность переменная, то функция (2. 80) сведется просто к виду совершенного газа
* = ß f , (2-81)
где ß — отвлеченная постоянная. Таким образом, решение задачи о сильном взрыве для уравнения
состояния вида (2. 77) неГсводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений и требует применения численных методов.
Если же рассматривать эту задачу в приближении эффективного показателя адиабаты у, то она сведется к рассмотренному ранее решению
. (2.5)—(2. 13). Приведенные соображения по поводу аппроксимации таблиц термодинамических функций воздуха показывают, что задача о сильном взрыве будет автомодельной лишь при грубой аппроксимации этих таблиц. Заметим, что неавтомодельные задачи о сильном взрыве с учетом диссоциации и ионизации в настоящее время изучены довольно слабо.
Задача еще более усложняется, если учесть излучение хотя бы в приближении локального термодинамического равновесия. Конечно, влияние излучения было нами косвенно учтено, когда рассматривалась задача о го-мотермическом сильном взрыве, но это приближение верно лишь в начальной стадии сильного взрыва. Если принять модель лучистой теплопроводности, то для этой модели следует исследовать решение системы уравнений (2. 76) с учетом обычных начальных условий и условий на ударной
8 6
волне для теплопроводной смеси газ—излучение. Эти условия на ударной волне для одномерных движений можно записать так:
\P(D-v)] = 0, [pv(D-v)-p} = 0,
~P(D-v)(£.+ s)-p*v + *(p, Т)^г] = 0, [Г] = 0,
(2. 82)
где
e * = ' + ^ î t ' ' * = T - (2-83)
Так как впереди ударной волны может распространяться тепловая волна, то следует задать условия на бесконечности:
Г ( о о , t) = v(œ, t)~p(œ, t) — 0, p(œ,t) — pv (2.84)
При полном решении поставленной задачи мы должны учесть зависимости (2. 74), (2. 75) и влияние диссоциации и ионизации на вид функции е (р, р). Сформулированная задача, вообще говоря, не является автомодельной и требует для ее решения применения численных методов.
Мы остановимся лишь на некоторых частных случаях этой сложной задачи. Во-первых, будем считать газ совершенным, с постоянным (эффективным) показателем адиабаты у. Во-вторых, рассмотрим отдельно два случая: 1) х = 0 , рлфО; 2) х = х (р, Г)^0 , Рй=0.
В первом случае ЗТВ можно решить точно, используя метод, предложенный Э. Ларишем, И. Шехтманом [26] (см. также [3]). Здесь задача решается для совершенного газа, где р=р*, е=е*, а затем температуры находятся из термического уравнения состояния для смеси газ—излучение. Мы не будем на этом останавливаться подробно, а лишь укажем, что для этой модели температуры в центре взрыва получаются конечными и изменяются со временем как
7W0 rt —Г 3 8 p i Р (0)14 Е* \ 1 / 2 ( v + 2 )
r
v / 2 ( v + 2 ) (2 85ï
В окрестности центра взрыва температура слабо зависит от координаты. При малых временах процесса это решение задачи качественно близко к решению, когда предполагается нулевой градиент температуры.
Во втором случае, когда давление равновесного излучения (и его энергия) не учитывается, можно рассматривать задачи в автомодельной постановке. Пусть начальная плотность постоянна, а коэффициент теплопроводности зависит от плотности и температуры так:
' i x = x l P«i7T*. (2.86)
Тогда, как и в случае а г = 0, рассмотренном Бам-Зеликовичем [28], задача будет автомодельна при любом аъ если a2=(v—2)/2v и газ совершенный.
Нами были получены [3, 27] условия автомодельности для случая взрыва в среде с переменной плотностью рх—Аг~ш, когда а х = 0 . Здесь анализ размерности входящих в задачу постоянных показывает, что задача о сильном взрыве автомодельна, если между параметрами^, а2, оо имеет место следующая зависимость:
<о + v —2 — 2a2(v —Ü)) = 0. (2.87)
87
Для случая v=3 и постоянной плотности автомодельная задача о сильном взрыве изучалась авторами [27, 29, 30].
Остановимся кратко на результатах исследования этой задачи. Автором эта задача рассматривалась [27, 29] в приближенной постановке, когда не учитывалась тепловая волна, распространяющаяся по холодному газу впереди ударной волны. Были получены следующие выводы. Газ, приведенный в движение ударной волной, движется в направлении от центра и заключен внутри сферы, радиус которой увеличивается с течением времени по закону
г>=(%Уы' (2-88)
Температура в центре взрыва конечна и монотонно убывает с ростом г, имея максимум в центре. Скорости частиц вблизи центра малы. При г <С < 0 , 5 г 2 частицы газа близки к состоянию покоя. Распределение давлений качественно остается таким же, как и в случае адиабатической и гомотермической модели течения. Вблизи центра взрыва имеют место асимптотические формулы
v = т- h if) r3 + о И , p = р(0, t) + ±b2 (t) r* + о (r*),
Т = Т0(0, t)+ +о(т*). (2.89) 1
Если теплопроводность мала, то она будет оказывать существенное влияние лишь на температуру в некоторой малой окрестности центра. Анализ решения задачи показал, что с ростом х 1 зона слабого изменения температуры расширяется, т. е. течение приближается к гомотермическому.
В. Е. Неуважаевым [30] были проведены детальные расчеты задачи с учетом тепловой волны и обусловленного ею течения газа впереди ударной волны. Заметим, что при малых х 1 автором был предложен [29] приближенный метод решения задачи, основанный на «сшивании» решения теплопроводной задачи вблизи г=0 с решением адиабатической задачи. Впоследствии аналогичный подход развивался в работе [31].
Случай сильного цилиндрического взрыва, когда x=const, был исследован И. О. Бежаевым [32]. При изучении гомотермической модели полученные изменения плотности в ударной волне существенно ниже, чем в адиабатической теории, а именно плотность меняется немногим более чем в два раза. Это же обстоятельство имеет место при больших, но конечных значениях х.
Рассмотрим теперь грубую схему учета тепловой волны впереди ударной волны при гомотермическом движении внутри нее. Предположим, что взрыв сферический, плотность постоянна и имеет место автомодель-ность. Тогда задача имеет интеграл энергии [2, 3, 28]
" [ ( i 7 - ) ( ' T + P ï ^ ) - ^ + T ^ ] - C < * • « »
Здесь С — произвольная постоянная, T=RT. Считая, что при достаточно больших rv=T=K (Г)=0 , положим постоянную С равной нулю. Переходя к безразмерным переменным f=v/D, g = p / p i , Q=T/D2, Х = г / г 2 , найдем
88
где В — безразмерная постоянная, пропорциональная коэффициенту *! [3].
Предположим, что температура не терпит скачка при переходе через разрыв (что выполняется при учете теплопроводности), тогда для (2.91) имеем граничное условие
6 (1) = (2.92)
Пренебрежем теперь изменениями скорости и плотности, обусловленными тепловой волной, т. е. будем считать g=const=g"0, / = 0 при А > 1. Уравнение (2. 91) при этом элементарно интегрируется. С учетом граничного условия (2. 92) находим
9 = [e;/' + ïg-(l-X«)] e . (2.93)
Пусть 0 обращается в нуль при А=Ау, тогда для координаты переднего фронта тепловой волны 1Т находим
\ Т = У1 + ^ 6 h • (2.94)
где значения б2 даются формулой (2.37), g0~l. Ay велико для больших В (В > 1). При В -> 0 граница тепловой волны подходит близко к фронту ударной волны. Если эффективное значение х1 невелико, то В < 1 ж Ау близко к единице. В этом случае температура резко падает до нуля в узкой зоне перед волной, причем при А— 1т обращается в нуль вместе со своими пятью производными по А. Пренебрежение скоростями и и изменением плотности р при А > 1 будет здесь оправданно.
Для размерной температуры Т имеем следующее распределение в пространстве: T=T2(t) при г ^ г2; при г > г 2 температура убывает с ростом г, обращаясь в нуль при 7*—Ауг2. Кроме того, так как 9^0 в области 1 <С А ^ 1Т, то здесь . будет содержаться некоторая доля энергии Е0* Тогда из условия выполнения интегрального закона сохранения энергии вида (1. 184) следует, что введенная выше постоянная а=Е0/Е получит некоторое приращение А а по сравнению со значением а — атТ, вычисленным по (2. 48). Обозначив через а* новое значение Е0/Е, имеем а* = = а г у+Да. Для Да можем написать в рассматриваемом приближении
1
где величины g2, 62 известны из решения гомотермической задачи (см. § 3).
§ 5. Некоторые приложения теории сильного взрыва
5.1. Начальная стадия движения газа при атомном взрыве. Большим стимулом в развитии теории сильного взрыва явилось приложение к атомному взрыву. Мы не будем здесь подробно останавливаться на этом вопросе, так как он изложен в работах [2, 3, 12, 33—36 и др.].
Отметим лишь следующее:
8 $
1) Опытные данные по зависимости радиуса ударной волны от времени хорошо аппроксимируются формулой вида
5 Y lS r2 — \gt = C (2. 95)
где С1 — постоянная. Согласно данным, полученным при взрыве атомной бомбы в Нью-Мек
сико в 1945 г. и опубликованным Д. Тейлором [33], за постоянную Сг следует принять значение С 1=11,915.
Теоретическая формула г2=(Е0/ ар^Ы2^ совпадает с (2. 95), если принять
Если значение рА и а известно, то эта формула дает возможность оценить долю энергии Е0, которая пошла на движение газа.
Численное значение а (а значит, и теоретическая оценка Е0) зависит от принятой модели течения.
Так, для адиабатической модели совершенного газа с постоянным у при v=3 имеем (см. § 2)
а а д = 0,4921 ( Т - 1)-(1.^о+од178б ig ( Y - D ) ( 1 > 2 ^ У ^ 2 ) .
Для гомотермической модели течения при v=3 имеем агт=0,0643 + +(0,163/у—1). При одинаковых у имеет место неравенство а а д > атТ. Отсюда следует, что оценки энергии Е01 которые расходуются на движение газа (полученные по а а д), будут завышены, если процессы теплопроводности не учитываются. Так как энергия диссоциации и ионизации учитывается выбором эффективного у весьма приближенно, то точный учет отих процессов также может изменить величину Е0 [37].
2) Распределение температур в области между центром и передним фронтом возмущения более близко к реальному при учете эффектов теплопроводности. В первые моменты после взрыва (тогда, когда температуры выше 3-10 5 °К) скорость тепловой волны больше скорости ударной волны [12] и распределение температур близко к тем, которые даются формулой (2.32). Далее, примерно до момента отрыва огненного шара [14] можно использовать решение гомотермической задачи. В этой модели по существу считается, что х = о о за фронтом ударной волны и х=0 впереди фронта ударной волны. Излученная вперед энергия взрыва не учитывается. Для более поздних моментов времени при плотности, близкой к нормальной вблизи земной поверхности, можно применять модель лучистой теплопроводности. При дальнейшем падении температур в стадии сильной волны течение будет достаточно хорошо описываться адиабатической моделью.
3) Как уже отмечалось, эффекты теплопроводности оказывают существенное влияние не только на распределение температур, но и скоростей, плотностей, давлений. Для иллюстрации на рис. 13—15 показано сравнение распределений скоростей, плотностей и давлений для адиабатической кривые 1) и гомотермической (кривой 2) моделей течения.
0,51g в, о = 11,915. (2. 96)
Р/Рг H
о,з
0Л
1
-Jl
// / p -- _ Л /
- 1 /
1 I 1 1 1
0,2 0,4 0,6 0,0 1,0 X 0,1 0Л 0,5 0,3 !,0Л
r/h
J.fâ
UО
!,0S
10
0,8
0,0
0,U
0,2
I
-
-v J l\
-У > 1 -
1 1 1 0 0,2 0,4 0,6 0,0 1,0 Л
Рис. 13. Сравнение распределений безразмерных скоростей
Рис. 14. Сравнение распределений безразмерных давлений
Рис. 15. Сравнение распределений безразмерных плотностей и температур (Т/Т2=1 для случая 2)
5.2. Электрический взрыв проводников и разряды в газе. Выводы теории сильного взрыва могут быть использованы также при рассмотрении процессов возмущения газа, вызванного электрическими разрядами вдоль проводников: тонких металлических проволочек и пластин [38—45]. Ввиду относительно малых температур здесь часто можно использовать адиабатическую модель с однократной ионизацией.
Проведенные эксперименты позволяют сделать следующие выводы. Для тонких прямолинейных проводников (толщина проволочки меньше 1 мм) энергии взрыва порядка 3 -108 эре/см, зависимость координаты основной ударной волны (как правило, в потоке образуются вторичные ударные волны) близка к автомодельной г2=(Е0/а р^ 1/ 2^ 2, если г2 > 10г0, где г 0 — радиус проводника, t — время после окончания разряда. Это подтверждается также расчетами Роуза [43] теоретической модели взрывающейся проволочки в воздухе при учете диссоциации и ионизации. В частности, здесь показано, что отношение энергетических параметров для воздуха ав с учетом равновесной ионизации и диссоциации для случая совершенного газа при х=1,4 примерно равно 2,18, т. е. ав =2,18а (у). Это соответствует эффективному показателю у для воздуха уэфф, близкому к 1,2.
Вторичные ударные волны, возникающие при взрыве проволочек, обусловлены расширением паров металла. Это явление не может быть описано в рамках обычной теории точечного взрыва без подвода массы. Аналогичные заключения можно сделать и для случая взрыва тонких металли-
91
ческих пластинок, если сравнивать этот процесс с явлением плоского сильного точечного взрыва.
Кроме взрыва проволочек и пластин, для получения высоких температур проводятся разряды в газе между плоскими или цилиндрическими электродами. Рассмотрим искровой разряд в воздухе между двумя электродами. Общая качественная картина процесса здесь такова. В воздушном разрядном промежутке в результате ионизации электрическим полем образуется тонкий токопроводящий канал. В этом канале за счет выделения джоулева тепла воздух нагревается до температур порядка нескольких десятков тысяч градусов и ионизуется. В результате быстрого повышения температур резко повышается давление и по газу распространяется сильная цилиндрическая ударная волна. Явления искрового разряда изучались С. Л. Мандельштамом и его сотрудниками (см. библиографию в книге [12]). Не останавливаясь подробно на этом явлении, укажем лишь, что измерения распределения плотности за фронтом ударной волны [46] показали, что процесс движения газа близок к цилиндрическому сильному взрыву, причем средняя плотность в области канала искры составляет примерно 10~3 от начальной плотности воздуха. Аналогичные явления происходят в атмосфере при грозе.
Процессы, близкие к плоскому взрыву, наблюдаются при электрических разрядах вдоль плоских токопроводящих каналов [47] или при сильноточных разрядах в Т-образных трубках [48, 49]. Здесь разряд производится в короткой части Т-образной трубки. В результате резкого повышения температуры по части Т-образной трубки, перпендикулярно направленной к разрядной трубке, начинает распространяться плоская сильная ударная волна.
В опытах Кэша [48] теория сильного плоского взрыва не используется для обработки результатов при разрядах в воздухе. Однако здесь указано, что зависимость между временем прихода ударной волны от ее положения хорошо аппроксимируется формулой t^=axij^ где х — расстояние от разряда, а — постоянная.
Для плоского сильного взрыва имеем
t=(«p1lE0)l*rb (2.97)
Так как показатель 8 / 5 отличается от 3 / 2 лишь на г / 1 0 , то ясно, что обработка результатов опытов по формуле (2. 97) дала бы также хорошее совпадение с опытом. В опытах Кольба [49] по разрядам в водороде и дейтерии показано, что в некотором диапазоне расстояний от места разряда наблюдается удовлетворительное согласие теории сильного взрыва и опытов по измерению скоростей ударных волн вдоль длины трубки. Используя данные Кольба, можно определить удельную энергию Е01 расходуемую на движение газа за фронтом волны.
Действительно, в работе [49] приведена таблица, согласно которой Z> — 5,6-10 6 см/сек при г 2 = 9 см. Так как вся энергия идет в одну сторону от места взрыва, то 2Е0= а р1 (3/2D)2r2. Приняв за у значение 1,3, а за начальную плотность р х = 1,8 -10~7 г/см3 (начальное давление было 0,7 мм рт. ст.), находим Е0 — 10 8 эрг/см2. Заметим также, что из приведенных в упомянутой таблице данных следует, что произведение D2r2 меняется слабо
92
в диапазоне расстояний от 3 до 11 см по длине трубки (полная длина трубки 12 см).
Приведенный анализ позволяет сделать вывод о приложимости теории сильного взрыва и к этому кругу практически важных задач.
5.3. Локальный нагрев газа лазерным лучом. За последние годы теория точечного взрыва нашла новое важное приложение к процессам, связанным с нагревом газа путем фокусировки импульсного лазерного луча. Луч лазера дает возможность получить в районе фокусировки весьма высокие температуры газа (около миллиона градусов) в объеме порядка 10~ 3 см3. Это вызывает возникновение сильной ударной волны, которая ионизует газ и распространяется со скоростью около 10 8 см/сек. Время подвода энергии весьма мало и имеет порядок 10 " 7 сек. (Здесь имеется в виду не время подвода энергии лазером, которое порядка 5 - 1 0 " 9 сек, а время формирования ударной волны.) Лазер за импульс может излучить энергию порядка 100 дж и более. Для получения высоких температур в газах используются два основных метода: пробой (или «искра») в газе, вызванный лазером, или фокусировка на мишень, помещенную в достаточно разреженный газ. В первом методе выделение энергии в газе, как правило, не является изотропным в окрестности места фокусировки (см., например, [50, 51 ]). Здесь может даже образоваться длинная искра длиной около 1 м и более [52, 53] с переменной удельной энергией, вводимой в газ, т. е. мы здесь имеем случай выделения энергии вдоль прямой, когда Е0=Е (z), где z — координата вдоль этой прямой. Если отвлечься от концевых эффектов, то для времен, больших времени формирования ударной волны, будет иметь место цилиндрический взрыв вдоль прямой, когда Е0=Е (z). На задачах этого типа мы остановимся также в главе 5.
При использовании мишени в месте фокусировки образуется, как правило, сильная сферическая ударная волна [53, 55]. Дадим оценку доли энергии, которая пошла на удар«ую волну и газодинамическое движение в стадии взрыва. Из работы .[54] следует, что при пробое в воздухе (при атмосферном давлении) для момента времени 2 — 1,5 «Ю - 6 сек после пробоя измеренная в опыте координата ударной волны в направлении оси лазерного луча равна примерно 1 см. Используя формулу (2. 13), имеем
Е0 = ap^l/t2.
Взяв приближенное значение а равным 1,5, что соответствует у=1 ,25 , P i = l ,25 - 1 0 - 3 г/см3, найдем из этой формулы, что E0œ7 дж. Полученная оценка хорошо согласуется с экспериментальным значением энергии импульса 10 дж. Если учесть, что энергия взрыва пошла не на полный телесный угол 4тг, а на меньшую часть пространства (это следует из рисунков формы волны), то получим несколько меньшее значение Е0, т. е. на образование ударной волны идет примерно 70%. Остальная энергия расходуется на организацию процесса пробоя и уходит в виде светового излучения, а также на другие потери.
Приведенные данные свидетельствуют о возникновении новых приложений теории точечного взрыва и необходимости новых постановок задач в этой теории. Остановимся лишь на постановке одной задачи. Пусть имеем
сферический объем радиуса г 0, заполненный покоящейся плазмой с параметрами р1? ръ Тъ а вне его газ имеет параметры р0, р0, Т0 (р0 < pj).
В момент времени £=0 в узком сферическом слое толщиной Ar (Дг= —г 0—г г <^ г0) выделяется энергия Е0 4rcrj*. Требуется определить возникающее движение. Эта задача может возникнуть при сферической фокусировке лазерного луча на плазменную мишень, если длина поглощения лазерного света мала, а время выделения энергии значительно меньше, чем величина roiPJlPi)^2- При Ar -> 0 имеем задачу о поверхностном взрыве на границе раздела двух сред с удельной энергией Е0 (см. об этом также гл. 5). Здесь вначале возникнут контактная поверхность и ударные волны, идущие к центру и от центра, а в процессе движения плазмы возможно образование зон с весьма высокими плотностями и температурами.
Г Л А В А 3
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Линеаризация уравнений газовой динамики
В предыдущей главе было рассмотрено точное решение автомодельной задачи о сильном точечном взрыве в покоящемся газе. При этом предполагалось, что противодавлением рг можно пренебречь. Это предположение верно лишь в начальной стадии взрыва, т. е. для малых моментов времени. По мере распространения ударной волны влияние начального давления становится существенным. Поэтому в начальных условиях задачи появляется дополнительный размерный параметр. р1у в силу чего задача перестает быть автомодельной и все безразмерные характеристики течения будут зависеть уже не от одной, а от двух переменных. Неавтомодельную задачу можно решать путем численного интегрирования системы уравнений газовой динамики. Эти вопросы будут рассмотрены в главе 4. Однако можно предложить более простой путь [1—4] решения задачи для значений (p2—Pi)/Pi <С17 который основан на линеаризации исходных уравнений около атомодельного решения. Для большей общности будем считать [5, 6] , что начальное давление р± переменно, причем
9 l = A r - \ (3.Î.)
p 1 = Cr<V ( 3 . 2 )
Мы откажемся также от условия равенства нулю начальной скорости газа г\ и будем предполагать [5,6]
vx=Br"-H+K ( 3 . 3 )
В дальнейшем (гл. 6) мы остановимся на случае учета тепловыделения на фронте ударной волны.
Вопрос об осуществлении начальных состояний (3. 1)—(3. 3) здесь не обсуждается. Заметим лишь, что плотность рх и скорость иг удовлетворяют стационарному уравнению неразрывности. Распределениями (3. 1), (3. 2) могут быть аппроксимированы (при ш = соч) давления и плотности в изотермических атмосферах звезд. Если состояние (3. 1)—(3. 3) не является строго равновесным, то мы будем пренебрегать нестационарным течением, которое может возникнуть впереди взрывной волны. Естественно, что при В=0, о)^=0 начальное состояние можно считать рав-
95.
яовесным. Так как при произвольных о>, размерности постоянных С и В не выражаются через размерности Е0 и А, то ЗТВ в газе с начальным состоянием (3.1)—(3.3) не является автомодельной, причем автомодель-ность теряется, если хотя бы одна из постоянных, С или В, отлична от нуля. Общая постановка задачи о линеаризации уравнений газовой динамики рассматривалась в § 1 главы 1. Остановимся на этом вопросе более подробно для случая, когда основное движение соответствует точному решению (2. 5 ) - ( 2 . 12).
Обозначим индексом 0 функции, соответствующие этому решению. Будем искать решение в виде
v = v0(r, t) + ev{1)(r, t)y
p = p0(r, *) + ep ( 1 )(r, t)y
P = Po(r> *) + eP( i ) ( r > 0>
где s — малый параметр, за который можно принять постоянные С или В, а индексом (1) обозначены новые неизвестные функции (добавки к основному решению или возмущения). Проведя стандартную процедуру линеаризации в соответствии с тем, как это было указано в § 1 гл. 1, мы придем к системе линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которой будут зависеть от у0, р0, р0. При этом при получении линеаризованных уравнений из системы вида (1. 31) мы предполагаем, что функции
Ра) и и х производные имеют конечные предельные значения при € -> 0. Если это предположение выполняется, то линеаризация оправдана. Поэтому мы будем стремиться находить такие условия для решений линеаризованной системы, при которых условия конечности р(1ир ( 1 )
выполняются. В некоторых задачах эти условия не выполняются и, как правило, локально (например, в окрестности некоторых особых точек). В этих случаях, строго говоря, линеаризация теряет смысл, но в ряде задач вне окрестностей некоторых особых точек решение линеаризированных уравнений может давать правильное качественное и количественное описание рассматриваемого движения. С этой точки зрения неограниченные в отдельных точках решения могут оказаться полезными. В дальнейшем будем использовать формализм приведения уравнений к безразмерному виду и введения малых безразмерных параметров, пропорциональных постоянным С или В.
Исходную систему уравнений газовой динамики для адиабатически возмущенных движений совершенного газа возьмем в виде
dv , dv , \ dp г л -—Y-V-— = Ü, dt 1 ôr
г р дг '
ï + » £ + w ( £ + < ' - 4 f ) = o
Обозначим через r 2 (/) передний фронт возмущения газа, который будем считать обычной ударной волной. Тогда, кроме начальных условий (3. 1)—(3. 3), имеем, как и прежде, условие г2 (0)=0 и условие выделения
(3.4)
( 3 . 5 )
96
энергии Е0 при г=Ю. В соответствии с (1. 60) условия на ударной волне при г=г2 имеют вид p1(D — v1) = p2(D — vJ, P1v1{D — v1) — p 1 = p2u2(D — v2)~-p2, (3.6)
PI!№ - »i) (4+тг T=t) - № = P 2 ( Z ) - ff+мтЬу) - № ' Кроме (3. 6), можно записать условия в центре симметрии течения.
Так, если в центре нет. постоянно действующего источника масс, то у(0, *) = 0. (3.7)
Будем раздельно рассматривать два случая: а) В=^=0, С=0; б) С^О, 5—0. Введем систему безразмерных переменных
f=i> * = Ь h = ^m- (з-8)
Аналогичные переменные мы использовали в главе 2. В силу отсутствия автомодельное™ функции (3. 8) будут теперь зависеть от двух безразмерных переменных.
Введем две новые безразмерные переменные:
"Hb ' = ï j z ^ < 3 - 9 >
Для случая о) ̂ v—1 параметр у мал при конечных В и малых t. В силу свойства 3 для ударных волн (§ 2, гл. 1) имеем D—иг ^ ах, D ^ т. е. всегда D^> иг или г/ <С 1. Параметр g есть отношение квадрата скорости звука в невозмущенной, среде к квадрату ударной волны. Этот параметр также мал в начальной стадии развития взрыва.
Можно рассматривать отдельно задачи об учете скорости и давления рх
при распространении взрывной волны. Вместо r, t в случае задачи а) введем новые независимые переменные
X = . f , у (3.10)
и будем считать, что / = / (X, у), h=h (X, у), g=g (X, у). При учете лишь одного противодавления (задача (б)), введем независимые переменные
X = f , д, (3.11)
причем / = /(Х, q), h = h(l, q), g = g(l, q). Чтобы записать безразмерные уравнения сразу для системы переменных (3.8), (3.10) и (3.8), (3.11), введем обозначения z1 = y, z2 = q.
Для простоты пока предположим, что со = со̂ . Система уравнений газо
вой динамики (3.5) с учетом соотношений для производных - ~ = у -
—=— ^r2-j-2~ — — X-^-j в новых переменных запишется так:
V<-V% + * { - % + %) + V* + № = b (3.12)
</, - X) - «*, + ги % + g i ( § - + (v - 1) ff) = 0, (3. 13)
(/, - X) ^ + х Л + 1 , ( £ ~ ^ ) + ï* , ( ï + (v - D ¥) = 0. (3- 14)
7 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 97
где
Ъ = г2^±, в 1 = = с о — v + 1, 9 2 = 0 , х 1 = =и )— 2 v + 2, х 2 = — со, î = l , 2 . ( 3 . 1 5 )
Чтобы исследовать влияние скорости иг или давления рг, будем искать решение систем ( 3 . 12)—(3. 15) в виде
/ , ( Х , zi) = f0(k) + zifil(k)+.o(zi), •
Л (Х> * , ) = £о W + z i g i l (X) + о (Zi), (3 . 16)
^) = Ao(X) + z A i W + o(z 4 ) ,
d z * — /Я 17\ d l n r 2 — 1 + 4 Л 2 , + о ( * , ) * ^ -
Здесь / 0 , g 0 , A 0 — известные автомодельные функции, & 1 = ( v + со—4)/2, v — ^ через о fa) обозначены величины более высокого порядка малости
по сравнению с z{ при zi - > 0 , Аа— постоянные, подлежащие определению. Если мы подставим решение ( 3 . 16), ( 3 . 17) в систему ( 3 . 12)—(3. 14) и пренебрежем всеми величинами порядка выше чем zt, то получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для функций / а , ga, ha:
go [mf'ii + (Го + ba) fa + s.AM + ha + (mjo - bjf) g a = 0 , ( 3 . 1 8 )
mg'a + go(fa + 2^~f*) + Ma + (*« + Л + Ц ^ ) ^ = °> (3 . 19)
m h ^ + t A o (fa + (v _ 1) 'f ) + A i / a + (m41 + T / i + (v - 1) T у ) h n +
+ m,iQAah0 = 0, ( 3 . 2 0 )
где
m = fQ — X, й 1 1 = ( 0 — v + 1, 6 2 1 = ^ , s i — ^ f ' A< = &- " со,
m l l = b1 — yJ b21 = — со, miQ=z^hi /i = ^ , fa = ^ и т. д.
При рассмотрении линеаризированных решений мы должны подвергнуть линеаризации также и граничные условия задачи.
Запишем условия на ударной волне (при Х=1—0) в безразмерном виде
(1 - у ) = £2 (1 - Л), г/ (1 - У) -f=£2/2 (1 - / 2) - А* <1 - , ) ( С + ^ ) - Я = ( 1 - / 2 ) ( , 3 | + i ) _ ^ 2
Проведя линеаризацию по параметру у (при д = 0 ) или по параметру q (при у=0), получим условия для функций / а , ga, ha\
/ i i ( l ) = ^ T t «Tii(l) = 0 f hn(l)= ( 3 . 2 2 )
/21C1) = — g 2 i = — 2(^i)L h 2 i = — T(T+V ^3'2 3^
Условие симметрии примет вид
/ « ( 0 ) = 0 . ( 3 . 2 4 )
98
Таким образом, вопрос о нахождении добавок к автомодельному решению сводится к решению систем (3. 18)—(3. 20) с граничными условиями (3. 22), (3. 24) для i=l или (3. 23), (3. 24) при î = 2 .
В общем случае произвольных у, со, v система (3. 18)— 3. 20) не имеет точного аналитического решения и для исследования линеаризированной задачи следует использовать численные методы. Так как эта система содержит неизвестную постоянную Ап, то задача не является задачей Коши и условие (3. 24) или ему эквивалентные нужны для определения постоянной Аа. Итак, эту задачу можно рассматривать как двухточечную краевую задачу для системы (3. 18)—(3. 20). Вместо условия (3. 21) для определения постоянной можно использовать законы сохранения:
о о
— интегральный закон сохранения энергии и
J ( P - P l ) r ^ d r = (3.26) о о
— интегральный закон сохранения массы. Записав эти законы в безразмерном виде и проведя их линеаризацию,
получим некоторые интегральные соотношения, в которые войдут функции fui en-, ha и постоянная Аа. Если метод определения постоянных Аа основан на использовании условия (3. 24), то интегральные соотношения для энергии и массы могут быть использованы для контроля точности вычислений или для приближенных методов построения решений.
Мы рассмотрим более подробно численные методы решения линеаризированных задач на примере задачи о взрыве с учетом противодавления при постоянной плотности, т. е. для случая со—0, иг=0 (см. § 5). В случае переменной плотности нас будет в основном интересовать случай сферической симметрии (v=3). Вместо безразмерных переменных (3. 8) иногда используются функции
/ = - , ' g = 9-, Й = А (3.27)
H Р2 Р2 V '
где о2, р2, р2 — значения соответствующих функций (^=0) на ударной волне. Укажем связь между / 0 , g0, h0 и / 0 , g0, й0, а также / 2 1 , g211 h21 и Д, gх, 1гг, т. е. при учете только противодавления. Простые вычисления дают 7 — 1 + 1 / / _ 1+1'(f -4-2/ ) i r ï Z l i ? — 2 ^ I 7 ~ 1 r /0 2 •'0' J l 2 V0 T Л/21/> b0 — &0 y i » 5 1 — y + 1 - | -1 ^ 2 1 >
A0 = T + 4 . h = 4 ^ Ao + . (3. 28)
Примем следующую систему безразмерных переменных при исследовании линейных задач: при г^^О, рх=0 возьмем переменные X, г/, / , g, h; при их=0, р^Сг'10, р^Аг^ примем переменные X, q, /, g, h. Если же г^^О, /? г=const, рг=Аг~ш, то воспользуемся переменными \ q, g, h.
Соответствующие системы линейных уравнений могут быть получены из (3. 18)—(3.20) с учетом (3. 28) либо непосредственно из уравнений газовой динамики. Отметим некоторые общие свойства системы (3.18)—(3. 20).
7 * 9 9
1) Эта система (и эквивалентные ей при co^co j имеет интеграл адиаба-тичности, существование которого было доказано М. Л. Лидовым [7].
2) Для особого автомодельного решения (2. 28) при
= = - ^ + 1 ' jFo=YqprX» ^ O = 7 ^ Ï ^ ^ = ^ ^ . ( 3 . 2 9 )
Система (3. 18)—(3. 20) и ей эквивалентные имеют точное аналитическое решение.
3) Для отыскания связи между координатой ударной волны и временем следует использовать выражение для т\. и формулу dr2ldt=D.
Перейдем к более подробному рассмотрению конкретных частных случаев.
§ 2. Взрыв с учетом постоянного противодавления при переменной начальной плотности
2,1. Система линеаризированных уравнений. Из системы определяющих параметров этой задачи у, со, А, Е0, pl9 r, t вытекает, что искомые безразмерные функции / , g , h будут зависеть от двух безразмерных переменных параметров X=r/r 2, q=a\ID2 и постоянных у, со. Далее мы будем опускать черточки в обозначениях безразмерной плотности и давления.
Рассмотрим подробно ход решения, когда рг предполагается отличным от нуля, но малым по сравнению с р2 [4, 8] . Требуется найти решение системы (3. 5) с граничными условиями (3.6) при г; Х =0. Переходя к введенным безразмерным переменным, систему (3. 5) можно преобразовать к виду [4]
( i ^ à f , (т — 1 + 2g) [ 2 Т — ( T — 1) g] 1 dh (df f\ c o / _ 0
/ , -i\ à In g . df , v—-1 , f d l n q . 2 \ n
V - l ) - w + T i + - T - f + \-Tg—1-1 + 2 д ) ^ - ш = 0' / x , x d l n h . (df , v — 1 Д . ( à In h 2 f \ n
( / - ^ ) — + T ( - X + — f ) + ( — q — | 2 T - ( T i i ) g J g h = ° > dq
Безразмерный радиус R2 ударной волны определим формулами
где г° — динамическая характерная длина. Чтобы получить полное решение задачи в принятых переменных, нужно
определить зависимости / (X, q), g (X, q), h (X, q), a также R2 (q). Для этого необходимо найти такое решение системы (3. 30) в плоскости X, q внутри квадрата O ^ X ^ l и O ^ g ^ l , которое удовлетворяет краевым условиям на скачке и в центре симметрии
/ ( L ?) = + ï ( l - < 7 ) . g(l, q)=h(l, q) = l, / ( 0 , ç ) = 0 (3 .31)
и начальным условиям
f(l, 0) = / 0 (Х) , g (К 0) = g0(k), h(l, 0) = Ä(X), (3 .32)
где/ 0, g0,h0 — известные функции, соответствующие автомодельной задаче.
100
(3. 30)
Они удовлетворяют системе
m ^ + / é + v + / 0 - u ) = 0, (3.33) о О
* £ + т ( Л + ^ / о ) - > = 0 .
причем
/о(1) = ^ . ft(l) = Ao(l)=1. /о(0) = 0. (3.34)
Здесь, как и всюду в дальнейшем, штрихами обозначены производные по X. Заметим, что систему (3. 34) можно получить из (3. 30) предельным переходом при q -> О. При малых значениях g, т. е. для моментов времени, когда взрыв еще достаточно сильный, решение поставленной задачи можно искать в виде (3. 16), (3. 17), считая fe2=v.
Так как будет решаться линеаризированная задача, то из (3. 30), принимая во внимание систему (3. 33) и пренебрегая членами порядка выше q, получим для определения функций Д (X), gx (X), \ (X) и постоянной Ах систему линейных уравнений (аналог системы (3. 18)—(3. 20))
mëJi + h'i + (fо + Hf^) gJi + [mfo + fo\ Si +
g/i + mgi + Ç-^go + gty
2v ÉTï^o = 0 (m = f0-\), (3.35)
ibJi + nhl + fa + i ? ^ = 0.
Из условий (3. 31), учитывая (3. 34), получим краевые условия для искомых функций Д (X), gt (X), ht (X):
/ i ( ! ) = - + Î ' ^ i ( 1 ) = ^ ( 1 ) = / i ( ° ) = °- С 3 - 3 6 )
Систему (3. 35) можно преобразовать к виду, более удобному для дальнейших исследований. С этой целью введем новые искомые функции F (X), G (X) и H (X)F связанные с функциями Д (X), g± (X), hx (X) соотношениями
h(k) = mF, gl(k) = g0G, А1(Х) = А 0Я. (3.37)
После преобразований система (3. 35) запишется так:
+ [mfo + — / о ] с + * J L ^ ' & + = 0, (3. 38)
+ m G ; + (/; _ i) F + (1=A +£)mF +
+ ( V -^ i /o + /o + v - » ) G + m | G - f ^ T = 0, (3.39)
101
VnF< + mW + ( / ; - 1) T F + m (g + T ^ i ) +
+ m ^ t f + T ( / i + / o ) H - v - A ) = 0 . (3. 4 0 )
Из двух последних уравнений этой системы можно получить первый интеграл. Покажем это.
2 .2 . Интеграл системы (3.35) и закон движения ударной волны. Если исключить из уравнений (3.39) и (3. 40) величины go/gQ
и ^o /V т о
будем иметь
m (F1 + G') + (со — v) F + v G — у ^ Г Т = °>
m / „ H f 1 П 7 \ . . Л , 4 \ P I , , Z 7 ч . А ^ , ( T F ' + H') - v ( T - 1) F + ,H - v ( X ^ J — A , ) = 0 .
1 Сделав замену независимой переменной по формуле <р = ^ ~ , получим
£ ( F + G ) + ( « , - ^ ^ 0 - ^ = 0 ,
^ ( T F + F ) - v ( T - l ) F + v E ~ v ( l ^ i _ ^ 1 ) = 0.
Умножая теперь первое уравнение на v ( 2у — 1)/(со — 2v) , прибавляя к полученному второе уравнение и интегрируя результат, находим
г* ( 2 7 - 1 ) . : со — 2v ' 1
г, , v (2т -— 1) ^ , т т „ , ч . 2v 2т —- 1 , т — 1 . F + 1 1
0
; G + Я = Сл ехр (—vcp)^ г ——S- + -4 А,.
1 со —• 2v 1 1 I V < / J Т — 1 w — 2v 1 2т 1
Из граничных условий F (1) = 2 / ( т — 1) , G (1) = 0 , Я ( 1 ) = 0 , <р(1) = 0 найдем постоянную интегрирования
с (Зт — 1) (Т Ч- 1) , л с 1 — 2т (Т — 1) ^ V
Если воспользоваться уравнением адиабатичности для автомодельных движений
m№ — r ^ + Тсо — v = 0 v*o 1 его/ 1
и учесть, что ср —0 , £ 0 = 1, /г0 = 1 при Х = 1, то получим
U Таким образом, найден первый интеграл системы (3. 35), удовлетворяю
щий граничным условиям на ударной волне,
Г* ( 2 7 - 1 ) + Т F + l£L^HG + H =
Г(3т —1) (Т + 1) л -\(hoyHro-» , 2v 2 т - 1 , 7 - 1 .
L со — 2v
= L " 2 т ( т - " 1 ) ' " ' " " ^ ^ r i ^ i ^ b ^ ~ ^
При помощи полученного интеграла (3. 4 1 ) задача сводится к решению системы двух линейных уравнений, которое для произвольных значений со, Y может быть найдено численным интегрированием.
102
После нахождения величины Аг можно найти зависимости i? 2 (q) и т (g), где R2=r2Ir°, т = £ / £ ° , при этом г° — динамическая длина, введенная ранее, a t° — динамическое время, определенное формулой
Для нахождения автомодельного решения имеют место зависимости г*('> = (аГ''' D* = Vr\t-\ Ъ = 7Т%-^, (3.42)
где а (у, СО) — известная величина (см. гл. 2). Если преобразовать (3. 42) к введенным безразмерным переменным, то
можно найти зависимости В2 (q) и т (q) в автомодельной задаче
ВД = £ * ^ ) = ® ^ < V T W * . (3.43)
Для линеаризированной задачи из (3. 17) путем интегрирования и с учетом (3. 43) получим
Да(?) = ^?ехр(Л 1 ? ) . (3.44)
Найдем теперь т ((7). Используя определения g, т, Д 2 , легко показать, что
d z — \ g ) •
Так как drzJdq=(dR?/dq)(di/dR2), то, учитывая (3.44), найдем
^ © ' ^ W d + Ая) в С — > / * ехр
Для малых значений g можно записать
(1 + ^ g ) exp Л 1 ? ) = 1 + 2-ï+lz^ Axq + 0 (g).
Таким образом, для определения т (q) получим дифференциальное уравнение
Интегрируя это уравнение и определяя постоянную интегрирования из условия т ( 0 )=0 , находим
= (,Tv,)-.5v..[v 8 + ^ Л 1 < г ] . (3. 45)
Соотношения (3.44), (3.45) в параметрическом виде дают закон движения ударной волны, т. е. зависимость R2 (т). Пользуясь (3.44), (3.45) и условиями на ударной волне, можно определить зависимость всех характеристик фронта ударной волны от ее радиуса и времени.
2.3. Точное решение задачи при to=(!>!• Выше было сказано, что решение линеаризированной задачи о взрыве в среде с переменной плотностью можно получить путем численного интегрирования. Однако в случае, когда со= о)!, решение этой задачи можно дать в виде конечных фор-
103
мул. Это объясняется тем, что при этом значении автомодельное решение имеет простой вид (см. решение (2.28)):
2 /о
Подставив foil), g0(fy, h0(\) из этого решения в коэффициенты уравнений (3.38)—(3.40), получим систему трех обыкновенных неоднородных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметров у и X,
(т-
Xf/ + XG' + 2 ( v - l ) ^ + ? ^ ï ± ^ _ l ( ï i l l ) G = 0 , 1 « 1 V / 1 (-у — 1)2 т — 1 '
(3. 46)
X т ^ + xЯ' + v ( ï + l ) ^ - ^ ± i i я + I ^ v ( ^ l l - Л 1 ) = 0.
Эта система есть система уравнений с постоянными коэффициентами, если за независимую переменную принять Z=lnX.
При решении системы (3.46) можно было бы воспользоваться интегралом (3.4) при ш=о) 1. Но так как полная система (3.46) легко интегрируется, то этим интегралом можно не пользоваться. Однако он может оказаться полезным при вычислении зависимости искомых функций от X, а также для контроля расчета.
Найдем общее решение однородной системы уравнений (3.46). Характеристическое уравнение этой системы записывается так:
2(v + l)
„ + 2 (v — 1)
Т/га+ \> (Т + 1)
2v
т — 1 т-(T + l ) v
7 - 1
0 п
: Î ( » + V)
0
v ( 7 + l )
7 - 1
= 0. (3. 47)
Каждому корню п{ уравнения (3.47) соответствует решение exp п{1-=Х Я * однородной системы. Первый корень уравнения (3.47) равен
« 1 = V(T+1) / (T —I - , . (3.48)
Второй и третий корни уравнения (3.47) удовлетворяют квадратному уравнению
п2 + 5n -f З У + 2 7 + 1
2v ( 7 у + 1 ) ( 3 - 7 )
7 2 - 1 = 0 (3.49)
и равны
14= -k+V4+b» -f-|/|+&2, - _ _ 5 v 7 + 3v + 2 г 2 v ( v 7 + l ) ( 3 - 7 )
(3. 50)
Из (3.50) видно, что п2 = 0 при у = 3. Зависимость корней п1У п2, п3
от v и у дана в табл. 1.
104
Общее решение однородной системы, соответствующей системе (3.46), представляется в виде F(k) = С2\П2 + С3\п\
W 1 ~ ( 7 + 1 ) v — ( ? — 1 ) п 2
2 ( 7 + 1 ) * — ( 7 — 1 ) » з
77 Л \ _ т ~ 1 Г 4»i I (7^2 + V 7 + v ) ( 7 — 1 ) Г , <7"з + * 7 + У ) ( Т — 1) Г
^ W - — 4 + ( T + l ) v — ( T - 1) " 2
2 + ( 7 + l ) v - ( 7 - l ) ^ 3 Ü 3 ^ •
Частное решение неоднородной системы уравнений (3. 46) таково:
F = a1, G = a2, H = а3, (3.52)
причем av а2, а3 выражаются через Л 1 ? v и у по формулам
_ V + „ _ ( V - 1 ) 4 1 _
""1 = 2 («у — 1) (v7 + 1) » А 2 — П + 1 " Г 7 ~ 1 '
« , = 4 [ ^ - ^ 4 (3.53)
Используя (3.51) и (3.52), получим решение системы (3.35) для <о— шг
в следующем виде:
/ i ( x ) = ^ x ( a i + c 2 x K ' + c 3 x B 0 ,
+§X%z%{it№\ ' (3-54)
h А \ — Г Г/т I 7 , - 1 Г ) , п 1 1 (Т г а 2 + П + ^ ) ( Т — 1 ) г > _ я , I A ^ X J - X ^ + —С^ + V ( T + 1 ) . _ ( 7 _ 1 ) A Z 2 6 2 X +
I ( 7* з + V 7 + v) ( 7 — 1) г л п8"| "^(ТГ + 1 ) - ( т - 1 ) л з 3 J '
Постоянные Ci, С 2, С3 и определим так, чтобы функции Д (X), gi (X), hx (X) удовлетворяли краевым условиям (3.36). Так, из последнего условия (3.36) (скорость в центре равна нулю), учитывая, что щ при любых у является отрицательной величиной и по модулю больше единицы, найдем С 3 = 0 ; из других условий (3.36) получим систему неоднородных линейных уравнений с коэффициентами, зависящими от у и v,
*i+Cs+Y=Â=°- <3-55>
• , + g , + ^ , = f I
( l 7 , ' ^ . = ° - < 3 - 5 6 >
Если в уравнение (3.57) подставить Сх из (3.56) и воспользоваться затем уравнениями (3.55) и (3.53), то получим соотношение для определения Аг. Величина Аг будет зависеть от у и v. Определив А± из системы уравнений (3.53), (3,55), (3,56), найдем зависимость от у и v величин а1 7
а 2 ? а з? ^1» ^ 2 *
1 0 5
Результаты расчетов для v—3 приведены в табл. 1. Используя вычисленные константы и формулы (3.54) (при С3=0),
были построены зависимости / х (X), g± (X), hx (X) (рис. 16, а, б, в соответственно) для разных величин у. При помощи функций Д (X), g l (X), йх (X), зная постоянную Л х , можно рассчитать характеристики движения для малых q.
Т а б л и ц а 1
Значения постоянных для различных у
1 0 3 п2 —тг3 с2 А1
1,2 2,6364 33 5,9131 19,095 11,923 2,9058 1,9778 1,4 2,3333 18 3,1540 16,487 6,5665 1,7540 1,8755 5/3 2,0000 12 1,7684 15,268 4,2717 1,1789 1,8211 3,0 1,0000 6 0,0000 14,000 1,6667 0,4667 1,7778 7,0 0,0000 4 —0,8031 13,697 0,6098 1,1699 1,7979
Зависимость R2 (q) и т (q) находится из соотношений (3.44) и (3.45), в которых нужно положить Ь= о\, где
Т + 1 7 - 7
На рис. 17 дано распределение безразмерного давления h=h0-\-qh11
в сферическом случае при у=1,4 и у=7 значений д = 0 и q=0,2. Эти графики показывают влияние противодавления на развитие взрыва в начальной стадии.
Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что для и>= IÛ±
ж T ^ 3 функции Д, g±, g ± и их производные по X ограничены всюду на отрезке [0, 1]. Таким образом, приходим к заключению, что ограниченное решение линеаризированной задачи существует и является единственным.
Так как функции Д, gly h x можно принять за значения производных по q при д=0 , то можно заключить, что решение ЗТВ для среды с переменной плотностью имеет при о > = а>х, у ^ 7 ограниченные производные по g от функций vi С, plp2, р/р2. Аналогичные выводы можно сделать и для случая цилиндрической симметрии, рассмотренного Е. В. Рязановым [4,8] (при v=2 графики h (X, q) приведены для сравнения на рис. 17, а).
Из табл. 1 следует, что дифференциальные свойства решения ухудшаются при у > 3, так как показатель степени п2 становится отрицательным.
§ 3. Учет противодавления для случая изотермической атмосферы
переменной плотности
Примем, как это было сделано в § 1, за безразмерные переменные величины X, q, / , g, h и будем считать v=3. Будем искать решение в виде (3.16), (3.18) при î = 2 (задача б), §1). Проведем исследование этой задачи аналогично схеме предыдущего случая [5,6].
107
-so-
450-
Рис. 18. Графики функций g21 (X), / 2 1 W Д л я разных у
Рис. 19. Графики функций h 2 1 (X) для разных у
Рис. 20 . Распределения безразмерных давлений, плотностей и скоростей ( 0 = 0 , 0 5 , Т = 1 . 2 ) Штриховые кривые соответствуют автомодельному решению
Система линеаризированных уравнений (3.18)—(3.20) при 1 = 2 имеет интеграл адиабатичности, который с учетом граничных условий на ударной волне (3.23) можно записать в виде
х
# ( 2 , + A G ( 2 ) - ( ï + A)F ( 2 ) = - ^ 2 1 + C e x p ( c o - v ) ? I
1
к — - + T v -v Y — 1' С = А21Н(2) (1) - k G ( 2 ) (1) _ ( Т + k)Fi2) (1),
(* - /о) ^с2) = /2 M , £<А 2 ) - g2l (X), А 0 Я ( 2 ) = /*21 (X). (3. 58)
Причем функция ср явно выражается через £ 0, А0, X, как и в аналогичном интеграле, рассмотренном в § 2.
Граничная задача для системы (3.18)—(3.20) при i = 2 может быть решена численно. При (о— (ох можно получить аналитическое решение. Это решение, удовлетворяющее условию / 2 1 (0)=0, будет иметь вид
7 + :
7 + 1 1 С ^ + п2 — 3 - f - 0 3 }
тг2 - f - 3 — <х>2 h — ——isï—r ) 4 I 7"2 — 3 (7 — 1) Г I - K ^ C Ï + D / C T - D ] ,ffl
(3. 59)
108
1-
Рис. 2 1 . Зависимости безразмерного радиуса ударной ^ волны от безразмерного вре- ^ / мени Кружки соответствуют автомодель- 4 I ному решению
где F0, G0, Н0 даются формулами
G 0 = - -F0, Я 0 = 5 ^ [ ( 3 - « в 1 ) Л а + 3 ( Т
щ— наименьший корень квадратного уравнения
7 - 1
(3. 60)
ni (7 + & < » т - з > - 0 3 У ( ^ ) = ° -
Постоянные Съ С 2 , А21 находятся из граничных условий (3.23). Для решения (3.59) был проведен расчет функций / 2 1 , g21, h21 для различных у и (o=(ûle- Значения постоянных Л 2 1 , Ci, С 2, .F0, /У 0, п2 даны в табл. 2. На рис. 18, 19 приведены графики функций / 2 1 , g21, h21 при разных у, на рис. 20 — графики / , g, h для значения #=0,05 при у=1,2.
Т а б л и ц а 2 Значения постоянных в (3.59)
т ^ 2 1 Ci с2 0̂ Но п2
1,2 1,4 5/3
7,8750 4,5411 3,2711
—19,863 — 9,7302 — 5,7455
- 0 , 7 3 5 3 3 - 1 , 2 1 5 8 - 1 , 0 3 7 4
- 9 , 2 6 4 7 —3,7842 --1.9626
7,412 2,271 0,654
0,037482 0,083213 0,13981
Если ввести безразмерный радиус i?=r 2 /r°, r°=(i?0/c)1/(3~~ü,> и безразмерное время т 0=£/£ 0 , t0=r°(A/Cy/2, то для нахождения закона движения ударной волны R (т0) можно получить следующие зависимости:
R з - ш — ^ 2 1 ? • qe ay J
52\1/(3-<D)
Т^^+Ш'+г+У^}' (3-61)
Заметим, что для автомодельного взрыва имеем
R^^blqt
ay Зависимость /?(т0) согласно (3.61) для у=1,2; (о= дана на рис. 21. Дифференциальные свойства решения ухудшаются в окрестности 1=0 по сравнению со случаем p^const. Функции / 2 1 (X), g21 (X), являясь ограниченными на отрезке [0,1], имеют неограниченные производные в точке Х=0.
109
§ 4. Сильный взрыв в движущемся газе
В ряде случаев может оказаться интересным исследование вопроса о взрыве в движущемся совершенном газе при истечении его из сосуда с высоким давлением р в окружающее пространство с низким давлением рг. Этот вопрос встречается также при учете начального движения газа в проблеме распространения возмущений по межпланетной среде во время солнечных вспышек (см. гл. 8 ) . Постановки одномерных ЗТВ в движущейся среде с учетом начальной скорости даны автором [ 5 , 6 ] .
Остановимся здесь кратко на случае истечения газа из сосуда. Если воспользоваться гидравлическим приближением [ 9 ] , то для плотности газа, истекающего через коническую ( v = 3 ) или клиновидную ( v = 2 ) тРУбу, будем иметь p 1 = M / y 1 r v _ 1 , где через M обозначен расход газа. Когда рг мало, то на достаточно большом расстоянии от места истечения скорость иг близка к максимальной и мы имеем случай начального состояния, когда плотность р г переменна (для рассматриваемой формы трубы ( o = v — 1 ) и начальная скорость отлична от нуля. Для случая взрыва в узком конце этой трубы мы приходим к сформулированной выше задаче в среде с переменной плотностью, когда v±=const, р± = const, о> = = v—1. Рассмотрим теперь в линеаризированной постановке решение этой задачи, когда и11 р 1 задано формулами ( 3 . 1 ) , ( 3 . 3 ) , а начальное давление равно нулю (Pi=0).
Как уже отмечалось в § 1 , проведя линеаризацию системы ( 3 .12 ) — ( 3 . 1 5 ) , мы придем к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений ( 3 . 1 8 ) — ( 3 . 2 0 ) при i = l. Граничные условия для этой системы на ударной волне имеют вид ( 3 . 2 2 ) . В центре взрыва можно либо потребовать равенства нулю скорости при любых со, либо постулировать условие восстановления источника со скоростью, пропорциональной или равной vx. Конечно, движение может быть таковым, что это последнее условие начнет выполняться лишь при достаточно больших t.
Пусть мы требуем, чтобы выполнялось условие v ( 0 , t)=0. Из формулы для vx следует, что vx ( 0 ) = 0 , если о> > 2 . При ш = 2 имеем случай постоянной начальной скорости i7 x=const, случай ш <С 2 соответствует бесконечной скорости иг в центре и здесь не рассматривается. Заметим также, что начальная кинетическая энергия газа внутри некоторого объема с радиусом г
** 2 Е1к = 4тг J ^ гЧг = W £ 2 j rw-4r (3 . 62 )
0 о
будет неограниченной при а> < 1 . Все это указывает на появление новых особенностей в решении, которые могут принести ухудшение его дифференциальных свойств при уменьшении ш. Кроме того, для конечности массы мы должны потребовать, чтобы о> < 3 . Таким образом, наиболее интересный диапазон о> лежит в пределах
2 < ш < 3 . ( 3 . 6 3 )
Будем предполагать условие ( 3 . 63 ) выполненным. Система линеаризированных уравнений ( 3 . 1 8 ) — ( 3 . 2 0 ) , как и в предшествующих случаях,
Н О
имеет интеграл адиабатичности (т.е. интеграл двух последних уравнений этой системы). Для интегрального контроля вычислений можно использовать закон сохранения массы (3.26). Проведя линеаризацию, из (3.26) находим
г 2
5 — ( 3 . 6 4 )
В частном случае ш= шг для системы (3.18)—(3.20) при г=1 можно указать точное решение. Следуя пути, намеченному в § 2, запишем это решение так:
л —Ч 1 г?\ „ _ з —Ï
( 3 . 6 5 )
Решение (3.65) содержит лишь два частных решения системы (3.18) — (3.20). Третье решение соответствует наибольшему по модулю отрицатель^ ному характеристическому корню тг3, полученному из уравнения
п1
Из условия наименьшего роста функции / п вблизи 1=0 мы положили в решениях (3.65) постоянную С 3 равной нулю и, таким образом, не учитывали этого частного решения.
Для постоянных F0, 6?0, Н0 имеем
G o = 2 - ^ ? Fo> Н0 = - (3 Т - 3) F0 - 2Ап,
F0 = 0 , 5 ( 1 2 _ I ± 1 К _ 1 } ) [ т _ ! . n i -
OA
-
-Ù/?
\ 1
о,г о^ ̂0,0 0,8 1,0 о,г о^ Я
-
OJ
о
-0,1 Рис. 22 . Графики ф у н к ц и й / п (X) для разных у
Р и с 23 . Графики функций gxl (X) для разных у
111
Постоянные Ап, Съ С2 определяются из граничных условий (3.22). Результаты вычислений даны в табл. 3.
Графики функций / п , gn, hn для разных у показаны на рис. 22—24. На рис. 25 даны функции / , g, h при у = 0 , 1 ; у = 1 , 2 .
Т а б л и ц а 3
Значения постоянных в (3.65)
7 Ci с2 п2
1,2 4/3 1,4 5/3
0,58341 0,68072 0,69335 0,56286
0,63825 0,39647 0,35282 0,50591
—1,6254 1,46413 1,6933 1,4221
t
—0,80980 —0,90401 —0,94495 - 1 , 0 7 7 9
Проведенные расчеты показывают, что при у > 1,2 имеется заметная область вблизи А=0, где полученное решение теряет смысл, ибо кривая плотности и давления переходит через нуль и становится отрицательной. Это объясняется особым характером исходного решения / 0 , g0, h0 при а>= = (о1? поведением решения и недостатками метода линеаризации. Здесь можно также рассмотреть вариант решения с введением сферической полости с нулевым давлением в окрестности точки А=0. Можно, однако, надеяться, что такие, по существу интегральные, характеристики движения, как константа А1Ъ в поправке к закону движения ударной волны будут давать правильные значения и не сильно зависят от локальных свойств решения вблизи центра симметрии.
А . 0 0,2 0,4 0,6 0,8 10À
Рис. 24 . Графики функций h n (X) для разных у
Рис. 2 5 . Распределения безразмерных давлений, плотностей и скоростей (#—0,1, Y = l , 2 )
Штриховые кривые соответствуют автомодельному решению
112
Рис. 26 . Зависимости r 2/r* радиуса ударной волны от времени для у = 1 , 3 3 и у = 1 , 2 Кружки соответствуют точкам автомодельного решения
Введем безразмерный радиус х2=г2-/г* и безразмерное время z=t/t*9
r*=(EJAB2)1i('Ui~v, f=(r*)3~V)/B. Тогда для отыскания зависимости между х2 и т находим
х2 = (Sa-V2)2/(<-i)i/2/(^-i) exp 1 ^ г/,
Х = Ъ (8а-1/2)2(3-со)/(оз-1)г/(5-ш)/(«)-1)
В автомодельном случае имеем
1 + 4 ( а > - 1 ) Л п 2 /
(3. 66)
Зависимость (3.66) "для случаев ш= o)l5 у=1,2 и у = 4 / 3 представлена на рис. 26. Здесь крестиками отмечены значения, соответствующие (3.67).
§ 5. Учет противодавления в начальной стадии плоского,
цилиндрического или сферического взрывов в газах постоянной начальной плотности
5.1. Основные уравнения и некоторые их свойства. Как уже отмечалось, решение автомодельной задачи о сильном взрыве в покоящемся газе без учета противодавления описывает поведение взрыва в начальные моменты времени, когда давление р2 за фронтом ударной волны значительно больше начального давления газа рг. Решение линеаризированной задачи дает возможность находить искомые функции для более поздних моментов времени. Так, для взрыва в воздухе (у=1,4) это решение можно использовать до момента "времени, когда давление р2 примерно в 8 раз превышает давление pv В ряде приложений теории точечного взрыва необходимо иметь решение задачи для сред с* различными показателями адиабаты у. Результаты линеаризированного решения можно использовать при расчете полной задачи приближенными аналитическими или численными методами (см. гл. 4).
Линеаризированные решения для произвольных у не выражаются через элементарные функции и могут быть получены лишь численными методами. В линеаризированной постановке задача о взрыве с противодавлением при постоянной начальной плотности и показателем адиабаты у=1,4 была впервые рассмотрена Н. С. Мельниковой [1] (см. также [2]) и независимо А. Сакураем [3]. Расчет цилиндрического и плоского взрывов при Y=1,4 выполнен в работе [10].
8 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 11 3
Рассмотрим численные методы решения линеаризированной задачи о взрыве с учетом противодавления для широкого диапазона значений у в случаях плоских, цилиндрических и сферических волн. Результаты проведенных расчетов опубликованы в виде специальных таблиц [И],, содержащих как автомодельные, так и линеаризированные функции. Метод расчета разработан автором при участии П. И. Чушкина [12].
Определяющими параметрами задачи являются начальные плотность и давление газа рг и ръ энергия 2? 0, показатель адиабаты у, геометрическая координата г и время t. Эти параметры показывают, что при заданной симметрии решение будет зависеть от, у и двух безразмерных переменных, за которые примем X, q. Эти переменные изменяются соответственно в интервалах O ^ X ^ l , O ^ g ^ l .
В качестве искомых функций будем рассматривать безразмерные-скорость / , плотность g и давление h:
g = = l \ к = Ж 9 • (3 .68)
Кроме того, искомыми функциями являются еще i? 2 ~г 2 /г° и z=t/t°r
где г° и t° — соответственно динамические длина и время, определяемые формулами
г » = ( ^ ) 1 , \ *0 = г » ( £ ) \ (3.69)
Система дифференциальных уравнений, описывающих одномерные неустановившиеся движения совершенного газа, в принятых безразмерных переменных имеет вид (3.12)—(3.14) при i = 2 , о>=0. Эта система служит для определения зависимостей / (X, q), g (X, g), А (X, q). Для нее имеют место следующие краевые условия. На ударной волне (при Х=1)
/ ( 1 . e)=7^î( i --e) . gfl.'g^ï^rpS. fe(1'g)=2T7c!+~i)1>g- ( 3 - 7 0 >
В центре симметрии (при Х=0)
/ (О, д) = 0. (3.71)
Начальные условия (при q=0) выражаются так:
Î(K 0) = / 0 (Х), * (Х , 0) = ? 0 ( b ) , Ä(X, 0) = А 0(Х),
где / 0 (X), g0 (X), h0 (X) — функции, отвечающие автомодельному решению. Четвертое краевое условие (3.71) позволяет определить радиус удар
ной волны i? 2 (q). Эти функцию можно найти также по интегральному закону сохранения энергии (3.25). После этого зависимость т (q) вычисляется квадратурой по уравнению
dz __/ q VA dR2
äq Vif / dq * Для начальной стадии взрывах противодавлением (т. е. для малых q)
решение можно искать в форме (3.16)—(3.17) при i=2, 0)=0: f = / о + Qfi + o (q)t g = g() + qgi + o(q)1 h = hQ + qh1 + o (q),
B2 dq v ( 3 . 7 2 ) 7 d Ä 2 " l + ^ + o ( g ) '
где А Г — постоянная, подлежащая определению.
114
Если функции (3.72) подставить в систему уравнений (3.12)—(3.14) и в краевые условия (1.5), (1.6), пренебречь членами порядка g2 и выше, а затем приравнять нулю члены при одинаковых степенях g, то получим системы обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия для автомодельной и для линеаризированной задач.
В работе [13] был проведен учет членов порядка g2 (см. также [14, 15]). По этому поводу надо заметить следующее. Решение (3.72) можно было бы представить в виде f=f0+qfi+q2f2+ . . . (аналогично для h)y
т. е. считать их рядами по д. Область сходимости представлений (3.72), рассматриваемых как ряды по g, еще не выяснена. Во всяком случае можно определенно сказать, что решение в виде такого ряда будет расходиться при g ^ (у—1)/2. Последнее следует из того, что разложение для функции g (1, g) из (3.70) сходится лишь при g < (у—1)/2. Таким образом, при у < 2 такие представления для функций можно использовать только при малых д. Но при малых значениях g учет членов порядка g2 вряд ли позволит существенно улучшить линеаризированное решение. Здесь, правда, имеется возможность использовать функцию 1/g вместо g при изучении решений с помощью рядов по д. Эта функция при Х=1 линейно зависит от g и для нее приведенные возражения не имеют столь существенного значения.
Введем вместо X новую независимую переменную р. такую, что
Х = [хЛ^"Ч (3.73)
причем Х=0 соответствует ^л= ^.0=(у-т-1)/2у, а Х=1 соответствует f i= l . Как было указано в главе 2, для у^2 решение автомодельной задачи
для сильного взрыва можно с помощью параметрической переменной ^ записать в такой форме:
/ о = 7 ^ Т ^ . So = ^ { ^ " № *o = 4 i^«S H f t »r* . (3.74)
Случай Y=2 является специальным, и здесь для g0 и h0 имеем
gQ = 3xu\44i\l*-*№, A0=-|V ,w^'-2>. / (3.75).
В формулах (3.73)—(3.75) приняты обозначения
u i — 2-г )> — 3 v _ 2 - T ( v - 2 ) L v - f - v + 2 «"J*
ßx = ß 2 + v T ^ r 2 - 8 ' P . = 2 S ^ i T Î . Рз = 1 - 2 Р 2 ,
Величины же R (g) и т (g) в автомодельной задаче находятся по выражениям Rl0= S2g/ïa> т ( 0 ) = (?/т)1/а
8 j R 2 o » г Д е постоянная а определяется по формуле (2.25).
Система линейных дифференциальных уравнений для определения функций Д (X), g1('X)x /^(Х) и постоянной А Х в линеаризированной задаче имеет вид (3.18)—(3.20) при £=2, œr=0, А 2 1 = А 1 (см. § 1).
К* 115
Краевые условия для этой системы будут
— h 1 ( i ) = - j ^ , ,(l) = _*ll±*l. Л(0) = 0. (3.76)
Можно считать, что последнее из этих условий служит для нахождения постоянной А 1 ;
Для функций R2 (q) и -т (q) в линеаризированной задаче получим
" Щ = Rh exp (A, q), т = т ( 0 , [ l + ^J+i] v]• (3- 77> Эти соотношения дают в параметрической форме закон движения ударной волны, т. е. функцию R2 (т). Пользуясь уравнениями (3.77) и соотношениями на ударной волне (3.76), можно определить зависимость всех характеристик на фронте ударной волны от радиуса или времени. Например, для отношения давлений р21рг в функций от R2 имеем
5.2. Численное решение задачи. Решение линеаризированной задачи сводится к численному интегрированию системы (3.18)—(3.20) при &=2, '(0=0 и условиях (3.76). Мы будем рассматривать лишь случаи, когда у находится в пределах 1 <С f <С 7. Заметим, что при у=7 (v—3) эта задача имеет точное аналитическое решение (см. § 2).
Чтобы придать линеаризированной системе вид, удобный для численных расчетов, введем новые искомые функции ^ ( À ) , G(À) и Я ( А ) , связанные с ft (Л), gi (X), hx (X) соотношениями
fi = —mF, g1 = g0G1 \ = gQH, 77i = / 0 — X.
После преобразований система (3.18)—(3.20) примет вид
^ ' - è я ' + ( 2 / ô + ^ ) F - ^ - i fi) (G - " > - y % A=o, m (F1 — G') — v ( F + G) = 0, ( 3 - 7 9 )
•m fr*7 — # ' ) — v [(T — 1) F + H + = 0.
Условия же (3.77) запишутся так:
/f.(l) = — 6 ( 1 ) = - ^ , Я(1) = - 1 ^ 1 , F(0) = F 0, (3.80)
где постоянная F 0 зависит только от у и v (см. ниже формулы (3.83)). Как и в предыдущих задачах, система (3.79) имеет интеграл, который
с учетом (3.80) можно представить в такой форме:
F _ 2 Н + (2 Т - 1) G - 2 А Х = - ( 2 А г + 3-^~ ^ | ) о 7 , где 2 / 7 — 1 V (3.81)
Перейдем теперь в системе (3.79) к новой независимой переменной р., определенной -равенством (3.73). Полученная в результате система уравнений может быть приведена к следующему виду:
dF ; { T _ i ) , * „ + ( i - b - ^ ^ ^ ^ ç ^ ,
dF , v<Ê> 9 / r , , ^ ч dH dF . У Ф 2 Г / . . Ч „ . R R . . ,
^ т с + тгР + Ъ д г = т ^ + ^ [ ( т - 1 ) ^ + я + Л1-
не
(3. 82)
Здесь введены такие обозначения:
ф, • т ~ 1*1*8 — 1) — РаЧ-Ра
В окрестности центра взрыва для искомого решения системы (3.82) могут быть указаны асимптотические формулы
F = F , + B + « „ ) . » ) + О (X»),
+ fl"~2^4*)l + 0(X 2 f c),
Я = . ^ + 5 ( 1 +Ьп\к) + 0(Ъ?к),
(3. 83)
где Ръ Gx, не зависят от X и представляют собой частное решение системы (3.82), В - 1 произвольная постоянная, A = l / ß 2 , под G7 0 понимается главный член разложения Q7 (X) в окрестности Х = 0 . При̂ 1 < Y <С7 (исключая случай Y = 2 ) постоянные, входящие в асимптотику (3.83), имеют вид
1 *oi- 7 — 1 ' а
( 7 - 1 ) (7 + » ) '
, = ß 2 r ( 2 + I ^ T + _ i _ ( l + | _ X . ) ] (
ö 0 = ^ [ « 2 W f * ( H ) [ « 3 ( ^ o ) r ? i r f M ! .
f ! = - G 1 = [ 2 + T - (T - 2) ( l + 2 . - L ) ] " 1 ^ ,
^ i - - ^ i - ( ï ~ l ) ^ i -
При Y = 2 изменится лишь формула для D0, т. е.
Для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (3.82) применялся следующий метод. Задавалось некоторое начальное значение постоянной Аг (практически это значение принималось близким к 2). Далее дифференциальные уравнения (3.82) интегрировались численно методом Рунге—Кутта с переменным шагом от (л=1 до некоторого f A = f A i (jj.0 <С Pi <С-1). Это значение рх выбиралось как граница применимости асимптотических формул (3 83). Условием для выбора величины £гх служило постоянство (с нужной точностью) констант, входящих в асимптотические формулы (3.83), при уменьшении При значении ^=|х 1 ? которому соответствует Х ^ Х ^ вычислялась постоянная В из асимп-
117
тотической формулы для F. Если эту величину обозначить через 2?1? то тогда из (3.83) имеем
Одновременно при IL=I*>1 вычислялась постоянная В по асимптотической формуле для H, а именно
H — H 11 *~1 + ЬпЧ-
Затем определялась разность величин В2—Вх и производилось исправление принятого начального значения Аг таким образом, чтобы удовлетворялось условие
I В2 — Вх
в,
тде Д — заданное малое число. Процесс подбора величины Ах легко автоматизируется при машинных расчетах и происходит очень быстро. В расчете с окончательно подобранным значением А± определялись наряду с функциями F, G, H также функции Д, g±1 hx и все другие характеристики течения. Кроме того, во всех расчетах проводился контроль точности вычислений по выполнению интеграла (3.81).
Описанный численный метод решения линеаризированной задачи о взрыве с противодавлением отличается от методов, применявшихся в работах [1—3, 10], и довольно удобен при машинных расчетах.
5.3. Результаты расчетов. По изложенному методу К. В. Шароватовой была составлена программа для электронной вычислительной машины БЭСМ-2, позволяющая рассчитывать решение линеаризированной задачи о взрыве с противодавлением в газах при различных значениях показателя адиабаты у в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях. По этой программе была проведена большая серия расчетов для v = l , 2, 3 и значений у=1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 5/3; 2; 3. В этих расчетах, помимо функций / х , gx, hx и постоянных Аг, определялись еще автомодельные функции / 0 , gQ, h0l а также следующие функции:
e0=Y / о#0 *"t" > е1 ~ ï / o ê o / l + у foSl + »
ft _ 7 * о ft — ifti — ö Q g i „ 7 * 0 „ _ 7 (&i — 60gi) g 0 ^° gl gl
Последние функции служат для вычисления полной энергии, температуры и энтропии газа в линеаризированном приближении. Кроме того, рассчитанные данные позволяют определить импульс давления и другие интегральные характеристики, а также найти связь между эйлеровой и лагранжевой координатами (с помощью а0 и о х ) . Все указанные функции рассчитывались с точностью до пяти значащих цифр. Полученные в этих расчетах таблицы всех перечисленных функций и констант, входящих в асимптотические формулы для определения этих функций вблизи центра взрыва (в окрестности Х=0), опубликованы в [11].
В настоящей работе приводится для иллюстрации лишь несколько графиков, содержащих отдельные результаты. На рис. 27 дан график
118'
Рис. 2 7 . Кривые Д (X) для разных у в случае сферической симметрии
Рис. 2 8 . Графики кривых y h ± (X), характеризующие линейные поправки к распределению давлений при разных у
функции / х (X) для различных значений у в сферическом случае, а на рис. 28— соответствующий график для yhx (X). Изменение функций фг (X) при у = = 5 / 3 в зависимости от v представлено на рис. 29. На рис. 30 построены кривые относительного давления р1рг при д=0,1 для различных у и v= = 3 . В табл. 4 приводятся значения постоянной Аъ найденные для ряда показателей адиабаты у и v = l , 2, 3.
Т а б л и ц а 4 Значения постоянной ^
7 V
1,1 1,2 1,3 1,4 5/3 2 3
1 2 3
2,3257 2,0866 2,0010
2,2437 2,0424 1,9666
2,1862 2,0092 1,9396
2,1433 1,9836 1,9182
2,0683 1,9374 1,8785
2,0143 1,9043 1,8496
1,9407 1,8632 1,8141
Представленные здесь и в [11] результаты указывают на существенную зависимость решения от величины у. Они также говорят о том, что функции линейных добавок/х (X), gx (X), hx (X) ограничены и> следовательно, линеаризация имеет смысл всюду при 0 ^ X <С 1.
5.4. Вариант метода прогонки для решения линеаризированной системы. Рассмотренный метод численного решения линеаризированной системы обладает тем недостатком, что при подборе коэффициента А г
приходится несколько раз решать численно систему (3J32). Имеется возможность избежать этого недостатка, используя специальный метод, аналогичный методам прогонки [16], рассмотрению которого и посвящен настоящий раздел.
119
Запишем систему (3.79) в матричном виде
F ап а 12 а13 а,
х = G > <?i = а21 а 22 а23 > Q,= а2
H а31 а 32 а зз а3
(3.84)
(3. 85)
л12-
2̂1 •
л31 "
F'(Ä+TS)- * = T [ £ + * » ( Ä - T & ) ] . _g<>™
« 1 2 = « W "
T a i i — ^ - ( Т —1). «32 = ТЯ12. а зз = Т а 1 з —
А 1 = т8о\^.I—ы Ч' 4 = ö l ' а з = Т а 1 — m = fo — Х-
Пусть теперь для искомых функций выполняется интегральное соотношение 1
J МХХ*~1а\ = + Л 1 Q 7 2 , (3. 86) о
где G 7 2 — некоторые (известные) числа, M — матрица-строка
М = \\М1У Ж2, М3\\. (3.87)
Введем новый вектор-столбец Y с неизвестными компонентами F, G, Н, умножим слева уравнение (3. 84) на матрицу-строку F*, полученную транс* понированием Y. Полученное соотношение проинтегрируем по X:
1 1 1 j Y*X!d\ = j Y*QxXdX + Лх J Г(?2ЙХ.
Р и с 2 9 . Сравнение распределений hx (X) Для разных симметрии
Рис. 30 . Распределения относительных давлений по пространству (случай v = 3 , q= 0,1) l i ^ - ^ ^ Ä . ^ \
Интегрируя по частям, получаем 1 1
] (Y*' + Y*Qd Xd\ = [Y*X] - Аг j r<?2dX, (3. 88>
о 0
Выберем Y так, чтобы выполнялось уравнение Y*' + Y*Qi = Mr-1. (3.89>
Соотношение (3.88) с учетом (3.86), (3.89) можно записать так: 1
^ 1 + А1<7а = [ТГХ]^ — А 1 \ Y*<?2dX. (3.90> О
Выберем теперь Y так, чтобы при Х=0 выполнялось условие [ Г Х ] | х = 0 = 0
И Л И
(FF,+ GG + ffH)\^0 = 0. • (3.91)
Если F, G, H конечны при Х=0, то можно считать, что
^(0) = б(0) = Я(0) = 0 (3.92)
и условие (3.91) будет выполнено. Уравнение (3.89) не содержит постоянной Аг и может быть проинтегри
ровано от Х=0 до Х=1 (например, численным интегрированием). По найденным значениям У определим [ У Х ] | х = 1 и вычислим интегралы, входящие в (3.90), затем найдем Аг по формуле
U
Если значение Ах найдено, то, интегрируя систему (3.84) с начальными данными при Х=1, получаем решение задачи.
В качестве простейшего интегрального соотношения вида (3.86) возьмем линеаризированный закон сохранения массы. При отсутствии источника массы в центре имеем
1 \gV~4X=\. (3.93) о
1
Отсюда для линеаризированного решения находим J gxXv_1dX = 0 или о
J gfiV^dk — O. Для элементов* матрицы M и чисел <$х, сз72 имеем Мх — 0, о ^ 2 = £ ( ь М%=0, / 1 = / 2 = 0 . Другими интегральными соотношениями типа (3.86) могут служить линеаризированное соотношение для интеграла энергии
1 T \ (-tejnF + - ^ Н + Щ ь - 0 ) А - -AlQ70 •
1
1 ^ O - T S ^ + ^ T ) ^ , (3.94)
121
м соотношение, полученное умножением интеграла адиабатичности (3.81) на X v _ 1 и интегрированием от 0 до 1. В случае использования (3.93) или (3.94) интеграл адиабатичности (3,81) может быть использован для проверки точности вычислений.
Таким образом, зная некоторые интегральные и локальные (вблизи 1=0) свойства решения, удается найти постоянную Аг путем использования интегрирования вспомогательного уравнения в направлении от центра до ударной волны, а затем интегрированием основной системы уравнений от ударной волны до центра определить все искомые функции. В этом смысле рассмотренный метод можно считать специальным вариантом метода прогонки, применяемого для решения краевых задач [16]. Для случая системы двух уравнений вида (3.84) и частного случая использования интегрального закона сохранения энергии метод, близкий к развитому выше, был рассмотрен в работе [14].
Заметим, что развитый нами метод допускает видоизменение для случая использования других независимых переменных (например, О Н может применяться для решения других линеаризированных задач. Среди них назовем задачу о сильном взрыве в детонирующей среде (см. гл. 6), задачу о движении поршня с учетом противодавления (в интегральном соотношении метода здесь следует интегрировать не от 0 до 1, а в пределах, соответствующих координатам поршня и ударной волны), задачу об учете влияния магнитного поля на течение газа при взрыве.
§ 6. Об использовании принципа суперпозиции линейных поправок
Как уже отмечалось, при формулировании основной ЗТВ в совершенном газе мы пренебрегаем такими эффектами, как возможные изменения начальной скорости, давления, уравнения состояния, переменности энергии Е0 и т. п. Причем влияние тех или иных параметров на течение не равноценно, что было показано на примерах. Может возникнуть потребность одновременного учета многих малых параметров сразу. В этом случае имеет смысл воспользоваться принципом суперпозиции решений линейных уравнений для различных поправок к сильному взрыву.
Рассмотрим этот вопрос подробнее для одномерных движений газа. Пусть мы ищем решение в виде
v = vQ + е Л + в2и2 + . . . + е А ,
Р = Ро + £ lP l + е2р2 + • • • + £ А > (3- 9 5 )
Р = Ро + НРг + 4P* + . . . + ewPw,
где е1? е2,. . ., гп — независимые малые параметры. Подставим решение (3.95) в систему (3.5) и учтем, ?что и0, р 0 , р0 есть решение этой системы.
В результате получим, например, из уравнения импульсов
TÜ д» + "ЙЗ&ЗД Ф + ктт, £•=»•
й" = s - *
Так как параметры г. независимы, то, полагая их все равными нулю, кроме одного eÄ, приходим к системе уравнений типа (1.31) для возмуще-
122
лий рк, vk, рк. Это же будет верно и для граничных и начальных условий. Таким образом, мы получаем линеаризированную систему и приходим с необходимостью к выводу, что линейные поправки должны удовлетворять системам линейных уравнений, соответствующих одному возмущению со своим параметром eÄ, при своих граничных и начальных условиях. С другой стороны, если все линейные системы, соответствующие отдельным параметрам eÄ, удовлетворены некоторыми решениями ик, рк, рк, то с точностью до членов et., Sj (i, / = 1 , . . ., п) мы удовлетворяем и исходной системе. Естественно, что ограниченность всех поправок должна иметь место для обоснованности применения линеаризации. На основе сказанного можно сформулировать правило одновременного учета нескольких поправок. Решение задачи записываем в виде
v — v0(r,-*) + 2 е А ( г > *) + о(1), Р = Ро t) + 2 е , А (г, t) + о (Z), (3. 96)
р = Р о (г, t) + 2 в Л (r, t) + о (Z), I =* + el + . . - + e». Решаем частные линеаризированные задачи для параметров е.. Под
ставляя эти частные решения в (3.96), получаем путем суммирования полное решение, учитывающее линейные поправки к стандартной ЗТВ. Как это было показано в предыдущих параграфах, технически бывает проще проводить линеаризацию по некоторому переменному параметру q (t), зависящему от времени. Так как это почти всегда означает, что мы ищем частную добавку в виде skfk (r, t) = ek^lk(t)(p2k(\)9 то отсюда и следует способ суммирования добавок, основанный на использовании постоянных параметров ек.
В качестве примера рассмотрим учет параметров В и С в ЗТВ при переменном противодавлении рг и начальной скорости vx (§ 1, 3, 4).
Учет независимых поправок здесь может быть задан решением
/ = /oM + ^i iW + 4/2iW + °0/> <?),
g = g0^) + ygn(x) + Qg2i(l) + o(y, q), h = h0 (X) + yhn (X) + qh21 (X) + о (y, q),
x = ( S a - V ^ ^ y / C - U exp ( i d l l j , + - d a . ç).
Причем при заданных A, В ж С для расчета решения при одних и тех же значениях времени следует учесть связь между параметрами q и у:
4(о)-2) g = T(Sa-V 2)- 2^- 2>a--3^ - i ,
где a 3=r°/r* — отношение характерных длин. Другие примеры суперпозиции решений будут рассмотрены в после
дующих разделах. В заключение заметим, что принцип суперпозиции линейных решений классический и в общем смысле не является новым. Использование его для линеаризированных решений ЗТВ отмечалось в работах [И, 12]. Возможности использования этого принципа повышают значение решения отдельных задач, полученных методом линеаризации около точного автомодельного решения.
Проблема построения таких решений была сформулирована Л. И. Седовым более пятнадцати лет тому назад и нашла сейчас развитие в ряде работ, часть из которых была процитирована в этой главе.
Г Л А В А 4
СФЕРИЧЕСКИЙ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ И ПЛОСКИЙ ВЗРЫВЫ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
§ 1. Об асимптотическом поведении решейия вблизи центра симметрии
В настоящей главе будут приведены результаты решения нелинейной задачи о точечном взрыве с учетом противодавления. Прежде чем излагать эти результаты, в первых двух параграфах этой главы остановимся на теоретических вопросах, знание которых весьма полезно при изучении ЗТВ.
Сначала рассмотрим вопрос о поведении решения ЗТВ вблизи центра взрыва. В следующем параграфе будут даны асимптотические законы затухания ударных волн.
Качественное исследование и асимптотическое представление решения вблизи центра симметрии могут привести к ряду теоретических выводов; они также необходимы при решении нелинейной задачи с учетом противодавления численными методами, так как в центре симметрии уравнения (3.5) имеют особенность.
Вопрос о поведении решений системы (3.5) в окрестности центра симметрии впервые рассмотрен Л. И. Седовым в работе [1]. В главе 2 было показано, что в случае автомодельной задачи искомые функции вблизи центра представимы рядами (2.26), которые в размерных переменных можно записать так:
^ о - ^ К о ( 0 + Т ю ( О г в + 2 + . . . ) ,
Po = r8(%0(t)+<ü10(t)r°+z+ . . . ) , (4.1)
Ро = Ф-ю + г 8 + 2 (Фоо (t) + Фю W г * 2 + . - . ) .
где s=v/(y—1).
Предполагая, что изменение граничных условий на фронте ударной волны при учете противодавления не меняет вида представления функции p=(r, t) по степеням г, указанного в (4.1), будем считать, что для неавтомодельной задачи вблизи центра симметрии верно следующее асимптотическое представление плотности газа:
p = r* К {t) + Ш 1 { t ) rs+2 + Ш 2 (*) г2С*+2) + , . . ) . - (4. 2}
124
Для получения асимптотических представлений других функций преобразуем систему (3.5). Уравнение импульсов с помощью уравнения неразрывности можно привести к виду (1.19)
Уравнение неразрывности и последнее уравнение системы (3.5) возьмем в виде
£ ( l ^ ) + £ < p r V M = 0,
^(p 1 /^ v- 1)+^(p , /v v-^) = o.
Предполагая, что v (0, £)=̂ =0, из приведенных уравнений получаем следующую систему интегро-дифференциальных соотношений, эквивалентных (3.5):
p = p(P,t)-^-(y-l)\^dr-ld^drt (4.3) 0 0
о
J r V - i n " ï J àt
(4. 5)
Из системы (4.3)—(4.5) следует, что если асимптотическое представление для p (г, t) имеет вид (4.2), то для функций p (r, t) и и (r, t) верны разложения, указанные в (4.1). Это впервые было отмечено в работах [1, 2] . В этом можно убедиться, если подставить (4.2) в (4.3) и (4.4) и проинтегрировать по г.
Таким образом, учитывая предположение, сделанное нами относительно представления p (r, t) вблизи центра, получаем, что вблизи центра верно следующее асимптотическое представление решения
v = г ( ? 0 (t) + 9l(t)r»* +•••)>
p = r ' K ( l ) - « o 1 ( f ) r » « + - . . . ) . ' ( 4 - 6 ) р = (*) + (% (t) + ^(t)r^ +...).
Заметим, что представление решения в виде (4.6) было использовано в работах [3, 4) при расчете течения газа в окрестности центра взрыва для случая v=3, у=1,4.
В разложении и (г, ^согласно (4.6) первый член является линейным по г. Если считать, что р (0, t)=^0, (dp/dt)r=o=^=0, то независимо от сделанных предположений о характере разложения p (г, t) этот факт вытекает из уравнения (4.5).
Учитывая (4.6), можно получить асимптотическую формулу, дающую связь между эйлеровой и лагранжевой координатами вблизи центра. Согласно (1.24) уравнение количества движения в лагранжевых координатах имеет вид
д£~~" Plr*~i dt* '
125
Из (4.6) и (4.7) имеем
( , + 2) г — i t | = _ r - i P l (т; + Зй>) +. •., отсюда находим
где Ci (£), £ 2 (0 —некоторые функции времени. Так как г (0, t) =0, то С 2 (Z)—0. Таким образом, связь между эйлеровой и лагранжевой координатами выражается формулой
i-G>' г = 6 %(*) + , . . . (4.8)
Из формул (4.6)—(4.8) можно сделать некоторые качественные выводы о поведении решения. Так, например, из этих формул следует, что температура T=p/Rp (R — газовая постоянная) имеет по г порядок г~ 8 . Если функция (ÛQ (t) ограничена во все время движения, то температура в центре взрыва всегда бесконечна. Можно также получить асимптотическую формулу для расчета плотности в окрестности центра при больших t. Полагая, что значение энтропии вблизи центра, вычисленное по автомодельному решению, слабо отличается от истинного значения энтропии, имеем Po?o~r=zP~r> Пользуясь (4.1) и (4.6), можем написать
>=-«>№'-Для больших значений времени давление вблизи центра становится
близким к атмосферному, поэтому можно положить ф_ 1 =р 1 . Для значений плотности вблизи центра при больших t получаем асимптотическую формулу [3,5]
р^^С^мГ- {4-9)
Так как % 0 и ф_ 1 0 известны из автомодельного решения, то, пользуясь формулой (4.9), можно вычислить приближенные значения плотности вблизи центра для больших t.
Сделаем еще несколько замечаний о зависимости решения вблизи центра взрыва от величины у. Из определения s ясно, что с уменьшением T (T > 1) функция s (у) возрастает. Так, для v = 3 при у=1 ,4 имеем s= = 7 , 5 , а при ч=1,2 найдем 5 = 1 5 . Таким образом, при у=1,2 плотность вблизи центра имеет по г порядок г 1 5, давление практически не зависит от г на значительно большем расстоянии от центра, чем при у=1,4 . Порядок по 5 эйлеровой координаты зависит только от у и не зависит от v.
§ 2. Законы затухания ударных волн на больших расстояниях от места взрыва
В силу диссипации энергии на фронте ударной волны (и увеличения площади ее поверхности в случае сферической и цилиндрической симметрии) ударная волна затухает по мере ее распространения от центра взрыва в покоящейся среде с начальным давлением р г . Законы затухания ударной волны точечного взрыва и величины всех параметров течения газа будут подробно описаны в последующих параграфах этой главы,
1 2 6
Решение задачи о затухании ударной волны во всем диапазоне времени (от начала взрыва до почти полного ее затухания и превращения в волну малой амплитуды — акустическую волну) может быть выполнено численно и требует применения современной вычислительной техники. Для качественного исследования поведения ударных волн и количественных оценок параметров фронта ударной волны на больших расстояниях весьма полезны асимптотические формулы, которые дают предельные законы затухания ударных волн. Законы вырождения плоских ударных волн были установлены в 1913 г. Крюссаром (см. об этом, например, в книге [6]). Законы затухания сферических и цилиндрических ударных волн впервые были опубликованы Л. Д. Ландау [7]. При установлении этих законов предполагалось, что движение газа за фронтом ударной волны, ослабляясь, стремится к бегущей волне с треугольным профилем, которая отличается от акустической только уточненным значением скорости звука. Л. И. Седовым [2] предложен метод получения асимптотических законов ударных волн, основанный на использовании условий на ударной волне, для основных функций и их производных по координате г. Мы приведем здесь лишь некоторые результаты этих исследований.
В случае плоских волн ( v = l ) и цилиндрических волн (v=2) для основных функций и закона движения ударной волны r2 (t) в первом приближении верны следующие асимптотические формулы:
и2 = (,+trb^ * Р 2 ~ p i V + ( T + i ) V i ) / 4 ] • ( 4 * 1 0 >
Pl = P l
Здесь C v — произвольные постоянные, f — некоторые постоянные с размерностью времени, аг — скорость звука.
Для сферических ударных волн были получены следующие асимптотические законы:
Р2 = Р
(T + l ) r 2 Vin (Г2/г*) ?2=?1
1 + ( T + l ) r 2 V l n ( r 2 / 0
1 ^ 2С?> 1, (4.12}
( 7 + l ) r 2 Vin ( r 2 / r * ) J '
г 2 = a, (t - f) - С3 V'ln(r2/r*). (4. 13) В предположении гладкости решения в некоторой окрестности фронта
ударной волны метод Л. И. Седова был развит Ю. Л. Якимовым [8] и Г. М. Шефтером [9], которые нашли новые асимптотические решения уравнений одномерной газодинамики для больших значений г. Эти решения позволили получить более точные асимптотические формулы при v=2,3, чем формулы вида (4. 10), (4. 12). В частности, в этих работах показано, что при подходящем определении постоянных Cv и г* уточненные формулы для давления р2 на фронте ударной волны имеют вид
.£2 = 1 +^(£$ + Щ + 0(г?1') (v = 2), (4.14)
1 + _ 2 т У fi" + . ^ z * а + О ( V In f - fV 7 2 ) (v = 3). (4. 15) If + 1 U ^ In ( Г 2 / Г * ) • М 1 * 1 ^ )) 2 1 V 2 \r*J J V ; V '
Hl Pl
127
Здесь C v 2 — новые постоянные, величины которых зависят от первоначальной формы волны. Символом Q ( / ( г ) ) обозначены величины, стремящиеся к нулю при возрастании г, порядок стремления к нулю равен / (г). Приведенные асимптотические формулы мы будем использовать в дальнейшем при описании законов затухания ударных волн, возникающих при точечном взрыве в однородном газе. В главе 7 мы рассмотрим обобщение этих формул на случай уравнений МГД.
§ 3. Численное решение задачи
3 .1 . Краткий обзор методов и результатов. Для расчета параметров взрывных волн и нестационарных течений, возникающих при взрыве, применяются различные численные и приближенные методы. В настоящем параграфе будут подробно рассмотрены вопросы расчета точечного взрыва в совершенном безграничном газе для постоянной начальной плотности р х = при наличии противодавления в сферическом, цилиндрическом и плоском случаях. Газ предполагается невязким, нетеплопроводным и имеющим постоянный показатель адиабаты у. Постановка рассматриваемой основной ЗТВ была дана в предыдущих главах. Полное ее решение для различных v и у имеет существенное значение как для самой теории, так и для различных ее приложений.
Среди применяемых численных методов следует отметить метод конечных разностей и различные его модификации в применении к расчету ударных волн. Примеры численного решения ЗТВ с противодавлением методом конечных разностей были даны в работах [3, 4, 10, 11]. Здесь рассматривался лишь частный случай сферического взрыва при у=1,4. Для рассмотрения диапазона расчета задачи по времени введем безразмерное время т, определив его, как и в главе 3, по формулам
где Е° — энергия взрыва, pœ — начальное давление (вообще величинами с индексом оо здесь будут обозначаться параметры невозмущенного газа, параметры газа непосредственно за фронтом ударной волны нам будет удобно обозначить через индекс п). Авторы указанных работ задавали начальные данные из автомодельного решения при разных значениях т и соответственно разных отношениях давлений pn/pœ при переходе через фронт сферической ударной волны.
В работе Д. Е. Охоцимского и др. [3] бралось. т я м =0,00039 (pn/pœ~ = 1743); в работе Г. Гольдстайна и Д. Неймана [4] т н а ч =0,00425 (pn/pœ= = 100); у Г. Броуда [10] т н а ч =0,00042 1601). Из этих данных следует, что самое меньшее т н а 5 было взято в работе [3]. Расчет проводился до следующих значений t = t k и соответствующих pjpœ: т А =18,8 (pJPœ=î№) [31; т ,=9,526 (р я/роО=1,017)[4]; т ,=2 ,905 0л/р«,=1,06)[10].
Заметим также, что расчет для значений т > 18,8 дан в работе [11]. Приведенные данные показывают, что в этих работах расчет был проведен до стадии, близкой к вырождению ударной волны в звуковую. Отметим, что наиболее полные и наиболее точные результаты были получены
128
в работах [3, 11]. Анализ результатов, отмеченных работ [3, 4—1.0] приведен в [2, 5] (см. также [28]) и здесь полностью не воспроизводится.
Кроме конечно-разностных методов, к расчету точечного взрыва применялся также метод характеристик [3, 12] (общие вопросы метода характеристик рассмотрены в работах [13—15]).
Для расчета нестационарных течений газа возможно применение приближенных методов [1, 2, 16, 17], основанных на введении специальных интерполяционных формул для одной или нескольких искомых функций. Неизвестные параметры, входящие в эти интерполяционные формулы, определяются из интегральных законов сохранения и уравнений газовой динамики.
Приближенные методы расчета, предложенные Л. И. Седовым [1, 2] и основанные на введении интерполяционных формул и использовании интегральных законов сохранения массы и энергии, в применении к точечному взрыву развивались в работах [18—22]. Близкие к этим методы применялись также в [23—25]. Они характеризуются простотой использования, но не обеспечивают достаточно высокой точности. Разработанный нами метод решения ЗТВ близок к этим приближенным способам, но основан на использовании схемы численного метода интегральных соотношений, предложенного А. А. Дородницыным [26] и широко применяемого для расчета стационарных течений в работах О. М. Белоцерковского, П. И. Чушкина и других авторов (см. обзоры [27, 28]). Разработка методов решения задач теории взрыва с использованием схемы интегральных соотношений была начата автором в 1960 г. Предварительные результаты первого этапа работ опубликованы в статье автора [19], относящейся к 1962 г., и в работе [29], выполненной совместно с В. П. Карликовым и Е. В. Рязановым. Второй этап работ, относящийся к 1962—1967 гг., проводился совместно с П. И. Чушкиным и характеризовался использованием более высоких приближений в схеме интегральных соотношений. Автором было дано распространение этого метода на задачи о взрыве при учете влияния магнитного поля и при взрыве в детонирующем газе, о чем будет идти речь в последующих главах.
Предварительные результаты расчета ЗТВ разработанным методом опубликованы в работе [30] и изложены в докладах [31, 32]. Более полное изложение метода и результатов дано в работе [33].
3.2. Основные уравнения и условия задачи. Уравнения неустановившегося одномерного движения газа в переменных Эйлера возьмем в виде
(4.17)
(4.18)
(4.19)
+ 4(u//>"r) = 0, (4.20) v dt
9 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 129
где C=r v , u=v/r, p — плотность, p — давление, v — скорость, E — полная энергия единицы объема газа, которая в рассматриваемом случае записывается так:
_ ру2 л р
Т - 1 -
В системе (4. 17)—(4. 20) первое уравнение является уравнением импульсов, второе — уравнением неразрывности, третье уравнение выражает закон сохранения энергии и последнее уравнение дает условие адиабатичности течения. В этой системе независимы только три уравнения. Одно из четырех уравнений системы (4. 17)—(4. 20) можно считать следствием других.
Краевыми условиями задачи являются условие в центре взрыва
v(0, t) = 0 (4.21)
и условие на ударной волне
. 2 T - ( T - l ) g _ . 2 « ю 1 - g 7 + 1 P „ — P œ ( f_ |_ l )g ' v « — 7 + 1 v/g ' Р я ~ ~ P o o 7 — 1 + 2 ? '
Здесь a — скорость звука, q=a2
œ/D2, D — скорость ударной волны,
индексом п отмечены параметры фронта ударной волны. Имеют место также следующие интегральные соотношения:
P » r ; = v [pr^dr, (4.23) 0
Ео^о^Ег-Чг-^Е^, (4.24)
Эти соотношения могут быть получены или из дифференциальных уравнений и граничных условий (см. [5]), или путем применения к массе газа, заключенного внутри ударной волны, интегральных законов сохранения массы и энергии.
При решении задачи удобно ввести систему безразмерных переменных. Решение задачи в безразмерных переменных пригодно для любых значений Е°, pœ, poo. При образовании безразмерных переменных можно относить искомые функции и независимые переменные как к соответствующим размерным постоянным, так и к некоторым размерным функциям. Примем за новые безразмерные независимые переменные и безразмерные функции следующие величины:
* , 6 = £ , , = g = > . e = Ef * = ( f ) 1 / T . (4.25) ь и
, J Poo Poo \Роо/
Из кинематического условия D = drn/dt следует связь между безразмерным временем т=г/£° и q:
* И У + У ) - ( 4 - 2 6 )
Здесь и всюду в дальнейшем штрих означает производную по q. Кроме того, введены обозначения Л = г/г°, Ъ = o^Rl/vq.
130
В новых переменных (4. 25) система (4. 17)—(4. 20) примет вид
% - f+* [ à w - ê (*> + к +е]=°>
(4. 27)
(4. 28)
(4.29)
(4. 30)
где
Связь между функциями g, ср, ф, е дается соотношением
(4.31)
(4.22)
(4.33) 2Т Г ( ï - g ) 2 • 1 _ ] 1
Очевидно, что из четырех искомых функций g, е, ср, ф, определенных формулами (4. 25), для решения задачи достаточно получить из системы (4. 27)—(4. 30) лишь три. Четвертая неизвестная функция может быть найдена из алгебраического соотношения (4. 31).
Для решения рассматриваемой задачи следует проинтегрировать систему уравнений газовой динамики (4. 27)—(4. 30) в области 0 ^ q ^ 1, 0 ^ £ < J 1 с граничными условиями (4. 32), (4. 33). Заметим, что значению qz=0 соответствует известное решение задачи о сильном взрыве, а для малых q верно решение линеаризированной задачи.
При исследовании задачи в переменных Лагранжа исходная система уравнений газовой динамики (см. § 1, гл. 1) может быть взята в таком виде:
где 7]=rJ/r° v , F=v/aœ, P=p/pœ, Q=g/PllT, X (Щ — энтропийная функция, г0 — начальная координата частицы. В переменных Лагранжа, кроме условий (4. 21) и (4. 22), имеем
(4.34)
Я ( 0 , т) = 0, Д(г)в, х ) = . ^ . (4.35)
Из первого уравнения системы (4. 34) находим соотношение
9* 131
которое дает связь между лагранжевой координатой YJ И относительной эйлеровой координатой £.
3.3. Схема расчета в переменных Эйлера. Из результатов главы 2 и § 1 главы 2 и § 1 главы 4 следует, что для искомых функций g, е, Ф, ср имеют место асимптотические формулы
* = ï = ï (Щ®1'™ + О ® M ' - l h ) , е = е0 + О (И), ф = % + О (Iй),
? = ?o + 0(î% (4.37)
причем
, _ JîL ф-±(!_ф-'фЛ Л _ У + 2 ( Т - 1 ) av(v + 2)2(T 4-1)2
где a — постоянная, определяемая по интегральному закону сохранения энергии в автомодельном случае (см. гл. 2).
В области интегрирования 0 ^ Ê ̂ 1, O ^ g ^ l выделим ограниченный линиями М и £0 (я) центральный интервал, в котором применимы асимптотические формулы (4. 37). Для выбора величины £0 зафиксируем лагранжеву координату частицы т\ — г \ 0 = (r0 0/r°)v так, чтобы в начальной стадии взрыва соответствующая асимптотическая формула в (4. 37) давала ф 0 с заданной точностью. Тогда, используя уравнение неразрывности системы (4. 34) и формулы (4. 37), получим для £0 выражение
7<^Ао 1
Lv2(7 + 1).
(4.38)
Заметим, что возможны и другие способы выбора центрального интервала. Решение в области, находящейся между границей центрального интер
вала 1=£0(я) и ударной волной £=£„=1 , будем определять методом интегральных соотношений. В п-м приближении разобьем эту область на п полос, проводя п — 1 промежуточных линий (рис. 31):
Если каждое уравнение системы (4. 27)—(4. 30) проинтегрировать по î от значения %t (q) (1=0, 1, . . ., п — 1) до ударной волны 1„=1, то из этой системы с учетом граничных условий получим An интегральных соотношений
J'u + mfi'i —%<?U+V-[T <?и + m£i — S if] +
+ | ( г -Ф1) ]+ 1 = 1 ^о/ = 0, (4.39)
^ 2 , + ft6;-ti[l+ft5J(Tl-l)-<78l] = 0, (4.40)
+ *& -jJu-V- [-Jzi + efi, («P, - 1) + Ш, + тег] - ° . (4- 41)
<?'» + - 4 - ^ [ - ^ « i + (Ti - 1 ) + Й = ° - ( 4 - 4 2 >
132
Рис. 3 1 . Схема разбиения области интегрирования на полосы
О 0,2 OA 0,6 0,0 î,Oi
В уравнениях (4. 39)—(4. 42) приняты следующие обозначения:
01 ^/2Х- J u = \md%, J2l=\gdî, 1 1
G 7 3 / = J ld%, J u = ^ Щ.
Обозначим в общем виде искомые функции через Qs и примем Q^m,
Кроме того, значения всех искомых функций на каждой границе рассматриваемых полос будем отмечать соответствующим индексом. Тогда система интегральных соотношений (4. 39)—(4. 42) с учетом выражений (4. 33) для функций на ударной волне и асимптотических формул (4. 37) может быть приведена к виду
Jso + kaQsoK + Wso + * ^ ; 0 + ™ Х = Я~гУ8, (4. 43)
д ' н + Qe& - = (ИЪ, + №в<) <Г\ (4. 44)
где
Y _ 1 7 ^ Л i — "7" ^ ю ^ г ^
4 | V ^ o o + - ^ [ l + ( v - D f o l ,
^ 2 £(^0 1 + 2 ^ 2 0 '
7 — 1 '
•^3 б 0^0 ^ 3 4" ^ 3 0 '
y i = T (<^io + Ai™<&) ~ A ' i>
Z & Oi Z~—*imi>
W3i = et (?i _ 1) È, + y 8 _ J 3 1 + < | ^ ,
133
В соотношении (4. 43), (4. 44) входят величины mh gh cpj, et, между которыми имеют место зависимости
?< = 7T I / V~ 2 ) / V ' ( 4 - 4 5 )
* = ^ . < 4 - 4 6 >
Уравнения (4. 43)—(4. 44) являются основными в дальнейшем построении метода расчета задачи. Из изложенного следует, что в системе (4. 43), (4. 44) имеется лишь Зп независимых интегральных соотношений. Для получения их (4. 43), (4. 44) приближенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений будем аппроксимировать подынтегральные выражения интерполяционными полиномами Лагранжа с узлами интерполяции на линиях £= îk (к=0, 1, . , ., п). Можно применять как «сквозные» аппроксимации, в которых степень полиномов равна числу полос тг, так и «кусочные» (при п > 1), в которых степець полиномов ниже п.
Если степень интерполяционных полиномов равна тг, то имеем
где z = (l — £ 0 W(1 — ê0). Для интегралов G 7 S / получим выражение
где коэффициенты А1к для любых w введены в [30] и названы обобщенными коэффициентами Котеса:
Численные значения коэффициентов А1к для некоторых п приводятся в Приложении.
Если аппроксимации проводятся набором интерполяционных полиномов, имеющих степень ниже п, то выражениям для приближенного представления интегралов по-прежнему можно придать вид (4. 48). Отметим, что применение интерполяционных полиномов такого типа (например, полиномов второго порядка) целесообразно в расчетных схемах с приближениями высокого порядка (га̂ > 4), когда нужную точность можно получить за счет большого числа полос. Такие «кусочные» приближения упрощают структуру аппроксимирующей системы и могут оказаться надежнее «сквозных» аппроксимаций в областях, где имеет место резкое
134
изменение представляемых функций. Вопросы оптимального выбора аппроксимаций могут быть решены в процессе экспериментальных расчетов.
Отметим также, что в ряде случаев можно пользоваться перекрывающими аппроксимациями. Это означает, что при вычислении интегралов c 7 s i
берутся значения соответствующих подынтегральных функций не только на границах полос с номерами £, . . ., /г, но также и на границах i — 1, i — 2, . . .
Подставляя квадратурные формулы (4. 48) в систему интегральных соотношений (4. 43), 4. 44), придем к аппроксимирующей системе An обыкновенных дифференциальных уравнений по q для An искомых функций. Однако g0 будем находить не из этой системы, а по соответствующей асимптотической формуле (4. 37), отбрасывая при этом одно из уравнений аппроксимирующей системы.
Тогда для определения An — 1 неизвестных функций нг0, <р0, 8, mt, g., et, получим систему дифференциальных уравнений, которая может быть записана так:
1 = 1
n—i \
-(1 - у ( A « - J > A - « ) ^ь, (4. 50)
(X = l , 3 , 4 ) , (s= 1,2, 3,4), (/ = 1, 2, n - 1 ) . (4.51)
Здесь введены обозначения
#х — (*х — Ло) Qxo — А А « + 2 » A I » 1 = 1
zsi = Ai0Q8o + AinQm — ^ s î ,
^si = zaAo - (1 - У И A + Л - Ä ) + Ц- Jsi + vW*
n - 1 n - 1 1
0)Л. ал 7 = 1
Д4.у — алгебраические дополнения элементов Atj определителя Аи. Производная t0, входящая в уравнения (4. 50), (4. 51), исключается с помощью выражения (4, 38).
К системе (4. 50)—(4. 51) добавим еще одно уравнение, вытекающее из асимптотических формул (4. 37),
m (1 + в*"1*') - 1 + 1яГо% = о. (4.52) Это уравнение можно брать вместо одного из уравнений (4. 50), (4. 51). Тогда система (4. 50)—(4. 51) даст возможность строить различные ва-
135
рианты расчетных схем. Во всех этих схемах зависимость т (q) определяется по дифференциальному уравнению (4. 26).
Общий контроль точности решения осуществляется по выполнению условия адиабатичности в частице с координатой ^ и по выполнению интегральных законов сохранения масс и энергии (4. 23), (4. 24), которые в принятых обозначениях могут быть записаны так:
Эти равенства выполняются соответственно с ошибками е1и, е2я, которые определяются формулами
Отметим, что некоторые расчетные схемы позволяют ввести и другие способы контроля точности.
Мы проанализировали следующие варианты расчетных схем. В а р и а н т I. Берется система уравнений: уравнение (4. 52), пер
вое и второе уравнения системы (4. 50), т. е. уравнения с индексами Х = 1 ?
Х=3, и система (4. 51). Интегрированием определяются величины т, 8, тп Ф/? Su ei- Величины<р; находятся по формуле (4. 45). Формулы (4. 46) служат для проведения дополнительного контроля точности расчета.
В а р и а н т II. Берется система уравнений: уравнение (4. 52), первое и третье уравнения системы (4. 50), т. е. уравнения с индексами Х=1, Х=4, и система (4. 51). Интегрированием определяются величины т, 8,
ш1-> Ф/» Sit ei- Величины cpz находятся по формуле (4. 45). Величины ei
определяются также по формуле (4. 46), что дает возможность проводить дополнительный контроль точности.
В а р и а н т III. Берется система уравнений: второе и третье уравнения системы (4. 50), т. е. уравнения с индексами Х=3, Х=4, и уравнения системы (4. 51) с индексами S=2, 3, 4. Интегрированием определяются величины т, 8, ф г , g \ , е{. Относительные безразмерные скорости у4 находятся по алгебраическому равенству, вытекающему из (4. 46):
Величина <р0 вычисляется по уравнению (4. 52).
Следует отметить, что схема расчета, соответствующая варианту III, была рассмотрена в заметке [30].
Для всех указанных вариантов расчетной схемы аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется каким-либо численным методом на ЭВМ. Для этой системы имеет место задача Коши, причем начальные данные при некотором достаточно малом значении q=q0 берутся из линеаризированного решения задачи о взрыве, приведенного в главе 3. Интегрирование аппроксимирующей системы проводится до значения q, близкого к единице.
В рассматриваемом методе решение задачи определяется при различном числе полос п. Сравнение полученных результатов служит внутренним контролем метода и характеризует точность рассчитанного решения.
7 2 = 0, Х 3-4 = 0.
(4. 53)
136
Расчеты показывают, что практически удовлетворительная точность получается при п=А.
Для более точного описания поведения параметров фронта ударной волны при ее вырождении в звуковую волну целесообразно учитывать асимптотические законы затухания ударных волн (4. 10)—(4. 13), рассмотренные в предыдущем параграфе. Используя эти законы затухания, можно получить следующие формулы для 8 (g) при g, близких к единице:
(v = l),
(v = 2), (4.54)
Ь> _ 6 ( 1 п Д 7 г + а 3 у ) - - 3 1 / v _ . 0 4
Ь — 2 ( l n i ? w r b a 3 J ( l - g ) g * ~ ° h
2VR„ л1*
*' 8 п 7? 3 / 4
1
где avy — постоянные, определяемые при достаточно больших q из условия плавного перехода функции 8(g), найденной из системы (4. 50) — (4. 52), и по асимптотическим формулам (4. 54).
Специальный анализ устойчивости расчетной схемы не проводился. Выборочная проверка условия устойчивости Куранта показала, что в расчетах это условие выполнялось, правда, без большого запаса. Вместе с тем следует отметить, что при значениях g, близких к начальному значению д0, в некоторых случаях наблюдалась «раскачка» решения аппроксимирующей системы около известного линеаризированного решения задачи. Это явление обострялось при рассмотрении аппроксимирующих систем с более высоким номером гг. Однако во всех рассчитанных случаях указанные колебания затухали с ростом д. Оказалось, что надлежащим выбором величин д0, £0 (д0) и выбором типа аппроксимации интегралов можно было существенно уменьшить начальную раскачку решения, связанную, вероятно^ с недостаточно точной стыковкой начальных данных.
Рассмотрим способ расчета полей течений и основных параметров взрывных волн. В результате численного решения дифференциальных уравнений находятся искомые функции на линиях (g). После чего значения всех искомых функций для i > £0 при фиксированных т или g можно рассчитать по принятым интерполяционным полиномам (4. 47) или используя при больших п интерполяцию более низкого порядка.
Для расчета изменения параметров течения в фиксированных точках пространства можно применить следующую методику. В некоторый момент времени фиксируется величина Rn=R* и по ней — величина R = =r/r°, а именно принимается, что R=R*. Учитывая, что i = (R/RnY, для фиксированного R=R* определяются в любой другой момент времени Ё*=(Д7ДЯ)\ По этим значениям Г вычисляются z=п{1* — |0)/ 1(1 — £0), и по значениям искомых функций на границах полос по формуле (4. 47) или при больших п интерполяцией более низкого порядка находятся изменения функций с течением времени в фиксированных точках пространства.
1 3 7
В частности, большой интерес представляет определение величин безразмерного давления P=(p/pœ)=tyr/q. По значениям P (i?*, z)=P* (т) можно рассчитать полные импульсы избыточных давлений
т*
Jp=\ (P*-l)dx,
а также положительные импульсы
где т# — время прихода ударной волны в данную точку, тА — конечное рассчитанное время.
Безразмерный импульс Jр связан с размерным импульсом 1р формулами
Кроме того, можно рассчитать безразмерные импульсы скоростного напора Jv по формуле
причем
Величину Iv иногда называют импульсом переноса массы. Время действия положительной фазы давления т* находится из соот
ношения т*=т — где х — время перехода избыточного давления через нуль,
С помощью соотношения (4. 46) можно определить связь между лагран-жевой координатой У\ И переменными £ и т. Приведенные в настоящем разделе формулы позволяют определить основные искомые величины.
При построении метода расчета в переменных Эйлера мы использовали систему безразмерных переменных (4. 25). Естественно, что аналогичный метод можно построить и для других видов безразмерных переменных. Например, можно ввести независимые переменные i?, т и искомые функции v/aœ, p/pœ, p/p<»» E/Eœ. В этом случае аппроксимация будет проводиться по Д , а аппроксимирующая система будет содержать дифференциальные уравнения, где за независимую переменную можно взять т (или q). Схема расчета в переменных Лагранжа приведена в [33].
Заметим, что при рассмотрении задачи как в переменных Эйлера, так и в лагранжевых переменных возможно использование интерполяций не по пространственной координате, а по времени.
3.4, Результаты расчетов. Для решения задачи по предложенному методу Е. Бишимовым и К. В. Шароватовой были составлены программы
138
численного интегрирования аппроксимирующей системы дифференциальных уравнений для вычислительных машин БЭСМ-2 и БЭСМ-ЗМ Вычислительного центра АН СССР. Эти программы позволяли вести расчет основных функций cpÄ, gk, ек, tyk при /г=1, 2, 3, 4, 8 по указанным выше трем вариантам расчетных схем. Расчеты проводились при сквозной аппроксимации подынтегральных выражений полиномами Лагранжа, а при п=8 рассматривались также кусочно-линейные и параболические аппроксимации.
На первоначальном этапе работы расчеты проводились по схеме варианта III. Однако в этой схеме наблюдалась потеря точности при вычислении ср,. в области нуля подкоренного выражения в формуле (4. 53). Позднее в качестве основного был выбран вариант I. Отдельные вычисления проводились и по варианту II. Результаты расчетов по различным вариантам совпадают друг с другом тем лучше, чем больше п.
Начальные данные задавались следующим образом. Величины q0 и £0 (q0) выбирались так, чтобы в области справедливости линеаризированного решения, т. е. при qQ <С (т — 1)/2 (см. § 5, гл. 3), удовлетворялись условия
1Ф(6о. Я о ) - Ф ( 0 , в о ) . 1 « Ф ( 0 . ïo).
где е?я, ер>и, е§я — заданные числа, которые могут выбираться в зависимости от требуемой точности и номера приближения /г. Кроме того, проверялось условие близости производной у'0 (q0), вычисленной по аппроксимирующей системе, к ее точному значению при д = 0 , известному из решения линеаризированной задачи.
Если предположить, что начальное значение центрального интервала î0 (qQ)=t00 в автомодельной задаче и в линеаризированной задаче совпа
дает, то с учетом формул (3. 72) для вычисления искомых функций при q=q0 имеем
ft = ftw + ?o£*i Ф* = Ф*о + ?оФ*1.
Величины QSJCO и Q 8 k i берут в точках îko=(n — к)/п%00+к/п из таблицы [34], используя интерполяцию. Величины g0 и е0 вычисляются по асимптотическим формулам (4. 37). Начальные данные для т, Rn, § находятся с помощью формул (3. 78) предыдущей главы.
Расчеты проводились в основном для случаев /г=4 и гг=8. В расчетах при п=4 для у=1,4 и всех v принималось ej 4=0,015, е£ 4=0,01, е° 4=0,01. Кроме того, был проведен еще расчет для v = l при 8^=0,04. Этот расчет показал, что принятие менее точных начальных данных не отражается существенно на величинах основных функций при q > 0,4.
Систематические расчеты задачи для п=8 проводились при значении # 0 =0,05 . Величины начальных ошибок е1я, е2я, е3 я для рассчитанных случаев (гг=8) указаны в табл. 5.
Численное интегрирование аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений проводилось, как правило, методом Рунге—Кутта с переменным шагом и методом Эйлера с пересчетом.
139
Начальные ошибки Т а б л и ц а 5
Ошибки
7
Ошибки V = 1 v = 3 Ошибки
1,4 5/3 1,3 1,4 5/3 1,3 1,4 5/3
Нп 0,043 0,007 0,014 0,009 0,003 0,016 0,008 0,009 Нп 0,021 —0,002 - 0 , 0 0 1 - 0 , 0 0 2 0,006 0,004 - 0 , 0 0 2 0,003 Чп 0,078 0,028 0,023 0,025 0,013 0,032 0,026 0,076
В основном были рассчитаны случаи взрыва для значений у=1,3; 1,4; 5/3; 2 и при различных v.
Влияние числа полос п на изменение давления в центре взрыва pjpn
представлено на рис. 32 для v=3, у=1,4. Эти данные получены при q0= =0,05 , а С0 (q0) =0,206 для гг=2, 3, 4 и É0 (q6) =0,350 для гг=8. На этом графике кривая для л г = 1 не приводится из-за ее низкой точности, а точками нанесены данные, рассчитанные методом конечных разностей [3]. Отметим, что для закона движения ударной волны сходимость решения происходит гораздо быстрее. Здесь уже первое приближение практически дает приемлемую точность, слабо отличаясь от результатов для больших гг.
На рис. 33 построено изменение давления р0/рп, полученное для случая v—3, у=1,4, гг=8 при различных видах интерполяционных полиномов. Сплошной линией показаны результаты для линейной интерполяции поперек каждой полосы, а кружками — для кусочной интерполяции двумя стыкующимися полиномами четвертого порядка. Дальнейшие результаты по п=8 относятся к случаю интерполяции подынтегральных выражений двумя полиномами четвертого порядка.
График изменения интегральной ошибки е1п в зависимости от q приведен на рис. 34 для различных п при v=3, у=1,4. Здесь видно уменьше
ние ошибки при увеличении степени полинома гг. Наилучшая точность, определяемая по выполнению интегрального закона сохранения масс, имеет место при средних значениях g, а при больших q ошибка е1 я возрастает. Последнее обусловлено сложным немонотонным изменением функций при больших q и уменьшением центрального интервала £0, т. е. увеличением области аппроксимации решения полиномами
Рис. 32 . Изменение относительного давления п о L В о в с е х Рассчитанных в центре взрыва для разных п ( v = 3 , у=14) случаях д л я v = l и v—2 по-
140
0 0,1 0Л 0,6 0,8 1,0 Ц u>lu 0,25 0,5 0,75 !,0ç
Рис. 33 . Изменение давления в центре взрыва при разных аппроксимациях (n—S)
Рис. 34 . Изменение интегральной ошибки по распределению плотности при разных значениях п
ведение ошибок е1п имело примерно тот же характер, что и для v=3. Графики зависимостей е1я от q для п=8, q0=0,05 при разных у и v = l (сплошная линия), v=2 (точки) и v=3 (кружки) представлены на рис. 35. Видно, что интегральная ошибка е 1 8 в большей части интервала изменения q мала и меняется в пределах от 0,002 до 0,02. Абсолютная величина ошибки е2п во всех рассчитанных случаях падала от наибольшего значения при q=q0 до значений, близких к нулю, при стремлении q к единице.
Дополнительный контроль точности по «лишнему» уравнению для показал, что при у = 1 , 4 и разных v величины определяются по дифференциальным уравнениям и алгебраическим соотношениям, следующим из формулы (4. 46), с расхождением меньше 1%.
Остановимся на некоторых результатах расчетов при тг=4. На рис. 36 „даны зависимости Rn (т ) при v = l , 2, 3 и у=1 ,4 . Так как кривые Rn (т) почти сливаются при больших т, то они построены со сдвигом по оси абсцисс. На рис. 37 представлены графики безразмерных давлений р0/рп
в функции т для v = l , 2, 3 и у=1 ,4 . Здесь и на рис. 36 точками отмечены данные работы [3] для v=3. Изменения р0/рп с ростом т при v=2, 3 и различных у показаны на рис. 38, а, б. Зависимости q (т) при разных v для у = 1 , 4 построены на рис. 39 (точки — данные работы [3]). Расчеты показали, что эта функция слабо зависит от у в интервале 1,4 ^ у ^ 2.
На рис. 40 приведены распределения относительных давлений по пространству для значений д=0,33 и q=0ß при у = 1 , 4 и разных v.
На рис. 41—44 более детально отражены некоторые результаты расчетов цилиндрического взрыва в воздухе (v=2, у=1,4)„ Распределение давления p/pœ по £ для ряда значений т дано на рис. 41. На рис. 42—44 показаны изменения p/pœ с ростом т для нескольких фиксированных точек пространства, а также зависимости t, т + , /+ , / от R. Заметим, что кри-
141
вая £0 (g), построенная на рис. 31, также соответствует случаю v=2> Т=1,4.
Приведенные результаты расчета цилиндрического взрыва и сравнительный анализ ряда других параметров течения газа показывают, что в выбранных нами безразмерных переменных картина течения при v = 2 в основном близка к картине течения в соответствующем случае сферически-симметричного движения, подробно исследованного в [3, 5]. Случай плоского взрыва был изучен нами менее подробно. Из анализа некоторых данных для этого течения следует, что здесь общая качественная картина движения ближе к цилиндрическому взрыву. Это течение имеет также много общего и со сферическим взрывом. Естественно, что количественные характеристики движения с изменением v меняются более существенно.
Для иллюстрации приведем еще более подробно решение для сферического точечного взрыва в одноатомном газе. При расчете этого случая течения принималось ej 4=0,005, е° 4=0,005, е£ 4=0,01. Абсолютная величина максимальной интегральной ошибки по закону сохранения масс е 1 4
здесь не превышала 0,086. Зависимости от т относительных величин рг1рпГ
Рис. 3 5 . Изменение интегральной ошибки е 1 я при п~8 и различных у
Рис. 36 . Закон движения ударной волны для разных v при у = 1 , 4
Рис. 37 . Изменение относительного давления в центре взрыва для разных v при у = 1 , 4
142
Рис. 38 . Изменение относительного давления в центре взрыва при разных у а — цилиндрический случай ( v = 2 ) ; б — сферический случай ( v = 3 )
Рис. 39 . Зависимость q (т) для разных v при у = 1 , 4
Рис. 40 . Распределение относительных давлений по пространству для фиксированных q при разных v ( у = 1 , 4 и гс=4)
vJD, рг1 ря, Тг1Тп, т. е. значений этих величин на границах полос %t (1= = 0 , 1, 2, 3), при v=3, у = 5 / 3 даны на рис. 45, 46. Здесь через Г 0, Тг обозначена температура, причем (Tî/Tn)=(plpn/pnPi). Связи между координатой фронта ударной волны i ? w , безразмерным временем т и величиной g представлены на рис. 47. Здесь же построен график изменения величины центрального интервала £0 с ростом q.
Отметим еще некоторые результаты расчетов при п=8. Расчет задачи при п=8 выполнен для значений у, равных 1,3; 1,4 и 5 / 3 (для у=1,3 подробно рассчитаны только цилиндрический и сферический случаи). Основные результаты расчета опубликованы в виде специальных таблиц, где содержатся функции т (g), Rn (g), qpjpœ, pjpn, vJD, vtID, pjpœ, p// p„, qTJTœ, Тг1Тп, qEJEœ, El/En для значений g в диапазоне 0,1 < g < <C 0,9 [35]. На рис. 48—50 даны сравнения распределения относительных
143
Рис. 43. Время действия положительной фазы т + и время перехода избыточного давления в отрицательную фазу t ( v = 2 , у=1,4)
Рис. 44. Положительный импульс давлений / + и импульс скоростного напора / ( v = 2 , г = = 1,4)
Pi/Pn vi/c
o,sY
Рис. 45 . Изменения относительных давлений (а) и скоростей (б) на границах полос ( v = 3 , т = в / з )
Рис. 46. Изменения относительных плотностей (а) и температур (б) на границах полос ( v = 3 , т = 5 / з )
10 Тр. Математ. ин-та, т. СХГХ
0 0,S I.ÛX
Рис. 47. Зависимости координаты ударной волны времени х и величины центрального интервала £ 0 от q (v=3, т = б / з )
Рис. 48. Распределение относительного давления по пространству для фиксированных q и разных v ( Y = 1 , 4 , п=8)
Рис. 49. Распределение относительной плотности по пространству (у=1,4)
Рис. 50. Распределение по пространству относительной скорости для значения q—0,3 и <7=0,75 (т=1,4)
давлений, скоростей и плотностей для сферического, цилиндрического и плоского взрывов при у=1 ,4 и двух значениях q (q=0,3 и 0,75).
В Приложении мы приводим также таблицы изменения давлений р/роу
и pv2/pœD2 в фиксированных точках пространства ( v= 2 , у=1,4) .
Проведенные расчеты показали, что наиболее просто предложенным методом рассчитывается задача о сферическом взрыве. Наихудшие результаты как в смысле точности, так и в смысле затраты машинного времени относятся к плоскому случаю. Здесь происходят более резкие изменения функций, что снижает точность расчета. Кроме того, точность асимптотических формул (4. 37) падает с уменьшением v. Для повышения точности можно взять асимптотические формулы для расчета давления в зоне центрального интервала в виде
Р=Ро.Ю+Ри(*У + 0{Л d = V/(T - 1 ) + 2. 146
§ 4. Параметры фронта ударной волны и сравнение с другими расчетами
и данными экспериментов
Обозначим снова параметры фронта индексом 2, параметры невозмущенной среды — индексом 1.
Как уже отмечалось, зависимости R2 (т) при v = l , 2, 3 и у=1,4, полученные в результате расчетов, приведены на рис. 36.
На рис. 51 дано сравнение [5] законов движения сферической ударной волны (у=1,4), найденных по различным теориям. Здесь также отмечена прямая с тангенсом угла наклона (равным скорости звука), проходящая через точку т=9,527, i? 2 =12,04, лежащую на кривой R2 (т).
Зависимость q (т) для разных v при у=1,4 дана на рис. 40. Изменение избыточных давлений с ростом R2 показано на рис. 52, 53 (сплошные линии) соответственно для v=2, 3.
Для сравнения результатов теории точечного взрыва воспользуемся экспериментальными данными М. А. Садовского [36], М. А. Цикулина [37], Г. Шардина [38] по взрывам химических ВВ и экспериментально-теоретическими данными Лос-Аламосской лаборатории по атомным взрывам, опубликованным в [39]. Сравнение по другим экспериментальным данным приведено в [5]. Предварительно экспериментальные данные были обработаны и переведены в наши безразмерные переменные. Из экспериментов М. А. Садовского, М. А. Цикулина мы воспользовались зависимостями p2/Pi — 1 от i? 2 .
Для случая цилиндрического взрыва формула, соответствующая данным экспериментов, приведена в работе [37]:
A _ i = û ^ + ^ . (4.55)
Если обработать в наших переменных формулу Садовского для сферического взрыва заряда тротила [40], то она примет вид
A _ 1 = ^ L + « L + ^ . (4.56)
10* 147
Pl 1
zo
/s
w
Z,0R2 Z,ORz
Рис. 5 2 . Теоретическая и экспериментальная зависимости максимальных избыточных давлений от безразмерного радиуса ударной волны для цилиндрического случая
Рис. 5 3 . Теоретическая и экспериментальная зависимости максимальных избыточных давлений для сферического случая
Заметим, что в работе [37] формула Садовского (4.56) приведена с несколько большими коэффициентами, отличающимися примерно на множитель 1,1 от коэффициентов формулы (4.56). Это различие, по-видимому, можно объяснить другими коэффициентами в исходной (размерной) формуле от взятой нами для тротила из работы [40] (см. также [41]).
Графики pJPi — 1, соответствующие формулам (4. 55), (4. 56), приведены на рис. 52, 53 (штриховые линии).
Экспериментальные данные по закону движения сферических волн взяты из работы [38]. Из экспериментов Г. Шардина [38] мы воспользо
вались результатами определения закона движения ударной волны г 2 (t) при взрыве азида свинца. При этом мы приняли калорийность азида свинца равной 400 шал/кг (более точно принято считать 360— 380 ккал/кг). Исходя из веса заряда была вычислена энергия взрыва Е0
и затем был совершен переход от размерных переменных г 2 и t к безразмерным i? 2 и т. Эти данные представлены на рис. 54. Здесь же нанесены данные Лос-Аламосской лабо-
Рис. 54 . Зависимость Л 2 от т 1 — расчеты; 2 — эксперименты Шардина, 3 — эксперименты Лос-Аламосской лаборатории
148
ратории. При приведении этих данных к безразмерному виду считалось, что Е0=8,5-1012 кГм, рг=1 атм. Экспериментальные данные по r 2 (f) для цилиндрической волны [37] хорошо согласуются с расчетом (при одинаковых т опытные значения R2 превышают теоретические на 3—4%).
Приведенное выше (и в [5]) сравнение результатов ТТВ с экспериментом позволяет сделать следующие выводы.
1. Сравнение с экспериментальными данными по взрывам химических ВВ показывает, что экспериментальные избыточные давления выше теоретических и сильно отличаются от них вблизи центра взрыва. На больших расстояниях от места взрыва экспериментальные данные лучше согласуются с теоретическими. Значения избыточных давлений, найденные по приближенным формулам (4. 55), (4. 56), совпадут с результатами ТТВ, если значения Rn увеличить на множитель 1,1—1,15, что эквивалентно уменьшению заряда ВВ.
2. Экспериментальные зависимости R2 (т) хорошо согласуются с теоретическими.
3. Данные по атомным взрывам дают хорошее согласие с результатами ТТВ для случая у=1,4, если принять энергию взрыва Е0 равной 8,5-10 1 2 кГм (эта величина энергии близка к энергии взрыва так называемой номинальной атомной бомбы).
В работе А. С. Фонарева и С. Ю. Чернявского [42] проводилось сравнение данных ТТВ с расчетом взрыва зарядов тротила в воздухе при учете движения продуктов взрыва. Результаты этой работы показывают, что примерно с Лр/pi <С 20 результаты ТТВ хорошо согласуются с расчетом взрыва тротила. При увеличении удельной энергии ВВ совпадение с результатами ТТВ улучшается, что следует и из простых физических соображений (концентрация энергии в заданном объеме увеличивается). На основании расчетов в работе [42] был сделан вывод, что на больших расстояниях параметры ударной волны определяются в основном полной энергией взрыва и начальным давлением в воздухе.
Приведенные данные позволяют сделать заключение, что результаты ТТВ по параметрам фронта волны можно успешно применять для определения характеристик взрывных волн плоских, цилиндрических и сферических зарядов независимо от их природы начиная с некоторых расстояний.
§ 5. Приближенные формулы для определения параметров фронта ударной волны
5.1. Приближенные асимптотические формулы для больших расстояний. Как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях важное значение имеют аналитические зависимости для параметров фронта ударной волны. Так как точное значение этих зависимостей получить не удается, то возникает задача о нахождении эффективных приближенных формул. Этот вопрос рассматривается в настоящем параграфе.
В соответствии с результатами § 2 для определения параметров фронта ударных волн на больших расстояниях можно воспользоваться асимпто-
149
тическими формулами (4. 10)—(4. 13) или более точными формулами (4. 14), (4. 15).
Постоянные C v, г*, входящие в эти формулы, следует находить из данных по расчету задачи для времен, когда (Ар/рг) — 0,1 — 0,3 (Ар= =Р2 — PÙ-
Как пример рассмотрим подробно случай v = 3 , у=1,4. Для р21рх
при v = 3 имеем формулу
Рл 1 5 (т + 1) r « ï P i P i ~ 5 ( Т + 1 ) f a 7 P l r 2 V i n (r 2 / r*) "
В безразмерных переменных эта формула запишется так:
Р2 _ I ! 4 т %з (4 57) Pi ^ b ^ + i) ^ ^ l n ( f l 2 / Ä V v *
Постоянные Ä3 и Д* находились из условий совпадения pJPi с расчетными значениями, взятыми из [4] , в некоторых выбранных точках при Л а > 2. В формулах для р2/ р1? I ^ / Ö ^ эти постоянные считались уже известными. В результате вычислений для т=1»4 были получены асимптотические формулы
Z l ^ l J Q ' 2 2 7 (4.58) P i # 2 V l g Л 2 + 0,158
-й- = 1 + w . ° ' 1 6 3 , (4.59)
Pi # 2 V/lg Д 2 + 0,158 V '
v 0,163 v2 ~~ R2 V^lg Я 2 + 0 , 1 5 8 " (4- 6 ° )
Эти формулы впервые получены нами и опубликованы в [2, 5] . Они дают достаточно точные значения параметров фронта для значений R2 > > 1,5 (подробно см. [5]).
Выяснение точности формул типа (4. 58)—(4. 60) и дальнейшее развитие предложенного нами метода дано в работе Майлса [43]. Так, здесь для положительного импульса давлений предложена формула
/+ = 4т(т + 1 ) ^ я я ^ , P l r o
где постоянная А пропорциональна к3 и дает наилучшие результаты при значении А =0 ,23 .
Используя результаты расчетов плоского и цилиндрического взрывов, изложенные в предыдущем параграфе, можно определить соответствующие постоянные в асимптотических формулах (4. 10)—(4. 13) и получить аналог приближенных формул (4. 58)—(4. 60).
5.2. Зависимость скорости частиц газа на фронте ударной волны от координаты. Рассмотрим подробно зависимость скорости частиц на фронте ударной волны от координаты ударной волны точечного взрыва.
В автомодельном случае, согласно (2. 12), имеем
D n = -2— V — г - " ' 2 (4.61) 0 v + 2 Г ctpj. 20 • V '
150
Из условия на ударной волне (1. 62) для функции v2 получим
"» = ^ Л о . ( 4 - 6 2 >
v , = ^ { i - q ) D . (4.63)
Если г2 -> с о , то q -> 1 и, следовательно, и2 -> 0 при г -> о о . Из (4. 61) и (4. 62) видим, что и г;20 -> 0 при г 2 0 -> о о . Таким образом, предельные значения и2 при г2 - > оо одинаковы как для сильного взрыва, так и для взрыва с учетом противодавления. Для других характеристик движения это предельное свойство не выполняется. Далее сравним зависимость v2
от г 2 для сильного взрыва и для случая вырождения ударной волны в звуковую. Для сильного взрыва из (4. 61) и (4. 62) находим
(7 + 1) ( v + 2 ) 2) V a P l
При вырождении ударной волны в звуковую имеем асимптотические формулы (см. (4. 10), (4. 12))
^ - ( T + l ) r ( v + l ) , 4
(4.65)
Используя выражение для скорости звука a^^pjгр1)1/з в формуле (4. 64) и вводя в (4. 65) вместо C v константы &v, получим
** ~ (v 4 - 2 ) ( T + 1) У a T P l
Г 2 > У 2 а с = (v + 2) (f + 1) Г a T P l r(v+l)/4 V ~ '
4 a T
г;, 20 • ] / J Ë L r- 3/ 2 r — 4 f l ] l / ^ 0 ^ 3 / r 2 \ V» , _ ox
' 5 ( T + 1)Г Г a T P l
Г 2 > ^ a c — 5 ( 7 + 1) Г а1Рл г*1г[ , r 2 ] l v — %
причем постоянные кч связаны с C v соотношением
2
TPi
Из приведенных формул видно, что функциональная зависимость v2
от г2 меняется слабо при переходе от малых г2 (сильный взрыв) к большим г2, а в случае плоских волн совершенно не меняется.
Так как качественный характер изменения v2 с ростом г2 остается таким же, как и для v20 (из физических соображений ясно, что v2 убывает с ростом r 2), а асимптотические законы отличаются слабо от автомодельных, то можно приближенно считать, что
V—^r (4.66) 2 (7 + 1) (v + 2 ) . _ 1 Г 1 # 2 .
и для довольно больших значений г2. Заметим что мы здесь не учитываем возможных взаимодействий основной ударной волны со вторичными (слабыми) волнами, которые могут возникнуть в потоке газа. Более точную
151
зависимость v2 (г 2 ) с правильным асимптотическим поведением на бес конечности дадут формулы [44]
V 2 = \ (Т + 1) (̂ + 2) у 2ас» ^ 2 < Г 2 < 0 0 .
(4. 67)
(4. 6.8)
Выбор величины г 2 и констант &v, г* будет сделан в дальнейшем. Отмеченные свойства для зависимости и2 (г2) подтверждаются расчетом и иллюстрируются рис. 55 для v=3, Y=1,4.
Характер зависимости v2 (г2), выражаемой формулами (4. 66), (4. 67), подтверждается также данными, взятыми из американской работы [391 (более подробно об этом см. [5], гл. 5).
5.3. Закон движения достаточно сильной ударной волны и ее параметры. Используя (4.66), можно дать формулы для расчета всех параметров фронта ударной волны. Из условия на ударной волне для v2 и формулы (4. 66) получаем
Вводя безразмерный радиус R2, находим
(1 - g )
(4 . 69)
(4 . 7 0 )
Так как q=a2/D2, то соотношение (4. 70) дает связь между радиусом и скоростью ударной волны. Используя (4. 70) и условия на ударной волне, можно найти зависимости р2/р1 (Л2), ра/ рх (R2). Можно также найти закон движения ударной волны R2 ( т ) . Из формулы (4. 70) и соотношения (dr2/dt)2 = a2q~1 имеем
у - Шv/2 [1 + vCI, 0v = 1 + T a (v + 2f R\. (4. 71) dR2 1
dz " ~ (v + 2) Va
Для автомодельного движения зависимость R20 (т) известна и имеет вид
Ä 2 0 (T)=:a-V(v+2) T /2/(v + 2) e (£.72)
Для случая v = l и v = 2 уравнение (4. 71) интегрируется в элементарных функциях. Рассмотрим эти случаи. Иэ уравнения (4. 71) найдем
(v + 2)VaRl!2dR2
l + Vl + ^a (2 + v ) 2 Ä j (4.73)
Отсюда т (R2) находится квадратурой. После интегрирования получаем
T = - l = . № - l n ( l + V e D ] + C 2 (v = 2), 4^ Va
0,1 0,1 ол Рис. 5 5 . Зависимость v2/a1 от радиуса ударной волны R2
З 7 \/а -2sjR2+sjRA +
ЗУ^т-1 In + V9 T aÄ s ] ) + Сл (v = 1),
152
где С2 и С1 —• постоянные интегрирования. Постоянные С2 и Сг могут быть выбраны из условия R2 ( т 0 ) = Д 2 0 , где R20 связано с т 0 автомодельной зависимостью (4. 72). При этом за т 0 следует принять малую величину, соответствующую той стадии взрыва, когда верно автомодельное решение.
Окончательные формулы, дающие связь между R2 и т, Можно записать так:
— \у/1 + 16 T ai? i — у/1 + 16ТосЛ| 0 — In - ,
4 7 Va [ V ^ 1 2 V ^ 1 2 0 1 + Vi 4- ЩаЩ0
(v = 2),
i _ | _ 2 у/Щ + 2 у й ^ + >/Äa (1 + 9 T a / î 2 ) -
1 - j _ V̂ l 4 - 1 6 ? а Я | + ( 4 . 7 4 )
3 ï
- V Д „ (1 + 9 Т аД 2 0 ) 4- VJ- lu ^ L ± g g g ! + ^ 1 + T 0 (v = l ) .
В случае сферической симметрии из (4. 71) получаем
_ [ 1 4-VI + 2 5 Т а # з ] . ( 4 < 7 5 )
di? 2 =
Это уравнение можно интегрировать численно, задавая начальные данные из автомодельного решения. Можно также воспользоваться таблицами эллиптических интегралов.
Формулы (4. 70), (4. 74), (4. 75) и (4. 22) (или (1. 62)) позволяют с достаточной степенью точности определить все параметры ударной волны, когда она еще довольно сильна (r2 ^ г2). Вопрос о построении более точных формул, пригодных для расчета характеристик течения на любых расстояниях от центра, следуя зависимости (4. 67) для и2 (г2), будет рассмотрен в дальнейшем.
Для значений r2 ^ г2 остаются в силе все зависимости, приведенные выше. Для расчета характеристик течения при г2^> г2 следует выбрать величину г\ и константы &v и г*.
5.4. Формулы для всего диапазона расстояний в случае плоских и цилиндрических волн. В случае плоских волн выберем v = l, так как только при этом условии зависимость v2 (г2) для малых расстояний непрерывно перейдет в зависимость v2 (г2) для больших расстояний.
Таким образом, исходя из наших основных предположений, сделанных в начале главы* для плоских волн нельзя получить других формул расчета характеристик течения на больших расстояниях, отличных от формул п. 5.3. Используя (4. 70) при v = l и условия на ударной волне, для максимальных избыточных давлений получаем простую формулу:
— 1 = 4 т (4. 76) •Pi ( т + 1)1-1 + ^1 4-9т«А2Г
Графики закона движения ударной волны и характеристик течения на фронте ударной волны для у=1,2; 1,4; 3 в случае плоской симметрии изображены на рис. 56—59.
153-
w
56 58
Г = /,2 fi/fi
10-
bOS
y=3
1,1 57 59
Рис. 56 . Зависимость Яг от т для разных у при v= l
Рис. 57 . Максимальные избыточные давления при v= l
Рис. 58 . Зависимость безразмерной скорости от R2 при v = l
Рис. 59. Изменение плотности на ударной волне при v = l
Для цилиндрической симметрии согласно (4. 65) и (4. 67) можно написать в безразмерных переменных
где к2=к2 (E0/pJ\ Требование непрерывности v2lax в точке R2=R2 приводит нас к сле
дующему значению к2 : k2=(R*2)~1'*. Величину R*2 выберем так, чтобы переход от формул, соответствующих зависимости (4. 67), к асимптотическим формулам затухания ударных волн происходил при значениях %/Z), приблизительно равных 0,9. Этому значению aJD соответствует избыточное давление р21рг — 1=0,27, т. е. ударная волна является довольно слабой, и использование асимптотических формул для расчета параметров ударной волны не внесет больших погрешностей.
Из (1. 62) и зависимости и21аг для R2<iR*2 находим, что величина •aJD œ 0,9 соответствует j?*=2. Итак, на основании только что проведенных рассуждений возьмем Rt=2.
Ш
(4.77)
о Oj г дЯ
Рис. 60 . Сравнение расчетных и приближенных значений избыточных давледий на фронте ударной волны при у = 1 , 4
Рис. 61 . Сравнение расчетных и приближенных законов движения ударной волны при у = 1 , 4
Используя формулы (4. 77), условия (1. 62) и полученные значения к2, R\, находим формулы для максимальных избыточных давлений
Р2 J
P l . ( ï -
Р2 I _ P l
4Y
1) (—1 + Vl67ai?| + 1 ) ' 4Y
(T + 1) ( - 1 + N/16 V2 + 0 '
0 < Д 2 < 2 ,
o o > i ? 2 > 2 . (4 . 7 8 )
Далее приведем формулы для нахождения зависимости R2 (t), соответствующей закону (4. 77). Для R2 ^ 2 зависимость i? 2 ( т ) дается формулой (4. 74). При R2 ^ 2 для движения ударной волны возьмем асимптотический закон
«1 (« - о = 4 1 - (itrf +•••]• Переходя к безразмерным переменным т, R2 и подставляя значение &2,
получаем
1 - / ^ 2 * « * + . . . ] . (4. 79)
где т* — некоторая постоянная. Постоянную т* выберем из условия совпадения значений т, найденных по формулам (4. 74) и (4. 79) при R2=2. В результате расчетов были получены следующие значения: т*=0,17 для т=1,2, т*=0,25 для т=1,4, т*=0,41 для у=3.
Соотношения (4. 74), (4. 76), (4. 77) и (1. 62) позволяют рассчитать все параметры фронта ударной волны в цилиндрическом случае.
Графики зависимостей R2 ( т ) , [p2lp-ù (R2) — 1, ( z ^ i ) № ) , ( р 2 / Pi) ( # 2 ) для разных у при v=2 представлены в [5] и здесь не воспроизводятся.
На рис. 60 даны зависимости àp/pt от 7?2, полученные расчетом по рассмотренному в § 3 методу и по формулам (4. 78). Сравнение расчетных и приближенных значений R2 (т) показано на рис. 61. Здесь данные, взятые из численного решения, отмечены кружками. Сравнение показывает хорошую точность приближенных формул.
155
5.5. Формулы для всего диапазона расстояний в случае сферических волн. Сравнение давлений для v = l ,2 ,3 . В случае сферической ударной волны согласно (4.67), (4.68) в безразмерных переменных имеем
у2
5 ( Т + 1) Vay 4 1
1 # 2 3 ' \ 0 < i ? 2 < i ? * ,
5 ( 7 + 1) VT<z i ? 2 \ / l n i ? 2 — InJ* '
(4. 80)
Здесь k3 и Z* — некоторые безразмерные постоянные, связанные с к3 и г* соотношениями к3=к3 (pJE^I*, r*=Z* (EJp^)ll\ Для зависимости i;2/#i от i? 2 потребуем непрерывности функции £>2/ai (R2) и ее первой производной при R2=R*2. Это требование приводит к следующим соотношениям: Ä 3 = ( J R 5 ) ~ V 2 J lnZ"'=lni?2* — 1. Так же как и в цилиндрическом случае, за величину RI возьмем R*2=2. Такой выбор R2 является естественным, так как для R2 ^ 2 значения и2/аг, найденные по асимптотической формуле (4. 12), дают достаточно хорошее совпадение со значениями и2/а1У
полученными в результате решения численными методами, что показано на рис. 55. К выбору примерно такой же величины R*2 можно прийти также путем рассуждений, аналогичных рассуждениям при выборе R2
для случая v=2. При выбранных значениях Л 2 , к3 из (4. 80) и (4. 22) легко получить
формулы для избыточных давлений
Р2 I ___ Pi
1
' + 1 _ l + Vi + 2ЪуаЩ '
4 1
7 + 1 - 1 +J/ l + 5 0 T # i ( l n - ^ 2 - + l )
0 < / ? 2 < 2 ,
оо > R2 > 2.
Закон движения ударной волны для значений R2 ^ 2 определяется уравнением (4. 75). При R2 > 2 для определения зависимости R2 (т), как и в случае цилиндрической симметрии, используем асимптотическую формулу, верную для больших расстояний. В безразмерных переменных эта формула имеет вид
* , i ? 9 0,4 Т
у/ч У Va Ä s y / l n W ) . (4.81)
С помощью (4. 80) и условий (4. 22) на ударной волне можно также найти зависимость р2/ рх (R2) для разных значений показателя адиабаты у. В работе [5] представлены графики безразмерного избыточного давления для частиц непосредственно за фронтом ударной волны при у=1,2 ; 1,4; 3 и v=3. Для этих значений у был найден закон движения ударной волны i? 2 (т). При этом уравнение (4. 75) интегрировалось с начальными условиями т 0 = 1 0 - 5 , Д а о = от1/. .«)-*.
При значении R2—2 совершался переход от расчета по уравнению (4. 75) к расчету по формуле (4. 81). Как и в цилиндрическом случае,, постоянная т* определялась из условия совпадения значений т при .# 2=2 и оказалась равной: для у=1,2 т*=— 0,28, для у=1,4 т*=—0,22,, для у = 3 т*=—0,19.
156
Для выяснения точности расчета по предложенным выше приближенным формулам было проведено сравнение величин избыточных давлений и закона i? 2 ( t ) , найденных по приближенным формулам, с расчетными данными. В результате сравнения оказалось, что в сферическом случае для величин p2/Pi — 1 ^ 0,05 погрешность в определении гидродинамических характеристик фронта волны не превышает 5%, если принять расчетные данные за «точные».
Для моментов времени, соответствующих p2/Pi — 1 ^ 0 , 0 5 , погрешность в определении R2 (т) не превышает 3% [5].
Для сравнения законов затухания ударных волн при различных сим-метриях на рис. 62 даны графики р21р1 — 1 от i? 2 для v = l ; 2; 3 и у=1,4 , построенные по приближенным формулам. Из этих графиков видно, что сферическая ударная волна затухает гораздо быстрее цилиндрической и плоской.
Заметим, что формулы, полученные в этом параграфе, достаточно простые и обладают высокой точностью (они могут быть уточнены при использовании законов затухания (4. 14), (4. 15)). Эти формулы находят различные приложения (см., например, [45, 46]). Приведенные в этом параграфе формулы могут быть обобщены и на случай учета диссоциации и ионизации. Постоянные в асимптотических зависимостях (4. 10) — (4. 13) могут быть найдены на основании расчетов соответствующих задач. Для случая взрыва в воздухе при сферической симметрии эти постоянные приведены в [43],
Нами проводилась работа по получению приближенных формул, основанных на аппроксимации зависимости v2 (г2), описанной для совершенного газа. Здесь получаются хорошие результаты, если взять уточненное значение энергетического параметра а (например, с. учетом эффективного значения показателя адиабаты у0), а у считать переменным в зависимости от плотности и давления.
Согласно (4. 64) для сильного взрыва имеем
77
4 Л/ Eç) r " v / 2
2 0 *~~ (Т + 1) (v + 2) У a ( T o ) P l
Г 2 '
Подставив эту зависимость в условия на ударной волне и считая у = = у(р, р), получим неявные зависимости р 2 (г 2 ) , р2 (r2), D (г2).
В упрощенном варианте можно принять у=1,4 и лишь уточнить значение а. Этот подход не приведет к большим погрешностям (в особенности для зависимости г 2 (£)), ибо (у+1) меняется слабо (от 2,1 до 2,4).
Рис. 62 . График избыточного давления в зависимости от радиуса при у = 1 , 4 -Сравнение для разных v по приближенной теории
157
Проведенные нами вычисления и сравнения с численным решением Г. Броуда [47] показали, что имеется удовлетворительное согласие по зависимости кр!рг от R2 (естественно, что согласие по закону движения ударной волны будет также хорошим). Заметим, что в случае аппроксимации и2 (г2) для вычисления давлений р2 удобно использовать формулы (2. 69)-—(2. 71), аппроксимирующие таблицы H. М. Кузнецова (см. гл. 2).
§ 6. О пересчете безразмерных величин^на размерные. Закон подобия *
Как уже указывалось, численное решение задач о точечном взрыве удобнее производить в безразмерных параметрах. Для простоты будем считать газ совершенным с постоянным у. В результате расчета, проведенного для каких-нибудь фиксированных значений v и у, мы глэлучим зависимости искомых безразмерных функций от безразмерных переменных г/г2 и т, что дает возможность легко найти все величины, характеризующие течение (при тех же значениях v и у) для любых значений Е0, Рь Pi- Д л я ДРУГ И Х значений v и у расчет необходимо проделать снова.
Рассмотрим вопрос о переходе от безразмерных величин к размерным. Пусть имеем независимые переменные X = г/г2, т = t/t0, t° = r° (pjp^2 = = (Ejp^ ylyV#i> r° — динамический линейный размер, t° — динамическое время.
Энергию, выделяющуюся при взрыве, можно выражать в тепловых или механических единицах (калориях, эргах, килограммометрах). Для большей наглядности энергию можно характеризовать весом какого-либо определенного ВВ. В качестве такого ВВ часто берут тротил. (Известно, что при взрыве так называемой номинальной атомной бомбы выделяется за короткий промежуток времени приблизительно такое же количество энергии, как и при взрыве 20 ООО m тротила.)
Учитывая, что r = r2l, t = tb, (4.82)
можно, зная из расчета зависимость R2 (т) и принимая определенные значения для ръ ръ Е0, пересчитать по формулам (4. 82) безразмерные величины X и т на размерные г и t.
Аналогично можно перейти к размерным величинам давления, плотности, скорости и т. д. В качестве примера рассмотрим такие безразмерные переменные:
Я.(о, т ) = - £ , Д,(а, T ) = l £ . t
(4.83)
где а —- безразмерная лагранжева координата, о = £/r°, z=t/t°. Переход к размерным переменным осуществляется по формулам
Р (6, t) = Л Р , p ( Ê , t) = P L G , v (6, t) = fll7,
г (6, t) = r°R, г 2 (0=г°Д 2 в . È = r°o, * = *o x . (4. 84)
* Здесь мы Следуем § 6 главы IV книги [5 ] , написанному автором совместно с Е. В. Рязановым и Н. С. Мельниковой.
158
Иногда может потребоваться переход от размерных величин, соответствующих конкретным значениям размерных начальных параметров Е0г
Pu Ръ к безразмерным переменным (для тех же самых значений у и v). Рассмотрим такой пример: расчет задачи произведен для некоторых значений у, v и определенных величин Е01г р1Ъ р и . Требуется найти решениег
соответствующее тем же значениям v и у, по другим начальным значениям энергии, плотности и давления Е02, р 1 2 , p i 2. В этом случае поступаем так: используя формулы (4. 83) и известные значения Еои р1Ъ р п , перейдем сначала к безразмерным переменным, а затем по формулам (4. 84) и заданным Е02, р12, р1 2 находим интересующие нас зависимости для новой системы размерных переменных. Так, для пересчета времени находим сначала т, а затем t(2):
T g m f — t ^ — h-f
^ ,o » ^(2) V .0 (1)' где
Для пересчета расстояния (эйлеровой координаты частицы) имеем
Д = " ^ . r*> = W = %ra>>- • *< = {jffî> (< = 1,2),
где t(1) и г(1) — размерные время и эйлерова координата, известные из-расчета, проведенного при параметрах Е01, р1Ъ р и ; ti2), г ( 2 ) — размерные время и эйлерова координата, пересчитанные на параметры.
Аналогичные формулы можно написать для пересчета скорости, плотности и других величин. Здесь мы считаем, что все величины с индексами 1 и 2 заданы в одной и той же системе единиц измерения. Из этих формул при Рц=р12 и Р ц = Pi2 легко найти зависимости
Г(2) = ( £02 У/* *(2) _ ( 0̂2 '"(I). U o J ' *ц, ~ U o J '
которые выражают собой так называемый закон подобия. Для случая сферического взрыва этот закон записывают часто так:
Г(2) / w l У / З *(2) / w l У / З
r ( l ) \ w 2 J 9 t ( l ) ' ~ \ W 2 J '
где w — вес заряда (для атомных взрывов — тротиловый эквивалент). При выбранных таким образом отношениях расстояний от центра
взрыва и времен величины давлений будут одинаковыми. Указанный закон подобия верен для широкого класса сжимаемых сред.
Рассмотрим далее в качестве одного из конкретных примеров переход от переменных, принятых в работе Гольдстайна и Неймана [4], к безразмерным переменным (4. 83). В работе [4] расчет задачи о точечном сферическом взрыве (v=3) произведен при использовании следующих начальных данных, взятых из решения автомодельной задачи *: т^ —0,0182575; P%N=lO0; G 1 N = i ; Д 2 * = 0,5 (у = 1 , 4 ) , (4/85)
* В дальнейшем индекс N будет указывать на то, что соответствующие величины взяты из работы [ 4 ] .
1 5 9 *
где P 2 N — давление на фронте ударной волны, GIN — плотность невозмущенной среды, R 2 N — радиус ударной волны, тдг — время. Здесь все величины будем считать безразмерными, связанными с размерными величинами по формулам (4. 83):
р Р г — р <г 1 п г 2
(4. 86)
г
где t% — постоянная величина с разномерностью времени, г%— постоянная величина с размерностью длины, г — эйлерова координата, £ — лаг-ранжева координата.
В автомодельной задаче о сильном взрыве на ударной волне верно соотношение
* = 25^)С?) в . (4-87> Для радиуса автомодельной ударной волны верна зависимость
(4.88) W i /
Подставляя выражение для т2 по формуле (4. 88) в формулу (4. 87) и используя формулы (4. 86), получим
8 Т/в 1 о _ / Е0 У / з /_Рт_У/ 2 Г 8
N ~ \ * P i ) W L 2 5 ( ' + 1 ) p 2 ^
Для v=3 и у=1,4 имеем а=0,851. Следовательно,
о _ ( EQ у/, / p { V / , Г 2 f / e 1 / ̂ 0 у/з / P l у/,
Учитывая (4. 85), находим численное значение постоянной к^=0,23229. Итак, zN=t/fN=t/kNt°. Сравнивая это выражение для безразмерного времени с формулой (4. 82), имеем &^т#=т. Далее, можно получить R2= = kNR2N, R = kNRN,o = kN<3N, P — PN, G — GN, V = (^)~l{dRNld'zN). Полученные формулы дают зависимость между безразмерными переменными (4. 86), принятыми в работе [4], и безразмерными переменными (4. 83).
§ 7. Использование аналогии между взрывом и обтеканием тонких затупленных тел
При движении в газе тонких тел типа снарядов и ракет с гиперзвуковой скоростью, т. е. со скоростью, в несколько раз превышающей скорость распространения звуковых волн в окружающей среде, тонкие заостренные тела, подвергаясь воздействию среды, затупляются в своей головной части. Движущиеся тела могут получить затупленную форму в головной части также при конструировании.
Таким образом, при гиперзвуковых полетах движущиеся тела практически всегда имеют затупление и решение задач о движении затупленных тонких тел имеет большое практическое и теоретическое значение. Движения затупленных тел со сверхзвуковой скоростью сопровождаются воз-
160
Рис. 64. Схема обтекания затупленной пластины (а) и аналогия с явлением взрыва плоского заряда (б)
никновением перед телом так называемой отошедшей ударной волны, которая не касается поверхности тела (рис. 63, а, 64, а). Методы расчета течения за отошедшей ударной волной развиты О. М. Белоцерковским, В. В. Луневым, Г. Ф. Телениным, П. И. Чушкиным и другими авторами [27, 28, 48—51].
Между нестационарной задачей о взрыве и задачей стационарного обтекания тел с гиперзвуковой скоростью существует известная аналогия, сформулированная в работах Г. Г. Черного [48] и других авторов и основанная на использовании принципа плоских сечений.
Основы этой аналогии изложены также и в работах [5, 49]. Проведенные исследования показали, что в плоскостях, перпендикулярных к направлению невозмущенного движения газа, картина движения газа при обтекании пластины или цилиндра должна быть по существу такой же, как и при распространении взрывной волны от точечного взрыва для плоского и цилиндрического зарядов (рис. 63, б, 64, б). Сила сопротивления X затупленного тела приближенно равна энергии Е0, так как энергия, приобретенная слоем газа единичной толщины, при преодолении затупления есть Е0=X • 1.
Используя теорию взрыва, можно получить основные данные об обтекании затупленной тонкой пластины или затупленного тонкого цилиндра (прямая аналогия). С другой стороны, если мы имеем решение задачи о гиперзвуков ом обтекании затупленной пластины или цилиндра, то мы можем определить приближенно параметры плоского и цилиндрического взрывов (обратная аналогия). После того как был сформулирован отмеченный выше принцип аналогии, основное внимание авторов привлекло использование теории сильного взрыва и линеаризированного решения с учетом противодавления (см., например, [5, 48]). Это объясняется тем,
И Тр. Математ. ин-та, т . С Х Г Х 161
что соответствующие неавтомодельные нелинейные задачи были исследованы слабо. В работах М. А. Цикулина принцип аналогии использовался не для сильного взрыва, но с применением опытных данных для параметров фронта по взрывам цилиндрических зарядов ВВ [37]. Более полное исследование прямой аналогии стало возможно лишь после получения решения задач о взрыве с помощью численных и приближенных методов.
Для использования прямой аналогии параметры нестационарной задачи заменяются на стационарные, причем t и Е0 соответственно заменяются на хи£, 1/2cxPœU2
œ (п/4у-Ч\ Здесь приняты обозначения: х — координата вдоль оси тела, изме
ряемая от его передней точки; d — характерный поперечный размер затупления; uœ — скорость набегающего потока газа, направленная вдоль оси х; сх — коэффициент сопротивления затупления, рассчитанный на единицу площади поперечного сечения тела и отнесенный к скоростному напору.
При таком переходе связь между безразмерными величинами x/d, rid и т, R дается соотношениями
где Mœ=uœ/aœ — число Маха набегающего потока. Полученные по прямой аналогии результаты кратко излагаются ниже. Во-первых, приближенные формулы для параметров фронта ударной
волны, рассмотренные в § 5, дают возможность определить форму ударной волны и написать ее аналитическое выражение. На это было указано в [5] и рассмотрено в нашей работе [20], в которой был также получен следующий результат. Тангенс угла наклона ударной волны drldx для больших х в стационарном случае стремится к соответствующей величине для наклона характеристик, т. е.
^ ^ ( M ^ - l ) - V ,
Скорость же ударной волны в нестационарной задаче стремится к скорости звука aœ. Осуществляя переход к переменным т ид , находим при больших 1
для случая обтекания и взрыва соответственно. Таким образом, при обтекании форма ударной волны на больших расстояниях будет тем ближе к форме, полученной из теории взрыва, чем больше число М^. Это накладывает ограничения для переноса данных нестационарной задачи на задачу обтекания (и обратно).
В работе [20] было проведено сравнение распределений давлений на цилиндре и форм головных ударных волн, полученных по приближенному расчету цилиндрического взрыва и по расчету обтекания тел, выполненному методом характеристик [50]. Это сравнение показало удовлетворительное совпадение результатов перенесения данных о взрыве на обтекание вне области затупления. Проведение расчетов с более высокой точностью, рассмотренных в § 3, позволило сделать более обоснованные
162
Ряс. 65 . Сравнение распределений давления на затупленном цилиндре, рассчитанных по теории взрыва и по методу характеристик ( М о о = 1 0 , v = 2 )
выводы [34] о точности аналогии. Оказалось, что при Моо ~ 10 как для v=2, так и для v = l газодинамические функции взрыва и обтекания близки друг к другу (в смысле сформулированной аналогии) вне некоторой окрестности затупления (x/d > 10).
На рис. 65 для иллюстрации дано распределение давления на цилиндре со сферическим затуплением при M œ = 1 0 , полученное по результатам расчета взрыва (кривая 2). Кривая 2 соответствует расчетам обтекания по методу характеристик [50], а кривая 3 относится к линеаризированной теории взрыва. Как видно из графиков, две первые кривые практически совпадают при достаточном удалении от затупления.
За последние годы проблема расчета гиперзвуковых течений была сильно продвинута вперед. В связи с этим встает вопрос об использовании обратной аналогии. Действительно, как было показано в переменных /? , х, безразмерные функции совпадают вне некоторой зоны затупления, т. е. для достаточно больших т и для незначительных р2/рх. При v=2, M œ = 1 0 , PjPi ^ 3 совпадение достаточно хорошее. Поэтому для приближенных оценок параметров взрыва можно воспользоваться результатами расчета обтекания при Моо ^ 10. Для этой цели можно, например, использовать недавно опубликованные таблицы [51 ] газодинамических функций гиперзвукового обтекания затупленных цилиндров при больших числах M œ . Приведенные там данные позволяют получить поля давлений и плотностей при взрыве не только в совершенном газе, но и при учете эффектов диссоциации и ионизации. Естественно, что ближнюю зону взрыва (для малых t) нужно рассчитывать отдельно (например, по совершенному газу, используя эффективное значение у).
§ 8 . Взрыв в стационарном поступательном потоке газа
В приложениях могут встретиться случаи расчета точечного взрыва в стационарном потоке газа, движущемся с постоянной скоростью Л. Случай сильного сферического взрыва обсуждался в работе [52]. Если рассматривать процесс развития взрыва в неподвижной системе координат, то надо сделать пересчет решения, используя преобразование Галилея—Ньютона (см. § 1, гл. 1). Так как уравнения газовой динамики инвариантны относительно этого преобразования, то решение перейдет в некоторое новое решение.
1 1 * 163
Пусть выбрана некоторая неподвижная система декартовых прямоугольных координат х1, ж2, хг с началом координат в центре взрыва при 2=0. Обозначим через UJ, / = 1 , 2, 3, проекции вектора начальной скорости U на оси координат, а через ûJ' — соответствующие проекции вектора скорости газа после взрыва.
Тогда при рассмотрении течения газа в неподвижной системе координат его параметры можно вычислять по формулам преобразования xJ'= =xJ'-\-U4, vJ=vJ'-{-UJ\ р=р, р= р. Здесь через uJ\ р, робозначены значения составляющих скорости, давления и плотности в системе координат xJ, связанной с поступательно движущимся газом. Решение задачи в этой подвижной системе мы считаем известным. Оно может быть найдено численным методом, рассмотренным выше, или взято из таблиц [35]. Таким образом, задача сводится к простому пересчету известных данных. При проведении такого пересчета в случае цилиндрического и сферического взрывов следует учесть геометрические зависимости, вытекающие из связи между декартовыми и цилиндрическими или декартовыми и сферическими координатами.
В сферическом случае имеем
х1 = г sin 6 cos ср, х 1 — sin б sin ср, хъ — г cos 9,
v1 = и sin 6 cos ср, v2 — v sin 6 sin ср, и3 — v cos б, где г, б, ср — сферические координаты (движущейся системы). Из физических соображений ясно, что мы имеем здесь явление простого сноса потока «постоянным ветром». К сожалению, при взрыве в атмосфере ветер редко бывает постоянным по величине и по направлению. Поэтому снос зоны возмущения носит более сложный характер. Однако приведенные формулы иногда могут быть полезными при определении времени прихода ударной волны в заданную точку пространства, если вектор U меняется медленно в пространстве и во времени. При больших значениях скорости U снос зоны возмущенного движения сильно изменит (для неподвижного наблюдателя) картину распространения ударной волны.
§ 9. Об отражении ударных волн точечного взрыва
9.1. Начальная стадия отражения плоской волны от параллельной ей плоской стенки, цилиндрической и сферической волны от концентрической, цилиндрической или сферической стенок соответственно. Вопросы отражения ударных волн точечного взрыва разработаны в настоящее время слабо. Это объясняется в первую очередь достаточной сложностью возникающих здесь задач. Естественно, что для успешного решения задач об отражении необходимо изучить законы распространения ударных волн в безграничном пространстве. Для построения более законченной ТТВ решение вопросов отражения ударных волн представляется весьма существенным.
Рассмотрим вопрос об определении давления, плотности и скорости газа за фронтом отраженной ударной волны для моментов времени, близких к моменту подхода волны к стенке, который обозначим через t¥. В силу предполагаемой геометрии стенки отражение ударной волны от
164
нее будет нормальным отражением, а течение за фронтом отраженной волны — одномерным, с плоской, цилиндрической или сферической симметрией. В этом случае давление плотность р#, температура Т в отраженной волне находятся по хорошо известным в газовой динамике формулам
Для величины начальной скорости отраженной волны имеем выражение
Поскольку стенка неподвижна, то в силу граничного условия на ней скорость за фронтом отраженной ударной волны будет мала для моментов времени, близких к t¥.
Если задано расстояние г ¥ от места взрыва до стенки и значение характерной длины г°, то, зная безразмерную координату R ^ найдем по величине Rn=R^ с помощью таблиц [35] или приближенные формул безразмерное время подхода волны к стенке т¥ и через него — время t¥, а также соответствующие значения q, pjpx и р2/ рх. Далее по формулам (4. 90), (4. 91) вычисляются основные параметры отраженной ударной волны для моментов времени, близких к t¥. .
Заметим, что формулы (4. 90), (4. 91) для рассматриваемой задачи, строго говоря, верны лишь в момент непосредственного отражения ударной волны от стенки, так как они получены для однородного потока за падающей волной. Однако эти соотношения будут приближенно выполняться для тех моментов времени, когда переменностью параметров течения за падающей волной можно пренебречь.
Приведем некоторые соображения по поводу характера последующего течения. В случае отражения волны сильного взрыва с физической точки зрения мы имеем фактически процесс соударения узкого слоя газа с неподвижной преградой и последующий распад произвольного разрыва. Здесь возможно построить различные приближенные модели возникающего течения. Заметим, что некоторые вопросы отражения сильного взрыва (в его начальной стадии) рассматривались в работах [53, 54]. Для решения вопроса об отражении волн умеренной интенсивности нужно использовать численные методы. Течение газа при рассматриваемом отражении будет одномерным, но к центру взрыва по движущемуся газу будет распространяться отраженная ударная волна. Для решения этой задачи можно применить метод интегральных соотношений, проводя интерполяцию по пространственной координате и ведя расчет аппроксимирующей системы дифференциальных уравнений по времени. Полученное решение для моментов времени, близких к ^ , можно использовать для задания начальных данных. Отметим, что с точки зрения приложений (взрывы в воздушных полостях в грунте, цилиндрические взрывы в ксеноновых трубках для получения импульсов света и др.) наибольший интерес
El. Pi
__ P* Pi Pi *
(4. 90)
(4. 91)
f [ ( T — i ] [ ( T + l)-ff + (T— l ) ]" 7 2 . (4.92)
165
представляет знание параметров течения в непосредственной близости у стенки. Это следует учитывать при построении приближенных теорий.
9.2. Начальная стадия регулярного отражения плоской, цилиндрической или сферической взрывных волн от плоской поверхности. Рассмотрим сначала плоский случай. Пусть плоская взрывная волна падает на абсолютно жесткую плоскую стенку так, что угол между плоскостью ударной волны и стенкой отличен от нуля и равен а. Тогда для моментов времени, близких к столкновению волны со стенкой, из соотношений на ударной волне и граничного условия на стенке для скорости газа можно получить асимптотические зависимости между параметрами падающей и отраженной волны (см. [55]).
Обозначим через а̂ , р^ соответственно угол отражения, давление и плотность за отраженной волной в момент времени непосредственно после отражения и введем следующие параметры:
тс, = —-, тс = — , со = to* а, со = tg а .
Если задан угол а и параметр тсх в момент встречи волны с плоскостью отражения, то для определения имеем квадратное уравнение
m [(1 - V)*- (со - со,)* - (р. + coco/] + + | f c 2 ( l _ p ) 2 ( < 0 — < D J + <D, — œ = 0 , (4.93)
где 7 — 1 (i—%,)b>
. . — J т — v 1/ г т + 1 ' l + ^ - H n + T i i ) обо
значение относительного давления ^ за отраженной волной находится
так: И1 + и4) + : . ( 4 9 4 )
Отношение плотностей р^ /р 2 и температур TJT2 можно найти с помощью формул (4. 91).
Так как точка пересечения падающей и отраженной волн движется вдоль плоскости, то для определения скорости отраженной ударной волны D¥ в точке отражения имеем соотношение
ö - f l ^ , (4.95) * sin a v '
Используя найденные величины Z)̂ , р^ /р а и закон сохранения массы при переходе через поверхность разрыва, можно определить нормальную составляющую скорости газа за отраженной волной и^. Касательная составляющая находится по условию ее непрерывности при переходе через разрыв. Заметим, что условие отсутствия вещественных корней уравнения (4. 93) дает значения углов, для которых наступает нерегулярное (маховское) отражение.
Рассмотрим теперь случай отражения цилиндрической или сферической волны. Пусть взрыв произошел на расстоянии h от плоскости отражения П (в цилиндрическом случае для простоты считаем, что линия взрыва параллельна плоскости П). Обозначим через a угол, под которым подходит к плоскости П цилиндрическая или сферическая волна в неко-
J66
торый момент времени ^ после взрыва. Из геометрических соображений очевидно, что угол а будет равен углу между перпендикуляром к плоскости П и радиус-вектором, проведенным из центра взрыва О в точку отражения волны О1 в рассматриваемый момент времени f (рис. 66). Течение газа при отражении ударной волны будет обладать осевой симметрией с осью, проходящей через точку взрыва перпендикулярно к плоскости П. Решение будет зависеть от параметров А, Е0, рг, р ь у и для безразмерных функций р/р1 будем иметь
J L - p ( ± 1 i в rV
где 6 — угловая координата. Для различных отношений h/r° задачу нужно решать заново (значения у считаем одинаковыми). Полученный
Рис. 66 . Схема регулярного отражения ударной волны
в § 6 закон подобия здесь, строго говоря, не выполняется. Если мы изменим г°, например, меняя энергию Е01 то для пересчета данных на другое h мы должны так изменить г°, чтобы отношение {hlrQ)=H\ оставалось постоянным, другими словами, пересчет задачи возможен, если
h Е(
Для произвольных Е0 пересчет по обычному подобию может привести к ошибкам. Это следует всегда учитывать. Здесь можно заметить, что в работе [57] эти факты не всегда учитываются и оговариваются при рассмотрении сферического взрыва, что может привести к недоразумению. Естественно, что приближенно закон подобия может быть применен и для величин энергий, несильно отклоняющихся от зависимости (4.96). Как уже упоминалось, отражение взрывной волны для некоторых значений угла падения а имеет нерегулярный характер [39, 40, 41, 50—54, 57]. При заданной величине Ар имеет место нерегулярное (маховское) отражение, если угол падения а больше некоторого предельного угла а0. При нерегулярном отражении имеет место существенное увеличение давления (на плоскости) по сравнению с давлением, которое следовало бы ожидать по схеме регулярного отражения. Вообще говоря, значение предельного угла а0 возрастает с уменьшением Ар. Отсутствие одномерности задачи, ограниченное действие закона подобия и возникновение маховского отражения сильно усложняют теоретическое решение задачи. Рассмотрение этой задачи в целом есть предмет специального исследования. Мы рассмотрим лишь некоторые отдельные вопросы этой задачи, касающиеся в основном стадии регулярного отражения.
167
Применяя результаты решения задачи об отражении плоской волны к отражению элемента цилиндрической или сферической волны, можно определить параметры газа непосредственно в момент отражения элемента волны от плоскости. Обозначив через безразмерную величину h/r°, имеем равенство
c o s a = A = i K (4.97)
Пусть нас интересуют параметры отраженной волны в точке О' плоскости П на расстоянии от центра взрыва. Если параметр г° известен, то, зная R^rjr^ можно вычислить угол а по формуле (4. 97). С помощью таблиц [35] или по формулам § 5 по значению R2=R¥ найдем величины \ и отношения р2/рц p2/Pi- Если при полученном р2/рг
угол а соответствует режиму регулярного отражения, то, используя введенные обозначения, по формулам (4. 91) и (4.93)—(4.95) вычислим параметры отраженной волны в моменты времени, близкие к t¥.
Далее, пусть известна зависимость между р2/р± и предельным углом регулярного отражения. На основании теоретического анализа такие данные следуют из формул (4.93)—(4.95); они приведены, например, в [55]. Тогда для заданной величины h можно найти границу зоны регулярного отражения на плоскости П. Заметим, что для сферического взрыва при 7=1,4 задача о начальной стадии регулярного отражения решена M. М. Васильевым [56]. Цилиндрический взрыв, по-видимому, здесь рассматривается впервые (экспериментальные данные приведены в [37]). Качественные особенности нерегулярного отражения описаны во многих работах [39, 41, 55, 57—60].
Вопрос об определении давления на плоскости в моменты времени, близкие к моменту отражения для стадии нерегулярного отражения, можно было бы решить, если бы были известны формулы, связывающие величины давлений за падающими и отраженными волнами при тройной маховской конфигурации. К сожалению, этот вопрос пока еще не нашел достаточно точного решения. Поэтому наши соображения могут иметь пока лишь качественный и приближенный количественный смысл.
Так как давление на плоскости меняется (даже в стадии регулярного отражения) не монотонно с ростом а, то возникает известная задача о наивыгоднейшем (для данной величины Е0) выборе высоты взрыва h для получения давлений р^р\ на некоторой площади 2 , где р% — заданное давление. Пусть взрыв сферический. Здесь мы можем указать еще такую задачу: найти значение А, для которого суммарная сила
F = \p,d2 *о
была бы максимальной (для всех t) при заданном значении £ 0 . Вопросы оптимального выбора высоты сферического взрыва рассмотрены в ряде работ (см. [39, 40, 57]). Полное теоретическое решение этой задачи как для сферической, так и для цилиндрической волны нам неизвестно.
Г Л А В А 5
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
И ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ ВЫДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ
§ 1. Точное решение при специальной зависимости рх (г) Рассмотрим ЗТВ, когда начальное давление рг постоянно, начальная
плотность газа переменна и меняется с изменением расстояния от центра взрыва по закону
ftW=f (т - «с (ч^ултш+^т • <5- ч где у — отношение удельных теплоемкостей; а — положительная произвольная постоянная; ш= [v(3—у)+2у—2]/[у+1], ß= ГЗvy-j-4— v]/[v(y-f-l)], r°=(E0/p1)i^— динамическая длина; v=3, 2, 1. Из (5.1) видно, что р1
параметрически зависит от величины у и динамической длины г°. Одномерные адиабатические движения газа за волной описываются
системой уравнений (1.18)—(1.20) или (3.5). Требуется определить зависимость скорости, давления и плотности газа от линейной координаты г и времени t, а также зависимость радиуса ударной волны г 2 от времени.
Задача сводится к нахождению решения системы (3.5) с указанными выше начальными условиями, а также при граничном условии в центре симметрии у(0, t)=0 и условиями на фронте взрывной волны, которые могут быть записаны в виде (1.62). Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение поставленной задачи дается формулами [1]
y = _ L к ^ Л ^ 1 ± 1 , ( 5 . 2 )
P - 2p:t^rk I { й ^ г т у V Ю Г ™ ' - (т - ' M И . (5-3)
Р = А | ^ { Т ^ [ / ( * ) Г < ^ - ( т - 1 ) [ / ( * ) Г г } . (5-4)
где x=r[kt\-1'!k, b= b2p1/(o4tr°)2a]1/^'1\ /(#)J>0 — функция, не принимающая отрицательных значений. Зависимость f{x) определяется из уравнения
1 6 9
Изменение давления непосредственно за фронтом ударной волны дается формулой
Указанное решение было получено нами из точного решения Л. И. Седова [2]. Способ построения разрывных решений для этого точного решения был разработан в [3].
Из найденного нами решения в частном случае при Ь~Л->0 получаем известное решение автомодельной ЗТВ, когда начальная плотность распределена по закону $х=Аг~^ (см. формулы (2.28)).
2.1. Задача о плоском, цилиндрическом или сферическом сильных взрывах на поверхности раздела двух идеальных сжимаемых сред. Пусть имеются два полупространства, занятых идеальными сжимаемыми средами, внутренняя энергия которых зависит от р и р в соответствии с формулой
Если на границе этих полупространств произошел точечный взрыв, то в плоском случае течение будет одномерным, а в цилиндрическом и сферическом случаях задача будет зависеть от двух пространственных координат и времени. Если противодавление считать равным нулю в обоих полупространствах, то система определяющих параметров будет такова: о̂> Ро? Pi-? Pi+> г? ty г Д е через рх_, р 1 + обозначены постоянные плотности
в различных полупространствах. Будем считать их нижним и верхним. Так как уравнения газовой динамики и функции /_(р/р 0), /+(р/Ро) н е с о ~ держат размерных постоянных, то сформулированная задача для сильного взрыва является автомодельной и в общем случае будет зависеть от двух безразмерных переменных вида х*1Ыь или l=r/btb, 6 , где б — полярный угол. Выбор системы координат зависит от метода решения рассматриваемых задач.
Граничными условиями здесь служат условия на ударных волнах в верхнем и нижнем полупространствах, условие равенства давления на границе раздела двух сред и равенства нормальных скоростей газа на границе раздела. Все необходимые уравнения могут быть легко получены из уравнений и условий на поверхностях сильных разрывов, приведенных в главе 1,. и подробно не рассматриваются.
Для случая плоского взрыва на границе раздела двух совершенных газов автомодельная задача имеет точное аналитическое решение [4, 5] . Решение задачи по существу связано с нахождением распределения энергии Е0 между двумя полупространствами из условия равенства давлений на границах полупространств.
Для цилиндрического и сферического взрывов задача детально пока не решена. Простейшими вариантами этой задачи является случай двух совершенных газов и случай, когда одно из полупространств несжимаемое. На примере сферического взрыва рассмотрим приближенное решение
§ 2. Взрыв на границе раздела двух сред
const. (5. 7)
170
вопроса о распределении энергии между двумя полупространствами, занятыми различными совершенными газами.
Будем следовать работе [6], выполненной автором совместно с Г. А, Остроумовым. Для радиуса фронта ударной волны r2(t) в одномерном случае имеем зависимость
Для силы F, действующей на границу полупространства, для сферически-симметричного течения имеем при любом у
Подставив в эту формулу
получим
F = ^ T h ^ T ^ h - (5-8)
В (5.8) введены обозначения
s IP2 r
Предположим теперь, что суммарные силы, действующие на верхнее и нижнее полупространства, приближенно равны силам, вычисленным для соответствующих сферически-симметричных течений [7]. Тогда из этой гипотезы о постоянном равенстве сил F_, F+, действующих на обе среды, получаем соотношение
1=(ЙГё&Ш''- <5-9> Пусть, например, у_=7 , р х _=1, у+=4, р 1 + =2,65 , тогда, используя результаты главы 2, получим К_=1/5, ЛГ+=0,195, а_=0,0279, а +=0,0766, JS2. — энергия для верхнего полупространства, Е®_ — энергия для нижнего полупространства (заметим,, что выбранные параметры приближенно соответствуют воде и кварцу). Для этих сред находим JE '^=1,24Ë^, Е1~0,55Е0, Е0=Е1-\-Е^ т. е. энергия распределена примерно поровну между полупространствами. Оценка распределения энергии между такими средами, как вода и воздух, показывает, что основная часть энергии Е0
уходит в воздух, что соответствует физической картине явления. Заметим далее, что в плоском случае ( v = l ) формула типа (5.9) является точной. Вычисления показали, что величина К меняется слабо с ростом у. Для значений v=3 , 3 ^ у ^ 7 величина К близка к 0,2.
Приближенные решения задачи о сильном сферическом и цилиндрическом взрывах при других предположениях и в некоторых специальных случаях рассмотрены Ю. П. Райзером [8] и Б. Н. Румянцевым [9, 10], а также Л. В. Шуршаловым [11]. Близкие к этим задачам вопросы удара и входа тел в несжимаемое и сжимаемое полупространства рассмотрена
171
в работах Л. И. Седова [12], Л. А. Галина [13], H. Н. Моисеева [14] г
А. Я. Сагомоняна [15], их учеников и других авторов. Взрыв на поверхности раздела вода—воздух экспериментально изучался А. А. Дерибасом [16] и В. Ф. Мининым [17]. Расчет сильного взрыва на поверхности мягкого грунта выполнен в работе С. С. Григоряна и M. М, Мартиросяна [18].
2.2. Об определении параметров течения при взрыве на плоской поверхности раздела между газом и твердой или жидкой средой. Предположим, что верхнее полупространство занято газом, а нижнее — некоторой другой средой. Рассмотрим сначала идеализированный случай, когда нижнее полупространство занято абсолютно твердым телом. Для определения, например, с помощью таблиц [19, 20] параметров течения при взрыве заряда на границе газа с абсолютно твердой плоскостью следует всюду вместо величины Е0 взять величину г12Е0.
Аналогично решается задача о сферическом взрыве в вершине абсолютно твердого конуса с телесным углом раствора ср. Здесь лишь нужно учесть, что энергия идет не на телесный угол 4 тс, а на угол 4 тс—ср. Можно рассмотреть также и случай взрыва в конической полости в абсолютно твердом теле. Для цилиндрического заряда следует брать соответствующие клиновидные области.
Пусть теперь нижнее полупространство занято деформируемой средой, но течение имеет такой характер, что процессы, происходящие в нижнем полупространстве, весьма слабо влияют на течение газа в верхнем полупространстве. Кроме того, предположим, что известно время прихода ударной волны в некоторую фиксированную точку верхнего полупространства (например, это время измерено в эксперименте). За такую точку удобно принять какую-либо точку, расположенную на прямой^ перпендикулярной плоскости раздела и проходящей через центр взрыва в цилиндрическом и сферическом случаях.
Тогда можно приближенно рассчитать те части полной энергии взрыва Е0, которые пошли в верхнее и нижнее полупространства, и найти параметры течения газа в верхнем полупространстве. Действительно, по координате фиксированной точки и времени прихода ударной волны tM, имея в виду формулы r^=R2r°, t^= it0 и используя из таблиц зависимость i? 2 от можно определить энергию Е% которая выделилась в верхнее полупространство. Очевидно, что оставшаяся часть энергии EQ_ пойдет в нижнее полупространство, ибо
Е1 + Е»_ = Е0. (5.10)
Зная энергию Е%, по таблицам можно получить все интересующие газодинамические параметры и приближенно описать процесс взрыва в верхнем полупространстве.
Заметим, что аналогичный, но чисто экспериментальный подход к нахождению распределения энергии между двумя полупространствами рассматривался в работе [21].
2.3. Плоский взрыв на границе раздела двух одинаковых газов, имеющих равные начальные давления, но различные начальные плотности. Обсудим вопрос об использовании результатов расчета точечного взрыва
172
для решения задачи об определении газодинамических параметров при плоском взрыве на границе раздела газов с начальными цараметрами у,
A » Pi+ и T. A » Pi--Допустим, что лагранжева координата контактной поверхности есть
71*=0. - Из условия равенства давлений на этой поверхности имеем
Л (0, т) = Р 2 (0 ,т ) , - (5.11)
где Pj_ и Р2 — безразмерные давления (Р=р/р1) в первом и втором полупространствах соответственно. Возьмем теперь в качестве функций Р±
и Р2 зависимости, полученные для однородной среды. Тогда равенство (5.11) будет удовлетворяться, если т 1 == т2 для любых £. Отсюда с учетом формулы z=t/t° получим связь между долей энергии Е%, которая ушла в первое полупространство, и долей Е®_, выделившейся во второе полупространство, а именно
# o = ^ j / " £ l = . (5.12)
При этом, естественно, имеет место формула (5.10). Таким образом, если на границе раздела одинаковых газов произо
шел плоский взрыв с энергией EQ, то определение физических характеристик течения в обоих полупространствах можно выполнить по таблицам [13] с учетом соотношений (5.10)—(5.12). Заметим, что в случае плоского взрыва на границе раздела при произвольных рх, р± и разных у задача может быть решена численно с помощью обобщения метода, изложенного в § 3 предыдущей главы,
§ 3. Приближенные способы определения параметров ударных волн
при взрыве в слоисто-неоднородной атмосфере
3.1 Формулировка задачи и выводы, вытекающие из анализа размерности. Представляет большой интерес исследование ЗТВ в покоящемся газе, начальное распределение плотности которого носит слоистый характер. Такой характер распределения плотности имеет место в атмосфере Земли и других планет, причем плотность воздуха убывает с высотой. Изменение плотности с высотой влияет на движение газа за фронтом ударной волны и усложняет картину течения. Температура и давление в атмосфере Земли также меняются с высотой.
Предположим, что начальная плотность и давление газа меняются по закону
p = P o Q 1 ( i ) , ^ ( O ^ l , p = p 0 Q s ( j ) , 2 а ( 0 ) = 1, (5.13)
где z — координата, вдоль которой меняются плотность и давление, р0 — плотность при z = 0 , р0 — давление при 2 = 0 , H — постоянная с размерностью длины. Для сферического точечного взрыва движение газа будет двумерным, обладающим осевой симметрией. Решение этой ЗТВ возможно лишь численно и сопряжено со значительными математическими трудностями. Для случая неоднородной атмосферы примеры численного решения были даны в работах К. И. Бабенко, В. В. Русанова,
A. M. Молчанова [22—24]. Расчет сильной стадии взрыва рассмотрен в работе [25]. В дальнейшем мы дадим некоторые подходы к решению этой задачи.
Для цилиндрического взрыва движение будет двумерным нестационарным, если линия взрыва параллельна оси z или перпендикулярна ей. При других конфигурациях движение будет трехмерным и основные функции зависят от xù и t. В плоском случае движение будет одномерным, если плоскость взрыва перпендикулярна оси z. При других конфигурациях течение будет двумерным или трехмерным.
Рассмотрим случай сферического взрыва. Система уравнений газовой динамики для осевой Симметрии в сферических координатах приведена в главе 1 (см. (1.17)). Условия на ударной волне могут быть записаны так:
P l ö = Р2 (D — VÙ = т> V2m = Р2 — Pv
s 2 _ e 1 = ! ( p 2 + P l ) ( l - l ) . (5.14)
Если обозначить через r2=r2(t, 6 ) закон изменения фронта ударной волны, то в соответствии с определением скорости D (см. гл. 1, § 2) по (1.45) имеем
D ~ ö t
В этой задаче неизвестны величины vr, У 9 , р, р, они зависят от г, в, t* Для случая совершенного газа определяющими параметрами задачи являются
ту 0, г, Е0, р0, Ро? В, у, (5.16)
где г — длина радиус-вектора, 9 — угол, отсчитываемый от оси z. Из параметров (5.16) можно образовать следующие безразмерные комбинации:
Я = - £ . 6, r = -i-, А = £ , т, (5.17)
где г°=(Е0/р0У''3 — локальная динамическая длина, t°—r°(p0/poy^ — локальное динамическое время. На основании тг-теоремы заключаем, что искомые безразмерные величины, например давление р/р0, будет зависеть от указанных в (5.17) безразмерных комбинацией [26, 27]:
j - 0 = P(R, т> б, /г, у). (5.18)
Из (5.18) следует, что расчет, сделанный для одной энергии Е0 и фиксированных r°, t°, h, у, нельзя использовать для других высот взрыва, если не изменить Н, р0, р0 так, чтобы величина h оставалась постоянной. Если менять энергию взрыва при фиксированных р0 и р0, то для того, чтобы воспользоваться расчетом, сделанным для некоторого фиксированного Е0, мы должны изменить параметр H так, чтобы величина h не изменилась. Из приведенных рассуждений следует, что решение задач о взрыве в неоднородной среде сильно усложняется, так как необходимо проводить вычисления для серии параметров у и А, причем каждое решение двумерно. Решение задач еще более усложняется, если среда
174
не является совершенным газом с постоянными теплоемкостями (например, воздух при учете диссоциации и ионизации).
Если иметь в виду численное решение задачи, то ясно, что даже расчет одного варианта задачи — достаточно трудоемкое дело [23—25]. Потому возникает необходимость отыскания различных приближенных методов решения задачи в целом и приближенных способов определения параметров взрывных волн. Этими способами могут быть: способ линеаризации, способ аппроксимации величин на фронте волны и способ использования точных решений и уравнений гидродинамики с приближенным удовлетворением условий на ударной волне (здесь можно воспользоваться решением Л. В. Овсянникова [28]). Для этой задачи мы рассмотрим подробно лишь второй способ.
Заметим еще, что, как было указано Л. И. Седовым, в случае сильного взрыва сферически-симметричного точечного заряда 0 ^ = 0 ) задача будет автомодельна, если для распределения начальной плотности имеет место формула
где х зависит только от полярного угла 6, А0 — постоянная с размерностью [A0]=ML3~W. Автомодельные решения могут быть и в случаях цилиндрического и плоского взрывов для двумерных задач с переменной начальной плотностью.
3.2. Определение формы и параметров фронта ударной волны при взрыве в точке. Пусть Pi=p 0e~* / f i и рассматривается случай взрыва сферического точечного заряда. Для сильного взрыва приближенные методы учета переменности плотности предложены в ряде работ (см. [29—35]). Для достаточно слабых ударных волн были развиты асимптотические методы нелинейной геометрической акустики [36—39] и получены асимптотические законы затухания ударных волн, более общие, чем те, которые были рассмотрены в § 2 главы 4.
Практический интерес представляет изучение вопроса о развитии взрыва от его сильной начальной стадии до стадии, близкой к вырождению в звуковые волны. Отметим, что в работе К. Е. Губкина [37] дан один из приближенных способов определения давления на больших расстояниях при взрыве в неоднородной атмосфере, основанный на использовании асимптотических законов затухания ударных волн и опытных данных. Ниже будут даны [26, 27] приближенные способы определения параметров взрывных волн, основанные на результатах решения уравнений и задач газовой динамики для сильных и слабых ударных волн.
Прежде всего заметим, что если задать для фиксированной среды одну из величин р 2, р 2 , v21 D как функцию г2, 6, то все остальные из этих величин найдутся из соотношений (5.15). Пусть нас интересует вопрос об определении формы волны и закон ее изменения с течением времени. Введем безразмерную величину W^D/a^ где аг — скорость звука в покоящейся среде. Переходя в (5.16) к безразмерным переменным, находим
(5.19)
175
Если из теоретических соображений (или из эксперимента) известна зависимость W(l, 6), то соотношение (5.19) можно рассматривать как уравнение для определения Z (T , 6).
Уравнение (5.19) является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Если в некоторый момент t = t 0 ( т=т 0 ) задана зависимость
Z = Z 0(9),
то, решая задачу Коши для уравнения (5.19), найдем закон изменения / = / ( т , 6 ) .
Рассмотрим вопрос о теоретическом определении параметров фронта волны по данным о сильной стадии взрывной волны и асимптотическим законам затухания волн на больших расстояниях, следуя в основном работам [26, 27], выполненным автором совместно с В. П. Карликовым.
Будем считать взрыв точечным, а газ — совершенным с у=1,4. В этом случае из (5.15) можно найти v2(q), p2(q)> где g=a*AD2. Эти зависимости даются формулами (1.63). Пусть
1 = 2 , = e x p ( - i ) f (5.20)
т. е. рассматривается случай изотермической атмосферы. Для малых значений z/H имеем
g i = l _ J L c o s 6. (5.21)
Для сильной ударной волны ЗТВ с учетом изменения плотности по (5.13), (5.21) решена В. П. Карликовым методом линеаризации (см. [29, 30]). В соответствии с результатами этих работ закон изменения ударной волны дается формулой
I = a - V / . (1 + xorV / . ) , х = cos ô, а = 0,851, т = 1,4, (5. 22)
Для скорости частиц газа за фронтом v2(r2, 6) при малых х имеет место зависимость
у 2 * = T У т г>" <4 + Ы ) ( 1 + х/)'/*- ( 5 ' 2 3 )
Вместо (5.23) в том же приближении (при малых х) можно написать
Из предыдущего следует, что формулы (5.23), (5.24) дают зависимость у 2 ( г 2 ?
е) Д л я небольших значений г при взрыве в атмосфере с законом изменения плотности, соответствующим формуле (5.20).
Как следует из результатов работы [38], для больших расстояний от места взрыва верна асимптотическая формула
[ Г2 \ -7 2
: 3 e w / / р fr cos 0\ dr \ cos ö / R о с ; ч
Р 0 а 1 г 2
где С± и г* — некоторые постоянные, зависящие от формы волны. Обобщая метод, рассмотренный в главе 4, предположим, что для приближен
но
ного определения зависимости v2(r2, 0) вплоть до значительных расстояний можно использовать следующую аппроксимацию. Считаем, что до некоторого г#(9) верна формула (5. 24) (или (5. 23) при А>1) , а при г > г #
имеет место формула (5. 25). Величины Сг, г4 и будем подбирать из условий сопряжения формул (5. 24) и (5. 25). В главе 4 было показано, что аналогичная аппроксимация в одномерном случае дает хорошие результаты. Так как достаточно точные численные или аналитические решения задачи с учетом противодавления для изотермической атмосферы нам пока неизвестны, то не удалось установить точность предложенной аппроксимации путем соответствующих сравнений. Заметим, что для малых m из (5. 25) имеем
1+ml у2го
что указывает на близость качественного поведения функций (5. 24) и (5. 25) при малых ml. Это также подтверждает возможность грубой аппроксимации u2(r2, Ö) соотношениями (5.24), (5.25).
В безразмерных переменных равенства (5. 24), (5. 25) примут вид
7 , = « 1 - * ( 1 + З Д ( 7 = Ь), (5.26)
VM = ^4-4-^ ( « = ^ ) , (5-27)
I
1 = \е™^ = Е.(т1) — Е.(т1*), (5.28) i*
где Et(x) — интегральная показательная функция, Z*=r*/r°. Величину /До) можно выбрать из условия близости q к единице (0,5<С#<3). Будем считать, что переход к асимптотическим формулам осуществляется при g=q^ Так как F=2( l— g)/(y+l) \Az> т ° п о известному q легко находится V и затем по формуле (5. 26) определяется /*(0).
По аналогии с одномерным случаем (гл. 4) величины о и Г будем искать из условия сопряжения функций F, определенных формулами (5. 26), (5. 27), и их производных по I при 1=1¥. Для определения I* и а находим формулы
а = / ^ ' < / » ( 1 + { , г ( ) , (5.29)
где 1^=Е((т1¥)—Е((тГ). Укажем также связь между W и V:
W = l±lv + Y&^llîV* + i . (5.30)
Для указанной аппроксимации функции V(l, 0), а следовательно, и W(l, 0) был проведен расчет параметров и формы взрывных волн в изотермической атмосфере.
12 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 177
Величины давления и плотности находились по условиям на ударной волне через известную из аппроксимации функцию V(l, 9). Изменение-формы ударной волны определялось по уравнению (5. 19) путем численного решения задачи Коши методом характеристик. Начальные данные для Z задавались по соотношению (5. 22) при т 0 =0,004. Отдельные расчеты до небольших т проводились и при аппроксимации V формулой (5. 23). Причем для / г>1 и Z<2 рассчитанные формы ударных волн мало отличаются друг от друга при использовании аппроксимации (5. 23) или (5. 24). Это указывает на своеобразную корректность этих аппроксимаций.
По описанному методу расчеты проводились для различных значений h—H/r0 (h=0,5; 1; 5; 8). Как пример укажем, что для земной атмосферы ( Я=8 км), когда А = 1 , р=0,1 атм (давление на высоте около 16 км)у
энергия взрыва Е0-^5-1022 эрг. Расчеты показали, что переменность плотности существенна лишь для значений параметра / г<10 . Результаты расчетов для h=8, h=l отражены на рис. 67—69, где представлены графики F(Z, 9), p2/p0(Z, 6), Pa/p^Z, 0), р2/р0{1, Ь),р21рг(1, 9) и форма ударной волны. На рис. 69 дана форма ударной волны для различных т при h=l (при А = 8 форма волны близка к сфере). Штриховой линией также отмечены окружности с радиусом, равным расстоянию от центра до точки пересечения с ударной волной траектории элемента волны (луча) при начальном угле 9 0=тс/2. Для значения т = 5 здесь (штрих-пунктирнан линия) приведена форма волны при /г=0,5. По графикам можно проследить за отличием формы волны от сферы.
На рис. 68, г также отмечена кружками зависимость р2/р0 от I по̂ линеаризированной теории с учетом переменности плотности и постоянного противодавления. В методе линеаризации формулы для р2/р0 и Z (T , 9) можно получить, используя принцип суперпозиции линейных поправок (см. гл. 3). Они имеют вид
Из исследования задачи и приведенных результатов следуют выводы. 1. Для h<Ji форма ударной волны отличается от сферы и имеет «яйце
образный» вид: несколько вытянута сверху (9=0) и сплюснута снизу (0= тс). Это объясняется эффектами убывания плотности с ростом z. При h^>5 изменение формы ударной волны несущественно. Этот вывод согласуется с данными полного расчета взрыва для начальных параметров, соответствующих стандартной атмосфере [23, 24].
2. Относительное давление р/рг довольно слабо зависит от 9, тогда как безразмерное давление р/р0 сильно меняется при изменении полярного угла 9. Отсюда следует правило приближенного определения давления р2, которое можно использовать для практики: чтобы определить давление в слоистой атмосфере, нужно воспользоваться кривой Р{1)~ —pJPiil) Д л я одномерного случая и затем, приняв ее за график р21ръ
(5. 31)
= const = 1,92 (т = 1,4).
178
плотности pt среды; г — относительное давление; д. — отношение давления
. г j I за ударной волной р2 к местному зна-Q j 2 Л чению давления p t
в случае переменной плотности и давления, найти искомое давление по формуле p2
=P(ï)Pi(rf 9). Это правило не противоречит выводам, вытекающим из анализа системы уравнений газовой динамики (1. 17).
Аналогично могут быть изучены случаи цилиндрического и плоского взрывов*. Причем если среда слабо неоднородна (например, расстояние Н, на котором существенно меняется плотность среды, существенно меньше характерной динамической длины г°), то для приближенного расчета
* П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Приближенные методы определения параметров сферических и цилиндрических ударных волн развивались в недавно опубликованных работах: X. С. Кестенбойм, Г, Г. Росляков. Численное решение одномерных задач о взрыве. Изд-во МГУ, 1971; В. А. Бронштэн. Ж. прикл. мех. техн. физ., № 3 , 1972.
12* 17^
20\ II Рис. 68 . Изменение парамет
ров взрывной волны для трех значений 6 (/&=1)
Обозначения те же, что и на рис. 67. Кружками отмечена зависимость Рг/Ро от I, вычисленная по линеаризированной теории. Точками отмечены величины I, начиная с которых использовались асимптотические формулы затухания слабых ударных волн
8^90°
Р и с 69. Форма ударной волны Z (6) в изотермической атмосфере для некоторых значений времени т, равных 0,5—5 (случай Л=1; 0,5)
Для сравнения здесь проведены окружности, соответствующие одномерному распространению волны
8^180
параметров ударных волн можно воспользоваться гипотезой локально одномерных течений (аналог известной гипотезы «плоских сечений»), пренебрегая локальным изменением формы волны вдоль оси или плоскости взрыва.
§ 4. Несимметричное выделение энергии
В главе 2 было отмечено, что при изучении воздействия лазерного луча на среду мы сталкиваемся с вопросами взрыва, когда энергия выделяется вдоль некоторой прямой, причем удельная энергия Е0 переменна EQ=E0(S), если s есть координата вдоль линии взрыва. Если распределение E0(s) таково, что dEJds мало, то, воспользовавшись гипотезой плоских сечений, можно рассчитать течение газа по локально-одномерной теории. Явную поправку к решению можно было бы найти методом линеаризации, если Е0=E$+iif(s), где /л — малый параметр. Аналогичное замечание верно и для плоского взрыва, если вдоль плоскости удельная энергия Е0 меняется, Е0=Е0(х2, XS) (плоскость взрыва перпендикулярна оси х1). Классическим примером несимметричного выделения служит взрыв полубесконечной прямой или взрыв полубесконечной плоскости. Для совершенного газа при р±=0 соответствующие задачи автомодельны. Постановка задачи о полубесконечной прямой дана Л. И. Седовым [40], один из возможных методов ее решения рассмотрен в работе [41]. Другим случаем несимметричного выделения энергии служит случай взрыва вдоль некоторой кривой или вдоль некоторой гладкой поверхности. Рассмотрим случай взрыва вдоль некоторой кривой. Пусть кривизна кривой мала, удельная энергия Е0 постоянна, тогда для расстояний г « Д , где R — радиус кривизны линии взрыва, можно применять (приближенно) теорию взрыва вдоль прямой. Возможны также комбинированные варианты рассмотренных несимметричных случаев. Так, полубесконечная прямая может иметь переменную удельную энергию E0(s). Эти случаи реализуются на практике (лазерный луч, космические тела в атмосфере Земли, например взрыв Тунгусского космического тела)*.
Для линейных уравнений типа теплопроводности или волнового упомянутые задачи можно решить, используя принцип суперпозиции элементарных решений, рассмотренных в главе 1. Для нелинейного случая точное решение этих задач нам неизвестно.
* П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Численное решение задачи о взрыве полубесконечного заряда дано в статье: V. P . Korobeinikov, P . I. Chushkin,
L . У . Shurshalov. Astronautica Acta, 17, № 6, 1972.
Г Л А В А 6
ВЗРЫВ В ГОРЮЧЕЙ СМЕСИ ГАЗОВ
§ 1. Постановка задачи
Настоящая глава посвящена рассмотрению основной задачи для покоящегося газа, в котором возможны экзотермические химические реакции. Вследствие взрыва по газу начнет распространяться сильная ударная волна, которая нагреет его до состояния, при котором возможны реакции горения. Такие задачи возникают при возбуждении детонации в горючих смесях газов и термоядерной детонации, и их изучение имеет как теоретический, так и практический интерес. Широкое исследование этих новых задач началось в последние годы в работах автора, Р. И. Солоухина, Г. Г. Черного, В. А. Левина, Дж. Ли, А. Оппенгейма, Е. Бишимова.
Движение газа будем считать одномерным. Рассмотрим общую картину течения среды. Из физических соображений следует, что в первые моменты после взрыва газ будет двигаться по законам обычного точечного взрыва [1,2], ибо вклад энергии горения в общий баланс энергии будет еще невелик. Можно сделать оценку тех расстояний, до которых целесообразно не учитывать влияние энергии детонации на движение среды. Пусть Q — теплотворная способность единицы массы горючей смеси. Рассмотрим для примера случай постоянной начальной плотности рА и постоянной энергии Q. Если считать ширину зоны горения пренебрежимо малой по сравнению с радиусом волщл г2, то энергия, выделившаяся при сгорании газа, будет иметь величину
U = v e . P i ^ ' ° , = 2 (v - 1) * + (v - 2) (v _ 3).
Предполагая, что E0^>U, находим условие слабого влияния энергии детонации на течение:
Условие (6. 1) будет выполняться и в случае учета ширины зоны реакции или неполного сгорания горючей смеси, ибо в этих случаях энергия горения будет меньше U.
Если заряд имеет конечный радиус г0, то при применении обычной ТТВ к описанию движения следует пользоваться оценкой
r0<r<rf. (6.2)
182
Условия (6.1) и (6.2)' сильно ограничивают сферу применимости законов точечного взрыва в инертном газе к течениям детонирующей •среды. Однако если энергия Е0 велика и выделяется в малом объеме, то при r 2Ov течение будет происходить в основном, как при обычном точечном взрыве. С другой стороны, для моментов времени, когда E0<CU, главную роль будут играть процессы горения и течение газа будет иметь основные черты детонационного горения [1,3].
При значениях г2, близких к г #, течение газа будет принимать более сложный промежуточный характер.
Отличительные черты рассматриваемого течения заключаются в том, что к фронту ударной волны будет примыкать зона, где протекают химические реакции, а в окрестности центра взрыва будет иметься некоторая область, в которой (как и при обычном взрыве) частицы газа будут обладать высокой энтропией.
С математической точки зрения решение рассматриваемой задачи «сводится к интегрированию системы уравнений газовой динамики и химической кинетики с учетом граничных условий на поверхностях сильного разрыва и в окрестности центра взрыва. Кроме того, следует учесть, что в начальный момент £=0 в центре симметрии выделяется конечная энергия Е0 и заданы начальные значения скорости, плотности, давления и другие параметры среды. Для полного описания движения газа следует учесть кинетику всех основных химических реакций горения, а также процессы ионизации и диссоциации в зонах высоких температур.
При учете кинетики химических реакций решение сформулированной выше задачи представляет значительные математические трудности даже в случае пренебрежения эффектами вязкости и теплопроводности. Уравнения газовой динамики будут содержать, кроме величины (?, еще ряд дополнительных параметров (энергия активации, коэффициенты в выражениях для скоростей реакций и др.). Наличие значительного числа постоянных параметров и больших градиентов функций в зоне химических реакций сильно затрудняет аналитическое и численное решение задач. В ряде случаев возможны достаточно простые подходы к исследованию рассматриваемой задачи. Можно ввести следующие модели течения газа.
1. Модель детонационной волны, когда предполагается, что вещество сгорает в непосредственной окрестности фронта ударной волны и ударная волна вместе с зоной химических реакций за ней считается за одну поверхность сильного разрыва.
2. Простая модель с кинетикой, т. е. модель течения газа с химическими реакциями, когда процесс протекания реакции описывается одной переменной величиной — массовой концентрацией несгоревшего вещества [3, 8] .
3. Модель течения с двумя фронтами, когда по невозмущенному газу распространяется ударная волна, за которой на некотором расстоянии имеется волна горения, где происходит полное тепловыделение, т. е. вводится зона индукции или зона задержки воспламенения (см., например, Н - 7 , 9 ] ) .
183
4. Модель включения химической реакции с выделением тепла в потоке за фронтом ударной волны после прохождения периода индукции. Процесс протекания реакции также описывается одной переменной величиной — массовой концентрацией несгоревшего вещества, причем здесь может быть учтена и обратная реакция «рекомбинации».
5. Полный учет основных химических реакций за фронтом ударной волны.
Проведенные нами исследования касались в основном лишь моделей 1—-4.
В случае модели детонационной волны рассматриваемая задача была подробно исследована для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Здесь следует отметить, что решение задачи для этой модели в некоторых специальных случаях было дано впервые И. С. Шикиным [10]. Параметры фронта сильной детонационной волны приближенно определялись в работе В. А. Левина [11]. В этой работе было также сформулировано условие, аналогичное (6. 1).
§ 2. Решение задачи для модели детонационной волны
В силу отмеченных особенностей течения в начальной стадии взрыва детонация не будет следовать правилу Чепмена—Жуге (Ч—Ж). Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее для случая совершенного газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей. Обозначим через D скорость ударной волны, v2 — скорость газа за ее фронтом, а2 — соответствующая скорость звука. Тогда из условий на ударной волне для сильного взрыва имеем
^ 2 + «2 = ^ ( 2 + ^ 1 ( 1 - 1 ) ) -
Из этого выражения следует, что при f > 1 имеем v2-\-a2 ^>D, т. е. в начальной стадии процесса будет иметь место случай пересжатой детонации. Для волны Ч—Ж, как известно, u2-\-a2^D. При распространении ударной волны (в детонирующем газе) величина и2+а2 убывает, и здесь возможен выход на режим детонации Ч—Ж. При взрыве в химическом инертном газе условие типа Ч—Ж фактически выполняется лишь асимптотически: при t -> оо, v2 -> 0, а2 'ах, D -> аг.
Рассмотрим математическую постановку задачи для модели детонационной волны. Исходную систему уравнений газовой динамики для одномерных адиабатических движений газа возьмем в виде (1. 18)—(1. 20). Для решения ЗТВ в покоящейся детонирующей среде требуется найти решение системы (1. 18)—(1. 20) с граничными условиями на фронте ударной волны, т. е. при г=г2 (см. § 2, гл. 1):
?2(D — v2) = p1D9 Р2 = Pi + PiDv2, (6.3)
Кроме того, имеем граничное условие в центре симметрии
v (0, t) = 0. (6. 4)
184
В момент времени £=0 в центре симметрии выделяется конечная энергия Е0, и заданы условия
v (г, 0) = 0, р (г, 0) = р1 = const, р (г, 0) = рг (г)
( г > 0 ) , г 8 ( 0 ) = 0 . (6.5)
Рассмотрим решение этой задачи для случая совершенного газа и предположим, что начальная плотность переменна: рг=Аг~ш. Система определяющих параметров задачи содержит постоянные Q, А, ръ 2?0, си, у, v, и, кроме того, решение будет зависеть от координаты г и времени t. Для простоты будем считать детонационную волну сильной и пренебрегать начальным давлением газа рг. Введем эффективное давление детонации по формуле
г Д е Рю — постоянная с размерностью плотности, которую можно записать так: р10=А (г°)"ш, r°={EJp^lh. Величину рщ можно записать в более явном виде:
Р.=(^Г^->. . Параметр р¥ можно включить в систему определяющих параметров вместо Q.
Простейшие соображения теории размерности позволяют убедиться в том, что для рассматриваемой задачи в случае сильной детонационной волны имеет место закон подобия, аналогичный закону подобия при обычном взрыве (см. § 6, гл. 4). Роль начального давления газа здесь будет играть величина р^.
Из системы определяющих параметров задачи следует, что если ввести безразмерные функции
'-=*• s=t <6'6> то они будут зависеть от некоторых постоянных параметров и двух безразмерных переменных, за которые примем
< 6 - 7 >
Введем также безразмерный радиус ударной волны R2 (q)=r2/r0. Преобразовав уравнение (1. 20) исходной системы с учетом условия адиабатичности течения и переходя к безразмерным переменным (6. 6), (6. 7), получим систему
W + lh Ж - "* - * (т - 1 <v - 1 > f) = °' (6.8>
18S
Из (6. 3), полагая рг=0, находим
( / 2 - l ) i f 2 = - i , Ä8 = T/8, y + ^ T ^ I ^ + T ^ - l ) 2 - (6-9)
Заметим, что при q=0 рассматриваемая задача переходит в автомодельную задачу о сильном взрыве (см. гл. 2). При Е0=0 получаем автомодельную задачу о распространении детонационной волны [1, 3] , которую также целесообразно относить к классу ЗТВ. При полном решении задачи мы должны проследить за переходом от одного автомодельного режима течения (сильный точечный взрыв в инертном газе) к другому автомодельному режиму (детонационная волна или точечный взрыв в детонирующем газе при пренебрежимо малой энергии взрыва). Заметим также, что если в уравнении энергии условий (6 .3) и (6. 9) поставить перед Q знак «минус» (предполагая Q > 0), то будем иметь ЗТВ с поглощением энергии на фронте волны (например, при испарении). Здесь будет иметь место дополнительное затухание волны. Развитые ниже методы решения будут применимы и в этом случае. Задачу о взрыве с учетом влияния энергии детонации можно решать, применяя численные методы.
Для начальной стадии взрыва, когда
( - £ ^ ) > l , q < q J t г 2 < г „
можно предложить более простой путь, основанный на линеаризации исходных уравнений около автомодельного решения для сильного взрыва. Здесь через q^ обозначено значение q для волны Ч—Ж. Решение линеаризированной задачи в принятых переменных может быть построено по аналогии со случаем учета противодавления, рассмотренным в главе 3. Искомые функции представляем в виде
/ ( X , ç ) = / 0 ( X ) + g / 1 (X)+O (g8) >
Ä (X, g) = Ä0 (I) + qh, (I) + О {q% (6- Щ i ? 3 dq fv — CD
Т а Щ ~ l + A i q + 0(q2)>
где через О (q2) обозначены члены порядка q2 при малых q. Решение (6. 10) следует подставить в систему уравнений (6. 8). Тогда, пренебрегая членами порядка q2 и выше, для линейных добавок / ь gx, hx получим систему линейных обыкновенных уравнений, коэффициенты этой системы будут зависеть от автомодельного решения / 0 , g0, h0. Из этой системы следует определить функции / х , gx, hx. Кроме того, нужно найти постоянную Аг, определяющую неавтомодельную поправку к закону движения ударной волны.
Из условий (6. 4), (6. 9) находим граничные значения для функций / х ,
8ъ К'-
/ i ( i ) = - ( ï - i ) . М 1 ) = - т ( т - 1 ) .
8i(i) = -ljj=T1> / х ( 0 ) = 0 . (6.11)
Пусть теперь и*=0. Остановимся на этом случае более подробно, следуя § 3 главы 3, где рассматривалась линеаризированная задача с учетом
186
противодавления. Легко видеть, что в силу введенных безразмерных переменных система линейных уравнений для Д, g±, hx совпадает с соответствующей системой в § 5 главы 3. Эту систему следует решать с учетом граничных условий (6. И). В случае произвольных v i y задача может быть решена с помощью численного интегрирования. По методике, разработанной в главе 3, проведен расчет для ряда значений у при v = l , 2, 3.
В табл. 6 приведены полученные значения постоянной Ах.
Т а б л и ц а 6
Значения постоянной Ах
Т у
8/7 1,2 1,3 1,4 5/3 2 3
1 2 3
0,5091 0,4695 0,4551
0,7246 0,6694 0,6489
1,121 1,037 1,005
1,545 1,428 1,383
2,811 2,592 2,502
4,685 4,296 4,132
12,28 11,10 10,59
На рис. 70 построены (при v = 3) кривые p/Qp% для случая у = 1,2, ^=0,15, 6=1 и кривые p/Qpx для случая у=3, д=0,04, 0=5, причем штриховые линии соответствуют взрыву без учета детонации (h—h0).
Рис. 70. Распределение относительных давлений по пространству для двух значений у Штриховые линии соответствуют случаю д = 0 , 1
-/
- ...ix.fi „.. ,.,,'!. Î ., . . . , , „ Л - , . 1
•M" r / r z
Приведем также формулы, дающие в параметрическом виде закон движения ударной волны Д 2 (т) (см. (3. 77)):
-qexp(At q), 8 = 7 + 2 , R 20 ' v5 + 2 -AlQ (6.12)
t
На рис. 71, a даны зависимости R2 (т) для разных v при у=1,4 . Заметим, что в случае v=3, Y=7 линеаризированная задача имеет точное аналитическое решение по аналогии с тем, как это имеет место при учете противодавления (здесь ^ = 6 0 ) . Аналогично можно исследовать линеаризированную задачу и для случая переменной начальной плотности <о^О.
187
о otos а/о о as 1,0 г г
Рис. 71 . Зависимость закона движения пересжатой детонационной волны от времени
а — по линеаризированному решению (кружками отмечены результаты численного решения нелинейной задачи); б — по численному решению (в случаях v=2, 3 конечные точки кривых соответствуют переходу на режим Чепмена—Жуге)
Так как пределы применимости линейного решения ограничены малыми значениями g, то для расчета задачи при больших q (и соответственно больших моментах времени t), когда осуществляется переход волны к режиму Ч—Ж, следует применить численные методы. С этой целью можно воспользоваться методом расчета задач о взрыве, разработанном в § 3 главы 4 [12]. При использовании этого метода расчетная схема меняется лишь в местах, соответствующих расчету параметров фронта ударной волны. Начальные данные можно задавать при некотором значении т или q <Cqj, используя результаты решения линеаризированной задачи, рассмотренной выше. Таким путем было выполнено численное решение для случая постоянной начальной плотности. Расчеты проводились в основном до моментов времени, когда параметры ударной волны становятся близкими к параметрам волны Ч—Ж (q^/q—1 <С 0,01). При использовании метода расчета, развитого в главе 4 и основанного на схеме численного метода интегральных соотношений, область интегрирования между детонационной волной и центром взрыва разбивалась по пространству на четное число полос п. Расчеты были проведены для случаев п—2 и гг=4. Приведенные ниже результаты относятся к случаю п=4, т. е. искомые функции аппроксимировались полиномами четвертой степени (программирование задачи выполнено Е. Бишимовым).
В результате расчетов было найдено, что в случае взрыва в совершенном газе с постоянным значением у сферическая и цилиндрическая ударные волны достаточно быстро приближаются к параметрам волны Ч—Ж. В плоском случае приближение к режиму Ч—Ж осуществляется за гораздо большие промежутки времени (теоретически выход на режим Ч—Ж осуществляется за бесконечно большое время [13]). Используя результаты расчетов плоского взрыва, можно определить константы в асимптотических формулах затухания пересжатых детонационных волн, полученных Г. Г. Черным [13], и найти аналитические зависимости для параметров фронта детонационной волны при выходе ее на режим Ч—Ж. Так, при
188
7=1 ,4 для зависимости координаты сильной плоской детонационной волны ют времени имеем
ч = т0 + ^ ( 1 т0 = -0 ,0835 , Ä = l,64,
m = O,0741, t = EQpf!^S R2 = ^ r 2 . (6.13)
Сравнение значений т, найденных по этой формуле и при численном решении задачи, показывает, что она обладает хорошей точностью даже для достаточно малых значений R2 (R2 — 0,5).
На рис. 71, б показана зависимость R2 (т) для v=l, 2, 3 по численному решению.
В случае v=2, 3 кривые заканчиваются при значениях, близких к моментам выхода на режим Ч— Ж. Кривая R2 (т) для плоского случая может быть продолжена для больших моментов по формуле (6. 13).
Если обозначить через Rj расстояние до выхода сильной волны на режим Ч—Ж, то в сферическом и цилиндрическом случаях имеем формулу
В, = *$у, = (6.14)
где коэффициент х зависит от Y и v (при у=1,4 коэффициент х близок к единице).
Из формулы (6. 13) следует, что при проведении взрывов в горючей смеси с одинаковой невысокой начальной температурой и равных EQf
но разных давлениях величина Rj будет расти с уменьшением давления, а следовательно, и начальной плотности р 1 # Этот вывод качественно согласуется с экспериментальными результатами работы [14], где рассматривался вопрос о распространении взрывных волн в смесях водорода с кислородом. Заметим, что в формуле (6. 14) находит отражение упомянутый закон подобия.
fi/Pi
Рис. 72. Сравнение профилей давлений для волны Ч—Ж и слегка пересжатой ударной волны ( т — 1 )
На рис. 72 дано распределение относительного давления р/р2 по пространству для случая плоского взрыва в газе (у=1,4) при больших значениях т (т=0,65). Здесь же приведена кривая (штриховая линия), построенная на основании известного точного решения задачи о распространении сильной автомодельной плоской детонационной волны Ч—Ж (в предположении пренебрежения начальной энергией взрыва Е0). Здесь видно, что в окрестности фронта волны течение газа достаточно близко к режиму течения при детонации Ч—Ж.
189
Заметим, что расчет задачи для больших моментов времени в случае сферической и цилиндрической волны сильно усложняется ввиду наличия особенностей в условиях на фронте ударной* волны при подходе к точке Ч - Ж .
Решение рассмотренной задачи при учете противодавления выполнено Е. Бишимовым. Он изучил также случай переменного тепловыделения Q = Q (£0)» г Д е £о — начальная координата частицы газа [15, 16]. Приведенные результаты, а также данные исследований асимптотического поведения ударных волн [13, 18] позволяют сделать вывод, что для модели детонационной волны пересжатая волна в случае сферического и цилиндрического взрывов выходит на режим Ч—Ж на конечном расстоянии от центра взрыва, а для плоского взрыва лишь на значительных расстояниях приближается к волне Ч—Ж.
Таким образом, для взрывчатых смесей газов (или жидких и твердых ВВ в приближении совершенного газа), к которым применима модель 1, можно пренебречь на некоторых расстояниях энергией инициирования детонационных цилиндрических и сферических волн. Для плоских волн эти расстояния существенно больше.
В заключение этого раздела заметим, что полученные нами результаты опубликованы в работе [17] и докладе автора [18].
§ 3. О некоторых свойствах течения газа при учете кинетики химических реакций
Учет кинетики химических реакций в ряде случаев может сильно повлиять на картину течения газа при точечном взрыве [18—20].
1. Рассмотрим простейшую модель таких течений (модель 2). Будем пренебрегать влиянием вязкости и теплопроводности на течение газа и считать, что ход химической реакции можно описать с помощью одной химической переменной ß—массовой концентрацией непрореагировавших молекул. Тогда в единице массы горючей смеси заключена химическая энергия ß(?. В системе уравнений (1.18)—(1.20) изменится уравнение энергии [3], правую часть которого теперь следует приравнять не нулю, а величине ,
Для совершенного газа с постоянным у уравнение энергии можно преобразовать к виду [8]
^ - f g + ( ï - l ) p d - F = 0. , (6.15)
Уравнение химической кинетики возьмем в виде [8, 18, 19]
g = _ z ^ t f e x p ( - a - £ ) . (6-16> Здесь щ — энергия активации, fx — средний молекулярный вес, m — порядок реакции, п, I — постоянные, L — положительная постоянная величина, ß = l — в начале реакции, ß = 0 — в конце реакции.
Таким образом, полная система уравнений содержит уравнения (1. 18),. (1. 19) и уравнения (6. 15), (6. 16). Граничными условиями здесь служат обычные условия на ударной волне и условие (6.4).
190
В рассматриваемой задаче можно считать ß = l непосредственно за фронтом ударной волны. Из (6. 16) следует, что ß может лишь убывать в частице газа.
Запишем также интегральный закон сохранения энергии, который примет вид
Ео = a v + ер - Q (1 - ß) p) Г-Чг + ^ p A r J . (6.17) О
Это соотношение бывает весьма полезным при рассмотрении ряда вопросов. При ß=0, е 1 = 0 из (6. 17) получаем интегральный закон сохранения энергии в случае сильной детонационной волны (§2) .
Решение ЗТВ для введенной модели течения с химическими реакциями может быть получено в общем случае лишь приближенными или численными методами. Можно попытаться найти класс автомодельных решений уравнений газовой динамики и химической кинетики. Будем считать, что
5° = Вр«>9\ P l = Ar-*. (6.18)
Если пренебречь энергией Е0, т. е. рассмотреть задачу о распространении самоподдерживающейся за счет химической энергии сильной ударной волны, то система определяющих параметров задачи такова: Q, L, В, А, mi Z, тг, w, аъ а2, у, v.- Из соображений размерности легко показать, что при а ! = а 2 = 0 задача будет автомодельна, если выполнено условие 1-\-П = 1/(о.
Таким образом, мы получаем вывод, что для сильной ударной волны задача о распространении детонации будет обладать автомодельностью, если начальная плотность меняется по закону р 1=Лг~ 1 '^ + й^. Если Е0^0, то задача о взрыве в химически активном газе будет автомодельной лишь при условии, что Q зависит от параметров газа (или от параметров газа, координат и времени).
Так, если при условии (6.18) имеем зависимость Q=Q0p*lpai, то задача о сильном точечном взрыве автомодельна при выполнении условий 2(1 — а1)(8 — 1) + 8со(а1 + а2) = 0, 2 = 8(v + 2 — со),
§[3Z + 7z + (v — l)(Z + n ) ] _ 1— 21 = 0. (6.19)
Можно также указать классы автомодельных решений [19], если предполагать L, В, Q0 зависящими от некоторых степеней г и t. Для автомодельных движений рассматриваемая система уравнений газовой динамики и химической кинетики сводится в специальных (безразмерных) переменных к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений:
> d l ^ 1 + l ë d l ё ^ (1 + 1)1 и '
[2Lzl + . ( T - l ) ] A + ? ( X ) g { _ Ö g ) = a
= -°.2g [2 Ц1 pfrg- + <? (к) ^ (ßA*g-)].
<p (>.) g = -oJi'gT exp ( - о 1 П « н ^ 1 ) ,
(6. 20)
19t
где . < р ( Х ) = 2 / _ Х , f = JL, Ä = i e y = i , X = -L ,
-Л Т + 1 *>2 Р 2 5 Р2 Г2' u 2 i ?2 — значения скорости, плотности и давления за сильной ударной волной. Для автомодельного случая сильного взрыва зависимость r2 (t) имеет вид
2 + V -
Здесь а¥ — величина, зависящая от безразмерных параметров задачи, определяемая (как и в главе 2) по закону сохранения энергии:
1
Нужно найти решение системы (6. 20) с граничными условиями на ударной волне / (l)=g (i)=h (1) = 1 и учетом условия (6. 21) или условия в центре взрыва / (0)=0.
В отличие от обычных автомодельных задач газовой динамики [1] учет химических реакций сильно усложняет решение. Так, система автомодельных уравнений для рассмотренных случаев не имеет классического интеграла адиабатичности и не сводятся к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. В окрестности центра здесь могут возникнуть сложные особенности. Поэтому и для исследования автомодельных задач о распространении ударных волн в горючей смеси с учетом кинетики реакций необходимо применять приближенные и численные методы.
Для контроля точности вычислений можно использовать интегральный закон сохранения масс, который в принятых безразмерных переменных будет иметь вид
7 + 1 v — w •
о Если а2—0, то из условий автомодельности при (о=0 имеем ra=(v-|-2)/2v.
Другим интересным случаем будет случай, когда <o=v—-1. Как было отмечено в главе 3, этот случай соответствует точечному взрыву или распространению детонационной волны в потоке газа, происходящем в клиновидном (v=2) или коническом (v=3) сопле. В случае взрыва имеется связь <oa2=v—ш—va l f Примеры решений для самоподдерживающейся волны ( а * = 0 ) при со=1, аг=а2=0 даны в работе [19]*.
2. Для дальнейшего описания явлений взрыва в химически активной газовой смеси иногда можно воспользоваться моделью течения, вводя поверхность разрыва — волну горения за фронтом распространяющейся ударной волны (модель 3).
* В этой работе также рассматривался случай ш = 0 , Е0Ф0, а х = 1 , а 2 = 0 . Однако, проведенная здесь экстраполяция решения на область \ < 0,2 не является точной.
192
В указанной модели предполагается, что после прохождения частицей газа фронта ударной волны в ней через некоторое время t i n à
происходит мгновенное сгорание вещества с выделением энергии Q на фронте волны горения. Время tind обычно называют временем задержки воспламенения или временем индукции. Как известно [4—7, 9] , время индукции зависит от термодинамических параметров газа. Пусть для t i n d
имеет место формула
где пх, /ь К, L — некоторые постоянные (К > О, L > 0).
Так, для стехиометрической смеси водорода с воздухом можно при-
где t M выражено в секундах, давление р—в атмосферах, Т — температура (°К).
Отвлекаясь пока от детальных характеристик потока газа за фронтом ударной волны, проследим за грубой качественной картиной изменения tind за фронтом ударной волны. Из формул (6. 22), (6. 23) следует, что при больших p, Т мало tintl. С затуханием ударной волны и убыванием p, Т в частице газа величина / l n d растет, а следовательно, будет расти и расстояние между фронтом ударной волны и волной горения, произойдет отрыв фронта горения от фронта ударной волны. Таким образом, начиная с некоторых моментов времени ударную волну и зону реакции горения нельзя принимать за одну поверхность разрыва —детонационную волну. При достаточно больших t реакция горения может интенсивно протекать лишь вне некоторой окрестности точек фронта ударной волны (в зоне достаточно высоких температур) и горение практически не будет возникать в окрестности фронта ударной волны при сильном ее затухании. Такая картина, возможно, имела место в опытах, описанных в работе [14], при взрыве заряда ВВ в смесях водорода с кислородом в достаточно длинной широкой трубе.
Приведенный вывод о возможности расщепления детонационной волны в явлении точечного взрыва был впервые сделан нами в 1967 г. [18]. В качестве косвенного подтверждения описанной картины течения служили также опытные и теоретические данные по обтеканию тел гиперзвуковым потоком горючей смесью [22, 23]. По обратной аналогии между гиперзвуковым обтеканием затупленных тел и явлением цилиндрического взрыва (см. гл. 4) можно качественно описать явление цилиндрического взрыва, используя картину стационарного обтекания. Если воспользоваться этой аналогией и перенести данные об обтекании затупленного цилиндра, то в случае цилиндрического взрыва в смеси водорода с воздухом (или кислородом) естественно ожидать появления картины течения с двумя фронтами — фронтом ударной волны и следующим за ним в соответствии с формулой (6. 23) фронтом горения. Одновременно с нами к аналогичному выводу пришли Р. Солоухин, Дж. Ли и А. Оппенгейм [24] на осно-
(6. 22)
нять [21, 22]
(6. 23)
13 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 193
вании экспериментов с лазерным лучом в горючей смеси. Явление распада детонационной волны также наблюдалось при дифракции детонационных волн [25].
В последнее время [20] проводилась работа по теоретическому обоснованию эффекта расщепления ударных волн в начальной стадии точечного взрыва. Некоторые результаты этого исследования излагаются ниже. На рис. 73 показана схема течения газа в модели двух фронтов. В области 1 газ покоится, в области 2 имеет место движение газа за обычной ударной волной. Газ сгорает при прохождении волны горения, и область
3 занята продуктами горения. Если пренебречь изменением показателя адиабаты при переходе через разрыв и не учитывать явления теплопроводности, то уравнения движения газа в областях непрерывности сводятся к (1. 18)—(1. 20). Условия на ударной волне имеют обычный вид. Условия на фронте горения можно записать так:
Д г-зона Лама
горения
Рис. 73. Схема течения газа в модели двух фронтов
# 1 Рз
N:
Q =
"т + i ' ' . - р .
Т + 1 ( 7 + 1 ) 2
; T + a + T N / ( a_i)s_2( T *-i )<?( i ) . - iO-*, (6.24)
TP* i
P* (D,-v,)i ' T + Q + A ( T + 2 . N),
где P*> P*. "*> Рз, Рз. v3
— давления, плотности и скорости перед и за фронтом волны горения соответственно. Соотношения (6. 24) следуют из общих условий на сильных разрывах, полученных в § 2 главы 1.
Введем теперь долю времени индукции de в соответствии с формулой [7]: de- -dt/t, nd* Отсюда и с учетом (6. 22) имеем
de dt (6. 25)
Будем считать, что с=1 на фронте ударной волны. Тогда момент времени t, когда с=0 , даст нам окончание периода индукции для частицы газа при переменном поле давлений и плотностей. Если t¥ — момент пересечения частицей ударной волны, тогда tind=i—1¥.
Таким образом, для решения задачи мы должны проинтегрировать систему (1. 18)—(1. 20), (6. 25) в области 2 и систему (1. 18)—(1. 20) в области 3 с соответствующими начальными условиями и упомянутыми граничными условиями. В уравнении (6. 25) справа стоит полная производная. С вычислительной точки зрения может оказаться более выгодно использовать уравнения в лагранжевых переменных. Для начальных моментов времени, когда имеет место оценка (6. 1), можно пренебречь влиянием волны горения на газовую динамику. Тогда уравнение (6. 25) даст нам возможность определить путем квадратуры момент £, так как p, р
194
можно считать известными функциями от лагранжевых координат и времени из решения газодинамической задачи. Если взрыв сильный, то это решение приведено в главе 2. Проведенные таким способом (см. также ниже случай более сложной модели реакций) расчеты в переменных Лагранжа полностью подтвердили высказанные качественные доводы в пользу расщепления фронта пересжатой детонационной волны (рис. 74).
На рис. 75 приведены графики линий с=1, R2 ( т )=г 2 / г ° (ударная волна) и с=0 (фронт горения), Rf=rf/r° для случая v = 2 , у=1,3, Е0=1010 эрг/см2, рг=\06 -дин/см2, р х = 1 0 _ 3 г/см2 при константах 1/5Еи къ близких к таковым для водородо-кислородной смеси (Ç^7-10 1 0 эрг/г).
Из приведенных на рис. 75, 76 графиков следует, что фронт горения и ударная волна практически совпадали при малых т (^=t/t°), причем г° и t° — динамическая длина и время, составленные по Е0, р1? рг. С ростом т происходит распад детонационной волны на ударную волну и фронт пламени. Это обстоятельство имеет место и в случае других симметрии. Расчеты показали, что с ростом Е0 моменты времени t, начиная с которых наблюдается существенный рост расстояний между г2 и rf, увеличиваются.
г/г 0
Рис. 74. Схема расщепления пересжатой детонационной волны
Рис. 75. Графики закона движения ударной волны и фронта воспламенения для модельной смеси
Рис. 76. Рост ширины зоны индукции с течением времени (модельная реакция, у = 1 , 4 , v = 2 , JÊ0=ia10 эрг9см, ** = 1 0 - 7 сек) а — для частицы газа за фронтом волны в зависимости от времени окончания периода индукции; б — по пространству
13* 195
При выполнении расчетов принималось, что /гх = 1, 1г=0, т. е. предэкс-поненциальный множитель в (6. 25) зависел лишь от давления. Р. И. Солоухиным было указано автору, что для водородо-кислородной смеси лучше брать этот множитель зависящим от плотности р. Проведенные впоследствии В. В. Марковым расчеты для случая я х = 0 , Z x =1 показали, что качественная картина расщепления волны сохраняется и для таких значений n v l v Изменяются лишь численные значения для зависимостей с (т) и Rf ( т ) . Пример расчета зон индукции для v = l , 2, 3 показан на рис. 77 (стехиометрическая смесь ацетилена с кислородом, р х=0,5-10~ 3 г/см3, р±=106 дин/см2
г Т=1,4,. 2? 0=3'-10 6 эрг/см3~\ Z x =l ) . Возможность возникновения горения в окрестности центра, где плотность мала, здесь не учитывалась.
Рис. 77. Изменение ширины зоны индукции за сильной волной для смеси ацетилена с кислородом ( # 0 — 3 - 1 0 е эрг/см3'^, Т = М )
Грубую количественную оценку времени индукции можно получить, используя аппроксимацию автомодельного решения, предложенную в [26]. Действительно, примем, что
1 1 , a j t p (6 . 26 )
где 7 ,̂ p̂ , p¥ — температура, плотность и давление в частице, прошедшей через ударную волну в момент t¥, a, b — постоянные, определяемые из условия аппроксимации газодинамических функций сильного взрыва (время t¥ можно принять за лагранжеву координату). Тогда из уравнения (6. 25) при пг=1, 1г=0 (с учетом условий с—1 для t—t^ находим:
*"oin/2 to ma = Т7Г~e ' Q = 2br + 1.
Отсюда для момента времени окончания периода индукции t получаем
1 Oind -1/2
(6. 27 )
Используя для времени индукции соотношение & ind = £ — и з (6. 27) имеем
"-1/2 4 n d : t 1 ^Oind 2 t.. (6 . 28 )
В сферическом случае для у=1,3 в [26] было найдено: а=0,44, 6=0,75. Проведенные Т. Байтелиевым по нашей просьбе расчеты с постоянными для кислородо-водородной смеси показывают, что формула (6. 28) правильно описывает явление расщепления детонационной волны, хотя при
196
малых t она дает большие погрешности в определении t i n d . Отметим, что приближенные способы оценки t i J i ä развивались также в работах [27, 28]. Проведенный анализ касался лишь стадии сильной ударной волны. Для больших времен газодинамические функции будут отличны от таковых для сильного взрыва и решение задачи может быть получено либо приближенным методом аппроксимации плотности в переменных Лагранжа, либо численно методом характеристик, методом интегральных соотношений или методом сквозного счета [31]. Заметим также, что модель двух фронтов может иметь ограниченное применение из-за возникновения неустойчивостей.
3. Рассмотрим некоторые особенности решения задачи для модели включения химической реакции с выделением тепла в поток за фронтом ударной волны после прохождения периода индукции (модель 4). Остановимся лишь на случае сильного взрыва в покоящемся газе.
Уравнения, описывающие протекание химических реакций, возьмем в виде аррениусовских зависимостей
• а г—i^ - — в х р ( — ^ ) • ( 6 - 2 9 )
-g-= —k&^py1* е х р ( — + к3 (1 — p V a e x p ( 6- 3 0 )
До начала реакции (6. 30) считается, что ß = l, а с—1 на фронте ударной волны. Обращение с в нуль означает окончание периода индукции и начало реакции с выделением тепла. При этом реакция (6. 29) идет без выделения тепла.
Систему уравнений, описывающих одномерные движения газа, запишем в виде
п
d v I дР ___ p ар , дри ж (у — 1) p t 7 п
Р dt 1~ дг ~ U ' dt "Г" дг " г — и '
^ = r L î i + p ç . ( 6 . 3 1 )
Здесь H — энтальпия, ß — доля непрореагировавших молекул, Q — полное тепловыделение в единице массы газа.
При исследовании задачи мы, как и раньше, должны учесть условия на ударной волне, условие выделения энергии Е0 и начальные условия.
Для принятых моделей условия автомодельности задачи при различных 14, т., п4 и зависимостях Ei и тепловыделения Q от давления и плотности (а также от координат и времени) фактически будут совпадать с рассмотренными для модели 2. При распространении сильной взрывной волны в покоящемся газе постоянной плотности в автомодельном случае абсолютная ширина зоны индукции растет пропорционально £ 2 A v + 2 > .
Однако относительная толщина этой зоны, равная отношению разности координат ударной волны и волны горения к координате ударной волны, будет оставаться постоянной. Заметим, что для этого автомодельного движения величины Е4 и Q пропорциональны давлению. Учет конечной скорости химической реакции здесь также приводит к существенному изменению качественной картины течения газа.
Если величины £^ и Q постоянны, то ЗТВ не является автомодельной. Рассмотрим взрыв в однородной покоящейся среде. В моменты времени,
197
близкие к начальному, величина полной энергии, выделившейся при горении в объеме, ограниченном ударной волной, значительно меньше энергии взрыва, т. е.
Е0->и, = ^\С(1-^Рг^Чг, o, = 2 ( v - l ) « + ( v _ 2 ) ( v _ 3 ) , (6.32) О
и поэтому влияние горения на газодинамическое течение мало. Для начальной стадии взрыва, когда справедливо неравенство (6. 32),
можно искать решение, используя метод линеаризации по малому параметру пропорциональному отношению QpJEQ. Тогда для любой искомой функции / имеем
/ = /(o, + tf(i> + °-(M. (6-33)
После подстановки функций вида (6. 33) в уравнения (6. 29)—(6. 31) (и их линеаризации) для / 0 и / х получим системы дифференциальных уравнений в частных производных, одна из которых, являясь нелинейной, содержит только главные члены разложения, т. е. величины у ( 0 ) , р ( 0 ) , р(0)1
а другая, линейная — величины р ( 1 ) , р{1). При этом система для главных членов сама распадается на две. Решением газодинамических уравнений будут автомодельные функции, описывающие течение от сильного точечного взрыва, рассмотренного в главе 2 (влияние химических реакций пренебрежимо мало). Химические реакции в этом случае протекают на заданном поле течения и описываются уравнениями (6. 29)—(6. 30), в которых каждой функции следует приписать индекс (0). Будем считать, что т1=т2=2, fy—1, п2—2.
Введем безразмерные величины
п Р<о> р v V m т г а- г
характерное время. Тогда в переменных Эйлера уравнения для определения с, ß примут вид
& + v W = - ^ « Р Н 4 ) . . (6-34>
ï + V " f = - ^ ß 2 { ЕХР ( - § з т) - (1 - ß)a ЕХР [- (§з + ! ) . £ ] } • (6- 35 )
Система (6. 34)—(6. 35) является моделью для кинетики суммарных химических реакций второго порядка (т=2). Так как в рассматриваемом приближении функции V, G, Р считаются заданными, то эта система состоит из двух независимых уравнений в частных производных первого порядка. Начальные данные для них задаются при r=r2, t=t9 (с=1, ß = l ) и при r=rf, t=t (с=0, ß = i ) , причем в области между г2 и rf имеем ß^coüst.
Таким образом, для уравнений (6. 34), (6. 35) имеет место задача Коши, решение которой можно находить стандартным методом характеристик. Заметим, что если время индукции уже найдено, например, при решении в переменных Лагранжа, описанных для модели 3, то остается определить лишь ß. Для контроля точности определения t i n à уравнение для с интегри-
198
ровалось заново. Обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие изменение функций вдоль характеристик, решались численно методом Рунге—Кутта. Мы не будем останавливаться на деталях этих вычислений. По разработанному способу Е. Бишимовым была составлена программа для машины БЭСМ-3 и приведены расчеты для значений параметров t*=10~7 с е к , & 0 =Ю 3 , 8 1 =5,1 , § 2 =20 . Эти постоянные были выбраны так, чтобы уравнения кинетики соответствовали временам индукции и результирующей реакции для смесей типа водород—кислород. Значения величин (?> Р ъ Pi совпадают с теми, что были указаны выше. Полученные данные по времени индукции и ширине зоны индукции совпали с соответствующими величинами для модели 3 (см. рис. 75, 76). Заметим, что на рис. 76, а
fi\ 1 П
Рис. 78. Изменение концентра- Û,S ции ß за сильной ударной волной (модельная реакция, Y = l , 4 , v = 2 , Я 0 = 1 0 1 0 эрг/см)
О O.S / г/г2
дано изменение относительной разности (г 2—rß!Q'^f=Ay вдоль траектории частиц в зависимости от относительного времени окончания периода индукции II f. Эти расчеты также показали, что учет конечности скоростей химических реакций приводит к качественно новой картине развития течения по сравнению с моделью бесконечно тонкой детонационной волны. Из-за существования у температуры, давления и плотности газа за волной больших отрицательных градиентов в области резкого расширения потока зона воспламенения отделяется от ударного фронта. Время задержки воспламенения сильно возрастает при распространении волны, несмотря на то, что взрывная волна еще достаточно сильная: р2^> 50pv
Это приводит к распаду детонационной волны на обычный скачок уплотнения и фронт пламени. Расчеты показали, что для принятой модели прямой и обратной реакции (6. 30) велика роль обратной реакции, которой часто пренебрегают при модельном описании движений газа за детонационными волнами. Распределение концентрации ß по пространству дано на рис. 78. Из-за высокой температуры в окрестности центра взрыва смесь сгорает не до конца и тепловая энергия выделяется лишь частично. Отношение выделившейся энергии в модели 4 к той, которая выделилась бы по модели 3 при полном сгорании, будет для t = 1 0 равно примерно половине. К этому времени зона воспламенения уже отделилась от взрывной волны, а величина выделившейся при горении во всей возмущенной области энергии еще ничтожно мала по сравнению с энергией взрыва (UJE0 ~ 0,02). (Это обстоятельство говорит о достаточно высокой точности принятого приближения.)
199
В этом приближении нет принципиальных трудностей для решения задачи с учетом полной кинетики химических реакций. Вопросы кинетики химических реакций горения и взрыва в настоящее время глубоко разработаны в трудах ученых школы H. Н. Семенова (обзор этих работ см. в [29]) и других авторов. Воспользовавшись этими результатами, можно рассчитать процессы химических реакций при сильном взрыве в газе*.
В заключение отметим, что аналогичный анализ можно было бы провести и для реакций термоядерной детонации. С принципиальной точки зрения здесь нет отличий в смысле роли кинетики реакций [29, 30]. Но, как было замечено в работе [30], при исследовании структуры термоядерной детонационной волны существенную роль будут играть эффекты излучения, так как термоядерные реакции проходят при весьма высоких температурах (см. также недавно опубликованную работу [32]). Заметим, что в окрестности ударной волны могут возникнуть неустойчивости, нарушающие одномерность течения и ведущие к восстановлению детонационного горения (это часто наблюдается в экспериментах).
* П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Для цилиндрического случая численное решение полной задачи с кинетикой (6.29)—(6.30) дано в работе В. П . Ко-робейникова, В. А . Левина, В. В. Маркова и др. (Astronautica Acta, 17, N 5, 1972).
Г Л А В А 7
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ В ЭЛЕКТРОПРОВОДНОМ ГАЗЕ
С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 1. Введение
Рассмотренные в предыдущих главах задачи можно распространить на случай, когда среда является электропроводным газом, способным взаимодействовать с приложенными магнитными полями. Это обобщение ЗТВ представляет интерес для астрофизических приложений, для распространения взрывных волн в ионосфере, для задач, возникающих при фокусировке лазерного луча, при взрыве ВВ или проведении электрических разрядов в высокотемпературной плазме в лабораторных условиях, для исследования устройств, создающих импульсные источники тока для взрывных магнитогидродинамических генераторов, и т. п. Рассмотрим постановки задач и основные уравнения, описывающие движение газа.
Пусть в покоящемся электропроводном газе с начальным магнитным полем Нг в точке, вдоль прямой или вдоль плоскости произошло мгновенное выделение энергии, т. е. произошел взрыв. По газу начнет распространяться ударная волна, которая будет возмущать начальное магнитное поле, начальное давление ръ начальную плотность рх.
Обозначим через Е0 энергию, выделившуюся при взрыве. Если считать, что возникающее движение описывается системой уравнений МГД, то мы приходим к задаче интегрирования системы МГД с граничными условиями в центре взрыва, на фронте ударной волны и в бесконечности.
Так как магнитное поле вносит анизотропию в движение, то, в отличие от соответствующей задачи для уравнений газовой динамики, даже при постоянных рх и Pi В сферическом случае задача в точной постановке не сводится к одномерной, а в плоском и цилиндрическом случаях может быть сведена к одномерной только при специальных конфигурациях магнитного поля. Система уравнений МГД для движений невязкого и нетеплопроводного совершенного газа имеет вид (1.69)—(1. 73). Электрическое поле JE и плотность тока j вычисляются по формулам
E = i-±:VXH, j = ^votH, (7.1)
где о — проводимость, с — скорость света. Если магнитные числа Рейнольдса велики (Rm ^> 1), то в системе урав
нений МГД можно пренебречь диссипативными членами; для малых маг-
2 0 1
нитных чисел Рейнольдса (Rm < 1) при движении газа можно пренебречь изменением начального электромагнитнго поля. При движениях газа с конечной электропроводимостью будем считать, что проводимость газа зависит от давления и плотности так:
° = (7.2)
где а ь п,т — постоянные. Таким оборазом, при решении задач с конечной электропроводностью появятся три дополнительных параметра: а 1 ? п, т. Это также усложняет исследование.
Мы рассмотрим случай бесконечной проводимости и движение газа с конечными числами Rm. Излагаемая ниже теория создана в основном автором, причем нами были даны как постановки основных задач, так и методы их решения. Ряд вопросов разрабатывался совместно с В. П. Карликовым и Е. В. Рязановым.
§ 2. Одномерные задачи для движений идеально проводящего газа,
в которых скорость перпендикулярна вектору поля
2.1. Постановка задач. Рассмотрим постановку задач для одномерных течений бесконечно проводящего газа. В этом случае имеет смысл исследовать лишь цилиндрический и плоский точечные взрывы. Считаем, что вектор Н направлен перпендикулярно траекториям частиц газа. В цилиндрическом случае вектор поля H может быть, в частности, направлен вдоль оси симметрии, по касательным к концентрическим окружностям с центром на оси симметрии или, в общем случае, создает винтовое поле с компонентами Н? и Hz (магнитные силовые линии — винтовые линии; см. схему движения газа на рис. 79). В случае плоского взрыва течения могут быть одномерными и при наклонном направлении вектора поля
по отношению к плоскости взрыва. Этот случай мы рассмотрим в следующем параграфе.
Из системы уравнений МГД можно получить уравнения одномерных течений в виде
dv
dp ~dt '
дг (p + h)- 2 ( v - l )
( dv
4 l F 1) V
•)• d dt (£)=<>• - £ ( £ ) = » • <7-3>
d
dt à , д
II 8n >
h=hM+(+-l)h9,
h — —? l \ — Su-
Рис. 7 9 . Схема распространения цилиндрической ударной волны при винтовом поле
Будем рассматривать два типа ударных волн: магнитогидродинамические и ударные волны со скачком проводимости, ионизирующие газ. Для магнитогидродинамических ударных волн в среде
202
с бесконечной проводимостью из (1. 107)—(1. 110) имеем [P(v-D)] = 0, [pv(v-D) + p + h] = 0,
[(v~D)(^-i + ^ + h) + (p + h)v]=0,
(7.4)
Для ударных волн со скачком проводимости будем предполагать, что ЛГ при переходе через поверхность разрыва остается непрерывным. Это означает, что магнитная вязкость в ударном слое считается больше других диссипативных коэффициентов [1]. Разрывы остальных величин подчиняются газодинамическим условиям
Из системы (7. 3) можно получить уравнение закона сохранения энергии в виде
где Фг ( £) — произвольная функция лагранжевой координаты £. Отсюда следует, что если известно решение системы (7. 3) при Y=2, h = 0 , то легко найти решение этой системы и для случая т=2, hz=^=0. В частности, зная решение обычных газодинамических уравнений при у=2 , получаем решение уравнений (7. 3) при / ^ = 0 , содержащее дополнительно одну произвольную функцию от £.
В случае магнитогидродинамических ударных волн и у—2 замена вида Р*~р-\~К приводит (7. 4) к виду условий при hz=0, если не обращать внимания на условие вмороженности для hs.
С в о й с т в о 2. Так как система (7. 3) не содержит никаких размерных констант, то для тех задач, в дополнительные условия которых войдет не более одной постоянной с не зависящими от Е0 размерностями, будет выполнено условие автомодельности движения. В этом случае возможно исследование задачи путем сведения ее уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
С в о й с т в о 3. При Н?=0 система уравнений (7. 3) и условия (7. 4) приводятся к газодинамическим условиям для движения газа со специальными термодинамическими свойствами (см, также гл/ 1). Действительно, из системы (7. 3) и условий (7. 4) следует интеграл вмороженности Hz= =Нг1р/рг. Если ввести новые термодинамические величины р*, е* для «смеси» газа и поля, то будем иметь зависимости
[ Р ( у - Л ) ] = 0, [Pv(v-D) + p] = 0,
(7.5)
dt \ 2 г -у — 1 ^ 8 к ) ^ дг 1г и \ 2 4и J] • к >
p-{S,?) = p + he = f(S)? +±fifff, (7.8)
р ( Т — 1 ) " Т " Р ( Т — 1 ) " Г Т — 1 4 P i J 8u> (7.9)
где S — энтропия, / (S) — произвольная функция энтропии. 203
Формулы (7. 8), (7. 9) определяют термодинамические функции газа, течение которого можно рассматривать при исследовании задач МГД. Из свойства 3 следует также, что при у = 2 задача сводится к газодинамической с уравнениями состояния для идеального газа в соответствии со свойством 1. Приведенные свойства уравнений и граничных условий дают основание для внесения изменений в формулировки ЗТВ по сравнению со случаем газовой динамики. Перейдем к конкретным задачам для уравнений (7. 3)—(7. 6).
2.2. Постоянное начальное магнитное поле, параллельное фронту ударной волны. Рассмотрим ЗТВ при Hx=HzX для случая плоского и цилиндрического взрывов. Из соотношения (7. 9) следует, что в этом случае даже для сильного взрыва (р 1 =0) задача не является автомодельной. Если магнитное поле слабое, т. е. Щх <С8тгр1, то начальное распределение поля Hz может быть найдено по интегралу вмороженности Ez— = P#,i/Pi-
Для расчета задачи о взрыве при больших временах с учетом влияния поля Hz и противодавления необходимо использовать численные методы, аналогичные методам, развитым для задач газовой динамики.
Мы здесь рассмотрим опубликованный нами в работе [2 ] метод расчета задачи, основанный на применении схемы метода интегральных соотношений. Исходные уравнения возьмем в дивергентном виде
I I + Ж = °' v w + ж ^ <е + ™ = °-
i ^ L + { W ' r ) = 0, ^ . 7 £ L . + v ^ . ( p ü 2 + p.) + ^ L i ( M , a = o, (7.10)
Hz Р тт тт P^ 2 I P I # 2 r v V
H^=ÏZ' P œ = P l ' я ^ = я * 1 « e = = J l - + r ^ + ^ ' C = = r '
и==У Введем новые независимые переменные
Pœ n zco k„ Pœu* \Pœ I С IPœ t 9 q — Poo# 2
ur„ g = D 9 g = P œ ' u Poo Pœ
Индексом n будем обозначать в этом разделе величины непосредственно за фронтом волны, а индексом оо — начальные параметры.
Используя новые переменные, систему (7. 10) можно записать в виде
f + f [ - £ < « ? 9 — 4 <«е>+ *]=<>,
•£+!.[•!• + ̂ -(*v>+«] - f=о,
^ + F [ 4 < W ) - ^ ( « + t ] - ^ = » . < 7 1 2 )
Из кинематического условия D~drjdt следует связь между безразмерным временем t=t/t° и g:
204
Здесь и всюду в этом параграфе в дальнейшем штрих означает производную по д. Кроме того, введены обозначения
^ = ^ . + 1 , m = ?gtw, h* = (fy, f-. D ' r» '
• r°=X-tT' t0 = ril^T> «, = 2 ( v - l ) i c + ( v - 2 ) ( v _ 3 ) . Заметим, что в системах (7. 10), (7. 12) не все уравнения независимы.
Одно из уравнений этих систем можно считать следствием других, учитывая связи между s, и, p, Н. «Лишние» соотношения между искомыми функциями можно использовать для дополнительного контроля точности решения. Так как имеет место интеграл вмороженности G=g, то для решения задачи достаточно найти лишь три функции: g, ф, ср.
Условия на ударной волне в новых переменных примут вид
*„(?„-i) = - i . en = G„ "U?«-i) + ^=4?(i + lß)> P = • - 4> « • + = q (Нл+т Р) • ( 7- 1 3)
Таким образом, мы должны найти решение системы (7. 12) с граничными условиями (7. 13) и условием симметрии в центре взрыва.
Проинтегрировав систему (7. 12) по £ от некоторого %п= ^ (q) до £ п =1, учитывая соотношения (7.13), получим систему интегральных соотношений
<?и + s£ - [ i + gtt, (?, - 1 ) - <ЛЛ = ' 0 ,
+ e j ; — j» etffij — e,t, + — G 7 2 , + q ( ^ j + y ß ) — - j ^ = 0,
^'з! + — <I>|É, ( ? i — 1) — </зг + hl gn J
• — Q7•—- 0,
+f(j+ip):
(7. 14)
причем имеют место зависимости
« 1 = 2 + А + ? 4 gf, А =
В системе (7. 14) введены обозначения
K = V, + w\g2 (7. 14а)
<3ru = \ë&, J.2l=\ed$, 31 •
Система (7. 14) совместно с (7. 14а) могут служить основой для построения расчетных схем численного решения задачи. Если ß < 1, то расчет задачи для любых у аналогичен газодинамическому. При малых q влияние поля мало и за начальные данные можно принимать газодинамические функции, полученные численно в главе 3. Аналогично результатам главы 4
2 0 5
в области интегрирования 0 < ^ £ ̂ 1 введем центральный интервал £0 (g), зафиксировав лагранжеву координату по начальным данным. Будем, как и в соответствующей газодинамической задаче (см. гл. 4 ) , внутри центрального интервала вести расчет по специальным асимптотическим формулам.
Решение в области, находящейся между границей центрального интервала £= £0 (g) и ударной волной £= £ Я = 1 , будем определять методом интегральных соотношений. В п-ж приближении разобьем эту область на п полос, проводя n—1 промежуточных линий:
Ш = ^ % > + ^ N U Если аппроксимировать подынтегральные выражения интерполя
ционными полиномами Лагранжа с узлами интерполяции на линиях Е= £Ä (к=0, 1 , . . ., /г), то можно получить аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта аппроксимирующая система будет отличаться от аналогичной системы § 3 главы 4 лишь коэффициентами уравнений, полученных из второго и последнего интегральных соотношений ( 7 . 1 4 ) . Для аппроксимирующей системы уравнений будет иметь место задача Коши, численное решение которой позволит определить все искомые функции. Общий контроль точности можно проводить по выполнению интегральных законов сохранения энергии и массы. В качестве примеров были проведены расчеты задачи для случаев т г = 4 , v = 2 , у—
— 1 , 4 , у = 5 / 3 и различных ß < l - Для плоского случая проводился расчет при Y = 1 , 4 , ß = 0 , 2 . На рис. 8 0 представлена рассчитанная зависимость Rn (т), V—2. Для сравнения здесь же приведена соответствующая зависимость при ß = 0 . На рис. 8 1 указано изменение функции р0/рп от -с (р0~ =р ( 0 , t)) для у = 1 , 4 ; v = 2 , ß = 0 , ß = 0 , 2 . Зависимости P ( î)=p/pœ для g = = 0 , 4 3 , ß = 0 , 2 , ß = 0 представлены на фиг. 8 2 . Схему метода интегральных соотношений можно использовать и при значениях ß > 1 . В этом случае, однако, желательно решить точно линеаризированную задачу о взрыве с учетом противодавления и магнитного поля. Приближенное ее решение рассмотрено в [ 3 ] .
Так как при у = 2 задача сводится к соответствующей газодинамической, то при произвольных ß для получения решения в этом случае достаточно, воспользоваться результатами расчета газодинамической ЗТВ по методу, рассмотренному в главе 4 .
Если обозначить через g2, Р 2, / 2 (P=p/pœ) искомые функции задачи газовой динамики, а через P, g, f — соответствующие функции магнито-гидродинамической задачи, то имеем равенства
P* = -l£- = Pv g = G = g2, / = / 2 , P = i > 2 ( l + ß ) - ß * 2 , А, = Ф(5)Р*. "со
Остановимся специально на случае сильной волны. Пренебрегая P*œ в условиях на ударной волне ( 7 . 4 ) , получим
Vn = Y А • Рп = 3Рсо, Pl = | " Pcoö 2, hzn = % œ .
Будем считать /^œ=const. Решение для p' (r, t), p (r, t), v (г, t) известно (см. гл. 2 ) .
206
Рис. 80 . Закон движения цилиндрической ударной волны в параллельном поле
Рис. 81 . Изменение относительного давления в центре взрыва ( v = 2 , Y = l , 4 )
Рис. 82. Распределение давлений по £ для двух значений у
0,2 о,ь о,е 0,8 1,0$
Найдем произвольную функцию Ф ( £), входящую в hg (r, t). Из условий на скачке получаем
<"><*> = р 2
га
'2<Х>
Отсюда следует, что можно удовлетворить уравнениям МГД и условиям на ударной волне (7. 4), если примем
Poo
Принимая во внимание вид решения аналогичной задачи в обычной газовой динамике, имеем
г = г [̂2(4 — ̂ )]~8V/2[4(̂ ^T)T/2' v = v n x ^
4Ч ' -т )ПЧ4-" ) ' (v-2)/(v+2) / 1 —
exp / —ovo
P=PnP
( 7 . 1 5 )
3
Poo .
Здесь rn — координата ударной волны. Зависимость rn (t) совпадает с газодинамической.
207
Рис. 83. Распределение давления для разных параметров ß при фиксированном времени 7 = 2 '
Для сильного взрыва в непроводящей среде со скачком проводимости cœ=0, ап= оо из граничного условия h(rn, t)=hz(X> аналогично предыдущему находим
Решение задачи в этом случае дается формулами (7. 15), если считать К^Коо?2^?^- Из (7. 15) следует, что при сохранении высоких температур в центре давление в окрестности фронта ударной волны ниже соответствующего давления при взрыве без магнитного поля.
Из формул для hz следует также, что магнитное давление при взрыве в бесконечно проводящей среде в 9 раз больше магнитного давления при взрыве в непроводящей среде. Отметим, что для взрыва со скачком проводимости на ударной волне не учитывался эффект изменения начального поля Лоз, излученной электромагнитной волной [1] . Этот эффект может оказаться существенным, если характерные скорости движения частиц газа велики, a Hzœ не мало.
Решение (7. 15) было впервые опубликовано нами в работах [4, 5 ] . Впоследствии это решение было получено А. Сакураем [6].
Для учета противодавления и магнитного поля при у=2 воспользуемся численным решением задачи, рассмотренным в главе 4. Графики давления даны на рис. 82, 83. Из этих графиков видно, что при g > 0,5 распределение давления сильно отличается от газодинамического, особенно вблизи центра. Это отличие носит не только количественный, но и качественный характер: имеются существенные градиенты давления в окрестности центра взрыва.
Вычисления показали, что точность расчета рассмотренной задачи падает с ростом д. Как и в задачах газовой динамики, для расчета параметров взрывных волн на больших расстояниях от оси взрыва (при q ~>
2 0 8
( 7 c o = l / ( l + ß)) Д л я улучшения точности целесообразно использовать асимптотические законы затухания ударных волн [2, 7] . Мы не останавливаемся здесь на этом вопросе подробно.
2. 3. Автомодельная задача для кольцевого начального поля. Если магнитное поле имеет только компоненту причем h9l=Br~2, р-^—Аг-0*, то задача о цилиндрическом сильном взрыве в бесконечно проводящем газе будет автомодельна (здесь мы снова используем индекс 1). Действительно, так как размерность постоянной В совпадает с размерностью энергии Е'0, то в задаче имеется лишь одна дополнительная постоянная А с не зависящей от Е'0 размерностью. Отсюда в соответствии со свойством 2 имеет место автомодельность. Закон изменения поля h г=Вг~2 показывает, что начальное поле образуется при протекании постоянного линейного тока, для которого возвратной цепью служит концентрический цилиндрический проводник очень большого радиуса. Эта задача для системы уравнений (7. 3) впервые была исследована в работах [5, 8, 9] . Остановимся на методе ее решения и результатах для случая и>=0.
Введем безразмерные переменные по формулам
где Е=аЕ'0, а—постоянная, подлежащая определению, Е'0 — конечная часть энергии, Е0, г2 (t) — закон движения ударной волны. Соответствующая система четырех обыкновенных уравнений для автомодельных движений имеет вид m {V — 0,5) V + \Gf + \Pf = R (V — V2) — 2 (P + G) — 2G,
x [ ( F - 8 ) ^ + 7 ' l = - 2 7 , L -* (7.16)
> J ( F _ S ) ^ + T H = 2 . - 2 ( 1 + T ) F , ( F _ S ) _ ^ L + 2F / ] = 2 —4F.
Граничные условия задачи вытекают из необходимости удовлетворения законам сохранения на фронте ударной волны (7. 4) и условию симметрии на оси взрыва г; (0, t)=0. Система дифференциальных уравнений имеет три первых алгебраических интеграла [5, 8]: адиабатичности, энергии и вмороженности (см. § 6, гл. 1):
p = R*-! (V — 0,5)-! Х - \ , G = (V — 8)"2 >г*х2,
(p + G) V + (V — 0,5) (o,5RV2 +• д + с) =
Произвольные постоянные, входящие в асимптотическое выражение интегралов, находятся из граничных условий на фронте ударной волны х 2 =0,25 С?!, х 4 = — 0,56?х. С помощью этих интегралов задача сводится к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения, которое может быть получено из (7. 16) и записано следующим образом:
d m у 2 «v ~ *> [*i + ̂ - у ( V ~ Q - 5 ) 2 ] + * ~ ! ) /у 17) dv — (V-0,b)^2 "
14 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 209
где = (V - 0,5) ^ [ 1 ( 2 7 - ^ ) - 0 ,5*/^] ,
ф 2 = Г ( 7 - 1 ) ( 7 - 0 , 5 ) у + 1 - 2 Г в у = T 7
Основная трудность задачи заключается в интегрировании (7. 17), так как по известной функции у (V) все искомые функции найдутся с помощью первых интегралов и квадратур. Если обозначить индексом 1 величины, характеризующие невозмущенное состояние газа, а индексом 2 — величины непосредственно за фронтом ударной волны, то, используя условия на ударной волне, можно найти зависимость у2 от V2 и у:
У ? = ï (Т - 1) [ 0 , 57 ! + ( l + - ^ - 0 > 5 + 2F 2 ) G j ,
_ 0,5 V2 [(0,5 - У2)^1 - 0 ,5Г 2 ]
7 è ï ( y » - 0 , 5 ) + 4 ; T ~ 2
1 ) F 2 l o , 5 + F 2 + 0,5'
Из условия D2 ^ Я | 1 / 4ттр 1 и уравнения у2 (v2) следует, что
Отметим, что в автомодельной газодинамической ЗТВ связь между и2г
у2 при фиксированном у изображалась на плоскости V, у точкой, тогда как в рассматриваемой задаче присутствие магнитного поля приводит к зависимости у2 (У 2), даваемой соотношениями на ударной волне. Для уравнения (7. 17) был выполнен качественный анализ поведения интегральных кривых. Исследование уравнения (7. 17) показывает, что центру симметрии течения (оси взрыва) соответствует точка у=0, V=0. Качественный анализ поведения решений уравнения (7. 17) показал также, что решению задачи о сильном взрыве в плоскости V, у соответствуют интегральные кривые, начинающиеся с точек кривой у2 (V2) и входящие в особую точку (0,0), касаясь оси абсцисс. (Наличие множества кривых, входящих в точку (0, 0) вдоль оси абсцисс, может быть доказано на основании критерия Перрона '[10].) Уравнение (7. 17) для малых значений V имеет асимптотическое решение [5]
у = cj-z ( Ï - 2 ) / ( T - D [V - 0,5]-<3-2ï)/<ï-i) [1 _ 2YF]-ï'(ï-i> exp ( ^ y v ) • (7- 18}
где сг — произвольная постоянная. Примеры интегральных кривых у (V)r
найденных численно, даны на рис. 84. Система автомодельных уравнений задачи была проинтегрирована численно для широкого диапазона значений Gx и ряда значений у. Расчет в окрестности центра взрыва проводился по специальным асимптотическим формулам, вытекающим из (7. 18). Прзднее соответствующие расчеты для значений у = 1,4 и у— 5 / 3 были проведены в работе [11]. Некоторые результаты расчетов для у—ь/г
и у=2 представлены на рис. 85 для значения У2^=0,3. Отметим следующие отличия найденного решения от соответствующего решения газодинамической задачи, рассмотренного в главе 2.
10
w
20
JO
40
yz(Vz)
О о 0,15 : 0,50 0,5 ЮЛ
Рис. 84. Примеры интегральных кривых в плоскости у, v
Рис. 85 . Распределения относительных плотностей, скоростей и температур и магнитных полей при сильном цилиндрическом взрыве в кольцевом поле
1) Интенсивность ударной волны меньше, чем в газодинамическом случае.
2) #?=т^0, вблизи центра Н? ~ 1/г, т. е. по оси симметрии течет постоянный сосредоточенный ток.
3) Температура в области течения уменьшается при учете влияния магнитного поля.
4) Формула для интегрального баланса энергии имеет более сложный
Остановимся более подробно на интегральном законе сохранения энергии. Анализ решения задачи показывает, что полная энергия движущегося газа остается бесконечной, если из нее вычесть начальную (бесконечную энергию), причем соответствующий интеграл расходится при X - > 0 , как In I InX |. Это указывает на то, что для осуществления рассматриваемого решения мы должны допустить выделение бесконечной энергии в начальный момент времени на оси г = 0 . Возможный путь определения этой энергии дан в работе [11].
Баланс энергии возьмем в виде
Здесь Ав — дополнительная (бесконечная) часть энергии, выделившейся при t=0. Величину А е можно определить как электромагнитную энергию, подводимую в начальный момент. Для нее можно написать [11]
где АФе — разность потока индукции поля, рассчитанного на единицу длины, в начальный момент и в любой момент, t, 10 — концентрированный
вид.
о
А = А д ф в с
ток, текущий по оси г=0.
14* 211
Учитывая зависимость Д Ф е от H и переходя к безразмерным формулам, найдем
1
О
Можно показать, что величина а, определяемая по (7. 19), будет конечной. Конкретные ее значения для различных у и (?х (или V2) были получены численно. Так, при F 2 =0 ,3 имеем а=0,07 (т=5/з)> а=0,05 (т=2).
При у = 2 задача легко обобщается на случай винтового поля с Нл= = const. Для этого достаточно взять
v = v 9 , p = p ^ - J % - , p = pr H = HR Н, = НЛ-*-,
где величины с индексом <р соответствуют, рассмотренной задаче сН0 = = 0 , у=2 . Это следует из приведенных свойств дифференциальных уравнений МГД и граничных условий при предположении, что Jp 2+(£T| 2/8^)^> jp 1+ +(#! 1/8тг),
2.4. Автомодельная задача для уравнений магнитной гидродинамики разреженной плазмы. Рассмотренную в предыдущем разделе задачу о сильном цилиндрическом взрыве в покоящейся среде можно исследовать и для уравнений МГД разреженной плазмы (уравнения Чью—Гольд-бергера—Лоу), приведенных в § 3 главы 1. В области вне зоны возмущенного движения пренебрегаем компонентами тензора напряжений р±1, р | ( 1 . Начальную плотность для простоты считаем постоянной, В г ~ 1/г, Вг1=0. Из системы (1. 81)—(1. 85) для случая цилиндрической симметрии имеем
du д , , 7 ч , Р\\ ~~Р± 2h
dp / du . v\ d h ^ ~dt~ ""Ч"^' ~r)9 Ttr*^~' ' 8u '
± P j _ _ n d P l h _ JJ-TT— °> £ - ^ = 0. (7.20) dt д/гр dt рз v f
Если предполагать, что течение сопровождается возникновением ударной волны, то на ударной волне должны выполняться условия
р2 (и2 — D) = —Piö, p2v2 (v2 — D) + p X 2 + h2 = hv
(u2 — D) (p±2 + 0,5p l l 2 + -i p2t;| + A2) + ( p ± 2 + h2) v2 = —Z?AX,
h2{v2-Df = hlD\ P ± 2 = 0.
Эти условия вытекаютиз (1. 119)—(1.123). Рассматриваемая задача автомодельна. В безразмерных переменных X, V, Р ( !, Р±, R, G из (7. 20) получаем автомодельную систему из пяти уравнений:
m (F — 0,5) Vr + X P ' ± + X G ' — F 2) — 3P ± — 4G + P H,
( F - S ) ^ + 2 F 1 7 _L.
= 2 — 57, (7 .21) x [ ( p r _ 8 ) 4 - + 7 ' ] = - 2 F , X
8 ) + F | = 2 — QV, X [ ( F —8)-|l + 2 F ' ] = 2 — 4 F .
212
Система (7. 21) имеет четыре алгебраических интеграла (см. § 4, гл. 1): интеграл энергии (1. 154), интеграл вмороженности (1. 149), который запишем в виде
G=z(V — 0,5)-2Х"4х2, (7.22)
интегралы адиабатических инвариантов (1. 151), (1. 152), которые принимают вид
Р± = (у _ 0 , 5 ) - V A - ^ 3 > ( 7 - 2 3 )
Pt = G _ 1i? (F — S)~2X-%. (7. 24)
Наличие этих интегралов позволяет свести систему (7. 21) при любых стоянных х 2 , х 3 , х 4 , х 7 к одному дифференциальному уравнению в переменных R, V вида
= /(Д, F, х 7, х х, х3, х4).
Однако более целесообразно свести систему (7. 21) к одному уравнению другого вида, в плоскости F, X. Из граничного условия Р±2=0 и интеграла (7. 23) следует, что х 3 = 0 , т. е. р±=0 всюду в потоке. Условия на ударной волне в безразмерных переменных примут вид
B2(V,-0,5) = -0,5, Я 2 ( 7 2 - 0 , 5 ) 7 а + = ( 7 . 2 5 )
GtV2 + - °-5) (т R№ + 0,5Р„ + G2) = -0,50,,
G 8 ( F 2 - . 0 , 5 ) * = G 1 ( 0 , 5 ) * ,
где е'0 — удельная энергия. Из условий (7. 25) находим х7=— 0,5 G±, x 2=(0,5) 2G 1, постоянная х 4
находится из (7. 24) и (7. 25). Используя алгебраические интегралы из системы (7. 21), получим уравнение
*v vt(v-V* + ^lri)
— — / ; v (7-26) У2 ( V - 0 , 5 ) + 0 ,5 (у* + X - 4 J
Если уравнение (7. 26) проинтегрировано, то зависимость R (X) находится из уравнения неразрывности, a G (X) и Р„ (X) — из интегралов (7. 22), (7. 24). Вблизи центра симметрии, т. е. при малых X, пренебрегая в правой части уравнения (7. 26) членами порядка X 4F 2 и выше, найдем асимптотическую формулу V=— c/lnX (с=const). Соответствующие асимптотические формулы могут быть получены и для других функций.
Энергетический параметр а, входящий в зависимость r 2 (t)=(ae'0/рх)1^2, находится из интегрального закона сохранения энергии
1
а = 2TZ j (0,5fiF 2 + 0,5PÜ + G — GXX"4) Хз̂ Х — Л 0, о
где, как и ранее, А0 — (безразмерная) работа над полем токов, поддерживающих в центре взрыва ток 10 (см. предыдущий раздел). Заметим, что если вместо условия непрерывности р± мы приняли бы условие [рц] = 0, то пришли бы к заключению, что р „ = 0 всюду ' и задача сводится к соответствующей для уравнений МГД при у = 2.
213
При отличных от нуля начальных рп и р± задача перестает быть автомодельной. Приближенный учет противодавлений рп, р±1 может быть выполнен методом линеаризации, рассмотренным в главе 3 для уравнений газодинамики.
§ 3. Плоский взрыв при наклонном магнитном поле
Пусть в безграничном идеально проводящем газе произошло мгновенное выделение энергии вдоль плоскости, т. е. произошел плоский взрыв. Энергию, выделившуюся на единице площади, обозначим через Е0. Считаем, что в начальном состоянии газ покоился; давление pœ и начальная плотность p œ постоянны. Начальное магнитное поле постоянно по величине и направлено под некоторым углом а0 к плоскости взрыва. Не ограничивая общности, можно считать, что поле имеет компоненты Нх, НуУ
где ось у параллельна плоскости взрыва, а ось х перпендикулярна ей. Из симметрии задачи следует, что она будет одномерной и все исходные характеристики течения будут зависеть лишь от времени t и координаты х. Возникающая плоская ударная волна распространяется в направлении оси х. За фронтом ударной волны возникнет нестационарное течение, для описания которого будем использовать уравнения для невязкого нетеплопроводного совершенного газа. Для рассматриваемых течений имеем систему уравнений
=-к w + л Ы -•&*.)•
д Н у д -
-ir=—Tx(V*Hy-H*Vy^ = COllSt.
Здесь i;̂ , ^ — компоненты скорости газа, р*=р-\-Щ/8ъ. Из (7. 27) и термодинамических соотношений можно получить уравне
ние энергии в виде
Условия на ударной волне (1. 107)—(1. 111) примут вид
(vxn-D)Hyn-Hxvyn=-DHyœ, -D9œvyn-±HxHytt= -±HxHyœ,
(v*„ -D)P„ = -Dpm -DPœvxn + p*tt = p*œ, (7. 28)
Здесь индексом n отмечены параметры фронта ударной волны, D — скорость ударной волны. Кроме условий (7. 28), имеем условие в центре симметрии течения
М О , *) = 0. (7.29)
Для решения задачи нужно найти функции vx, vy,p, p, Ну, хп (t), удовлетворяющие системе (7.27) и граничным условиям (7. 28), (7. 29).
214
При Hz=0 магнитное поле параллельно фронту волны. Соответствующая этому случаю задача рассмотрена в § 2. Решение задачи при Нх=?^0 усложняется наличием новой неизвестной функции vy и увеличением числа дифференциальных уравнений. Для полного ее решения необходимо применять численные и специальные приближенные методы.
Отметим некоторые общие свойства решения задачи [1 ]. Система (7. 27) и условия (7. 28) инвариантны относительно преобразования v' = —v ,
у " v'x=—vx, х' = — х. Это означает, в частности, что функция^ нечетна по и при условии непрерывности решения в окрестности х=0 имеем равенство vy (О, t)=0. Таким образом, при х=0 скорость газа равна нулю.
Рассмотрим далее вопрос о законе затухания ударной волны на больших расстояниях от места взрыва. По мере распространения ударной волны от центра взрыва она будет затухать, а общая зона возмущенного движения будет увеличиваться. Между центром взрыва и передним фронтом волны будет происходить течение газа, сопровождающееся сложной картиной взаимодействия магнитогидродинамических волн сжатия и разрежения. На больших расстояниях ударная волна становится слабой. Так как энтропия при переходе через слабую ударную волну меняется мало, то в некоторой окрестности фронта волны течение можно считать изэнтропиче-ским. По аналогии с газодинамикой можно предположить, что в некоторой окрестности за фронтом магнитогидродинамической ударной волны течение является изэнтропической волной Римана [13]. Тогда, применяя, например, методы получения асимптотических законов затухания ударных волн, рассмотренные в [7, 14], можно найти асимптотический закон изменения vxn в зависимости от хп. Аналогично газодинамике или случаю Л=0 имеем [7]
^п = Сх-\ (7.30) где С — некоторая постоянная.
Используя соотношения (7. 28), можно установить соответствующие асимптотические формулы и для остальных искомых функций.
Рассмотрим некоторые методы решения задачи. Для численного решения можно использовать метод характеристик. Этот метод позволил бы достаточно точно описать систему магнитогидродинамических волн в области течения, во всяком случае до момента образования Ё потоке вторичных ударных волн. Однако этот метод достаточно трудоемок и неудобен для расчета на вычислительных машинах. Ниже мы укажем более простые способы расчета.
При НхОЭ <^Hyœ, т. е. когда угол а0мал, пренебрегая в (7. 27), (7. 28) членами порядка vyHx по сравнению cHyvx, найдем, что задача об определении vx, p, р отделяется от задачи об определении иу. Если задача о плоском взрыве для случая Нх=0, Оо=0 решена, то, используя результаты ее решения, vy можно найти путем интегрирования второго уравнения системы (7. 27). В § 2 для расчета Ну, их, p, р применен метод интегральных соотношений. Если использовать результаты расчета, полученные этим методом, то целесообразно применить его и ко второму уравнению системы (7. 27) для определения vy в случае малых о̂ .
Для расчета задачи при произвольном а0 представляется целесообразным использовать либо метод прямых, либо метод интегральных соот-
215
Рис. 86. Зависимости безразмерного времени т и давления на фронте плоской ударной волны от координаты фронта
1 — соответствует значению ß = l ; 2 — ß=0,5;i3 — ß=0
Рис. 8 7 / Зависимость Vyn и
S Л*
Gn от Rn
2 _ ß = i f 2 — 0,5; 5 — 0
Рис. 88. Изменение отношения тангенциальной и нормальной составляющих скоростей за фронтом ударной волны с ростом R ( G 1 = G œ = 0 , 5 )
ношений, аналогичный методам, развитым выше. Здесь под методом прямых понимается тот вариант метода интегральных соотношений, в котором между точками разбиения пространственной координаты на полосы подынтегральные выражения, содержащие искомые функции, аппроксимируются линейными функциями, т. е. интегралы по пространству фактически вычисляются по методу трапеций. Преимущество применения метода прямых состоит в том, что систематаппроксимирующих обыкновенных дифференциальных уравнений имеет простую структуру.
Важными характеристиками течения являются величины vn, рп, рпГ
Нуп и закон движения ударной волны хп (£). Рассмотрим приближенный метод определения этих величин независимо от расчета всего поля течения.
Так как в начальные моменты времени конечное магнитное поле слабо влияет на течение газа, то зависимость vn (хп) для малых хп близка к газодинамической и имеет вид
4 1 1
где Vx
2 1 6
:VxJa*» iïn = XnPœlE0' <4 = TPoo/poo, « = a ( у ) .
( 7 . 3 1 )
Зависимость (7. 31) аналогична формуле (7.30), и естественно предположить (см. гл. 4), что Vxn (Rn) можно аппроксимировать формулой (7. 31) для произвольного диапазона величин хп. Используя (7. 28), (7. 31), можно определить все искомые безразмерные величины на фронте волны в зависимости от Rn или безразмерного времени т = Е~1сг^*р*Ч. Заметим, что исследование этого метода в применении к задаче с Нх—0 (и к задаче газовой динамики (см. гл. 4)) показало его достаточно высокую точность.
Результаты расчетов приведены на рис. 86—88. В рассматриваемой задаче, кроме у, имеются два безразмерных независимых параметра:
На рис. 86 даны графики x(i?J и PjPœ{Rn) П Р И Т = 1Д, G œ = 0,5 и
различных ß. На рис. 87 приведены зависимости Vуп от Rn и Gn от Rn
при тех же значениях G œ , ß, причем Vf/ = ujaœ, G2 = HH^nypœ. На рис. 88 представленоютношение составляющих скоростей vn /ипх в зависимости от Rn.
Из приведенных результатов следует, что составляющая и за фронтом ударной волны ведет себя не монотонно, возрастая по абсолютной величине от нуля до некоторого максимума в начале взрыва и падая до нуля в поздней стадии взрыва. Это означает, что частицы газа, находящиеся вблизи от центра взрыва, будут приобретать скорости, направленные почти по оси х. Для частиц же, лежащих вне некоторой окрестности центра, начальные скорости будут направлены под некоторым углом к оси х. Газодинамические параметры рп, рп и компонента скорости vxn качественно ведут себя так же, как и соответствующие величины в задаче о взрыве без учета влияния магнитного поля.
§ 4. Сферический точечный взрыв в постоянном поле
4.1. Общие замечания. Рассмотрим случай взрыва сферического точечного заряда в покоящейся электропроводной среде. Будем предполагать, что Нх= |Д"Х| =const. Начальная плотность газа и начальное давление пусть пока также постоянны. Примем сферическую систему координат г, 6, ср с центром в точке взрыва. Имеем следующую систему определяющих параметров задачи:
г, 6, *, у, pv рх, # ! , av n, т, Е0. (7.32)
Так как течение газа будет обладать осевой симметрией, то решение задачи от другого координатного угла ср не зависит. Из определяющих параметров (7. 32) можно образовать следующие безразмерные комбинации:
s i = P?Prai/*°. Y» n, m
(r» = (0'*, t° = г» (ff, et? > r»). (7. 33)
Из (7. 33) следует, что уже в этой упрощенной постановке задачи о взрыве имеется четыре дополнительных безразмерных параметра ß, Oj, n, m по сравнению с задачей газовой динамики для однородной среды.
217
Это значительно усложняет общее решение задачи, так как решение, полученное для конкретной системы параметров X, а1? ß, n, m, не может быть пересчитано на другие значения этих параметров.
При бесконечной проводимости o = œ по сравнению с аналогичной задачей газовой динамики остается дополнительный безразмерный параметр ß. Кроме того, течение остается осесимметричным и решение будет зависеть от угла 0.
Перейдем к более подробному рассмотрению задачи для случая бесконечной проводимости газа [15, 16]. Система уравнений МГД в сферической системе координат возьмем в виде
~ § - (r2pvr sin ö) = r sin 6 (iteQ + « ) — (r 2 sin 6тигг) — - J - (r sin 6^) ,
™rT = ^ + P * - | f - , - 0 9 = P ^ + P* —-gf-,
* w = P* = P + -f̂ -. n r ï = pyri;e— -^HrHs = K^R,
s i n 6 ^ 9 _ — т с ^ c o s Q + JL. (Г2 s i n бц^) 4- .А. (r3 Sin 0тг9г),
^ f H L i = - A ( r 2 p , ; s i n 6) - 4 ( r p , 9 sin 6), (7. 34)
•i-(r sin 6ЯГ) = -^-[sin Ô (^Я в _ vbHr)l
_д_ dt _д_ ôr v ы х " 1 db
± (r* sin №r) + ( r H , sin 0) = O,
где г — радиус, 6 — широта, отсчитываемая от направления вектора Нг
{см. схему на рис. 89), Sr, SB — составляющие вектора потока энергии, Я г , Я е — радиальная и трансверсальная составляющие магнитного поля, vr, ив — составляющие скорости.
Условия на ударной волне имеют вид
[p (uN - D)] = О, [p (vN - D ) v x - ± HNHX] = О,
L J (7.35) IS] = [p {vN -D)(^ + + JL - Z>) Я 2 _ HN (vH)\} = 0,
f Я ^ - iTT - D)] = О, [Я*] = 0.
Здесь JETt — касательная составляющая магнитного поля, — нормальная составляющая магнитного поля, квадратными скобками обозначена разность величин по разные стороны от поверхности разрыва, D — скорость ударной волны. Величины за фронтом волны будем обозначать индексом 2.
2 1 8
Если r 2 (6, t) — длина радиус-вектора ударной волны, то имеет место соотношение
В рассматриваемом случае Н^2, # т 2 связаны с Hr2, НВ2 зависимостями
HN2 = НВ2 sin ф + Я т 2 cos ф, Я т 2 = # 9 2 cos ф — # т 2 sin ф,
• ! И7 ( f ro I Т Т / sm ф = ттг-, cos ф = Рг. т г 2 дЬ ' 7
Аналогичные соотношения имеют место и для компонент скорости v.
Из требования симметрии движения имеем условие для vd:
vB (r, 0, t) = v,(r, ix, *) = 0. (7.36)
Из системы (7. 34), начальных и граничных условий следуют интегральные законы сохранения энергии и массы
О о
Чг(т=г+-ё-)И(0, *)sin6d6' (7-37) о
j j рг2 sin 6drd6 = i P l J r| (0, t) sin 6d0. (7. 38) 0 0 0
Решение задачи сводится к интегрированию системы (7. 34) с условиями (7. 35), (7. 36). Ее решение для большого диапазона времени может быть дано численными методами и применением асимптотических законов затухания ударных волн на больших расстояниях. Для численного решения этой задачи можно схематично наметить следующие методы.
1. Уравнения МГД берутся в дивергентном виде (7. 34). Все искомые функции представляются тригонометрическими полиномами степени п с учетом их симметрии. Коэффициенты этих полиномов будут некоторыми неизвестными функциями r, t. Выбирая s лучей в октанте 0 ^ 6 ^ тс/2, требуем удовлетворения уравнений системы (7. 34) на этих лучах.
Эти условия дают нужное число дополнительных аппроксимирующих уравнений в частных производных по t и г. Полученная аппроксимирующая система решается каким-нибудь из известных численных методов (метод
2 1 9
конечных разностей, метод характеристик, метод интегральных соотношений) с учетом соответствующих граничных условий задачи. Отметим, что аналогичные методы развивались для некоторых задач газовой динамики.
2. Применяем последовательно метод интегральных соотношений. Вводя интерполяционные полиномы по г и 6, придем к аппроксимирующей системе обыкновенных уравнений по времени, которую следует интегрировать численно на ЭВМ.
3. Используем конечно-разностные методы с введением искусственной вязкости или разностных схем с размазыванием ударных волн аналогично тем, которые широко используются в обычной газодинамике.
При расчете задачи одним из упомянутых методов начальные данные можно задавать, используя результаты решения задачи при малых tr
на котором остановимся подробнее ниже. 4.2. Определение магнитных полей в начальной стадии течения. Для
достаточно малых t ударная волна будет достаточно сильной, и при умеренных магнитных полях в начальной стадии взрыва можно не учитывать влияние поля на движение газа и определять лишь возмущение магнитного поля ударной волной. Для грубой оценки пределов применимости этого подхода воспользуемся тем фактом, что магнитное поле будет слабо влиять на движение, если полная магнитная энергия, заключенная в возмущенном газе, мала по сравнению с энергией взрыва.
Если г* — допустимый радиус ударной волны, то для равенства энергий должно выполняться условие
Ео = ^\ШгЧг (7-39> или
Я о = 4Ч ( 7 . 4 0 ) 6
Отсюда имеем условие малого влияния поля
r<r,, r . ^ f . (7.41)
Из аналогичных рассуждений имеем оценку для пренебрежения противодавлением pt:
r < ^ = ( A ^ ) V (7.42)
Если r->> r¥, г > r w , то необходимо учитывать как противодавление, так и влияние поля Н1 на движение газа. При r ¥ ¥ < г < следует учитывать противодавление, -но можно не учитывать влияние поля на движение. При г << r¥, г < rw можно не учитывать противодавление и влияние поля на движение. Будем считать выполненными оба неравенства (7. 41), (7.42).
Для сильной волны в условиях на ударной волне можно пренебречь величиной р± по сравнению с р2у| и пренебречь Нх в условиях, вытекающих из закона сохранения импульса и энергии. При этом для г ;2> Р2 будем иметь обычные газодинамические условия, а скачок поля
220
определится из соотношения {Нх (v2—D)}=0. Так как в рассматриваемом случае v не зависит от б, Нх и является известной функцией из решения газодинамической задачи, то уравнения индукции системы (7. 34) интегрируются и зависимость компонент магнитного поля от г, б, t определяется формулами
^з 4
X ^ = ^ » . [ ^ ( 1 - 4 ^ ^ ( 4 ^ - 1 ) 7
X [ ^ ( . - ^ F ) } \
н, = - 1±|я, -.[1*1(1 + $у)Г№&т - ОТ х
x[W( 1 - Î L i l l F )T' <«3> Г20
где
7 + 1 2Т 3f — 1 5 ' ' 2f — 1 ' ' 3 ( 7 - 2 ) ' « — 27 + 1 '
о 2 5 3 ( 7 - 2 )
R2Ô = ( - ) a = const, 57 5 (7 *
(7.44)
Формулы (7. 43) непосредственно применимы для вычисления распределения Нг, Нв при условии *р7^=2. Случай у = 2 является особым {см. гл. 2), и его нужно рассматривать отдельно.
Так как по предположению поле не влияет на движение, то вид решения для искомых функций vr, p, р совпадет с газодинамическим решением (2. 5 ) - ( 2 . 10).
Выписанное выше решение (7. 43) было получено впервые в работе [15]. Обобщение решения (7. 43) на случай взрыва с переменной начальной плотностью р±=Аг"ш было проведено Е. В. Рязановым [16]. Он нашел, в частности, что при о)=(7—т)/(т+1) решение для поля приобретает простой вид:
H ^ H ^ - V соз б,
На : _ 1 + 4 ^ X ^ - 1 ) s i n 6. 7 — 1 1
(7.45)
Из формул (7. 41), (7. 43) следует, что компоненты 7Г, / 9 равны нулю, а компонента / ?
Пропорциональна sin б. Зависимость Н/Нг от Х=г/г 2 0 для 6=0 , 45, 90, 180° при Т = 1 , 4 показана на рис. 90.
Рис. 90 . Распределение интенсивноствГполя за фрон- J v ^^^а^^^пя—**~fm том волны в начальной стадии сферического взрыва ' ' ' ° ' ^
221
Используя формулы (7. 43) и дифференциальные уравнения силовых линий, можно определить деформацию силовых линий потоком газа. Для рассматриваемого случая дифференциальное уравнение силовых линий имеет вид
dr rdb_ нг Нь *
Используя формулы для Я г , Н Ь из (7. 43), находим
(7.46)
Уравнение (7. 46) можно проинтегрировать, учитывая зависимость X (F). В результате получим в параметрическом виде V (6) уравнение силовых линий. Так как это выражение достаточно громоздко, то рассмотрим простой путь приближенного решения уравнения (7. 46).
Из неравенства (7. 44) следует, что параметр V меняется слабо в области изменения X от 0 до 1. Полагая в уравнении (7. 46) V=V^ находим
r = r„C(smb)-, (7.47)
где С — постоянная интегрирования, a=l—5/2V^ > 0. Уравнение (7. 47) дает приближенно форму силовых линий магнитного поля за фронтом ударной волны. Качественная картина изменения силовых линий показана на рис. 89.
4.3. Учет влияния магнитного поля на движение газа. Для учета влияния поля на рассматриваемое течение можно применить метод линеаризации. В работе [16] отмечалось, что влияние магнитного поля можно найти путем линеаризации, используя малый параметр p>=(a/Eoyt*r2
:$H1,. где г2о — радиус ударной волны в соответствующей задаче без магнитного поля, а=const. Предварительные исследования задачи этим способом были проведены Е. В. Рязановым [16].
Рассмотрим детально идею линеаризации, применяя, на наш взгляд, более подходящую систему безразмерных переменных и взяв за параметр линеаризации величину q=H2/4v:Dlp10, где D 0 — скорость ударной волны сильного взрыва без поля, p10=ar~™ (ü>=const). Будем считать противодавление, равным нулю (Pi=0), а начальную плотность переменной: р^аг'™. Заметим, что противодавление можно учесть, используя принцип суперпозиции линейных добавок.
Введем следующие безразмерные переменные:
А)/е( х > Ъ 6) P=;Pio£(V Ъ б)>
Hfir(k, q, 6), H, = Hfi,(\ g, 6),
№ • 8 = ^ - е-«> После преобразований система уравнений МГД (7. 34) примет вид
„г / л SÛ_ дР г е „ дОг 1 д „ 2 - i
Vr = D J r ( l > Я, 6), Vt==
p = P10D*P(\,q,b), Hr =
222
%
( 2 - w - l ) p + Lx(P) + f r ^ + f ± ^ + ,p[^(m+ (7.49>
+ r a l r ^ s i n e ) ] = 0 '
м ^ е ) + ! i см/A - ад=о-Здесь Z(X9 и Lj — операторы:
£хе = * + L x + / г - J f + х Ж »
£> = - 4 + 4 { - 6 = 2 + 8 (« ,_2 ) .
Кроме того, из уравнения div H = 0 имеем
: Ж ^ Х 2 ) + етж(^п8) = 0. (7.50>
Далее введем обозначения
• R = r-*ÏLJL9 # = (7.51)
Условия на ударных волнах (7. 35) в безразмерных переменных (7.48), (7. 51) запишутся так:
P i - U f K i I T ' + ^ \ G ^ - ( P x l ) = 0,
R-wUfx2 + q ( G m G T 2 - G m G J = 0,
#2 ( / № - U) = - U R - ° , G m f x 2 - Gz% (/N2 - U) = GzlU, ( • '
7=Tï + ^ (1 - + T (1 - (GT 2 ~ = 0, G m = Gm.
Заметим, что предпоследнее условие в (7. 52) есть ударная адиабата. Мы используем ее вместо уравнения энергии. В рассматриваемом приближении форма ударной волны будет отлична от сферы (см. схему на рис. 89). С помощью приведенных кинематических и геометрических соотношений для фронта ударной волны находим
(Л+4^ Л „ щ и — д У J N 2 — ' г2 д / 82 Д »
R'Q R R Щ
/ т 2 = /г2"д Н/ег'д"» ^ N * = G H ~д ^е»~д"> ^7 5 3 ^
Представим любую из искомых функций (X, g, Ö) в виде .F (X, g, ö)— =F0(l)+qF1 (X, 9)+o (?) и обозначим fr0 (X)=/ 0 (X).
223 .
Проведя линеаризацию системы МГД (7. 49), (7. 50), по параметру q получим уравнения для функций Fx:
go [ < * + х) U - Ь Ж + /о Щ + ft fa - * 4 Г + /о I ) =
£ 0
2 /пг d G m . 6 > 0 G Q 0 1 d G e o / 7
Ч о " ^ — 1 т~. I T * " ^ - » ( / . о о ; A. ~ ' ° ( ? Х ~ h • 21 f )6 '
1 d-(go/eiSine) = 0, (7.56) X s i n Ö дЬ
—X . д Р 1
Г д • (/„ sin 6)1 + тЛ ^-А (Х*/0) = О, (7. 57)
- X ^ L + AG r l - ±-[sin 6 ( / 0 С И + / r l G 9 0 - G r 0 / 9 1 ) ] , (7. 58)
_X.!^S1 + k G n = - 1 ^ [ X (/ 0G 9 1 - / r l G 9 0 - G J n ) ] , (7. 59)
ï ^ + i j ^ s i n ^ O . (7.60)
Последнее уравнение получено из (7. 50) и может быть использовано вместо одного из уравнений (7. 58) или (7. 59) (см. об этом замечание в § 3, гл. 1).
Эта система МГД обладает замечательным свойством, а именно, уравнения, определяющие газодинамические функции / г 1 , / е 1 , Ръ gL, отделяются от уравнений для 6? r l, G e i . Причем для функций с индексом 0 решение газодинамической системы известно и приведено в главе 2, а для G r 0 , GQ 0
имеют место уравнения
Решение уравнений (7. 61) было найдено в предыдущем разделе (см. формулы (7. 43)), где мы исследовали задачу для слабых полей. Можно формально убедиться в том, что функции (7. 43) удовлетворяют уравнениям (7. 61).
Если газодинамические функции / г 1 , / е 1 известны, то уравнения (7. 58) — (7. 60) дадут возможность определить поправки к полю G r 0 , G e o. Таким образом, основная задача состоит в определении газодинамических добавок /ri» /ei» #ь -Pi и з системы неоднородных линейных уравнений (7. 54)— (7.57).
Для координаты ударной волны и ее скорости U примем
R = l+qRv ü = l + q ü v (7.62)
224
тогда из (7. 53) между Ux и Rx следует связь: U1 = (\+k)R1. (7.63)
Так как ударная волна отлична от сферы, то в линейном приближении для любой функции F (X, g, 6) имеем
^ = F 0 ( l) + ^ a ( l , в) + ( ^ - ) Л 1 ? ( F 2 = F \ R = R 2 ) . (7.64) Х=1
Линеаризация условий на ударной волне с учетом (7. 62)—(7. 64) дает следующие соотношения: G ^ = G M = cos Ь, G 9 0 2 ( / 0 2 - l ) = - . G 9 1 , _ l ± l S m e = G 9 0 2 , (7.65)
l Pi, - /,12 + Wo)* - Wo)* - «/oJ Ri - Вл/оя + i (G?o2- sin2 9) - 0,
((*ö)s— л ? = o , x = i ) '
/о2 -jf- + /ей + cos 6 [G e o 2 + sin G] = 0,
gWr12 + gll (/02 - 1) + {(/;)2 #20 + №0)2 + «tfoJ (/02 - 1 ) - «>} Rl + + (1-^02)^1 = 0,
cos e [/02 ™ L + / 9 1 2 ] _ G 9 0 2 [ / R L 2 + ( / ; ) 2 R , - u j -
G r o 2 ^ + G m + ( G 9 O ) 2 яЛ (/ 0 2 - 1) = - s i n W , + cos 9 Ä ,
(7. 66)
H 2 ^ 1 2 - у ( * ; ) 2 P02 ~ <* ^ «Г02] *1 + (G 8 0 2 + Sin 6}» = 0,
Grl2 + (Gro)2 — G802 = S i n 6 4Jjf - -
Линеаризация интегральных законов сохранения энергии и массы дает зависимости
i f i ( M i ^ a + ^ r + i G S ) X 4 X + о Lo
+ ( А + - ^ г ) 1 sin 6d9 = j , (7. 67)
lu г 1 î l i о L o
sin 6й9 = 0.
Задача заключается в решении системы линейных уравнений в частных производных (7. 54)—(7. 57) с граничными условиями (7. 66) на ударной волне (при Х=1). Кроме того, мы имеем условие симметрии / 0 1 (X, тс) = = =/ei 0 )=0 . С помощью этого условия (и интегральных соотношений) можно определить форму ударной волны в рассматриваемом приближении.
Анализ уравнений и граничных условий показал, что решение задачи следует искать в виде
g l = М0 (X) + sin2 Шг (X), Рх = ти0 (X) + sin2 в % (X),
/ri = ?H)W + ?riWsiii ae, (7.68)
hi = *п M sm 26, Rx = R1Q + Rn sin2 0.
15 Тр. Математ. ин-та, т. GXIX 225
Заметим также, что мы имеем в соответствии с (7 . 43 )
Gro = t M cos 6, GB = —фв (X) sin 6. (7 . 69)
Если подставить решение (7. 68) с учетом (7. 69) в уравнения (7. 54)— (7. 57), то переменные разделяются и мы получаем для семи неизвестных функций, входящих в (7. 68), системы обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих граничных условий при Х=1. Решение этих линейных систем можно получить численно, используя методы, развитые в главе 3 при рассмотрении одномерных задач. При решении линейных систем следует использовать интегральные законы (7. 67) как для контроля точности вычислений, так и для определения постоянных i? 1 0 , Ä u . Отметим, что для особого решения (2. 28) при а>= шх линейные системы являются системами с постоянными коэффициентами. В этом случае (как и для одномерных задач) задача отыскания решения сводится к чисто алгебраической в смысле отыскания собственных значений и произвольных постоянных, входящих в решение.
Таким образом, приведенный анализ позволяет сделать вывод, что решение рассматриваемой задачи при малых g имеет вид
р = аг£Щ [Р0 (X) + g (*0 (X) + к, (X) sin2 6) + о (q)],
Р = or* [g0 (X) + q (М0 (X) + Мг (X) sin2 0) + о (д)],
vr = D0 [/о (X) + q ( ? r 0 (X) + ? r l (X) sin2 0) + о (g)],
^8 = Do [9<Pei M sin 26 + 0 (g)],
Hr - H1 [t (X) cos 6 + qGrl (X, 6) + о (g)],
Я 9 = H1 [ - ф0 (X) sin 6 + gG6 1 (X, 6) + о (g)],
r2 = r 2 0 (t) [1 + g (Д 1 0 + Rn sin2 8) + о (g)],
= н\ q ^Dï?lQ '
Заметим, что в рассматриваемом решении есть аналогия со случаем переменной плотности по высоте (без магнитного поля), когда распределение плотности по z симметрично относительно положения z=0 (см. работу [17]). Заметим также, что случай движения поршня в бесконечно проводящем газе с магнитным полем (как автомодельное, так неавтомодельное линеаризованное решение) рассматривался в работах американских авторов (см., например, [18]).
Для расчета параметров фронта волны на больших расстояниях от точки взрыва можно использовать асимптотические законы затухания слабых волн, изученные нами в работе [7]. В этой работе приведены асимптотические формулы, дающие возможность построить приближенную теорию формы ударной волны, основываясь на способе, аналогичном тем, которые были изложены в главах 4, 5 и § 3 настоящей главы. Мы не будем здесь останавливаться на этом подробно.
226
§ 5. О возмущении произвольного слабого магнитного поля
Рассмотренная задача о возмущении постоянного слабого магнитного поля Нг при распространении сильной ударной волны сферического точечного взрыва в бесконечно проводящем покоящемся газе может быть обобщена на случай любого слабого поля Н1 как при сферическом, так и при плоском и цилиндрическом взрывах [19]. Будем также считать ударную волну достаточно сильной и предполагать p2v\ > Щ/8п, г < г , , где г¥
вычислен по некоторой средней величине для поля Нг. В первом приближении пренебрегаем влиянием поля Нг на возмущенное движение газа. Будем следовать нашей работе [ 1 9 ] .
В случае сферической ударной волны (v=3) задачу рассматриваем в сферических координатах г, 0, ср, в случае цилиндрической волны (v=2) примем цилиндрические координаты г, ср, z, а в случае плоской волны (v=l) — декартовы координаты г, г/, z.
Для определения возмущенного поля H можно воспользоваться уравнением индукции (1. 76). Однако здесь удобно идти более простым путем.
Если учесть уравнение неразрывности и перейти к переменным Лагранжа (за лагранжеву координату примем начальную координату частицы), то уравнение индукции преобразуется к виду (1. 78) (более подробно см. § 3, гл. 1)
T = ( l t g r a d « ) r > '
здесь принято Н0=ШЪ р0= р ь г — радиус-вектор частицы. Так как газодинамические переменные можно считать зависящими лишь от лагранже-вой координаты г 0 и t, то из уравнения (1. 78) с учетом газодинамического уравнения неразрывности находим [19] следующие формулы для компонент магнитного поля в зоне возмущенного движения:
Я , = Я „ ф " . Ы ^ ) - , Ш, = ШЖ±(0™™ ,7.70)
Здесь 0)^=1 при v = 2 , 3, %=0 при v = l , Н 4 — компоненты вектора магнитного поля соответственно в сферической, цилиндрической и декартовой системах координат. Из (7. 70) следует, что соответствующие условия на ударной волне для поля выполнены.
В дальнейшем для простоты будем считать начальную плотность р0
постоянной. В этом случае для г/г0 имеем зависимость (см. гл. 2) / т у _ _р_ / Р У Т (1У
Здесь г 2 — координата ударной волны, р2 — давление за фронтом волны, зависимости р/р2, р / р 2 , р/ Ро о т г^г2 известны из аналитического решения задачи о сильном взрыве (см. гл. 2).
Рассмотрим частный случай постоянного начального магнитного поля Нг. Пусть в сферическом случае начальное поле направлено по оси z, в цилиндрическом составляет угол а с осью z, а в плоском имеет компоненты Нг1, Ну1, Нг1. Для сферического и цилиндрического случаев имеем
Нп = Ех cos 6, Н21 = НГ sin 0, Я 3 1 = 0 (v = 3);
Нп = Нх sin а, Н21 = Нг sin а sin ср, Н31 — Нг sin а cos ср (v = 2).
15* 227
В рассматриваемом случае из (7. 70) получаем
я ^ я . с о з е ^ ) 2 , = sin e-JL, я 9 = о ( v = 3 ) ,
Hv = H, sin a sin Ф — , Нт = Ел sin a cos ср Г о T P i r ° (7.71)
Я , = Я 1 С о в а ± . (v = 2),
Как уже было отмечено выше, частный случай постоянного начального магнитного поля был рассмотрен впервые в работе [15]. В этой работе для отыскания компонент магнитного поля был применен метод непосредственного интегрирования уравнения индукции. При v = 3 , Я 1 =соп81 из (7. 71) можно получить решение (7. 43)—(7. 44). Случай цилиндрического взрыва, когда поле имеет лишь одну компоненту Hz, рассматривался в § 2. Вопросы взаимодействия плоской ударной волны со слабым магнитным полем, не связанные с задачами теории взрыва, изучались в работе [20]. Заметим также, что в случае v=3 может быть найдено возмущение поля при взрыве в несжимаемой жидкости. В этом случае в формулах (7. 70) следует считать р= рх. Из уравнения неразрывности в переменных Лагранжа найдем
^ = 9% ( 2 = 1 - £ ) .
Здесь I — радиус каверны, зависимость которого от t известна (см. § 7, гл. 1). В этом случае из (7.70) находим Hr = HrlQls, Hb = HnQ~lä, Н? = üT^S^8. К сожалению, это решение теряет смысл вблизи границы каверны, так как Нв и обращаются в бесконечность при г=1.
§ 6. Распространение ударных волн при конечной электропроводности среды
6.1 Деформация слабого поля. Предположение о бесконечной проводимости среды часто не может быть оправдано. Так, при движении воздуха за фронтом сильной ударной волны (М=20) при характерных размерах около 1 м магнитные числа Рейнольдса имеют порядок единицы. Приведем некоторые известные значения проводимостей для воздуха за фронтом ударной волны, для воздуха с добавкой цезия, для ионосферы на высоте 350 км, для морской воды и для ртути.
Среда Воздух Воздух Воздух Ионосфера Вода Ртуть М = 2 0 М = 1 2 +0,01%Cs (350 м) (морск.)
М = 1 2
а (сек-1) 2 -10 1 2 10 1 1 2 - 1 0 1 3 1 0 1 1 2 -10 1 0 10 1 в
Для воздуха здесь даны значения a за фронтом ударной волны, M — число Маха. При больших характерных масштабах явления, например при мощных взрывах в ионосфере, числа Rm могут быть больше 10, и здесь применение приближения бесконечной проводимости может быть вполне оправданным.
228
Предполагая значения а конечными, возьмем случай слабых магнитных полей. Пусть начальное магнитное поле однородно. Рассмотрим лишь случай цилиндрического взрыва, изученный нами в 1960 г. и опубликованный впервые в работе [9]. Позднее аналогичные исследования проводились А. Сакураем [21].
Уравнения движения возьмем в виде
dv __ dp* , 2(v — l) h ! d p d v v —1 n no\
т ^ = * ( £ + ^ ) - ^ 4 ( ^ - ^ ) . <7-73> 1
df ~ T / 4 d r ^~ r ) •
Я 2 /72 A = A. + ( , - l ) A f . p* = p + A, А, = - £ .
Пусть / ^ = 0 , hzy^0. Введем безразмерные переменные
— — i r — 7 7 P _ r x л_ p_ P
Если искать решение системы (7. 72)—(7. 73) в виде
/ = / о M + ?Л (*) + *(?). g = *„(*) + «*! (*) + <>(?),
^ = Po (*) + ? Л W + « (<7)> G = G 0 (I) + çGj (X) + о (g),
то, повторяя рассуждения предыдущего параграфа, получим, что в первом приближении величины / 0 , g0, Р0 будут удовлетворять уравнениям и соотношениям для сильного взрыва в газе, а для функции G0 из уравнения (7. 73) находим
^ = i (^f)= c o n s t - (7.76)
Из условий на ударной волне (1=1) для случая конечной проводимости (см. гл. 1) получаем (перед волной газ покоится)
G02 = G0V f 02 G 0 2 — &02 {ж)02 = ~&01 (ir)ol #
Газодинамические функции будут удовлетворять обычным условиям на сильной волне. Мы предполагаем, что к02=^к01 в общем случае. В силу непрерывности магнитного поля впереди ударной волны (область 1) возникает течение. В первом приближении, однако, скорость / 0 впереди ударной
229
волны равна нулю, поэтому уравнение индукции (7. 76) в области 1 примет простой вид:
*oi à d G 0 \ ^ d G 0
(7.77) •4№) + >-& = о-В области 2 (за фронтом ударной волны) имеет место уравнение (7. 76) при к0=к02. Уравнение (7. 77) интегрируется, и его решение с учетом условия G -> 1 при X - > оо имеет вид
0 0
dx Gul = \ - A x \ e - * > l * » ^ ,
AL — произвольная постоянная. Для области 2 из (7. 76) получим систему уравнений
Go=G 0/X, Q 0 = ^ - [ ( / 0 _ X ) Q 0 + XG0(/o + ^ ) ] > (7.78)
где / 0 (X) — функция, известная из решения газодинамической задачи. Исследование системы (7. 78) показало, что она допускает ограниченное решение вблизи Х=0, причем для этого решения верно разложение
G0 = c 1 [ l + a 1 P + O(X%
где сг — произвольная постоянная, аг^=И^ког. Если ввести новую переменную G0=G0/cu то в центре симметрии будем
иметь условия ö(0) = 1, Й(0) = 0. (7.79)
Система уравнений для G, 2 в области 2 интегрировалась численно от центра до ударной волны. Далее из условий на ударной волне для функции G определялись произвольные постоянные с± и Аъ а следовательно, и функция G0 В областях 2, 2. Интеграл в формуле для G 0 1 находился по таблицам.
Полученное решение позволяет в первом приближении определить структуру магнитного поля при прохождении ударной волны. Вычисле
ния проводились для различных значений параметров k0i и у. Результаты расчетов для т=5/3 отражены на рис. 91. Проведенные исследования показали, что с уменьшением параметров к01 (к02 ^ ^ к01) максимум H/Hœ нарастает и стремится к идеальному значению, равному (Т+1)/(т—1) П Р И
Ki ~* О* причем распределение
Рис. 91 . Распределение магнитного поля по пространству для различных значений koi ( 7 = б / 3 , v = 2 ) 1 — feof = ft02=0,01; 2 — 0,02; 3 — 0.1; 4 — fcoi=0,l, ft02=0,2 IS Л
H/Hœ стремится к зависимости HIHœ= р/ pœ (это вытекает из интеграла вмороженности при бесконечной проводимости).
Таким образом, получено решение, характеризующее структуру изменения поля. Нахождение последующих приближений позволит определить взаимодействие движения и поля и уточнить структуру изменения поля при прохождении ударной волны в электропроводном газе. Аналогичные исследования можно было бы провести для плоского и сферического взрывов, причем в случае взрыва сферического заряда следует определить две компоненты поля Нг и Нв, которые будут зависеть как от X, так и от угла в.
6.2. Течения при малых и конечных числах Rm. В теории ударных трубок и в опытах с разрядами вдоль проводников может возникнуть необходимость изучения распространения плоских и цилиндрических ударных волн при малых магнитных числах Rm. Эти вопросы возникают также в теории взрывных магнитогидродинамических генераторов. Задача о цилиндрическом и плоском взрывах может быть использована также при изучении вопросов обтекания тонких затупленных тел гиперзвуковым потоком при наличии магнитного поля.
Излагаемые ниже результаты в основном опубликованы в 1962 г. [22]. Позднее течения при малых Rm изучались американским ученым П. Ли-кодисом [23].
Будем считать проводимость газа а конечной и предполагать, что имеет место зависимость
Здесь и — характерная скорость, v m — магнитная вязкость, I — характерный размер, за который следует взять или высоту ударной трубки, или средний радиус ударной волны. При малых Rm можно пренебречь обратным влиянием течения газа на величину электрического и магнитного полей.
При больших числах Rm следует учитывать влияние течения газа на изменение магнитного поля. Будем считать газ совершенным с постоянным отношением удельных теплоемкостей.
Обозначим через е0 величину энергии взрыва, рассчитанную на единицу длины в цилиндрическом случае и на единицу площади — в плоском случае. Предположим также, что вектор напряженности магнитного поля H перпендикулярен вектору скорости течения v. В цилиндрическом случае H может иметь как осевую Нг, так и азимутальную Н? компоненту. В плоском случае магнитное поле считаем направленным по оси z перпендикулярно направлению движения газа. Вектор напряженности электрического поля JE перпендикулярен Н.
a = o l P y » , (7. 80)
где аи 72, m — постоянные, р — давление, р — плотность газа.
Пусть магнитные числа Рейнольдса малы
(7.81)
231
Решение рассматриваемой задачи сводится к интегрированию системы уравнений МГД, которую возьмем в виде
• i f + pdivt> = 0,; / Ц / Х Я ,
^ + T p d i v t > = ( T - l ) £ f j = a(E + ±vXH)% (7.82)
r o t l î = — J , rotJEJ = — d i v J T = 0 . (7.83) с " с dt 1 4 7
При этом следует учесть, что вектор v направлен перпендикулярно JE и H и все искомые функции зависят лишь от времени и одной координаты г — расстояния от оси симметрии или от плоскости взрыва. Из системы (7. 82)—(7. 83) для данного случая имеем уравнение энергии
éHS+ï^}+ï{'-4J?+îïï)} ='"^- <7-84> При взрыве по газу начнет распространяться ударная волна. Условия на ударной волне имеют вид
[p(v-D)] = 0, [?v(v-D) + p] = 0,
№ - д ) ( ? + 7 ^ ) + ^ ] = ° . ( 7 ' 8 5 )
[ Н ] = 0, [ Щ = 0, (7.86)
где квадратными скобками обозначены разности значений величин на сторонах поверхности разрыва, D —скорость ударной волны, Ет — касательная составляющая электрического поля. Если считать ударную волну сильной, то можно пренебречь величиной начального давления газа по сравнению с давлением за фронтом ударной волны.
Рассмотрим задачу о сильном цилиндрическом и плоском взрывах в газе в предположении, что Rm малы, начальная плотность газа р± постоянна, начальное электрическое поле отсутствует, а начальное магнитное поле зависит от координаты следующим образом:
Н2 = *хгш ( х 1 = = const), (7.87)
(о=0, если Н=Н2, ш=— 2, если v=2, Н=Нр.
Выражения для у2 и fr— проекции силы / на направление г — будут
/ » = ^ { я | + ^ - 1 ) Я » } У « , и = + (7.88)
В этом случае система уравнений движения газа, полученная из (7. 82), будет содержать размерную постоянную
х = х 1 а 1 с" 2 , [х] = M1^^Lm**nr*-mT**-1.
Решение задачи будет зависеть от следующих определяющих размерных параметров: r, t, е0, ръ х. Из теории размерностей следует, что задача о взрыве будет автомодельна, если выполнено условие v (2т—1)—2 (<*>+ + 1 ) = 0 .
232'
Введем безразмерные переменные V, Л, Р и X по формулам
v = jV(X), p = p1Ä(X), ' p = Pl£p(k), X = . i - (7.89)
где г 2 — радиус ударной волны. В силу автомодельности для г2 имеем
r 2 = ( i - ) 1 / v + 2 i ^ ; g o = a s > (7.90)
где е — некоторая постоянная, имеющая размерность е0, а — величина, Способ вычислений которой будет объяснен ниже.
Учитывая (7. 80), (7. 87)—(7. 90), из системы (7. 82) получим следующие дифференциальные уравнения для автомодельных функций У, Л и Р:
X {(V — В) RV! + P) = R (V — F 2 ) — 2Р — k\aVRnPm,
X { ( F — 8)Д' + Л F ' } = — v i ? F , ( 7 '
X { ( F — 8) Pf + T P F ' } = 2P — (2 + v T ) PV + (T.— l)k\aV2RnPm.
Здесь 8 = 7 ^ 2 , a = (v + 2) ( m - 0 , 5 ) , Ä = x P l - + - i ( I ) " - W .
В рассматриваемом случае (2£=0) из уравнения (7. 84) следует, что система (7. 91) имеет интеграл энергии
K*{iyr-b)(Sp. + ^ - ï + PV)} = c1. (7.92)
Обозначим индексом 2 величины за фронтом ударной волны. Так как D=dr2/dt, а газ перед ударной волной покоится, то, переходя к безразмерным переменным, из (7. 85) найдем
Л , ( 7 я - 8 ) + 8 = 0, i ? 2 F 2 ( F 2 - § ) + P 2 = 0, ( / . У о )
(V2 - 8) ( M i + ^ ) + P 2 F 2 = 0.
Следовательно, искомые функции F (X), Л (X) и P (X) должны удовлетворять на ударной волне (при Х=1) условиям (7. 93). Кроме того, должно выполняться условие постоянства полной энергии в области, занятой движущимся газом, т. е.
2 {(v - 1 ) я _ (v - 2)) j + J l j ) Г-Чг = е 0 .
о
Переходя к безразмерным переменным, найдем формулу i
a(v, т , m, n, Ä) = 2 { ( V _ 1 ) w _ ( V _ 2)} J (Ep + -£-.y^dk. (7.94) 0
Из последнего уравнения (7. 93) следует, что постоянная сх в интеграле энергии (7. 92) равна нулю. Введем новые переменные
; = ш ? , * = м , ? = , t ± 0 ^ i ( m + > _ i ^ o ) . 233
Система (7. 91) в новых переменных примет вид
X {(V - S) yV + z'} = y(V — F 2) + (ß - 2) z — kVy»zm,
* (О7 - § ) * / ' + yV'} = {(ß - v ) F - ß8) у , (7.95)
X {(F — 8) z' + *[zV'} = (ß — 2 — v T ) Fz + (2 — ß8) z + ( T — 1) kV*ynzm.
Интеграл энергии (7. 92) может быть записан так:
Используя (7. 96), решение системы (7. 95) всегда можно свести к интегрированию уравнения первого порядка. Так, исключая z1 из первого и третьего уравнений (7. 95) и вводя новую переменную p.=ln X, найдем
ÈL—y(u V) — y z - ( a - y ) 2 y ? 9 7 )
dV ~ - * U f » к / — (2 — 2ô — 7 v K ) z + (1 — V) (Ь — V) Vy + k {4V— Ь) V y n z m % v ' ' 1 " '
Из второго уравнения (7. 95) с учетом (7. 97) получим
W=ï=v < 4 + ((v - ß) F + ßS) У- (if. F » • ( 7 - 9 8 )
При этом функция z (г/, F) определяется уравнением (7. 96). Если уравнение (7.98) проинтегрировано, т. е. найдена зависимость у (F), то из (7.96) можно определить z (F), а из (7. 97) при помощи квадратуры получить \х (У); следовательно, может быть найдено полное решение задачи.
Выше предполагалось, что т-\-п—1=^0. Можно показать, что и в случае т-\-п—1=0 решение системы (7. 91) может быть сведено к интегрированию одного дифференциального уравнения первого порядка вида dllaV=F (X, F) и одной квадратуре.
Анализ решения уравнения (7. 98) и системы (7. 91) показал, что при п=т=0 (o=const) вблизи центра верны асимптотические формулы
P = [Cl — ± In (jfcX)J X " 2 , R = e x 2 " - 1 .
При 7 7 1 = 1 , тг=1 и v=2 решение обладает сильной неинтегрируемой особенностью для функции Р и теряет смысл. Случай тг=0, т=0 исследован подробно численно. Для численного решения использовалась непосредственно система (7. 91). Она была разрешена относительно производных и интегрировалась на ЭВМ, причем решалась задача Коши с начальными данными при Х = 1 . В окрестности центра взрыва расчет проводился по асимптотическим формулам типа (7. 99). Интеграл энергии использовался для общего контроля точности расчета задачи. В процессе расчета системы (7. 91) интегрированием определялась постоянная а. Максимальная относительная погрешность по определению Р из системы (7. 91) и интеграла (7.96) не превышала 0,01%. Некоторые результаты расчета для v = l и v=2 представлены на рис. 92, 93. В цилиндрическом случае при у=1,4 было найдено а=0,998 (А=0,01), а=1,13 (&=0,1), а = 1 , 5 6 ( Ä = 1 ) , а=15,2
(к= — ^— параметр, характеризующий взаимодействие между
газом и* магнитным полем.
234
Р/Рг
Рис. 92 . Распределение скоростей, плотностей (а) и давлений (б) за плоской волной при малых значениях R m (Y=1,4; V = 1 , n = Q , m = 0 )
Рис. 93 . Распределение скоростей, плотностей (а) и давлений (б) за цилиндрической волной при малых значениях R m при разных к
у
Из (7. 88) следует, что электромагнитная сила / и скорость v имеют противоположные направления. Это приводит к замедлению скорости потока по сравнению со скоростью газа при взрыве, когда магнитного поля нет. В потоке происходит также джоулева диссипация, в результате которой к частицам подводится тепло.
По газу течет ток, плотность которого задается первым соотношением (7. 88). Если от системы отводить ток, то ее можно рассматривать как нестационарный магнитогидродинамический генератор. Отметим, что некоторые системы, использующие энергию ВВ для генерирования электрического тока, рассмотрены в [24]. Отметим также, что в работе [25] показано, что результаты теории удовлетворительно соответствуют опытам по цилиндрическим взрывам в магнитном поле при малых числах Rm.
Рассмотренные решения могут быть найдены и для случая анизотропной проводимости (уч^т токов Холла).
235
В случае конечных чисел R M для решения задачи о сильном взрыве следует учитывать изменение магнитного поля и использовать полную систему уравнений (7. 82), (7. 83) МГД.
Возьмем случай цилиндрической симметрии при условии, что Н0=ОГ
т=0, я-— 0, т. е. задачу о сильном цилиндрическом точечном взрыве, когда проводимость газа постоянна в области непрерывности гидродинамических параметров, а начальное магнитное поле переменно, причем Н2=Щ — = х1г~2. В этом случае можно принять систему уравнений (7. 72), (7. 74) г
(7. 75) и учесть соотношения jz= (cl/4nr) [d/dr/(rH9)], Ez=(jг h)—(vlc)Hr
Если ввести безразмерные переменные Н°, Е° и сз7 по формулам
и воспользоваться формулами (7. 89), то эту систему можно записать так:
X {(V — A) RV + Р' + Я ° ' } + R V (V — 1) + 2 (Р + Н°) = О,
х{(> — ̂ }R1 + RV1} + 2RV = 0; (7.100)
x { ( F - i ) p i + T PFi} -2P + 2(T + l ) P F _ ^ ï ^ 4 { A ( ^ V ^ ) } 2 = = 0 ,
X { ( > _ А) Я 0' + 2H°V1 } — 2Я° + 4Я°7 —
- т ^ ^ 1 { ^ С 2 ^ ) } = о. Для Е° и о7 имеем
Е°=ТЖ(Х2 №)-VV№, J = Щх* у/^)(л = vm(^y/2). (7.101) Здесь А — безразмерный постоянный параметр. Отметим, что система автомодельных уравнений, эквивалентная (7. 100), была указана в [27]. Система (7. 100) имеет следующие интегралы:
2 f тег + 50 - 2 7 (Т+^Р + 2Я°) + + ^ V # ° ^ 2 V # ° ) = c 2 , ( 7 Л 0 2 >
X* (F - 0,5)V#0' - А 4̂ (X2 v/Яо) = с 3 .
Последний интеграл был указан Гринспаном [26] при рассмотрении аналогичной задачи для движений со скачком проводимости. Постоянные с2
и с3 находятся из граничных условий. Используя этот интеграл, можно понизить порядок системы (7. 100).
Будем рассматривать случай, когда движение газа сопровождается возникновением ударной волны. Из (7.85), (7. 86) найдем граничные условия на фронте ударной волны (при Х=1) для безразмерных функций У, Л, Р и Н°:
[R(V-h)]=0, [RV(V-b) + P] = 0,
[ ( 7 - 3 ) ( ^ 4 7 4 l ) + ^ ] = 0, (7.103)
[А (4Я° + Я0') — 27Я°] = 0, [H°] = 0. 236
Кроме того, должны выполняться условия на бесконечности V^^O, R оо=1 , P 0 0 = 0 , H°œ=0 при X = o o и условие равенства нулю скорости на оси симметрии. Обозначим, как и ранее, индексом 1 величины перед фронтом ударной волны (область 1), а индексом 2 — за волной (область 2). Радиус ударной волны определяется формулой (7. 90). Из интегрального закона сохранения энергии найдем формулу для а.
Для полного решения задачи следует проинтегрировать систему (7. 100) в областях 1 и 2 с учетом интеграла энергии (7. 102). При этом нужно удовлетворить граничным условиям (7. 103), условиям на бесконечности, условию в центре симметрии и вычислить постоянную а. Плотность тока и электрическое поле находятся по формулам (7. 101).
Отметим работу [28], где была рассмотрена задача о цилиндрическом разлете газа при конечных Rm.
§ 7. О возбуждении электромагнитных волн сильными ударными волнами
со скачком проводимости
При распространении сильных ударных волн в газе резко меняются ого свойства после прохождения фронта ударной волны: сильно возрастают давление, температура, плотность, электропроводность. Наличие взаимодействия между сильной ударной волной и электромагнитным полем связано с резким увеличением электропроводности газа за фронтом скачка. Для ядерных взрывов большой мощности увеличение электропроводности может быть обусловлено термической ионизацией газа и другими причинами. Значительное увеличение электропроводности газа отмечено также для взрывных волн, возникающих при детонации химических ВВ [29].
Если ударная волна распространяется в пространстве, в котором имеются магнитное и электрическое поля, то изменение свойств среды при переходе через фронт ударной волны вызовет возмущения магнитного и электрического полей, которые будут распространяться в виде электромагнитных волн. Вопросы, связанные с излучением электромагнитных волн ударными волнами, исследовались в ряде работ [1, 15, 30—32].
Ниже будут рассмотрены задачи излучения электромагнитных волн сферическими и плоскими ударными волнами при их распространении в слабом магнитном и электрическом полях. При этом будет предполагаться, что механизм возбуждения электромагнитных волн связан с возникновением нестационарных токов и скачка проводимости при прохождении ударной волны через газ. Далее мы будем следовать нашим работам [15, 30].
Пусть сильная ударная волна распространяется со скоростью D (t), где t — время, в газе, занимающем неограниченно большой объем. Так как электрическое и магнитное поля впереди фронта ударной волны предполагаются слабыми, будем пренебрегать их влиянием на движение газа за фронтом волны. Это означает, что параметры фронта волны будут такими, какими они получаются из решения газодинамической задачи. Будем предполагать газодинамическую задачу полностью решенной и, следовательно, скорость D (t) заданной.
237
Рассмотрим начальные и граничные условия. Пусть в начальный момент времени £=0 векторы напряженности магнитного поля H и электрического поля Е постоянны. Будем считать, что проводимость газа перед фронтом ударной волны равна нулю, а за ним равна бесконечности. В силу отсутствия магнитных зарядов на фронте ударной волны для нормальной составляющей магнитного поля Нп имеем условие непрерывности (магнитную проницаемость считаем равной единице). Из уравнений Максвелла следует, что касательная составляющая вектора электрического поля Ех также непрерывна. Заметим, что условия непрерывности Нп
и Ех совпадают с аналогичными условиями на ударных волнах, распространяющихся в среде с бесконечной проводимостью. Будем считать [1, 32], что касательная составляющая магнитного пля Нх непрерывна. В соответствии с результатами работ [1, 32] предполагается, что коэффициент магнитной вязкости vm в ударном слое больше других диссипативных коэффициентов. Обозначая индексом 1 величины перед фронтом ударной волны, а индексом 2 — величины непосредственно за ним, можем написать
Нг = Н2, Ех1 = Ех2. (7.104)
В силу бесконечной проводимости газа за фронтом ударной волны в системе координат, связанной с волной, между НяЕ имеет место зависимость
E2 = - \ v 2 X H 2 (7.105)
(с — скорость света).
С учетом (7. 104) в неподвижной системе координат имеем
^ l = -j[(v2-D)XH1]z. ' (7.106)
Граничные условия (7. 104), (7. 106) на фронте ударной волны должны учитываться при решении рассматриваемых задач об излучении электромагнитных волн. Так как решение газодинамической задачи предполагается известным, то величины v2 и D в соотношении (7. 106) считаются заданными.
Распространение электромагнитных волн в среде с нулевой проводимостью и значениями ^д.=е=1 описывается системой уравнений Максвелла
I ^ L ^ r o t J T , i ^ = _ r o t ^ , div i f ™ 0, d\vE = 0. (7.107) с dt 9 с dt 1 4 '
Система (7. 107) с граничными условиями (7. 106) и заданными начальными условиями позволяет определить законы распространения электромагнитных волн.
Для отыскания же электрического и магнитного полей и распределения токов в области движения за фронтом ударной волны следует использовать условия (7. 104) и уравнения МГД.
7.1. Сферические ударные волны. Пусть начальное магнитное поле есть Н0, начальное электрическое поле — Е0. Введем сферическую систему координат r, G, ср, причем угол 9 будем отсчитывать от направления век-
238
тора JET0. Если учесть, что v и D направлены по радиусу, то граничные условия (7. 105), (7. 106) в компонентах запишутся следующим образом:
Hri = Нг9У НН1 = Н 62, = Н?2, (7.108)
E9l = {(v,-D)H?19 E9l = -±(v2-D)Hn. (7.109)
Так как для сильных ударных волн в совершенном газе с отношением теплоемкостей у верно соотношение z; 2=2Z)/(y+l), то условия (7. 108) и (7. 109) могут быть записаны так:
En = -±DHvl, E9l=±DHn («=ffr). ; ( 7 Л 1°) Рассмотрим примеры решения задач о распространении электромагнит
ных волн. Пусть # 0 = 0 , Н0=у^0. Предположим, что закон движения ударной волны задан соотношениями
° = ^ Щ ^ > ^ c t - r . г,(0) = 0 ,
m
Ч>&. r 8) = 6 8 2 ^ * [ 6 8 + (Ä + 2)rJ,- 0 < m < c o , ( 7 - 1 1 1 ) k=Q
m
Ф M = Л - E2 2 **8 & + (Ä + 2) r2 + %W{k + З П . k=0
Здесь — постоянные величины. В этом случае решение задачи дается формулами
Ег=,Ев = 0у # ? = 0,
Е? = Нв sin e l 2 ftE* [6 + (* + 2) r] ,
Я г = -^1 2со 8е2хСз^[^ + (А + 3)г] + Я 0 с о 3 0 ,
(7.112)
k=0
Отметим, что значение £=0 соответствует фронту электромагнитной волны. Из решения (7.112) следует, что при£=0 компоненты векторов JE и H принимают свои начальные значения.
Пусть Z>=.D0=const, jEf0=7^0, Е0=^=0 и для простоты предположим, что векторы Н0 и Е 0 взаимно перпендикулярны. Сильная ударная волна с постоянной скоростью может быть, например, вызвана сферическим поршнем, расширяющимся в газе из некоторой точки (принятой за начало координат) с постоянной скоростью. В этом случае задача является автомодельной и ее точное решение может быть найдено путем введения автомодельной независимой переменной X=r/Z)0£, разделения переменных в системе (7. 107) и решения системы линейных обыкновенных дифферен-
239
циалышх уравнений с последующим выбором произвольных постоянных из граничных условий. Решение имеет вид
В г = # o / i M cos 6, Нв = Я 0 / 2 (X) sin 9 + E0f3 (X) cos <p,
# ç = — Я 0 / 3 (X) sin ср cos ср, Er = EQU (X) sin cp sin9, (7.113)
# 8 - # 0 / 5 M sin cp cos 6, # ? = Я 0 / 3 (X) sin 9 + f5 (X) cos cp,
где Д. (X) ( J = l , . . ., 5) есть известные функции; они приведены в нашей работе [30].
Отметим, что решение (7. 113) для случая Е0=0 может быть получено из (7. 112) при т=0.
Решение уравнения Максвелла, записанное формулами (7. 112), может быть использовано для приближенного отыскания параметров электромагнитных волн при законах D (t), отличных от (7. 111) и моделирующих зависимости при взрыве. Для этого следует поставить в (7. 112) постоянные gk, найденные из условия аппроксимации заданной зависимости D (t) или D (г2) при помощи выражения (7. 111). В частности, это решение может быть использовано тогда, когда D (t) и г2 (t) заданы в виде таблиц. При этом следует отметить, что если начальное положение электромагнитной волны характеризуется величиной г=г0, то в решении (7. 112) переменную £ следует взять в виде £=r—rQ—ct.
7 . 2 . Случай плоских волн. Воспользуемся декартовой системой координат, приняв, что ось Oy направлена параллельно вектору JE, а ось Oz — параллельно вектору U , причем Е и H в невозмущенной области считаем постоянными, равными Е 0, HzQ. Тогда условие (7. 106) примет вид
Еу1 = -^{и,-о)Нл. (7.114)
Из уравнений (7. 107) имеем
д Е у 1 д Н г д Н 2 1 д Е у
дх с dt ' дх с dt ' ( 7 . 1 1 5 )
Из (7. 115) следует, что Е и Н2 удовлетворяют волновым уравнениям; кроме того,
# , + Я, = Ф(е), Еу — HZ = F ( T J ) , (7.116)
где %=х—et, f\=x-\-ct, Ф (I) и F (?]) — произвольные функции. Рассмотрим конкретные задачи. А. Распространение плоской ударной волны. Пусть в начальный мо
мент t=0 по газу начинает распространяться сильная ударная волна, причем давление на ее фронте меняется по закону
Р2 = Ро{^)\ ( 7 . 1 1 7 )
где р 0 , ß — положительные постоянные, х0 — начальное положение ударной волны, х2 (t) — координата ударной волны. Случай ß = 0 в формуле (7. 117) был рассмотрен ранее в работе [1]. Газодинамические условия на сильной волне имеют вид
у 2 = y^pj А & = Ц±^ (p = d-ff). ( 7 . 1 1 8 )
240
Из (7. 117), (7. 118) получаем закон движения ударной волны
+ (0,5ß + l ± i ) 4 ] 1 / 1 + W . (7.119)
Электромагнитная волна, бегущая перед ударной волной в положительном направлении оси Ох, изменяет начальное поле Е^0, Нг0, причем
Е^-На = Е^-Нл. (7.120)
На фронте ударной волны ЕуХ, Нг1 связаны соотношением (7. 106), которое с учетом (7. 118) примет вид
**=тттт*- <7-.121> Используя (7. 116), (7. 119)—(7. 121), найдем
Е„,п — Н, Т 1 ^ J I O
а Л p тт I P ff H * = / Р О Т + 1 У / ' Л - 1 \ Г « « Г 1 1 ' 9 1 ~ 1 9 0
\ 9 l 2 ) Vj + 1/L/(5)J с
где / ( £) находится из соотношения
fc , . / 2 \ 7 ' i 7 / \ 1 + 0 , 5 ( 3 , 1 1
Предполагая решение газодинамической задачи полностью известным и используя условие вмороженности для движения газа за фронтом ударной волны H=ty .(s) р, где ф (s) — произвольная функция лагранжевой координаты 5, можно найти также зависимость Нг(х, t) или Hg(s, t) в области течения газа. Эта зависимость имеет вид
T — 1 Яуо — Нл p (s, t)
Т + 1 Pi (РО т + iy/'/т - l y * у 2 1 л ' Vpi 2 ) VT + I A V С
Б. Сильный взрыв вдоль плоскости. При t=0 происходит взрыв заряда в форме плоскости. Решение газодинамической задачи известно, причем законом движения ударной волны является
где Ё — константа, связанная с энергией взрыва (см. гл. 2). Будем различать два случая решения задачи. а) Еу0=0; Hg0=0 при 0 < х < х0; Нг0у^0 при х > х0, где х0 >
^Ël9lc\ б) В момент времени t0 > El pjC3 на ударную волну, возникающую
при взрыве, падает плоская электромагнитная волна. С л у ч а й а). Повторяя рассуждения, аналогичные случаю А, на
ходим при х <С х0
Я л = 0, Я й = 0; при X ^ х0
Hzl = 1 — - — т — г — — — » ЕйА — Н„л — Нм
Iß Тр. Математ. ин-та» т4 GXIX 241
где т (£) определяется из уравнения
- = Ш " Л - ( ] С л у ч а й б). Решение задачи об отражении электромагнитной волны
от поверхности ударной волны можно найти, используя предыдущие выводы. Следует лишь учесть, что величины 2? 0 и Нг0 будут в этом случае не произвольны, а связаны соотношением Ey0=Hz0. Это вытекает из того, что до столкновения ударной и электромагнитной волн электрическое немагнитное поля перед фронтом ударной волны отсутствовали.
В заключение заметим, что результаты, полученные в этом параграфе^ могут быть использованы для определения параметров газодинамической ударной волны, если известны параметры излученной электромагнитной волны.
Г Л А В А 8
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ СОЛНЕЧНЫХ ВСПЫШЕК
§ 1. Некоторые данные об основных параметрах солнечных вспышек и межпланетной среды
Вопросы возникновения хромосферных солнечных вспышек и распространения возникающих возмущений по межпланетной среде рассматривались в ряде работ. Ниже будут изучаться лишь вопросы распространения возмущений, вызванных вспышкой, по газу солнечной короны и межпланетной среде.
Как известно (см., например, [1—4]), солнечные хромосферные вспышки возникают и происходят в сравнительно малом объеме (площадь вспышки занимает около 0,1% от площади солнечного диска, высота слоя вспышки порядка 10 9 с м ) . Время развития процессов в очаге вспышки, как правило, имеет величину 3 • 102—4 *103 с е к .
При развитии вспышки в хромосфере выделяется значительная энергия. Пусть El — полная энергия, выделившаяся при вспышке. Энергия El различна для разных вспышек и по порядку величины изменяется в диапазоне 10 2 9 —10 3 4 эрг. Заметцая часть этой энергии рассеивается в окружающем пространстве посредством светового и рентгеновского излучений, а также быстрыми частицами (солнечные космические лучи). Однако основная часть энергии расходуется на движение газа в солнечной короне и в межпланетной среде, т. е. на создание так называемых корпускулярных потоков. Обозначим эту часть энергии через Е0. В дальнейшем мы будем интересоваться лишь энергией Е0 и будем рассматривать процессы движения среды вне очага вспышки, где детали процесса возникновения и развития вспышки уже не имеют существенного значения.
Распространение возмущений от солнечной вспышки происходит в солнечной короне и межпланетной среде, причем передний фронт возмущения достигает расстояний порядка астрономической единицы ( а . е . ) , как правило, за время 20—50 час после начала вспышки. Как известно, через эти промежутки времени на Земле наступает магнитная буря. Некоторые конкретные данные наблюдений будут приведены в § 6.
Рассмотрим основные характеристики спокойной межпланетной среды, т. е. в период до начала развития мощной вспышки.
От Солнца непрерывно уходит поток частиц, называемый солнечным ветром [1]. На орбите Земли плотность частиц порядка 1—100 1/смд, Ско-
16* 243
рость частиц солнечного ветра и± не убывает с расстоянием от Солнца. Так. по измерениям, основанным на радиолокации солнечной короны [4], было найдено, что скорость солнечного ветра на высоте 3,5 «10 1 0 см над фотосферой в момент измерения была примерно равна 1,6 »106 см/сек, тогда как на орбите Земли эта скорость превышала 3-10 7 см/сек. Вообще данные многих ракетных измерений показывают, что на расстоянии 1 а. е. скорость v1 имеет величину 330—700 км/сек. Плотность межпланетной плазмы падает с ростом расстояния от Солнца [1,6].
Введем сферическую полярную систему координат г, 6, ср с центром на Солнце, для которой ось вращения Солнца будет полярной осью. По отношению к этой системе координат плотность газа pv скорость солнечного ветра vl9 давление газа рг, магнитное поле Н1 и другие параметры исходной межпланетной среды в общем случае зависят не только от радиальной координаты г, но и от углов 0, ср, а также и от времени t. Это обстоятельство, а также наличие большого числа неизвестных функций и дополнительных параметров приводят к существенным математическим трудностям при теоретическом решении задачи о движении газа, вызванного солнечной вспышкой. Для дальнейшего сделаем некоторые упрощающие предположения. Во-первых, будем считать, что скорость спокойного солнечного ветра v1 направлена по радиусу. Во-вторых, на основании результатов работ [1, 4—8], посвященных теоретическим и экспериментальным вопросам определения параметров межпланетного газа, можно сделать вывод, что для начальной плотности газа р1 и скорости спокойного солнечного ветра v1 внутри некоторого исходящего из Солнца телесного угла х < 2 тс и в области между Солнцем и орбитой Земли можно принять следующие приближенные зависимости:
Р 1 = Л Г Ш , v1 = Br°-*. (8.1)
Здесь А, В и CD — величины, которые будем считать постоянными, не зависящими от углов Ö, ср и от времени t. Конкретные значения величин А, В и со могут быть, например, найдены на основании данных ракетных измерений и радиолокационных измерений (см. [1, 4, 5, 8]). Для описания движения газа можно привлекать следующие теоретические модели:
1) Кинетическое описание процессов в замагниченной высокотемпературной трехкомпонентной плазме, состоящей из электронов, ионов и нейтральных частиц.
2) Использование магнитогидродинамических уравнений двух- или трехкомпонентной плазмы.
3) Применение гидродинамических приближений плазмы с анизотропным «давлением» [9, 10] (см. гл. 1).
4) Гидродинамическая модель. В этой модели используется гидродинамическое приближение к описанию движения среды и применяются уравнения обычной газовой динамики или одножидкостной МГД.
Ввиду крайней сложности рассматриваемого явления мы ограничимся изучением лишь гидродинамической модели.
244
§ 2. Использование анализа размерности и простейшие законы подобия
Будем использовать одножидкостное гидродинамическое приближение к описанию движения среды и считать среду совершенным газом. Если пренебречь временем выделения энергии, влиянием начального давления газа р г , электромагнитными силами, а также вязкостью и теплопроводностью, то система основных характерных параметров при движении газа имеет вид
где f — эффективный показатель адиабаты газа, Q — средняя угловая скорость вращения Солнца, g 0 — ускорение силы тяжести на поверхности Солнца, i ? 0 — радиус Солнца, I — характерный линейный размер очага вспышки.
Величины А, В и со могут принимать различные значения в зависимости от времени года и от состояния межпланетной среды, а энергия Е0
различна для разных вспышек. Поэтому имеет смысл выяснить те основные безразмерные параметры, которые характеризуют изучаемое явление и рассмотреть вопросы пересчета функций, характеризующих движение газа при изменении параметров среды и энергии Е0 [25].
Так как гравитация и собственное вращение Солнца слабо влияют на распространение возмущений при вспышках, то параметры Q и g© можно не учитывать при грубых оценках характеристик движущегося газа. Из размерных параметров Е0, А, В можно образовать следующие величины с размерностями длины и времени: re=(E0/AB2)ï/iw-v— кинетическая характерная длина, t*=(r*)3~(ü/B — кинетическое характерное время. Тогда для любой безразмерной характеристики течения (например, плотности g=p/pi) на основании тг-теоремы теории размерности можем написать
где a 1=i? 0/r*, a2=Z/r*, а3 <^ ах. Из формулы (8. 3) следует, что при фиксированных у, аг, а2 безразмерные функции вида (8. 3) будут описывать класс течений при различных параметрах Е0, А и В. При характерных размерах области движения, много больших j ? 0 , можно не учитывать влияние конечности радиуса Солнца на движение газа в некоторой окрестности переднего фронта возмущений, т. е. влиянием параметра а1? a следовательно, и а2 можно пренебречь.
Если внутри некоторого телесного угла считать скорость солнечного ветра направленной по радиусу, а условия выделения энергии соответствующими сферической симметрии течения, то течение газа внутри рассматриваемого телесного угла х можно считать сферически-симметричным.
Введем обозначения #=r/r*, %=t/t*. Для сферически-симметричной модели течения функции вида (8. 3) будут зависеть лишь от двух переменных параметров х, т, т. е»
г, 0, <р, *, Е0, А, В, со, т , £ 0 , Д 0 , I, 2 , (8.2)
g = g(x, т, т , со). (8.4)
245
Для времени прихода переднего фронта возмущения типа ударной волны в точку г=га буДем иметь ta=t*t(xa, у, со), xa=rjr*, где зависимость т (ха, А, со) определяется при решении задачи.
Естественно, что при глобальном рассмотрении процесса распространения возмущений при вспышках следует учитывать зависимость начальной плотности и компонент скорости солнечного ветра от углов 6 и ср и, возможно, от времени t. В этом случае искомое решение гидродинамической задачи будет зависеть от большого числа переменных и функции, входящие в это решение, будут иметь вид (8. 3).
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь сферически-симметричную модель движения среды. Если движение спокойного солнечного ветра считать изометрическим и поставить вопрос об учете начального давления рг, то для одномерной модели будем иметь
Pl=Cr-\ (8.5)
В этом случае имеем новую размерную постоянную С, которая позволяет образовать новую характерную длину г°=(Е0/С)1!3-ш. В формулы вида
i i_
(8. 4) войдет еще один безразмерный параметр а3 — г°/г* =Е(3~ш) ^С~113~ш X X (ЛВ 2 ) 1 / ш _ 1 . Проведенные нами оценки полной начальной энергии солнечного ветра в объеме внутри некоторого телесного угла (см. § 4) показывают, что на расстояниях порядка астрономической единицы наиболее важное значение имеет кинетическая энергия спокойного солнечного ветра, и она примерно на порядок больше полной начальной тепловой энергии газа (и больше начальной энергии магнитного поля). Поэтому параметром а3 можно пренебречь при грубом качественном анализе рассматриваемого явления.
Чтобы представить порядок величины кинетической характерной длины г*, отнесем г* к некоторому радиусу га и на основании формул для р! и v± исключим А В2 из выражения для г*. Тогда получим
Для а3 можно написать формулу а3 = £1/ (5-0) £-1/(3-ш)^1/(со-1)^ к = рг (гв) rl
На рис. 94 при различных со даны зависимости r*lra от Е0 для случая, когда г я =1 ,5 '10 1 3 см (астрономическая единица), = (1,5) 3-10 3 1 г-см2/ /сек2 (штриховые линии), 5 •(1,5) 3»10 3 2 г'сж2/^к2 (сплошные линии), а энергия вспышки Е0 изменяется от 10 2 8 до 10 3 5 эрг. Проведенные расчеты показывают, что для больших значений Е0 величина г* может быть больше астрономической единицы. На рис. 95 даны кривые а3 (к) при /с^=(1,5)3/ /10 3 2 г-см2/сек2, £ ' 0 = 1 0 3 3 эрг, и>=2,5 (диапазон изменения к, приведенный на этом графике, соответствует изменению давления от Ю - 8 до Ю - 1 1 дин/см2).
Зависимости искомых функций от безразмерных параметров могут быть определены теоретическим или экспериментальным путем при измерениях на космических ракетах во время солнечных вспышек. При теоретическом и экспериментальном определении параметров газа зависимости от координат и времени для плотности, давления и скорости газа
246
J 28 30 32Цк
Рис. 94 . Зависимость характерной длины г* от энергии вспышки Е0 для двух значений к*
1 — ( D = 2 ; 2 — 2,5; 3 — 2,9 (величина Е0 отнесена к 1 эрг, а г* к 1 а. е.)
Рис. 95 . Зависимость-отношения характерных длин от величины параметра средней тепловой энергии к
и времени прихода возмущения в заданную точку могут быть найдены лишь для некоторых фиксированных Е=Е01, А=А19 В=В1.
Поэтому рассмотрим вопрос о пересчете полученных данных на случай других значений этих постоянных Е02, А2,В2. Можно поступить следующим образом. Найдем безразмерное время т и безразмерную координату х для состояния Е011 Av Bv а затем по формулам r=r*#, t=fi найдем значения координаты и времени для состояния 2?оа, А2, В2.
Для пересчета времени находим
( 8- ' ß)
где , ; = ( | ^ / Д , , * = 1 ,2 .
Для пересчета расстояний (эйлеровой или лагранжевой координаты частицы газа) имеем
* = - l f . ",2, = ^ = ^ r ( 1 J . (8.7)
Здесь t ( i v r ( f ) , î = l , 2 — размерные значения времени и координаты, соответствующие вспышке при параметрах E0i, А4, В^
Аналогичные формулы можно также написать для пересчета скорости, плотности, давления газа и других величин. Так, для плотности р имеем
' * = fr P«., = P r f = g p , M . (8.8)
Формулы (8. 6)—(8. 8) дают (в принятой модели течения) законы подобия для процессов движения газа, вызванного вспышкой. Для более сложной модели течения газа формулы вида (8. 6)—(8. 8) будут иметь место лишь при фиксированных значениях дополнительных безразмерных постоянных параметров, например а̂ , 7 = 1 , 2, 3.
Аналогичный размерный анализ задачи можно провести и для случая, когда принимается более сложная модель среды, например двухкомпо-
247
нентная модель плазмы. Если на движение существенно влияет магнитное поле, то течение не будет сферически-симметричным. Кроме того, при учете сильных магнитных полей в систему определяющих параметров задачи войдут еще величины, характеризующие состояние начального магнитного поля. Учет гравитации также приведет к появлению новых безразмерных параметров и к усложнению задачи.
Сделанные выводы следует учитывать при теоретическом и экспериментальном определении параметров течения газа при солнечных вспышках.
§ 3. Задача о^точечном взрыве в неоднородной движущейся среде
Указанные особенности развития процесса вспышки в начальной стадии позволяют сделать вывод о том, что в ряде случаев это явление можно моделировать точечным взрывом в газе, начальные параметры которого обусловлены состоянием солнечной короны и межпланетной плазмы. Рассмотрим постановку задачи в простейшем случае сферической симметрии. Предположим, что газ является совершенным, с постоянным значением у. Вязкость и теплопроводность газа не учитываем. Влиянием магнитных полей и гравитации на движение газа пренебрегаем. Тогда мы приходим к следующей задаче (см. также § 1, гл. 3) [26].
Пусть при £=0 в газе с начальными состояниями vx (г), р1 (г), р1 (г) выделилась энергия Е0 в точке г = 0 . Требуется определить возникающее движение газа.
Если для простоты считать начальное состояние газа изотермическим, то в соответствии с указанными выше приближенными соотношениями (8. 1) будем иметь следующие начальные данные для vv р1? рг (при г > 0):
v^Br»-*, h = Ar-°, Р г = Сг-ш. (8.9)
Для решения задачи об определении возникающего течения газа нужно проинтегрировать систему уравнений газовой динамики (3. 5) для адиабатического возмущенного движения. Обозначим через r2 (t) передний фронт возмущения газа, который будем считать обычной ударной волной. Тогда, кроме начальных условий (8. 9), имеем условие
г2(0) = 0 (8.10)
и условие выделения в точке г = 0 конечной энергии Е0. Граничные условия на ударной волне при г=г2 имеют вид (3. 6) (см.
гл. 3). Кроме условий на ударной волне, имеем условие в центре симметрии. Так, если нет в центре постоянно действующего источника масс, то и (0, £) = = 0 . Здесь следует еще раз заметить, что, строго говоря, начальные функции Vj, (г), р! (г), р2 (г) сами должны являться решением стационарных уравнений газовой динамики с учетом гравитационных и других сил. В противном случае впереди фронта основного возмущения начнется движение. При грубом качественном анализе мы будем предполагать, что в случае приближенных заданий vv рх, рх можно пренебречь эффектами движения газа впереди фронта ударной волны. Общая картина течения газа представлена на рис. 96.
248
\ üptfama 4 Земли
Рис. 96. Схема распространения ударной волны
Вспышка Ударная дама
При ^ = 0 , рг=0 (или В=С=0) имеем случай хорошо изученной автомодельной задачи о сильном взрыве в газе с переменной начальной плотностью. Точное решение этой задачи исследовано в работах [11—13} и главе 2.
Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к решению этой задачи. Если со= со г=(7—у)/(у+1), Т О , как уже было указано в главе 2, автомодельная задача о сильном взрыве имеет аналитическое решение [11 h
2Ьг
8 . = 5 -
25? ri
T+rPl н 2
(il
a = 2* (7 + 1)
3 (T - 1) (3 T - 1)2
(8.11)
(8.12)
(8.13)
Если Y = 6 / 3 , то o ) 1 =2. Для других значений y и со=2 решение подробно исследовалось в работе [13], где были вычислены значения a и приведены графики автомодельных функций.
При цроизвольных у и со < 3 мы имеем аналогично (8. 13) формулу для закона движения ударной волны
'-\аА ) 8 = (8.14)
где a (у, со) — постоянная, введенная ранее в главе 2 и определяемая из интегрального закона сохранения энергии.
Если В =7^= 0 или С =^ О, то задача не является автомодельной и для полного ее решения целесообразно использовать численные или приближенные методы.
Приведенный анализ размерности полностью применим к рассматриваемой задаче. Мы здесь отметим лишь следующее. Если считать, что в центре взрыва имеется тяжелая точка массы M, которая взаимодействует с газом по закону Ньютона, то в правую часть первого уравнения системы (3. 5) следует добавить гравитационное ускорение
Mf Г2 (8.15)
249
В этом случае в системе определяющих параметров появится еще одна размерная постоянная С = М / и новая характерная длина
Если ( 0 = 2 , то г^есть отвлеченный параметр, так как в этом случае СЛ имеет размерность энергии. Заметим, что при С=В=0 задача будет автомодельна и с учетом сил тяготения. Такие задачи исследовались подробно М. Л. Лидовым [14].
Проведенный размерный анализ показывает, что даже для случая простейшей сферически-симметричной гидродинамической модели течения в общем случае решение существенно зависит от постоянных параметров у, сои а3. Это вносит дополнительные трудности в решение задачи. Чтобы выяснить характер влияния параметров В и С на решение, можно воспользоваться методом линеаризации около автомодельного решения, подробно изученным в главе 3. Можно рассмотреть отдельно два случая: В ф О,
Первый случай соответствует учету скорости движения невозмущенной среды, второй случай — учету переменного противодавления. Решение задачи для этих двух случаев позволяет учесть (в линейной постановке) оба эти параметра одновременно, используя принцип суперпозиции линейных решений. Мы не останавливаемся здесь на этом подробно, так как все необходимые данные были приведены в главе 3.
Имеются три основных ограничения на применимость рассмотренных выше решений к явлениям распространения возмущений при солнечных вспышках.
Первое — правомочность гидродинамического описания межпланетной среды. Как известно, длина свободного пробега частиц плазмы, рассчитанная по кулоновским столкновениям, много больше 1 а. е., и поэтому возникает вопрос о возможностях использования модели сплошной среды и теории ударных волн. Однако проведенные недавно исследования показывают [1, 15, 16], что в замагниченной плазме, каковой является межпланетная среда, существенную роль как характерный физический параметр играет ларморовский радиус rL и могут осуществляться так называемые бесстолкновительные ударные волны (rL для межпланетной плазмы много меньше 1 а. е.). С другой стороны, следует отметить, что в начальной стадии развития вспышки плазма обладает достаточно высокой плотностью (плотность хромосферы 10 1 2 11см3), и применение гидродинамического описания здесь вполне обоснованно. Кроме того, начиная с 1964 г. публикуются результаты по обнаружению магнитогидродинамических ударных волн и других разрывов в межпланетной среде ([4, 17, 18]). Здесь следует также отметить, что приход переднего фронта основного возмущения на орбиту Земли примерно через сутки трудно объяснить без привлечения теории ударных волн. • ,
(8.16)
<?=0 и 5 = 0 , С = 7 ^ 0 .
; § 4. О приложении решений задач к явлениям распространения возмущений
при солнечных вспышках
2 5 0
С точки зрения теоретических исследований Голдом еще более 10 лет тому назад была высказана гипотеза о том, что геомагнитные возмущения, вызванные вспышкой, обусловлены приходом ударной волны [19].
Перечисленные аргументы в пользу применения гидродинамической модели позволяют надеяться на успех теории ударных волн в вопросах изучения явлений солнечных вспышек.
Второе ограничение на предложенные выше модели явлений при вспышке заключается в том, что процесс движения газа не одномерный, ибо как начальные характеристики, так и возникающее движение являются существенно трехмерными. Однако использование одномерных сферически-симметричных решений может оказаться полезным для рассмотрения течений внутри некоторого телесного угла, исходящего из центра вспышки или из центра Солнца.
Третье существенное ограничение связано с предположением о мгновенности выделения энергии при вспышке. В действительности процесс выделения энергии в ряде случаев занимает время порядка 1 / 2 0 от времени распространения ударной волны на расстояние 1 а. е. Поэтому для описания процессов в одномерной постановке следовало бы считать, что Е0 есть функция времени. Простейшие случаи таких задач рассматривались в [1, 11]. Приближенная постановка задачи с мгновенным выделением энергии может применяться лишь для оценки параметров течения газа в тех случаях, когда время выделения энергии не превышает 1 / 2 5
времени прихода волны в некоторую точку. Если предположить, "что энергия вспышки выделяется в течение некоторого периода времени E0=EQ (£), то процесс вспышки можно моделировать расширением поршня в газе, предполагая, что скорость поршня зависит от времени. Можно изучать и более общую модель, когда после точечного взрыва с энергией Е0 в газе начинает двигаться поршень с переменной скоростью, моделируя процесс расширения газов из очага вспышки. Аналогичная задача уже изучалась в обычной газодинамике [35].
В отмеченных моделях пренебрегал ось подводом массы в поток газа. В действительности, однако, выброс массы из солнечной хромосферы в движущийся поток может иметь определенное влияние на характер течения. Для учета этого обстоятельства следует еще более усложнить модель вспышки. Можно предложить следующую постановку задачи. Пусть в начальный момент ^=0 в точке г=0 выделилась мгновенно энергия Е0, рассчитанная на телесный угол х. Кроме того, в той же самой точке осуществляется подвод энергии N (t) и подвод массы Q (t), которые играют роль в установлении процесса движения внутри телесного угла х. Если JV и Q зависят от t степенным образом, а Е=0, рг=0, ^ = 0 , то здесь можно выделить класс автомодельных решений. Для случая постоянной начальной плотности автомодельная задача исследована в статье [35]. Качественный анализ автомодельной задачи показывает, что течение здесь будет иметь сложный характер. В потоке возникают контактная поверхность и вторая ударная волна. Заметим также, что зависимости начальных параметров рг, p±i vx от углов 6, <р можно было бы учесть в секторном приближении, используя грубую схему, аналогичную предложенной в работе [36].
251
Представляет интерес дать оценку начальной энергии спокойного солнечного ветра в единичном телесном угле (*=1) на расстоянии i а. е.
Принимая аппроксимацию (8. 9), будем считать, что
А=а.10г**т%, 0,01 < а < 1 ,
В = иг (ra) г»-*, иг (О = 1 , 5 * . 1 0 7 см/сек,
1 , 5 < Л < 4 , С = РЛ.10 1 В , 0 , l < ß < 1 5 ,
г а = 1 а. е., постоянные А, В, С выражены в единицах: г, см, сек. Для начальной энергии в единице телесного угла при условии пренебрежения радиусом Солнца имеем
* = ? " № + тЗД*- <8.17> о
Учитывая соотношения (8. 9), можем найти
гЯГ1 # 2 , га-» С •1 2 - ~ (7 — 1 ) ( 3 —со) Л _ (8.18)
В формулах (8. 17) и (8. 18) первый член соответствует начальной кинетической энергии Elk, второй член — тепловой энергии Егт, другие виды энергий не учитываются. При а>=2, а=0 ,1 , Ь=5, А=1,5 находим: Е1к ~ — 5-10 м , Е1Т~1030.
Таким образом, основная доля энергии содержится в Е1к. Тепловая и электромагнитная энергии существенно меньше начальной кинетической энергии. С другой стороны, величина Е1к на расстояниях порядка 1 а. е. и больше сравнима с полной энергией вспышки, и ее желательно учитывать при рассмотрении теоретических моделей движения газа. Пример такого учета был дан в § 3 настоящей главы и в главе 3. Для мощных, сильно локализованных в пространстве и быстро развивающихся вспышек можно применять выводы теории сильного точечного взрыва. Простейшее решение (8. 11)—(8. 13) в частном случае у = 5 / 3 , со х=2 было использовано Паркером [1] для описания движения газа при вспышках (он совсем не учитывал влияние солнечного ветра).
Если воспользоваться результатами исследования тех простейших задач, о которых уже говорилось, то можно попытаться более детально исследовать вопросы, связанные с приложением теории взрыва к солнечным вспышкам. Применительно к явлениям солнечных вспышек можно отметить следующие выводы, которые вытекают из предыдущего исследования.
1. По теории сильного взрыва можно определить время прихода ударной волны на орбиту Земли или в другую точку, зная энергию вспышки. Действительно, из (8. 14) имеем
\1/2 (8.19)
Из (8. 19) при одинаковых значениях со для различных вспышек находим
h U i £ о 2 / / Л 2 EoiVP
£02 252
Если А2=АХ, то
" Т О * (8.20)
Так как а и А можно считать известными для различных у и со, то по формуле ( 8 . 19) можно приближенно определить время прибытия переднего фронта возмущения на Землю. Формула ( 8 . 20) показывает, что отношение квадратов времен прибытия возмущения в некоторую точку обратно пропорционально отношению энергий вспышек.
2. Можно определить энергию вспышек, зная время прибытия ta возмущения в заданную точку:
#о = а - % - ^ . ( 8 . 2 1 )
Если ta=lOb сек, га=1 а. е., то при со=2 имеем Е0~ а а (1,5) 5-10 3 3 эрг. Лриа]~1, а —0,1 имеем Е0~ 10 3 3 эрг. Более точные оценки для конкретных вспышек будут приведены в § 6.
3. Аналогичные выводы и оценки можно сделать и для случая учета начальной скорости vx (см. далее § 6) и начального давления pv Заметим здесь, что анализ решений с учетом противодавления, полученных в главе 3> показывает, что в некоторой зоне за фронтом ударной волны плотность растет с убыванием г, т. е. имеется отрицательный градиент плотности. Этот эффект отсутствует, если p 1=const, px=const.
4. Для обработки экспериментальных результатов измерения параметров ударных волн следует использовать выводы теории размерности и законы подобия.
5. Можно учесть влияние течения на магнитные поля и влияние гравитации на течение газа.
На вопросе определения деформации магнитного поля, вызванной течением газа при вспышке, мы остановимся более подробно в следующем разделе.
§ 5. Об изменении магнитного поля при движении газа
Для описания магнитных полей примем сферическую систему координат, введенную в § 1. Пусть Q — вектор, направленный по оси вращения Солнца, которая принята за полярную ось. Компоненты магнитного поля H в точке г, 6, ср есть Нг, Нв, Н9, причем составляющая Нг направлена радиально от Солнца, Я ? — по вектору Q X г и Нв в южном направле-лении (здесь предполагается обычная правая система координат). Паркером [1] была предложена модель невозмущенного магнитного поля, в которой предполагалось, что вне некоторого расстояния г = г 0 солнечный ветер имеет радиальное направление и постоянную скорость и±=const {случай со=2 в формуле ( 8 . 1)). Газ считался идеально проводящей средой. Рассмотрим аналогичную модель для случая переменной скорости i;1=JBru )"2.
Уравнение магнитных силовых линий в плоскости г, ср имеет вид
^ = . ^ в Ю в . (8.22)
253
По аналогии с [1, 20] для компонент начального магнитного поля можем написать
H Л =#н)(т) 2 . Н 9 1 = Н П = 0, Я ? 1 = _ я Д ^ ) 2 [ ^ ( г - г 0 ) 8 т б ] . ( 8 . 2 3 )
Здесь через HrQ, Ньо, Н^0 обозначены составляющие поля H в некоторой точке (г0, ö0, ср 0), где образуется силовая линия, проходящая через точку
Интегрируя (8. 22) с учетом (8. 23), находим уравнение силовых линий
L 1 1 (8.24)
Здесь Q — средняя угловая скорость вращения Солнца, Q=2,9* • 1 0 _ 6 рад/сек.
Формулы (8. 24) дают в плоскости г, ср семейство спиралей, зависящих от параметров ср0, г0, щ, Q и В.
Соотношения (8. 23), (8. 24) дают более общую (по сравнению с моделью Паркера [1]) модель спокойного межпланетного поля. Так как полная энергия магнитного поля существенно меньше энергии вспышки Е0, а величина р 2 у | много больше начального давления Щ/8 тс, то в первом приближении можно не учитывать влияние магнитных полей на движение межпланетной плазмы. Тогда для сферически-симметричных течений газа, обусловленного сильным взрывом в среде с переменной плотностью р х = =Аг~<*, можно вычислить возмущенные параметры магнитного поля. В приближении одножидкостной МГД на основании формул, приведенных в главах 2,7 (см. также [И, 12, 22]), будем иметь
P l P l (8.25)
= К-т. ц) , ^ = Ф Я К т, [x), ï + i < ^ < i .
Здесь через ë обозначена лагранжева координата частицы, fi — параметр, функции Ф х С с о , у, it), Ф 2 ( с о , Т» Iх) даются формулами (2.5), (2.17).
Соотношения (8. 22)—(8. 25) позволяют написать дифференциальное уравнение для силовых линий в области возмущенного движения газа
dy (г 0 — r) Q г2 р
dr vx (5) ¥ н • Обозначим через и угол между направлением радиуса вектора и магнитного поля, для которого имеет место зависимость
tg" = r g . (8.26) dr
В общем случае сильной ударной волны для разности,между tg и в произвольной точке потока и начальным значением tg иг имеем
254
Из (8. 27) легко находится выражение для скачка tg и при переходе через ударную волну
Приведенные в этом разделе результаты по определению конфигураций магнитных полей могут оказаться полезными для обработки результатов наблюдений межпланетной среды. Вычисленные конфигурации магнитных полей позволяют решить задачу о движении частиц высоких энергий при пересечении скачка магнитных полей. Индукционное электрическое поле за фронтом 2£=—(1/с)их2Г может ускорять эти частицы. Расчеты уравнений движения частиц (см. § 3, гл. 1) показали [3, 4 ] , что возможно двукратное ускорение электронов при пересечении фронта ударной волны (при однородном начальном магнитном поле). Мы не рассматриваем здесь этот вопрос подробно.
В настоящее время накоплены данные по наблюдению хромосферных солнечных вспышек и измерениям параметров ударных волн, возникающих при этих вспышках и распространяющихся в межпланетном пространстве. Анализ оптических и радиоастрономических измерений, данных наблюдений по возникновению магнитных бурь на Земле и измерений на спутниках, космических ракетах и автоматических межпланетных станциях параметров ударных волн и интенсивностей космических лучей, опубликованных за последние 5 лет [1, 4, 8, 17, 18, 20, 27—33], позволяет сделать следующие общие выводы, часть которых уже была отмечена выше:
1) время прихода возмущения на орбиту Земли меняется от 16 до 70 час;
2) при прохождении ударной волны вблизи орбиты Земли плотность плазмы увеличивается в 2—3 раза;
3) оптические измерения дают оценку энергии вспышки порядка
4) осредненная скорость ударных волн на орбите Земли имеет порядок 500—800 км/сек;
5) средние скорости ударных волн на орбите Земли, как правило, не более чем в 2—3 раза превышают скорость движения спокойного солнечного ветра.
Упомянутые выше экспериментальные данные были нами обработаны [37], и необходимые для дальнейшего сведения приведены в табл. 7. В этой таблице даны даты и время вспышек (всемирное время UT), координаты на Солнце и балл. Примем рассмотренную модель взрывной волны для описания процесса распространения возмущений. В соответствии с указанным способом определения энергии вспышки по известным значениям а, А и времени ta прихода возмущения в заданную точку га по формуле сильного взрыва (8. 21) имеем
tg щ '2 — t g U l = -\- — 1 II г Л sin 0 *
(8. 28}
§ 6. Сравнение выводов теории с некоторыми данными наблюдений
(о) = 2), (8. 29)
255
Т а б л и ц а 7
' Данные наблюдений по вспышкам
Характеристика вспышки
Время распространения и расстояние Параметры среды Оценка энергии Е0 • 10~ 3 1 эрг
Характеристика вспышки
t чал г2 • 10~в км
s
sis Р<
Q
модель сильного взрыва учет ветра vt Характеристика
вспышки
и Г(2) s
sis Р<
Q
5 т = з EQ П О
хг (т)
Е0 по MV)
1 4 X 1965 г. 0937 UT 17,1 26 150 170 6 350 620 201 38,5 165 ч 17 S24W31, 2 +
17,1
2 18 1 1966 г. 2254 UT 44 55 128 147 9 380 480 28,0 5,42 14,0 9,9 N20E07, 2В
28,0 5,42 14,0
7 VII 1966 г . 44,5 44,52 152 152,02 4 400 710 21,0 4,00 11,6 14
0027 UT N34W48,
44,5 44,52 152,02
2В
4 18 IX 1967 г . 16 27 116 150 20 450 860 210 40,5 168 55
1918 UT N18W84,
40,5
2 В
17 IX 1967 г . 28 46 117 150 20 450 510 71,8 14,0 41,0 13,2
2314 UT N16W61 ,
14,0 41,0 13,2
2В
где п1а — плотность на орбите Земли или в другой точке измерения, шр — масса протона.
Будем предполагать, что энергия вспышки пошла на движение газа внутри телесного угла х=2тс. Эффективный показатель адиабаты у может меняться в зависимости от состояния межпланетной среды. Для одноатомного газа при достаточно частых столкновениях т=5/3. При учете эффектов ионизации и излучения этот показатель будет близок к 1,3. Для разреженной плазмы при весьма редких столкновениях есть смысл взять у=3. Действительно, как отмечалось в главе 1 при рассмотрении уравнений МГД для разреженной плазмы, для р„ > р± и при слабом магнитном поле из гидродинамических уравнений и условий на ударной волне будет следовать, что у=3. Отметим, что в случае х=2тс имеем значения: « = 1,047 (т=5/3) и а~0,2 (у=3). Величины энергий, оцененные по формуле (8. 29), указаны в табл. 7. Приведя формулу (8. 16) к безразмерному виду, можно проверить закон подобия [25] для вспышек по зависимости r2 (t). Здесь за Е0 принимались значения, вычисленные при i f= 5 / 3
но ближайшей к Солнцу координате измерения. В тех случаях, когда измерения времени прихода были проведены детекторами в двух точках пространства, безразмерные параметры х2=г2/г*, т=£/£* вычислялись для обеих точек. Проверка расположения на графике х2 (т) точек, соответствующих t2, показала хорошее выполнение закона подобия (табл. 7).
Для случая измерения в двух точках пространства определялись также средние скорости распространения £>ср. Теоретическая формула для скорости ударной волны D без учета ветра имеет вид
D_dx2_ г _ у/а х^У\ v1 dt у — (8.30)
256
При учете сноса солнечным ветром и± в соответствии с результатами § 4, главы 3 имеем
г - Ш « ^ , й р ^ , (8.31) \V a J а> — 1
х 2
(8. 3 2 )
Пусть ш=2, т= 5/ 3 , тогда ^4 И =0,563. Была проведена оценка энергий-вспышек по зависимости х 2 (т), следующей из (8. 31), (8. 32). Соответствующие значения Е0 оказались ниже вычисленных по теории сильного взрыва без учета ветра (см. табл. 7).
Теоретическая кривая х 2 (т) с учетом ветра дана на рис. 97 (сплошная линия), штрих-пунктирная линия здесь сооответствует автомодельной зависимости х 2 (т). Теоретические зависимости D l v x = D от х 2 , полученные по (8. 30) и (8. 31), даны на рис. 98. Здесь же отмечены данные, полученные по расчету осредненных скоростей D c v = ( r ^ — — ^ i ) . За координату точки для D C p принималось значение (г^-\-г2
2^)/2. Кроме того, по значениям D , v± и формуле (8. 31) были определены значения х 2 и энергия вспышек Е0, а затем полученные данные были использованы для отыскания по времени tcv=(t1+t2)/2 соответствующих значений т (^cv=tC9/f). Эти данные по связи между х 2 и т отмечены на рис. 97 кружками. Вертикальные линии на рис. 98 соответствуют ожидаемым ошибкам по резуль-
Рис. 97 . Зависимость координаты ударной волны от времени
Кружками отмечены данные, полученные из обработки результатов измерений
Рис. 98 . График зависимости Dlvx от х2 для сильной ударной волны без учета ветра (а) и с учетом ветра (б)
Кружками отмечены данные, полученные из обработки результатов измерений
Г, О О 0,5 1,0 яг
i/g 17 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 257
татам определения величин D c p [30, 32]. Номера точек соответствуют номерам вспышек, указанным в табл. 7.
Другой возможный способ определения Е0 состоит в использовании данных измерения отношения плотностей р2/ р ь вычислении по ним у из условий на ударной волне и определении Е0 из зависимости х2 (у) по формуле (8. 31). Естественно, что мы могли бы учесть и противодавление.
Приведенные результаты указывают на удовлетворительное согласие данных наблюдений и теоретических значений.
Заметим также, что оценки эффективных у по условиям на ударной волне и значениям p2/pi, приведенным в работе [32], и величинам ß c p
показали [34], что значения у лежат между 2 и 3, причем чем меньше пх
и больше DCp, тем ближе у к значению 3. Проведенное здесь сравнение данных теории взрыва и наблюдений
позволяет сделать вывод о возможности приложения этой теории для качественного и грубого количественного анализа процесса распространения возмущений от сильных солнечных вспышек.
В этой главе изложены результаты автора, полученные в течение 1961—1969 гг. Предварительные результаты по приложению ТТВ к явлению солнечных вспышек сообщались автором при чтении лекций студентам механико-математического факультета Московского государственного университета (1961/62 уч. г.) и в докладе на Совещании по магнитной гидродинамике (Рига, 1962 г.) [23]. Основные результаты § 1—5 докладывались автором на 3-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1968 г.) [24] и опубликованы в статьях автора [25, 26, 3 8 ] . Результаты § 6 этой главы получены совместно с Ю. М. Николаевым [37 ] \
1 П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Ряд наших результатов содержится в недавно опубликованной работе [ 3 9 ] .
П Р И Л О Ж Е Н И Е
1. Обобщенные коэффициенты Котеса
Рассмотрим численные значения обобщенных коэффициентов Котеса Alk9 введенных в § 3 главы 4.
А. Пусть мы используем сквозную интерполяцию полиномами тг-го порядка. Тогда по формулам (4. 49) получим следующие значения Alk:
при гг=1 Л 0 0 = Л 0 1 = 1 / 2 , при п=2 А00=А02=1/е, А10=— 1/а4, Au^/s, Л 1 2 = 5 / 2 4 . Для случаев тг=3, п=4 и & = 0 , 1 , 2, 3, 4 значения Alk указаны в табл. 8.
Т а б л и ц а 8
Коэффициенты Котеса
1 п = 3; 12Alk п -= 4; 2880 A ï k
1
0 1 2 3 0 1 2 3 4
0 9 27 27 9 224 1024 384 1024 224 1 0 8 32 8 —27 378 648 918 243 2 1. - 5 19 9 — 8 32 192 992 232 3 — — — — - 1 9 106 —264 646 251
Б. Для кусочной интерполяции полиномами степени меньше п мы рассмотрим случаи кусочно-линейной интерполяции для любого п и случай интерполяции двумя стыкующимися полиномами четвертого порядка При 72 = 8.
Для случая кусочно-линейной интерполяции вычисление интегралов (4 .48 ) дает значения Alk=0, I > к, Ап=1/2п=А1п, А1к=1/п (к-ф I). Заметим, что в случае кусочно-линейной аппроксимации целесообразно переразрешить аппроксимирующую систему так, чтобы она не содержала определителя Д и его миноров. Это всегда возможно (соответствующую систему аппроксимирующих уравнений часто называют системой метода прямых), что хотя бы следует из того, что матрица, соответствующая определителю Д , является треугольной.
При интерполяции двумя стыкующимися полиномами четвертого порядка непосредственные вычисления интегралов J8l при Л=1 - 7 - 8 дают значения табл. 9.
Здесь числовой множитель о*=2,2880.
17* 259
Т а б л и ц а 9
Приведенные коэффициенты Котеса
0 1 2 3 4 5 6 7 8
7/2 16 6 16 7 16 6 16 3,5 —27 378 648 918 467 1024 384 1024 224 — 8 32 192 992 456 1024 384 1024 224 —19 106 —264 646 475 1024 384 1024 224
0 0 0 0 224 1024 384 1024 224 0 0 0 0 - 2 7 378 648 918 243 0 0 0 0 — 8 32 192 992 232 0 0 0 0 —19 106 —264 646 251
ЧТс
Ç>0A0k
Значения давлений и
R* 0,1490
U
0,1929
U
0,2382
U
0,0209 0,0340 0,0500 0,0690 0,0905 0,1167 0,1483 0,1864 0,2343 0,2964 0,3773 0,4856 0,6377 0,8622 1,211 1,863 3,167 6,400
11,500 3,488 2,160 1,613 1,314 1,142 1,025 0,9342 0,8792 0,8518 0,8492 0,8706 0,9067 0,9441 0,9725 0,9895 0,9963 0,9991
2,250 0,2096 0,0445 0,0118 0,0038 0,0015 0,0006 0,0002 0 0 О О О О О О О О
7,611 2,919 1,849 1,419 1,188 1,047 0,9538 0,8887 0,8520 0,8441 0,8669 0,9076 0,9439 0,9718 0,9909 0,9961 0,9995
1,720 0,2689 0,0716 0,0241 0,0090 0,0033 0,0012 0,0003 О О О О О О О О О
5,667 2,573 1,699 1,304 1,096 0,9773 0,9063 0,8635 0,8474 0,8656 0,9077 0,9434 0,9709 0,9926 0,9958 1,000
1,333 0,2384 0,0802 0,0306 0,0107 0,0036 0,0009 0,0001 О 0,0001 О О О О О О
я т
Л*
я т 0,6008 0,7020 0,8282 я т
Р и Р и Р и
0,50 0,2343 2,167 0,2976 0,55 0,2964 1,468 0,0742 1,9545 0,2250 0,60 0,3773 1,125 0,0125 1,349 0,0470 1,778 0,1667 0,65 0,4856 0,9569 0,0003 1,065 0,0046 1,247 0,0271 0,70 0,6377 0,9059 0,0005 0,9298 0,0001 0,9933 0,0006 0,75 0,8622 0,9262 0,0005 0,9206 0,0007 0,9214 0,0007 0,80 1,211 0,9646 0,0001 0,9620 0,0001 0,9561 0,0003 0,85 1,863 1,001 0 0,9995 0 0,9945 0 0,90 3,167 0,9926 0 0,9918 0 0,9913 0 0,95 6,400 1,007 0 1,010 0 1,014 0
2. Таблица давлений и скоростного напора в фиксированных точках пространства
По методу, рассмотренному в § 3 главы 4 для v = 2 , у = 1 , 4 , были найдены значения P=p/pœ и функции U=gf, пропорциональной скоростному напору. Они представлены в табл. 10. Следует заметить, что в последнее время детальный анализ цилиндрического случая при у = 1,4 и *(—5/з был выполнен Н. А. Архангельским (см. [61] к гл. 4).
Т а б л и ц а 10
скоростного напора
0,3342 0,3885 0,4495 0,5186
U и и и и
1,042 0,2787 0,0880 0,0301 0,0096 0,0024 0,0003 0 0,0002 0,0001 0 0 0 0 0
3,722 2,129 1,470 1,169 1,001 0,9157 0,8772 0,8724 0,9045 0,9413 0,9690 0,9963 0,9950 1,003
0,8167 0,2361 0,0722 6,0233 0,0059 0,0008 0 0,0003 0,0002 0,0001 0 0 0 0
3,167 1,935 1,382 1,110 0,9640 0,8997 0,8807 0,9014 0,9392 0,9680 0,9982 0,9945 1,002
0,6402 0,1928 0,0570 0,0153 0,0024 0,0001 0,0002 0,0004 0,0001 О 0 0 0
2,750 1,772 1,294 1,052 0,9335 0,8929 0,8986 0,9361 0,9670 1,000 0,9940 1,004
0,5000 0,1520 0,0405 0,0079 0,0005 0,0001 0,0005 0,0002 0,0001 0 О О
2,426 1,612 1,294 0,9988 0,9134 0,8986 0,9318 0,9660 1,001 0,9933 1,005
0,3878 0,1103 0,0246 0,0027 О 0,0006 0,0004 0,0001 О О О
Т а б л и ц а 10 (окончание)
0,9901 1,209 1,521 1,989
Р и Р и Р и Р и
1,623 1,153 0,9500 0,9447 0,9865 0,9913 1,029
0,1200 0,0125 0,0001 0,0005 0 0 0
1,500 1,068 0,9365 0,9790 0,9925 1,0245
0,0833 0,0035 0,0008 0,0001 0 0
0,389 0,9994 0,9725 0,9949 1,020
0,0548 0,0002 0,0002 0 0
1,292 0,9506 0,9951 1,035
0,0333 0,0007 0 0
Л И Т Е Р А Т У Р А
Глава 1
1. Л . И . Седов. Лекции по механике сплошной среды, ч. I. Изд-во М Г У , 1966. 2. Л . В . Овсянников. Лекции по основам газовой динамики. М . , изд-во «Наука», Сиб.
отд., 1967. 3. Д ж . Серрин. Математические основы классической механики жидкости. ИЛ, 1963. 4. В . П . Коробейников, Н . С. Мельникова, Е . В . Рязанов. Теория точечного взрыва,
М . , Физматгиз, 1961. 5. Л . Д . Л а н д а у , Е . М . Лифшиц. Механика сплошных сред. М . , Гостехиздат, 1953. 6. Л . И . Седов. Механика сплошной среды, т. 1—2. М. , изд-во «Наука», 1970. 7. П . Е . Кочин. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 8. М. ,
Изд-во А Н СССР, 1961. 8. С. Л . Соболев. Уравнения математической физики. М . — Л . , Гостехиздат, 1950. 9. А . Г . Куликовский, Г . А . Любимов. Магнитная гидродинамика. М . , Физматгиз,
1962. 10. Л . Д . Ландау, Е . М . Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М . , Гостехиздат,
1957. 11. Б а й Ш и - и . Магнитная газодинамика и динамика плазмы. М . , изд-во «Мир», 1964. 12. С. И . Брагинский. К магнитной гидродинамике слабопроводящих жидкостей. —
ЖЭТФ, 1959, 37, вып. 5, 1417. 13. Т. Каулинг. Магнитная гидродинамика. ИЛ, 1959. 14. G. F . Chew, M . L . Goldberger, F . E . Low. The Boltzmann equation and the one-fluid
hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. — Proc. Roy. S o c , 1956, A236, 112.
15. Л . Д . Пичахчи. Разрывы в разреженной плазме в приближении Чу, Гольдбергера и Лоу. — Укр. физ. ж., 1960, 5, № 4, 450.
16. Т. Ф . Волков. Гидродинамическое описание сильно разреженной плазмы. — В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4. М . , Атомиздат, 1964.
17. С. Чепмен, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. ИЛ, 1960. 18. С. И . Брагинский. Явления переноса в плазме. — В сб. «Вопросы теории плазмы»,
вып. 1. М . , Атомиздат, 1963. 19. R . К. J a g g i . Wave motion in a plasma with anisotropic pressure. — Phys. Fluids,
1962, 5, N 8, 949. 20. Л . Спитцер. Физика полностью ионизованного газа. ИЛ, 1957. 21. К. Лонгмайр. Физика плазмы. М. , Атомиздат, 1966. 22. Д . А . Франк-Каменецкий. Лекции по физике плазмы. М. , Атомиздат, 1964. 23. Магнитная гидродинамика (материалы симпозиума). М. , Атомиздат, 1958. 24. И . Е . Тамм и др. Теория магнитного термоядерного реактора. — В сб. «Физика
плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций», т. I—III . M. , Изд-во А Н СССР, 1958.
25. Д . В . Сивухин. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях. — В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 1. М. , Атомиздат, 1963.
26. И . Е . Тамм. Основы теории электричества. М. , Гостехиздат, 1956. 27. М . П . Коган. Ударные волны в магнитной газодинамике. — Прикл. матем. и мех.,
1959, 23, вып. 3.
262
28. Р. В . Половин. Ударные волны в магнитной гидродинамике. — Усп. физ. наук, 1960, 72, № 1.
29. С. В . Иорданский. Теорема Цемплена в магнитной гидродинамике. — Д А Н СССР, 1958, 121, 4.
30. Р . В . Половин, Г . Я . Любарский. Невозможность ударных волн разрежения в магнитной гидродинамике. — ЖЭТФ, 1958, 35, № 2.
31. Ф . А . Б а у м , С. А . К а п л а н , К. П . Станюкович. Введение в космическую газодинамику. М. , Физматгиз, 1958.
32. А . Г . Куликовский, Г . А . Любимов. О магнитогидродинамических ударных волнах, ионизующих газ. — Д А Н СССР, 1959, 129, № 1.
33. В . П . Карликов, В . П . Коробейников. О возмущении электромагнитного поля ударными волнами при наличии скачка проводимости. — Прикл. матем. и мех., 1961, 25, вып. 3.
34. A . A . Б а р м и н , А . Г . Куликовский. Об ударных волнах, ионизующих газ при наличии произвольно ориентированного магнитного поля. — В сб. «Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды». М. , изд-во «Наука», 1969.
35. Р . 3. Сагдеев. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме. — В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4. М. , Атомиздат, 1964.
36. В . И . К а р п м а н . Гидромагнитные ударные волны. — В сб. «Проблемы магнитной гидродинамики и космической газодинамики». М. , изд-во «Наука», 1964.
37. Р. Курант, Д . Гильберт. Методы математической физики, т. П . М . , изд-во «Мир», 1964.
38. Б . Л . Рождественский, Н . П . Яненко. Системы квазилинейных уравнений. М. , изд-во «Наука», 1968.
39. A . Jeffrey, Т. T a n i u t i . Nonlinear wave propagation. N. Y . , Acad. Press, 1964. 40. P . В . Половин. Выступление на 2-м совещании по теорет. и прикл. магнитной
гидродинамике. — В сб. «Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1962.
41. В . П . Коробейников, С. П . Ломнев. О движении заряженных частиц в плазме при наличии магнитогидродинамической ударной волны. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 6.
42. В . П . Шабанский. — Геомагнетизм и аэрономия, 1965, № 5. 43. Y. М . L y n n . Discontinuities in an anisotropic plasma. — Phys. Fluids, 1967, 10,
N 10. 44. С. С. Григорян. Задача Коши и задача о поршне для одномерных неустановившихся
движений. — Прикл. матем. и мех., 1958, 22, вып. 2. 45. К. П . Станюкович. Неустановившиеся движения сплошной среды. М. , Гостех
издат, 1955. ч
46. Л . И . Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 4. М . , Гостехиздат, 1957.
47. Я . Б . Зельдович, А . С. Компанеец. Теория детонации. М. , Гостехиздат, 1955. 48. В . П . Коробейников. Об одномерных движениях газа в магнитном поле, сопрово
ждающихся ударными волнами. -— Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1960, № 2. 49. Л . С. Понтрягин. Непрерывные группы. М.—-Л., ГИТТЛ, 1954. 50. П . Г . Чеботарев. Теория групп Ли. М . — Л . , ГИТТЛ, 1940. 51. Л . В . Овсянников. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск,
Изд. сиб. отд. А Н СССР, 1962. 52. G. Birkhoff. Dimensional analysis and partial differential equations. — Electr. Eng.,
1948, 67. 53. Л . И . Седов, В . В . Л о х и н . Нелинейные тензорные функции от нескольких тензор
ных аргументов. — Прикл. матем. и мех., 1963, 27, вып. 3. 54. Г . И . Баренблатт. О предельных автомодельных движениях в теории нестацио
нарной фильтрации газа в пористой среде и теории пограничного слоя. — Прикл. матем. и мех., 1954, 18, вып. 4.
55. В . П . Коробейников. Об инвариантных решениях уравнений магнитной гидродинамики. — Магнитная гидродинамика, 1967, № 3.
56. В . П . Коробейников. Об интегралах уравнений неустановившихся адиабатических движений газа. — Д А Н СССР, 1955, 104, № 4.
263
57. M . Л . Лидов. Конечный интеграл уравнений одномерных автомодельных адиабатических движений газа. — Д А Н СССР, 1955, 103, № 1.
58. В . П . Коробейников. Одномерные автомодельные движения проводящего газа в магнитном поле. — Д А Н СССР, 1958, 121, № 4.
59. Г . Е . Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. М. , изд-во «Наука», 1965.
60. В . С. Владимиров. Уравнения математической физики. М. , изд-во «Наука», 1967. 61. Г . Н . Положий. Уравнения математической физики. М. , изд-во «Высшая школа»,
1964. 62. Л . И . Седов. Распространение сильных взрывных волн. — Прикл. матем. и мех.,
1946, 10, вып. 2. 63. Л . И . Седов. Движение воздуха при сильном взрыве. — Д А Н СССР, 1946, 52, № 1. 64. G. I. Taylor. The formation of a blast by a very intense explosion. — Proc. Roy.
Soc , 1950, A201, N 1065. 65. К. П . Станюкович. Применение частных решений уравнений газовой динамики
к изучению детонационных и ударных волн. — Д А Н СССР, 1946, 52, № 7. 66. H . Goldstine, J . von Neumann. Blast wave calculation. — Communs Pure and Appl.
Math., 1955, 8, N 2.
Глава 2
1. Л . И . Седов. Движение воздуха при сильном взрыве. — Д А Н СССР, 1946, 52, № 1. 2. Л . И . Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6. М. , изд-во «Наука»,
1967. 3. В . П . Коробейников, Н . С. Мельникова, Е . В . Рязанов. Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961. 4. Н . С. Бурнова ( Н . С. Мельникова). Исследование задачи о точечном взрыве. Канд.
дисс. М Г У , 1953. 5. В . П . Коробейников, Е . В . Рязанов. Представление решения задачи о точечном
взрыве в газе в особых случаях. — Прикл. матем. и мех., 1959, 23, вып. 2. 6. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин, К. В . Шароватова. Таблицы газодинамиче
ских функций начальной стадии точечного взрыва. М. , изд. ВЦ А Н СССР, 1963. 7. D . L . Jones. Strong blast waves in spherical cylindrical and plane shocke. — Phys.
Fluids, 1961, 4, N 9. 8. D . L . Jones. The energy parameter В for strong blast waves. — NBS Techn. Note,
1962, N 152. 9. К. А . Семендяев. Эмпирические формулы. M . — Л . , ГТТЙ, 1933.
10. Г . M . Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. М . , Гостехиздат, 1948.
11. H . H . Кочина. Некоторые точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения совершенного газа. — Прикл. матем. и мех., 1957, 21, вып. 4.
12. Я . Б . Зельдович, Ю . П . Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М . , изд-во «Наука», 1966.
13. В . П . Коробейников. Задача о сильном точечном взрыве при нулевом градиенте температуры. — Д А Н СССР, 1956, 109, № 2.
14. О. С. Рыжов, Г . И . Таганов. Второй предельный случай задачи о сильном взрыве. — Прикл. матем. и мех., 1956, 20, вып. 4.
15. М . Фроммер. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. — Усп.' матем. наук, 1941, вып. 9.
16. Н . С. Мельникова. О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем при нулевом градиенте температуры. — Бюлл. Политехи, ин-та, 1964, 19, № 10, вып. 3-4.
17. Г . Людвиг, М . Хейлъ. Теория пограничного слоя с диссоциацией и ионизацией. Проблемы механики, вып. IV. Сборник статей. Под ред. X . Драйдена и Т. Кармана. ИЛ, 1963.
18. Ф . А . Б а у м , С. А . К а п л а н , К. П . Станюкович. Введение в космическую газодинамику. М. , Физматгиз, 1958.
264
19. R . A . Gross, С. L . Eisen. Some properties of a hydrogen plasma. Dynamics of conducting gases. Evanston. Northwestern Univ. Press, 1960.
20. C M . Harris. Equilibrium properties and equation of state of a hydrogen plasma. — Phys. Rev., Ser. 2, 1964, 133, N 2A.
21. H . M . Кузнецов. Термодинамические функции и ударные адиабаты воздуха при высоких температурах. М. , изд-во «Машиностроение», 1965.
22. R . A . Gross. Continuum radiation behind a blast wave. — Phys. Fluids, 1964, 7, N 7, 23. Th. Ginsburg. Ausbreitung und reflexion von starken Explosions-Wellen. — «Sympos.
Numeric. Treatment Partial Differential equation with real Characteristics. Rome, 1959». Rome, 1960.
24. H . L . Brode. Blast wave from a spherical charge. — Phys. Fluids, 1959, 2 , N 2, 25. Effects of atomic weapons. N. Y . , Los Alamos Scientific Laboratory, 1950. 26. Э . Л а р и ш , И . Шехтман. О введении излучения в задачи газовой динамики. — Д А Н
СССР, 1957, ИЗ, № 5. 27. В . П . Коробейников. Исследование некоторых задач неустановившихся одномер
ных движений газа. Канд. дисс. М. , М И А Н СССР, 1956. 28. Г . М . Бам-Зеликович. Распространение сильных взрывных волн.— В сб. «Теоре
тическая гидромеханика», № 4. М. , Оборонгиз, 1949. 29. В . П . Коробейников. О распространении сильной сферической взрывной волны
в теплопроводном газе. — Д А Н СССР, 1957, ИЗ, № 5. 30. В . Е . Неуважаев. Распространение сферической взрывной волны в теплопроводном
газе. — Прикл. матем. и мех., 1962, 26, вып. 6. 31. В . В . Сычев. К теории сильного взрыва в теплопроводном газе. — Прикл. матем.
и мех., 1965, 29, вып. 6. 32. И . О. Бежаев. О влиянии вязкости и теплопроводности газа на распространение
взрыва. — В сб. «Теоретическая гидродинамика», № И . М. , Оборонгиз, 1953. 33. G. Т. Taylor. The formation of a blast wave by a very intense explosion. — Proc.
Roy. Soc , 1950, A201, N 1065. 34. О. И . Лейпунский. Гамма-излучения атомного взрыва. M. , Атомиздат, 1959. 35. П . А . Ямпольский. Нейтроны атомного взрыва. М. , Атомиздат, 1961. 36. В . Н . Лавренчик. Глобальное выпадение продуктов ядерных взрывов. М. , Госатом-
издат, 1965. 37. В . В . Лунев. Метод эффективной энергии в задаче о сильном взрыве в реальном
газе. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1968, № 5. 38. H . Н . Соболев. Исследование электрического взрыва тонких проволочек. —
ЖЭТФ, 1947, 17, № И . 39. С. В . Лебедев. Взрыв металла под действием электрического тока. — ЖЭТФ,
1957, 32. 40. М . N . Plooster. Shock waves from line sources. . . — Phys. Fluids, v. 13, N 11,
p. 2665, 1970. 41. И . Ф . Кварцхава, В . В . Бондаренко, Р . Д . Меладзе и др. — ЖЭТФ, 1956, 31 .
42. И . Ф . Кварцхава, А . А . Плютто, А . А . Чернов и др. — ЖЭТФ, 1956, 30.
43. Взрывающиеся проволочки. Сборник статей. Под ред. Чейса и Мура. ИЛ, 1963. 44. Электрический взрыв проводников. Сборник статей. Под ред. Чейса и Мура.
М. , изд-во «Мир», 1965.
45. Exploding wires, Ш . W . G. Chace and H . К . Moore (Eds). N. Y . , Plenum Press, 1964. 46. Г . Г . Долнев, С. Л . Мандельштам. Плотность и температура газа в искровом раз
ряде. - ЖЭТФ, 1953, 24. 47. А . Е . Войтенко, И . Ш . Модель. Получение сильных ударных волн при электриче
ских разрядах в щелях. — ЖЭТФ, 1963, 44, № 6. 48. Магнитная гидродинамика. Сборник статей. Под ред. К. Ландсхоффа. М. , Атом
издат, 1958. 49. А . С. K o l b . Production of high-energy plasmas by magnetically driven shock waves. —
Phys. Rev., 1957, 107, N 2.
50. В . В . Коробкин, С. Л . Мандельштам, П . П . П а ш и н и н ж др. Исследование искры в воздухе, возникающей при фокусировании излучения лазера. — ЖЭТФ, 1967, 53, вып. 1.
18 Тр. Математ. ин-та, т. CXIX 265
51. E . P a n a r e l l a , P . Sauic. Blast waves from laser-induced spark in air. — Ganad. J. Phys., 1967, 46, N 3.
52. ff. Г . Басов, В . А . Бойко, О. Н . Крохин и др. Образование длинной искры в воздухе под действием слабо сфокусированного излучения лазера. — Д А Н СССР, 1967, 137, № 3.
53. Н . Г . Басов. Лазеры в физических исследованиях. — Природа, 1967, № 10. 54. / . W. Daiber, H . M . Thompson. Laser-driven detonation waves in gases. — Phys.
Fluids, 1967, 16, N 8. 55. Действие лазерного излучения. Сборник статей. M. , изд-во «Мир», 1968.
Глава 3
1. Н . С. Буркова ( Л . С. Мельникова). Исследование задачи о точечном взрыве. Канд. дисс. М Г У , 1953.
2. Л . И . Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 3. М. , Гостехиздат, 1954.
3. A . S a k u r a i . On propagation and structure of the blast wave. — J. Phys. Soc. Japan, 1953, 8, N 5; 1954, 9, N 2.
4. В . П . Коробейников, E . В . Рязанов. К теории линеаризированных задач о взрыве. — Прикл. матем. и мех., 1959, 23, вып. 4.
5. В . П . Коробейников. О приложении теории взрыва к вопросам распространения ударных волн при солнечных вспышках. III Всес. съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докл. М. , изд-во «Наука», 1968.
6. V. P . Korobeinikov. On the gas flow due to solar flares. — Solar Phys., 1969, 7, N 3. 7. M . Л . Лидов. К теории линеаризированных решений около одномерных автомодель
ных движений газа. — Д А Н СССР, 1955, 102, № 6. 8. В . П . Коробейников, Н . С. Мельникова, Е . В . Рязанов. Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961. 9. H . M i r e l s , J . F . M u l l e n . Aerodynamic blast simulation in hypersonic tunnels. —
A I A A Journal, 1 9 6 5 / 3 , N 11. 10. Д т II. Брушлинский, Г . С. Соломахова. Исследование задачи о сильном взрыве
с учетом противодавления. — В сб. «Теоретическая гидромеханика», № 19, вып. 7. М. , Оборонгиз, 1956.
11. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин, К. В . Шароватова. Таблицы газодинамических функций начальной стадии точечного взрыва. Сообщ. по вычисл. матем., вып. 2. М. , изд. ВЦ А Н СССР. 1963.
12. В . П . Коробейников, II. И . Чушкин. Расчет начальной стадии точечного взрыва в различных газах. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 4.
13. R . J . Swigart. Third-order blast theory and its application to hypersonic flow-past blunt-nosed cylinders. — J. Fluid Mech., 1960, 9.
14. A . S a k u r a i . Blast wave theory. Basic Developments in Fluid Dynamics, v. 1. M. Holt (Ed.), N. Y . , 1965.
15. G. G. Bach, J . H . Lee. Higher order perturbation solutions for blast waves. — AIAA Journal, 1969, 7, N 4.
16. И . С. Березин, H . П . Жидков. Методы вычислений, т. II . M. , Физматгиз, 1960.
Глава 4
1. Л . И . Седов. К общей теории одномерных движений газа. — Д А Н СССР, 1952, 85, № 4.
2. Л . И . Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6. М. , изд-во «Наука», 1967.
3. Д . Е . Охоцимский, И . Л . Кондрашова, 3 . П . Власова и др. Расчет точечного взрыва с учетом противодавления. — Труды М И А Н СССР, 1957, 50.
4. H . Goldstine, J . von Neumann. Blast wave calculation. — Communs Pure and Appl. Math., 1955, 8, N 2.
266
5. В . Я . Коробейников, Я . С. Мельникова, Е . В . Рязанов. Теория точечного взрыва. М. , Физматгиз, 1961.
6. Я . Б . Зельдович. Теория ударных волн и введение в газодинамику. М . , Изд-во А Н СССР, 1946.
!.. Л . Д . Л а н д а у . Об ударных волнах на далеких расстояниях от места их возникновения. — Прикл. матем. и мех.. 1945, 9, вып. 4.
8. Ю . Л . Якимов. Об асимптотических решениях. . . — Прикл. матем и мех., 1955, 19, вып. 6.
9. Г . М . Шефтер. Асимптотическое решение уравнений одномерного неустановившегося движения идеального газа с цилиндрической симметрией. — Д А Н СССР, 1954, 116, № 4.
10. Я . L . Brode. Numerical solutions of spherical blast waves. — J. Appl. Phys., 1955, 26, N 6.
И . Д . E . Охоцимский, 3 . П . Власова. О поведении ударных волн на большом расстоянии от места взрыва. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2, № 1.
12. Чжоу Б е й - ч ж и , К а р п п , Хуанъ Ш и - л и . Численный расчет ударных волн методом характеристик. — Ракетная техника и космонавтика, 1967, 5, № 4.
13. А . Я . Жуков. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. — Труды М И А Н СССР, 1960, 58.
14. Я . Я . Чушкин. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. - Труды ВЦ А Н СССР. М. , 1968.
15. В . В . Русанов. Характеристики общих уравнений газовой динамики. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, 3, № 3.
16. Г . Г . Черный. Задача о точечном взрыве. — Д А Н СССР, 1957, 112, № 2. 17. Г . Г . Черный. Применение интегральных соотношений в задачах о распростра
нении сильных ударных волн. — Прикл. матем. и мех., 1960, 24, вып. 1. 18. Я . С. Бурнова (Я. С. Мельникова). Исследование задачи о точечном взрыве. Канд.
дисс. М Г У , 1953. 19. В . Я . Коробейников. Об аналогии между цилиндрическим взрывом и обтеканием
тел гиперзвуковым потоком газа. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1962, № 6. 20. Я . С. Мельникова, Т. М . Саламахин. О расчете точечного взрыва в различных сре
дах. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4. 21. Я . С. Мельникова. О точечном взрыве в среде с переменной начальной плотностью.—
Труды М И А Н СССР, 1966, 87. 22. Т. Я . Lee, Я . Knystautas, G. G. Bach. Theory of explosions. M E R L Report 69-10,
McGill Univ., Montreal, 1969. 23. А . Сакурай. О распространении цилиндрических ударных волн. — В сб. «Взры
вающиеся проволочки». ИЛ, 1963. 24. В . В . А д у ш к и н , И . В . Немчинов. Приближенное определение параметров газа за
фронтом ударной волны по закону движения фронта. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 4.
25. В . Я . Андреев. Приближенный способ расчета одномерных течений с ударными волнами. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1967, № 6.
26. А . А . Дородницын. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. — Труды III Всес. матем. съезда, т. III . M. , Изд-во А Н СССР, 1958.
27. О. М . Белоцерковский, П . И . Чушкин. Численный метод интегральных соотношений. — Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2, № 5.
28. О. M . Вelozerkovsky, P . I. Chushkin. In: «Basic Developments in Fluid Dynamics», v. 1. M. Holt (Ed.). N. Y . , Acad. Press, 1965.
29. В . П . Карликов, В . П . Коробейников, Е . В . Рязанов. Приближенный метод решения задачи о взрыве в некоторых идеальных сжимаемых средах. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 2.
30. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин. Метод расчета точечного взрыва в газах. — Д А Н СССР, 1964, 154, № 3.
31. В . П . Коробейников, Я . И . Чушкин. Об одном методе расчета точечного взрыва в газе с учетом противодавления. — Труды V сессии Ученого совета по взрыву. Фрунзе, изд-во «Илим», 1965.
18* 267
32. В . П . Карликов, В . П . Коробейников, П . И . Чушкин. О расчете взрыва в сжимаемых средах. II Всес. съезд по теоретич. и прикл. механ. Аннотации докл. М . , изд-во «Наука», 1964.
33. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин. Плоский, цилиндрический и сферический взрыв в газе с противодавлением. — Труды МИ А Н СССР, 87. М . , изд-во «Наука», 1966.
£4. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин, К. В . Шароватова. Таблицы газодинамических функций начальной стадии точечного взрыва. Сообщ. по вычисл. матем., вып. 2. М . , изд. ВЦ А Н СССР, 1963.
35. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин, К. В . Шароватова. Газодинамические функции точечного взрыва. — Труды ВЦ А Н СССР. М. , 1969.
36. М . А . Садовский. Механическое действие воздушных ударных волн по данным экспериментальных исследований. — В сб. «Физика взрыва», № 1. М . , Изд-во А Н СССР, 1952.
37. М . А . Цикулин. Ударные волны при движении в атмосфере крупных метеоритных тел. М. , изд-во «Наука», 1969.
38 . Н . Shardin. Measurement of spherical shock waves. — Communs Pure and Appl. Math., 1954, 7, N 1.
39. Effect of atomic weapons. N. Y . , Los Alamos Scientific Laboratory, 1950. 40. Ю . С. Яковлев. Гидродинамика взрыва. Л . , Судпромгиз, 1961. 41. С. А . Ловля и др. Взрывное дело. М. , изд-во «Недра», 1966. 42. А . С. Фонарев, С Ю . Чернявский. Расчет ударных волн при взрыве сферических
зарядов взрывчатых веществ в воздухе. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1968, № 5.
43. / . W. M i l e s . Decay of spherical blast weves. — Phys. Fluids, 1967, 10, N 12.
44. В . П . Коробейников. Приближенные формулы для расчета характеристик фронта ударной волны при точечном взрыве в газе. — Д А Н СССР, 1956, 111, № 3.
45. Я . F . Fletcher, D . Cerneth, С. Goodman. Explosion of propel lants. — A I A A Journal, 1966, 4, N 4.
46. A . B . Золотое, а) К вопросу о возможности «теплового» взрыва и структуре Тунгусского космического тела; б) Оценка параметров тунгусского космического тела по новым данным. — Д А Н СССР, 1967, 172, № 4, № 5.
47. H . Brode. Blast waves from a spherical charge. — Phys. Fluids, 1959, 2, N 2. 48. Г . Г . Черный. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М. , 1959. 49. У . Д . Хейз, Р . Ф . Пробстин. Теория гиперзвуковых течений. ИЛ, 1962.
50. П . И . Чушкин, Н . П . Шулишнина. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов. М. , изд. ВЦ А Н СССР, 1961.
51. В . В . Лунев, К. М . Магомедов, В . Г . Павлов. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учетом разновесных физико-химических превращений. М . , изд. ВЦ А Н СССР, 1968.
52. Э . И . А н д р и а н к и н . Метод возмущений для задачи о сильном взрыве. — Изв. А Н СССР, механика, 1958, № 12.
53. Т. S . Chang, О. Laporte. Reflection of strong blast waves. — Phys. Fl., 1964, 7 , N 8.
54. F . Demming. Reflection of shock wave. . . — Ann. Phys., 1967, N 3 . 55. P . Курант, К. Фридрихе. Сверхзвуковое течение и ударные волны. ИЛ, 1950. 56. M . М . Васильев. Об отражении сферической ударной волны от плоскости. —
В сб. «Вычислительная математика», № 6. М. , Изд-во А Н СССР, 1960. 57. Действие ядерного оружия. Перев. с англ., М. , Воениздат, 1960. 58. К. Е . Губкин. Исследование отражения ударных волн с помощью полутеневых
фотографий. — В сб. «Физика взрыва», № 3. М. , Изд-во А Н СССР, 1955. 59. О. С. Рыжов, С. А . Христианович. О нелинейном отражении слабых ударных
волн. — Прикл. матем. и мех., 1958, 22, вып. 5. 60. Th. Ginsburg. Ausbreitung und Reflexion von starken Explosions- Wellen. — «Sym-
pos. Numeric. Treatment Partial Differential Equation with Real Characteristics, Rome, 1959». Rome, I960.
61. H . А . Архангельский. Алгоритм численного решения задачи о цилиндрическом взрыве. . . — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, И , № 1.
268
Глава 5
1. В . Я . Коробейников. Точное решение нелинейной задачи о взрыве в газе при переменной начальной плотности. — Д А Н СССР, 1957, 117, № 6.
2. Л . И . Седов. Об интегрировании уравнений одномерного движения газа. — Д А Н СССР, 1953, 90, № 5.
3. В . П . Коробейников, Е . В . Рязанов. Построение точных разрывных решений уравнений одномерной газодинамики и их приложения. — Прикл. матем. и мех., 1958, 22, вып. 2.
4 . Я . Б . Зельдович. Акуст. ж., 1956, 2, вып. 1. 5. Р . И . Нигматуллин. Плоский взрыв на границе двух идеальных калорически со
вершенных газов. — Вестник МГУ, матем., мех., 1965, № 1. 6. В . Я . Коробейников, Г . А . Остроумов. Еще о кавитационном разрушении. —
Акуст. ж., 1965, 12, вып. 4. 7. Г . А . Остроумов. О механизме кавитационного разрушения. — Акуст. ж., 1963, 9,
вып. 2. 8. Ю . П . Райзер. Удар по поверхности. . . — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 1. 9. Б . Я . Румянцев. Об одном предельном случае распространения сильных взрывных
волн в неоднородной среде. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 1. 10. Б . Я . Румянцев. К теории взрыва в неоднородной среде. . . — Ж. прикл. мех.
и техн. физ., 1963, № 4. .11. Л . В . Шуршалов. К задаче о сильном взрыве на границе полупространства, за
полненного совершенным газом. — Прикл. матем. и мех., 1969, 33, № 2. 12. Л . И . Седов. Плоские задачи гидродинамики. М . — Л . , ГИТТЛ, 1950. 13. Л . А . Галин. Удар тела о поверхность сжимаемой жидкости. I Всес. съезд по теор.
и прикл. мех. Аннотации докл. М. , Изд-во А Н СССР, 1960. 14. Э . П . Борисова, П . Я . Корявое, Я . Я . Моисеев. Плоские и осесимметричные авто
модельные задачи погружения и соударения струй. — Прикл. матем. и мех., 1959, 23, вып. 2.
15. А . Я . Сагомонян. Пространственные задачи по неустановившемуся движению сжимаемой жидкости. М. , Изд-во МГУ, 1962.
16. А . А . Дерибас, С. Я . Похожаев. Постановка задачи о сильном взрыве на поверхности жидкости. — Д А Н СССР, 1962, 144, № 3.
11. В . Ф . М и н и н . О взрыве на поверхности жидкости. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1964, № з.
18. S . S . Grigoryan, M . M . Martirosyan. Ground waves stimulated by surface blast. — Astronautica Acta, 1970, 15, N. 5.
19. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин, К. В . Шароватова. Таблицы газодинамических функций начальной стадии точечного взрыва. Сообщ. по вычисл. матем., вып. 2. М. , изд. ВЦ А Н СССР, 1963.
20. В . Я . Коробейников, П . И . Чушкин, К. В . Шароватова. Газодинамические функции точечного взрыва. М . , изд. ВЦ А Н СССР, 1969.
21. В . Д . Алексеенко. Экспериментальное исследование распределения энергии при контактном взрыве. — Изв. А Н СССР, физика горения и взрыва, 1967, 3, № 1.
22. К. И . Бабенко и др. Методы решения некоторых двумерных задач. Доклад на I Всес. конф. по вычисл. технике. М. , 1959. В сб. «Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники». М. , Машгиз, 1963.
23. В . В . Русанов, Э . Э . Шноль. Разностные методы в пространственных задачах газовой динамики. Доклад на IV всес. матем. съезде. Л . , 1961. — Труды IV Всес. матем. съезда. Л . , 1963.
24. В . В . Русанов. Расчет и исследование многомерных течений газа методом конечных разностей. Докт. дисс. М . , Ин-т проблем механики А Н СССР, 1968.
25. X . С. Кестенбойм, Ф . Д . Турецкая, Л . А . Чудов. Точечный взрыв в неоднородной атмосфере. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1969, № 5.
26. В . П . Коробейников, В . Я . Карликов. Определение формы и параметров фронта ударной волны при взрыве в неоднородной среде. — Д А Н СССР, 1963, 148, № 6.
27 . V. P . Korobeinikov. Gas dynamics of explosion. — Annual Review of Fluid mechanics, v. 3 , Annual Reviews Inc. USA, 1971.
269
28. Л . В . Овсянников. Новое решение уравнений гидродинамики. — Д А Н СССР, 1956> 111, № 1.
29. В . П . Карликов. Решение линеаризированной осесимметричной задачи о точечном взрыве в среде с переменной плотностью. — Д А Н СССР, 1955, 101, № 6.
30. В . П . Карликов. Линеаризированная задача о распространении сильного взрыва. — Вестник МГУ, серия матем., механ., астрон., физ., хим., 1959, № 4.
31. В . П . Дарликов. Линеаризированное решение задачи о сильном взрыве в среде с линейным распределением плотности. — Вестник МГУ, серия матем., механ., 1960, № 1.
32. Э . И . А н д р и а н к и н . Метод возмущений для задачи о сильном взрыве. — Изв. А Н СССР, ОТН, 1958, № 12.
33. А . С. Компанеец. Точечный взрыв в неоднородной атмосфере. — Д А Н СССР, 1960, 130, № 5.
34. Э. И . А н д р и а н к и н , А . С. Компанеец, В . П . Крайнов. Распространение сильного взрыва в неоднородной атмосфере. — Прикл. матем. и техн. физ., 1962, № 6.
35. D . D . Laumbach, R . F . Probstein. A point explosion in a cold exponential atmosphere. — J. Fluid Mech., 1969, 35, pt 1.
36. К. E . Губкин. Распространение разрывов в звуковых волнах. — Прикл. матем. и мех., 1958, 22, вып. 4.
37. К. Е . Губкин. Нелинейная геометрическая акустика и ее приложения. — В сб. «Некоторые проблемы математики и механики». Новосибирск, изд. Сиб. отд. А Н СССР, 1961.
38. О. С. Рыжов. Затухание ударных волн в неоднородных средах. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1961, № 2.
39. О. С. Рыжов, Г . М . Шефтпер. Об энергии звуковых волн, распространяющихся в движущихся средах. — Прикл. матем. и мех., 1962% 26, № 5.
40. Л . И . Седов. Методы подобия в нелинейной механике сплошной среды. — Труды III Всес. матем. съезда, т. III . M. , Изд-во А Н СССР, 1958.
41. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин. Плоский, цилиндрический и сферический взрыв в газе с противодавлением. — Труды МИ А Н СССР, 1966, 87.
Глава 6
1. Л . И . Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 4. М. , Гостехиздат, 1957.
2. В . П . Коробейников, Н . С. Мельникова, Е . В . Рязанов. Теория точечного взрыва. М. , Физматгиз, 1961.
3. Я . Б . Зельдович, А . С. Компанеец. Теория детонации. М. , Гостехиздат, 1955. 4. К. И . Щелкин. Два случая неустойчивого горения. — ЖЭТФ, 1959, 36, № 2. 5. Р . М . Зейдель, Я . Б . Зельдович. Одномерная неустойчивость и затухание детона
ции. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 6. 6. Р . И . Солоухин. О детонации в газе, нагретом ударной волной. — Ж. прикл. мех.
и техн. физ., 1964, № 4. 7. R . В . Gilbert, R . A . Strelow. Theory of detonation initiation behind reflected shock
waves. — A I A A Journal, 1966, 4, N 10. 8. В . В . Пухначев. Об устойчивости детонации Чепмена—Жуге. — Ж. прикл. мех.
и техн. физ., 1963, № 6. 9. Р . И . Солоухин. Зона экзотермической реакции в одномерной ударной волне
в газе. — Физика горения и взрыва, 1966, № 3. 10. И . С. Ш и к и н . О точных решениях уравнений одномерной газодинамики с ударными
и детонационными волнами. — Д А Н СССР, 1958, 122, № 1. 11. В . А . Левин. Приближенное решение задачи о сильном точечном взрыве в горю
чей смеси. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1967, № 1. 12. В . П . Коробейников, П . И . Чушкин. Плоский, цилиндрический и сферический
взрыв в газе с противодавлением. — Труды МИ А Н СССР, 1966, 37. 13. Г . Г . Черный. Асимптотический закон распространения плоской детонационной
волны. — ДАН СССР, 1967, 172, № 3.
2 7 0
14. A . J . Laderman. Detonability of hydrogen-oxygen mixtures in large vessels at low initial pressures. — A I A A Journal, 1966, 4, N 10.
15. E . Бишимов. Численное решение задачи о сильном точечном взрыве в детонирующем газе. — В сб. «Дифференциальные уравнения и их применение». Алма-Ата, изд-во «Наука», 1969.
16. Е . Бишимов. Плоский, цилиндрический и сферический взрыв с противодавлением в детонирующем газе. — Изв. А Н Каз. ССР, серия физ.-матем., 1969, № 1.
17. В . П . Коробейников. Точечный взрыв в детонирующем газе. — Д А Н СССР, 1967, 177, № 2.
18. В . П . Коробейников: Задача о точечном взрыве в детонирующем газе. Международный коллоквиум по газодинамике взрывов. Брюссель, 1967 (Astronautica Acta. 1969).
19. Е . Бишимов, В . П . Коробейников, В . А . Левин и др. Одномерные нестационарные течения горючей смеси газов с учетом конечной скорости химических реакций. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1968, № 6.
20. В . П . Коробейников, В . А . Левин. Сильный взрыв в горючей смеси газов. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1969, № 6.
21. A . Ferry, P . Libby, V. Zakkay. Theoretical and experimental investigation of supersonic combustion. Politechn. Inst, of Brooklyn and General Applied Science Lab. , Inc., 1962.
22. M . П . Самозванцев. О стабилизации детонационных волн при помощи плохообте-каемых тел. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4.
23. Г . Г . Черный. Сверхзвуковое обтекание тел с образованием фронтов детонации и горения. — В сб. «Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды». М . , изд-во «Наука», 1969.
24. Р . Солоухин, Д ж . Л и , А . Оппенгейм. Вопросы детонации в газах. Международный коллоквиум по газодинамике взрывов. Брюссель, 1967 (Astronautica Acta, 1969).
25. Л . Г . Гвоздева. Экспериментальное исследование дифракции детонационных волн в стехиометрической смеси метана с кислородом. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1961, № 5.
26. Я . Б . Зельдович, Ю . П . Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М. , изд-во «Наука», 1966.
27. Р . И . Солоухин. Нестационарные явления в газовой детонации. 12-й Междунар. симпозиум по горению. Пуатье, 1968.
28. E . A . Lundstrom, А . К. Oppenheim. On the influence of non-steadiness on the thickness of the detonation wave. — Proc. X I I . Internat. Sympos. on Combustion. Poitiers, 1968.
29. H . H . Семенов. Развитие теории цепных реакций и теплового воспламенения. М. , изд-во «Знание», 1969.
30. A . L . F u l l e r , R . A . Gross. Thermonuclear detonation wave structure. — Phys. Fluids, 1968, 11, N 3.
31. Л . H . Бусурина, В . Я . Гольдин, H . H . Калиткин и др. Численный расчет детонации. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1970, 10, № 1.
32. -Ж. S. C h u . Thermonuclear Reaction Waves at High Densities. Phys. Fluids, 1972, 15, № 3.
Глава 7
1. А . Г . Куликовский, Г . А . Любимов. О магнитогидродинамических ударных волнах, ионизующих газ. — Д А Н СССР, 1959, 129, № 1.
2. В . П . Коробейников. О расчете одномерных течений при цилиндрическом и плоском взрыве в идеально проводящем газе с учетом противодавления и магнитного поля. - Д А Н СССР, 1965, 165, № 5.
3. J . D . Murrey. Strong cylindrical shock waves in magnetogasdynamics. — Mathema-tika, 1961, 8, pt 2.
4. В . П . Коробейников, E . В . Рязанов. Некоторые решения уравнений одномерной магнитной гидродинамики, . - я Прикл. матем. и мех., 1960, 24, вып. 1.
271
5. В . П . Коробейников. Об одномерных движениях газа в магнитном поле, сопровождающихся ударными волнами. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1960, № 2»
6. A . S a k u r a i . Interaction of cylindrical shock waves with magnetic field parallel to the axis. — J. Phys. Soc. Japan, 1962, 17, N 10.
7. В . П . Коробейников. Затухание слабых магнитогидродинамических ударных волн. — Магнитная гидродинамика, 1967, № 2.
8. В . П . Коробейников. Одномерные автомодельные движения проводящего газа в магнитном поле. — Д А Н СССР, 1958, 121, № 4.
9. В . П . Коробейников. О цилиндрическом взрыве и прямолинейном разряде в электропроводной среде с учетом магнитного поля. — Сб. «Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1962.
10. Э . К а м к е . Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М . , Физматгиз, 1961.
И . С. Greifinger, J . D . Cole. Similarity solution for cylindrical magnetohydrodynamic blast waves. — Phys. Fluids, 1962, 5, N 12.
12. В . П . Коробейников. Плоский взрыв в электропроводном газе при наклонном магнитном поле. — Д А Н СССР, 1966, 171, № 3.
13. А . Г . Куликовский, Г . А . Любимов. Магнитная гидродинамика. М. , Физматгиз, 1962.
14. Л . Д . Л а н д а у , E . М . Лифшиц. Механика сплошных сред. М . , Гостехиздат, 1953. 15. В . П . Коробейников, В . П . Карликов. О взаимодействии сильных взрывных волн
с электромагнитным полем. — Д А Н СССР, 1960, 133, № 4. 16. В . П . Коробейников, Е . В . Рязанов. О распространении магнитогидродинамических
ударных волн, возникающих при взрывах. — В сб. «Вопросы магнитной гидродинамики». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1964.
17. В . Л , Карликов. Линеаризированная задача о распространении сильного взрыва в неоднородной атмосфере. Канд. дисс, М Г У , 1958.-
18. N . Ness, I. В . Fanucci, L . J . Kijewski. Nonuniform expansion of a piston into an ionized medium with a weak magnetic field. — Phys. Fluids, 1963, 6, N 9.
19. В . П . Коробейников. О взаимодействии ударных волн в идеально проводящем газе со слабыми магнитными полями. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4.
20. Ж . М . Бюргере. Проникание ударной волны в магнитное поле. — В сб. «Магнитная гидродинамика». М . , Атомиздат, 1958.
21. A . S a k u r a i . Blast wave theory. — In: Basic Developments in Fluid Dynamic, v. 1. M. Holt (Ed.), N. Y . , Acad. Press, 1965.
22. В . П . Коробейников, E . B . Рязанов. О влиянии магнитного поля на распространение плоских и цилиндрических ударных волн. — ПМТФ, 1962, № 4.
23. P . S . Lykoudis. Magnetofluidmechanic Blast Waves in a Medium with Finite Electrical Conductivity, — Phys. Fluids, 1964, 7, N 8, 1372.
24. L . G. L i n h a r t . Plasma physics. 2 ed. Amsterdam, North Holland Publ., Co., 1961. 25. G. C. Vlases, D . L . Jones. Experimental study of cylindrical magnetohydrodynamic
blast waves. — Phys. Fluids, 1968, 11, N 5.
26. H . P . Greenspon. Similarity solution for cylindrical shock. —- Phys. Fluids, 1962 r
5, N 3. 27. Ф . А . Б а у м , С. А . К а п л а н , К. П . Станюкович. Введение в космическую газодина
мику. М. , Физматгиз, 1958.
28. П . П . Волосевич, В . С. Соколов. Автомодельная задача о разлете электропроводного газа в среду с заданным осевым магнитным полем. — Магнитная гидродинамика, 1967, № 1.
29. А . А . Б р и ш , М . С. Тарасов, В . А . Цукерман. — ЖЭТФ, 1959, 37, вып. 6. 30. В . П . Карликов, В . П . Коробейников. О возмущении электромагнитного поля удар
ными волнами при наличии скачка проводимости. — Прикл. матем. и мех., 1961, 25, № 3.
31. R . Gallet. Propagation and production of electromagnetic waves in a plasma. — Nuovo cimento, Suppl. ser. 10, 1959, 13, N 1.
32. A . A . Б а р м и н , А . Г . Куликовский. Об ударных волнах, ионизующих газ, находящийся в электромагнитном поле. — Д А Н СССР, 1968, 178, № 1.
272
Г л а в а 8
1. Е . П а р к е р . Динамические процессы в межпланетной среде. М . , изд-во «Мир», 1965. 2. Д . Я . Мартынов. Курс общей астрофизики. М . , изд-во «Наука», 1966. 3 . Г . Смит, Э . Смит. Солнечные вспышки. М. , изд-во «Мир», 1966. 4. D . S . Colburn, С. Р . Sonett. Discontinuities in the solar wind. — Space Sei. Revs,
1966, 5. 5. A . M a x w e l l , R . J . Defouw and P . Cummings. Radio evidence for solar corpuscular
emission. — Planet. Space Sei., 1964, 12; N 5, 435—49. 6. R . С. Whang, С. K . L i n , С. C. Chang. A viscous model of solar wind. — Astrophys.
J., 1966, 145, N 1. 7. Г . С. Бисноватый-Коган. Течение идеального газа в сферически-симметричном поле
тяжести с учетом лучистой теплопроводности и лучистого давления. — Прикл. матем. и мех., 1967, 31, вып. 4.
8. В . В . Виткевич, В . И . Власов. Радиоастрономические исследования движения и размеров мелкомасштабных неоднородностей межпланетной плазмы. — Д А Н СССР, 1968, 181, № 3.
9. G. F . Chew, M . L . Goldberger, F . E . Low. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. — Proc. Roy. Soc , 1956, A236.
10. R . K . J a g g i . Wave motion in a plasma with anisotropic pressure. — Phys. Fluids, 1962, 5, N 8.
11. Л . И . Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6. М. , изд-во «Наука», 1967.
12. В . П . Коробейников, Н . С. Мельникова, Е . В . Рязанов. Теория точечного взрыва. М. , Физматгиз, 1961.
13. П . M i r e l s , J . F . M u l l e n . Aerodynamic blast simulation in hypersonic tunnels. — A I A A Journal, 1965, 3, N 11.
14. M . Л . Лидов. Автомодельные движения газа со сферической симметрией в поле гравитирующего центра. — Астрон. ж., 1957, 34, № 4.
15. Р . 3 . Сагдеев. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме. — В сб. «Вопросы теории плазмы», т. IV. М. , Атомиздат, 1964.
16. Ю . А . Березин, P . X . Куртмуллаев, Ю . Е . Пестерихин. Бесстолкновительные ударные волны в разреженной плазме. — Изв. А Н СССР, физика горения и взрыва, 1966, 2, № 1.
17. / . Т. Costing et al. Measurement of the interplanetary solar with during the large geomagnetic storm of April 17—18 1965. — J. Geophys. Res., 1967, 72, N 7.
18. / . T. Costing et al. Sattellite observations of interplanetary shock waves. — J. Geophys. Res., 1968, 73, N 1.
19. T. Gold. Discussion of shock waves and rarefied gases. — In: Gas Dynamics of Cosmic clouds, H. C. vlan Hülst and J. M. Burgers (Eds), Amsterdam, North Holland Publ. Co., 1955.
20. P . S . Coleman Jr. Variations in.the interplanetary magnetic field, 1. — J. Geophys. Res., 1966, 71, N 23.
21. А . Г . Куликовский, Г . А . Любимов. Магнитная гидродинамика. M. , Физматгиз, 1962.
22. В . П . Коробейников. О взаимодействии ударных волн в идеально проводящем газе со слабыми магнитными полями. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4.
23. В . П . Коробейников, Е . В . Рязанов. О распространении магнитогидродинамических ударных волн, возникающих при взрывах. — В сб. «Вопросы магнитной гидродинамики». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1964.
24. В . П . Коробейников. О приложении теории взрыва к вопросам распространения ударных волн при солнечных вспышках. III Всес. съезд по теоретич. и прикл. мех. Аннотации докл. М. , изд-во «Наука», 1968.
25. В . П . Коробейников. О приложении анализа размерностей к вопросам движения межпланетного газа при солнечных вспышках. — Д А Н СССР, 1969, 185/ № 6.
26. V. P . Korobeinikov. On the gas flow due to solar flares. — Solar Phys., 1969, 7, N 3.
273
27. Солнечный ветер. Сборник статей. Под ред. Р. Макнина, М. Негейбауэра. М. , изд-во «Мир», 1968.
28. К. Н . Грингауз, В . В . Безруких, Л . И . Мусатов. Наблюдения солнечного ветра на межпланетной станции «Венера-3». Докл. на симпозиуме по солнечной земной физике. Белград, 1966.
29. С. Н . Верное и др. Исследование космических лучей при полетах автоматических станций. — Труды V Всес. зимней школы по космофизике. Апатиты, 1968.
30. Г . П . Любимов. Замедление ударных волн от солнечных вспышек в космическом пространстве. — Астрон. цирк., 1968, № 488.
31. S . J . Вате, I. R . Asbridge, A . J . Hunhausen et al. Solar wind and magnetosheeth observations during the January 13—14 1967, geomagnetic storm. — J. Geophys. Res., 1968, 73, N 17.
32. M . Dryer, D . L . Jones. Energy deposition in the solar wind by flare-generated shock waves. — J. Geophys. Res., 1968, 73, N 15.
33. В . Г . Горбацкий. Космические взрывы. M. , изд-во «Наука», 1967. 34. Г . Г . Черный. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М. , Физматгиз,
1959. 35. С. С. Григорян, Г . В . Марченко, Ю . Л . Якимов. О нестационарных движениях газа
в ударных трубах переменного сечения. — Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1961, № 4. 36. D . D . Laumbach, R . F . Probstein. A point explosion in a cold exponential atmo
sphere. — J. Fluid Mech., 1969, 35, pt 1. 37. В . П . Коробейников, Ю . M . Николаев. О распространении возмущений в солнечном
ветре от хромосферных вспышек. — Космические исследования, 1969, № 6. 38. В . П . Коробейников. О движении межпланетного газа, вызванном солнечной
вспышкой. — Сб. «Проблемы прикл. матем. и мех.». М. , «Наука», 1971. 39. В . П . Коробейников, Ю . М . Николаев. Ударные волны и конфигурации маг
нитных полей в межпланетном пространстве. — Cosmic Electrodynamics, 1972, 3, № 1.
О Г Л А В Л Е Н И Е
Введение 3
Глава 1. Основные уравнения и постановки задач 10
§ 1. Уравнения газовой динамики 10 1.1, Уравнения в интегральной форме (стр. 10). 1.2. Дифференциальные уравнения газовой динамики и их свойства (стр. 12). 1.3. Некоторые упрощенные и частные виды уравнений движения жидкости (стр. 17).
§ 2. Условия на сильных разрывах 20 2.1. Вывод соотношений на сильных разрывах (стр. 20) 2.2. Виды поверхностей разрыва и их свойства при Q = 0 (стр. 23). 2.3. Ударные волны при одномерных течениях (стр. 25).
§ 3. Уравнения магнитной гидродинамики 27 3.1. Система дифференциальных уравнений магнитной гидродинамики (стр. 27). 3.2. Уравнения магнитогидродинамического приближения для движения разреженной плазмы (стр. 32). 3.3. Линеаризированная система уравнений магнитной гидродинамики (стр. 35).
§ 4. Условия на магнитогидродинамических ударных волнах 36 4.1. Магнитогидродинамические разрывы (стр. 36). 4.2. Условия на ударных волнах для гидродинамической модели разнеженной плазмы (стр. 39).
§ 5. Элементы теории размерности и понятие об автомодельных движениях среды 41
§ 6. Инвариантные и автомодельные решения уравнений одномерных движений 45 6.1. О связи между анализом размерности и теорией групп преобразований (стр. 45). 6.2. Инвариантные решения и их связь с автомодельными решениями (стр. 48). 6.3. Интегралы адиабатических движений и интеграл энергии (стр. 50).
§ 7. Постановки задач о точечном взрыве 52 7.1. Некоторые задачи для линейных уравнений математической физики (стр. 52). 7.2. Точечный взрыв в несжимаемой жидкости (стр. 55). 7.3. Точечный взрыв в газе (стр. 58).
Глава 2. Сильный взрыв в газе 61
§ 1. Точное решение Л. И. Седова автомодельной задачи о сильном взрыве в совершенном газе при постоянной и переменной начальной плотности 61
§ 2. Зависимость точного решения от параметров со, у, v . 64 2.1. Зависимость решения для постоянной начальной плотности от параметров у и v (стр. 64). 2.2. Об аналитических свойствах решения в окрестности центра симметрии для случая постоянной начальной плотности (стр. 69). 2.3. Зависимость решения от со, v, 7 в случае переменной плотности (стр. 71).
275
§ 3. Задача о сильном взрыве в газе при нулевом градиенте температуры . . 73 3.1. Задача о точечном взрыве для уравнения нелинейной теплопроводности (стр. 73). 3.2. Сильный взрыв при нулевом градиенте температуры (стр. 74).
§ 4. Об учете высокотемпературных эффектов в задаче о сильном взрыве 81 4.1 . Термодинамические свойства газов при высоких температурах (стр. 81). 4.2. О влиянии теплового излучения на движение газа (стр. 84). 4.3. Постановки задач о точечном взрыве в газе с учетом высокотемпературных эффектов (стр. 85).
§ 5. Некоторые приложения теории сильного взрыва 89 5.1. Начальная стадия движения газа при атомном взрыве (стр. 89). 5.2. Электрический взрыв проводников и разряды в газе (стр. 91). 5.3. Локальный нагрев газа лазерным лучом (стр. 93).
Глава 3. Линеаризированные неавтомодельные одномерные задачи 95
§ 1. Линеаризация уравнений газовой динамики 95
§ 2. Взрыв с учетом постоянного противодавления при переменной начальной плотности 100 2.1. Система линеаризированных уравнений (стр. 100). 2.2. Интеграл системы (3.35) и закон движения ударной волны (стр. 102). 2.3. Точное решение при ш= <!>! (стр. 103).
§ 3. Учет противодавления для случая изотермической атмосферы переменной плотности 107
§ 4. Сильный взрыв в движущемся газе НО
§ 5. Учет противодавления в начальной стадии плоского, цилиндрического или сферического взрывов в газах при постоянной начальной плотности 113 5.1. Основные уравнения и некоторые их свойства (стр. ИЗ). 5.2. Численное решение задачи (стр. 116). 5.3. Результаты расчетов (стр. 118). 5.4. Вариант метода прогонки для решения линеаризированной системы (стр. 119).
§ 6. Об использовании принципа суперпозиции линейных поправок . . . . 122
Глава 4. Сферический, цилиндрический и плоский взрывы с учетом противодавления при постоянной начальной плотности 124
§ 1. Об асимптотическом поведении решения вблизи центра симметрии . . . 124
§ 2. Законы затухания ударных волн на больших расстояниях от места взрыва 126
§ 3. Численное решение задачи . 128-3.1. Краткий обзор методов и результатов (стр. 128) 3.2. Основные уравнения и условия задачи (стр. 129). 3.3. Схема расчета в переменных Эйлера (стр. 132). 3.4. Результаты расчетов (стр. 138).
§ 4. Параметры фронта ударной волны и сравнение с другими расчетами и данными экспериментов 147
§ 5. Приближенные формулы для определения параметров фронта ударной волны 149 5.1. Приближенные асимптотические формулы для больших расстояний (стр. 149). 5.2. Зависимость скорости частиц газа на фронте ударной волны от координаты (стр. 150). 5.3. Закон движения достаточно сильной ударной волны и ее параметры (стр. 152). 5.4. Формулы для всего диапазона расстояний в случае плоских и цилиндрических волн (стр. 153). 5.5. Формулы для всего диапазона расстояний в случае сферических волн. Сравнение давлений для v = 1,2,3 (стр. 156).
§ 6. О пересчете безразмерных величин на размерные. Закон подобия . . . . 158
§ 7. Использование аналогии между взрывом и обтеканием тонких затупленных тел 160
§ 8. Взрыв в стационарном поступательном потоке газа 163
276
§ 9. Об отражении ударных волн точечного взрыва 164
9.1. Начальная стадия отражения плоской волны от параллельной ей плоской стенки, цилиндрической и сферической волны от концентрической, цилиндрической или сферической стенок соответственно (стр. 164). 9.2. Начальная стадия регулярного отражения плоской, цилиндрической или сферической взрывных волн от плоской поверхности (стр. 166).
Глава 5. Задачи теории точечного взрыва в неоднородных средах и при несимметричном выделении энергии 169
§ 1. Точное решение при специальной зависимости p t (г) 169
§ 2. Взрыв на границе раздела двух сред 170 2.1. Задача о плоском, цилиндрическом или сферическом сильных взрывах на поверхности раздела двух идеальных сжимаемых сред (стр. 170). 2.2. Об определении параметров течения при взрыве на плоской поверхности раздела между газом и твердой или жидкой средой (стр. 172). 2.3. Плоский взрыв на границе раздела двух одинаковых газов, имеющих равные начальные давления, но различные начальные плотности (стр. 172).
§ 3. Приближенные способы определения параметров ударных волн при взрыве в слоисто-неоднородной атмосфере 173 3.1. Формулировка задачи и выводы, вытекающие из анализа размерности (стр. 173). 3.2. Определение формы и параметров фронта ударной волны при взрыве в точке (стр. 175).
§ 4. Несимметричное выделение энергии 181
Глава 6. Взрыв, в горючей смеси газов 182
§ 1. Постановка задачи 182
§ 2. Решение задачи для модели детонационной волны 184
§ 3. О некоторых свойствах течения газа при учете кинетики химических реакций 190
Глава 7. Точечный взрыв в электропроводном газе с учетом влияния магнитного поля . 201
§ 1. Введение 201
§ 2. Одномерные задачи для движений идеально проводящего газа, в которых скорость перпендикулярна вектору поля 202 2. 1. Постановка задач (стр. 202). 2.2. Постоянное начальное магнитное поле, параллельное фронту ударной волны (стр. 204). 2.3. Автомодельная задача для кольцевого начального поля (стр. 209.) 2.4. Автомодельная задача для уравнений магнитной гидродинамики разреженной плазмы (стр. 212).
§ 3. Плоский взрыв при наклонном магнитном поле 214
§ 4. Сферический точечный взрыв в постоянном поле 217 4.1. Общие замечания (стр. 217). 4.2. Определение магнитных полей в начальной стадии течения (стр. 220). 4.3. Учет влияния магнитного поля на движение газа (стр. 222).
§ 5. О возмущении произвольного слабого магнитного поля 227
§ 6. Распространение ударных волн при конечной электропроводности среды 228 6.1. Деформация слабого поля (стр. 228). 6.2. Течения при малых и конечных числах R m (стр. 231).
§ 7. О возбуждении электромагнитных волн сильными ударными волнами со скачком проводимости 237 7. 1. Сферические ударные волны (стр. 238). 7.2. Случай плоских волн (стр. 240).
277
Глава 8. О распространении возмущенна от солнечных вспышек 243
§ 1. Некоторые данные об основных параметрах солнечных вспышек и межпланетной среды 243
§ 2. Использование анализа размерности и простейшие законы подобия . . . 245
§ 3. Задача о точечном взрыве в неоднородной движущейся среде 248
§ 4. О приложении решений задач к явлениям распространения возмущений при солнечных вспышках 250
§ 5. Об изменении магнитного поля при движении газа » 253
§ 6. Сравнение выводов теории с некоторыми данными наблюдений . . . . 255
Приложение 259
Литература 262