Post on 18-Jan-2023
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 1
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN
STT MÔN HỌC GHI CHÚ
1 2 3 4 5
TÊN MÔN HỌC MÃ SỐ THỜI LƯỢNG CHƯƠNGTRÌNH
VI TÍCH PHÂN A1 Số tín chỉ: 05 ( 01 tín chỉ ứng với 15 tiết) Lý thuyết: 75 tiết Thực hành: 0 tiết Tổng công: 75 tiết
ĐIỀU KIỆN TIÊN QUYẾT
Toán phổ thong
MÔ TẢ MÔN HỌC
Vi tích phân A1 được thiết kế trong nhóm kiến thức cơ bản. Cung cấp kiến thức đại cương về tập hợp, quan hệ và logic suy luận. Trang bị cho sinh viên sáu kết quả cơ bản về Giải tích toán học thực sự cần thiết cho việc tiếp cận các môn chuyên ngành: Hàm số; Giới hạn; liên tục; Phép tính vi, tích phân của hàm một biến; Khảo sát sự hội tụ , phân kỳ của chuỗi số dương; tình tổng của chuỗi hàm hội tụ. Sinh viên tiếp cận những kiến thức trên thông qua việc kết hợp bài giảng trên lớp, tự học và tìm hiểu thêm trong các tài liệu. Trang bị kiến thức toán học bước đầu giúp sinh viên làm quen với một vài ứng dụng toán học trong tin học và cuộc sống.
ĐIỂM ĐẠT
- Hiện diện trên lớp: 10 % điểm ( Danh sách các buổi thảo luận và bài tập nhóm). Vắng ba buổi không được cộng điểm này. - Kiểm tra KQHT: 20 % điểm ( 2 bài kiểm tra giữa và cuối môn học: Có ba thang điểm: 2.0 ( hai chẵn); 1.0 ( một tròn); 0,0: (không chẵn). - Kiểm tra hết môn: 70% điểm ( Bài thi hết môn) * Lưu ý: Danh sách các buổi thảo luận và hai bài kiểm tra
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 2
được hủy khi danh sách điểm thi hết môn được công bố.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 3
CẤU TRÚC MÔN HỌC
KQHT 1: Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số KQHT 2: Khảo sát hàm số, tính gần đúng giá trị của một biểu thức bằng ứng dụng vi phân. KQHT 3 : Tính tích phân đổi biến, từng phần và ứng dụng tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. KQHT 4: Khảo sát một số bài toán về sự hội tụ hay phân kỳ bằng vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II KQHT 5: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương. KQHT 6: Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ.
* Thực hành: Làm bài tập trên lớp+ Hoạt đông theo nhóm+ Thảo luận
KQHT 1 Sự tồn tại vấn đề
KQHT 2 Phân tích vấn đề
KQHT 3 Tổng hợp vấn đề
KQHT 4 Thác triển vấn đề
KQHT 5 Ứng dụng trong Toán
KQHT 6 Ứng dụng trong cuộc sống
TOÁN PHỤC VỤ CHUYÊN NGÀNHTOÁN PHỔ THÔNG
VI TÍCH PHÂN A1
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 4
KẾT QUẢ VÀ CÁC BƯỚC HỌC TẬP
Kết quả học tập/ hình thức đánh giá Các bước học tập Phương tiện, tài liệu, nơi học và
cách đánh giá cho từng bước học 1.1 Hãy dùng ký hiệu logic toán học trình bày: + Định nghĩa giới hạn dãy. + Định nghĩa giới hạn hàm. 1.2 Trình bày ít nhất hai ví dụ mang tích chất lý thuyết.
+ Bảng đen + Kiến thức cơ bản về giới hạn “Phổ thông Trung học”. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
1. Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số. Đánh giá: Bài tập dạng lý thuỵết Dùng ký hiệu logíc. + Đạt : Trình bày được chính xác ít nhất một trong ba định nghĩa và giải được một ví dụ. * Giới hạn dãy số; * Giới hạn hàm số; * Hàm một biến số liên tục tại một điểm.
1.3 Thế nào là hàm số sơ cấp liên tục tại điểm, trong khoảng, đoạn? Khảo sát tính liên tục một số hàm ví dụ mang tích chất lý thuyết. 1.4. Trình bày các khái niệm ở vô cực?
+ Bảng đen + Kiến thức cơ bản về giới hạn “Phổ thông Trung học”. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
2.1 Đạo hàm, vi phân hàm một biến là gì? Giống và khác nhau ra sao?
+ Bảng, phấn + Kiến thức Phổ thông Trung học. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
2. Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến số bằng vi phân. Đánh giá : Dùng kỹ thuật
+Lập sơ đồ chữ T. + Đạt: Hoàn thành được hai trong năm yêu cầu: * Viết đúng 9 công thức đạo hàm cơ bản mang tính tổng quát. * Viết chính xác biểu thức vi phân toàn phần hàm một biến.
2.2 Công thức cơ bản.
+ Bảng, phấn. + Kiến thức Phổ thông Trung học + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 5
* Viết chính xác công thứ khai triển Taylore-Maclaurence. * Giải chính xác có kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay một ví dụ tính gần đúng giá trị một biểu thức bằng vi phân cấp một. * Giải hoàn chỉnh một ví dụ: khảo sát hàm số.
2.3 Ứng dụng. + Khảo sát hàm số. + Thiết lập phương trình tiếp tuyến. + Tính gần đúng giá trị một biểu thức. * Bằng vi phân cấp 1. * Bằng khai triển Taylore- Maclaurence
+ Bảng, phấn. + Kiến thức Phổ thông Trung học * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
3.1 Định nghĩa tích phân hàm một biến? Nêu lại các công thức tính: + Diện tích hình phẳng. + Độ dài cung phẳng. + Thể tích vật thể tròn xoay.
+ Giấy A4, A0, viết lông, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Lê Phương Quân -Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ. + Nhóm các tác giả- Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
3. Tính tích phân đổi biến, từng phần và ứng dụng tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay Đánh giá: Câu hỏi ngắn Đạt: * Trả lời được: “Tại sao tích phân đổi biến và tích phân từng phần là hai tích phân thông dụng?” * Giải đúng ít nhất một ví dụ ứng dụng công thức tính: diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.
3.2 Có bao nhiêu pp tính tích phân hàm một biến? Pp nào là hiệu hiệu quả nhất? Tại sao? 3.3 Bài tập ứng dụng.
+ Giấy A4, A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Toán cao cấp C1 –Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh. + Lê văn Hốt- Toán cao cấp P2 –Đại học kinh tế. + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 6
4.1 Trình bày định nghĩa tích phân suy rộng lọai I; loại II ? Các loại tích phân này giống và khác tích phân chương trình phổ thông ở những điểm nào?
+ Bảng, phấn. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Vi tích phân A1 – Lê Phương Quân-Đại học Cần thơ + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
4.2 Nêu các tiêu chuẩn để xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng? Tại sao tích phân
∫−
+
ε
ε
b
a
xdxf )()(
cận trên ε−b và cận dưới là ε+a ?
+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Toán cao cấp B và C –Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh. + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
4. Khảo sát một số bài toán về sự hội tụ hay phân kỳ bằng vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập thực hành dạng viết Đạt: Trả lời đúng hai trong bốn vấn đề sau: * Trong hai loại tích phân suy rộng loại I và loại II tích phân nào dễ khảo sát? Tại sao? * Trường hợp nào sử dụng công thức gần đúng để khảo sát sự hột tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng? * Viết chính xác ít nhất hai tiêu chuẩn xét sự hôi tụ hay phân kỳ của tích phân? * Xét đúng ít nhất một ví dụ sự hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng?
4.3 Áp dụng xét sự tụ và phân kỳ của số ví dụ tích phân suy rộng.
+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Đình Trí-Toán Cao cấp T2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
5. Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương. Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập giải theo nhóm. Đạt: Giải thích đúng
5.1 Thế nào là một một chuỗi số? Chuỗi hàm? Chuỗi đan dấu? Chuỗi lũy thừa?
+ Bảng, phấn, Giấy A0, viết lông, băng keo. + Kiến thức về chuỗi số, chuỗi hàm. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi ngắn.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 7
5.2 Trình bày các tiêu chuẩn về sự hội, phân kỳ của chuỗi?
+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1”* Các tài liệu tham khảo:
+ Lê Phương Quân - Vi tích phân A1 - Đại học Cần thơ. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
ba yêu cầu: * “ Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương” * Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ? * Xét đúng ít nhất hai ví dụ về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi?
5.3 Ứng dụng: Xét sự hội tụ, phân kỳ của một vài chuỗi số dương?
+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1”* Các tài liệu tham khảo: + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Đình Trí-Toán Cao cấp T2. + Toán cao cấp B và C – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh.
6. Tính tổng của một chuỗi hàm hội tụ. Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập thực hành giải theo nhóm: *Yêu cầu: Giải đúng bài toán: “Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ từ đó suy tổng của chúng” Đạt: * Lập luận chính xác * Đúng thời gian theo qui định của GV ra đề. * Có sự hợp tác các thành viên trong nhóm.
6.1 Thế nào là chuỗi lũy thừa? Người ta thường khảo sát chuỗi hàm có tâm hay chuỗi hàm không có tâm?
+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1”* Các tài liệu tham khảo: + Lê Phương Quân-Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ. + Trần Ngọc Liên -Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ. + Lê văn Hốt- Toán cao cấp P2 –Đại học kinh tế. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 8
* Đúng kết quả. 6.2 Trình bày các bước giải bài toán tìm miền hội tụ? 6.3 Trình bày các bước giải bài toán tính tổng của một chuỗi hàm hội tụ?
+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Bài tập Giải tích- Nhóm các tác giả - Đại học Cần thơ. + Toán Cao cấp T2-Nguyễn Đình Trí. + Toán cao cấp C1 – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh. + Toán cao cấp P2- Lê Văn Hốt- Đại học kinh tế TP HCM. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.
KẾ HOẠCH ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC
Hình thức đánh giá Kết quả học tập
Thời lượng
giảng dạy
Mức độ yêu cầu đạt được Viết Thao
tác
Bài tập về nhà
Thực tập
thực tế
Đề tài Tự học
1. 11,0 Giải được bài tập
X
2. 11,0 Giải được bài tập
X
3. 9,0 Giải được bài tập
X
4. 11,5 Giải được bài tập
X
5. 9,0 Giải được bài tập
X
6. 8,5 Giải được bài tập
X
ĐÁNH GIÁ CUỐI MÔN HỌC
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 9
HÌNH THỨC
Thi ( tự luận) .
THỜI GIAN
90 phút.
NỘI DUNG ĐÁNH GIÁ
Trọng tâm: - Các bài toán tính giới hạn; Xét tính liên tục; gián đoạn của dãy số và dãy hàm một biến số. - Các bài toán về khảo sát hàm số; tiếp tuyến; vi phân toàn phần và ứng dụng vi phân tính gần đúng. - Các khai triển TayLor và Maclaurance. - Các bài toán về tích phân đặc biệt: tích phân dùng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần. - Các bài tập về diện tích hình phẳng; độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. - Xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng loại I và loại II. - Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương” - Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ - Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ từ đó suy tổng của chúng.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 10
NỘI DUNG CHI TIẾT MÔN HỌC KQHT 1: Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số
BƯỚC HỌC 1: Trình bày các kiến thức bổ sung về các trường số Bài hướng dẫn CÁC TRƯỜNG SỐ
I. TẬP CÁC SỐ: Tập số tự nhiên: N = { };...2;1 Tập số nguyên: Z = { };...2;1;0 ±±
Tập số hữu tỷ: Q = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠∈= 0,,; qZqpqpxchosaox
Một số hữu tỷ bao giờ cũng viết được dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1: .75,043;25,0
41
==
...1666,167= ta có thể viết )6(1,1
67=
...363636,11115
= hay )36(,11115
=
Ngược lại, cho một số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn thì nó sẽ biểu diễn một số hữu tỷ nào đó.
• Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an sẽ biểu thị số hữu tỷ
nnaaaa
qp
101010 221
0 ++++= L
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) sẽ biểu thị số hữu tỷ
)101010
(110
10101010 2
212
210 m
mm
nm
nn bbbaaa
aqp
+++−
+++++=−
LL
?)(0
=→
xfLimxx
hữu hạn
?)()(=
∞→ xgxfLim
x vô hạn
?)( )(
?=
→
xV
xxULim
Điểm đến 1: Xét các BT giới hạn dạng
)()( 00
xfxfLimxx
=→
định nghĩa
Tìm tham số để hàm số liên tục, gián đoạn tại điểm.
* Điểm đến 2: Xét các BT liên tục
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 11
Nhận xét: Một số thập phân hữu hạn cũng có thể được xem là số thập phân vô hạn tuần
hoàn, chẳng hạn: )0(25,041...25000,0
41
== hay
Như vậy có sự đồng nhất giữa tập số hữu tỷ và tập các số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Định nghĩa 1 Một số biểu diễn được dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn
được gọi là số vô tỷ. Tập các số vô tỷ kí hiệu là: I Ví dụ 2
...141592653,3
...414213562,12==
π; Tập số thực R = Q ∪ I
Đường thẳng thực ( trục số ): Trên đường thẳng Δ lấy điểm O làm gốc và chọn vectơ đơn vị eOE = . số x là số thực khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho exOE = . Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn hình học của số thực x trên đường thẳng Δvà đường thẳng Δđược gọi là đường thẳng thực hay trục số. 0 1 x O E M
Hình 1.1
II SỐ PHỨC • Số phức là số có dạng: z = a + ib. Trong đó a, b∈R, i là đơn vị ảo với i2 = - 1. • Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo. C là tập hợp tất
cả các số phức. • Số phức z = a + ib có thể biểu diễn hình học là một điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. • Số phức ibaz −= đựoc gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + ib, hai số
phức liên hợp đối xứng nhau qua Ox.
Phép toán: Cho 2 số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2, khi đó ta có:
( ) ( )( ) ( )
( )
⎩⎨⎧
==
⇔=
≠+−
+++
=
++−=+++=±
21
2121
222
22
212122
22
2121
2
1
1221212121
212121
ImImReRe
0;
.
zzzz
zz
zba
baabiba
bbaazz
babaibbaazzbbiaazz
Chý ý: Ta thực hiện các phép toán theo quy tắc chung thuận tiện hơn. Ví dụ 3: (1 – 3i) + (- 2 + 7i) = - 1 + 4i
( 1 – i)(2 + i) = 2 + i – 2i – i2 = 3 – i
( )( ) 174
444
41 i
iii
i−
=−+
−=
+
y b M(a; b) z = a + ib r ϕ O a x -b ibaz −= H 1.2
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 12
Dạng lượng giác của số phức Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM , gọi 22 baOMr +== là mođun
của số phứuc z, ký hiệu: z .
Góc ( )OMOx,=ϕ được xác định sai khác nhau Zkk ∈;2 π gọi là argumen,
Ký hiệu: Argz. Ta có abtg =ϕ .
Từ ý nghĩa hình học, ta có ϕϕ sin;cos rbra == ( )ϕϕ sincos irz +=⇒ . Ví dụ 4’: Biểu diễn số phức z = 1 + i dưới dạng lương giác. Giải
Ta có: 211 22 =+=r , 4
1 πϕϕ =⇒=tg ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒
4sin
4cos2 ππ iz .
Cho các số phức ( ) ( ) ( )22221111 sincos;sincos;sincos ϕϕϕϕϕϕ irzirzirz +=+=+= .
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ]
[ ] ( )zuuz
knArgzzArgzzninrz
kArgzArgzzzArg
zz
zzi
rr
zz
kArgzArgzzzArgzzzzizrzz
nn
nnnnn
=⇔=
+==⇒+=
+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒−+−=
++==⇒+++=
πϕϕ
πϕϕϕϕ
πϕϕϕϕ
2;sincos
2;sincos
2.;.sincos..
212
1
2
1
2
12121
2
1
2
1
2121212121212121
Biểu diễn u dưới dạng ( )θθρ sincos iu += . Ta có:
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+
=
=⇔
⎩⎨⎧
+==
⇔
+=+⇔=
1;0;22
sincossincos
nknk
r
knr
irninzun
n
nn
πϕθ
ρ
πϕθρ
ϕϕθθρ
1;0;2sin2cos −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
=⇒ nknki
nkru n πϕπϕ
Ví dụ 5: Tính 1/ ( )201 iA += . 2/ 4 1 iu += Giải
1/ Ta có: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
4sin
4cos2 ππ iA ( ) 1010 25sin5cos2 −=+=⇒ ππ iA .
2/
3;0;16
8sin16
8cos24
2sin
42
cos2 84442 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+= kkikk
ik
z ππππππ ππ
4 1 iu +=⇒ có 4 giá trị:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
169sin
169cos28
1ππ iu
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1617sin
1617cos28
2ππ iu
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
16sin
16cos28
0ππ iu
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 13
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1625sin
1625cos28
3ππ iu
III. KHOẢNG - LÂN CẬN. Định nghĩa 2: Khoảng là tập hợp các số thực ( hay các điểm ) nằm giữa hai số
thực ( hay hai điểm ) nào đó. Phân loại khoảng: Khoảng hữu hạn: Khoảng đóng: [ ] { }bxaRxba ≤≤∈= \, Khoảng mở: ( ) { }bxaRxba <<∈= \, Khoảng nửa đóng, nửa mở: ( ] { }bxaRxba ≤<∈= \, [ ) { }bxaRxba <≤∈= \, Khoảng vô hạn: ( ) { }axRxa <∈=∞− \, ; ( ] { }axRxa ≤∈=∞− \, ( ) { }bxRxb >∈=∞+ \, ; [ ) { }bxRxb ≥∈=∞+ \, Định nghĩa 3 Giả sử a là một số thực, khoảng mở (a -ε , a +ε ) (với ε > 0) được gọi là lân
cận bán kính ε của a. ( ) a -ε a a +ε Hình 1.3 • Câu hỏi củng cố:
Hãy dùng giảng đồ Vence để biểu diễn các trường số mà bạn đã học?
BƯỚC HỌC 2: Trình bày các định nghĩa về giới hạn dãy số.
Bài hướng dẫn HÀM SỐ - GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
* HÀM SỐ I. HÀM SỐ.
1. Định nghĩa 1: Cho X ⊂R , một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi
giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y . Kí hiệu y = f(x) • x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc. • X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df . • Tập Y = { }fDxxfyRy ∈=∈ ),(\ được gọi là miền giá trị của hàm số, kí
hiệu Rf Ví dụ 1: Khi nuôi một con bò, quan sát quá trình tăng trọng của bò ta có mối liên hệ giữa
thời gian nuôi t (ngày) và trọng lượng m (kg) của con bò là một hàm số m = m(t). 2. Định nghĩa 2:
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M( x, f(x)) trong hệ toạ độ Descartes. G = { }DxxfxM ∈),(,( 3. Các tính chất
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 14
a. Hàm số đơn điệu Định nghĩa 3: • Hàm số y = f(x) được gọi là tăng ( hay tăng nghiêm ngặt ) trên tập E⊂Df , nếu
với mọi x1, x2 ∈E , x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2) ( hay f(x1) < f(x2). • Hàm số y = f(x) được gọi là giảm ( hay giảm nghiêm ngặt ) trên tập E⊂Df ,
nếu với mọi x1, x2 ∈E , x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2) ( hay f(x1) > f(x2). • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đơn điệu ( hay đơn điệu nghiêm ngặt)
trên E⊂Df nếu nó tăng hoặc giảm ( hay tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt ) trên E.
Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi như E = Df . Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-∞ , 0] và tăng nghiêm ngặt trên[0,
+∞ ). Thật vậy, giả sử x1, x2 ∈ [0, +∞ ) và x1 < x2 . Khi đó ta có f(x1) – f(x2) = x1
2 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) < 0 ⇒ f(x1) < f(x2)
Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +∞ ) . Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-∞ , 0] .
b. Hàm số chẵn và hàm số lẻ. Định nghĩa 4: Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc toạ độ O nếu với bất kỳ
x∈ X thì –x ∈ X. Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng. Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có: • Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = f(x). • Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = - f(x). Ví dụ 3: 1. Hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn trên R. 2. Hàm số g(x) = x3 là hàm số lẻ trên R. Thật vậy, với mọi x ∈ R , ta có: f(-x) = (- x)2 = x2 = f(x) g(-x) = (- x)3 = - x3 = - f(x) Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ
đối xứng qua gốc toạ độ. c. Hàm số bị chặn.
Định nghĩa 6: • Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập X⊂Df nếu tồn tại số a ∈R sao cho f(x) ≥ a ∈∀x X. • Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên trên tập X⊂Df nếu tồn tại số b ∈R sao cho f(x) ≤ b ∈∀x X. • Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên tập X⊂Df nếu nó vừa bị chặn trên
vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số a, b∈R sao cho a ≤ f(x) ≤ b ∈∀x X. Chú ý:
Đồ thị của hàm số bị chặn sẽ nằm giữa hai đường thẳng y = a và y = b.
Ví dụ 4: Hàm số f(x) = x4 bị chặn trên tập X= [1, +∞ ).
Thật vậy, với mọi x∈X ta luôn có: f(x) = x4 > 0 và f(x) =
x4 < 4
Vậy hàm số f(x) = x4 bị chặn trên tập X= [1, +∞ ).
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 15
d. Hàm số tuần hoàn. Định nghĩa 7: Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số t ≠ 0 sao cho với
mọi x∈Df ta luôn có x± t ∈Df và f(x + t) = f(x). Số dương T nhỏ nhất (nếu có) trong các số t nói trên được gọi là chu kỳ của
hàm số tuần hoàn. Ví dụ 5: 1. Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π . 2. Các hàm số y = tgx và y = cotgx tuần hoàn với chu kỳ T = π .
3. Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = aπ2 .
Thật vậy, xét hàm số f(x) = sin(ax + b). Giả tồn tại số t ≠ 0 sao cho f( x + t) = f(x) Rx∈∀ ⇔ sin[a(x + t) + b] = sin(ax + b) Rx∈∀ ⇔ sin[a(x + t) + b] - sin(ax + b) = 0 Rx∈∀
⇔ 2cos(ax + 2at + b)sin
2at = 0 Rx∈∀
⇔ sin2at = 0
⇔2at = kπ , k∈Z\{0}
⇔ t = akπ2 , k∈Z\{0}
Số T dương nhỏ nhất ứng với k = 1 ( hoặc k = -1), do đó ta có T =aπ2 là chu kỳ
của hàm số f(x) = sin(ax + b). Các hàm số còn lại chứng minh tương tự. ( coi như bài tập) e. Hàm số hợp và hàm số ngược.
Định nghĩa 8: Cho hai hàm số f(x) và g(x) thoả Rf ⊂Dg , khi đó hàm số hợp của f(x) và g(x) là
hàm số h(x) được xác định h(x) = g[f(x)] với mọi x∈Df . Kí hiệu h = g o f .
Ví dụ 6: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = 2x . Hãy xác định hàm số go f và f og.
Giải go f = g[f(x)] = g(x2) = 2
2 x fog = f[g(x)] = f(2x) = (2x)2 = 22x
Định nghĩa 9: Cho hàm số y = f(x) thoã: với mọi x1, x2∈Df và x1 ≠ x2 ta luôn có f(x1)≠ f(x2).
Khi đó hàm số ngược của hàm số f, kí hiệu f –1 được xác đinh bởi: x = f –1(y)
với y = f(x). Ví duï 7: Haøm soá y = x3 coù haøm ngöôïc laø 3 xy = . Chú ý:
1. Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df . 2. Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x. 3. Ñieàu kieän ñeå haøm y = f(x) coù haøm ngöôïc laø haøm f phaûi ñôn ñieäu
trong mieàn xaùc ñònh cuûa noù
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 16
f. Hàm số sơ cấp. Định nghĩa 10: Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số : • Hàm số luỹ thừa: y = xα ( ∈α R). • Hàm số mũ: y = ax ( 0 < a ≠ 1 ) • Hàm số logarithm: y = logax ( 0 < a ≠ 1 ) • Các hàm số lượng giác: y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = cotgx • Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx , y = arccosx , y = arctgx , y =
arccotgx
i. y = arcsinx:y = sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ]2
;2
[ ππ− nên nó có hàm ngược: x
= arcsiny.
Hàm ngược của y = sinx )22
( ππ≤≤
− x là y = arcsinx, đồ thị của nó đối xứng với đồ
thị của hàm y = sinx )22
( ππ≤≤
− x qua đường thẳng y = x.
ii. y = arccosx: y = cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên [0; π] nên nó có hàm ngược x = arccosy.
Hàm ngược của hàm y = cosx (0 ≤ x ≤ π) là y = arccosx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y = cosx (0 ≤ x ≤ π) qua đường thẳng y = x.
iii. y = arctgx: y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên )2
;2
( ππ− nên nó có hàm ngược:
x = arctgy.
Hàm ngược của hàm y = tgx )22
( ππ<<
− x là y = arctgx, đồ thị của nó đối xứng với
đồ thị của hàm y = tgx )22
( ππ≤≤
− x qua đường thẳng y = x.
iv. y = arccotgx: y = cotgx giảm nghiêm ngặt trên (0,π) nên nó có hàm ngược x = arccotgy. Hàm ngược của hàm y = cotgx (0 < x < π) là y = arccotgx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của y = cotgx (0 < x < π) qua đường thẳng y = x .
Định nghĩa 11: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán đại số thông thường ( cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.
Ví dụ 8:
13lg
22
3)4
sin(4cos
5 2
4
+−=
++=
+++=
−
xxy
xy
xxy
x
π
II. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
+ Các định nghĩa Định nghĩa 1 Cho hàm số f xác định trên tập N = {1, 2, 3…., n}, khi đó các giá trị của hàm f
ứng với n = 1, 2, 3, …. lập thành một dãy số: f(1), f(2), f(3),…., f(n) . Nếu ta đặt xn = f(n) (n = 1, 2, 3….) thì dãy số nói trên được viết thành: x1, x2, x3, …., xn. hay viết gọn {xn}. Mỗi số x1, x2, x3, …. được gọi là số hạng của dãy số {xn}, xn gọi là số hạng tổng quát. Ví dụ 1:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 17
a. {xn}, với xn = a ∀n: a, a, a…. b. {xn}, với xn = (-1)n : -1, 1, -1, 1, ……, (-1)n Định nghĩa 2: Số a được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu ∀ε > 0 cho trước (bé tùy ý), tồn
tại số tự nhiên N sao cho: ∀ n > N thì ε<− axn . Ký hiệu: anxlim
n=
∞→ hay xn → a khi n → ∞ .
Định nghĩa 3: - Nếu dãy {xn} có giới hạn là một số hữu hạn a thì ta nói dãy số {xn} hội tụ hay
hội tụ về a. - Nếu dãy {xn} không hội tụ thì ta nói dãy số{xn} phân kì.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng 11n
nlimnxlimn
n=
+=
∞→∞→
Giải.
Với mọi ,0>ε ta xét 1ε
ε −>⇒<+
=−+
=− 1n1n
111n
n1nx
Vậy 0>∀ε (bé tùy ý), ε1ε
<−+
⇒>∀=∃1n
nNn cho 1]sao-1[N
Vậy 11
limlim =+
=∞→
∞→ nn
nxn
n
Định nghĩa 4: Dãy số {xn} được gọi là dãy số dần tới ∞ khi n→∞ nếu ∀M > 0, lớn tùy ý,
Nn cho Nsao >∀∃ thì Mx n > . Ký hiệu: ∞=
∞→ nxlimn
hay xn→∞ khi n→∞ .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng ∞==∞→
∞→n5
nn
limnxlim
Giải: Xét M5lognMn5n5nx >⇒>==
0M >∀ , lớn tùy ý: n5Nn:]M5[logN ⇒>=∃ > M
Vậy: ∞=∞→
n5limn
+ Các tính chất. 1. Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. 2. Nếu dãy số {xn} có anxlim
n=
∞→ và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dương N
sao cho pxNn n >⇒>∀ (hay xn < q). 3. Nếu dãy {xn } có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho
nM,xn ∀≤ . 4. Giả sử {xn}, {yn} là những dãy số có giới hạn thì: - Nếu xn = yn thì nylimnxlim
nn ∞→∞→=
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 18
- Nếu xn ≥ yn thì nylimnxlimnn ∞→∞→
≥
5. Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thoã xn ≤ yn ≤ zn ∀n. Khi đó, nếu anzlimnxlim
nn==
∞→∞→thì anylim
n=
∞→.
6. Giả sử {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ, khi đó ta có : Dãy số {xn ± yn} cũng hội tụ và nynlimnxlim)nyn(xlim
nn ∞→±=±∞→∞→
.
Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và nylim.nxlimn.ynxlimnn
n∞→∞→
∞→= .
Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và nylim.nxlimn.ynxlimnn
n∞→∞→
∞→= .
Dãy số {k xn} cũng hội tụ và nxlimnkxlimn
n∞→
∞→= k .
Dãy số ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
nynx
cũng hội tụ và nylimnxlim
nynxlim
n
nn
∞→
∞→∞→
= ( 0lim ≠∞→ nn
y )
• Câu hỏi củng cố: Dùng ký hiệu logíc Toán học trình bày định nghĩa giới hạn dãy số?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 19
BƯỚC HỌC 3: Trình bày các vấn đề về giới hạn hàm. Bài hướng dẫn: GIỚI HẠN HÀM
I. GIỚI HẠN HÀM CỦA HÀM SỐ a. Các định nghĩa.
Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận điểm x0, không nhất thiết phải xác định tại x0.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {xn} trong lân cận của x0 thoã: nxxn ∀≠ 0 và
0nxnxlim =
∞→thì Lnf(xlim
n=
∞→) .
Kí hiệu: Lf(x)lim0
xx=
→ hay f(x) → L khi x → x0.
Định nghĩa 2: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi 0>ε cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thoã δ<−< 0xx0 ta có
ε<−Lf(x) . Định nghĩa 3: Số L được gọi là giới hạn phải ( trái ) của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi 0>ε cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thoã
)00 x( δ0 xxxx <<−+<< δ0x ta có ε<−Lf(x) .
Kí hiệu: Lf(x)lim
0xx
=+
→
( Lf(x)lim
0xx
=−
→
).
Định nghĩa 4: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → ∞ nếu với mọi 0>ε (bé
tùy ý) tồn tại số 0M > (lớn tùy ý) sao cho với mọi x thoã Mx > ta có ε<−Lf(x) .
Kí hiệu: Lf(x)limx
=∞→
hay f(x) → L khi x → ∞ .
Ví dụ 1: 1. Chứng minh: 0sin =
→x
0xlim .
2. Chứng minh: 6lim =−−
→ 3x92x
3x.
3. Chứng minh: 0x1lim
x=
∞→.
Giải:
1. Vì x → 0 ta có thể chỉ rút: 0,xsinx2
x >∀⇒<<⇒< εεπ bé tùy ý:
εδεδ <≤=−⇒<=−<>=∃ xsinx0sinxx0x0:0 Vậy 0sin =
→x
0xlim
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 20
2. Khi x → 3 ⇒ x – 3 → 0 ta có: ε<−=−+=−−− 3x63)(x63x92x
εδεδε <−−−
⇒<−<>∃>∀ 63x92x3x0:0, .
Vậy: 6lim =−−
→ 3x92x
3x
3. Xét: ,1xx1
x10
x1
ε>⇔<==− ε với mọi ε > 0 (bé tùy ý)
εε
<−⇒>>=∃ 0x1Mx:01M .
Vậy 0x1lim
x=
∞→
b. Các tính chất. Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các
tính chất sau: 1. Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. e) Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→x0 và L > a (hay L < a ) thì trong
một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x)<a ). 2. Nếu f(x) ≤ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và
af(x)0
xx=
→lim , bg(x)
0xx
=→lim thì b ≤ a.
3. Nếu f(x) = C ( C là hằng số) thì Cf(x)limf(x)xxx
0
==∞→→
lim .
e) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận x0 thì )f(xf(x)lim
0xx
0
=→
.
4. Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) và
Lh(x)limg(x)lim00
xxxx==
→→ thì Lf(x)lim
0xx
=→
.
5. - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tuỳ ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x → +∞
6. - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x → -∞ .
7. ⇔=→
Lxfxx
)(lim0
Lf(x)lim
0xx
=+
→
= Lf(x)lim
0xx
=−
→
.
8. Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x→x0 thì các hàm [f(x) ± g(x)],
f(x).g(x), g(x)f(x) cũng có giới hạn và ta có:
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x).
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 21
lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).
0)(0
lim; ≠→
= xgxxlimg(x)
limf(x)g(x)f(x)lim
9. Xét hàm hợp f(u) và u = u(x) , khi đó ta có: Nếu 0)(lim
0
uxuxx
=→
, f(u) xác định trong một lân cận của u0 và
Lufuu
=→
)(lim0
thì Lxufxx
=→
)]([lim0
.
Ví dụ 2: Tính: 5)3x2(xx2lim2x
−+→
Giải Đặt uuf =)( ; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta cĩ 20)532(2)( =−+=
→→xxxxu
2x2xlimlim
5220)( ===→→
uuf20u20u
limlim
Vậy 52=−+→
5)3x2(xx2lim2x
c. Các giới hạn cơ bản.
1x
xsinlim0x
=→
.
1=+→ x
x) ln(1lim0x
.
aln1 =−→ x
xalim0x
. Đặt biệt 11 =−→ x
xelim0x
.
.11 =−+→ x
x)(1lim0x α
α
exx =+→
1
)1(0x
lim hay exx
=+∞→
)11(xlim .
Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thường gặp các dạng vô định như :
00 ,
∞∞ , ∞−∞ , ∞1 . sau đây là một vài ví dụ minh hoạ.
Ví du 3:
1. Tính: x
12xx1lim0x
−++→
.
2. Tính: 23x2x67x2xlim
1x +−+−
→.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 22
3. Tính: xtgx
0xlim→
.
4. Tính: 2
cos1x
x−→0x
lim . 5. Tính: 1xxxlim
x ++
+∞→.
6. Tính: )( xxx −++∞→x
lim .
7.Tính: xxx
2
1
)sin1(0
lim +→
.
Giải:
1) 1)2xx1x(
1)2xx11)(2xx1(limx
12xx1lim0x0x
+++
+++−++=−++→→
21
12xx1
x1lim1)2xx1x(
x2xlim0x0x
=+++
+=+++
+=→→
2) 52x6xlim
2)1)(x(x6)1)(x(xlim
23x2x67x2xlim
1x1x1x=
−−=
−−−−=
+−+−
→→→
3) 11.1cos
1.sincos.
sin====
→→→→ xxx
xxx
xtgx
0x0x0x0xlimlimlimlim
4) .121.)
2
2sin
(2sin2cos1 2
2
2
2 ===−
→→→ x
x
x
x
xx
0x0x0xlimlimlim
5) 1xxxlim
x ++
+∞→= 1
1
=+
+
+∞→
x11
1lim
xx .
6) )( xxx −++∞→x
lim =xxx
x+++∞→x
lim =21
111
1 =++
+∞→
x
xlim .
7) ee])xsin1[(0x
lim)xsin1(0x
lim 2
1
x2
xsin
xsin
1
x2
1
==+→
=+→
.
• Câu hỏi củng cố:
Dùng ký hiệu logíc Toán học trình bày định nghĩa giới hạn dãy hàm?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 23
BƯỚC HỌC 4: Trình bày các khái niệm về vô cực và sự liên tục cùa hàm số. Bài hướng dẫn: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN
a. Các định nghĩa Định nghĩa 1
Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé( hay vô cùng lớn) khi 0xx → nếu
0)(lim0
=→
xfxx
( hay +∞=→
)(lim0
xfxx
) . ( Ở đây x0 có thể hữu hạn hoặc vô
hạn). Ví dụ1:
1) Khi x → 0 thì sin x là VCB vì 0xsinlim0x
=→
.
2) Khi x → ∞ thì x1
là VCB vì 0x1lim
x=
∞→.
3) Khi x → 0 thì x1
là VCL vì +∞=→ xx
1lim0 .
Nhận xét:
• Nếu hàm f(x) là một VCB khi 0xx → và khác 0 thì )x(f
1là một VCL khi
0xx → . Nếu f(x) là một VCL khi 0xx → thì )x(f
1 là một VCB khi 0xx → .
• Một hằng số có trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số dù cótrị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL.
Định nghĩa 2 Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi 0xx → . Ta bảo chúng là các VCB(VCL) so
sánh được nếu tồn tại giới hạn cxgxf
xx=
→ )()(lim
0, khi đó:
i. Nếu c≠ 0 ,c ∞≠ thì ta nói rằng f(x) và g(x) là những VCB(VCL) cùng cấp. ii. Nếu c = 0 thì ta nói rằng f(x) một VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn) so
với g(x). iii. Nếu tồn tại r > 0 sao cho f(x) cùng cấp với [g(x)]r thì ta nói rằng f(x) là
VCB (VCL) cấp r đối với g(x). Ví dụ 2:
Khi x → 0 thì 1 – cos x và x2 là hai VCB cùng cấp với nhau.
Vì 21
21.)
2
2sin
(lim2sin.2
limcos1lim 2
02
2
020===
−→→→ x
x
x
x
xx
xxx.
• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi 0xx → , đồng thời
f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB thì giới hạn của tỉ số )()(
xgxf bằng giới hạn của tỉ
số giữa hai VCB có cấp thấp nhất ở tử số và ở mẫu số.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 24
Ví du 3: 31
x3xlim
x5x4x3xtgxsinxlim
0x73
32
0x==
++++
→→
Định nghĩa 3 Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi 0xx → . Ta bảo chúng là các VCB tương đương khi
0xx → . nếu 1)()(lim
0
=→ xg
xfxx
. Kí hiệu: f(x) ∼ g(x).
Ví dụ 4: Khi x → 0 thì sin x ∼ x ; ex – 1 ∼ x; ln (1 + x) ∼ x. Chú ý: Nếu trong quá trình nào đó: α1(x) ∼ )(2 xα còn β1(x) ∼ )(2 xβ thì trong quá trình
ấy: )()(
lim)()(
lim2
2
1
1
xx
xx
βα
βα
= .
Ví dụ 5:
1) 35
x3x5lim
x3sinx5sinlim
0x0x==
→→
2) 32
x3x2lim
1e)x21ln(lim
0xx30x==
−+
→→
b. Các tính chất 1) Tổng của hai VCB là một VCB (khi x → x0 ) .
2) Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x→ x0). 3) Lxf
xx=
→)(lim
0(hữu hạn)khi và chỉ khi f(x)–L = α(x) là VCB khi x→ x0.
HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Các Định Nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó
hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu )x(f)x(flim 0xx 0
=→
.
Định nghĩa 2: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu flim
0xΔ
→Δ= 0.
Với Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x. Δ f = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x)
ứng với Δx tại x0. Định nghĩa 3: Hàm f(x) được gọi là liên tục trái ( phải )tại điểm x0 nếu: • Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải ) điểm x0. • )()(lim 0
0
xfxfxx
=−→
( )()(lim 00
xfxfxx
=+→
).
Định nghĩa 4 - Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x
thuộc khoảng (a; b). - Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b)
và liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b. Định nghĩa 5: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục
tại x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x). Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 25
+ Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn ω = )(lim)(lim
00
xfxfxxxx −+ →→
− được gọi là bước nhảy của f(x) tại x0.
Đặc biệt: Nếu )(lim)(lim00
xfxfxxxx −+ →→
= được gọi là điểm gián đoạn bỏ được.
+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai. Ví dụ 1:
Xét sự liên tục trái, phải của hàm số ⎩⎨⎧
<+≥
=1131
)(2
xkhixxkhix
xf tại điểm x = 1.
Giải
* )1(1lim)(lim 2
11fxxf
xx===
++ →→)x(f⇒ liên tục phải tại x = 1 .
* )1(413lim)(lim11
fxxfxx
≠=+=−− →→
)x(f⇒ không liên tục trái tại x = 1.
Chú ý: điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái
và liên tục phải tại x0 . II. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
- Mọi hàm số sơ cấp f(x) nếu xác định x0 và ở trong lân cận tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. - Mọi hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó.
Ví dụ 1: 1) f(x) = xn ( Nx∈ ) liên tục tại ∀x.
2) 1x
1)x(f−
= liên tục tại ∀x ≠ 1.
3) 1x)x(f 2 −= liên tục tại mọi 111 ≥∨−≤⇔≥ xxx . III. Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm.
1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f1(x) ± f2(x));
tích (f1(x) . f2(x)); thương )x(f)x(f
2
1 ( f2(x)≠ 0) cũng là những hàm số liên tục tại
điểm x0. 2) Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì
hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0. Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong
liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b)).
Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a, b]: i. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b].
ii. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
• Câu hỏi củng cố:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 26
1. Hãy nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong khoảng, trên đoạn? 2. Hãy cho biết tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 27
KQHT 2 : Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến số bằng ứng dụng vi phân, bằng khai triển Taylore – Maclaurence.
BƯỚC HỌC 1: Trình bày phép tính đạo hàm hàm một biến Bài hướng dẫn:
ĐẠO HÀM I. Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Giả sử y = f(x) là hàm số xác định tại điểm x0 và trong lân cận
của điểm x0. Nếu giới hạn x
xfxxfxy
xx Δ−Δ+
=ΔΔ
→Δ→Δ
)()(limlim 00
00 tồn tại hữu hạn thì giới hạn
đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. Kí hiệu: f’(x0) . Chú ý:
• Ta có thể kí hiệu đào hàm của hàm số dưới các dạng sau:
y’ ; dxdy ;
dxxdf )( ; f’(x).
• Giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 được biểu diễn như sau:
f’(x0) ; 0
'
xxy
=;
0xxdxdy
=
; 0
)(
xxdxxdf
=
.
Định nghĩa 2: Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và tại ∀ x > x0 ( hay ∀ x <
x0 ). Nếu giới hạn )()()(
lim 0'00
0xf
xxfxxf
x+
→Δ=
Δ−Δ+
+ ( hay
)()()(
lim 0'00
0xf
xxfxxf
x−
→Δ=
Δ−Δ+
−) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm
phải ( hay đạo hàm trái ) của hàm f(x) tại điểm x0. Định nghĩa 3:
* Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a , b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• Hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a , b) và có đạo hàm phải tại a, có đạo hàm trái tại b. Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = ax + b.
Đạo hàm: y’- Vi phân: dyMối liên hệ y’ và dy.
Tính y’của )()( xvxuy =Tính vi phân toàn phần
Giải BT ứng dụng: + Tính gần đúng. + Khảo sát hàm số. + Tìm GTLN+ GTNN. + PT tiếp tuyến
Điểm đến:Xét các vấn đề về đạo hàm
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 28
Giải:
Ta có [ ] ( ) axxa
xbaxbxxa
xxfxxfxf
xxx=
ΔΔ
=Δ
+−+Δ+=
Δ−Δ+
=→Δ→Δ→Δ 000
' lim)(lim)()(lim)( .
Đặt biệt: Nếu f(x) = C thì f’(x) = 0. II. Các định lý.
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x là hàm số f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau.
Định lý 2: Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Khi đó nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0. Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x.
Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đây. III. Ý nghĩa của đạo hàm 1. Ý nghĩa hình học.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), trên (C) lấy hai điểm M0(x0, y0), M(x, y).Vị trí giới hạn nếu có của các tuyến M0M khi M→M0 dọc theo đồ thị (C) được gọi là tiếp
tuyến của (C) tại điểm M0. Với 00 ; yyyxxx −=Δ−=Δ ta có tỉ số xy
ΔΔ
là hệ số góc
của các tuyến M0M. Khi M→M0 thì xΔ →0 và giới hạn nếu có của xy
ΔΔ
là hệ số góc
của tiếp tuyến. Theo định nghĩa của đạo hàm thì f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M0(x0, y0).
y M (C) M0
O x
Hình 2.1
2. Ý nghĩa vật lý Xét một chất điểm M chuyển động trên trục Ox sao cho tại thời điểm t thì S(t) là khoảng cách đại số OM . Sau khoảng thời gian Δ t tức là tại thời điểm t +Δ t chất
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 29
điểm ở vị trí M’ với khoảng cách đại số ,OM = S(t +Δ t), khi đó quảng đường đi của
chất điểm trong khoảng thời gian Δ t là S( t + Δ t ) – S(t). Do đó vận tốc trung bình của
chất điểm trong khoảng thời gian Δ t là tỉ số t
tSttSΔ
−Δ+ )()( . Bấy giờ giá trị
ttSttStS
t Δ−Δ+
=→Δ
)()(lim)(0
' là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.
IV. Qui tắc tính đạo hàm. Định lý 1:
Giả sử f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, khi đó các hàm tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại x và:
[ ][ ]
)0)(()(
)().()().()()(
)().()().()().(
)()()()(
2
'''
'''
'''
≠−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
±=±
xgxg
xgxfxgxfxgxf
xgxfxgxfxgxf
xgxfxgxf
Định lý 2: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm f(u) xác định trong khoảng chứa
điểm u0 = u(x0) và hàm f(u) có đạo hàm tại điểm u0 thì hàm hợp h(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0). Định lý 3:
Giả sử hàm y = f(x) có hàm ngược là f –1(x). Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 và
0)( 0' ≠xf thì f –1(x) có đạo hàm tại y0 = f(x0) và ( )
)(1)(
0'0
'1
xfyf =− .
V. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP.
f(x) )(' xf αx ; un 1−αα x ; nu’un-1
xa ; au xe ; eu
aa x ln ; u’aulna. xe lne = ex ; u’eulne = u’eu
xalog ; lnx; logau ax ln
1 ( ≠1 a>0)
;uu
ulog
'
( ≠1 u>0);x1 ;(x>0)
sinx; sinu cosx; u’cosu cosx; cosu - sinx; -u’cosu
tgx; tgu x2cos
1 ;x
u2
'
cos
cotgx; cotgu x2sin
1− ;
xu
2
'
sin−
arcsinx; arcsinu 21
1x−
;2
'
1 uu−
arccosx; arccosu 21
1x−
− ; 2
'
1 uu−
−
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 30
arctgx; arctgu 21
1x+
; 2
'
1 uu+
arccotgx; arccotgu 21
1x+
− ; 2
'
1 uu+
−
VI. Đạo hàm cấp cao.
Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a, b), ta gọi f’(x) là đạo hàm cấp 1của hàm f(x). Bản thân f’(x) cũng là hàm số nên nó có thể có đạo hàm, nếu hàm f’(x) có đạo hàm tại x thuộc khoảng (a, b) thì ta gọi đạo hàm của
hàm f’(x) là đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) và kí hiệu )('''' xfy =2
2
2
2 )(dx
fddx
yd== .
Tổng quát: Đạo hàm cấp n của hàm f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của nó.
Kí hiệu: n
n
n
nnn
dxfd
dxydxfy ===)()()()( .
• Câu hỏi củng cố - Hãy trình bày định nghĩa đạo hàm, các định lý, ý nghĩa hình học của đạo hàm bằng sơ đồ trực quan? BƯỚC HỌC : 2. Xác định thế nào là vi phân? Mối quan hệ vi phân đạo hàm và các định lý cơ bản của vi phân. 3. Trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 31
4. Viết khai triển Taylore – Maclaurence. Bài hướng dẫn:
VI PHÂN I. ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN. Định nghĩa :
Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Cho x một số gia Δx tuỳ ý, nếu tại x0 số gia của hàm số Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) viết được dưới dạng: )( xxAy Δ+Δ=Δ α trong đó A là đại lượng không phụ thộc vào Δx và )( xΔα là vô cùng bé bậc cao hơn Δx ( nghĩa là 00)( →Δ→Δ xkhixα ) thì ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 và đại lượng AΔx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0. Kí hiệu: dy = AΔx . Nhận xét:
Từ định nghĩa ta suy ra )( xdyy Δ+=Δ α hay )( xdyy Δ=−Δ α . Vậy nếu f(x) khả vi thì số gia của hàm số sai khác vi phân một lượng vô cùng bé không đáng kể. Do đó ta có: 0→Δ≈Δ xkhidyy .
Vi phân cấp hai của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp một, kí hiệu: d2f(x). Vi phân cấp n của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp n - 1 của hàm f(x), kí hiệu: dnf(x). Ta có: dnf(x) = f(n)(x).dxn. II. MỐI LIÊN HỆ GIỮA VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM. Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x0 là f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0. Chú ý: Vi phân của hàm f(x) thường được viết dưói dạng xxfdf Δ= )( 0
' * QUI TẮC TÍNH VI PHÂN. Định lý 2:
1. Giả sử f(x), g(x) là các hàm số khả vi, khi đó ta có: d(f± g) = df ± dg d(fg) = gdf + fdg
)0(2 ≠−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛g
gfdggdf
gfd
2. Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có df[u(x)] = f ‘[u(x)] = f ‘(u).u ‘(x).dx = f ‘(u).du
* CÔNG THỨC TÍNH XẤP XỈ.
Theo nhận xét sau định nghĩa: Nếu f(x) khả vi tại điểm x0 và 0)( 0' ≠xf
thì xxfy Δ≈Δ )( 0' hay xxfxfxxf Δ+≈Δ+ )()()( 0
'00
Ví dụ: Tính gần đúng 3 28 Giải:
Ta có 333
27113
27112728 +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 32
Xét hàm số f(x) = 3 x 3 2
'
31)(x
xf =⇒ , Chọn x0 = 1 và 271
=Δx . Khi đó áp
dụng công thức tính gần đúng ta có: xxfxfxxf Δ+≈Δ+ )()()( 0'
00
271).1()1()
2711( 'fff +≈+⇔
271.
311
27113 +≈+⇔
Vậy 04,32713
271.
3113283 ≈+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +≈
III. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN. Định nghĩa :
Hàm số f(x) đạt cực đại ( hay cực tiểu) tại điểm x0∈(a, b)⊂Df nếu tồn tại một lân cận của điểm x0 sao cho với mọi x thuộc lân cận đó ta có: ))()(()()( 00 xfxfhayxfxf ≥≤
Điểm x0 gọi là điểm cực đại ( hay cực tiểu) của hàm số, điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị hàm số tại điểm cực đại ( hay cực tiểu) gọi là giá trị cực đại ( hay cực tiểu) và gọi chung là giá trị cực trị.
Định lý 1: (Fermat) Nếu hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm x0 ∈(a, b) và tồn tại )( 0
' xf thì )( 0' xf = 0.
Định lý 2: (Rolle) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b) và
f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho f’(c) = 0. Định lý 3: (Lagrange) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b) thì
tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho ab
afbfcf−−
=)()()(' .
Định lý 4: (Cauchy) Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và
),(0)(' baxxg ∈∀≠ thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho )()()()(
)()(
'
'
agbgafbf
cgcf
−−
= .
Định lý 5: (Taylor) Nếu hàm số f(x) khả vi đến cấp (n +1) trong lân cận Δ của điểm x0 thì
0, xxx ≠Δ∈∀ tồn tại số c nằm trong khoảng giữa x và x0 sao cho
)()(!
)()(
!2)(
)(!1
)()()( 0
0)(
20
0''
00
'
0 xRxxn
xfxx
xfxx
xfxfxf n
nn
+−++−+−+= K
Trong đó sai số Rn(x) gọi là phần dư Lagrange xác định bởi :
10
)1(
)(!)1()()( +
+
−+
= nn
n xxn
cfxR ( với c nằm giữa x và x0 ).
Khi đó công thức trên được viết lại ).()(!
)()(
00
0)(
xRxxk
xfxf n
n
k
kk
+−= ∑=
Công thức này gọi là công thức Taylor.
Đa thức ∑=
−=n
k
kk
n xxk
xfxP
00
0)(
)(!
)()( gọi là đa thức Taylor.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 33
Khi x0 = 0 thì công thức Taylor có dạng )(!
)0()(0
)(
xRxk
fxf n
n
k
kk
+= ∑=
( Bây giờ phần dư là: 1)1(
!)1()()( +
+
+= n
n
n xn
cfxR ), gọi là công thức Maclaurin.
* Một số công thức khai triển Maclaurin. 1. f(x) = ax.
)(!
ln!2
ln!1
ln1 22
xRxn
axaxa nn
nx +++++= K
Với 11
)!1(ln)( +
+
+= n
nc
n xn
aaxR ( c nằm giữa 0 và x ).
2. f(x) = ex.
)(!!2
12
xRnxxxe n
nx +++++= K
Với cn
n enxxR
)!1()(
1
+=
+
( c nằm giữa 0 và x ).
3. f(x) = sinx.
)(!)12(
)1(!5!3
sin 12
121
53
xRnxxxxx n
nn
−
−− +
−−+−+−= K
Với 1212 )!12(
]2
)12(sin[)( +
− +
++= n
n xn
ncxR
π
( c nằm giữa 0 và x ).
4. f(x) = cosx.
)(!2
)1(!4!2
1cos 2
242
xRn
xxxx n
nn +−+−+−= K
Với 222 )!22(
])1(cos[)( +
+++
= nn x
nncxR π ( c nằm giữa 0 và x ).
5. f(x) = ln(x + 1).
)()1(432
)1ln( )1(432
xRnxxxxxx n
nn +−++−+−=+ −K
Với 1
1
)1)(1()( +
+
++= n
n
n cnxxR ( c nằm giữa 0 và x ).
6. f(x) = α)1( x+ .
)(!
)1()2)(1(!2
)1(1)1( 2 xRxn
nxxx nn +
+−−−++
−++=+
αααααααα KK
Với 1)1()1(!)1(
)()1()( ++−++
−−= nn
n xcn
nxR αααα K ( c nằm giữa 0 và x ).
Ví dụ:
1) Dùng khai triển Macluarin của hàm ex tính gần đúng giá trị số e với sai số nhỏ hơn10 –3.
2) Dùng khai triển Macluarin của hàm sinx tính gần đúng giá trị sin10 với sai số nhỏ hơn 10 –5.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 34
Giải: 1) Áp dụng công thức khai triển Macluarin của hàm f(x) = ex với x = 1, ta có:
!1
!2111
ne ++++≈ K
Với sai số )1,0(;!)1(
)( ∈+
== cn
exRc
nε
Mà )1,0(!)1(
3!)1(
∈∀+
≤+
= cnn
ec
ε
Để ε < 10 –3 thì ta chỉ cần lấy n = 6, khi đó !6
1!5
1!4
1!3
1!2
111 ++++++≈e
2) Áp dụng công thức khai triển Macluarin của hàm f(x) = sinx với x= 10, ta có:
!)12()1()1(
!5)1(
!3)1(11sin
1201
503000
−−+−+−≈
−−
n
nnK
Với sai số )180
,0(;!)12(
]2
)12(sin[)( 12
12π
π
ε ∈+
++== +
− cxn
ncxR n
n
Mà )180
,0(!)12(!)12(
]2
)12(sin[ 1212 π
π
ε ∈∀+
≤+
++=
+
+ cnx
xn
nc nn
Với 180π
=x thì !)12(
180)180
(
12
12 +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
≤=
+
− nR
n
n
ππε
Để ε < 10 –5 thì ta chỉ cần lấy n = 1, khi đó ( )( )3
30
180!31801sin ππ
−≈
Định lý 6: ( Qui tắc L’Hospital thứ nhất ) Giả sử :
1. f(x) và g(x) là các hàm số khả vi trong lân cận của điểm x0 2. 0)(lim)(lim
00
==→→
xgxfxxxx
.
3. 0)(' ≠xg ở trong lân cận của x0.
4. Axgxf
xx=
→ )()(lim '
'
0 ( hữu hạn hay vô hạn )
Khi đó Axgxf
xx=
→ )()(lim
0.
Định lý 7: ( Qui tắc L’Hospital thứ hai ) Giả sử : f(x) và g(x) là các hàm số khả vi trong lân cận của điểm x0 .
2. ∞==→→
)(lim)(lim00
xgxfxxxx
.
3. 0)(' ≠xg ở trong lân cận của x0.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 35
4. Axgxf
xx=
→ )()(lim '
'
0 ( hữu hạn hay vô hạn )
Khi đó Axgxf
xx=
→ )()(lim
0.
Ví dụ: Tính
1) xx
xx sinlim
3
0 −→; 2) x
n
x ex
+∞→lim
Giải:
1) 6
2sin
2lim6
2sin2
3limcos1
3limsin
lim2
2
02
2
0
2
0
3
0=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==−
=− →→→→ x
x
xx
xx
xxx
xxxx
2) 0!lim)1(limlimlim21
===−
==+∞→
−
+∞→
−
+∞→+∞→ xxx
n
xx
n
xx
n
x en
exnn
exn
ex
K
• Câu hỏi củng cố: 1. Hãy dùng sơ đồ chữ T phân biệt mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân. 2. Hãy viết biểu thức vi phân toàn phần và công thức tính xấp xĩ. 3. Viết khai triển Taylore- Maclaurence.
BƯỚC HỌC 3: Trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân.
Bài hướng dẫn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số. Định lý 1:
Giả sử hàm số f(x) khả vi trên (a, b), điều kiện cần và đủ để f(x) tăng ( hay giảm ) trên khoảng (a, b) là )0)((0)( '' ≤≥ xfhayxf với mọi x∈(a, b).
* Cực trị của hàm số. Định lý 2: ( Điều kiện cần ) Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 và khả vi tại x0 thì 0)(' =xf . Định nghĩa:
Điểm x0∈Df được gọi là điểm tới hạn của hàm số f(x) nếu f(x) không khả vi tại x0 hoặc 0)(' =xf . Điểm tới hạn loại 0)(' =xf còn gọi là điểm dừng của hàm số.
Định lý 3: ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị )
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 36
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ điểm x0 ). Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số và )(' xf đổi dấu từ dương sang âm ( từ âm sang dương ) khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại ( cực tiểu ).
Định lý 4: ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị ) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểm
x0 và 0)(' =xf . Khi đó nếu )0)((0)( 0''
0'' >< xfxf thì x0 là điểm cực đại ( cực
tiểu ). Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số 21)( xxxf −=
Giải: • Miền xác định Df = [-1,1]
• 220
121)(
2
2' ±=⇔=
−
−= x
xxxf
• Bảng xét dấu f’
x ∞− –1 22
− 22 1 ∞+
)(' xf - 0 + 0 - f(x) CĐ CT
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 22
− , đạt cực đại tại x = 22 ; fCT = f(
22
− ) =
21
− ,
fCĐ = f(22 ) =
21 .
2. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b].
Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm các điểm tới hạn của hàm số f(x) trong khoảng (a, b). 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên và tính f(a), f(b). 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 – 3x + 4 trên [-3, 2].
Giải: • Ta có 1033)( 2' ±=⇔=−= xxxf
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 37
• f(1) = 2 ; f(-1) = 6 ; f(-3) = -14 ; f(2) = 6 • Giá trị lớn nhất của hàm số là 6 đạt tại x = -1; x = 2 ( fmax = 6) và giá trị nhỏ
nhất của hàm số là -14 đạt tại x = -3 ( fmin = -14). Ví dụ 2: Người ta muốn thiết kế một cái lon hình trụ đứng có diện tích toàn
phần là S. Hãy xác định kích thước của lon sao cho thể tích của nó lớn nhất. Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của lon. Ta có:
Diện tích toàn phần của lon là: S = S2 đáy + Sxq = xxSyyxx
ππππ
2222
22 −
=⇒+
Thể tích của lon là: 32
22
222 xxS
xxSxyxV π
ππππ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==
Bài toán trở thành tìm x sao cho V(x) 3
2xxS π−= đạt giá trị lớn nhất.
Ta có π
π6
032
)( 2' SxxSxV ±=⇔=−= .
Bảng biến thiên:
x ∞− π6S
− 0 π6S ∞+
0 + 0 - V(x) CĐ
Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi π6Sx = ⇒
π62 Sy =
Ví dụ 3: Người ta muốn thiết kế một cái thùng hình chữ nhật (với hai đáy là hình vuông) với thể tích cần đạt được là V. Hỏi kích thuớc cạnh đáy và chiều cao bằng bao nhiêu thì tiết kiệm nguyên liệu nhất.
Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là kích thuớc cạnh đáy và chiều cao của thùng.
Ta có:
Thể tích của thùng là: V = x2y 2xVy =⇒
Diện tích toàn phần của thùng là: S = S2 đáy + Sxq = 2x2 + 4xy = 2x2 + xV4
Bài toán trở thành tìm x sao cho S(x) = 2x2 + xV4 đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có 32
' 044)( VxxVxxS =⇔=−=
Bảng biến thiên:
x ∞− 0 3 V ∞+
)(' xS - 0 +
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 38
A B
S(x) CT
Vậy V đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 3 V ⇒ y = 3 V Ví dụ 4: Giả sử AB là một đoạn thẳng trên bờ biển và L là một đảo nhỏ ở
ngoài khơi (AL vuông góc với AB), người ta muốn mắc một đường dây cáp từ L đến B. Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB sao cho tổng giá tiền cáp ( tính trên đơn vị ngàn đồng ) là nhỏ nhất ? Biết rằng: Phần cáp dưới nước giá 500 ngàn đồng/km, phần cáp trên bờ giá 300 ngàn đồng/km, AL = 5 km, AB = 10 km.
Giải Gọi AC = x km ( 100 ≤≤ x ) ⇒ CB = 10 - x
Vì AL vuông góc AB nên LC = 22 5+x Tổng tiền cáp: 500 22 5+x + 300(10 - x)
Xét hàm số t(x) = 500 22 5+x + 300(10 - x) ⇒ 3005
500)(22
' −+
=x
xxt
Cho t’(x) = 0 4
15±=⇒ x ; Ta có: ( ) ( ) 5250010;55000;5000
415
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ttt .
Vậy: t(x) đạt giá trị nhỏ nhất ( t(x)min = 5000) khi x = 4
15 , tức là ta cần chọn điểm C
cách A là 3,75 km . 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm miền xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp 1 để từ đó suy ra tính đơn
điệu, cực trị của hàm số. 2. Tính đạo hàm cấp 2 để khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị. • Đồ thị hàm số y = f(x) gọi là lõm ( hay lồi ) nếu )0)((0)( '''' <> xfhayxf . • Điểm (x0, f(x0)) gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: i. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiếp tuyến tại x0. ii. Tính lồi, lõm của hàm số trái ngược nhau ở hai phía của x0. 3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thông qua các giới hạn đặc biệt. • Nếu ±∞=
→)(lim xf
ax thì x = a là đường tiệm cận đứng.
• Nếu 0)]()([lim =+−±∞→
bxaxfx
thì y = ax + b là đường tiệm cận ngang (a = 0)
hoặc đường tiệm cận xiên ( a ≠ 0) của hàm số. 4. Tìm các điểm đặt biệt: các điểm cực trị, điểm uốn, điểm giao của đồ thị với
các trục toạ độ. 5. Lập bảng biến thiên 6. Vẽ đồ thị hàm số.
• Câu hỏi củng cố:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có bao nhiêu bước? 2. Hày cho biết bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên
tục trên đoạn [ a; b] gồm những bước nào?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 39
PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT 2 : Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến số bằng ứng dụng vi phân vi phân.
Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3, A0. 2. Viết lông
• Các bước thực hành: Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của một số hàm sơ cấp cơ bản. 3. So sánh với các hàm đã từng khảo sát với chương trình phổ thông.
• Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 40
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Miền xác định.
2. Đạo hàm cấp một để xét tính tăng giảm và cực trị của hàm số
3. Tiệm cận hoặc tính lồi lõm.
4. Bảng biến thiên
5. Điểm đặt biệt
6. Vẽ đồ thị
7. Khó hay dễ so với các bài toán kháo sát của phổ thông.
8. Tích cực tham gia thảo luận nhóm
Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 41
Chủ đề 2: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. 1. Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước tìm cực trị hàm số liên tục trên
đoạn [a, b]. 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất một số hàm sơ cấp cơ bản.
• Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 42
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Miền xác định.
2. Đạo hàm cấp một để xét tính tăng giảm.
3. Cho đạo hàm cấp một triệt tiêu.
4. Bảng biến thiên
5. Xét các giá trị hai đầu đoạn.
6. So sánh các giá trị cực đại, cực tiểu và các giá trị hai đầu đoạn.
7. Tích cực tham gia thảo luận nhóm
Nhận xét: --------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 43
Chủ đề 3: Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của một biểu thức
1. Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước tính gần đúng giá trị của một biểu thức.
2. Tính gần đúng giá trị của một số biểu thức.
* Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 44
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Chọn hàm.
2. Chọn x0 = ? suy ra ?xΔ = có nhỏ hay không?
3. Tính đạo hàm cấp 1.
4. Tính các giá trị hàm và giá trị đạo hàm tại x0.
5. Công thức .)()( 0'
0 xxfxfA Δ×+=
6. Tích cực tham gia thảo luận nhóm
Nhận xét: -------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 45
KQHT 3: Tính tích phân đổi biến, từng phần, diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. BƯỚC HỌC 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Bài hướng dẫn: CHƯƠNG III PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Định nghĩa 1: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b)
nếu ),()()(' baxxfxF ∈∀= . Ví dụ 1:
Hàm 3
)(3xxF = là nguyên hàm của hàm f(x) = x2 với mọi x vì xxfxF ∀= )()(' .
Định lý 1: Nếu hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x)trên khoảng (a, b) thì (F(x) + C)
cũng là nguyên hàm của hàm f(x). Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) đều có thể biểu diễn dưới dạng (F(x) + C).
Định nghĩa 2: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) được gọi là tích
phân bất định của hàm f(x). Kí hiệu: ∫ dxxf )( .
Theo định lý 1 nếu hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) thì CxFdxxf +=∫ )()( .
Ví dụ 2: ∫ += Cxdxx3
32
Định lý 2: Cho f(x) và g(x) là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng (a,b), khi đó:
Đạo hàm: y’- Tích phân ∫ dxxf )(
Mối liên hệ y’ và ∫ dxxf )( .
Tính ∫ dxxf )( bằng: + Công thức cơ bản; +Bằng PP đổi biến và từng phần
Giải BT ứng dụng tính: + Diện tích hình phẳng; + Độ dài cung phẳng; + Thể tích vật thể tròn xoay.
Điểm đến: Xét các vấn đề về tích phân
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 46
1. [ ] )()('
xfdxxf =∫ .
2. dxxfdxxfd )()( =∫ .
3. CxfxdfhayCxfdxxf +=+= ∫∫ )()()()(' .
4. )0()()( ≠= ∫∫ ααα dxxfdxxf .
5. ∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ .
Ví dụ 3: ∫∫∫ ++=+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ Cxxxdx
xdxxdx
xx 4
32122 .
Bảng các tích phân:
∫∫ =+= CdxCaxadx 0; ;
∫ ∫ +=−≠++
=+
Cxdxx
Cxdxx ln1;)1(1
1
αα
αα ; ln 1 .
1dx x C
x= + +
+∫
;ln
xx x xaa dx C e dx e C
a= + = +∫ ∫ ; ' .
uu ee dx C
u= +∫
Cxxdx +−=∫ cossin ; 2 2
1 ln .2
dx x a Cx a a x a
−= +
− +∫
Cxxdx +=∫ sincos ; 22 ln .dx x x k C
x k= + + +
+∫
∫ +−= Cgxx
dx cotsin 2 ; 2 2
1 ln .2
dx a x Ca x a a x
+= +
− −∫
∫ += Ctgxx
dx2cos
;2
2 2 2 2 2 21 ln .2 2
ax a dx x a x x a C± = ± ± − ± +∫
∫ +=+
Carctgxx
dx21
;2
2 2 2 2 arcsin ;( 0).2 2
x a xa x dx a x C aa
− = − + + >∫
∫ +=−
Cxx
dx arcsin1 2
; ln ;sin 2dx xtg C
x= +∫ ln ( ) ;
cos 2 4dx xtg C
xπ
= + +∫
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1:
Nếu CxFdxxf +=∫ )()( thì [ ] [ ] CtFdtttf +=∫ )()()( ' ϕϕϕ với )(tϕ là hàm số có đạo hàm liên tục. Dạng 1:
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x), nếu hàm số hợp f[u(x)] với u(x) là hàm khả vi thì [ ] CxuFCuFduufdxxuxuf +=+== ∫∫ )]([)()()()( ' .
Ví du 1:
1. ( ) Cxxxddxxxxdxx +=== ∫∫∫ 4sin)(sinsinsin.sincos.sin
43'33 .
2. ∫∫∫∫ −=−−== )(cos)1(cos)sin)(1(cossin.sinsin 2223 xdxdxxxxdxxxdx
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 47
Cxxxdxxd +−=−= ∫∫ cos3
cos)(cos)(coscos3
2 .
3. ∫ ∫∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+−
−=
− axdx
axdx
adx
axaxaaxdx
2111
21
22
[ ] Caxax
aCaxax
aaxaxd
axaxd
a+
+−
=++−−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
−−−
= ∫∫ ln21lnln
21)()(
21
4. ∫ ∫∫ +=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=+
Caxarctg
aC
axarctg
aax
axd
a
axa
dxax
dx 11
1
1
1122
222
5/ ∫ ∫ ∫ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=−
Cax
ax
axd
ax
dxaxa
dx arcsin
11
12222
Dạng 2: Cho ∫ dxxf )( , giả sử x = x(t) khả vi và có hàm ngược.
Nếu [ ] )(.)( ' txtxf có nguyên hàm là hàm F(t) thì [ ] [ ] CxtFCtFdttxtxfdxxf +=+== ∫∫ )()()()()( ' .
Ví dụ 2: Tính I = ∫ − dxxa 22 Giải
Đặt x = asint với ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈
2,
2ππt , ta có:
∫ ∫∫∫ =−=−=−= tdtadtttadttataadxxaI 222222222 cossin1cos)cos(sin
CttataCttadtta++=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= ∫ cossin
2222sin
2)2cos1(
2
2222
Cxaxxa+−+= 22
2
21
2arcsin
2
2. Phương pháp tích phân từng phần: Định lý 2:
Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và )().(' xvxu có nguyên hàm. Khi đó )().( ' xvxu cũng có nguyên hàm và ∫∫ −= dxxvxuxvxudxxvxu )().()().()().( '' .
Chú ý: Vì dxxudu )('= và dxxvdv )('= nên công thức trên thường được viết dưới dạng ∫∫ −= vduuvudv
Ví dụ 3: Tính I = ∫ xdxx ln3
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 48
Giải
Ta có I = [ ] [ ]∫∫∫ −=−= dxxxxxdxxxxxd 34444 ln41)(lnln
41)(ln
41
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= Cxxx
4ln
41 4
4
III. TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1. Tích phân của hàm số hữu tỷ
Dạng 1:
∫ + nbaxdx
)( trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3….
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1. ∫ +=
)(1 baxdxI
2. )1()(2 ≠
+= ∫ n
baxdxI n
Giải
1. ( )∫∫ ++=++=++
=+
= Cbaxa
Cbaxabax
baxdabax
dxI ln1ln1)()(1
)( 11
2.
Cnbax
aC
nbax
abaxdbax
abaxdxI
nnn
n +−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+
=++=+
=−−
−∫∫ 1)(1
1)(1)()(1
)(
1
1
1
2
Dạng 2:
∫ ++ baxxdx
2 trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3….
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
1. ∫ ++=
121 xxdxI
2. ∫ ++=
4422 xxdxI
3. ∫ −−=
123 23 xxdxI
Giải 1.
CxarctgCx
arctg
x
xd
x
dxI
++
=++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= ∫ ∫
312
32
2321
32
23
21
21
43
21 2221
2. ∫∫ ++
−=+−+
=+
=++
=−
Cx
Cxx
dxxx
dxI2
121)2(
)2(44
21
222
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 49
3.
1122
23
13)1(3ln
41
32
31
32
31
ln43
31
32
313
1
31
323
1
CxxC
x
x
x
dx
xx
dxI
++−
=++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
=−−
=
∫
∫
CxxC
xx
++−
=+++−
=131ln
41
43ln
131ln
41
1
Cách khác:
Ta có 131)13)(1(
1123
12 +
+−
=+−
=−− x
Bx
Axxxx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=⇔
⎩⎨⎧
=−=+
⇔−++=−++=⇔
43
41
103
)3()1()13(1B
A
BABA
BAxBAxBxA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
−=⇒ ∫ ∫∫∫ 13
314
1)13(4
3)1(4
1131
43
41
3 xdx
xdxdx
xxdx
xxI
( ) CxxCxx ++−
=++−−=131ln
4113ln1ln
41
Dạng 3:
∫ +++ dx
baxxBAx
2 trong đó A, B, a, b là các hằng số, n = 1, 2,…
và a2– 4b < 0.
Ví dụ 3: Tính dxxx
xI ∫ ++−
=1
12
Giải Ta có
∫∫
∫ ∫∫
++−
++++
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−
+++
=++−+
=
123
1)1(
21
13
112
21
1312
21
22
2
222
xxdx
xxxxd
xxdxdx
xxxdx
xxxI
= C
x
dxxx +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−++ ∫ 22
2
23
212
31ln21
= Cxarctgxx ++
−++3
1231ln21 2
Dạng 4:
dxedxcbxax
CBxAx∫ +++
++))(( 2
2
trong đó A, B, C, a, b, c, d, e là các hằng số, n = 1, 2,
3… và b2–4ac< 0, dex −= không là nghiệm của phương trình
Ax2+Bx+C = 0.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 50
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1. ∫ +=
)1( 21 xxdxI
2. dxxxx
xxI ∫ ++++−
=)1)(1(
12
2
2
Giải
1. Ta có ACxxBACBxxxAx
CBxxA
xx+++=+++=⇔
++
+=+
2222 )()()1(1
1)1(1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=+⇒
01
1
10
0
CBA
AC
BA
Vậy
1 2 2
2
2 2
2
1( 1) 1
1 ( 1)ln1 2 1
1ln ln 12
dx xI dxx x x x
dx xdx d xx Cx x x
x x C
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+
= − = − ++ +
= − + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2. Ta có 11)1)(1(
122
2
+++
++
=+++
+−xx
CBxx
Axxx
xx
))(1()1(1 22 CBxxxxAxx +++++=+−⇔ CAxCBAxBAxx ++++++=+−⇔ )()(1 22
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=++
=+⇒
22
3
11
1
CBA
CACBA
BA
Vậy dxxx
xxdxdx
xxx
xdx
xxxxxI ∫∫ ∫∫ ++
++−
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+++
−+
=+++
+−=
1112
13
122
13
)1)(1(1
222
2
2
Cxx
dxxx
dxxx +++
−++
+−+= ∫∫ 11
)12(1ln3 22
C
x
dxxxxxdx +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−++++
−+= ∫∫ 222
2
23
211
)1(1ln3
Cxarctgxxx ++
−++−+=3
123
2)1ln(1ln3 2
Dạng 5:
∫ + nmxdx
)( 22 trong đó m là hằng số và n = 1, 2,….
Ví dụ 5: Tính ∫ += 222 )( mx
dxI
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 51
Giải
Ta có ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
=+
−+=
+= ∫∫∫∫ dx
mxxdx
mxmx
mdx
mxxmx
mmxdxI 222
2
222
22
2222
222
2222 )()(1
)(1
)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
= ∫∫ 222
2
222 )(1
mxdxx
mxdx
m
Tính ∫ ∫ ++
=+ 222
22
222
2
)()(
21
)( mxmxxd
mxdxx
Đặt u = x ⇒ du = dx
22222
22 1)(
)(mx
vmx
mxddv+
−=⇒++
=
∫∫ ++
+−=
+ 2222222
2
21
)(2)( mxdx
mxx
mxdxx
Vậy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+−−
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
=
∫∫
∫∫
2222222
222
2
222
211
)(1
mxdx
mxx
mxdx
m
mxdxx
mxdx
mI
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+= ∫ 222222
1mx
dxmx
xm
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+= C
mxarctg
mmxx
m1
21
222
2. Tích phân của hàm số lượng giác
Dạng 1:
∫ dxxxR )cos,(sin trong đó R(sinx, cosx) là hàm hữu tỷ theo sinx, cosx.
Ta sẽ hữu tỷ hoá tích phân bằng cách đặt 2xtgt = , khi đó
22
2
2 12;
11cos;
12sin
tdtdx
ttx
ttx
+=
+−
=+
=
Và ∫ dxxxR )cos,(sin sẽ trở thành tích phân hàm hữu tỷ.
Ví dụ 1: Tính ∫ +=
xdxIcos53
Giải
Đặt 2xtgt = 22
2
2 12;
11cos;
12sin
tdtdx
ttx
ttx
+=
+−
=+
=⇒
2
2
2
21
211
2
2
1 2ln4 4 23 5
21 ln4 2
dtt
tt
x
x
dt tI Ct t
tg Ctg
+−+
+= = = − +
− −+
+= +
−
∫ ∫ ∫
Dạng 2:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 52
∫ dxxxR )cos,(sin , ta xét các trường hợp sau. Trường hợp 1: Nếu R(sinx, cosx) = R(- sinx, - cosx) thì ta đặt t = tgx. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1/ ∫ −=
xxdxI 221 cos3sin
2/ ∫ +−=
xxxdxI
2sincossin 222
Giải
1/ Đặt tgxt = 22
22
22
1;
1sin;
11cos
tdtdx
ttx
tx
+=
+=
+=⇒
( )
2
2
2 2
11 21
1 1
22
33
1 3ln2 3 33
1 3ln .2 3 3
dtt
tt t
dtIt
dt t Ctt
tgx Ctgx
+
+ +
= =−−
−= = +
+−
−= +
+
∫ ∫
∫
2/ Ta có ∫ +−=
xxxxdxI
cossin2cossin 222
Đặt tgxt =
2222
22
22
1
1cos;1
sin;1
;1
sin;1
1cost
xt
txt
dtdxt
txt
x+
=+
=+
=+
=+
=⇒
( ) Ctt
t
dttt
dtItt
ttt
tdt
+++−+
=−+
=−+
=+−
= ∫ ∫ ∫+++
+
2)1(2)1(ln
221
2)1(12 2221
21
11
11
222
2
2
Ctgxtgx
+++−+
=2121ln
221
Trường hợp 2: Nếu R(sinx, cosx) = -R(- sinx, cosx) thì ta đặt t = cosx.
Ví dụ 2: Tính dxx
xI ∫ += 2
3
cos1sin
Giải Đặt t = cosx ⇒ dt = - sinxdx
∫∫∫∫ +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+−+
=+−
−=−+
−= Carctgttdtt
dtt
tdtttxdx
xxI 2
121
121
11)sin(
cos1sin
22
2
2
2
2
2
Cxarctgx +−= )(cos2cos Trường hợp 3:
Nếu R(sinx, cosx) = -R(sinx, - cosx) thì ta đặt t = sinx.
Ví dụ 3: Tính ∫= xxdxI
cossin 2
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 53
Giải Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
∫ ∫ ∫∫∫ +−
=−−+
=−
== 2222
22
2222 1)1()1(
)1(cossincos
tdt
tdtdt
tttt
ttdt
xxdxI
Cxx
xCtt
ttdt
tdt
+−+−
−=+−+−
−=+−
−= ∫∫ sin1
1sin1sinln
211
11ln
21
1 22
3. Tích phân của hàm số vô tỷ
Dạng 1: ∫ + dxbaxxR n ),( , ta đặt n baxt ++= .
Ví dụ 1: Tính ∫ ++=
3 11 xdxI
Giải
Đặt 3 1+= xt⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=⇒
dttdxtx
2
3
31
∫∫ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++−=
+= Ctttdt
tt
tdttI 1ln
23
1113
13 22
Cxxx
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++++−
+= 11ln1
2)1(
3 333 2
Chý ý: Nếu ∫ ++ dxbaxbaxxR nn ,...),,( 21 , ta đặt n baxt += với n = BCNN(n1, n2,…).
Ví dụ 2: Tính ∫ +=
)1(3 xxdxI
Giải
Đặt 6 xt =⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇒
dttdxtx
5
6
6
( )∫∫∫ ++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+=
+= Carctgttdt
ttdtt
ttdttI 6
1116
16
)1(6
22
2
23
5
( ) Cxarctgx +−= 666 Dạng 2:
dxcbxax
BAxcbxax
dx∫ ∫
++
+
++ 22;
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
1. ∫++
=5221
xxdxI
2. ∫−−
=22
1 xxdxI
3. ∫++
+= dx
xxxI
10435
23
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 54
Giải
1. ( ) ( )
Cxxxx
xd
x
dxI +++++=++
+=
++= ∫ ∫ 521ln
21
)1(
412
2221
2. ( )
( )( ) ( )
CxCx
x
xd
x
dxI ++
=++
=+−
+=
+−= ∫ ∫ 5
12arcsinarcsin25
21
2212
25
21
221
45
2
3. ∫∫∫++
+−
++
++=
++
−+=
222
2
2
25
3)6()2(
)2(7104
)104(25
104
7)42(
x
xdxxxxd
xx
xI
Cxxxxx +++++−++= 104)2(ln71045 22
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 55
Dạng 2:
∫ ++ dxcbxaxxR ),( 2 . Ta dùng phép thế Euler
(i ) Nếu a > 0, đặt xatcbxax −=++2 ( hoặc xatcbxax +=++2 ). (ii ) Nếu c > 0, đặt cxtcbxax +=++2 ( hoặc cxtcbxax −=++2 ). (iii ) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), khi đó ta đặt )( 1
2 xxtcbxax −=++ Ví dụ 2:
Tính ∫+−+
=12 xxx
dxI
Giải
Đặt xtxx −=+− 12
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−
=
−−
=⇒
2
2
2
)12(12
121
tttdx
ttx
[ ]dt
tt
tdt
tt
tdt
tttt
xxxdxI ∫∫∫∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+=−+−
=+−+
= 223
83
22
2
2 )12()12(412
)12(3312
)12()1(2
1
Ct
ttt
tdttd
tdt
+−
−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+−−
−= ∫ ∫ ∫ )12(1
4312ln
23ln2
)12()12(
43
)12()12(
832 22
2
Cxxx
xxxxxx +−+−+
−−+−+−+−+=1122
1431122ln
231ln2
2
22
Chú ý: Để tính ∫ ++ dxcbxaxxR ),( 2 ta có thể dùng phép đổi biến số lượng giác.
Ta có ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++ 2
222
44
2 aacb
abxacbxax
Đặt 2
22
2
22
44;
44;
2 aacbn
aacbm
abxu −
−=−
=+= .
Khi đó tích phân trên được đưa về các dạng: (1) ∫ − dtmuxR ),( 22 ( khi b2 – 4ac 0≥ và a > 0 ).
(2) ∫ − dtumxR ),( 22 ( khi b2 – 4ac 0≥ và a < 0 ).
(3) ∫ + dtnuxR ),( 22 ( khi b2 – 4ac < 0 và a > 0 ). Đối với các tích phân này ta có thể dùng phép đổi biến số bằng các đặt:
(1) t
musin
= ; (2) u = msint; (3) u = ntgt
Chú ý: Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:
∫ +±+±±=± Caxxaaxxdxax 222
2222 ln22
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 56
∫ ++−=− Caxaxaxdxxa arcsin
22
22222
• Câu hỏi củng cố: 1. Theo bạn hiểu thế nào là tích phân ? 2. Tích phân bất định là gì ? Bạn hiểu thế nào về hằng số C trong kết quả của
tích phân bất định ? 3. Mục đích đổi biến số là gì ? Làm sao bạn biết đặt biến mới là đúng hay sai ? 4. Bạn hiểu nghĩa ” tích phân từng phần” là như thế nào ? Và cho biết vấn đề
chính trong tích phân từng phần là gì ? 5. Theo bạn có bao nhiêu phương pháp tính tích phân? Và phương pháp nào
thường hay ứng dụng nhiều nhất ? 6. Theo bạn có cần quan tâm đến tích phân các dạng khác hay không ? Tại sao ?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 57
PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT 3 : Tính tích phân đổi biến, từng phần, diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. BƯỚC HỌC 1: Tích phân bất định
• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Bạn hãy liệt kê 10 công thức tích phân mà bạn cho rắng là cơ bản ? 2. Liệt kê các phương pháp tính tích phân bất định ? 3. Mục đích đổi biến số là gì ? Làm sao bạn biết đặt biến mới là đúng hay sai ? 4. Bạn hãy cho 02 bài tập về tích phân bất định có ứng dụng hai phương pháp
giải ? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 58
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Có đủ 10 công thức tích phân cơ bản
2. Có hai ví dụ mỗi ví dụ có cách giải ứng dụng 01 phương pháp
3. Có sử dụng hai phương pháp tính tích phân
4. Có làm cho hàm số dưới dấu tích phân đơn giản hơn theo biến mới không ?
5. Vi phân theo biến mới có xuất hiện trong hàm số dưới dấu tích phân cũ không ?
6. Đổi biến trong tích phân bất định có trả lại biến cũ khi về kết quả
7. Tích phân bất định được tính theo vi phân hay đạo hàm
8. Tích phân đổi biến, tích phân từng phần đều tính được là nhờ tích phân cơ bản
9. Bạn có phần nào hiểu rõ ràng hơn về cách tính tích phân so với chương trình phổ thông
Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 59
BƯỚC HỌC 2: Tích phân xác định Bài hướng dẫn:
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu và không âm trên đoạn [a, b]. Xét hình thang ABCD được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, trục ox và đường cong y = f(x). Ta chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
bxxxxxxa nkk =<<<<<<<= + KK 1210 Trên mỗi đoạn nhỏ được chia [xi-1, xi ] ta dựng một hình chữ nhật với chiều rộng là
1−−=Δ iii xxx và chiều cao là )( if ξ ( với ),( 1 iii xx −∈ξ ). Tổng diện tích của n hình chữ
nhật trên là: ∑=
Δ=n
iiin xfS
1
).(ξ ( chính là diện tích hình bậc thang như hình vẽ H 3.1).
Nhận xét: Diện tích của hình bậc thang gần bằng diện tích của hình thang cong ABCD khi n càng lớn và các đoạn được chia càng nhỏ. Do đó diện tích S của hình
thang ABCD đã cho là: ∑=
→Δ∞→Δ==
n
iiixnn
xfSSi 10max
)(limlim ξ
y C D A B O a xi-1 xi b x H 3.1 2. Định nghĩa tích phân xác định
Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
bxxxxxxa nk =<<<<<<<= + KK 1210 . Đặt { }ixd Δ= max ( với 1−−=Δ iii xxx ), i = 1…n.
Trên mỗi đoạn [xi-1, xi] lấy điểm iξ ( i = 1…n )tuỳ ý, lập tổng ∑=
Δ=n
iiin xfI
1)(ξ
và gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b]. Tăng điểm chia lên vô hạn ( ∞→n ) sao cho 0→d , nếu trong quá trình đó
II n → ( hữu hạn ) mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách lấy điểm iξ thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b].
Kí hiệu: ∑∫=
→Δ==
n
iiid
b
a
xfdxxfI10
)(lim)( ξ
Khi đó ta nói hàm f(x) khả tích trên [a, b]. Nhận xét:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 60
1. ∫b
a
dxxf )( nếu có thì chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và hai cận a, b không phụ thuộc vào
biến số, tức là ∫ ∫=b
a
b
a
dttfdxxf )()( .
2. Khi định nghĩa tích phân xác định ta coi a < b. Nếu a > b thì
∫ ∫−=b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
và khi a = b thì ∫ ∫ ==b
a
a
a
dxxfdxxf 0)()( .
3. Theo định nghĩa tích phân xác định thì diện tích hình thang cong mà ta đã xét là:
∫=b
a
dxxfS )( .
4. Từ định nghĩa trên người ta chứng minh được các định lý sau: Định lý 1: Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a, b]đều khả tích trên đoạn đó. Định lý 2: Nếu trên đoạn [a, b], hàm số f(x) bị chặn và chỉ có một số điểm gián
đoạn thì nó khả tích trên đoạn đó. Định lý 3: Nếu hàm số f(x) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì nó khả tích
trên đoạn đó. Ñònh lyù 4: ( Các tính chất của hàm khả tích )
1. Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì các hàm )(xf và k.f(x) cũng khả tích trên đoạn [a, b].
2. Nếu hai hàm số f(x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì tổng, hiệu và tích của chúng cũng khả tích trên đoạn [a, b].
3. Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn [ ] [ ]ba,, ⊂βα . Ngược lại, nếu ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ và f(x) khả tích trên từng đoạn nhỏ đó thì f(x) khả tích trên đoạn [a, b].
2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên đoạn [a, b], khi đó:
1. [ ] dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a∫∫∫ ±=± )()()()( .
2. dxxfkdxxkfb
a
b
a∫∫ = )()( .
3. dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a∫∫∫ += )()()( .
4. Nếu [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≤ thì dxxgdxxfb
a
b
a∫∫ ≤ )()( .
5. ∫∫ ≤b
a
b
a
dxxfdxxf )()( .
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 61
6. Nếu [ ]baxMxfm ,)( ∈∀≤≤ thì )()()( abMdxxfabmb
a
−≤≤− ∫ .
7. ( Định lý giá trị trung bình của hàm số ) Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] và [ ]baxMxfm ,)( ∈∀≤≤ thì tồn tại số
[ ]Mm,∈μ sao cho )()( abdxxfb
a
−=∫ μ .
Đặc biệt: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại số
[ ]bac ,∈ sao cho ))(()( abcfdxxfb
a
−=∫ .
Giá trị ∫−=
b
a
dxxfab
cf )(1)( được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x).
Kí hiệu: f .
3. CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giả sử hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b], khi đó f(x) cũng khả tích trên đoạn
[a, x] ⊂ [a, b]. Nghĩa là tồn tại tích phân ∫x
a
dttf )( và nó là một hàm số theo biến
x.
Kí hiệu: ∫=x
a
dttfxF )()( . Khi đó hàm F(x) có các tính chất sau:
1/ Nếu hàm f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì F(x) liên tục trên đoạn đó. 2/ Nếu hàm f(x) liên tục tại x thì hàm F(x) có đạo hàm tại x và )()(' xfxF = . Định lý : ( Công thức Newton-Leibniz ) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì
)()()()( aFbFxFdxxf b
a
b
a
−==∫ .
Nhận xét: Công thức này cho phép tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm f(x) mà không cần sử dụng định nghĩa, về nguyên tắc ta có thể tích được tích phân xác định.
4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
4.1. Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a ; x = b ; y = 0 được tính theo công thức:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤−
≥
==
∫
∫∫ b
a
b
ab
a xfkhidxxf
xfkhidxxfdxxfS
0)()(
0)()()( .
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 62
o Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x) ; y = g(x) và các đường thẳng x = a ; x = b
được tính theo công thức: ∫ −=b
a
dxxgxfS )()( .
• Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng )(yx ϕ= , )(yϕ liên tục trên đoạn
[a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường )(yx ϕ= ; y = a ; y = b và x = 0
được tính theo công thức: ∫=b
a
dyyS )(ϕ .
Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số ⎩⎨⎧
==
)()(tytx
ψϕ
thì công thức
∫=b
a
dxxfS )(
trở thành ∫2
1
)().( 't
t
dttt ϕψ trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương
trình )(,)( tbta ϕϕ == và )(,)(,)( ' ttt ϕψϕ là các hàm số liên tục trên đoạn [t1, t2]. Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ( 0≥x ) và y =
2 - x. Giải
Giao điểm của các đường y = x2 ( 0≥x ) và y = 2 - x là nghiệm của hệ ( )
⎩⎨⎧
−=≥=
xyxxy
202
⎩⎨⎧
==
⇒11
yx
Vậy diện tích cần tìm là
[ ]27
322)2()2(
1
0
321
0
21
0
2 =−−=−−=−−= ∫∫xxxdxxxdxxxS (đvdt)
4.2. Tính độ dài đường cong phẳng • Cung cho bởi đường cong có phương trình y = f(x), trong đó f(x) là hàm số
đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với A(a, f(a)) và B(b, f(b))
được tính theo công thức: [ ]∫ +=b
a
dxxfl 2' )(1 .
• Cung cho bởi đường cong có phương trình ( )btatytx
≤≤⎩⎨⎧
==
)()(
ψϕ
, trong đó
)(tϕ và )(tψ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với
))(),(( aaA ψϕ và ))(),(( bbB ψϕ được tính theo công thức:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 63
• [ ] [ ]∫ +=b
a
dtttL 2'2' )()( ψϕ (đvđd).
Ví dụ : Tính độ dài cung của đường cycloide )20()sin1()sin(
π≤≤⎩⎨⎧
−=−=
ttayttax
Giải
Ta có ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
tatytatx
sin)()cos1()(
'
'
[ ] [ ] 222222'2' sin2sin4)cos22()()( tt aatatytx ==−=+⇒
Vậy độ dài cung cần tìm là :
( ) aadadtal tttt 8cos4sin4sin2 2
02
2
022
2
02 =−=== ∫∫
πππ
(đvđd).
4.3. Tính thể tích vật thể • Vật thể bất kỳ: Là vật thể được giới hạn bởi một mặt cong kín với hai mặt
phẳng x = a; x = b vuông góc với ox. Giả sử S(x) là diện tích thiết diện giữa vật thể và mặt phẳng vuông góc với ox tại x ( [ ]bax ,∈ ) và S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó
thể tích của vật thể được tính theo công thức: ∫=b
a
dxxSV )( .
• Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục ox. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được
tính theo công thức: ∫=b
ax dxxfV )(2π .
Chú ý: Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục oy. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được
tính theo công thức: ∫=b
ay dxxxfV )(2π .
Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y = 2x - x2 và y = 0 khi:
1/ Xoay quanh trục ox. 2/ Xoay quanh trục oy.
Giải Ta có đường y = 2x - x2 cắt trục ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 64
1/
22
02
2 2
02
2 3 4
0
23 54
0
( )
(2 )
(4 4 )
4 163 5 15
xV f x dx
x x dx
x x x dx
x xx
π
π
π
ππ
=
= −
= − +
⎛ ⎞⎜ ⎟= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
∫.
2/ 2 2
2
0 0
22 3 42 3
0 0
2 ( ) 2 (2 )
2 82 (2 ) 23 4 3
yV xf x dx x x x dx
x xx x dx
π π
ππ π
= = −
⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫.
4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục ox một cung
đường cong phẳng AB có phương trình y = f(x), [ ]bax ,∈ [ với f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] ; A(a, f(a)), B(b, f(b))].
Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức:
[ ]∫ +=b
a
dxxfxfS 2' )(1)(2π .
Chú ý: 1/ Nếu quay đường cong phẳng quanh trục oy thì:
[ ]∫ +=b
a
dxxfxS 2' )(12π .
2/ Nếu đường cong phẳng cho bởi phương trình [ ]baxyx ,,)( ∈= ϕ ( với hàm số )(yϕ là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên [a, b] ). Khi đó ta có:
Khi quay quanh trục ox: [ ]∫ +=b
a
dyyyS 2' )(12 ϕπ .
Khi quay quanh trục oy: [ ]∫ +=b
a
dyyyS 2' )(1)(2 ϕϕπ .
Ví dụ : Tính diện tích mặt tạo nên khi quay đường parbol ⎩⎨⎧
≤≤=
10
2
yyx
quanh trục ox. Giải
Ta có ( )[ ] 22'
'
41)(10
2)(yyx
ydoxy
yyx+=+⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥=
=
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 65
Vậy diện tích cần tìm là:
32
12
01
2 2
01
2
32 0
2 1 4
1 4 (1 4 )4
(1 4 ). (5 5 1)4 6
S y y dy
y d y
y
π
π
π π
= +
= + +
+= = −
∫
∫ .
• Câu hỏi củng cố:
1. Thế nào là tích phân xác định ? 2. Hãy trình bày các công thức cơ bản của tích phân xác định ? 3. Hãy viết bốn công thức ứng dụng của tích phân xác định ?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 66
BƯỚC HỌC 2: Tích phân xác định
• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Cho hai ví dụ: một ví dụ ứng dụng phương pháp đổi biến số, một ví dụ
ứng dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích phân từng phần xác định ? 2. Hãy so sánh kết quả của tích phân xác định và tích phân bất định? • Ghi chép / Báo cáo kết quả:
• Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 67
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Có hai ví dụ: một ví dụ ứng dụng phương pháp đổi biến số, một ví dụ ứng dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích phân từng phần xác định?
2. Ứng dụng phương pháp đổi biến số trong quá trình tính tích phân không?
3. Có sử dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích phân xác định không ?
4. Kết quả tích phân xác định có hữu hạn hay vô hạn ?
5. Đúng thời gian qui định
6. Kết quả chính xác và lập luận logíc
7. Sự hợp tác của các thành viên trong nhóm
Nhận xét: --------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 68
BƯỚC HỌC 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay?.
• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Cho một ví dụ ứng dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích
phân từng phần xác định ? 2. Hãy cho biết sự bất lợi khi sử dụng công thức tính độ dài của đường
công phẳng? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 69
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Có một ví dụ tính độ dài cung phẳng không?
2. Có sử dụng đạo hàm cấp một không ?
3. Có sử dụng công thức tính độ dài cung phẳng chính xác không ?
4. Kết quả tích phân xác định có hữu hạn hay vô hạn ?
5. Đúng thời gian qui định.
6. Kết quả chính xác và lập luận logic.
7. Sự hợp tác của các thành viên trong nhóm.
Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 70
KẾT QUẢ HỌC TẬP 4: Khảo sát một số bài toán về hội tụ hay phân kỳ bằng sự vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II
Bài hướng dẫn:
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
I. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI MỘT Định nghĩa: Giả sử hàm f(x) xác định trên [ )∞+,a và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Giới hạn
( nếu có ) của tích phân ∫b
a
dxxf )( khi ∞+→b gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x)
trên [ )∞+,a , kí hiệu: ∫+∞
a
dxxf )( .
Vậy ∫∫ ∞+→
+∞
=b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)( .
• Nếu ∫∞+→
b
ab
dxxf )(lim hữu hạn thì ∫+∞
a
dxxf )( hội tụ và hàm f(x) khả tích trên [ )∞+,a .
• Nếu ∫∞+→
b
ab
dxxf )(lim vô hạn hoặc không tồn tại thì ∫+∞
a
dxxf )( phân ỳ.
Tương tự, ∫∫ ∞−→∞−
=a
bb
a
dxxfdxxf )(lim)( ( Tính hội tụ và phân kỳ cũng tương tự ).
dxxfdxxfdxxfa
a
∫∫∫∞+
∞−
∞+
∞−
+=⇒ )()()( .
Tích phân ∫∞+
∞−
dxxf )( hội tụ khi ∫+∞
a
dxxf )( và ∫∞−
a
dxxf )( hội tụ.
Ví dụ: 1/ Tính ∫∞+
−=0
12
dxxeI x .
* Điểm đến: Xét các vấn đề vềTích phân suy rộng.
* Định nghĩa tích phân suy rộng:
a/ ∫+∞
∞−
dxxf )( : loại I.
b/ ∫−
+
ε
ε
b
a
dxxf )( : loại II.
* Các tiêu chuẩn hội tụ, phân kỳ.
*Giải BT ứng dụng xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân: + Bằng PP tính trực tiếp. + Bằng các tiêu chuẩn.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 71
2/ Xét sự hội tụ của tích phân ( )0,02 >>= ∫∞+
αα axdxI
a
.
Giải 1/
( )
2 2
2 2
21
0 0
0
1lim lim ( )2
1 1 1lim lim 12 2 2
b bx x
b b
bx b
b b
I xe dx e d x
e e
− −
→+∞ →+∞
− −
→+∞ →+∞
⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫.
2. Nếu 1≠α thì
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
<∞+=−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
== −−−
∞+→
−
∞+→∞+→ ∫ 11
1)(lim
11
1limlim 111
1
2 αα
α
ααααα
α
α khiakhi
abxxdxI
b
b
ab
b
ab
.
Nếu 1=α thì
( ) ( ) +∞=−====∞+→∞+→∞+→
∞+
∫∫ abxxdx
xdxI
b
b
ab
b
ab
a
lnlnlimlnlimlim2 .
Vậy ( )0,02 >>= ∫∞+
αα axdxI
a
hội tụ khi 10 ≤< α v à phân kỳ khi 1>α .
II TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI HAI
Định nghĩa: Giả sử f(x) là hàm bị chặn và khả tích trên mọi đoạn [ ] ,0(, >− εεba bé tuỳ ý)
nhưng không bị chặn trên đoạn [ ]bb ,ε− . Giới hạn (nếu có) của tích phân dxxfb
a∫−ε
)(
khi 0→ε gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên đoạn [a, b].
Kí hiệu: dxxfb
a∫ )(
Vậy dxxfdxxfb
a
b
a∫∫−
→=
ε
ε)(lim)(
0.
• Nếu ∫−
→
ε
ε
b
a
dxxf )(lim0
hữu hạn thì ∫b
a
dxxf )( hội tụ và hàm f(x) khả tích trên [ ]ba, .
• Nếu ∫−
→
ε
ε
b
a
dxxf )(lim0
vô hạn hoặc không tồn tại thì ∫b
a
dxxf )( phân ỳ.
Tương tự, nếu f(x) là hàm khả tích và bị chặn trên mọi đoạn [ ]ba ,ε+ nhưng không bị
chặn trên đoạn [ ]ε+aa, thì dxxfdxxfb
a
b
a∫∫+
→=
εε
)(lim)(0
( Tính hội tụ và phân kỳ cũng
tương tự ).
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a∫∫∫ +=⇒ )()()( ( nếu f(x) không bị chặn tại c [ ]ba,∈ ).
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 72
Tích phân ∫b
a
dxxf )( hội tụ khi ∫c
a
dxxf )( và ∫b
c
dxxf )( hội tụ.
Ví dụ:
1/ Tính ∫− −
=1
121
1 xdxI .
2/ Xét sự hội tụ của tích phân ∫ −=
1
02 1 x
dxI .
Giải 1/
( )
1 1
1 2 200 0
1
00 0
2 2lim1 1
2lim arcsin 2limarcsin(1 )
2arcsin1
dx dxIx x
x
ε
ε
ε
ε εε
π
−
→
−
→ →
= =− −
= = −
= =
∫ ∫
.
2/
1 1
2 0 00 0
1
00 0
(1 )lim lim1 1
lim ln(1 ) lim( ln )
dx d xIx x
x
ε ε
ε ε
ε
ε εε
− −
→ →
−
→ →
⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟
− −⎝ ⎠⎡ ⎤= − − = − = +∞⎣ ⎦
∫ ∫.
Vậy ∫ −=
1
02 1 x
dxI phân kỳ.
3. ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định lý: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] và
axxgxf ≥∀≤≤ )()(0 , khi đó ta có:
• Nếu ∫∞+
a
dxxg )( hội tụ thì ∫∞+
a
dxxf )( hội tụ và ∫∞+
a
dxxf )( ∫∞+
≤a
dxxg )( .
• Nếu ∫∞+
a
dxxf )( phân kỳ thì ∫∞+
a
dxxg )( phân kỳ .
Định lý: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm không âm và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,
b]. Khi đó, nếu )0()()(lim ∞+<<=
∞+→kk
xgxf
xthì các tích phân ∫
∞+
a
dxxf )( và ∫∞+
a
dxxg )( cùng
hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Định lý:
Nếu ∫∞+
a
dxxf )( hội tụ thì ∫∞+
a
dxxf )( hội tụ.
Định nghĩa:
• ∫∞+
a
dxxf )( được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∫∞+
a
dxxf )( hội tụ.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 73
• ∫∞+
a
dxxf )( được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∫∞+
a
dxxf )( hội tụ và ∫∞+
a
dxxf )( phân
kỳ. Ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân sau đây:
a) ∫+∞
++13 2 )x1()x1(1
∀ x≥ 1: f(x) = 3 2 )x1()x1(1
++≥ 0
và < 3
22
1 x.x1
= 6
7x1
vì α = 67
> 1
Suy ra: ∫+∞
++13 2 )x1()x1(1
phải hội tụ.
b) ∫ −
1
03 2
2
)x1(xdxcos
, f(x) = 3 2
2
)x1(xcos
− → ∞ khi x → 1 – 0
f(x) = 3 2
2
)x1(xcos
− là một VCL khi x → 1 – 0
f(x) = 3 2
2
)x1(xcos
− =
3 2
2
)x1(xcos
−.
31)x1(
1−
chứng tỏ
f(x) = 3 2
2
)x1(xcos
− là VCL ngang cấp với
31)x1(
1−
vì α = 31
< 1 .
⇒ ∫ −
1
03 2
2
)x1(xcos
phải hội tụ.
3) Xét ∫ −+1
0xsin
3
dx1e
)x1ln(
f(x) = 1e
)x1ln(xsin
3
−+
> 0, ∀x∈(0; 1] khi x → +0
)x1ln( 3+ ∼ 31
x ; 1e xsin − ∼ sin x ∼ x
⇒ =−
+→ξ 1e
)x1ln(limxsin
3
0 xxlim
31
0x +→ = +∞=
+→ 32
x1lim
0x
Khi x → +0: 1e
)x1ln(xsin
3
−+
là một VCL ngang cấp với 32
x1
= 32
)0x(1−
.
Vì α = 32
< 1 thì tích phân suy rộng phải hội tụ.
4) ∫+∞
03xxdxsin ∀x≥1:
33 x1
xxsin vì ∫
+∞
03x
dx hội tụ,
nên theo định lý ∫+∞
03
dxx
xsin hội tụ tức ∫+∞
03xxdxsin hội tụ tuyệt đối.
• Câu hỏi củng cố: 1. Thế nào là tích phân suy rộng ? 2. Có mấy loại tích phân suy rộng ?
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 74
3. Hãy cho biết điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng? BƯỚC HỌC 2: Tích phân suy rộng
• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Cho hai ví dụ: một ví dụ về tích phân suy rộng loại I và một ví dụ về tích
phân suy rộng loại II 2. Hãy sử dụng điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng xét sự hội và phân
kỳ của hai ví dụ vừa cho ? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 76
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Có một ví dụ tích phân suy rộng loại I và một ví dụ tích phân suy rộng loại II không?
2. Có sử dụng tiêu chuẩn hội của tích phân không ?
3. Đúng thời gian qui định
4. Sự hợp tác các thành viên trong nhóm
5. Kết quả chính xác và lập luận logic
Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 77
KQHT 5: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương. BƯỚC HỌC 1: Chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu. Bài hướng dẫn:
CHƯƠNG V LÝ THUYẾT CHUỖI
1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Định nghĩa 5.1
• Cho dãy số thực (un), n = 1, 2, 3... Biểu thức ( )1......211
++++=∑∞
=n
nn uuuu
được gọi là chuỗi. un được gọi là số hạng tổng quát hay số hạng thứ n của chuỗi (1). • Tổng Sn = u1 + u2 + ... + un được gọi là tổng riêng của chuỗi (1). • Nếu Sn có giới hạn S thì chuỗi (1) gọi là chuỗi hội tụ và có tổng là S. Ta viết:
∑∞
=
=1n
nuS .
• Chuỗi (1) không hội tụ thì gọi là phân kỳ. Ví dụ 5.1: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
1/ ∑∞
=0n
nq .
2/ ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
11lnn n
.
Giải
1/ Ta có: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−
=++++= −
1
11
1...1 12
qkhin
qkhiq
qqqqS
n
nn
- Nếu ⇒−
=⇒<∞→ q
Sq nn 11lim1 chuỗi hội tụ.
- Nếu ⇒∞=⇒>∞→ nn
Sq lim1 chuỗi phân kỳ.
- Nếu ⇒∞=⇒=∞→ nn
Sq lim1 chuỗi phân kỳ.
Chuỗi số - Chuỗi hàm: + Định nghĩa; + Các phép toán; + Các tiêu chuẩn hội tụ.
So sánh chuỗi số và chuỗi hàm
Giải bài tập xét sự hội tụ và phân kỳ:
+ Chuỗi số; + Chuỗi hàm.
Điểm đến: Xét các vấn đề về Chuỗi số và chuỗi hàm
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 78
- Nếu ⇒−= 1q Sn không có giới hạn ⇒ chuỗi phân kỳ.
Vậy ∑∞
=0n
nq hội tụ khi 1<q và phân kỳ khi 1≥q .
2/ Ta có : ( ) nnn
nun ln1ln1ln −+=+
=
( ) ( ) ( )[ ] ( )1lnln1ln...2ln3ln1ln2ln +=−+++−+−=⇒ nnnSn +∞=⇒
∞→ nnSlim ⇒ chuỗi phân kỳ.
* Các định lý:
Định lý 5.1: Nếu ∑∞
=1nnu hội tụ thì 0lim =
∞→ nnu .
Hệ quả: Nếu 0lim ≠∞→ nn
u thì ∑∞
=1nnu phân kỳ.
Ví dụ 5.2: ∑∞
= +1 1n nn phân kỳ vì 01
1lim ≠=
+∞→ nn
n.
Định lý 5.2: Nếu hai chuỗi ∑∞
=1nnu và ∑
∞
=1nnv hội tụ thì các chuỗi ∑
∞
=1nnau ; ( )∑
∞
=
+1n
nn vu cũng
hội tụ và ( ) ∑∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+=+=11111
,n
nn
nn
nnn
nn
n vuvuuau .
Định lý 5.3:
Cho hai chuỗi .........211
++++++=∑∞
=nk
nn uuuuu và ......1
1
+++= +
∞
+=∑ mk
kmm uuu
Khi đó, chuỗi ∑∞
=1nnu hội tụ khi và chỉ khi ∑
∞
+= 1kmmu hội tụ.
Hệ quả: Tính hội tụ của chuỗi không đổi nếu ta bỏ một số hữu hạn các số hạng của chuỗi.
Ví dụ 5.3: ∑∞
=0 21
nn hội tụ ∑
∞
=
⇒2 2
1n
n hội tụ và 21
211
21
21
02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= ∑∑
∞
=
∞
= nn
nn
BƯỚC HỌC 2: Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi . Bài hướng dẫn: CHUỖI SỐ DƯƠNG
Định nghĩa 5.2: Nnuu nn
n ∈∀>∑∞
=
0;1
được gọi là chuỗi số dương.
* Các định lý :
Định lý 5.4: Chuỗi số dương ∑∞
=1nnu hội tụ ⇔ tổng riêng Sn bị chặn trên.
Định lý 5.5: ( Tiêu chuẩn so sánh )
Cho hai chuỗi ∑∞
=1nnu và ∑
∞
=1nnv thoả điều kiện tồn tại số dương N sao cho
Nnvu nn ≥∀≤<0 , khi đó:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 79
- Nếu ∑∞
=1nnv hội tụ thì ∑
∞
=1nnu hội tụ.
- Nếu ∑∞
=1nnu phân kỳ thì ∑
∞
=1nnv phân kỳ.
Ví dụ 5.4: ∑∞
=1 .31
nnn e
hội tụ vì 031
.31
≥∀≤ ne nnn và ∑
∞
=1 31
nn hội tụ.
Định lý 5.6: ( Tiêu chuẩn so sánh )
Cho hai chuỗi số dương ∑∞
=1nnu và ∑
∞
=1nnv . Nếu ( )+∞<<=
∞→kk
vu
n
n
n0lim thì hai chuỗi
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ 5.5:
∑∞
=1
1n n
phân kỳ vì 11
11lnlim =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
n
nn
và ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
11lnn n
phân kỳ.
Định lý 5.7: ( Tiêu chuẩn D'Alembert )
Cho chuỗi số dương ∑∞
=1nnu , giả sử tồn tại D
uu
n
n
n=+
∞→
1lim . Khi đó:
o Nếu D < 1 thì ∑∞
=1nnu hội tụ.
o Nếu D > 1 thì ∑∞
=1nnu phân kỳ.
Ví dụ 5.6:
∑∞
=1 !n
n
nn phân kỳ vì ( )
( ) 111lim1lim!!1
1limlim1
1 >=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=++
=∞→∞→
+
∞→
+
∞→e
nnn
nn
nn
uu n
n
n
nn
n
nn
n
n
Định lý 5.8: ( Tiêu chuẩn Cauchy )
Cho chuỗi số dương ∑∞
=1nnu và giả sử tồn tại Cun
nn=
∞→lim . Khi đó:
o Nếu C < 1 thì ∑∞
=1nnu hội tụ.
o Nếu C > 1 thì ∑∞
=1nnu phân kỳ.
Ví dụ 5.7: ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+1 13n
n
nn phân kỳ vì
31
13limlim =
+=
∞→∞→ nnu
nn
nn
Định lý 5.9: ( Tiêu chuẩn tích phân ) Cho hàm số )(xf dương, liên tục và giảm trên [ ]∞+;a . Khi đó:
Chuỗi số ∑∞
=
+0
)(k
kaf cùng hội hoặc cùng phân kỳ với ∫+∞
a
dxxf )( .
Ví dụ 5.8:
∑∞
=2
1n n
phân kỳ vì hàm số x
xf 1)( = liên tục, dương, giảm trên [ ]+∞;2 và ∫+∞
2
1 dxx
phân kỳ.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 80
V.3 CHUỖI ĐAN DẤU Định nghĩa 5.3:
Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng: ( ) ( ) ...1...1 121
1
1 +−++−=− +∞
=
+∑ nn
nn
n uuuu với un >
0 Nn∈∀ . Định lý 5.10: ( Tiêu chuẩn Leibnitz )
Cho chuỗi đan dấu ( )∑∞
=
+−1
11n
nn u , nếu Nnuu nn ∈∀≤−+ 01 và 0lim =
∞→ nnu thì chuỗi
( )∑∞
=
+−1
11n
nn u hội tụ.
Ví dụ 5.9:
Chuỗi ( )∑∞
=
+−1
1 11n
n
n hội tụ vì ( ) Nn
nnnnuu nn ∈∀≤
+−=−
+=−+ 0
111
11
1 và
01lim =∞→ nn
.
Định lý 5.11: Nếu chuỗi ∑∞
=1nnu hội tụ thì chuỗi ∑
∞
=1nnu hội tụ.
Ví dụ 5.10:
Chuỗi ∑∞
=12
cosn n
nα hội tụ vì Nnnn
n∈∀≤ 22
1cos α mà ∑∞
=12
1n n
hội tụ ⇒∑∞
=12
cosn n
nα
hội tụ ⇒∑∞
=12
cosn n
nα hội tụ.
Chú ý: Nếu chuỗi ∑∞
=1nnu phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy thì
∑∞
=1nnu cũng phân kỳ.
Ví dụ 5.11:
Chuỗi ( )∑∞
=
+−1
1
2!1
nn
n n phân kỳ vì ( ) ∑∑∞
=
∞
=
+ =−11
1
2!
2!1
nn
nn
n nn phân kỳ
( ( )+∞=
+=
+=
∞→+∞→
+
∞→ 21lim
!2.
2!1limlim 1
1 nn
nu
un
n
nnn
n
n).
Định nghĩa 5.4:
• Nếu chuỗi ∑∞
=1nnu hội tụ thì chuỗi ∑
∞
=1nnu gọi là hội tụ tuyệt đối.
• Nếu chuỗi ∑∞
=1nnu hội tụ mà chuỗi ∑
∞
=1nnu phân kỳ thì chuỗi ∑
∞
=1nnu gọi là bán hội
tụ. Ví dụ 5.12:
Chuỗi ( )∑∞
=
+−1
1 11n
n
n hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ( )∑
∞
=
+−1
1 11n
n
n bán
hội tụ.
• Câu hỏi củng cố:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 81
1. Hãy cho biết chuỗi số là gì? 2. Thế nào là chuỗi số hội tụ, phân kỳ ? 3. Hãy nêu các tiêu chuẩn hội tụ và phân kỳ ? Theo bạn thì tiêu chuẩn nào là thông dụng nhất trong toán học ? 4. Thế nào là chuỗi đan dấu và chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn nào ? 5. Bạn hiểu thế nào là một chuỗi số hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ?
KẾT QUẢ HỌC TẬP 6: Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ. Bài hướng dẫn:
CHUỖI LŨY THỪA I. CHUỖI HÀM
Là chuỗi mà mọi số hạng của nó đều là những hàm số của biến số x.
∑∞
=1nn )x(U = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + …..
từ ∑∞
=1nn )x(U cho x = x0: ∑
∞
=1n0n )x(U . Nếu chuỗi số hội tụ, thì x = x0 là điểm hội
tụ, tập hợp tất cả các điểm hội tụ của gọi là miền hội tụ của chuỗi theo biến ∑∞
=1nn )x(U
là hàm S(x) được xác định trong miền hội tụ của chuỗi:
S(x) = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + ….. = ∑∞
=1n0n )x(U
II. CHUỖI LUỸ THỪA: Định nghĩa 5.5:
Chuỗi luỹ thừa là chuỗi có dạng: ......2100
+++++=∑∞
=
nn
n
nn xaxaxaaxa
* Miền hội tụ: Định lý 5.13: ( Định lý Abel )
Nếu chuỗi ∑∞
=0n
nn xa hội tụ tại 00 ≠x thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x mà 0xx < .
Nhận xét: Nếu chuỗi ∑∞
=0n
nn xa phân kỳ tại 01 ≠x thì nó sẽ phân kỳ tại mọi x mà
1xx > .
* Điểm đến: Xét các Chuỗi hàm hội tụ
Chuỗi lũy thừa: + Chuỗi có tâm bất kỳ; + Chuỗi có tâm chính tắc.
Bài tập: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của chuỗi từ đó suy tổng của chúng.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 82
Theo định lýAbel, sẽ tồn tại số 0≥r để chuỗi ∑∞
=0n
nn xa hội tụ tuyệt đối trong (-r;
r) và phân kỳ trong các khoảng ( ) ( )∞+∞− ;,; rr . Còn tại rx ±= thì chuỗi ∑∞
=0n
nn xa có
thể hội tụ hay phân kỳ.
Số r nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi ∑∞
=0n
nn xa . Khoảng (-r; r) gọi là
khoảng hội tụ của chuỗi ∑∞
=0n
nn xa .
Vậy muốn tìm miền hội tụ, trước hết ta tìm khoảng hội tụ và sau đó ta xét tính hội tụ của chuỗi tại rx ±= .
* Qui tắc tìm bán kính hội tụ:
Cho chuỗi ∑∞
=0n
nn xa , nếu l
aa
n
n
n=+
∞→
1lim hoặc lannn=
∞→lim ( )+∞≤≤ l0 thì bán kính
hội tụ:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=∞++∞=
+∞<<
=0
0
01
lkhilkhi
lkhil
r
Ví dụ 5.13: Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:
1/ ∑∞
=1n
n
nx
2/ ( )∑∞
=
+
1 3.2
nn
n
nx
Giải
1/ Ta có: 11
limlim 1 =+
=∞→
+
∞→ nn
aa
nn
n
n⇒ khoảng hội tụ (-1; 1).
Khi x = 1 ⇒ chuỗi ∑∞
=1
1n n
phân kỳ.
Khi x = - 1⇒ chuỗi ( )∑∞
=
−1
11n
n
n hội tụ.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 11 <≤− x .
2/ Đặt X = x + 2, xét chuỗi ∑∞
=1 3.nn
n
nX
Ta có: 31
)1(3limlim 1 =
+=
∞→
+
∞→ nn
aa
nn
n
n⇒ khoảng hội tụ của chuỗi ∑
∞
=1 3.nn
n
nX là (-3; 3).
Khi X = 3 ⇒ chuỗi ∑∞
=1
1n n
phân kỳ.
Khi X = - 3 ⇒chuỗi ( )∑∞
=
−1
11n
n
n hội tụ.
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 83
⇒ miền hội tụ của chuỗi ∑∞
=1 3.nn
n
nX là 33 <≤− X .
Vậy miền hội tụ của chuỗi ( )∑∞
=
+
1 3.2
nn
n
nx là: 15 <≤− x .
* Các tính chất của chuỗi luỹ thừa:
Cho chuỗi ∑∞
=0n
nn xa , khoảng hội tụ (-r; r) và có tổng là f(x) =∑
∞
=0n
nn xa . Khi đó:
1. f(x) là hàm liên tục trong (-r; r).
2. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ∑∞
=0n
nn xa , chuỗi mới ∑
∞
=
−
1
1
n
nn xna
cũng có khoảng hội tụ là (-r; r).
3. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi ∑∞
=0n
nn xa ,
chuỗi mới ∑∫∞
=
+
+=
0
1
0 1)(
n
nnx
xna
dxxf cũng có khoảng hội tụ là (-r; r).
Ví dụ 5.14: Tính tổng của chuỗi ∑∞
=1n
nnx .
Giải Miền hội tụ của chuỗi là: (-1; 1). Gọi S(x) = x + 2x2 + 3x3 +…+ nxn +… = x(1 + 2x + 3x2 +…+ nxn-1 +…)
=x.S1(x).
......)( 32
01 +++++=⇒ ∫ n
x
xxxxxS ( )11
)(1 <−
=⇒ xdox
xxS .
( )2
'
1 11
1)(
xxxxS
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=⇒ .
Vậy ( )21
)(x
xxS−
= .
• Câu hỏi củng cố 1. Bạn hiểu thế nào là một chuỗi hàm ? 2. Có mấy loại chuỗi lũy thừa ? 3. Hãy trình bày các bước tìm miền hội tụ của một chuỗi hàm ?
Thực hành:
Sinh viên tự cho hai chuỗi lũy thừa: một chuỗi có tâm và một chuỗi không tâm rồi tiến hành tìm miền hội tụ của hai chuỗi đó
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 84
PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT 6 : Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ BƯỚC HỌC : Thực hành tìm miền hội tụ và bán kính hội của
chuỗi lũy thừa • Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A0 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Xác định dạng chuỗi. 2. Xác định các hệ trong chuỗi. 3. Xác định tiêu chuẩn để tính bán kính hội tụ 4. Xét hai đầu đoạn của miền hội tụ. 5. Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 85
TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)
Tiêu chí Có Không
1. Xác định dạng chuỗi
2. Xác định các hệ trong chuỗi
3. Xác định tiêu chuẩn để tính bán kính hội tụ
4. Xét hai đầu đoạn của miền hội tụ
5. Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.
6. Đúng thời gian qui định
7. Sự hợp tác của các thành viên trong nhóm
8. Kết quả chính xác và lập luận logíc
Nhận xét: --------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7
Vi tích phân A1 trang 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MÔN HỌC [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Toán cao cấp Tập II. Nhà xuất bản giáo
dục,1999. [2] Lê Văn Hốt: Toán cao cấp PII. Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004. [3] Lê Phương Quân: Vi tích phân B, Đại học Cần Thơ, 2002 [4] Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội: Toán cao cấp B vá C. Đại học mở bán
công TPHCM, 2005. [5] Phan Văn Ba – Đinh Thành Hòa: Bài tập Giải tích. Đại học Cần Thơ [6] Nguyễn Thanh Bình-Lê Văn Sáng, Đại số tuyến tính, Đại học Cần Thơ.
[7] Nguyễn Viết Đông-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Anh Tuấn-Lê Anh Vũ, Bài tập toán cao cấp, tập 1 và 2 - NXB Giáo Dục
[8] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997.
[9] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục, 1997.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Toán cao cấp Tập II. Nhà xuất bản giáo
dục,1999. [2] Lê Văn Hốt: Toán cao cấp PII. Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004. [3] Lê Phương Quân: Vi tích phân B, Đại học Cần Thơ, 2002. [4] Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội: Toán cao cấp B vá C. Đại học mở bán
công TPHCM, 2005. [5] Phan Văn Ba – Đinh Thành Hòa: Bài tập Giải tích. Đại học Cần Thơ. [6] Giáo trình vi tích phân A1- Đại học Trà Vinh, 2006. [7] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi phân tập 1 và 2, NXB Giáo dục, 1997 [8] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo
dục, 1997.
[9] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997.