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Solutions de l’Equation deDuffin-Kemmer-Petiau (DKP) pour certaines
formes d’interactions
Abdelmalek Boumali 1
1. aboumali@mail.univ-tebessa.dz, aboumali@mail.com
Dédicace
A mes parents,
A mon épouse Ismahen,
A ma fille Selsabil,
Je dédié cet humble travail.
Boumali Abdelmalek i
Remerciements
Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur Chetouani Lyazid, Professeur
à l’Université de Constantine, qui m’a proposé ce sujet. Sa grande disponibilité et son aide
constante m’ont permis de mener à terme ce travail.
J’exprime mes remerceiments à Monsieur Bouloudroua Moncef, Maître de Conférence à
l’Université d’Annaba, pour l’honneur qu’il me fait en présidant le jury de ma thèse.
Messieurs Réda Attalah, Maître de Conférence à l’Université d’Annaba, et Tahar Boud-
jedaa, Maître de Conférence à l’Université de Jijel, ont accepté d’être examinateurs de cette
thèse. Je leur exprime à tous deux ma sincère reconnaissance.
Je remercie également Monsieur Djemel Amor, Professeur à l’Université de Constantine,
d’avoir bien voulu participer au jury.
Que mes collègues et notament, Chemam Rafik , Souad Hachani et Dilmi Samia trouvent
ici mes vifs remerciements.
Enfin, je remercie tout particulièrement ma femme Ismahen, pour sa patience, son en-
couragement, et son soutien moral tout au long de ce travail.
Boumali Abdelmalek ii
Table des matières
Dédicace i
Remerciements ii
Liste des Tableaux v
Table des Figures vi
Les Chapitres
1 Introduction 1
2 L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau 4
2.1 L’équation libre de Duffin-Kemmer-Petiau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 L’équation de DKP en présence d’une interaction électromagnétique . . . . . . 7
2.3 L’invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Les matrices βµ dans la théorie de Duffin-Kemmer-Petiau . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Le nombre des représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 La représentation des βµ : matrices de Kemmer . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 La formulation Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1 cas libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 en présence d’une interaction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Cas ou la masse est nulle : formalisme de Harish-Chandra . . . . . . . . . . 17
iii
TABLE DES MATIÈRES
3 L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulom-
bien 18
3.1 Cas des particules de spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1 Cas du potentiel d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1.1 le potentiel (AB) à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1.2 le potentiel (AB) à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Cas du potentiel Coulombien (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Cas de la combinaison des deux potentiels : (AB) plus Coulomb . . . . 30
3.1.3.1 Cas de la dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3.2 Cas de la dimension trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Particules de spin-1 dans le potentiel d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 le potentiel (AB) à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 le potentiel (AB) à trois dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau 46
4.1 Construction du potentiel de l’oscillateur de DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Les spectres d’énergies pour les particules de spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein 54
5.1 Équation DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Solutions de l’équation de DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.1 spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.2 spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Conclusion 69
A Conventions et notations 75
Boumali Abdelmalek iv
TABLE DES MATIÈRES
B L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm 77
C Le critère de Pauli 82
D L’oscillateur de Dirac 83
E L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein 86
F La liste des articles 91
Boumali Abdelmalek v
Liste des tableaux
Table page
2.2 Dénombrement des différents éléments linéairement indépendant. . . . . . . . . 11
vi
Table des figures
Figure page
B.1 L’effet d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
E.1 Le schéma de la barrière potentiel dans la théorie de Dirac . . . . . . . . . . . . 87
vii
Chapitre 1
Introduction
Dans les années 30 1, le succès qu’a connu l’équation de Dirac, régissant le mouvement des
particules relativiste de spin-1/2, a donné à certains scientifiques le désir d’avoir une équation
relativiste covariante de premier ordre pour le cas des particules de spin 0 et 1. Cette équation
est semble t-il mieux adaptée que les équations de Klein-Gordon (KG) de second ordre relatives
aux particules de spin-0, et à celle de l’équation de Proca qui décrit les particules de spin-1.
La première tentative a été initié par De Broglie. Il a espéré avoir un photon ayant une
masse non nulle au repos. De Broglie a basé ses investigations sur un type d’équation de premier
ordre contenant des matrices 16× 16. Ces matrices sont construites à partir des matrices γ de
l’équation de Dirac. Il espérait, en combinant deux leptons, obtenir un photon massive.
C’est Petiau (1936), un de ses étudiants, qui, en modifiant l’algèbre de De Broglie, était
le premier qui à établir une algèbre pour les matrices 16 × 16. Il imposa sur ces matrices la
relation suivante [2]
βµβνβλ + βλβνβµ = βµδνλ + βλδνµ. (1.1)
Cette algèbre, d’après Géhéniau [1], se décompose en trois représentations de dimensions 5, 10
et 1. La dimension 1 n’ayant pas de signification physique.
Malheureusement, les travaux de Petiau étaient inconnues pour la plupart des chercheurs de
son époque, et spécialement par Kemmer, et donc ces modifications n’a pas connu tout l’intérêt
qu’elle méritait. Ce sont les travaux de Proca qui ont inspiré Kemmer [3, 4], et Duffin [6].
1. Pour plus d’information sur l’historique de l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau, consultez l’article deKrajcik and Nieto [1].
1
Chapitre 1. Introduction
Kemmer s’est rendu compte que les équations de Proca pouvaient s’écrire comme un ensemble
d’équations couplées de premier ordre. Aussi, il réalise que les formes des équations dont ils
ont été en question sont de type matricielles 5× 5 et 10× 10 et correspondent respectivement
à des particules de spin-0 et spin-1, et ceci sans la connaissance des règles de commutation
auxquelles obéissent ces matrices.
Cependant, c’est d’abord Duffin [6], un mathématicien, et ensuite Kemmer [3], qui ont
préféré l’utilisation d’une équation de premier ordre de forme semblable à celle de Dirac avec
des règles de commutation pour les matrices β comme pour le cas des matrices γ. Ces matrices
satisfont à l’équation (1.1) : Duffin [6], en premier lieu, a formulé une équation relativiste
covariante de premier ordre pour les particules ayant un spin 0 et 1, et ça dans un formalisme
des matrices β vérifiant les règles de commutations données par Petiau. Kemmer, par la suite,
a soumis son article sur la théorie de méson, comportant les différents propriétées de cette
équation dans une méthode similaire à celle utiliser dans l’équation de Dirac. Son article est
devenue une référence principale dans l’étude des particules bosoniques.
Finalement, l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP), dont la forme est covariante [3,
4, 6–9], est devenue, donc, l’équation fondamentale pour la description du mouvement des
particules scalaires et vectorielles. Cette équation est, de par sa forme, semblable à celle de
Dirac où les matrices γ de Dirac ont été remplacées par les matrices β avec une algèbre plus
compliquée que celle relative aux γ.
Cependant, malgré que l’équation de DKP décrit le mouvement des particules scalaires avec
un spin-0, elle n’est pas tout à fait équivalente à celle de Klein-Gordon (KG) sauf pour le cas
libre. Ce qui explique le peu d’intérêt qu’a suscité cette équation et la préférence de l’utilisation
des équations de (KG) et de Proca.
C’est à partir des années 70 qu’il y a eu un regain d’intérêt pour cette équation et notamment
dans les études relatives à la brisure de symétrie ainsi qu’aux processus hadroniques.
En présence d’interactions, les équations de DKP et de KG donnent évidemment des ré-
sultats différents et dans ce contexte, il a été proposé des modèles pour la description des
interactions méson-noyau en se basant sur l’équation de DKP pour expliquer certains résultats
Boumali Abdelmalek 2
Chapitre 1. Introduction
expérimentaux. De plus, des méthodes d’approximation développées dans le contexte du pro-
cessus de diffusion nucléon-noyau ont été ainsi généralisées, de manière analogue à ce qui a été
fait avec l’équation de Dirac, aux processus de diffusion méson-noyau. Cette équation de DKP
a été en outre considérée dans l’étude du processus de diffusion deutéron-noyau, à cause du
spin-1 du deutéron [10,11], produit du couplage des deux spin-1/2 relatifs aux deux nucléons.
A titre d’information, pour illustrer l’importance de cette équation (l’équation de DKP),
citons les travaux où elle a été fait appel : la théorie de QCD (quantum chromo-dynamics) [12],
l’approche causale dans un espace-temps courbé [13], la covariance Galiléenne à cinq-dimensions
[14], la covariance de la dynamique hamiltonienne [15], la diffusion de K+- noyau [16], la
discussion de paradoxe de Klein [17,18], la discussion de “Klein Tunnelling” dans le traitement
du potentiel de Woods-Saxon (Boutabia et al) [17] , et enfin l’étude sur la condensation de
Bose-Einstein [19].
Dans cette thèse organisée comme suit : nous étudions d’abord dans le deuxième chapitre les
propriétés algébriques de l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau. Ensuite, nous traitons, dans le
troisième chapitre, l’équation de DKP dans un potentiel de Coulomb en présence du potentiel
d’Aharonov-Bohm en considérant un espace à deux puis à trois dimensions.
Nous consacrons le quatrième et cinquième chapitre respectivement à la résolution du pro-
blème de l’oscillateur de Dirac et à la discussion du fameux paradoxe de Klein lorsque l’équation
de DKP est en présence d’un potentiel pseudo-vecteur de type saut (step potential).
Enfin, nous concluons cette thèse par cinq annexes.
Boumali Abdelmalek 3
Chapitre 2
L’équation deDuffin-Kemmer-Petiau
Pour plus d’information sur l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP), voir l’article de
Kemmer [3].
2.1 L’équation libre de Duffin-Kemmer-Petiau
Nous savons que les mésons sont des particules possédant une masse m et une charge ±e.
Leur mouvement est régi par l’équation d’onde suivante :
(∂µβµ + κ)ψ = 0, (2.1)
où β sont des matrices qui vérifient les relations suivantes
βµβνβρ + βρβνβµ = βµδνρ + βρδνµ, (2.2)
avec
κ =mc
~, ∂µ =
∂
∂xµ, x4 = ict, (2.3)
sont des notations 1. Notons que ces matrices n’ont pas d’inverse.
A partir de l’équation (2.2) nous avons
β4 = η4β4 = β4η4, (2.4)
1. La convention de sommation sur les indices répétés est systématiquement utilisée.
4
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
η4βk + βkη4 = 0, (k = 1, 2, 3) , (2.5)
β34 = β4, (2.6)
avec
η4 = 2β24 − 1, η2
4 = 1. (2.7)
D’après (2.6), les opérateurs β24 et
(1− β2
4
)serons considérés comme des opérateurs de projec-
tion.
Conjuguons maintenant l’équation (2.1)
∂µψ†βµ − κψ† = 0, (2.8)
où
ψ† = iψ∗η4. (2.9)
Les deux équations fondamentales (2.1) et (2.8) peuvent être trouvées à partir de la densité
lagrangienne définie par
L =−i~c
2
(∂µψ̄βµψ − ψ̄βµ∂µψ
)+mψ̄ψ. (2.10)
avec ψ̄ = ψ†η4.
Multiplions (2.1) et (2.8) par ∂ρβρβν , nous obtenons
∂µψ = ∂νβνβµψ, (2.11)
∂µψ† = ∂νψ
†βµβν . (2.12)
Ainsi, les équations (2.11) et (2.12) sont les conséquences de (2.1) et (2.8) et non des conditions
initiales.
De (2.1) et (2.8), nous obtenons l’équation de continuité suivante
∂µsµ = 0, (2.13)
ou
sµ = ψ†βµψ, (2.14)
Boumali Abdelmalek 5
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
peut s’interpréter comme un quadrivecteur densité-courant. L’équation de conservation, ex-
traite de l’équation de DKP, nous permis d’établir l’existence d’un courant, et d’une densité
s0 = s4/i qui n’est pas définie positive. Suivant Pauli et Weisskopf [21], dans le cas de l’équation
de Klein Gordon, une ré-interprétation est, ainsi, nécessaire.
Calculons, maintenant, le tenseur énergie-impulsion Tµν : pour cela, prenons l’expression
générale de ce tenseur (Derendinger [21]) :
Tµν =∂L∂∂µψ
∂νψ − δµνL. (2.15)
En utilisant (2.10), le calcul de Tµν donne
Tµν =c
2
[ψ†βν
~i∂µψ −
(~i∂µψ
†)βνψ
]. (2.16)
A partir des équations (2.1) et (2.2), nous avons
∂Tµν∂xν
= 0, (2.17)
qui est un tenseur conservé.
La forme globale du tenseur Tµν , défini par (2.16), n’est pas entièrement symétrique. La
symétrisation de ce tenseur ce fait par la même méthode utilisée dans le cas de l’électron comme
suit :
A partir des équations (2.1) et (2.2), nous obtenons
ψ†βν∂µψ = ψ†βνδρµ∂ρψ = ψ† (βνβµβρ + βρβµβν − δµνβρ) ∂ρψ. (2.18)
Posons que
Θµν =−mc2
i
[ψ† (βµβν + βνβµ)ψ − δµνψ†ψ
], (2.19)
alors,
Tµν = Θµν +~c2i
d
dxρψ† (βρβµβν − βνβµβρ)ψ, (2.20)
avec∂Θµν
∂xν= 0. (2.21)
Ce tenseur a une importante propriété : la composante temporelle Θ44 = −mc2ψ∗ψ < 0, et
par conséquence la densité d’énergie ε = −Θ44, est essentiellement positive.
Boumali Abdelmalek 6
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
La valeur moyenne de l’impulsion totale, peut être donnée en fonction de l’opérateur Θ, A
partir de (2.20), par
p̄µ =1
ic
∫Θµ4dV. (2.22)
Soit, l’opérateur Pik (Pauli 1941), dont
Pik = −Pki =1
ic
∫(xiΘk4 − xkΘi4) dV. (2.23)
D’après (2.20), nous avons
xiΘk4 = xiTk4 −~c2ixi
d
dxρψ† (βρβkβ4 − β4βkβρ)ψ. (2.24)
En insérant (2.24) dans (2.23), nous obtenons la forme finale de Pik comme suit :
Pik =1
i
∫ψ†β4
(xi
~i∂k − xk
~i∂i
)ψ +
~i
∫ψ†β4
βiβk − βkβii
ψdV. (2.25)
Le premier terme de (2.25) est le terme habituel du moment orbital, par contre le deuxième
terme, défini par
Sik =βiβk − βkβi
i. (2.26)
apparaît comme un terme de spin. La similarité avec le cas de l’électron est étroite : dans la
théorie de Dirac, le spin s’écrit par
1
4i(γiγk − γkγi) . (2.27)
D’après (2.26), ce terme possède les propriétés suivante :
– l’opérateur de spin Sik commute avec β4,
– la relation S3ik = Sik, conduit à des valeurs propres 0 , ±1, résultat bien attendu pour le
cas de la théorie du méson.
2.2 L’équation de DKP en présence d’une interaction élec-tromagnétique
En présence d’une interaction électromagnétique le changement que nous devons opérer est
simple. Il suffit d’effectuer la substitution suivante
∂µ −→ ∂−µ = ∂µ −ie
~cΦµ, (2.28)
Boumali Abdelmalek 7
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
lorsque la dérivation est appliquée sur ψ et
∂µ −→ ∂+µ = ∂µ +
ie
~cΦµ, (2.29)
lorsque la dérivation est appliquée sur ψ†.
Les deux équations, (2.1) et (2.8), se transforment à
∂−µ βµψ + κψ = 0, (2.30)
∂+µ ψ†βµ − κψ† = 0. (2.31)
Ces deux équations décrivent le mouvement des particules en présence d’une interaction élec-
tromagnétique.
Remarquons que l’introduction d’une interaction électromagnétique n’affecte pas le dévelop-
pement décrit dans la section précédente : la définition du tenseur sµ reste toujours applicable
ainsi que la définition du tenseur symétrique énergie-impulsion Θµν .
Pour le tenseur antisymétrique Tµν , il s’écrit par
Tµν =c
2
[ψ†βν
~i∂−µ ψ −
(~i∂+µ ψ†)βνψ
]. (2.32)
Ainsi, au lieu des équations (2.17) et (2.21), on obtient les équations suivantes
∂Tµν∂xν
=∂Θµν
∂xν= eFµνsν , (2.33)
avec
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (2.34)
est le tenseur électromagnétique. Aussi, d’après (2.25), seul le moment angulaire est modifié
en remplaçant l’opérateur ∂µ par ∂−µ . Le terme de spin reste inchangeable.
Soit le commutateur suivant
∂∓µ ∂∓ν − ∂∓ν ∂∓µ = ∓ ie
~cFµν . (2.35)
D’après (2.11) et (2.12), nous trouvons
∂−µ ψ = ∂−ν βνβµψ +ie
2mc2Fνρ (βρβµβν − δρµβν)ψ, (2.36)
Boumali Abdelmalek 8
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
∂+µ ψ = ∂+
ν ψ†βµβν +
ie
2mc2Fνρψ
† (βνβµβρ − βνδµρ) . (2.37)
et donc
∂−µ ∂−µ ψ = κ2ψ +
ie
~cFµνβµβνψ +
ie
2mc2∂−µ Fνρ (βρβµβν − δρµβν)ψ, (2.38)
∂+µ ∂
+µ ψ = κ2ψ − ie
~cFµνψ
†βνβµ +ie
2mc2∂+µ Fνρψ
† (βνβµβρ − βνδµρ)ψ. (2.39)
Le premier terme dans (2.38) ou (2.39) est un terme d’interaction électromagnétique avec un
moment magnétique et électrique, par contre, le deuxième terme, il s’interprète de la façon
suivante :
Définissons d’abord le moment magnétique par [21]
Mik =e
2
∫(xisk − xksi) dV. (2.40)
et décomposons le en deux parties : le moment orbital plus le moment relatif au spin.
D’après (2.30) et (2.31),
sµ = ψ†βµψ =1
2κ
(∂+ν ψ†βνβµ − ψ†βµβν∂−ν ψ
), (2.41)
et d’après (2.36) et (2.37), nous avons
sµ =1
2κ
[(∂+µ ψ†)ψ − ψ†∂−µ ψ +
d
dxνψ† (βνβµ − βµβν)ψ − ie
mc2Fνρψ
†βνβµβρψ
], (2.42)
alors
Mik =e
2mc
[1
i
∫ψ†(xi
~i∂−k − xk
~i∂−i
)ψdV +
~i
∫ψ†βiβk − βkβi
iψdV
](2.43)
+e2~
4m2c31
i
∫Fµνψ
†βµ (βkxi − βixk)βνψdV. (2.44)
Nous reconnaissons le moment orbital (premier terme) et le terme (deuxième terme) relatif au
spin, qui fait apparaître l’expression
Sik =βiβk − βkβi
i, (2.45)
similaire1
4i(γiγk − γkγi) , (2.46)
Boumali Abdelmalek 9
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
relative à l’électron de Dirac. Par comparaison avec la théorie de l’électron, il y a cependant dans
l’expression de spin l’absence du facteur 2 relatif à l’anomalie gyromagnétique. Le troisième
terme, qui est nouveau, nous remarquons d’abord, lorsque le champ est absent qu’il est nul.
Ce terme peut s’interpréter, physiquement, comme étant la polarisation.
2.3 L’invariance relativiste
L’invariance relativiste pour l’équation de DKP se démontre de la même façon utilisée pour
montrer l’invariance de l’équation de Dirac.
En effet considérons une transformation infinitésimale dans l’espace à quatre dimensions
choisie comme suit
x′µ = xµ + εµνxν , (2.47)
avec εµν = −ενµ.
Suite au changement de repère, la fonction d’onde se transforme comme suit
ψ′ = Sψ,(ψ†)′
= ψ†S−1, (2.48)
avec
S = 1 +1
2εµνtµν , et tµν = −tνµ. (2.49)
Il y a invariance si tµν sont connectés aux βµ par une relation de la forme
βµtνρ − tνρβµ = δµνβρ − δνρβµ, (2.50)
où les tµν sont choisis par
tµν = βµβν − βνβµ = iSµν . (2.51)
Pour démontrer (2.51), permutons les indices ν et ρ dans (2.2), et en effectuons une soustraction
avec l’équation originale, alors nous obtenons
βµ (βµβν − βνβµ)︸ ︷︷ ︸tµν
− (βµβν − βνβµ)︸ ︷︷ ︸tµν
βµ = δµνβρ − δνρβµ, (2.52)
et l’invariance est ainsi établie.
Boumali Abdelmalek 10
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
Élément Nb des éléments de ce type Élément Nb des éléments de ce typeI 1 ηµβνβρβσ 12βµ 14 ηµην 6βµβν 12 ηµηνβρ 12βµβνβρ 12 ηµηνβρβσ 12βµβνβρβσ 6 ηµηνηρ 4
ηµ 4 ηµηνηρβσ 4ηµβν 12 ηµηνηρησ 1ηµβνβρ 24 Nb total 126
Table 2.2 – Dénombrement des différents éléments linéairement indépendant.
2.4 Les matrices βµ dans la théorie de Duffin-Kemmer-Petiau
2.4.1 Le nombre des représentations irréductibles
Nous savons que dans le cas de l’équation de Dirac, les matrices γ admettent une seule
représentation irréductible. Pour le cas de l’équation de DKP (2.2), nous avons des matrices βµ
vérifiant une certaine relation plus compliquée que celle relative aux matrices γ. Pour trouver
les différentes représentations irréductibles, il faut d’abord chercher le nombre de quantités
linéairement indépendantes qui, dans le cas de l’équation de Dirac, le nombre est de 16 .
Soit la relation suivante
ηµ = 2β2µ − 1, (2.53)
la composante η4 ayant déjà introduite (2.7), nous pouvons montrer les égalités suivantes
β3µ = βµ, η
2µ = 1, (2.54)
ηµην − ηνηµ = 0, ηµβν + βνηµ = 0, (µ 6= ν) (2.55)
βµ = ηµβµ = βµηµ. (2.56)
A partir de ces équations, nous formons une liste d’éléments linéairement indépendants (voir
Tab. 2.2). En tout il y a 126 éléments linéairement indépendants formés à partir des matrices
βµ. Parmi ces éléments il y a ceux qui commutent entre eux [22].
Boumali Abdelmalek 11
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
D’après Kemmer, il y en a trois qui sont définis comme suit
I = matrice unité, (2.57)
M =∑µ
ηµ −∑µ<ν
ηµην , (2.58)
et N = η1η2η3η4
(1−
∑µ
ηµ
). (2.59)
Alors trois représentations irréductibles de dimensions n1, n2, n3 sont présentent.
Or suivant la théorie des groupes [22], on a la relation suivante
n21 + n2
2 + n23 = 126. (2.60)
Cette équation nous permis d’avoir les dimensions de ces représentations : on a donc le choix
suivant
n1 = 10, n2 = 5, n3 = 1, avec 102 + 52 + 12 = 126. (2.61)
Nous avons donc trois représentations irréductibles de dimensions 10, 5, 1, qui décrivent cha-
cune, une situation physique bien déterminée. La dimension 1 est un cas trivial qui n’a pas
d’intérêt physique.
2.4.2 La représentation des βµ : matrices de Kemmer
Comme il a été mentionné auparavant, il existe trois représentations irréductibles pour les
matrices βµ : pour la représentation de dimension 10, nous avons
β1 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, β2 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
,
(2.62)
Boumali Abdelmalek 12
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
β3 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
, β4 =
0 0 0 0 0 0 −i 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −i 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −i 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0i 0 0 0 0 0 0 0 0 00 i 0 0 0 0 0 0 0 00 0 i 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
(2.63)
par contre, pour la représentation de dimension 5, nous avons
β1 =
0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 1 0 0 0
, β2 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 1 0 0
, (2.64)
β3 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0
, β4 =
0 0 0 0 −i0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0i 0 0 0 0
. (2.65)
On peut voir que ces matrices sont dans des formes complètement irréductibles, et dont chaque
matrice de même ordre peut être écrite comme une combinaison linéaire des quatre matrices βµ
et leurs multiplications. Parmi les trois représentation irréductible, la troisième a peu d’intérêt
physique, par contre les deux autres donnent la théorie possible des mésons : la représentation
de dimension dix, conduit à la théorie bien connue de Proca, par contre, la représentation de
dimension cinq conduit à la théorie de Klein-Gordon (KG), où la théorie scalaire.
Faisons, ici, la remarque suivante : il apparaît étrange, pour le cas de la théorie scalaire,
l’existence d’un opérateur de spin Sµν = i (βµβν − βνβµ) : Suivant (2.25), la quantité β4Sik,
donne une valeur estimée égale à zéro, ce qui est évident dans la théorie scalaire. D’un autre
côte, le deuxième terme, dans (2.43) ne s’annule pas : alors, pour la théorie scalaire, et dans la
région relativiste, un moment magnétique existe toujours.
Belinfante [23], a par ailleurs montré que la théorie à 16 composantes peut être obtenu en
Boumali Abdelmalek 13
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
définissant des matrices
β′µ =1
2(γµ ⊗ I + I ⊗ γµ) . (2.66)
Ces matrices vérifient bien les relations de commutations de Duffin.
Alors, la théorie basée sur l’équation suivante
∂
∂xµ(γµ ⊗ I + I ⊗ γµ)ψ + κψ = 0, (2.67)
est ainsi équivalente à celle exposée jusqu’ici, mais avec des matrices β dans une représentation
réductible.
Une étude plus approfondie, basée sur (2.66), et aussi sur le fait que la fonction d’onde ψ
se transforme en un produit de deux fonctions d’onde de Dirac, montre que (2.67) donne la
théorie de Proca ainsi que la théorie scalaire avec en plus l’équation κψ16 = 0. Autrement dit,
chacune des trois représentation irréductible de βµ est contenue une fois dans une représentation
particulière de β′µ.
Belinfante [23] avait aussi fixé la représentation en postulant que ψ se comporte en un
produit symétrique de deux fonctions d’onde de Dirac. Cette procédure est équivalente à la
réduction des β′µ et à la restriction des considérations à la représentation de rang 10 seulement :
Belinfante, ainsi, avait étudié seulement la formulation de la théorie de Proca.
Pour terminer, il est important de noter, aussi, que la formulation décrite, jusqu’ici, a une
certaine ressemblance avec celle de Dirac
∂µγµψ + κψ = 0, (2.68)
et non avec son alternative1
c∂tψ + ∂kαkψ + iκγ4ψ = 0. (2.69)
Par contre, en prenant
Aµ =1
2(αµ ⊗ I + I ⊗ αµ) , (α4 = γ4) , (2.70)
alors, nous obtenons1
c∂tψ + ∂kAkψ + iκA4ψ = 0. (2.71)
C’est l’équation d’onde fondamentale relative au méson.
Boumali Abdelmalek 14
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
2.5 La formulation Hamiltonienne
2.5.1 cas libre
Multiplions (2.1) par β4 :
∂4β24ψ + ∂kβ4βkψ + κβ4ψ = 0, (2.72)
ainsi que (2.11), par 1− β24
∂4
(1− β2
4
)ψ − ∂kβkβ4ψ = 0. (2.73)
Faisons la somme des deux équations, nous obtenons
1
c∂tψ + ∂k
(βkβ4 − β4βk)
iψ + iκβ4ψ = 0. (2.74)
Les matrices(βkβ4 − β4βk)
i, (2.75)
sont donc les analogues de (2.69) des matrices αk de la théorie de Dirac.
Alors
H0 =c~i∂k
(βkβ4 − β4βk)
i+mc2β4, (2.76)
est, par conséquent, H0 est l’hamiltonien relatif à la théorie de méson. Cet hamiltonien n’est
pas hermétique à l’exception le cas ou les matrices β vérifient les deux relations suivantes :
β0† = β0, βk† = −βk. (2.77)
Alors, l’équation (2.74) devient
i~∂ψ
∂t=(−~cβ̃k∂k +mc2β4
)ψ ≡ H0ψ, (2.78)
avec β̃k = βkβ4 − β4βk.
Comme
E =1
i
∫ψ†(−~i
∂
∂t
)ψdV =
1
i
∫ψ†β4HψdV, (2.79)
H0 représente, donc, la forme possible de l’opérateur de l’énergie.
Remarquons que l’équation (2.74) ne contient pas toutes les informations sur l’équation
d’onde originale (2.1) : lors de la multiplication par β4, la partie de (2.1), relative à la valeur
Boumali Abdelmalek 15
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
propre 0 de β4, a été supprimée. Cette partie omise peut être fixée en multipliant (2.1) par
1− β24 . Nous obtenons alors
∂kβkβ24ψ +
(1− β2
4
)κψ = 0, (2.80)
équation où le temps ne figure pas. Cette équation peut être considérée comme une condition
initiale que doit satisfaire la fonction d’onde, alors que les équations (2.74) et (2.80), sont
équivalentes à (2.1).
Prenons, maintenant, le conjugué hermétique de (2.84), donc
i~∂0ψ† = −~c∂kψ†β̃k +mc2ψ†β4. (2.81)
Multiplions, l’équation (2.78) à gauche par ψ†, (2.81) à droite par ψ, et en sommant les résultats,
nous trouvons l’équation de continuité comme suit
∂0
(ψ†ψ
)+ ∂k
(ψ†β̃kψ
)= 0, (2.82)
où sk = ψ†β̃kψ est le quadrivecteur densité-courant avec s4 = ψ†ψ > 0.
2.5.2 en présence d’une interaction électromagnétique
En présence d’une interaction électromagnétique, l’hamiltonien (2.76) se modifie et devient
H =c~i∂k
(βkβ4 − β4βk)
i+mc2β4 −
ie
κFνρ (βρβ4βν − δρ4βν) . (2.83)
Alors l’équation de Schrödinger est
i~∂ψ
∂t=
(−~cβ̃k∂k +mc2β4 −
ie
κFνρ (βρβ4βν − δρ4βν)
)ψ ≡ (H0 +HI)ψ, (2.84)
De même, la condition (2.80), change et devient
∂−k βkβ24ψ +
(1− β2
4
)κψ = 0. (2.85)
Une propriété intéressante de l’hamiltonien, donné par (2.83), est la suivante : pour une onde
plane avec
E = c(p2 +m2c4
) 12 , (2.86)
on a la relation suivante
H3ψ = E2Hψ. (2.87)
Cette équation donne, comme valeurs propres de l’opérateur H, les valeurs 0 et ±E.
Boumali Abdelmalek 16
Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau
2.6 Cas ou la masse est nulle : formalisme de Harish-Chandra
Pour les particules bosoniques de spin 0 et 1, et ayant une masse nulle, Chandra [24] a
montré qu’on peut reformulé l’équation de DKP pour ce type de particules sans passer à la
limite m −→ 0.
En effet, suivant (3.37), au lieu de prendre l’équation (2.1), considérons l’équation [24]
iβµ∂µψ +mΓψ = 0, (2.88)
avec Γ est une matrice ayant les propriétés suivantes
Γ2 = Γ, (2.89)
Γβµ + βµΓ = βµ. (2.90)
Multiplions (2.88) à gauche par 1− Γ,
iβµ∂µ (Γψ) = 0, (2.91)
et encore (2.88) par ∂λβλβν à gauche. Il vient
∂λβλβν (Γψ) = ∂ν (Γψ) , (2.92)
et suivant (2.91) et (2.92), nous obtenons
� (Γψ) = 0. (2.93)
C’est ainsi que d’après (2.93), la fonction d’onde (Γψ) est solution libre d’une équation de type
Klein-Gordon sans masse.
Boumali Abdelmalek 17
Chapitre 3
L’équation de DKP en présence despotentiels d’Aharonov-BohmCoulombien
Il s’agit dans ce chapitre de solutionner l’équation de DKP en présence de deux potentiels :
le potentiel Coulombien (C) et le potentiel d’Aharonov-Bohm (AB).
Ce chapitre a fait l’objet de trois publications ; deux nationales dans la : Revue Scientifique
de l’Université de Constantine (2002 et 2003), et une internationale dans le : Canadian Journal
of Physics (2004).
3.1 Cas des particules de spin-0
3.1.1 Cas du potentiel d’Aharonov-Bohm
L’équation libre de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) est la suivante
(iβκ∂κ − µc2
)ψ = 0. (3.1)
Dans le cas des bosons scalaires où vectoriels de masse µ, l’équation de DKP (3.1) relativiste
libre s’écrit encore : (c−→β · −→p + µc2
)ψ = i~β0 ∂ψ
∂t, (3.2)
où les matrices βκ avec (κ = 0, 1, 2, 3), obéissent aux relations suivantes [6]
βκβνβλ + βλβνβκ = gκνβλ + gνλβκ, (3.3)
18
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
avec gκν est le tenseur métrique relatif à l’espace-temps de Minkowski.
Rappelons que les βκadmettent deux représentations irréductibles non triviales :
– une de dimension 5 pour les particules de spin-0
– et une autre de dimension 10 pour les particules de spin-1.
Limitons nous, dans notre cas, aux particules de spin-0 soumises à l’action du potentiel
d’Aharonov-Bohm. Les matrices βκ nous les choisissons suivant [25,26] comme suit
β0 =
(v 0̃
0T 0
);βi =
(0̂ ρi
−ρiT 0
)avec i = 1, 2, 3, (3.4)
avec
v =
(0 11 0
); ρ1 =
(−1 0 00 0 0
); ρ2 =
(0 −1 00 0 0
); ρ3 =
(0 0 −10 0 0
), (3.5)
où 0̃, 0̂, 0 sont des matrices nulles de dimensions respectives 2 × 3, 2 × 2, 3 × 3. L’état ψ qui
décrit l’évolution du système est un spineur de dimension 5
ψ (r) =
(ψupperiψlower
), ψupper ≡
(φϕ
), ψlower ≡
A1
A2
A3
. (3.6)
Pour une particule sans spin et de charge q et interagissant avec le potentiel d’Aharonov-Bohm
(AB) [27], l’équation (3.1) devient
(cβ(−→p − q
c
−−→AB)
+ µc2)ψ = β0Eψ, (3.7)
En utilisant les définitions des matrices β, (3.7) se réduit, pour la composante φ, à l’équation
suivante (c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2))
φ = 0. (3.8)
Nous pouvons alors distinguer deux cas.
3.1.1.1 le potentiel (AB) à deux dimensions
Notre potentiel d’Aharonov-Bohm (AB) [27–30] nous le choisissons à deux dimensions.
Il a pour composantes
(AB)x = − Φ
2π
y
r2, (AB)y =
Φ
2π
x
r2. (3.9)
Boumali Abdelmalek 19
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
La composante A3 est par conséquent nulle.
Introduisons ce vecteur dans l’équation (3.8), nous avons(− ~2
2µ
(−→∇r − i
qΦ
2π~c−→∇θ)2
− 1
2µc2
(E2 −
(µc2)2))
φ = 0. (3.10)
Dans les coordonnées polaires, ce potentiel s’écrit par
−−→AB =
Φ
2π
−→∇θ, avec
−→∇θ =
1
r−→e θ. (3.11)
Posons
Φ = m0Φ0, (3.12)
oùqΦ
2π~c= m0 et Φ0 =
hc
q. (3.13)
Comme conséquence de (3.13), le flux magnétique du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB) est
proportionnel à Φ0.
Évaluons l’expression suivante (−→∇r − i
qΦ
2π~c−→∇θ)2
. (3.14)
En coordonnée polaire, elle s’écrit comme suit(−→∇r − i
qΦ
2π~c−→∇rθ
)2
=
(∂2
∂r2+
1
r
∂
∂r
)+
1
r2
(∂
∂θ− im0
)2
. (3.15)
En utilisant le résultat de l’équation (3.15), l’équation relative au potentiel (AB) devient(d2
dr2+
1
r
d
dr+
1
r2(∂
∂θ− im0)2 +
E2 −(µc2)2
(~c)2
)φ = 0. (3.16)
Passons à la résolution de cette équation.
Décomposons la solution en un produit de parties radiale et angulaire
φ (r, θ) = R (r) Θ (θ) . (3.17)
Trouvons d’abord la partie angulaire
Boumali Abdelmalek 20
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Expression de la partie angulaire L’équation de DKP, dans ce cas, est la suivante(d2
dr2+
1
r
d
dr+
1
r2(∂
∂θ− im0)2 +
E2 −(µc2)2
(~c)2
)φ = 0. (3.18)
Cherchons la partie angulaire solution de
d2Θ (θ)
dθ2− 2i (m0)
dΘ (θ)
dθ+(m2 −m2
0
)Θ (θ) = 0. (3.19)
L’équation (3.19) est une équation différentielle du deuxième ordre facile à résoudre. Sa solution
globale est
Θ (θ) = ei(m−m0)θ. (3.20)
Alors
φm (r, θ) = R (r) ei(m−m0)θ. (3.21)
Notons que la condition habituelle R(0) = 0, exceptée pour m = m0, doit être vérifiée.
Expression de la partie radiale L’équation à résoudre est la suivante
d2R (r)
dr2+
1
r
dR (r)
dr+
(E2 − µ2c4
(~c)2 − m20
r2
)R (r) = 0. (3.22)
PosonsqΦ
2π~c= m0 = m+ ν, (3.23)
où m est un entier et 0 ≤ ν ≤ 1. Dans ce cas la, le flux Φ n’étant pas un multiple entier de Φ0.
Alorsd2R (r)
dr2+
1
r
dR (r)
dr+
(E2 −
(µc2)2
(~c)2 −(m+ ν
r
)2)R (r) = 0. (3.24)
Notons par
k2 =E2 − µ2c4
(~c)2 , p = m−m0, (3.25)
l’équation (3.24) devient
d2R (r)
dr2+
1
r
dR (r)
dr+ (k2 − p2
r2)R (r) = 0. (3.26)
Introduisons la nouvelle variable z = kr, et multiplions par z2, (3.26) devient
z2 d2R (r)
dz2+ z
dR (r)
dz+ (z2 − p2)R (r) = 0. (3.27)
Boumali Abdelmalek 21
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
L’équation (3.27) se met sous la forme
x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0, (3.28)
avec
n = p = m+ ν. (3.29)
Cette équation admet pour solution les fonctions de Bessel Jp. Ces fonctions de Bessel de
premier espèce d’ordre p ont comme développement la série suivante
Jm+ν (kr) =
∞∑s=0
(−1)s
s! (s+m+ ν + 1)
(kr
2
)|m+ν+2s|
. (3.30)
Distinguons alors deux cas :
Si p n’est pas entier, alors Φ ne l’est pas aussi : nous avons donc deux solutions Jp (kr) et
J−p (kr) linéairement indépendantes, et la solution générale est une combinaison de ces deux
solutions
aJp (kr) + bJ−p (kr) ,
avec a et b des constantes arbitraires. Avec la fonction de Neumann d’ordre p
Np (kr)=Jp (kr) cos pπ − J−p (kr)
sin pπ. (3.31)
la partie radiale lui est directement reliée
Rm (r) = CNm+ν (kr) . (3.32)
Maintenant, si p est entier, alors Φ est aussi entier ( ν = 0) : les deux solutions sont reliées par
la relation suivante :
J−p (kr) = (−1)pJp (kr) , (3.33)
et la partie radiale est simplement
Rm (r) = CJ|m+ν| (kr) . (3.34)
La solution générale est
ψm (r, θ) =
φEµc2φ
−(
~cµc2
)(−→∇ − i qΦ
2π~c−→∇rθ
)φ
, (3.35)
Boumali Abdelmalek 22
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
avec
i−→Am (r, θ) = i
A1
A2
0
≡ −~camµc2
∂∂r
1r
(∂∂θ − i (m+ ν)
)∂∂θ
0
φm (r, θ) . (3.36)
L’énergie de la particule et le vecteur−→k sont reliés par
E = ±√
(~ck)2
+ (µc2)2. (3.37)
avec
k2 =(p~
)2
, (3.38)
3.1.1.2 le potentiel (AB) à trois dimensions
La particule dans ce cas est soumise à l’action d’un potentiel-vecteur crée par un solénoïde
de longueur infinie. Le flux étant toujours Φ. Supposons que (OZ) est l’axe du solénoïde.
En coordonnées sphériques, nous choisissons le potentiel (AB) comme suit [28]
Ar = 0, Aθ = 0, Aϕ =Φ
2πr sin θ(3.39)
D’après (3.16) et (3.39), nous obtenons− (~c)2
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)+ c2
(−→L
r
)2φ =
(E2 −
(µc2)2)
φ, (3.40)
avec−→L = −→r ∧
(−i~−→∇ − q
c
−−→AB). (3.41)
est le moment angulaire.
Le carré−→L 2, et sa composante suivant (OZ), sont définis par
−→L 2 = −~2
[1
sin θ
d
dθ
(sin θ
d
dθ
)+
1
sin θ
(d
dϕ− im0
)2], (3.42)
Lz = −i~(d
dϕ− im0
). (3.43)
Alors, l’équation (3.40) devient[d2
dr2+
2
r
d
dr+
1
r2
(1
sin θ
d
dθ
(sin θ
d
dθ
)+
1
sin θ
(d
dϕ− im0
)2)
+E2 −
(µc2)2
(~c)2
]φ = 0.
(3.44)
Boumali Abdelmalek 23
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Cherchons évidemment pour cette équation la solution, sous une forme séparable, comme suit
φ (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ) . (3.45)
Expression de la partie radiale Reportons (3.45) dans (3.44), nous avons, pour la com-
posante radiale R (r), l’équation différentielle suivante[d2
dr2+
2
r
d
dr+
(E2 −
(µc2)2
(~c)2 − l (l + 1)
r2
)]R (r) = 0, (3.46)
avec l (l + 1) sont les valeurs propres de l’opérateur L2.
Changeons de notations et posons :
ξ = kr, k2 =E2 − µ2c4
(~c)2 , (3.47)
alors (3.46) devient [d2
dξ2+
2
ξ
d
dξ+
(1− l (l + 1)
ξ2
)]R (ξ) = 0. (3.48)
La solution générale est donnée par
Rl (r) = ajl (kr) + bηl (kr) . (3.49)
où a et b sont deux constantes. Deux possibilités [31] se présentent, cependant pour la compo-
sante φ.
Si la particule est libre dans tout l’espace, incluant l’origine r = 0, alors la fonction d’onde
doit être finie partout et particulièrement au point r = 0. Par conséquent, il est nécessaire que
b = 0 et donc
Rl (r) = ajl (kr) . (3.50)
Par contre, si la particule, à l’extérieur d’une sphère de rayon ρ0, est libre, dans ce cas a
et b sont différents de zéro 1. Pour les fixer , il faut utiliser la condition de continuité sur la
surface de la sphère.
Dans notre cas, les solutions auront forme suivante
Rl (r) = anormjl (kr) . (3.51)
1. ici la solénoïde est supposé avoir un rayon finie
Boumali Abdelmalek 24
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Expression de la partie angulaire La fonction d’onde doit évidemment vérifier la condi-
tion au bord suivante
ψ (r, θ, ϕ) |θ=0,π= 0. (3.52)
Suivant Krestzschmer et Chang [28,32], désignons par χlλ (θ, ϕ) les fonctions propres de Lz et
L2 et par λ~ et l (l + 1) ~2 leurs valeurs propres.
Alors, on a
Lzχlλ (θ, ϕ) = λ~χlλ (θ, ϕ) , L2χlλ (θ, ϕ) = l (l + 1) ~2χlλ (θ, ϕ) (3.53)
avec
λ = m−m0, m = 0,±1,±2, ..., (3.54)
et
l = |λ|+ k, k = 0, 1, 2, ..., (3.55)
D’après les deux équations (3.54) et (3.55), on peut apercevoir que les deux valeurs propres de
L2et Lz dépendent de m0 : c-a-d : dépend du flux magnétique Φ due au potentiel (AB).
Chun [28], a montré que les relations habituelles du moment cinétique
−→L ∧−→L = i~
−→L , (3.56)
qui conduit à
[Lz, L±] = ±~L±, (3.57)
avec [L2, L±
]= 0,
où les opérateurs d’échelles L± sont L± = Lx ± iLy, peuvent être remplacées, dans le cas du
potentiel d’Aharonov-Bohm, par
−→L ∧−→L = i~
−→L + iq~−→r
(−→r · −→B) , (3.58)
dont−→B =
Φ
πr2δ(cos2 θ − 1
)−→u z. (3.59)
Boumali Abdelmalek 25
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
est le champ magnétique. Notons que le deuxième terme additif de l’équation (3.58) est nul
lorsque la position est perpendiculaire au champ.
En utilisant la relation suivante [28]
δ(cos2 θ − 1
)=
[δ (cos θ − 1) + δ (cos θ + 1)]
2, (3.60)
l’équation (3.58) se transforme à
−→L ∧−→L = i~
−→L + 2iq~m0δ
(cos2 θ − 1
)−→u z.Ainsi, les relations de commutations relatives au moments angulaire se modifient en présence
du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB). Suivant Chun [28], elles sont les suivantes
[Lz, L±] = ±~L±,[L2, L±
]= ∓2m0~2
(L±δ
(cos2 θ − 1
)+ δ
(cos2 θ − 1
)L±). (3.61)
Les fonctions d’ondes χlλ (θ, ϕ) s’écrivent comme suit [28],
χlλ (θ, ϕ) = cl,λP−|λ|l (cos θ) ei(mϕ), (3.62)
où P |λ|l (cos θ) sont les polynômes de Légendre. La constante de normalisation cl,λest donnée
par
cl,λ = exp
(iπ
2λ+
iπ
2|λ|){
2l + 1
4π
Γ (l + |λ|+ 1)
Γ (l − |λ|+ 1)
} 12
, (3.63)
Supposons que le flux n’est pas un entier : c’est à dire m0 6= k ou k est un entier. Alors, d’après
le signe de λ, nous avons deux solutions différentes correspondant aux deux sous espaces S+ et
S− de l’espace d’Hilbert total S . Par conséquence, nous obtenons deux solutions radiales (Eq.
(3.51)) qui différent suivant les valeurs des deux constantes l et λ. Suivant cette distinction,
les solutions sont alors
– dans le sous espace S+, où λ1 = m−m0 > 0 et l1 = λ1 +k , la partie angulaire et radiale
prennent la forme suivante
χl1λ1(θ, ϕ) = cl1,λ1
P−|λ1|l1
(cos θ) ei(mϕ), (3.64)
Rl1 (r) = anormjl1 (kr) . (3.65)
Boumali Abdelmalek 26
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Le spineur total est
ψl1λ1 (r, θ, ϕ) =
1Eµc2
−i cµc2
(−→p − qc
−−→AB)φλ1l1 (r, θ, ϕ) , (3.66)
avec
φλ1l1 (r, θ, ϕ) = anormcl1,λ1jl (kr)P−|λ1|l1
(cos θ) ei(mϕ), (3.67)
– dans le sous espace S−, où λ2 = m − m0 < 0 et l2 = −λ2 + k. la partie angulaire et
radiale sont
χl2λ2(θ, ϕ) = cl2,λ2
P−|λ2|l2
(cos θ) ei(mϕ), (3.68)
Rl2 (r) = anormjl2 (kr) . (3.69)
Le spineur total s’écrit par
ψl2λ2(r, θ, ϕ) =
1Eµc2φ
−i cµc2
(−→p − qc
−−→AB)φ
φλ2l2 (r, θ, ϕ) , (3.70)
avec
φnλ2l2 (r, θ, ϕ) = anormcl2,λ2jl2 (kr)P
−|λ2|l2
(cos θ) ei(mϕ). (3.71)
Pour les deux cas, l’énergie E a la forme suivante
E = ±√
(~ck)2
+ (µc2)2, (3.72)
−→k , étant le vecteur d’onde de la particule incidente, dont
k2 =(p~
)2
. (3.73)
3.1.2 Cas du potentiel Coulombien (C)
Considérons l’équation de DKP dans un potentiel Coulombien :
(cβ−→p + µc2
)ψ = i~β0 (E − qV )ψ. (3.74)
Il est facile d’obtenir une équation d’onde par rapport à la composante φ comme suit(− ~2
2µ∇2 − 1
2µc2
((E − qV )
2 −(µc2)2))
φ = 0. (3.75)
Boumali Abdelmalek 27
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
D’après (3.75), la particule de spin-0 dans le potentiel Coulombien se comporte de la même
façon qu’une particule non relativiste de spin-1/2 dans un champ central.
La fonction d’onde φ se sépare en un produit
φ (r, θ, ϕ) = R (r)Y (θ, ϕ) , (3.76)
de deux fonctions angulaire (les harmoniques sphériques) Y (θ, ϕ), fonctions propres de L2, et
radiale R(r).
En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), l’hamiltonien de système est
H = − ~2
2µ
((1
r2
∂
∂r
(r2 ∂
∂r
))+
1
r2L2
)+ U (r) . (3.77)
Alors l’équation pour la partie radiale est[− ~2
2µr2
d
dr
(r2 d
dr
)+
λ~2
2µr2+ U (r)
]R (r) = 0. (3.78)
La partie angulaire a pour solution [31,33]
Y ml (θ, ϕ) =
√2l + 1
4π
(l −m)!
(l +m)!(−1)
meimϕPml (cos θ) . (3.79)
Par contre, pour la partie radiale, R (r) satisfait à
1
r2
d
dr
(r2 dR (r)
dr
)+
− l (l + 1)−(qk~c
)2
r2− 2qkE
(~c)2r−(µc2)2 − E2
(~c)2
R (r) = 0. (3.80)
Pour trouver la solution, introduisons la variable sans dimension ρ = ξr, et faisons les change-
ments suivantes
ξ2 =4((µc2)2 − E2
)(~c)2 , γ =
qk
~c, ζ =
2Eγ
~cξ. (3.81)
Alors, (3.80) devient
1
ρ2
d
dρ
(ρ2 dR (r)
dρ
)+
[− l (l + 1)− γ2
ρ2− ζ
ρ− 1
4
]R (r) = 0. (3.82)
Effectuons, encore, un autre changement
R (r) = ρae−ρ2w (ρ) , (3.83)
Boumali Abdelmalek 28
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
nous trouvons alors, pour w (ρ), l’équation suivante
d2w
dρ2+dw
dρ
[2 (a+ 1)
ρ− 1
]+
[a (a− 1)
ρ2− ζ + a
ρ− l (l + 1)− γ2
ρ2
]w = 0. (3.84)
Fixons a par
a (a− 1) = l (l + 1)− γ2, (3.85)
ou bien
a =1
2±
((l +
1
2
)2
− γ2
) 12
. (3.86)
Utilisons la condition (3.85), et multiplions (3.84) par ρ, l’équation (3.84) se transforme à
ρd2w
dρ2+dw
dρ[2 (a+ 1)− ρ]− [ζ + a]w = 0. (3.87)
L’équation (3.87) admet alors comme solution une fonction hypergéométrique confluente
w (ρ) = Nnorm1F1 (ζ + a; 2 (a+ 1) ; ρ) . (3.88)
A la limite ρ → ∞, la partie radiale doit satisfaire la condition suivante R (ρ) → 0. Alors,
la fonction w (ρ), dans (3.83) est donc une série convergente. Cette condition est satisfaite
seulement si
ζ + a = −n, (3.89)
avec n un entier positif. La constante a, d’après (3.86), est choisi comme suit
a =1
2−
((l +
1
2
)2
− γ2
) 12
. (3.90)
La fonction d’onde w (ρ) s’écrit, enfin, par
w (ρ) = Nnorm1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; ρ) , (3.91)
avec Nnorm est une constante de normalisation, qui est égale à
Nnorm =Γ (2a+ 3 + n)
Γ (2a+ 3)×
((n− 2a− 1)
4π (n!)3
(2n− 2a− 1)
) 12
. (3.92)
Le spectre des énergies est donc
E = µc2[1 +
γ2
ζ2
]− 12
, (3.93)
Boumali Abdelmalek 29
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
ou encore
En = µc2
1 +γ2(
n+ 12 −
((l + 1
2
)2 − γ2) 1
2
)2
− 1
2
. (3.94)
Le spineur total est
ψnlm (r, θ, ϕ) =
1E−q krµc2
− cµc2−→p
φ, (3.95)
avec
φnlm (r, θ, ϕ) = Nnormρae−
ρ2 1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; 2ρ)Y ml (θ, ϕ) . (3.96)
3.1.3 Cas de la combinaison des deux potentiels : (AB) plus Coulomb3.1.3.1 Cas de la dimension deux
La partie radiale relative à la particule de spin-0 dans le champ combinaison de (AB) plus
Coulomb à deux dimensions est
d2R(r)
dr2+
1
r
dR(r)
dr+
[2µ
~2
(E2 −
(µc2)2
2µc2
)− 2µ
~2
(2qκE
2µc2
)1
r−
(m+ ν)2 −
(qκ~c)2
r2
]R(r) = 0,
(3.97)
Passons à la variable sans dimension ρ
ρ = ξr, (3.98)
avec
ξ2 =4((µc2)2 − E2
)(~c)2 , γ =
qκ
~c, ζ =
2Eγ
~cξ, (3.99)
nous obtenons l’équation
d2R (ρ)
dρ2+
1
ρ
dR (ρ)
dρ+
[−1
4+ζ
ρ− (m+ ν)
2 − γ2
ρ2
]R (ρ) = 0. (3.100)
Effectuons encore le changement suivant
R (ρ) = e−ρ2 ρbu (ρ) . (3.101)
Après un simple calcul sur les dérivées, (3.97), devient
d2u (ρ)
dρ2+du (ρ)
dρ
[−1 +
2b
ρ
]+ u (ρ)
[− bρ− ζ
ρ+b (b− 1)
ρ2− (m+ ν)
2 − γ2
ρ2
]= 0. (3.102)
Boumali Abdelmalek 30
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
D’après (3.102), b satisfait à
b (b− 1) = (m+ ν)2 − γ2. (3.103)
c’est à dire
b =1
2
(1±
√1 + 4
((m+ ν)
2 − γ2))
. (3.104)
En multipliant, (3.102) par ρ, nous avons
ρd2u (ρ)
dρ2+ (2b− ρ)
du (ρ)
dρ− (b+ ζ)u (ρ) = 0. (3.105)
Cette équation admet comme solution, une fonction de type hypergéométrique confluente
u (ρ) = N ′norm1F1 (b+ ζ; 2b; ρ) . (3.106)
Pour que R (ρ) → 0 pour ρ → ∞, il est aussi nécessaire que u (ρ) soit une série convergente.
Cette condition est satisfaite aussi pour
ζ + b = −n, (3.107)
avec n un entier positif. Ainsi b doit être négatif, et s’écrit par
b =1
2
(1−
√1 + 4
((m+ ν)
2 − γ2))
. (3.108)
Le spectre d’énergie est le suivant
Enm = µc2
1 +γ2(
n+ 12 −
12
√1 + 4
((m+ ν)
2 − γ2))2
− 1
2
. (3.109)
A partir de (3.109), nous constatons la dépendance de l’énergie de la particule avec les para-
mètres du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB) et du potentiel Coulombien. Nous pouvons faire
trois remarques, sur le spectre d’énergie
– en l’absence du potentiel (AB), ν = m0 = 0, la forme de l’énergie (3.109) se réduit à
celle d’une particule relativiste dans un potentiel Coulombien à deux dimensions.
– si ν = 0 et m0 6= 0, alors la quantité qΦ2π~c prend des valeurs entiers différentes de zéros.
Dans ce cas, les énergies sont les mêmes.
Boumali Abdelmalek 31
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
– en supprimant le potentiel Coulombien V = 0, nous obtenons le spectre relatif à (AB).
La composante φ est donc
φnm (r, θ) = N ′norm1F1 (−n; 2b; ρ) e−ρ2 ρbei(m−m0)θ, (3.110)
et par conséquence, le spineur total est
ψnm (r, θ) =
1(
E−q krµc2
)−(
~cµc2
)(−→∇ − i qΦ
2π~c−→∇rθ
)φ. (3.111)
3.1.3.2 Cas de la dimension trois
L’équation dans ce cas est
c2(−→p − q
c
−−→AB)2
φ =(
(E − qV )2 −
(µc2)2)
φ. (3.112)
Cette équation, comme dans le cas de la dimensions deux, décrit le mouvement de la particule
dans un potentiel combiné (AB) plus (C). La solution est évidemment le produit de deux
parties, radiale et angulaire
φ (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ) . (3.113)
La partie radiale obéit à d2
dr2+
2
r
d
dr+E2 −
(µc2)2
(~c)2 − 2qE
(~c)2
1
r−l (l + 1)−
(qk~c
)2
r2
R (r) = 0. (3.114)
Résolvons, maintenant, l’équation(3.114). Pour cela, en utilisant la variable sans dimension
ρ = ξr, et en posant que
ξ2 =4((µc2)2 − E2
)(~c)2 , γ =
qk
~c, ζ =
2Eγ
~cξ> 0,
l’équation (3.114) devient
1
ρ2
d
dρ
(ρ2 dR (r)
dρ
)+
[− l (l + 1)− γ2
ρ2− ζ
ρ− 1
4
]R (r) = 0. (3.115)
En faisant les mêmes changements que dans le cas du potentiel Coulombien, nous trouvons
une équation différentielle par rapport à w (ρ), définie par (3.83), comme suit
ρd2w
dρ2+dw
dρ[2 (a+ 1)− ρ]− [ζ + a]w = 0. (3.116)
Boumali Abdelmalek 32
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
La solution de cette équation est la suivante
w (ρ) = C1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; ρ) (3.117)
avec a est
a =1
2−
((l +
1
2
)2
− γ2
) 12
, (3.118)
et C est une constante de normalisation.
De la même façon que dans le cas du potentiel Coulombien, (3.114) nous donne un spectre
d’énergie comme suit :
En = µc2
1 +γ2(
n+ 12 −
((l + 1
2
)2 − γ2) 1
2
)2
− 1
2
. (3.119)
Contrairement au cas de la dimension deux (3.109), le spectre d’énergie, d’après (3.119), dé-
pend uniquement des paramètres du potentiel de Coulomb : il y’a une absence apparente des
paramètres du potentiel d’Aharonov-Bohm. Cette dépendance de (AB) apparaît en utilisant
les règles de commutations globalisées de Chun [28] : d’après Chun, les valeur propre l , dans
l’équation (3.119), ont une dépendance avec le flux magnétique Φ.
Elles suivent la relation suivante
l = |m−m0|+ κ avec κ = 0, 1, 2, ... (3.120)
Le spectre d’énergie (3.119) devient
Enm = µc2
1 +γ2(
n+ 12 −
(((|m−m0|+ κ) + 1
2
)2 − γ2) 1
2
)2
− 1
2
. (3.121)
Le spectre, d’après (3.121), dépend ainsi de tous les paramètres.
La partie radiale est
Rn (r) = Cρae−ρ2 1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; ρ) . (3.122)
Boumali Abdelmalek 33
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Expression de la partie angulaire Pour la partie angulaire les solutions sont les mêmes
que dans le cas du potentiel d’Aharonov-Bohm. En considérant le signe de la constante λ,
nous avons alors deux solutions différentes, correspondantes aux deux sous espaces S+ et S−
de l’espace d’Hilbert total S. Par conséquence, nous obtenons deux solutions radiales (3.122)
suivant les valeurs des deux constantes l et λ
– dans le sous espace S+, où λ1 = m − m0 > 0 et l1 = λ1 + k , les parties angulaire et
radiale ont les formes suivantes
χl1λ1(θ, ϕ) = cl1,λ1
P−|λ1|l1
(cos θ) ei(mϕ), (3.123)
Rn (r) = Cρa1e−ρ2 1F1 (−n; 2 (a1 + 1) ; ρ) , (3.124)
avec
a1 =1
2−
((l1 +
1
2
)2
− γ2
) 12
. (3.125)
Le spineur total est
ψnl1λ1(r, θ, ϕ) =
1Eµc2
−i cµc2
(−→p − qc
−−→AB)φnλ1l1 (r, θ, ϕ) , (3.126)
dont
φnλ1l1 (r, θ, ϕ) = cl1,λ1Cρa1e−
ρ2 1F1 (−n; 2 (a1 + 1) ; ρ)P
−|λ1|l1
(cos θ) ei(mϕ). (3.127)
– dans le sous espace S−, où λ2 = m−m0 < 0 et l2 = −λ2 + k, nous obtenons
χl2λ2(θ, ϕ) = cl2,λ2
P−|λ2|l2
(cos θ) ei(mϕ), (3.128)
Rn (r) = Cρa2e−ρ2 1F1 (−n; 2 (a2 + 1) ; ρ) , (3.129)
avec
a2 =1
2−
((l2 +
1
2
)2
− γ2
) 12
. (3.130)
Le spineur est
ψnl2λ2(r, θ, ϕ) =
1Eµc2φ
−i cµc2
(−→p − qc
−−→AB)φ
φnλ2l2 (r, θ, ϕ) , (3.131)
Boumali Abdelmalek 34
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
dont
φnλ2l2 (r, θ, ϕ) = cl2,λ2Cρa2e−
ρ2 1F1 (−n; 2 (a2 + 1) ; ρ)P
−|λ2|l2
(cos θ) ei(mϕ). (3.132)
3.2 Particules de spin-1 dans le potentiel d’Aharonov-Bohm
Pour le cas des bosons vectoriels de masse µ, l’équation DKP relativiste libre est la suivante(cβ · −→p + µc2
)ψ = i~β0 ∂ψ
∂t. (3.133)
En présence du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB), l’équation de DKP devient(cβ ·
(−→p − q
c
−−→AB)
+ µc2)ψ = β0Eψ, (3.134)
où les matrices β ont la forme suivantes [25,26]
β0 =
0T 0 0 0
0T
0 I 0
0T
I 0 0
0T
0 0 0
, βi =
0 0 ei 0
0T
0 0 −isi−eT 0 0 0
0T −isi 0 0
, (3.135)
avec si les matrices habituelles relatives au spin-1,
Sx =1√2
0 1 01 0 10 1 0
, Sy =1√2
0 −i 0i 0 −i0 i 0
, Sz =
1 0 00 0 00 0 −1
. (3.136)
I et 0 sont respectivement les matrices identité et nulle .
L’état du système ψ est un spineur de dimension dix. Il s’écrit comme suit
ψ (r) =(iϕ−→A (r)
−→B (r)
−→C (r)
)T, (3.137)
avec
−→A ≡
(A1 A2 A3
)T,−→B ≡
(A1 A2 A3
)T,−→C ≡
(A1 A2 A3
)T. (3.138)
Par un calcul simple, nous trouvons les relations suivantes
µc2ϕ = ic(−→p − q
c
−−→AB)−→B, (3.139)
µc2−→A = E
−→B − c
(−→p − q
c
−−→AB)∧−→C , (3.140)
µc2−→B = E
−→A + ic
(−→p − q
c
−−→AB)ϕ, (3.141)
µc2−→C = −c
(−→p − q
c
−−→AB)∧−→A. (3.142)
Boumali Abdelmalek 35
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
3.2.1 le potentiel (AB) à deux dimensions
Pour ce cas, le potentiel (AB) a pour composantes
(AB)x = − Φ
2π
y
r2, (AB)y =
Φ
2π
x
r2(3.143)
Considérons la composante ϕ en premier lieu.
La composante ϕ Multiplions (3.140) et (3.141) par −→p − qc
−−→AB, et éliminons les composantes
−→A et
−→B, alors [
c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2)]
ϕ = 0. (3.144)
ou encore (d2
dr2+
1
r
d
dr+
1
r2(∂
∂θ− im0)2 +
E2 −(µc2)2
(~c)2
)ϕ = 0. (3.145)
Avec la forme séparable
ϕ (r, θ) = R (r) Θ (θ) , (3.146)
nous obtenons pour la partie angulaire(∂
∂θ− im0
)2
Θ (θ) = −m2Θ (θ) , (3.147)
équation dont la solution générale est
Θ (θ) = ei(m−m0)θ. (3.148)
Ainsi, l’équation (3.146) devient
ϕm (r, θ) = R (r) ei(m−m0)θ. (3.149)
Pour la partie radiale, R(r) obéit à
d2R (r)
dr2+
1
r
dR (r)
dr+
(E2 −
(µc2)2
(~c)2 −(mr
)2)R(r) = 0. (3.150)
Comme dans le cas de spin-0, et en utilisant (3.24) et (3.25), (3.150) se ramène à
z2 d2R (r)
dz2+ z
dR (r)
dz+ (z2 − p2)R (r) = 0, (z = kr) , (3.151)
Boumali Abdelmalek 36
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
dont la solution est
Jm+ν (kr) =
∞∑s=0
−1s
s! (s+m+ ν + 1)
(kr
2
)|m+ν+2s|
. (3.152)
La partie radiale est alors
Rm (r) = anormJm+ν (kr) . (3.153)
Enfin, la composante ϕ est
ϕm (r, θ) = anormJm+ν (kr) ei(m−m0)θ. (3.154)
La composante−→A Pour la composante
−→A , multiplions (3.142) par −→p − q
c
−−→AB,(−→p − q
c
−−→AB)∧−→C = − 1
µc
(−→p − q
c
−−→AB)∧(−→p − q
c
−−→AB)∧−→A. (3.155)
Multiplions aussi (3.139 ) par −→p − qc
−−→AB, nous obtenons(−→p − q
c
−−→AB)−→A =
E
µc2
(−→p − q
c
−−→AB)−→B =
E
µc2(−iµc)ϕ = − iE
cϕ. (3.156)
Avec l’identité vectorielle bien connue
−→p ∧ −→p ∧−→A = −→p
(−→p −→A)− (−→p 2)−→A, (3.157)
nous avons
µc2−→A = E
−→B−c
(−→p − q
c
−−→AB)∧−→C = E
−→B+
1
µ
[(−→p − q
c
−−→AB)(−→p − q
c
−−→AB)−→A −
(−→p − q
c
−−→AB)2−→
A
].
(3.158)
Avec (3.156), l’équation (3.158) se transforme à
µc2−→A = E
−→B − iE
µc
(−→p − q
c
−−→AB)ϕ− 1
µ
(−→p − q
c
−−→AB)2−→
A. (3.159)
Utilisons le lien entre−→B et
−→A , il vient
µc2−→A = E
(E
µc2−→A +
i
µc
(−→p − q
c
−−→AB)ϕ
)− iEµc
(−→p − q
c
−−→AB)ϕ− 1
µ
(−→p − q
c
−−→AB)2−→
A, (3.160)
ou encore
µc2−→A =
E2
µc2−→Aϕ− 1
µ
(−→p − q
c
−−→AB)2−→
A. (3.161)
Boumali Abdelmalek 37
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Alors, (3.161) se réduit à(c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2))−→
A = 0, (3.162)
avec
~AT =(A1 A2 A3
). (3.163)
L’équation (3.162) peut être réduite, pour une seule composante A1, comme suit(c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2))
A1 = 0. (3.164)
Après un développement simple, nous obtenons(d2
dr2+
1
r
d
dr+
1
r2(∂
∂θ− im0)2 +
E2 −(µc2)2
(~c)2
)A1 = 0, (3.165)
où la composante A3 est nulle. La composante A2 suit la même équation différentielle que la
composante A1.
Remarquons que (3.165) a la même forme que celle relative à la composante ϕ, alors
A1m (r, θ) = ϕm (r, θ) , (3.166)
ou encore
A1m (r, θ) = anormJm+ν (kr) ei(m−m0)θ. (3.167)
La composante finale de ~A, s’écrit, alors, par :
−→Am (r, θ) =
110
anormJm+ν (kr) ei(m−m0)θ. (3.168)
Pour les autres composantes, ~B et ~C, nous pouvons les déduire à partir des solutions relatives
aux deux composantes−→A et ϕ. Elles ont, alors les suivantes
La composante−→B Connaissant les solutions des composantes ϕ (r, θ) et A (r, θ), les com-
posantes de−→B sont
B1m (r, θ) =E
µc2A1m (r, θ) + ~c
∂ϕm (r, θ)
∂r, (3.169)
B2m (r, θ) =E
µc2A1m (r, θ) +
~cr
(∂
∂θ− i qΦ
2π~c
)ϕm (r, θ) , (3.170)
B3m (r, θ) = 0. (3.171)
Boumali Abdelmalek 38
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
La composante−→C Pour la composante
−→C , en utilisant (3.142), nous trouvons
C1m (r, θ) = 0, (3.172)
C2m (r, θ) = 0, (3.173)
C3m (r, θ) =i~µc
(∂
∂r− 1
r
(∂
∂θ− i qΦ
2π~c
))A1m (r, θ) . (3.174)
3.2.2 le potentiel (AB) à trois dimension
Dans ce cas, la particule se trouve en présence d’un potentiel vecteur crée par un solénoïde de
longueur infinie. Le flux étant Φ = m0Φ0 avec Φ0 = hc/q. Utilisons les coordonnées sphériques
en prenant pour axe OZ , l’axe du solénoïde.
Choisissons alors les composantes du potentiel (AB) comme suit
Ar = 0, Aθ = 0, Aϕ =Φ
2πr sin θ(3.175)
La composante ϕ Comme dans le cas de la dimension deux, et en suivant la même démarche,
nous avons [c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2)]
ϕ = 0. (3.176)
L’équation (3.176) est semblable à celle trouvée pour le cas de spin-0, alors− (~c)2
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)+ c2
(−→L
r
)2
−(E2 −
(µc2)2)ϕ = 0, (3.177)
En coordonnées sphérique, elle devient[d2
dr2+
2
r
d
dr+
1
r2
(1
sin θ
d
dθ
(sin θ
d
dθ
)+
1
sin θ
(d
dϕ− im0
)2)
+E2 −
(µc2)2
(~c)2
]ϕ = 0.
(3.178)
Séparons la partie radiale de celle qui est angulaire :
Pour la partie radiale, nous avons[d2
dr2+
2
r
d
dr− j (j + 1)
r2+E2 −
(µc2)2
(~c)2
]Rj (r) = 0, (3.179)
avec j (j + 1) est les valeurs propres de l’opérateur J2.
Boumali Abdelmalek 39
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Posons
ξ = kr, k2 =E2 − µ2c4
(~c)2 , (3.180)
alors, l’équation (3.176) devient[d2
dξ2+
2
ξ
d
dξ+
(1− j (j + 1)
ξ2
)]R (ξ) = 0. (3.181)
Cette équation admet deux solutions indépendantes
jj (ξ) =
√π
2ξJj+ 1
2(ξ) = (−1)
j
(d
dξ
)j (sin ξ
ξ
), (3.182)
ηj (ξ) = (−1)j+1
√π
2ξJ−j− 1
2(ξ) = (−1)
j+1
(d
dξ
)j (cos ξ
ξ
). (3.183)
Les jj (ξ) (3.182) sont les fonctions de Bessel sphériques. La solution, pour un j fixé, est alors
Rj (r) = ajj (kr) + bηj (kr) . (3.184)
où a et b sont deux constantes qui se fixent par les conditions aux limites ainsi que par la
condition de normalisation.
Dans notre cas, nous avons
Rj (r) = anormjj (kr) , (3.185)
anorm étant une constante de normalisation.
Pour la partie angulaire, et comme dans le cas de la dimension deux , les solutions nous les
choisissons suivant le signe de la constante λ. Nous avons alors deux situations correspondantes
aux deux sous espaces S+ et S− de l’espace total S.
– dans le sous espace S+, ou λ1 = m − m0 > 0 et l1 = λ1 + k, les parties angulaire et
radiale sont
χj1λ1(θ, ϕ) = cj1,λ1
P−|λ1|j1
(cos θ) ei(mϕ), (3.186)
Rj1 (r) = anormjj1 (kr) . (3.187)
La composante ϕ est donc
ϕnj1m (r, θ, ϕ) = cj1,λ1anormjj1 (kr)P−|λ1|j1
(cos θ) ei(mϕ), (3.188)
Boumali Abdelmalek 40
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
avec
|l1 − 1| ≤ j1 ≤ l1 + 1. (3.189)
– dans le sous espace S−, ou λ2 = m −m0 < 0 et l2 = −λ2 + k, les parties angulaire et
radiale sont
χj2λ2 (θ, ϕ) = cj2,λ2P−|λ2|j2
(cos θ) ei(mϕ), (3.190)
Rj2 (r) = anormjj2 (kr) . (3.191)
Alors, la composante ϕ s’écrit comme suit :
ϕnj2m (r, θ, ϕ) = cj2,λ2anormjj2 (kr)P−|λ2|j2
(cos θ) ei(mϕ), (3.192)
avec
|l2 − 1| ≤ j2 ≤ l2 + 1. (3.193)
La composante−→A Avec la même démarche utilisée dans le cas de la dimension deux pour
les composantes de−→A (voir (3.155) à (3.160)), nous obtenons l’équation(
c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2))−→
A = 0, (3.194)
qui, après réduction, pour la seule composante A1, nous avons[c2(−→p − q
c
−−→AB)2
−(E2 −
(µc2)2)]
A1 = 0. (3.195)
ou encore − (~c)2
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)+ c2
(−→L
r
)2
−(E2 −
(µc2)2)A1 = 0. (3.196)
Les deux autres composante, A2 et A3, suivent la même équation différentielle que la compo-
sante A1.
En coordonnées sphériques, l’équation (3.196) devient[d2
dr2+
2
r
d
dr+
1
r2
(1
sin θ
d
dθ
(sin θ
d
dθ
)+
1
sin θ
(d
dϕ− im0
)2)
+E2 −
(µc2)2
(~c)2
]A1 = 0.
(3.197)
Cherchons la solution sous une forme séparable comme suit
A1 (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ) = R (r)χ (θ, ϕ) . (3.198)
Boumali Abdelmalek 41
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Pour la partie radiale, elle vérifie l’équation suivante(d2
dr2+
2
r
d
dr− j (j + 1)
r2+E2 −
(µc2)2
(~c)2
)Rj (r) = 0, (3.199)
Posons que
ξ = kr, k2 =E2 − µ2c4
(~c)2 , (3.200)
alors, l’équation (3.199) se réécrit par une autre façon comme suit[d2
dξ2+
2
ξ
d
dξ+
(1− j (j + 1)
ξ2
)]Rj (ξ) = 0,
dont la solution est
Rj (r) = anormjj (kr) , (3.201)
Pour la partie angulaire, suivant le signe de λ, nous avons
– dans le sous espace S+, où λ1 = m − m0 > 0 et l1 = λ1 + k, les parties angulaire et
radiale ont les formes suivantes
χj1λ1(θ, ϕ) = cj1,λ1
P−|λ1|j1
(cos θ) ei(mϕ), (3.202)
Rj1 (r) = anormjj1 (kr) . (3.203)
La solution, pour la composante A1, est alors
(A1)nj1m (r, θ, ϕ) = cj1,λ1anormjj1 (kr)P−|λ1|j1
(cos θ) ei(mϕ). (3.204)
– dans le sous espace S−, où λ2 = m −m0 < 0 et l2 = −λ2 + k, les parties angulaire et
radiale sont les suivantes
χj2λ2(θ, ϕ) = cj2,λ2
P−|λ2|j2
(cos θ) ei(mϕ), (3.205)
Rj2 (r) = anormjj2 (kr) . (3.206)
La solution est alors
(A1)nj2m (r, θ, ϕ) = cj2,λ2anormjj2 (kr)P
−|λ2|j2
(cos θ) ei(mϕ). (3.207)
Les deux autres composantes (A2)nj2m (r, θ, ϕ)et (A2)nj2m (r, θ, ϕ) ont la même forme que
(A1)nj2m (r, θ, ϕ).
Pour les autres composantes, ~B et ~C, les solutions sont résumées comme suit :
Boumali Abdelmalek 42
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
Composante−→B Cette composante peut être déterminées à partir des composantes ϕ (r, θ, φ)
et A (r, θ, φ).
Alors, ces composantes sont
– pour le sous espace S+, où λ1 = m−m0 > 0 et l1 = λ1 + k,
B1 (r, θ, φ) =E
µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c ∂
∂rϕ (r, θ, ϕ) , (3.208)
B2 (r, θ, φ) =E
µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c1
r
∂
∂θϕ (r, θ, ϕ) , (3.209)
B3 (r, θ, φ) =E
µc2A1 (r, θ, ϕ)− ic
(~∂
∂φ+q
c
Φ
2πr sin (θ)
)ϕ (r, θ, ϕ) . (3.210)
– pour le sous espace S−, où λ2 = m−m0 < 0 et l2 = −λ2 + k,
B1 (r, θ, φ) =E
µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c ∂
∂rϕ (r, θ, ϕ) , (3.211)
B2 (r, θ, φ) =E
µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c1
r
∂
∂θϕ (r, θ, ϕ) , (3.212)
B3 (r, θ, φ) =E
µc2A1 (r, θ, ϕ)− ic 1
r sin (θ)
(~∂
∂φ+q
c
Φ
2π
)ϕ (r, θ, ϕ) . (3.213)
Composante−→C Pour la composante
−→C , en utilisant (3.142), nous avons
– pour le sous espace S+, où λ1 = m−m0 > 0 et l1 = λ1 + k.
C1 (r, θ, φ) =i~µc
(1
r
∂
∂θA3 +
1
r sin θ
(~∂
∂φ+q
c
Φ
2π
)A2
), (3.214)
C2 (r, θ, φ) =i~µc
(1
r sin θ
(~∂
∂φ+q
c
Φ
2π
)A1 −
∂
∂rA3
), (3.215)
C3 (r, θ, φ) =i~µc
(∂
∂rA2 −
1
r
∂
∂θA1
). (3.216)
– pour le sous espace S−, où λ2 = m−m0 < 0 et l2 = −λ2 + k.
C1 (r, θ, φ) =i~µc
(1
r
∂
∂θA3 +
1
r sin θ
(~∂
∂φ+q
c
Φ
2π
)A2
), (3.217)
C2 (r, θ, φ) =i~µc
(1
r sin θ
(~∂
∂φ+q
c
Φ
2π
)A1 −
∂
∂rA3
), (3.218)
C3 (r, θ, φ) =i~µc
(∂
∂rA2 −
1
r
∂
∂θA1
). (3.219)
Boumali Abdelmalek 43
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
3.3 Discussion des résultats
Avant de discuter les résultats relatifs aux particules de spin 0 et 1, donnons, d’abord,
un aperçu sur le problème du critère de l’admissibilité de la fonction d’onde posé par l’effet
d’Aharonov-Bohm 2, et qui a donné lieu a de nombreux travaux [34–41].
Henneberg [35], en se basant sur le critère de Pauli (voir l’annexe E), a conclu que l’effet
du potentiel (AB), s’il existe, ne peut pas être interprété comme une dispersion. Ainsi l’effet
(AB) n’aurait aucune influence sur le système physique, et il peut être considéré comme jouant
un rôle purement mathématique 3. Cependant, en 1982, une série d’expériences menées par des
Japonais [44], a mis en évidence la réalité physique de l’effet du potentiel (AB).
Par ailleurs, Kretzschmar [32] a étudié le problème des valeurs propres du moment angulaire
(KAM) 4 de l’électron, en présence de l’effet de (AB). Il a surtout montré que l’espace Hilbert
total relatif aux fonctions propres du (KAM ), à cause de cet effet, se subdivise en deux sous-
espaces. Cette décomposition étant due essentiellement à la brisure de la symétrie dans le
mouvement de la particule autour du flux crée par le solénoïde 5. On dit que l’espace est
multiplement connexe.
A cause de cette asymétrie, et suite à cet effet physique de (AB), le critère de Pauli n’est
plus valable. Ainsi suivant Kretzschmar [32], le (KAM ) de la particule suit d’autres relations
de commutation que celle habituelles.
Revenons aux particules de spin-0 dans les cas des dimensions deux et trois.
Avec le potentiel (AB), le spectre obtenu est un spectre relative à une particule relativiste
libre. Sa dépendance par rapport aux paramètres du potentiel (AB) est direct pour le cas de
la dimensions deux, contrairement au cas de la dimension trois, où elle n’est pas évidente.
Lorsqu’il y a présence de (AB) en plus de Coulomb, le spectre, dans le cas de la dimension
deux, dépend des paramètres des deux potentiels.
Par contre, dans le cas de la dimension trois, cette dépendance semble perdue : elle est uni-
quement avec ceux du potentiel Coulombien. Cette situation s’explique en prenant les relations
2. en particulier, le cas à trois dimensions3. voir l’annexe B4. Kinetic Angular Momentum5. la région où le champ magnétique existe étant inaccessible à la pénétration
Boumali Abdelmalek 44
Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien
des commutations données par Chun [29] au lieu des relations habituelles.
Pour le cas des particules de spin-1, la fonction d’onde a été déterminée et il a été trouvé
que le spectre d’énergie dépend directement des paramètres du potentiel (AB). Pour le cas de
la dimension trois, la dépendance du spectre n’est pas explicite. Les règles de commutations
globales de Chun [29], nous permet d’envisager cette dépendance par rapport aux paramètres
du potentiel (AB).
Le cas combiné, c-a-d., le potentiel Coulombien en présence du potentiel (AB) n’est pas
considéré ici à cause de la situation confuse entre [25] et [47], pour le cas du potentiel Coulom-
bien : le spectre dans [47] est exacte contrairement dans [25] ou il a une forme approximative.
Boumali Abdelmalek 45
Chapitre 4
L’Oscillateur deDuffin-Kemmer-Petiau
Ce chapitre a fait l’objet d’une publication internationale dans : Physics. Letters A (2005).
Pour la compréhension physique de l’oscillateur de DKP , voir l’annexe D.
4.1 Construction du potentiel de l’oscillateur de DKP
L’équation de Kemmer est la suivante
(βµpµ −Mc) ΨK = 0, (4.1)
avec M est la masse totale des deux particules de spin-1/2.
Les matrices de Kemmer βµ (µ = 0, 1, 2, 3) sont des matrices 16× 16, satisfont à la relation
de Duffin
βµβνβλ + βλβνβµ = gµνβλ + gλνβµ, (4.2)
avec
βµ = γµ ⊗ I + I ⊗ γµ. (4.3)
Ici, I est une matrice d’identité 4× 4, γµ sont les matrices de Dirac, et ⊗ indique un produit
direct.
En présence du potentiel relatif à l’oscillateur de Dirac, l’opérateur −→p , dans l’équation de
Kemmer (4.1), est remplacé par−→p − iMωB−→r , où le terme additionnel est linéaire par rapport
à r.
46
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
Ainsi, l’équation de Kemmer, pour une interaction de ce type d’oscillateur, est la suivante
[(γ0 ⊗ I + I ⊗ γ0
)E − c (γo ⊗−→α +−→α ⊗ γo) · (−→p − iMωB−→r )−Mc2γ0 ⊗ γ0
]ΨK = 0, (4.4)
avec ω est la fréquence d’oscillateur.
Dans ce travail, nous avons choisi l’opérateur B = γ0⊗γ0 (avecB2 = 1) au lieu de η0 utilisé
dans [25]. Cette forme de B nous est suggérée par le travail de Dvoeglazov [45].
Dans ce qui suit, nous nous concentrons sur les solutions de l’équation (4.4).
4.2 Les spectres d’énergies pour les particules de spin-1
L’état stationnaire ΨK de (4.4) est une fonction d’onde possédant 16 composante.
Il est le suivant
ΨK = ΨD ⊗ΨD =(ψ1 ψ2 ψ3 ψ4
)T, (4.5)
où ΨD est la solution de l’équation de Dirac.
Reportons ΨK de (4.5) dans (4.4), nous obtenons, alors quatre équations algébriques
(2E −Mc2
)ψ1 − c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ2 − c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ3 = 0, (4.6)
−c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ1 +Mc2ψ2 + c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ4 = 0, (4.7)
−c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ1 +Mc2ψ3 + c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ4 = 0, (4.8)
c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ2 + c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ3 −(2E +Mc2
)ψ4 = 0. (4.9)
D’après ces équations, nous avons
ψ2 = ψ3, ψ1 =2c−→σ · (−→p + iMω−→r )
2E −Mc2ψ2, ψ4 =
2c−→σ · (−→p + iMω−→r )
2E +Mc2ψ2. (4.10)
Éliminons ψ1, ψ3, ψ4 en faveur de ψ2,[−2c2−→σ . (−→p − iMω−→r )−→σ . (−→p + iMω−→r )
2E −Mc2+
2c2−→σ . (−→p − iMω−→r )−→σ . (−→p + iMω−→r )
2E +Mc2+Mc2
]ψ2 = 0.
(4.11)
En utilisant les relations bien connues
(−→σ · −→a )(−→σ · −→b ) = −→a ·
−→b + i−→σ ·
(−→a ×−→b ) , [−→r ,−→p ] = 3i~, (4.12)
Boumali Abdelmalek 47
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
le terme −→σ · (−→p − iMω−→r )−→σ · (−→p + iMω−→r ) devient
−→σ · (−→p − iMω−→r )−→σ · (−→p + iMω−→r ) = p2 +M2ω2r2 + 3Mω~ + 2Mω−→σ ·−→L , (4.13)
avec−→L = −→r ×−→p étant le moment angulaire orbital.
L’équation (4.12) peut être réécrite sous une autre forme :
−→σ · (−→p − iMω−→r )−→σ · (−→p + iMω−→r ) = p2 +M2ω2r2 + 3Mω~ +4Mω
~−→L · −→s , (4.14)
avec−→s = ~2−→σ est l’opérateur spin-1/2.
Donc, la fonction d’onde ψ2, vérifiée la relation suivante[c2(p2 +M2ω2r2 + 3Mω~ +
4Mω
~−→L .−→s
)−
(E2 −
(Mc2
2
)2)]
ψ2 = 0. (4.15)
Nous pouvons voir que le terme p2+M2ω2r2+3Mω~+ 4Mω~−→L ·−→s de l’équation (4.15) commute
avec le moment angulaire totale−→J =
−→L +
−→S , avec
−→S étant le spin total.
En coordonnées sphériques, la fonction d’onde ψ2 se décompose comme suit [31]
ψ2 (r, θ, ϕ) =∑υ
〈1lυ,m− υ | jm〉χ1υYl,m−υ (θ, ϕ)Fnl (r) ≡ Fnl (r)Yjlm (θ, ϕ) , (4.16)
dont
Yjlm (θ, ϕ) =∑υ
〈1lυ,m− υ | jm〉χ1υYl,m−υ (θ, ϕ) , (4.17)
où Yl,m−υsont les harmoniques sphériques et 〈1lυ,m− υ | jm〉 les coefficients de Clebesch-
Gordan (CG).
La fonction χ1υ est une fonction de spin pour les trois projections υ = 1, 0,−1, c.-à-d [31]
χ11 =
100
, χ10 =
010
, χ1−1 =
001
. (4.18)
Comme, l’opérateur 4−→L · −→s , avec
4−→L .−→s = J2 − L2 − S2, (4.19)
a pour valeur propre
~2 [j (j + 1)− l (l + 1)− 2] , ou S = 1, (4.20)
Boumali Abdelmalek 48
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
alors, en insérant (4.16) dans (4.15), et en faisant le changement suivant
Fnl (r) = Rnl (r) /r, (4.21)
nous donne l’équation d’ondes radiale suivante d2
dr2− M2ω2r2
~2− l (l + 1)
r2− 3Mω
~− Mω
~(j (j + 1)− l (l + 1)− 2) +
E2 −(Mc2
2
)2
~2c2
Rnl (r) = 0.
(4.22)
Cette équation s’écrit encore par{d2
dr2− M2ω2r2
~2− l (l + 1)
r2+
2M
~2ζ
}Rnl (r) = 0, (4.23)
avec
ζ =E2 −
(Mc2
2
)2
2Mc2− 3~ω
2− ~ω
2(j (j + 1)− l (l + 1)− 2) . (4.24)
Notons que l’équation (4.24) est semblable à l’équation de Schrödinger en présence d’un oscil-
lateur non-relativiste tridimensionnelle. Elle décrit le mouvement d’une particule de la masse
M dans un potentiel ou un puits d’un oscillateur sphérique φ (r) = Mω2r2/2 [31].
La fonction Rnl (r), et par conséquentFnl (r), est la fonction d’onde radiale de l’état quan-
tique tridimensionnel défini par le nombre radial de quantum n et par le nombre angulaire
orbital l.
Dans le but de résoudre l’équation (4.23), nous avons adopté les nouvelles variables sans
dimensions ξ et ε, défini par
ξ =r
a, ε =
ζ
~ω, (4.25)
dont a =√
~Mω a la dimension d’une longueur.
Alors, l’équation (4.23) se transforme à(d2
dξ2− ξ2 − l (l + 1)
ξ2+ 2ε
)R (ξ) = 0. (4.26)
Introduisons la nouvelle variable z = ξ2, et soit la fonction W (z), relié à R (ξ) par,
R (ξ) = e−z2 zκW (z) , (4.27)
Boumali Abdelmalek 49
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
Nous avons alors [zd2
dz2+
(2κ+
1
2− z)d
dz+ n
]W (z) = 0, (4.28)
avec les paramètres κ et n tels que
4κ
(κ− 1
2
)= l (l + 1) ,
ε
2− κ− 1
4= n. (4.29)
D’après l’équation (4.29), nous déduisons que
κ =1
2(l + 1) . (4.30)
La solution de l’équation (4.28) est donc
W (z) = λnorm1F1
(−n; 2κ+
1
2; z
), (4.31)
où 1F1
(−n; 2κ+ 1
2 ; z)est la fonction hypergéométrique.
A la limite où z → ∞, la fonction d’onde radiale R (ξ) tends vers zéro. Pour cela, W (z)
doit être une fonction convergeante. Cette condition n’est satisfaite que si n est un nombre
entier positif [31].
La fonction d’onde ψ2 correspondante est
(ψ2)njlm (r, θ, ϕ) =λnorm
ξe−
ξ2
2 ξl+11F1
(−n; l +
3
2; ξ2
)Yjlm (θ, ϕ) , (4.32)
avec λnorm est un facteur de normalisation.
La substitutions des équations (4.25), (4.29) et (4.30) dans (4.24 ), donnent les valeurs
propres suivantes Enj
E2nj − (m∗)
2c4
2m?c2= 2~ω
[2n+ l + 2 +
1
2(j (j + 1)− l (l + 1))
]. (4.33)
avec m? = M2 est la masse de la particule de spin-1/2.
Rappelons que la parité de la fonction d’onde sphérique Yjlm est égale à (−1)j si l = j et à
(−1)j+1 si l = j ± 1. Par conséquent, les équations (4.32) et (4.33) peuvent être découplées en
deux parties liés aux parités (−1)j et (−1)
j+1. Nous appelons (−1)j les solutions de natural-
parity states , et (−1)j+1 les solutions de unatural-parity states.
Boumali Abdelmalek 50
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
– Pour le cas de natural-parity states, les valeurs propres ENj sont
E2Nj − (m∗)
2c4
2m?c2= 2~ω (N + 2) , (4.34)
où N = 2n+ j est le nombre quantique principal.
On peut voir, d’après (4.34), que les niveaux de l’oscillateur sont équidistants et dégénérés.
La fonction d’onde associée est
(ΨK)njjm (r, θ, ϕ) =
2c−→σ ·(−→p +iMω−→r )
2E−Mc2
11
2c−→σ ·(−→p +iMω−→r )2E+Mc2
λnorm
ξe−
ξ2
2 ξj+1 ×1 F1
(−n; j +
3
2; ξ2
)Yjjm (θ, ϕ) .
(4.35)
Dans la limite classique, en utilisant la relation E = ε+m∗c2, et dans la limite non-relativiste
ε << m∗c2, l’équation (4.34) se transforme en
E2Nj − (m∗)
2c4
2m?c2∼= ε ' 2~ω (N + 2) (4.36)
– Pour la cas de unnatural-parity states, les niveaux d’énergies ENj sont
E2Nj − (m∗)
2c4
2m?c2= 2~ω (N − j + 2) if l = j + 1, (4.37)
E2Nj − (m∗)
2c4
2m?c2= 2~ω (N + j − 1) , if l = j − 1. (4.38)
D’après les équations (4.37) et (4.38), les niveaux de l’oscillateur, dans les deux cas, sont
équidistants. Pour une valeur donnée de N − j (N + j), nous notons clairement que tous
les énergies ont une dégénérescence infinie. Ces niveaux, pour un nombre défini N − j (N +
j), sont appelés la couche de l’oscillateur [25]. La fonction d’onde totale correspondante est
(ΨK)nj±1jm (r, θ, ϕ).
Considérons, maintenant, la limite non-relativiste. Alors, les équations (4.37) et (4.38), se
transforment à
E2Nj − (m∗)
2c4
2m?c2∼= ε ' 2~ω (N − j + 2) if l = j + 1, (4.39)
E2Nj − (m∗)
2c4
2m?c2∼= ε ' 2~ω (N + j − 1) , if l = j − 1. (4.40)
D’après ces deux équations, on peut voir que nos valeurs propres sont semblables à ceux d’un
oscillateur non-relativiste à trois dimensions.
Boumali Abdelmalek 51
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
4.3 Discussion des résultats
Dans ce chapitre, nous avons résolu l’équation de Kemmer (ou de DKP), en présence de
l’oscillateur de Dirac, et en suivant la même démarche que celle utilisée par Moshinsky et
Szczepaniak [46] pour les particules de spin-1/2.
D’après les deux équations (4.37) et (4.38), notre spectre est semblable à celui de [46].
Dans la limite classique, ce spectre se réduit à celle d’un spectre d’un oscillateur harmonique
tridimensionnelles.
Ce potentiel a fait l’objet, par ailleurs, d’une étude faite par Nedjadi et Barrett [25]. Ces
auteurs ont déterminé, pour le cas des particules de spin-1, les états et le spectres de ces
particules. Ils ont, en particulier, trouvé, dans leurs spectre, un terme supplémentaire 4 (Eqs.
(37a) et (37b) dans [25]), qui n’a aucune interprétation physique évidente. Nos calculs ne font
pas apparaître ce terme.
Ce désaccord apparaît aussi dans d’autres travaux : Avec le potentiel Coulombien, l’analyse
décrite dans [25, 47], a, en effet, donné des résultats différents. A la différence de Nedjadi et
de Barrett [25], qui ont trouvé pour le spectre une forme approximative, Gönen et al [47] ont
montré que le spectre se détermine exactement.
En ce qui concerne la différence entre nos résultats et ceux obtenus dans [25], faisons trois
remarques .
Premièrement, la particule massive de spin-1, que nous considérons ici, constitue d’un sys-
tème de deux-particules de spin-1/2, au lieu d’une simple particule de spin-1. Donc, l’équation
de Kemmer est une équation de type de Dirac mais pour deux particules.
Deuxièmement, les matrices β, définies par βµ = γµ ⊗ I + I ⊗ γµ, satisfont aux règles de
commutation de Duffin. Elles sont dans leur représentation réductible, et chacune des trois re-
présentations inequivalentes de βµ est contenue juste une fois dans la représentation particulière
βµ.
Troisièmement, la fonction d’onde ΨK est supposée comme le produit de deux fonctions de
Dirac ΨD, et l’opérateur B est choisi comme le produit direct de deux opérateurs γ0, au lieu
η0 utilisé dans [25].
Boumali Abdelmalek 52
Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau
Selon ces arguments, et bien que nous ayons commencé par la même équation, nous obtenons
des résultats qui sont différents de ceux de [25].
Citons aussi d’autres études effectuées pour le cas de cet oscillateur, mais en utilisant un
autre formalisme :
Moshinsky et del Sol Mesa [48] ont trouvé, pour des particules de spin-1, une équation
séculaire du sixième ordre par rapport à l’énergie. Les solutions de leur équation algébrique
donnent un spectre assez compliqué.
D’autre part, Dvoeglazov [45] donne, pour ce type de particules, un spectre non quanti-
fié. La comparaison de nos résultats avec ceux de [45, 48] semble difficile. Malheureusement,
et dans notre meilleurs connaissances, nous ne disposons pas, pour le moment, de données
expérimentales pour pouvoir comparer se déterminer.
Récemment, Kulikov et al [49], ont publiés une méthode alternative concernant l’oscillateur
de DKP. Ces auteurs utilisent la même équation de démarrage que celle dans [25], mais en
prenant, lors de la substitution dans le moment ~p, l’opérateur −→p − imωK−→r au lieu de −→p −
imωη0−→r . La forme de K est choisie comme suit :
K = b1η0 + b2η5, (4.41)
dont
η0 = 2(β0)2 − 1, (4.42)
η5 = −(
2(β0)2 − 1
)(2(β1)2
+ 1)(
2(β2)2
+ 1)(
2(β3)2
+ 1). (4.43)
Leurs études donnent un spectre exacte, simple et non compliqué, contrairement dans [25].
Boumali Abdelmalek 53
Chapitre 5
L’équation deDuffin-Kemmer-Petiau et leparadoxe de Klein
Dans ce chapitre nous discutons le paradoxe de Klein bien connue dans l’équation de Dirac
(voir l’annexe E).
5.1 Équation DKP
L’équation libre de DKP est
(iβµ∂µ −m) Ψ = 0. (5.1)
En présence d’une interaction U , elle devient
(iβµ∂µ −m− U) Ψ = 0. (5.2)
La forme générale de l’opérateur U contient deux scalaires, deux vecteurs et deux tenseurs.
Comme dans le cas de l’équation de Dirac [50, 51], la forme la plus générale du terme U
est [10,11]
U (r) = S (r) + PSp (r) + βµVµ (r) + βµPVpµ (r) , (5.3)
où P est un projecteur. Suivant la valeur de spin, cet opérateur a la forme suivante :
– si la particule est de spin-0, cet opérateur est P =diag(
1 1 0 0 0)[10].
– par contre, si le spin est égale à 1, P = diag(
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0)[11].
54
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
Dans une forme dépendant du temps, l’équation (5.2) s’écrit par
(β0E + i
−→β ·−→∇ −m− U
)Ψ = 0. (5.4)
Si U possède une symétrie sphérique, il s’écrira, alors, dans une autre façon par [10]
U (r) = S (r) + PSp (r) + β0V 0 (r)−−→β · −→r V r (r) + β0PV 0
p (r)−−→β · −→r PV rp (r) . (5.5)
Effectuons, maintenant, le changement suivant [10] :
Ψ = exp
−i ∞∫r
[V r (r′) + PV rp (r′)
]dr′
ψ. (5.6)
Cette transformation sert à faire disparaître la partie spatiale de (5.5).
En Insérant les équations (5.5) et (5.6) dans (5.4), nous obtenons une autre équation d’onde
par rapport à la nouvelle fonction d’onde ψ comme suit :
[β0(E − V (r)− PV 0
p (r))
+ i−→β ·−→∇ − (m+ S (r) + PSp (r))
]ψ = 0. (5.7)
Comme résultat de (5.7), le terme d’interaction U à considérer est
U (r) = S (r) + PSp (r) + β0V (r) + β0PV 0p (r) . (5.8)
Notons que, d’après (5.7), la fonction d’onde ψ de (5.7) ne diffère de la fonction d’onde Ψ de
(5.4) que par un facteur de phase, et par conséquence le comportement physique est le même
pour les deux fonctions d’ondes.
Notre but principal, dans ce qui suit, est de résoudre l’équation (5.7), en présence d’un
potentiel pseudo-vecteur de type saut (step potential).
Avant de continuer notre étude, discutons brièvement les travaux de [17,18] sur les solutions
de l’équation de DKP dans un potentiel vecteur de type saut : Ghose (2003) [18] et Chetouani
[17], en comparant leurs équations avec l’équation (5.7), n’ont considéré que le terme β0V .
Ces travaux ont donné des résultats différents : dans [18], le paradoxe de Klein est absent, par
contre, il persiste toujours dans [17].
Dans notre cas, nous nous sommes concentré sur le deuxième terme β0PV 0p .
Boumali Abdelmalek 55
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
La forme du potentiel V 0p est la suivante
V 0p (x) = V0θ(x). (5.9)
où θ(x) est la fonction de Heaviside. Notons que, pour ce potentiel, l’équation de DKP, avec les
conditions aux limites habituelles, à savoir la continuité de la fonction d’onde, ainsi que de sa
dérivée ψ (0+) = ψ (0−) et ψ′ (0+) = ψ′ (0−), conduit à une solution triviale et non physique
ψ = 0. La même situation est trouvée dans [17].
Pour trouver les bonnes conditions aux limites considérons le potentiel ayant la forme
suivante
V 0p (x) =
V0
2
(1 + tanh
(x
2ρ
)), (5.10)
où V0 et ρ sont des paramètres positifs. A la limite où ρ→ 0, on obtient
limρ→0
Vp (x)→ V0(x). (5.11)
Le choix de ce potentiel, forme une bonne approximation pour le cas du potentiel pseudo-
vecteur. Sa valeur croît de 0 pour x = −∞ à V0 pour x = +∞, et son principal domaine se
réduit à l’intervalle −2ρ < x < 2ρ, ou, V 0p (−2ρ) = 0.1192V0 et V 0
p (2ρ) = 0.8807V0. Ce type
de choix est utilisé, aussi, par [17,52].
Résolvons l’équation (5.7) en présence du potentiel pseudo-vecteur ayant une forme définie
par (5.10).
Pour cela, dans le cas unidimensionnelle, et en se limitant au terme β0PV 0p , l’équation
(5.7) se réduit à (β0(E − PV 0
p (x))
+ iβ1 · ∂∂x−m
)ψ (x, t) = 0. (5.12)
Le potentiel étant indépendant du temps, considérons alors les états stationnaires. Choisissons,
alors, pour ψ (x, t), la forme suivante e−iEtφ (x), où φ est solution de l’équation suivante(β0(E − PV 0
p (x))
+ iβ1 · ddx−m
)φ (x) = 0. (5.13)
Dans ce qui suit, nous intéressons aux solutions de cette équation afin de trouver les coefficients
de réflexion et de transmission R et T , de discuter la possibilité de l’existence de paradoxe de
Klein dans les bosons.
Boumali Abdelmalek 56
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
5.2 Solutions de l’équation de DKP
5.2.1 spin-1
Démarrons de l’équation suivante(β0 (E − PVp(x)) + iβ1 · d
dx−m
)φ (x) = 0. (5.14)
D’après Kozak et al [11], les matrices 10× 10 satisfont à l’algèbre définie par (2.2).
Elles sont les suivantes
βµ =
(0 aµ
bµ 0
), (5.15)
avec aµ des matrices 4× 6, et bµ des matrices 6× 4.
Les matrices aµ sont
a0 =
0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0
, a1 =
1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −10 0 0 0 1 0
, (5.16)
a2 =
0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0
, a3 =
0 0 1 0 0 00 0 0 0 −1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0
, (5.17)
par contre les matrices bµ sont reliées à aµ par
bµ = gµµaTµ . (5.18)
La fonction d’onde φ (x) a dix composantes
φ =(φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 φ9 φ10
)T (5.19)
Dans notre cas, seul les matrices β0 et β1 interviennent. Il est facile de voir que trois compo-
santes φ3, φ4et φ5 sont seulement indépendantes, et satisfont aux équations suivantes(d2
dx2+ E (E − Vp)−m2
)Θ = 0, (5.20)
avec
ΘT =(φ3 φ4 φ5
). (5.21)
Boumali Abdelmalek 57
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
Les autres composantes sont
φ1 =i
m∂xφ3, φ2 =
E
mφ3, φ6 =
E − Vpm
φ3, φ7 =E − Vpm
φ3, φ8 = 0,
φ9 = − i
m∂xφ3, φ10 = − i
m∂xφ3 (5.22)
D’après (5.20), résolvons l’équation relative à φ3.(d2
dx2+ E (E − V )−m2
)φ3 = 0 (5.23)
Les composantes φ4 et φ5, admettent les mêmes solutions que φ3.
Faisons le changement de variable suivant
y =1
2
(1− tanh
(x
2ρ
)), (5.24)
avec x ∈ [0,∞]→ y ∈ [0, 1].
Suivant (5.24), la fonction d’onde φ3 vérifié
y2 (1− y)2 ∂
2φ3
∂y2+ y (1− y) (1− 2y)
∂φ3
∂y+ ρ2
{E [(E − V0 (1− y))]−m2
}φ3 = 0.
La solution de cette équation est de type hypergémétrique. Elle s’écrit comme suit
φ3 (x) = yλ (1− y)κ
2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) , (5.25)
dont
κ2 = ρ2(m2 − E2
), (5.26)
λ2 = ρ2(m2 − E (E − V0)
). (5.27)
Les solutions pour φ4 (x) et φ5 (x), sont(φ4
φ5
)=
(11
)yλ (1− y)
κ2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) . (5.28)
Pour les autres composantes, nous avons
φ2 =E
myλ (1− y)
κ2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) , (5.29)
(φ6
φ7
)=
(E−V0(1−y)
mE−V0(1−y)
m
)yλ (1− y)
κ2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) , (5.30)
Boumali Abdelmalek 58
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
φ1
φ9
φ10
=
i((κ+λ)y−λ)
mρ
− i((κ+λ)y−λ)mρ
− i((κ+λ)y−λ)mρ
yλ (1− y)κ
2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) + (5.31)
i(κ+λ)(λ+κ+1)
(1+2λ)mρ
− i(κ+λ)(λ+κ+1)(1+2λ)mρ
− i(κ+λ)(λ+κ+1)(1+2λ)mρ
y (1− y) yλ (y − 1)κ
2F1 ((κ+ λ) + 1, (λ+ κ+ 1) + 1; (1 + 2λ) + 1; y) ,
(5.32)
φ8 = 0. (5.33)
Ici, nous avons utilisés la propriété connue des fonctions hypergéométriques
d2F1 (a, b; c; y)
dy=ab
c2F1 (a+ 1, b+ 1; c+ 1; y) . (5.34)
Pour déterminer les coefficients de réflexion R et de transmission T , relativement au potentiel
(5.10), étudions, d’abord le comportement asymptotique à x→ ±∞ de la fonction d’onde.
Lorsque x→ +∞( y → 0), et d’après les équations (5.25), (5.28) jusqu’à (5.33), la fonction
d’onde transmise (x > 0) est
φtr (x) = e−λxρ
(− iλmρ
Em 1 1 1 E−V0
mE−V0
m 0 iλmρ
iλmρ
)T, (5.35)
où les limites
limy→0
yλ = e−λxρ , lim
y→0(1− y)
κ= 1, lim
y→02F1 (a, b; c; y) = 1, (5.36)
ont été utilisées.
Pour x→ −∞(y → 1), utilisons encore la propriété connue des fonctions hypergéométriques
[17]
2F1 (a, b; c; y) = A2F1 (a, b; a+ b− c+ 1; 1− y)+B(1−y)c−a−b2F1 (c− a, c− b; c− a− b+ 1; 1− y) ,
(5.37)
où A et B sont des constantes définies par
A =Γ (c) Γ (c− a− b)Γ (c− a) Γ (c− b)
, (5.38)
B =Γ (c) Γ (a+ b− c)
Γ (a) Γ (b). (5.39)
Boumali Abdelmalek 59
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
Alors φ3
φ4
φ5
=
Aeκxρ +Be−
κxρ
Aeκxρ +Be−
κxρ
Aeκxρ +Be−
κxρ
, (5.40)
φ2 =E
m
(Ae
κxρ +Be−
κxρ
), (5.41)(
φ6
φ7
)=E
m
(Ae
κxρ +Be−
κxρ
Aeκxρ +Be−
κxρ
), (5.42)
φ1
φ9
φ10
=iκ
mr
Be−κxρ −Ae
κxρ
Aeκxρ −Be−
κxρ
Aeκxρ −Be−
κxρ
, (5.43)
φ8 = 0. (5.44)
Nous avons, aussi, utilisé les limites suivantes
limy→1
yλ = 1, limy→1
(1− y)κ
= eκxρ , lim
y→1(1− y)
−κ= e
−κxρ , lim
y→02F1 (a, b; c; 1− y) = 1. (5.45)
Avec (5.40) jusqu’à (5.44), nous pouvons séparer φ (x) en deux fonctions d’onde : une incidente
φinc (x) et une autre réfléchie φref (x).
Donc,
φref (x) = Aeκxρ
(− iκmρ
Em 1 1 1 E
mEm 0 iκ
mρiκmρ
)T, (5.46)
φinc (x) = Be−κxρ
(iκmρ
Em 1 1 1 E
mEm 0 − iκ
mρ − iκmρ
)T. (5.47)
Il est facile maintenant de déterminer les coefficients de réflexion et de transmission.
En effet, en utilisant la définition du quadrivecteur densité-courant, le coefficient de réflexion
R et le coefficient de transmission T sont respectivement
R =
∣∣∣∣JrefJinc
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣Γ (λ+ κ) Γ (λ+ κ+ 1)
Γ (λ− κ+ 1) Γ (λ− κ)
∣∣∣∣2 , (5.48)
T =
∣∣∣∣ JtrJinc
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣λκ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (λ∗+λ)
∣∣∣ ∣∣∣∣ 1
B
∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣λκ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (λ∗+λ)
∣∣∣ ∣∣∣∣Γ (λ+ κ+ 1) Γ (λ+ κ)
Γ (1 + 2λ) Γ (2κ)
∣∣∣∣2 , (5.49)
où
Jinc =2iκ
mρ|B|2 , Jref =
2iκ
mr|A|2 et Jtr =
2iλ
mρ. (5.50)
Boumali Abdelmalek 60
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
Passons, maintenant, au potentiel de type saut (step). Pour cela faisons tendre ρ→ 0 dans les
calculs précédents.
Alors, nous avons
limρ→0
y (x > 0) = 0, (5.51)
limρ→0
y (x < 0) = 1. (5.52)
Comme conséquence, nous aurons :
pour le cas x < 0 φ3
φ4
φ5
=
111
Aeκxρ +Be−
κxρ , (5.53)
φ2 =E
m
(Ae
κxρ +Be−
κxρ
), (5.54)(
φ6
φ7
)=E
m
(Ae
κxρ +Be−
κxρ
Aeκxρ +Be−
κxρ
), (5.55)
φ1
φ9
φ10
=iκ
mr
Aeκxρ −Be−
κxρ
−Aeκxρ +Be−
κxρ
−Aeκxρ +Be−
κxρ
, (5.56)
φ8 = 0, (5.57)
par contre, pour le cas x > 0, nous obtenons φ3
φ4
φ5
= e−λxρ
111
, (5.58)
φ2 =E
me−
λxρ , (5.59)(
φ6
φ7
)=
(E−V0
mE−V0
m
)e−
λxr , (5.60)
φ1
φ9
φ10
=
−iλmρiλmρiλmρ
e−λxρ , (5.61)
φ8 = 0, (5.62)
avec
λ = −iρk, (5.63)
κ = −iρk1. (5.64)
Boumali Abdelmalek 61
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
D’après (5.26), (5.27 ), (5.63) et (5.64), nous avons
k21 = E2 −m2, (5.65)
k22 = E (E − V0)−m2. (5.66)
Le vecteur d’onde k2 peut, aussi, se réécrit sous la même suivante [50,51] :
k22 = (E − V ′)2 − (m∗)
2 (5.67)
où
m∗ =
√m2 + (V ′)
2, avecV ′ =
V0
2(5.68)
est une masse effective.
Nous avons finalement les fonctions d’onde pour le potentiel pseudo-vecteur comme suit :
– la fonction d’onde transmise (x > 0)
φtr (x) = eik2x(−k2m
Em 1 1 1 E−V0
mE−V0
m 0 k2m
k2m
)T, (5.69)
– le fonction d’onde incidente (x < 0)
φinc (x) = Beik1x(−k1m
Em 1 1 1 E
mEm 0 k1
mk1m
)T, (5.70)
– et, enfin, la fonction d’onde réfléchie(x < 0)
φref (x) = Ae−ik1x(
k1m
Em 1 1 1 E
mEm 0 −k1m −k1m
)T. (5.71)
Notons que, dans le cas x < 0, le spineur φ décrit une fonction d’onde incidente se déplaçant
vers la droite (k1est un nombre réel), et une fonction d’onde réfléchie se déplaçant vers la
gauche.
De l’autre côté, pour x > 0, le spineur φ décrit alors une fonction d’onde transmise se
déplaçant vers la droite si k2 est un nombre réel, par contre, si k2 n’est pas réel, la fonction
d’onde décroît d’une manière exponentielle.
Les coefficients de réflexion et de transmission peuvent être alors facilement déterminés.
Ils sont les suivants
Boumali Abdelmalek 62
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
R =
∣∣∣∣JrefJinc
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣AB∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣k1 − k2
k1 + k2
∣∣∣∣2 , (5.72)
T =
∣∣∣∣ JtrJinc
∣∣∣∣ =k2
k1
∣∣∣∣ 1
B
∣∣∣∣2 =4k1k2
(k1 + k2)2 , (5.73)
avec
Jinc = −2k1
m|B|2 , Jref =
−2k1
m|A|2 et Jtr =
−2k2
m. (5.74)
Les expressions de R et T ont été obtenues en utilisant les relations suivantes [17]
limρ→0
A =k1 − k2
2k1, limρ→0
B =k1 + k2
2k1. (5.75)
5.2.2 spin-0
La fonction d’onde φ a cinq composantes
φ =(φ1 φ2 φ3 φ4 φ5
)T, (5.76)
où φ1 vérifié (d2
dx2+ (E − V0 (1− y))
2 −m2
)φ1 = 0. (5.77)
Les matrices β0 et β1 utilisées sont ceux de [25].
Les autres composantes se déduisent facilement. Ils sont comme suit :
φ2 =E − V0 (1− y)
mφ1, φ3 =
i
m∂xφ1, φ4 = φ5 = 0 (5.78)
Comme φ1 a pour solution
φ1 (x) = yµ (1− y)ν
2F1
(µ+ ν +
1
2− υ0
2, µ+ ν +
1
2+υ0
2; 1 + 2ν; y
), (5.79)
alors, suivant une écriture compacte, on a que φ1
φ2
φ3
=
[1
2
(1− tanh
(x
2ρ
))]ν [1
2
(1 + tanh
(x
2ρ
))]µ(5.80)
[2F1
(α, β; γ;
1
2
(1− tanh
(x
2ρ
)))K (x) +2 F1
(α+ 1, β + 1; γ + 1;
1
2
(1− tanh
(x
2ρ
)))L (x)
](5.81)
Boumali Abdelmalek 63
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
φ4 = φ5 = 0, (5.82)
avec
K (x) =
1
E−V02 (1+tanh( x2ρ ))
m−i(ν−µ+ν2 (1−tanh( x
2ρ )))mρ
,L (x) =
00
−iβ(1−tanh( x2ρ ))(1+tanh( x
2ρ ))mργ
, (5.83)
et
µ2 = ρ2(m2 − E2
), (5.84)
ν2 = ρ2(m2 − (E − V0)
2), (5.85)
υ20 = (1− 2ρV0) (1 + 2ρV0) (5.86)
Étudions, maintenant, le comportement asymptotique ±∞ de la fonction d’onde .
Pour x→ +∞( y → 0), la fonction d’onde transmise est
φtr (x) = e−νxρ
(1 E−v0
m−iνmρ 0 0
)T, (5.87)
où les limites suivantes ont été utilisées
limy→0
yν = e−νxρ , lim
y→0(1− y)
µ= 1, lim
y→02F1 (a, b; c; y) = 1. (5.88)
Pour x→ −∞(y → 1), nous avons les fonctions d’ondes suivante comme suit :
– la fonction d’onde incidente
φinc (x) = Be−µxρ
(1 E
m−iµmρ 0 0
)T, (5.89)
– la fonction d’onde réfléchie
φref (x) = Aeµxρ
(1 E
m−iµmρ 0 0
)T, (5.90)
Aussi, nous avons utilisé les limites
limy→1
yν = 1, limy→1
(1− y)µ
= eµxρ , lim
y→1(1− y)
−µ= e
−µxρ , (5.91)
et la relation bien connue
2F1 (a, b; c; y) = A2F1 (a, b; a+ b− c+ 1; 1− y)+B(1−y)c−a−b2F1 (c− a, c− b; c− a− b+ 1; 1− y)
(5.92)
Boumali Abdelmalek 64
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
où
A =Γ (c) Γ (c− a− b)Γ (c− a) Γ (c− b)
, (5.93)
B =Γ (c) Γ (a+ b− c)
Γ (a) Γ (b), (5.94)
sont deux constantes.
Les coefficients de réflexion R et de transmission T sont respectivement
R =
∣∣∣∣JrefJinc
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣AB∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣∣Γ(ν + µ+ υ0
2 + 12
)Γ(ν + µ− υ0
2 + 12
)Γ(ν − µ+ υ0
2 + 12
)Γ(ν − µ− υ0
2 + 12
) ∣∣∣∣∣2
(5.95)
T =
∣∣∣∣JtransJinc
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣νµ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (ν∗+ν)
∣∣∣ ∣∣∣∣ 1
B
∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣νµ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (ν∗+ν)
∣∣∣ ∣∣∣∣∣Γ(ν + µ+ υ0
2 + 12
)Γ(ν + µ− υ0
2 + 12
)Γ (1 + 2ν) Γ (2µ)
∣∣∣∣∣2
(5.96)
où nous avons d’abord déterminé les courants
Jinc =2iµ
mre−
xρ (µ∗+µ) |B|2 , Jref =
2iµ
mre−
xρ (µ∗+µ) |A|2 et Jtr =
2iν
mρe−
xρ (ν∗+ν). (5.97)
A la limite ρ→ 0, comme dans le cas du spin-1, nous avons
– pour x > 0,
φtr (x) = eik2x(
1 E−V0
m−k2m 0 0
)T(5.98)
– et pour x < 0,
φinc (x) = Beik1x(
1 Em
−k1m 0 0
)T, (5.99)
φref (x) = Ae−ik1x(
1 Em
k1m 0 0
)T, (5.100)
dont
ν = −iρk2, (5.101)
µ = −iρk1 (5.102)
D’après (5.84 ), (5.85 ), (5.101) et (5.102), on a
k21 = E2 −m2 (5.103)
k22 = (E − V0)
2 −m2. (5.104)
Boumali Abdelmalek 65
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
Dans le cas limite, les coefficients de réflexion R et de transmission T sont finalement
R =
∣∣∣∣JrefJinc
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣AB∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣k1 − k2
k1 + k2
∣∣∣∣2 , (5.105)
T =
∣∣∣∣ JtrJinc
∣∣∣∣ =k2
k1
∣∣∣∣ 1
B
∣∣∣∣2 =4k1k2
(k1 + k2)2 . (5.106)
5.3 Discussion des résultats
Dans ce chapitre, nous avons déterminé les coefficients de réflexion et de transmission
pour l’équation de DKP en présence d’un potentiel pseudo-vecteur de type saut (step) afin de
discuter l’existence du paradoxe de Klein.
Les résultats trouvés, pour les cas de spin 0 et 1, sont les suivants
– Spin-1 :
D’après (5.65), k1 est toujours réel. Par contre, d’après (5.67), k2 est réel si E < V ′ −m∗ ou
E > V ′ +m∗, et il est imaginaire, si V ′ −m∗ < E < V +m∗. Donc, nous obtenons
pour le cas de la bande des énergies, E < V ′−m∗ou E > V ′+m∗, k2 étant réel, nous avons
donc
R+ T = 1 (5.107)
D’après (5.65) et (5.66), nous pouvons voir que k2 < k1. Alors, R est inférieur à 1 (R < 1), et
par conséquent le paradoxe de Klein est absent.
pour le cas de la bande des énergies V ′ −m∗ < E < V ′ + m∗, k2 est imaginaire, avec k1
toujours réel, nous avons
R = 1, T = 0 et T +R = 1 (5.108)
D’après (5.108), il y a, ici, une réflexion totale.
– Spin-0 :
Suivant (5.103), k1 est réel. Par contre d’après (5.104), k2 est réel si V0 < E−m ou V0 > E+m,
et il est imaginaire, si E −m < V0 < E + m. Nous pouvons voir suivant V0, que k2 est, soit
réel, soit imaginaire .
Nous distinguons trois régions :
Boumali Abdelmalek 66
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
1. région où le potentiel est faible V0 < E −m,
2. région où le potentiel est tel que E −m < V0 < E +m ,
3. et la région où le potentiel est intense V0 > E −m.
Dans la région où le potentiel est intense, l’énergie cinétique E − V0 est négative : ce qui du
point de vue classique n’est pas acceptable. Comme la vitesse du groupe est égale à k2/E−V0,
elle est donc dirigée dans le sens inverse de k2, si k2 > 0. Nous devons, alors, choisir k2 < 0
afin que la vitesse de groupe soit positive.
Étudions les différents cas d’intensité du potentiel :
1. cas de la région où le potentiel est faible,V0 < E−m, (k2 est réel et positif), nous obtenons
R+ T = 1 (5.109)
D’après (5.103) et (5.104), nous avons k2 < k1. Le coefficient R est inférieur à 1 : dans
ce cas il n’y a pas de paradoxe de Klein.
2. cas de la région où le potentiel est tel que, E − m < V0 < E + m, (k1est réel, k2 est
imaginaire). Nous avons
R = 1, T = 0 et T +R = 1 (5.110)
Nous avons une réflexion totale.
3. cas de la région où le potentiel est intense V0 > E−m, (k2 est réel mais de signe négatif).
Dans ce cas nous voyons à partir de
R =
∣∣∣∣k1 + k2
k1 − k2
∣∣∣∣2 , (5.111)
T =4k1k2
(k1 − k2)2 . (5.112)
que
T < 0, R > 1, R+ T = 1 (5.113)
Donc, suivant (5.111) et (5.112), nous constatons que : le coefficient de réflexion dépasse la
valeur limite qui est l’unité, et que le coefficient de transmission est négatif. Nous reconnaissons
encore le paradoxe de Klein. De la même manière que dans les équation de Klein Gordon et
Boumali Abdelmalek 67
Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein
de Dirac nous pouvons encore réinterpréter le paradoxe en faisant intervenir des paires de
particules et antiparticules.
Les antiparticules attirés par le potentiel créent un courant de charge négatif se déplaçant
vers la droite. Il vont alors donner un coefficient de transmission négatif.
Les particules, par contre, sont réfléchies par la barrière du potentiel, qui, ajoutées avec
celles incidentes, vont contribuer pour donner un courant plus grand que celui incident. Ce qui
explique ainsi le R > 1.
Finalement, en étudiant l’équation de DKP, en présence d’un potentiel pseudo-vecteur de
type saut (step), nous avons montré
1. que le paradoxe de Klein est absent dans le cas des particules de spin-1,
2. par contre, il persiste toujours pour le cas des particules de spin-0.
Boumali Abdelmalek 68
Chapitre 6
Conclusion
Dans ce travail, nous avons étudié le mouvement des particules de spin 0 et 1 décrit par
l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP), qui est une équation d’onde de premier ordre,
covariante et semblable à celle de Dirac.
Nous pouvons voir dans cette thèse que notre travail a consisté essentiellement à trouver des
solutions pour l’équation de DKP pour des particules en mouvement sous l’action de certaines
interactions. A cause d’une certaine équivalence avec celle de (KG), cette équation n’a pas
suscité d’intérêt qu’elle méritait vu le peu de travaux qui lui ont été consacrée par comparaison
à celle de Dirac. A notre connaissance, ce sont Nedjadi et al [25, 26], les premiers qui se sont
intéressés à trouver des solutions pour cette équation de DKP avec le potentiel de Coulomb
ainsi qu’avec l’oscillateur de Dirac.
Dans notre cas, nous avons déterminé les solutions de cette équation pour des particules
soumises à l’action des potentiels suivants
– celui du potentiel d’Aharonov-Bohm,
– celui de l’oscillateur de Dirac,
– et enfin un potentiel pseudo-vecteur de type saut (step potential).
Ce type d’interaction, dans cette thèse, a été choisi d’abord pour la simplicité de leurs formes,
et pour l’importance qu’elles ont plus particulièrement en physique nucléaire, et enfin pour
le fait que les équations de (KG) et de Dirac admettent des solutions analytiques et de plus
exactes.
69
Chapitre 6. Conclusion
Résumons ce qui a été obtenu dans cette thèse :
Pour le potentiel d’Aharonov-Bohm, dont l’effet est connu tant du point de vue théorique
qu’expérimental, et dans le cas du spin-0, nous avons trouvé que le spectre d’énergie dépend
de ses paramètres du potentiel de manière assez compliquée lorsque l’espace est de dimensions
trois.
Dans le cas où l’espace est à deux dimensions, les paramètres du potentiel apparaissent
directement dans l’expression de l’énergie .
Les fonctions d’onde obtenues sont exactes pour les deux cas, et le spectre d’énergie a été
en outre obtenu exactement.
Pour le cas combiné, c’est à dire, le potentiel de Coulomb plus le potentiel (AB), et pour
des particules de spin-0 se déplaçant dans un espace à deux dimensions, le spectre d’énergie
est aussi exact et la dépendance avec les paramètres des deux potentiels est claire.
Par contre, dans le cas où l’espace est à trois dimensions, cette dépendance est évidente
lorsque les règles de commutations globalisées de Chun sont utilisées.
Pour les particules de spin-1, nous obtenons des résultats similaires 1.
Concernant l’oscillateur de Dirac, nous avons supposé, ici, que la particule est formée à
partir de deux particules de spin-1/2. Le spectre d’énergies obtenu est exact et il a été trouvé
qu’il a une certaine ressemblance avec celui relatif aux particules de spin-1/2. Le cas non-
relativiste a été aussi étudié.
Enfin le potentiel pseudo-vecteur de type saut a été considéré : nous avons déterminé les
solutions de l’équation de DKP pour ce type de potentiel en passant par un autre plus lisse
(smooth potential) afin d’éviter le problème de raccordement. Les coefficient de transmission
et de réflexion ont été ainsi obtenus et ont permis de montrer qu’il n’y a pas de paradoxe pour
des particules de spin-1, contrairement au cas des particules de spin 0.
Pour conclure, nous envisageons de poursuivre nos travaux sur l’équation de DKP en consi-
dérant d’autres formes de potentiels tout en essayant de trouver d’autres méthodes de résolu-
tion.
1. le cas combiné, pour les particules de spin-1, n’est pas traité, due à la situation confuse entre les deuxétudes [25,47].
Boumali Abdelmalek 70
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[44] A. tanomura, N. Osakabe, T. Matsuda, T. Kawasaki, J. Endo, S. Yano, et H. Yamade,
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[45] V. V. Dvoeglazov,Int. J. Theor. Phys 39,2011-2017(2000).
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Boumali Abdelmalek 73
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Boumali Abdelmalek 74
Annexe A
Conventions et notations
Dans la littérature, on trouve deux notations, concernant le calcul tensorielle :
1. la première est celle utilisée par Kemmer, Pauli et Sakurai, et qui est comme suit :
{γµ, γν} = 2δµν , (A.1)
avec
µ, ν = 1, . . . 4, ㆵ = γµ; (A.2)
γ5 = γ1γ2γ3γ4 =1
4!εµνλσγµγνγλγσ; (A.3)
{γ5, γµ} = 0, (A.4)
et
µ = 1, . . . 4, γ†5 = γ5, γ25 = 1; (A.5)
a · b = −→a ·−→b + a4b4 = −→a ·
−→b − a0b0, aµ = (−→a , a4) = (−→a , ia0) ; (A.6)
γk = −iβαk =
(0 −iσkiσk 0
), (k = 1, 2, 3) , (A.7)
γ4 = β =
(1 00 −1
), γ5 = −
(0 11 0
), (A.8)
σµν =1
2i[γµ, γν ] = −iγµγν (µ 6= ν) , (A.9)
σij = −γ5αk =
(σk 00 σk
)(ijk cyclique) , (A.10)
75
Chapitre A. Conventions et notations
σk4 = −σ4k = −γ5σij = αk =
(0 σkσk 0
), (ijk cyclique) , (A.11)
iγ5γk =
(σk 00 −σk
), iγ5γ4 = i
(0 1−1 0
). (A.12)
pour une particule relativiste libre, l’équation de Dirac est(γµ
∂
∂xµ+mc
~
)ψ = 0. (A.13)
2. Par contre, la deuxième notation est utilisée par Messiah [53], Bjorken [54] et Dirac [55] :
elle est comme suit :
{γµ, γν} = 2gµν , µ, ν = 0, 1, 2, 3; (A.14)
gµν = gµν , g00 = 1, gkk = −1, gµν = 0 if µ 6= ν ; (A.15)
γ0† = γ0, γk† = −γk; (A.16)
a · b = aµbµ = a0b0 −−→a ·−→b , aµ = (a0,
−→a ) , (A.17)
aµ = gµνaν = (a0,−−→a ) ; (A.18)
γ0 = β =
(1 00 −1
), γk = βαk =
(0 σk−σk 0
). (A.19)
pour une particule relativiste libre, l’équation de Dirac est(−iγµ ∂
∂xµ+mc
~
)ψ = 0. (A.20)
Boumali Abdelmalek 76
Annexe B
L’effet du potentield’Aharonov-Bohm
En 1959, Aharonov et Bohm ont analysé le rôle joué par les potentiels vectoriel et scalaire
en mécanique quantique.
Dans cette annexe, nous présentons cet effet qui a été considéré dans l’équation de DKP.
Rappelons les équations de Maxwell,
−→∇ ×
−→B = ∂t
−→E , (B.1)
−→∇ ×
−→E = −∂t
−→B, (B.2)
−→∇ ·−→B = 0, (B.3)
−→∇ ·−→E = 0. (B.4)
Avec les deux potentiels, vecteur−→A (−→r , t), et scalaire φ (−→r , t), nous pouvons tirer le champ
magnétique par−→B =
−→∇ ×
−→A, (B.5)
et le champ électrique par−→E = −
−→∇φ− 1
c∂t−→A. (B.6)
Nous pouvons voir qu’avec la transformation de gauge sur−→A (−→r , t) et φ (−→r , t), donne
−→A −→
−→A′ =
−→A +
−→∇Λ, (B.7)
77
Chapitre B. L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm
φ −→ φ′ = φ− 1
c∂tΛ, (B.8)
les champs−→E et
−→B , restent inchangés, et par conséquent, la jauge Λ (−→r , t), physiquement, n’a
aucune influence.
Considérons le cas où Λ (−→r , t) = Λ (−→r ), et−→E =
−→B = 0.
Par une transformation de gauge, telle que
−→A′ =
−→∇Λ, (B.9)
φ′ = φ = 0. (B.10)
nous pouvons annuler les deux potentiels−→A et φ.Ainsi, lorsque il n’y a pas de champ , un
potentiel vecteur−→A′existe toujours.
Plaçons dans le cas non relativiste . L’hamiltonien d’un système quantique H, est [33]
H =1
2m
(~i
−→∇ − e
c
−→A
)2
+ eφ. (B.11)
L’équation de Schrödinger est la suivante
1
2m
(~i
−→∇ − e
c
−→A
)2
ψ + V ψ = Eψ, (B.12)
avec V = eφ. Nous supposons que−→A et V sont indépendants du temps.
Dans la région libre (−→B = 0), la solution, où
−→A (−→r ) 6= 0, est la suivante
ψ (−→r ) = exp
[ie
~c
∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′
]ψ0 (−→r ) , (B.13)
avec ψ0 (−→r ) est la solution de l’équation de Schrödinger avec V mais−→A (−→r ) = 0.
L’intégrale peut être prise le long de n’importe quel chemin s (−→r ) jusqu’à au point où −→r
se confond avec lui même et que −→rot(−→A)
= 0.
En effet, suivant (B.13), notons d’abord que(~i
−→∇ − e
c
−→A
)ψ = exp
(ie
~c
∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′
)[(~i
−→∇ − e
c
−→A
)ψ0 + ψ0 (−i~)
(ie
~c
)−→A (−→r )
]
= exp
(ie
~c
∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′
)(−i~−→∇ψ0
).
Boumali Abdelmalek 78
Chapitre B. L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm
Nous trouvons alors(~i
−→∇ − e
c
−→A
)2
ψ = exp
(ie
~c
∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′
)(−~2∇2ψ0
)= 2m (E − V )ψ (B.14)
Ainsi, ψ (−→r ) obéit à l’équation de Schrödinger avec−→A (−→r ) 6= 0, tandis que ψ0 (−→r ) suit aussi
l’équation de Schrödinger dont−→A (−→r ) = 0etV 6= 0.
Utilisons (B.9), la fonction d’onde (B.13), suite à la transformation de jauge, devient
ψ′ = exp
(ie
~c
∫ s(−→r )−→∇Λ
(−→r′)· d−→s′
)ψ = exp
(ieΛ (−→r )
~c
)ψ0 (−→r ) (B.15)
Considérerons maintenant l’exemple d’un faisceau d’électrons qui traverse deux fentes, où
un solénoïde a été mise .
Dans la région de l’interférence, la fonction d’onde s’écrit comme suit
ψ = ψ01 exp
(ie
~c
∫ s(−→r )
Path 1
−→∇Λ
(−→r′)· d−→s′
)+ ψ0
2 exp
(ie
~c
∫ s(−→r )
Path 2
−→∇Λ
(−→r′)· d−→s′
)(B.16)
Dans la région où il y a interférence il existe un effet observable lorsque{cossin
}[e
~c
∮ −→A · d−→s
]=
{cossin
}[e
~c
∫ −→B · −→n dS
](B.17)
=
{cossin
}eΦ
~c(B.18)
où l’intégrale porte sur une courbe fermée par le chemin 1 et par chemin 2 dans la direction
opposée. Le flux Φ du champ magnétique est calculé à travers la courbe fermée par les chemins
1 et 2.
Ce résultat est remarquable : classiquement, le comportement dynamique de l’électron
dépend de la force Lorentz qui est nulle quand les électron se déplace dans la région libre ;
mais en mécanique quantique, nous observons des effets qui dépendent du module du champ
magnétique dans une région qui n’est pas accessible à l’électron.
D’après (B.17), la différence de phase le long des deux chemins est
∆ = Λ2 − Λ1 =e
~cΦ. (B.19)
Cette différence de phase dépend du flux magnétique enfermé entre les deux chemins 1 et 2.
Boumali Abdelmalek 79
Chapitre B. L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm
Figure B.1 – L’effet d’Aharonov-Bohm
Boumali Abdelmalek 80
Chapitre B. L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm
Ainsi la particule détecte la présence d’un champ magnétique à l’intérieur de la région
interdite et le potentiel−→A′, suite à la transformation de jauge devient, en mécanique quantique,
observable.
Boumali Abdelmalek 81
Annexe C
Le critère de Pauli
La relation fondamentale de commutation du moment canonique ~M , qui est bien connue,
est la suivante [28]
~M × ~M = i~ ~M. (C.1)
Cette relation conduit à
[Mz,M±] = ±~M±, (C.2)
et [M2,M±
]= 0, (C.3)
où les deux opérateurs d’échelle M± sont
M± = Mx ± iMy. (C.4)
Cette relation de commutation (C.1) est basée sur ces relations de commutations où Pauli
(1939) [21] impose la condition suivante “the appropriate eigenfunctions be those which are
square integrable and are closed under the operation of the ladder operator ”.
Cette restriction est nommée par Henneberg [35] et Roy [37] comme le critère de Pauli
Alors les relations de commutations définies par l’équation (C.1) sont nécessaires pour que le
critère de Pauli soit applicable.
82
Annexe D
L’oscillateur de Dirac
Dans cette annexe, nous donnons quelques indications sur cet oscillateur.
Pour le cas du spin-1/2, l’équation de Dirac avec l’oscillateur est la suivante [46]
[c−→α ·
(−→p −imωγ0−→r)
+mc2γ0]ψ = Eψ, (D.1)
où m est la masse, ω > 0 la fréquence, et
−→α =
(0 −→σ−→σ 0
), γ0 =
(1 00 −1
), (D.2)
les matrices de Dirac, −→σ étant les matrices de Pauli. L’hamiltonien correspondant à (D.1) est
H0 = c−→α ·(−→p −imωγ0−→r
)+mc2γ0 (D.3)
Sous une forme covariante, elle s’écrit aussi[γµpµ −m+
( ge4m
)σµνFµν
]ψ = 0, (D.4)
avec
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, σµν =i
2[γµ, γν ] , γµ =
(γ0, ~γ
)(D.5)
est le tenseur électromagnétique, et
Aµ =1
4
[2xµ (u · x)− x2uµ
], (D.6)
est le quadripotentiel associé à l’oscillateur de Dirac, et g = 2m/e est le moment magnétique
anomale.
83
Chapitre D. L’oscillateur de Dirac
L’équation (D.4), est similaire à l’équation de Dirac pour des particules neutres ayant
un moment magnétique anomale µ. Elle suit l’équation de Dirac-Pauli comme suit (Pauli
1941) [56] : [γµpµ +
( µ
2m
)σµνFµν −m
]Ψ = 0. (D.7)
Le terme µ2σ
µνFµν s’écrit comme suit (C-Lin Hoa et al) [56]
µ
2σµνFµν = i~α ~E − ~Σ ~B, (D.8)
avec
~α = γ0~γ, Σk =1
2εkijσij , (D.9)
dont εkij est un tenseur anti-symétrique avec ε123 = 1.
Soit maintenant,
Ψ (~r, t) = e−iεrφ (~r) , (D.10)
alors, l’équation (D.7) devient
Hφ = εφ, (D.11)
avec
H = c−→α · −→p +icµ~γ ·−→E − µcγ0~Σ ~·B +mc2γ0, (D.12)
Si nous posons ~B = ~0, alors
H = c−→α · −→p +icµ~γ ·−→E +mc2γ0. (D.13)
En comparant l’équation (D.3) avec (D.13), on peut voir, que l’oscillateur de Dirac est simple-
ment un cas particulier des particules neutres de Dirac dans un champ électrique extérieur, et
ça, en prenant la transformation
µ~E → mω~r. (D.14)
Donc, nous pouvons interpréter l’oscillateur Dirac comme étant une interaction linéaire d’une
particule ayant un moment magnétique anomale avec un champ électrique variable [57].
Pour le cas de l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau, nous avons l’équation suivante [58](c−→β ·(−→p −imωη0−→r
)+mc2
)ψ = β0Eψ. (D.15)
Boumali Abdelmalek 84
Chapitre D. L’oscillateur de Dirac
avec η0 =(β0)2 − 1.
Cette équation peut être encore écrite sous une forme covariante [58](βµpµ −m+
(λe
4m
)ΣµνFµν
)ψ = 0, (D.16)
où λ = 2m$2/e est maintenant le moment magnétique anomale, et Σµνest le tenseur du
deuxième ordre anti-symétrique défini comme suit
Σµν ={β0, i [βµ, βν ]
}. (D.17)
β étant les matrices définies par (2.2).
Par comparaison au cas de spin-1/2 (D.16), et comme Σµν est un tenseur de spin, nous
pouvons alors, par analogie avec le cas de l’électron, donner la même interprétation physique
pour cet oscillateur que celle donnée pour le cas de spin-1/2.
Boumali Abdelmalek 85
Annexe E
L’équation de Dirac et le paradoxede Klein
En 1928, Klein [59] a calculé les coefficients de réflexions et de transmissions pour le cas
d’un l’électron dans un potentiel de type saut . Ce potentiel est défini comme suit :
V (x) = V, x > 0, V (x) = 0, x < 0. (E.1)
Dans le cas unidimensionnelle, et en utilisant l’équation de Dirac, nous adoptons les relations
suivantes [60]
γ0 = σz, γ1 = iσx. (E.2)
Le choix de (2.2) vérifié bien la relation de commutation bien connue
γiγj + γjγi = 2gij . (E.3)
L’hamiltonien de l’équation Dirac libre est
H0 = −σyp+ σzm. (E.4)
L’équation de Dirac libre est (σx
∂
∂x− Eσz +m
)ψ = 0. (E.5)
Dans le but de solutionner l’équation (E.5), faisons le choix de ψ comme suit(AB
)eikx−iEt (E.6)
86
Chapitre E. L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein
Figure E.1 – Le schéma de la barrière potentiel dans la théorie de Dirac
Boumali Abdelmalek 87
Chapitre E. L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein
Substituons l’équation (E.6) dans (E.5), nous obtenons alors
A = ik, B = E −m (E.7)
avec
E2 = k2 +m2. (E.8)
En présence du potentiel saut, l’hamiltonien H0 se modifié et devient
H = −σyp+ V + σzm, (E.9)
avec V est la composante zéro du Aµ 1. L’équation de Dirac libre, en présence de V , se trans-
forme à (σx
∂
∂x− (E − V (x))σz +m
)ψ = 0. (E.10)
Supposons l’onde se propage de gauche vers la droite.
Pour le cas x < 0, l’onde correspondante est(ik
E −m
)eikx +B
(−ikE −m
)e−ikx, (E.11)
par contre, pour le cas x > 0, l’onde est
F
(ip
V − E −m
)e−ipx. (E.12)
Le cas x > 0, correspond à des états (voir fig. C1), par contre, quand V −m > m, il y’a un
chevauchement entre les deux bandes concernant les deux types des particules : les électrons à
gauche, et les trous à droite.
La condition de continuité à x = 0, donne
ik (1−B) = −ipF
(E −m) (1 +B) = (V − E −m)F. (E.13)
Définissons la constante κ par
1−B1 +B
=−pk
E −mV − E −m
. (E.14)
1. la charge de l’électron est prise égale à -1.
Boumali Abdelmalek 88
Chapitre E. L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein
Afin de déterminer les coefficients de réflection et de transmission, le calcul de ja densité du
courant, définie par J = ψ†αψ, est obligatoire.
D’après Klein, les coefficients de réflexion et de transmission Rs et Ts, pour le cas V > 2m
(voir fig. C1), sont
Rs =
(1− κ1 + κ
)2
, (E.15)
Ts =4κ
(1 + κ)2 , (E.16)
dont
κ =p
k
E +m
E +m− V. (E.17)
Ainsi, l’équation (E.14), peut se réécrire, en fonction du paramètre κ, comme suit
1−B1 +B
=1
κ. (E.18)
A partir de (E.14), si E < V −m, κ < 0 : alors, Rs > 0 et Ts < 0, ce qui est paradoxale : il
y’a plus de particules réfléchies, par ce potentiel, que des particules incidentes. Cette situation
fut nommée par le paradoxe de Klein.
Pour l’enlèvement de ce problème, définissons, pour le cas x > 0, le moment de la particule
p par
p2 = (E − V )2 −m2. (E.19)
La vitesse du groupe vg correspondante est
vg =dE
dp=
p
E − V. (E.20)
Ainsi, vg étant toujours positive, alors p < 0. D’après (E.19), on écrit
p = −√
(E − V )2 −m2. (E.21)
Ce choix de signe pour p, donne des coefficients Rs et Ts, positives, et satisfont à la relation
suivante Rs + Ts = 1.
Le cas ou la barrière potentiel V est très large, V → +∞, pour une énergie E fixe, donne
un autre phénomène intéressant : on peut apercevoir que le coefficient de transmission Ts
tends vers une limite non nulle. Un résultat interdit dans la mécanique classique, par contre,
Boumali Abdelmalek 89
Chapitre E. L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein
en mécanique quantique relativiste, les fermions ont un pouvoir de pénétration à travers une
barrière potentiel. Ce phénomène est nommé comme Klein tunnelling [60].
Boumali Abdelmalek 90
Annexe F
La liste des articles
Notre travail a donné lieu à deux publications internationales:
1. A. Boumali and L. chetouani, Exact solutions of the Kemmer equation for a Dirac oscil-
lator, Phys. Lett. A, 346,261 (2005).
2. A. Boumali, Particule de spin-0 dans un potentiel d’Aharonov-Bohm, Can. J. Phys,
82,67 (2004).
91