Signal Flow Graphs for Getting Transfer Functions of Active Filters

J.A. Esquivel, miembro IEEE, F.L. De Luna, F. Morales y J.M. Esquivel

Abstract— A method to obtain transfer functions of active filters with a single operational amplifier is obtained. The method relies on signal-flow graphs and the theory of Mason which simplifies greatly the approach for getting the same goal but intimidating formulae.

Keywords— Singal Flow Graphs, Transfer Function, Active Filters, Mason Rules

I. IN T R O D UC C I Ó N

a motivación para elaborar este trabajo fue la necesidad de obtener funciones de transferencia de filtros activos

mediante métodos simples, construidos con un único amplificador operacional. En los libros actuales no se muestran procedimientos claros de cómo se pueden obtener éstas; aunque existen, su complejidad excede por mucho al resultado presentado en este trabajo. En libros como [27] se muestra, por ejemplo, el siguiente circuito de retroalimentación múltiple y ganancia infinita

+

_

Y

Y

Y

Y

Y

+

_

+

_

1 3

2

45

Ei oE

Fig. 1. Circuito con un solo amplificador operacional

donde cada elemento es o una resistencia o un capacitor.

(1)

_______________________________________________ J.A. Esquivel trabaja en el Centro de Investigación en Matemáticas Aplicadas de la Universidad Autónoma de Coahuila en Saltillo, México (correo e.: esquivel@cima.uadec.mx). F.L. De Luna y F. Morales imparten sus cátedras en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Coahuila, en Monclova, México (correos e.: fcolaz52@hotmail.com y fmoralesfime@hotmail.com). J.M. Esquivel es estudiante de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UAdeC, en Monclova

La referencia citada muestra sin ningún preámbulo su función de transferencia. Para filtros con esta topología existen resultados como [1] que da un método basado en un caso especial de una tabla presentada en [15], y que es un claro ejemplo de lo que es una solución compleja para un caso muy específico, esto es, el caso de los sistemas con retroalimentación paralela escalera (o múltiple). Existen otras topologías con ligeras variaciones del amplificador diferencial que son estudiadas en trabajos como en [25] en el cual se construyen funciones de transferencia de computadoras análogas; sin embargo, de nuevo el enfoque tomado no es lo suficientemente flexible para resolver el problema de interés en este trabajo.

Un trabajo motivador que quizás no ha recibido la atención que se merece es [2] el cual fue pilar de otros trabajos importantes como son los casos de [3] y [4]. Estos trabajos se basan en los diagramas de flujo de señales presentados por Mason en los artículos [16] y [17]. Aunque, en primera instancia parece tan simple, su uso en problemas como los presentados en este trabajo genera una metodología relativamente fácil para obtener funciones de transferencia de circuitos con amplificadores operacionales. La localización de los polos y ceros, o bien, la expresión de la función de transferencia, expresado en su forma cerrada puede obtenerse mediante el manejo simbólico de expresiones utilizando diversas metodologías como: el flujo de señales, [8][13][18], los diagramas de decisión determinante, [20][21][22][23][24] o la utilización de Anuladores, [26]. Para el caso de redes complicadas la solución se obtiene con apoyo computacional mediante algoritmos numéricos o simbólicos, ver [18]. Sin embargo, a pesar de todos estos enfoques creemos que la teoría de flujo de señales de Mason tiene mucho que ofrecer para la obtención de funciones de transferencia en su forma cerrada de circuitos electrónicos en los cuales intervienen amplificadores operacionales. El enfoque propuesto aprovecha el modelo de Acar y Andy, [2], el cual es muy breve y simple y no agrega gran complejidad al análisis.

I I . MO D E L AD O G R Á F I C O D E A M P L I F I C A D O R E S

O P E R A C I O NA L E S

Esta sección está basada en [2] para establecer el enfoque necesario para determinar funciones descriptoras de las redes activas a partir de diagramas de flujo de señales, lo primero que se muestra es el amplificador de ganancia finita:

L

592 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 7, DECEMBER 2008

V Vp qK

Fig. 2. Amplificador de ganancia finita

el cual es modelado como

V Vp q

K

Fig. 3. Diagrama de flujo de amplificador de ganancia finita

El caso de ganancia infinita, i.e., , es modelado en [2] como:

+1

+1

V Vp q Fig. 4. Amplificador con ganancia infinita

El amplificador diferencial es representado por:

V

V

r

s

Vq

+1( 1)

1(+1)

_

_

+1

Fig. 5. Amplificador Diferencial

Un diagrama importante para manipular voltajes y corrientes es el siguiente:

VYY V

1Y

YY

V

p

ipii ii

iqii

q

iIi

Fig. 6. Relación de voltajes y corrientes

en el cual se hace notar que las fuentes de voltaje y corriente son tomadas como nodos. Los voltajes y corrientes son multiplicados por sus respectivas ganancias y las señales tomadas como corrientes satisfacen la ley Kirchoff que establece que la suma de corrientes en un nodo es igual a cero. Anotando las ecuaciones de la figura anterior se obtiene:

donde y son la suma de las admitancias de elementos pasivos conectados entre los nodos i y p y los nodos i y q. El índice p e refiere a los nodos donde se conectan los elementos pasivos y los nodos q a los elementos activos. Y siguiendo con esta metodología la ecuación (1) puede ser generalizada a:

m+n es el número total de nodos excepto el nodo de referencia. Los diagramas de flujo de señales obtenidos son manipulados mediante las reglas de Mason, ver [16][17], en el cual la función de transferencia entre la entrada de la red y el i-ésimo nodo está dada por:

I I I . DI A G R AM A S D E F L U JO D E S E Ñ A L E S

Esta sección es presentada para efectos de complementar la presentación de esta investigación y es tomada completamente de los resultados de Mason, [16][17]. Primero, es importante notar que esta teoría nació con el objetivo de analizar redes eléctricas, y es en este sentido en el que será presentada. Un diagrama de flujo de señales es una red de ramas con dirección las cuales se conectan a nodos. El nodo j a través de la rama jk termina en el nodo k. La rama tiene una flecha que indica la dirección del flujo y su ganancia será denotada por gjk. De hecho, cada rama conectada al nodo k da forma a la siguiente ecuación:

El diagrama que se muestra a continuación:

a b c

d f

h

ge

1 2 3 4 5

Fig. 7. Diagrama ejemplo

cumple con las ecuaciones:

Antes de proseguir es necesario establecer algunas definiciones, y cada una de ellas será aplicada al diagrama anterior. Una fuente es un nodo que solo tiene ramas de salida (nodo 1), un sumidero es un nodo que solo tiene ramas de entrada (nodo 5). Una trayectoria es cualquier sucesión continua de ramas trazada en la dirección de las ramas (abch, abg, aeh, etc.). Una trayectoria hacia adelante es una trayectoria que inicia en un nodo fuente y termina en un nodo sumidero y en la cual ningún nodo es tomado en cuenta más de una vez (abch, etc.). Un lazo retroalimentado es una trayectoria que forma un ciclo cerrado donde también los nodos son considerados solo una vez por ciclo (bd,cf, etc.). La ganancia de trayectoria es el producto de las ganancias de las ramas a lo largo de la trayectoria. La ganancia de lazo de un lazo retroalimentado es el producto de las ganancias de las ramas que forman ese lazo. La ganancia de un diagrama de flujo es la relación de la señal del nodo sumidero y la del nodo fuente. Solamente uno de cada cual es considerado. La expresión general para la ganancia del diagrama de flujo

ESQUIVEL CÁRDENAS et al.: SIGNAL FLOW GRAPHS 593

puede ser escrita como:

de donde:

en otras palabras, Δ es el determinante del diagrama, y Δk es el cofactor de la k−ésima trayectoria.

IV. RE S U L TA D O P R I N C I PA L

El objetivo de esta sección que muestra prácticamente la metodología propuesta es obtener la función de transferencia (1) del circuito que se mostró en la sección de introducción. A. Obtener ecuaciones Las ecuaciones que se obtienen en este paso recaban la información necesaria para obtener la relación entre la entrada y la salida. Primero, observe que el voltaje de salida debe incluir una expresión que se exprese como función del voltaje presente en su entrada negativa, el cual denotaremos por E−, y depende a su vez del voltaje que existe entre las admitancias

y , es decir, el voltaje de la admitancia . Para obtener este voltaje es necesario primero obtener la corriente que pasa a través de él; la denotaremos por . Para lograrlo aplicamos la ley de corrientes de Kirchoff: la corriente es igual a la corriente de la admitancia , más la corriente de la admitancia más la corriente de la admitancia . Esto se resume como

. Nótese que no hay necesidad de incluir directamente el voltaje ; se escribe simplemente como la diferencia de potencial en terminales de esa admitancia. De hecho, lo mismo puede hacerse con el voltaje en terminales de , el cual es simplemente

, donde es el voltaje de entrada. La relación corriente y voltaje en es . El voltaje de la entrada negativa al amplificador operacional es simplemente la suma de y , esto es, . Y para obtener es necesaria la corriente , la cual puede aproximarse a la corriente . Con estas observaciones se tienen las siguientes relaciones, y . La corriente se obtiene de

B. Trazar diagrama de flujo de señales En la subsección anterior se obtuvieron las ecuaciones que relacionan los voltajes y corrientes en cada una de las admitancias. Ahora, utilizando esta información dibujamos el diagrama de flujos de señales del circuito,

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 8. Diagrama de flujo de señales del circuito de la Fig. 1

el cual sintetiza las ecuaciones obtenidas, las cuales se concentran a continuación:

C. Encontrar todos los lazos del diagrama En este paso se obtienen cada uno de los lazos retroalimen-tados,

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 9. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 10. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 11. Lazo

594 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 7, DECEMBER 2008

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 12. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 13. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 14. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 15. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 16. Lazo

E E Y Y E E E

Y

E

Y I

IYEY

Y

+1

+1 +1

+1

-1

+1

+1

1+ 4

i 1 1 2-1

5

51 +1

5

333

2 _

_

34

_

o1_I2+1

Fig. 17. Lazo

D. Obtener ganancias de lazos que no se tocan Las ganancias producto de cada dos lazos retroalimentados que no se tocan son: , , , , , ,

, y . Las ganancias producto de cada tres lazos que no se tocan son: y . Y finalmente, no hay cuatro lazos retroalimentados que no se tocan. E. Obtener función de transferencia

Por lo tanto hasta este punto tenemos todos los elementos para formar la ganancia del diagrama de flujo, o función de transferencia, la cual es dada por:

donde es la ganancia de la trayectoria hacia adelante,

y es el valor de para esa parte del diagrama que no toca esta trayectoria, esto es:

y la otra trayectoria hacia adelante es dada por:

con:

y finalmente, el determinante es:

ESQUIVEL CÁRDENAS et al.: SIGNAL FLOW GRAPHS 595

por lo tanto, juntando todos lo elementos se obtiene finalmente la función de transferencia:

la que es idéntica a (1) si se considera que la ganancia del amplificador es infinita.

V. FI L T R O PA S A B A J A S

Sea el siguiente filtro

R R

R C

C E Ei

1 3 4 5

2 o

Fig. 18. Circuito del filtro pasa bajas

de donde , , , y

, por lo tanto, con estos valores de las admitancias la función de transferencia obtenida es:

si (usando la nomenclatura de [27]),

y , G puede reescribirse como:

además, haciendo la igualdad

donde α es dos veces el factor de amortiguamiento se obtiene:

lo cual induce:

y que es, obviamente, una función de transferencia de segundo orden exactamente igual a la mostrada en [27].

VI . CO NC L US I O N E S

Se ha derivado un método basado en diagramas de flujo de

señales para obtener funciones de transferencia de filtros activos, con el objeto de redescubrir, y tal vez mostrarlo por primera vez, el uso de las reglas Mason para obtener las ganancias entre los nodos de circuitos electrónicos de este tipo. A pesar de que las nuevas teorías pueden encontrar relaciones muy complejas entre señales de circuitos eléctrico-electrónicos con topologías muy diversas, basadas principalmente en algoritmos computacionales numéricos o simbólicos, el resultado propuesto se distingue principalmente por la aplicación sencilla de las reglas de Mason en el análisis de circuitos que involucran amplificadores operacionales por la forma en que pueden ser modelados estos. Aunque la aplicación de este enfoque esté limitada en el diseño de circuitos integrados, sus ventajas aparecen indudablemente en el desarrollo de circuitos electrónicos simples, como es el caso del tipo de filtro estudiado. Además, es un nuevo enfoque que puede emplearse en la docencia.

RE F E R E N C I AS

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Jesús Aureliano Esquivel Cárdenas. Recibió el título de Ingeniero en Electrónica Industrial de la Universidad Autónoma de Coahuila en 1989, el grado de Maestría en Ciencias de Ingeniería Eléctrica y el grado de Doctor en Ingeniería Eléctrica ambos con especialidad en Control Automático, y otorgados por la Universidad Autónoma de Nuevo León, México, en 1995 y 1998 respectivamente. Actualmente es investigador de la Universidad

Autónoma de Coahuila en el Centro de Investigación en Matemáticas Aplicadas, Saltillo, Coahuila, México, e imparte cátedra en el programa de Física de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la misma universidad. Se interesa principalmente en la mecánica geométrica y robótica.

Francisco Lázaro de Luna Sanmiguel. Nació en Zaragoza Coahuila, México, el 28 de abril de 1950. Es Ingeniero Mecánico Electricista graduado en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME) de la Universidad Autónoma de Coahuila (UAdeC). Tiene una Maestría en Ciencias Eléctricas con especialidad en Electrónica en la FIME de la Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL). Realizó una estancia académica de un año en la University of

Noth Texas (UNT) EEUU, como maestro invitado. Tiene 7 años de experiencia profesional en el área eléctrica y electrónica en la industria Altos Hornos de México, S.A. de C.V. En la UAdeC ha sido Director de la FIME y Coordinador General de la Unidad Norte. Actualmente tiene 34 años de antigüedad como maestro de tiempo completo de la UAdeC impartiendo diferentes materias del área de electrónica y es Coordinador de la Carrera Ingeniero en Electrónica Industrial.

Felipe Morales Rodríguez. Obtuvo la Licenciatura en Física y Matemáticas en ESFM del IPN en México, D.F. (1980), la Maestría en Ciencias, especialidad en Matemáticas en ESFM del IPN en México, D.F. (1982), La Maestría en Ingeniería Eléctrica con especialidad en Control de la FIME (UAdeC) de Monclova Coahuila (1995). En 1982 inició su trabajo como docente de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica a nivel de Licenciatura, y en 1993 comenzó a impartir cátedra a nivel de Maestría, en el programa Maestría en Ingeniería con

Especialidad en Control Automático. Fue director de la FIME en dos períodos consecutivos y actualmente está al frente del departamento de Investigación y Postgrado de la misma Facultad. Ha recibido diversos reconocimientos por parte de la UAdeC debido a su trayectoria académica. Su interés principal en la Investigación es en relación a la estadística y algoritmos computacionales.

José Manuel Esquivel Herrera. Nació el 21 de Noviembre de 1984 en Monclova Coahuila. Actualmente cursa sus estudios para obtener el título de Ingeniero en Electrónica Industrial de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Coahuila en la ciudad de Monclova. Sus intereses personales se centran principalmente en el diseño de circuitos electrónicos análogos con aplicación a filtros y osciladores.

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