VEKTOR

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan penyelesaianoperasi aljabar vektor

Vektor

adalah

besaran

yang mempunyai

besar dan arah

Besar vektor artinya panjang vektor

Arah vektor

artinya sudut yang dibentuk

dengan sumbu X positifVektor disajikan dalam bentuk

ruas garis berarah

A

B

ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkalB disebut titik ujung

u

45 X

Gambar Vektor

Notasi Penulisan Vektor Bentuk vektor kolom:

4

3u

0

2

1

PQatau

Bentuk vektor baris:

4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2j + 7k

VEKTOR DI R2

Vektor di R2

adalah

vektor yang terletak di satu bidang

atauVektor yang hanya mempunyaidua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2

OA PA OP

O Pi

jX

A(x,y)Y

OP = xi; OQ= yjJadi

OA =xi + yjatau

a = xi + yj

ax

y

i vektor satuan searahsumbu Xj vektor satuan searahsumbu Y

Q OA OQ OP

Vektor di R3

Vektor di R3

adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga

atau Vektor yang mempunyai

tiga komponen yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3

adalah (x, y, z) maka OP = xi;OQ = yj dan OS = zk

X

Y

Z

T(x,y,z)

Oxi

yj

zk

PQ

S

X

Y

Z

T(x,y,z)

O

t

P

QR(x,y)

S

xi

yj

zk

OP + PR = OR atauOP + OQ = OR

OR + RT = OT atauOP + OQ + OS = OT

Jadi OT = xi + yj + zk

atau t = xi + yj + zk

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah

Vektor yang titik pangkalnya O(0,0)

X

Y

O

Contoh:

A(4,1)

B(2,4)

Vektor posisi

titik A(4,1) adalah

1

4 a OA

Vektor posisi titik B(2,4) adalah

ji 42 b OB

a

b

Panjang vektor

Dilambangkan dengan

tanda ‘harga mutlak’

Di R2, panjang vektor:

2

1

a

a a

atau a = a1i + a2j Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras

22

21 a aa

Di R3 , panjang vektor:

222 y x zv

z

y

x

v

atau v = xi + yj + zk Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras

Contoh:1. Panjang vektor:

4

3 a

adalah 22 4 3a = 25 = 5

2. Panjang vektor: 2k -j i2 v

adalah 222 )2(1 2 v

= 9 = 3

Vektor Satuan

adalah suatu vektor yangpanjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu X,

sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut

adalah vektor i , j dan k

1

0

0

dan

0

1

0

,

0

0

1

kji

Vektor Satuan

dari vektor a = a1i + a2j+

a3k

adalah

23

22

21

321 aaa

kajaia

a

a ee aa

Contoh: Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ 2k adalah….Jawab:

a

aea

222 2)2(1

22

kjiea

222 2)2(1

22

kjiea

3

22

kjiea

kjiea 32

32

31

ALJABAR VEKTOR

Kesamaan vektor

Penjumlahan vektor

Pengurangan vektor

Perkalian vektor dengan

bilangan real

Kesamaan VektorMisalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k

Jika: a = b , maka a1 = b1

a2 = b2 dana3 = b3

Contoh

Diketahui:

a = i + xj - 3k dan

b = (x – y)i - 2j - 3k

Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab:a = i + xj - 3k danb = (x – y)i - 2j - 3k

a = b1 = x - yx = -2; disubstitusikan1 = -2 – y; y = -3Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor

a

a

a

a

3

2

1

b

b

b

b

3

2

1

Misalkan: dan

Jika: a + b = c , maka vektor

33

22

11

c

ba

ba

ba

Contoh

1-

2p-

3

a

3

6

p

b

Diketahui:

Jika a + b = c , maka p – q =....

dan

2

4q

5-

c

2

4

5

3)1(

6 2

3

qp

p

jawab: a + b = c

2

4

5

3

6

p

1-

2p-

3

q

2

4

5

3)1(

6 2

3

qp

p

3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q16 + 6 = 4q 22 = 4q q = 5½;Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½

Pengurangan Vektor

Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k

Misalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k

X

Y

O

A(4,1)

B(2,4)

a

b

Perhatikan gambar:

3

2-

vektor posisi:

titik A(4,1) adalah:

1

4 a

titik B(2,4) adalah:

4

2 b

vektor AB =

Jadi secara umum: ab AB

1

4

4

2 ab

3

2-

1

4 a

4

2 b

3

2- AB

vektor AB =

Contoh 1

Jawab:

Diketahui titik-titik A(3,5,2) danB(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB

2

3

2

2

5

3

-

4

2

1ab AB

2

3

2

AB Jadi

Contoh 2

Diketahui titik-titik P(-1,3,0)

dan Q(1,2,-2).

Tentukan panjang vektor PQ

(atau jarak P ke Q)

Jawab: P(1,2,-2)

Q(-1,3,0)

PQ = q – p =

2

1

2

2-

2

1

-

0

3

1-

2

2

1

p

0

3

1

q

2

1

2

PQ

222 )2()1(2PQ

39PQ Jadi

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real

a

a

a

a

3

2

1

Misalkan:

Jika: c = m.a, maka

3

2

1

3

2

1

.

.

.

c

am

am

am

a

a

a

m

dan m = bilangan real

Contoh

Diketahui:

Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah....Jawab:misal

4

1

2

32

6

1

2

3

2

1

x

x

x

6

1-

2

a

4

1-

2

b

dan

x

3

2

1

x

x

x

4

1

2

32

6

1

2

3

2

1

x

x

x

12

3

6

2

2

2

6

1

2

3

2

1

x

x

x

2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 16 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3Jadi

3

1

2

xvektor