Post on 05-Jul-2018
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
1/20
TUGAS KELOMPOK
MATA KULIAH TEORI PROBABILITAS
TUGAS 2, TUGAS 3, TUGAS 4
Dosen:
Prof.Dr.Dja! Kera"!
O#e$:
%!r! A#&an! '(2)*(+-23
Mar&ana '(2)*(++-
MAGISTER MATEMATIKA
DEPARTEME/ MATEMATIKA
%AKULTAS MATEMATIKA DA/ ILMU PE/GETAHUA/ ALAM
U/I0ERSITAS I/DO/ESIA
DEPOK
2)(3
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
2/20
TUGAS 2
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
3/20
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
4/20
TUGAS 3
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
5/20
TUGAS 3
1. Diberikan a, b integer >0
X : peubah acak (p.a) diskrit bernilai integer > 0, sedemikian sehingga:
P ( X = x )=1
a−
1
b,untuk 1≤x≤ab P ( X = x )=0
1) Apakah syarat yang harus dipenuhi a dan b agar p(x)!(Xx) memenuhi h"kum
pr"babilitas dari X
#) $entukan %ungsi distribusi dari X, i.e &(x). 'ambarkan gra%iknya.
) itunglah *(X). +erapakah nilainilai a dan b agar *(X)-#
1AAB:
a, b > 0
x peubah acak diskrit > 0
1) /yarat yang harus dipenuhi a dan b agar p(x)!(Xx) memenuhi hukum pr"babilitas
dari X
P ( X = x )=0, x>ab P( X = x)=1
a−
1
b,1≤x≤ab
a. /yarat pertama
P ( x )≥0 1
a−1
b ≥0
b−aab ≥0 b−a≥0 b≥a…①
b. /yarat kedua
∑ P ( x )=1 ∑ P ( x )=∑ x=1
ab1
a−
1
b=1 ¿( 1a−1b )∑ x=1
ab
1=1 ¿(1a−1
b )ab=1
¿b−aab
∙ab=1 b−a=1….
adi, syarat yang harus dipenuhi a dan b agar p(x)!(Xx) memenuhi hukum pr"babilitas dari X adalah b≥a dan b a 1.
#) &ungsi distribusi dari X, i.e &(x).
F ( x )=∑i ≤ x
f (i ) F ( x )=∑i=1
x
f (i ) F ( x )=∑i=1
x1
a−
1
b,untuk 1≤x≤ab
F ( x )= x (1
a−
1
b
),1≤x≤ab F ( x )=
x
ab
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
6/20
0 1 2 3
1
ab…… x …… x
F(x)
&ungsi distribusi dari X, i.e &(x) dapat digambarkan dalam gra%ik diba2ah ini:
/etelah memper"leh %ungsi distribusi, maka kita dapat per"leh penyelesaian dari
F ( x )=1
2(mediandari X )
&ungsi distribusi dari X F ( x )= x
ab , sehingga
F ( x )= x
ab
1
2=
x
ab
x=ab
2 sehingga diper"leh x=
1
2ab
) 3encari nilai *(X)
E ( X )=∑i=1
∞
xi f ( xi ) ¿∑1
ab
x ∙ 1
a−
1
b ¿∑
1
ab
x ∙b−aab
¿b−aab ∑ x=1
ab
x ¿ 1
ab∑1
ab
x
/etelah nilai *(X) diper"leh maka akan ditentukan nilai a dan b yang memenuhi *(X)
agar E ( X )= 7
2 .
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
7/20
E ( X )=7
2 ∑
x=1
ab
x . 1
ab=
7
2
1
ab+
2
ab+
3
ab+…+
ab
ab=
7
2
1
ab(1+2+3+…+ab )⏟
Sn
=7
2
karena (1+2+3+…+ab )=Sn dimana Sn= n2 (a+U n ) sehingga persamaan
1
ab(1+2+3+…+ab)⏟
Sn
=7
2 dengan n ab dapat dituliskan :
1
ab.[ ab2 (1+ab )]=72
(1+ab )ab
=7
2 1+ab=7
ab=6
Dari 1) diper"leh b a 1 maka di dapat dituliskan b 1 4 a dan a b 41.
/ubtitusikan nilai b 1 4 a ke persamaan ab 5, sehingga :
ab=6 (b−1 )b=6 b2−b−6=0 (b−3 ) (b+2 )=0
b=3danb=2
karena nilai b selalu p"siti% maka nilai b . /ubtitusikan b ke persamaan
a=b+1 sehingga diper"leh :
a=b−1 a=3−1 a=2
adi, nilainilai a dan b agar E ( X )=
7
2adalaha=2danb=3
.
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
8/20
TUGAS 4
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
9/20
TUGAS 4
1. !eubah acak (p.a) +ern"ulli bernilai 1 dan 0 dengan pr"babilitasnya masingmasing p
dan 6 1 p
(1) itunglah m"men pusat dan bukan pusat "rde k dari X, itung 7uga khusus *(X)
dan 8(X)
(#) 9yatakan X*(X) danZ =
1
1−Y
1AAB:
(1)
a. itung m"men pusat
M (t )=∑ etx f ( x ) ¿et 0f (0 )+e t .1 f (1) ¿1. (1− )+et .
¿1− +et
. ¿1+ (et
−1)
b. itung *(X) dan 8(X)
x . x (1− )1− x=0+¿ 1(1− )1−1=
E ( X )=∑ x=0
1
x . f ( x)=∑ x=0
1
¿
!ar ( X )= E [ ( X − E ( X ) )2 ]=∑ x=0
1
( x− E ( X ) )2 . f ( x)
¿∑ x=0
1
( x− )2 . x (1− )1− x
¿ (− )2 . 0(1− )1+(1− )2. 1(1− )0
¿ 2(1− )+ (1− )2
¿ 2− 3+ −2 2+ 3
¿ − 2
¿ (1− )
(#) a. Y = X − E ( X )= X −
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
10/20
b.Z =
1
1−Y =
1
1−( X − )=
1
1− X +
#. ukum bin"mial3isal n:integer p"s dan p bilangan real antara 0 dan 1
!erhatikan %ungsi %(x), dide%inisikan sebagai
f ( x )=" k n
k (1− )n−k , untuk x=0,1,2,…,n " k n=(nk )
(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipandang sebagai hukum dari suatu p.a diskrit X
(#)$entukan *(X) dan 8ar(X)
1AAB:
(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipandang sebagai h"kum dari suatu peubah acak
diskrit X
(a+b)n=∑ x=0
n
" xna xb
n− x,untuk a>0,b>0 ika a = p , b = 1 – p , dan 0 ; p ; 1 maka
(a+b)n=[ +(1− ) ]n=∑ x=0
n
" xn
x (1− )n− x
/ehingga diper"leh:
∑ x=0
n
f ( x )=∑ x=0
n
" xn
x (1− )n− x=[ +(1− ) ]n=1n=1
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
11/20
¿∑ x=1
n x . n(n−1)#
x . ( x−1 )# (n− x )# .
x−1(1− )n− x
¿n∑ x=1n ( n−1 ) #
( x−1 )# (n− x )# x−1
(1− )n− x
¿n∑ x=1
n
" ( x−1 )(n−1)
x−1(1− )n− x
3isal y x 1 dan m n 1 maka batasbatasnya men7adi:
=ntuk x 1 maka y 0
=ntuk x n maka y n 1 m
/ehingga
E ( X )=n∑ $=0
m
" $m
$ (1− )m− $=n (1 )=n
b. 3enentukan 8ar (X)
!ar ( X )= E [( X − E ( X ) )2 ]= E [ X 2−2 XE ( X )+ E ( X )2 ]
X
(¿¿2)−2 E( X ) E ( X )+[ E ( X ) ]2
¿ E ¿
X
(¿¿2)−[ E ( X ) ]2
¿ E ¿
¿ E[ X ( X −1)+ X ]− [ E ( X ) ]2
¿ E[ X ( X −1) ]+ E( X )− [ E ( X ) ]2
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
12/20
x ( x−1 ) . f ( x )=¿∑ x=0
n
x ( x−1 )" xn
x (1− )n− x
E [ X ( X −1 ) ]=∑ x=0
n
¿
¿∑ x=2
n x ( x−1) . n# x # (n− x )#
x (1− )n− x
¿∑ x=2
n x ( x−1 )n#
x . ( x−1 )( x−2)# (n− x )#
x (1− )n− x
¿∑ x=2n
n (n−1 )(n−2)#( x−2 ) # (n− x ) #
2
x−2
(1− )n− x
¿n(n−1) 2∑ x=2
n
" ( x−2)(n−2)
x−2(1− )n− x
3isal y x # dan m n #maka batasbatasnya men7adi:
=ntuk x # maka y 0
=ntuk x n maka y n # m
/ehingga
E [ X ( X −1) ]=n (n−1 ) 2∑ $=0
m
" $m
$ (1− )m− $
¿n (n−1 ) 2
(1)=n (n−1 ) 2
adi, !ar ( X )= E [ X ( X −1) ]+ E ( X )−[ E ( X ) ]2
n (n−1 ) 2+n−n2 2
n2
2−n 2+n−n2 2
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
13/20
n−n 2=n(1− )
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
14/20
. ukum !"iss"n !(3)
3isal m : bilangan real p"s. !erhatikan %ungsi yang dide%inisikan untuk semua x p"s
atau n"l sebagai :
f ( x )=e−m m x
x #
(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipertimbangkan sebagai h"kum pr"b dari suatu p.a
diskret X
(#) itung *(X) dan 8ar(X)
1AAB:
(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipertimbangkan sebagai h"kum pr"b dari suatu p.a
diskret X
f ( x )=e−m m
x
x # , x ≥ 0
∑ x=0
∞
f ( x )=∑ x=0
∞
e−m m
x
x #=e−m∑
x=0
∞m
x
x #
¿e−m(1+m1
1 #+m
2
2 #+m
3
3 #+…)
¿e−m+em=1
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
15/20
/ehingga
E ( X )=∑ $=0
∞e−m
m $+1
$ # =m∑
$=0
∞e−m
m $
$ # =m (1 )=m
+erdasarkan de%inisi !ar ( X )= E [ X ( X −1 )]+ E ( X )−[ E ( X ) ]2
E [ X ( X −1 ) ]=∑ x=0
∞
x ( x−1 ) . f ( x )=∑ x=0
∞
x ( x−1 ) e−mm x
x #
¿∑ x=2
∞
x ( x−1 )e−mm
x
x ( x−1 )( x−2) #
=∑ x=2
∞
e−m m
x
( x−2)#
3isal y x # maka batasbatasnya men7adi:
=ntuk x # maka y 0
=ntuk x ∞ maka y ∞
/ehingga
E [ X ( X −1 ) ]=∑ x=2
∞
e−m m
x
( x−2 ) #=∑
$=0
∞
e−m m
$+2
$ #
¿m2∑ $=0
∞
e−m m
$
$ #
¿m2 (1)=m2
adi, !ar ( X )= E [ X ( X −1 ) ]+ E ( X )−[ E ( X ) ]2=m2+m−m2=m
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
16/20
. 3isal ?a,b@ suatu interal dalam B. X:p.a k"ntinu yang mempunyai densitas %(x) yang
dide%insikan sebagai:
f ( x )= 1
b−a ,untuk x∈ [a ,b ]m (b>a ) ¿0,untuk $an%lain
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
17/20
E( X ) ∫a
b
x 1
b−adx
1
2
x2
b−a ]ab
b
2−a2
2(b−a) (b+a)(b−a)
2(b−a)
b+a2
E( X 2) ∫a
b
x2 1
b−adx
1
3
x3
b−a ]ab
b
3−a3
3 (b−a)
b
(¿¿2+ab+a2)(b−a)3 (b−a)
¿
b
(¿¿2+ab+a2)3
¿
!ar ( X ) E( X 2)− [ E ( X )]2
b
(¿¿2+ab+a2)3
−b+a2
¿
b
b(¿¿2+2ab+a2)
4
(¿¿2+ab+a2)3
−¿
¿
4b
2+4ab+4a2−3b2−6ab−3 a2
12
b
(¿¿2−2ab+a2)12
¿
(b−a)2
12
() $entukan &(X)
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
18/20
F ( x )=∫a
x
f ( x ) dx ¿∫a
x1
b−adx ¿
x−ab−a
untuk x∈[a,b ]
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
19/20
. ukum n"rmal & (m,' )
!erhatikan %ungsi %(u) yang dide%inisikan sebagai f (u )=ke−u2
2 ,∀ u∈ (
(1) $entukan k"nstanta
k ∋ f (u) merupakan densitas pr"b dari suatu p.a k"ntinu =
(#) itung *(=) dan 8ar(=)
1AAB:
(1) $entukan k"nstanta k ∋ f (u) merupakan densitas pr"b dari suatu p.a k"ntinu =
Agar %(u) merupakan pd% dari peubah acak k"ntinu = , maka ∫−∞
∞
f (u)du=1
/ehingga
∫−∞
∞
ke
−u2
2 du=k [∫−∞
∞
e
−u2
2 du]=k [∫−∞
0
e
−u2
2 du+∫0
∞
e
−u2
2 du ]
¿k [2∫0
∞
e
−u2
2 du]=2k [∫0
∞
e
−u2
2 du]=2k √ 2) 2 =k √ 2) ∫−∞∞
ke
−u2
2 du=1
k √ 2) =1 k = 1
√ 2)
(#) itung *(=) dan 8ar(=)
3"men generating %uncti"n dari %(u) adalah
M (t )= E (etu )=∫−∞
∞
etu.
1
√ 2) e
−u2
2 du=∫−∞
∞1
√ 2 ) etue
−u2
2 du
¿∫−∞
∞1
√ 2 ) e
tu−u2
2
du=∫−∞
∞1
√ 2) e
−12
(u2−2 tu )
du=∫−∞
∞1
√ 2) e
−12
(u2−2 tu+t 2−t 2)
du
¿∫−∞
∞1
√ 2 ) e
−12
((u−t )2−t 2 )du=∫
−∞
∞1
√ 2) e
1
2t
2
e
−12
(u−t )2
du=e1
2t
2
∫−∞
∞1
√ 2) e
−12
(u−t )2
du⏟
−1
¿e1
2t 2
8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)
20/20
M (t )=e1
2t
2
M * ( t )=te1
2t
2
+M * (0 )=0 M ** (t )=e
1
2t 2
+t 2e1
2t 2
+M * * (0 )=1
maka E ( X )= M * (0 )=0 !ar ( X )= M (0)- {[M'(0)]} ^ {2} ¿1−0 ¿1