SOAL-SOAL LATIHANSOAL-SOAL LATIHANTEORI ANTRIANTEORI ANTRIAN

JURUSAN TEKNIK INDUSTRIJURUSAN TEKNIK INDUSTRIUNIVERSITAS INDONUSAUNIVERSITAS INDONUSA

OLEH: EMELIA SARI

Soal 1Soal 1

Pada suatu fasilitas, langganan datang dengan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 2 orang per jam. Berapakah probabilitas bahwa pada fasilitas itu akan ada paling sedikit seorang langganan dalam periode 1 jam.

PenyelesaianPenyelesaian Persoalan ini merupakan “Distribusi kedatangan/ Model

kelahiaran murni Diket: λ = 2/jam

t = 1 jam Ditanya: Pn≥1(1) Jawaban: Pn≥1(t) = 1 – Po(t) untuk suatu t.

Po(t) = e –λt

Po(1) = e -2.1 = e -2 = 0,135

Pn≥1(1) = 1 – Po(1) = 1–0,135 = 0,865 Maka probabilitas bahwa paling sedikit ada seorang

langganan dalam waktu satu jam adalah 0,865

Soal 2Soal 2

Persediaan suatu barang dari stock yang semula sebanyak 80 unit, diketahui berkurang terus-menerus. Pengurangan ini mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 5 unit per hari.

Berapakah:

a. Probabilitas bahwa telah berkurang sebanyak 10 unit dalam dua hari pertama?

b. Probabilitas bahwa seluruh barang itu habis setelah 4 hari?

PenyelesaianPenyelesaian Merupakan “Distribusi kepergian/ Model kematian murni Diket: µ = 5 unit/ hari

N = 80 unit Ditanya: a. (N-n) = 10 unit, maka n = 70 unit dengan t = 2

hari, sehingga ditanya P70(2)

b. P0 dengan t = 4 hari, maka ditanya P0(4) Jawaban: a.

)!(

}){()(

nN

ettP

tnN

n

125,0!10

10

)!7080(

})25{()2(

1010257080

70

eex

Px

Maka probabilitas bahwa telah berkurang sebanyak 10 unit dalam dua hari pertama adalah 0,125

b. )(1)(1

0 tPtpN

nn

00001,0)}4(...)4()4({1)4(1)4( 8021

80

10

PPPPPn

n

Maka probabilitas seluruh barang habis setelah 4 hari adalah 0,00001

Soal 3Soal 3

Di sebuah gedung pertunjukan hanya terdapat satu loket penjualan tiket. Penonton yang datang untuk membeli tiket mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 30 orang per jam. Waktu yang diperlukan untuk melayani seorang pembeli berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 90 detik. Berapakah:

a. Probabilitas ada 5 orang pembeli di depan loket?b. Ekspektasi panjang antrian termasuk yang sedang

dilayani?c. Ekspektasi panjang antrian tidak termasuk yang

sedang dilayani?

d. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (termasuk waktu pelayanan)?

e. Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian (tidak termasuk waktu pelayanan)?

f. Probabilitas bahwa seorang pembeli tiket harus menunggu sedikitnya 8 menit sejak ia datang di depan loket hingga selesai mendapatkan tiket?

PenyelesaianPenyelesaian

Modelnya “(M/M/1) (FCFS/~/~)” Diketahui:

λ = 30 orang/ jam = 30 orang/ 60 menit = ½ orang/ menit

1/µ = 90 detik/ orang = 90/60 menit/ orang = 3/2 menit/ orang, maka µ = 2/3 orang/ menit

Sehingga tingkat kepadatan pelayanan atau utilisasi adalah: ρ = λ : ( c x µ) = ½ : (1 x 2/3) = ¾

Jawaban:

a) n=5, maka P5=?

Pn = ρn x P0, dimana Po = 1 – ρ

P5 = (1 - ¾) x (¾)5 = 0,059

b) Ls = ? Ls = ρ : (1 – ρ) atau Ls = λ : (µ - λ)Ls = ¾ : (1 - ¾) = 3

c) Lq = ?Lq = Ls x (λ : µ) atau Lq = λ2 : µ x (µ - λ)Lq = 3 x (1/2 : 2/3) = 2,25

d) Ws = ?Ws = Ls : λ atau Ws = 1: (µ - λ)Ws = 3 : ½ = 6 menit/ orang

e) Wq = ?Wq = Lq : λ atau Wq = λ : (µ - λ) x µ atau Wq = Ws – 1/µWq = 6 – 3/2 = 4,5 menit/ orang

f) P(T>8) = ?P(T>t) = ρ x e- µ(1- ρ)t

P(T>t) = ¾ x e-2/3x(1-3/4)x8 = 0,198

Soal 4Soal 4

Tentukanlah semua nilai-nilai seperti pada no 3, jika ada dua loket penjualan!

PenyelesaianPenyelesaian Modelnya “(M/M/2) (FCFS/~/~)” Diketahui:

λ = 30 orang/ jam = 30 orang/ 60 menit = ½ orang/ menit1/µ = 90 detik/ orang = 90/60 menit/ orang = 3/2 menit/ orang, maka µ = 2/3 orang/ menitSehingga tingkat kepadatan pelayanan atau utilisasi adalah: ρ = λ : ( c x µ) = ½ : (2 x 2/3) = 0,375

Jawaban:a) n=5, maka P5=?

0!

):(p

np

n

n

0!

):(p

ccp

cn

n

n

1

0

0

)/(11

!):(

!):(

1c

n

cn

ccn

p

untuk: n≤c (n=1,2,3,…c)

untuk: n≥c (n=c,c+1…)

λ /µ = ½ : 2/3 = ¾

4545,0

])375,0(1

1

!2

)4/3([]

!1

)4/3(

!0

)4/3([

12100

P

00674,04545,02!2

)4/3(3

5

5 x

PMaka P5, adalah:

c) Lq = ?2

0

)1(!

)/(

c

PL

c

q

1227,0)375,01(

375,0

!2

)75,0(4545,02

2

qL

b) Ls = ? )/( qs LL

8727,075,01227,0 sL

:qq LW

)/1( qs WW

e) Wq = ?

d) Ws = ?

Wq = 0,1227 : 0,5 = 0,2454

7454,1)2/3(2454,0 sW

f) P(T>8) = ?)]

/1

1(

)1(!

)/(1[)(

)/1(0

c

e

c

PetTP

ctct

007736,0]75,012

1

)375,01(!2

)4/3(4545,01[)8(

)75,012(83/2283/2

xx e

eTP

Terima KasihTerima Kasih