Post on 24-Jun-2015
description
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
PemodelanPemodelan Sistem KontrolSistem Kontrol
Pembentukan model matematik sistem fisik yang merupakan komponen sistem kontrol
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
PENDAHULUANPENDAHULUANIstilah-istilah dalam bab ini:Model matematik: deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem.
Penyederhanaan lawan (versus) ketelitian: dalam mencari suatu model, kita harus mengkompromikan antara penyederhanaan model dan ketelitian hasil analisis.
Sistem linier: suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang linier.
Sistem linier parameter konstan (time invariant): sistem dinamik linier yang terdiri dari beberapa komponen parameter konstan terkumpul.
Sistem linier parameter berubah (time varying): sistem yang dinyatakan oleh persamaan diferensial yang koefisiennya merupakan fungsi dari waktu.
Sistem nonlinier: sistem yang dinyatakan oleh persamaan nonlinier.
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
FUNGSI ALIHFUNGSI ALIHDefinisiPerbandingan dari tranformasi laplace keluaran (fungsi respon) dan transformasi laplace masukan(fungsi penggerak), dengan anggapan semua syarat awal =0.
nnnn
mmmm
asasasa
bsbsbsb
sX
sYsG
11
10
11
10
...
...
)(
)()(Fungsi alih
Cara mencari fungsi alihLangkah-langkahnya:1. Menulis persamaan diferensial (PD sistem)2. Mencari transformasi laplace dari PD sistem, dengan menganggap semua
syarat awal = 03. Menentukan fungsi alih sistem yaitu perbandingan keluaran Y(s) dan
masukan X(s).
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
FUNGSI ALIHFUNGSI ALIHContoh pada sistem translasi mekanik (Sistem pegas-massa-daspot)
Fma
xkydt
dyf
dt
ydm
2
2
kx
yf
m )0()0()(2
2
2
ysysYsmdt
ydm
L
)0()( yssYfdt
dyf
L
)(skYky L
)(sXx L )()()( 2 sXsYkfsms
kfsmssX
sYsG
2
1
)(
)()(Fungsi alih
PD Sistem
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
FUNGSI ALIHFUNGSI ALIH
AC
+
Contoh pada sistem Rangkaian RLC seri
PD sistem (Hukum Kirchoff)L R
C
∫Ldi
dtiR+ +
C
1 idt= ei
C
1 dt eo∫i =
ei eo
Transformasi Laplace dari PD sistem :
Ls I(s) + RI(s) + I(s)/Cs = Ei (s)
I(s)/Cs = Eo(s)Kondisi awal = 0}
Fungsi Alih Sistem :Ei (s)
Eo (s)
LCs2 + RCs + 1
1==G(s)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
DIAGRAM BLOKDIAGRAM BLOK
Pengertian: Suatu penyajian bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen sistem dan aliran sinyalnya.
Fungsi: melukiskan hubungan timbal balik yang ada antara berbagai komponen sistem.
Bentuk diagram blok:
X(s) Y(s)
X(s): sinyal masukan
Y(s): sinyal keluaran
Fungsi alihG(s)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Komparator : Detektor Kesalahan
R(s) E(s)
C(s)
Diagram blok sistem lup tertutup
Contoh:
R(s) E(s) C(s)
DIAGRAM BLOKDIAGRAM BLOK
+ _
+ _ G(s)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
DIAGRAM BLOKDIAGRAM BLOK
Pengaruh sinyal gangguan (disturbace) pada sistem lup tertutup
gangguan pada N(s)
R(s) C(s)+ _ G1(s) +
+ G2(s)
H(s)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
DIAGRAM BLOKDIAGRAM BLOK
Prosedur penggambaran diagram blok1. Tulis persamaan yang menggambarkan perilaku dinamik tiap
komponen (model sistem)2. Ubahlah persamaan tersebut dengan transformasi laplace menjadi
fungsi alih dengan menganggap semua syarat awal nol3. Sajikan masing-masing persamaan dalam bentuk fungsi alih ini
kedalam blok yang sesuai.4. Rakit elemen-elemen ini menjadi suatu diagram blok lengkap.
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
DIAGRAM BLOKDIAGRAM BLOK
Penyederhanaan diagram blok
Syarat penyederhanaan:
1.hasil kali fungsi alih pada arah umpan maju harus tetap sama
2.hasil kali fungsi alih pada pengelilingan lup harus tetap sama
Suatu upaya penyederhanaan diagram blok dapat dilakukan dengan memindahkan titik cabang dan titik penjumlahan, saling menukar titik penjumlahan dan kemudian menyederhanakan lup umpan balik di dalamnya. Hal ini dapat dilakukan dengan operasi aljabar karena fungsi alih dalam kawasan s merupakan persamaan aljabar. Tabel aljabar diagram blok ini dapat dilihat pada referensi “ Ogata”.
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Sistem Multi Variabel dan Sistem Multi Variabel dan Matriks AlihMatriks Alih
Matriks Alih: Matriks yang merealisasikan transformasi laplace dari vektor keluaran dan transformasi laplace dari vektor masukan.
)()()()()( 2121111 sUsGsUsGsX
)()()()()( 2221212 sUsGsUsGsX
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
2
1
2221
1211
2
1
sU
sU
sGsG
sGsG
sX
sX
++
G11
G21
G12
G22
++
U1(s) X1(s)
U2(s)X2(s)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Aljabar Diagram BlokAljabar Diagram Blok
Diagram blok asal Diagram blok pengganti
A A-B A-B+C
B C
+ +
+-
A A+C A-B+C
C B
+ +
-+
Ξ
A
B
+
-
+
CA-B+C
ΞA A-B A-B+C
B
+ +
-
+
C
1)
2)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Aljabar Diagram BlokAljabar Diagram Blok
Diagram blok asal Diagram blok pengganti
A AG1 AG1G2
Ξ
Ξ
3)
4)
G1 G2
A AG2 AG1G2
G2 G1
A AG1 AG1G2
G1 G2
A AG1G2
G1G2
A AG1
G1
AG2
G2
5)
++
AG1+AG2
ΞA AG1+AG2
G1+G2
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Aljabar Diagram BlokAljabar Diagram Blok
Diagram blok asal Diagram blok pengganti
A AG-B
Ξ6) G
AG-BG
A
B
7) +-
AG-BG
Ξ
AG
B
+-
A-A+-
B
G1G
B
GB
A-B
G
AG+-
AG-BG
G
BGG
A
B
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Aljabar Diagram BlokAljabar Diagram Blok
Diagram blok asal Diagram blok pengganti
A
Ξ8) G
AGG
9)
AG
AG
AG
A
G
AGG
A
A
A
G
AG
Ξ
G1
A
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Aljabar Diagram BlokAljabar Diagram Blok
Diagram blok asal Diagram blok pengganti
10)
11)
A
B
+-
Ξ
B
A-B
-
A-BA
B
A-B
++
-A-B
A AG1
G1
AG2
G2
++
AG1+AG2
Ξ
AG1AG2
++
AG1+AG2
G1G2
A
G2
1
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Aljabar Diagram BlokAljabar Diagram Blok
Diagram blok asal Diagram blok pengganti
12)
13)
Ξ
BA+-
G1
G2
G2
+-
G1G2
1 BA
BA+-
G1
G2
Ξ
A B
1+G1G2
G1
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Contoh :Contoh :
Dengan cara aljabar diagram blok, tentukan fungsi alihSistem berikut :
+
+G1
H1
R+-
-G2 G3
C
H2
+
(1) (2) (3)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Contoh :Contoh :
+
+G1
H1
R+-
-G2 G3
C
+
G1
H2
Langkah pertama blok G1 digeser ke sebelah kanankomparator (3) :
(1) (2) (3)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Contoh :Contoh :
+
R+-
-G3
C
G1
H2
1-G1G2H1
G1G2
Langkah kedua blok G1G2H1 dan komparator (3)
diubah menjadi satu blok:
(1) (2)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Contoh :Contoh :
R+-
C
1-G1G2H1+G2G3H2
G1G2G3
(1)
Langkah ketiga, dengan cara seperti langkah 2, tiga blok yang tersisa dan komparator (2) diubah menjadi satu blok:
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Contoh :Contoh :
R C
1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3
G1G2G3
Langkah terakhir, dengan cara seperti langkah 3, satu blok yang tersisa dan komparator (1) diubah menjadi satu blok:
Atau Fungsi Alih sistem :
R(s)C(s) =
1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3
G1G2G3
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
Fungsi: Membantu memudahkan untuk mencari hubungan antar variabel sistem kontrol yang sangat kompleks.
Pengertian: suatu diagram yang menggambarkan seperangkat persamaan diferensial linier simultan.
Definisi-definisi:1. simpul: suatu titik yang menyatakan suatu variabel atau sinyal2. Transmitasi: penguatan anatara 2 buah simpul3. Cabang: segmen garis berarah yang menghubungkan dua buah simpul4. Simpul masukan atau sumber: simpul yang hanya mempunyai cabang
berarah keluar5. Simpul keluaran atau sink: simpul yang hanya mempunyai cabang
berarah masuk6. Simpul campur: simpul yang mempunyai baik cabang berarah masuk
maupun keluar
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Definisi-definisi:7. lintasan: jalan yang dilewati oleh cabang-cabang yang
berhubungan, pada arah yang ditunjukkan oleh anak panah cabang.
8. Lup: lintasan tertutup9. Penguatan lup: hasil kali transmitansi-transmitansi cabang
pada lup tersebut10. Lup-lup tidak bersentuhan: lup yang tidak mempunyai
simpul bersama11. Lintasan maju: lintasan dari simpul masukan (sumber) ke
simpul keluaran (sink)yang melewati setiap simpul hanya sekali
12. Penguatan lintasan maju: hasil kali transmitansi-transmitansi cabang lintasan maju
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Sifat-sifat grafik aliran sinyal:1. Cabang menunjukan ketergantungan fungsional suatu sinyal
terhadap yang lain. Sinyal hanya lewat pada arah yang ditentukan oleh anak panah cabang.
2. Simpul menjumlah sinyal dari semua cabang masuk dan mentransmisi hasil penjumlahan ini keseluruh cabang ke luar.
3. Simpul campur, yang mempunyai baik cabang masuk maupun cabang keluar, dapat dianggap sebagai simpul keluaran (sink) dengan menambah satu cabang ke luar yang mempunyai transmisi satu.
4. Untuk setiap sistem, grafik aliran sinyalnya adalah tidak unik.
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
a,b,c = percabanganx1,x2,x3,x4 = simpul
a
x2
b
x3
X4
cx1
Diagram penggambaran P.D Linier simultan suatu sistemKontrol yang kompleks (S.J. MASON):
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Penyederhanaan Aljabar diagram aliran sinyal:
a. jalur berderet (simpul bertingkat)
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
a
y
b
y=axz=by=abx
ab
x z
z=abx
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
b. jalur paralel
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
xb
y
a
y=ax+bx=(a+b)x
(a+b)
yx
c. absorpsi simpul
a
bc z
x
y
ac
bc
z=acx+bcy z=acx+bcy
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
d. eliminasi loop
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
x
a
y
b
c
z
z=byy=ax+cz
x
ab z
bc
bc
ab
1
x z
z=b(ax+cz)z=abx+bcz
bc
abz
1
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol
Grafik Aliran SinyalGrafik Aliran Sinyal
Atau Fungsi Alih sistem :
R(s)C(s) = P =
∆1 Σ
kPk ∆k
Pk = penguatan lintasan maju ke k
∆ = 1- Σ La + Σ LbLc – Σ LdLeLf + ….Σ La = jumlah penguatan lup yang berbeda
Σ LbLc = perkalian 2 buah loop yg tidak saling menyentuh
Σ LdLeLf = perkalian 3 buah loop yg tidak saling menyentuh∆k = Jumlah lintasan maju yang ke k (didapat dengan cara
menghilangkan semua lup yang menyentuh lintasan Pk)
Universitas Brawijaya Malang
Sistem Kontrol