Metode SimpleksMaksimum

Nur Asyifa (1113017000032)

Hanna Ramadhana. W (1113017000040)

Ana Matofani (1113017000045)

Jafar as-shodiq Al-jufri (1113017000053)

Andina Aulia Rachma (1113017000054)

Metode simpleks adalah suatu prosedur

aljabar yang bukan secara grafik untuk

mencari nilai optimal dari fungsi tujuan

dalam masalah optimasi yang terkendala

Penentuan solusi optimal dilakukan dengan

memeriksa titik ekstrim satu per satu

dengan cara perhitungan iteratif

Penentuan solusi optimal dengan simpleks

dilakukan tahap demi tahap yang disebut

dengan iterasi

1. Semua kendala berupa persamaan

dengan sisi kanan non negatif

2. Semua variabel non negatif

3. Fungsi tujuan dapat memaksimumkan

atau meminimumkan

Langkah 1 : Membuat permodelan dengan:

a. Menentukan variabel bebas

b. Menentukan batasan-batasan

c. Menentukan fungsi tujuan

Langkah 2 : Menentukan slack atau surplus

Langkah 3 : Membuat tabel iterasi

Langkah 4 : Menentukan pivot kolom dengan mencari nilai fungsi tujuan (Z) terkecil

Langkah 5 : Mencari pivot number dengan cara membagi kolom i

Langkah 6 : Melakukan iterasi pada pivot kolom sehingga nilai pivot kolom menjadi 1

Bayu furniture memproduksi 2 jenis produk yaitu meja

dan kursi yang harus diproses melalui perakitan dan

finishing. Alokasi waktu untuk memproses perakitan

adalah 60 jam kerja dan alokasi waktu proses finishing

adalah 48 jam kerja

Berapakah jumlah meja dan kursi yang

harus diproduksi untuk mendapatkan

keuntungan yang maksimal?

Perakitan Finishing Laba/unit

Meja 4 jam 2 jam Rp. 80.000

Kursi 2 jam 4 jam Rp. 60.000

Variabel bebas :

X1 = banyaknya meja

X2 = banyaknya kursi

Fungsi Tujuan :

Z max = 8X1 + 6X2

Batasan :

4X1 + 2X2 60

2X1 + 4X2 48

X1, X2 ≥ 0

Menambahkan Slack berupa S1, s2 dst. Untuk

menjadikan persamaan bertanda “sama dengan”

4X1 + 2X2 + S1 = 60

2X1 + 4X2 + S2 = 48

-8X1 – 6X2 + Z = 0

Initial Visible Basic Solution

VARIABEL BASIS VARIABEL NON BASIS

SI = 60 X1 = X2 = 0

S2 = 40

Z = 0

Variabel basis dapat dilihat dari tabel yang kolomnya

membentuk matriks identitas.

X1 X2 S1 S2 Z Solusi

4 2 1 0 0 60

2 4 0 1 0 48

-8 -6 0 0 1 0

Langkah 4

X1 X2 S1 S2 Z Solusi

4 2 1 0 0 60

2 4 0 1 0 48

-8 -6 0 0 1 0-8

Variabel

S1

S2

Z

Variabel

S1

S2

Z

Kolom pivot dan sebagai variabel masukPenentu kolom pivot

Langkah 6

X1 X2 S1 S2 Z Solusi

4 2 1 0 0 60

2 4 0 1 0 48

-8 -6 0 0 1 0-8

Variabel

S1

S2

Z

Variabel keluar

Rasio

60:4 = 15

48:2 = 24

-

Pivot number

Langkah 7

X1 X2 S1 S2 Z Solusi

1 1/2 1/4 0 0 15

2 4 0 1 0 48

-8 -6 0 0 1 0-8

baris pivot baru

Variabel

X1

S2

Z

X1 X2 S1 S2 Z Solusi

1 ½ ¼ 0 0 15

0 3 -1/2 1 0 18

0 -2 2 0 1 120

X1 X2 S1 S2 z Solusi

1 0 1/3 -1/6 0 12

0 1 -1/6 1/3 0 6

0 0 5/3 2/3 1 132

Langkah 8

Maka diperoleh x1 = 12 dan x2 = 6

Untuk mendapatkan keuntungan

maksimum, dengan metode simpleks

perusahaan dapat memproduksi meja

sebanyak 12 buah dan kursi sebanyak 6

buah, sehingga mendapat penghasilan

Z maks = 80.000x1 + 60.000x2

= 80.000(12) + 60.000(6)

= 960.000 + 360.000

= 1.320.000

Maks Z = 8X1 + 9X2 + 4X3

Kendala X1 + X2 + 2X3 ≤ 2

2X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 3

7X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 8

X1, X2, X3 ≥ 0

Ubah ke dalam bentuk persamaan

Z = 8X1 + 9X2 + 4X3

Z – 8X1 – 9X2 – 4X3 = 0

X1 + X2 + 2X3 + S1 = 2

2X1 + 3X2 + 4X3 + S2 = 3

7X1 + 6X2 + 2X3 + S3 = 8

X1, X2, X3 ≥ 0

Menentukan kolom pivot dan baris pivot

Variabel X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -8 -9 -4 0 0 0 0 -

S1 1 1 2 1 0 0 2 2:1 = 2

S2 2 3 4 0 1 0 3 3:3 = 1

S3 7 6 2 0 0 1 88:6 =

4/3

-9

Kolom pivot dan sebagai variabel masuk Penentu kolom pivot

Menentukan kolom pivot dan baris pivot

Variabel X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -8 -9 -4 0 0 0 0 -

S1 1 1 2 1 0 0 2 2:1 = 2

S2 2 4 0 1 0 3 3:3 = 1

S3 7 6 2 0 0 1 88:6 =

4/3

3

Pivot number

Baris pivotBaris pivot

Merubah nilai garis pivot

Baris Z -8 -9 -4 0 0 0 0

-9 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1) ___

Baris Baru -2 0 8 0 3 0 9

Variabel X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK

Z -8 -9 -4 0 0 0 0

S1 1 1 2 1 0 0 2

X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

S3 7 6 2 0 0 1 8

Baris S1 1 1 2 1 0 0 2

1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1) __

1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

Baris S3 7 6 -2 0 0 1 8

6 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 __

3 0 -6 0 -2 1 2

Variabel X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK

Z -2 0 8 0 3 0 9

S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

S3 3 0 -6 0 -2 1 2

VB = S1 = 1 VNB = X1=S2=X3=0

X2 = 1

S3 = 2

Z = 9

Karena nilai bariz Z pada kolom X1 masih terdapat angka negatif,

maka tabel belum optimal

Variabel keluar

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -2 0 8 0 3 0 9 -

S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3

X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 3/2

X1 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

Baris kolom baru

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solusi

Z -2 0 8 0 3 0 9

S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

Variabel keluar

Pada tahap ini kita melihat keoptimalan pada tabel

karena terdapat nilai negatif pada baris Z, maka harus dilakukan

pengulangan langkah 2 pada baris selain X2

Baris z -2 0 8 0 3 0 1

-2 (1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3) __

0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

Baris S1 1/3 1 4/3 0 1/3 0 1

1/3 (1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3) __

0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK

Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9

X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

VB = S1 = 7/9

X2 = 5/9 VNB = X3 = S2 = S3 =0

X1 = 2/3

Z = 31/3

Tabel optimal dengan Z maks = 31/3

Baris kolom baru