GRAPH

TEORI GRAPH Tujuan :

1. Mahasiswa memahami konsep dan terminologi graf

2. Mahasiswa memodelkan masalah dalam bentuk graf

3. Mahasiswa dapat menyelesaikan berbagai Persoalan yang terkait dengan Teori Graph

TEORI GRAF

Teori Graf mulai dikenal pada saat seorang matematikawan bangsa Swiss, bernama Leonhard Euler, berhasil mengungkapkan Misteri Jembatan Konigsberg pada tahun 1736. Di Kota Konigsberg (sekarang bernama Kalilingrad, di Uni Soviet) mengalir sebuah sungai bernama sungai Pregel. Di tengah sungai tersebut terdapat dua buah pulau. Dari kedua pulau tersebut terdapat jembatan yang menghubungi ke tepian sungai dan diantara kedua pulau. Jumlah jembatan tersebut adalah 7 buah seperti gambar berikut :

SECARA SINGKAT, DALAM TULISANNYA, EULER MENYAJIKAN KEADAAN JEMBATAN KONIGSBERG TERSEBUT SEPERTI GAMBAR BERIKUT :

Dalam masalah di atas, daratan (tepian A dan B, serta pulau C dan D) disajikan sebagai titik dan jembatan disajikan sebagai ruas garis. Euler mengemukakan teoremanya yang mengatakan bahwa perjalanan yang diinginkan di atas (yang kemudian dikenal sebagai perjalanan Euler) akan ada apabila graf terhubung dan banyaknya garis yang datang pada setiap titik (derajat simpul) adalah genap.

PROBLEMA & MODEL GRAF

Secara umum, langkah-langkah yang perlu dilalui dalam penyelesaian suatu masalah dengan bantuan komputer adalah sebagai berikut :

Problema Model Yang Tepat Algoritma Program Komputer

CONTOH PROBLEMA GRAF :

Petugas kantor telepon yang ingin mengumpulkan koin-koin dari telepon umum. Berangkat dari kantor & kembali ke kantornya lagi.

Yang diharapkan ® suatu rute perjalanan dengan waktu minimal. Masalah di atas dikenal sebagai Travelling Salesman Problem

Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Tetangga Terdekat (yakni menggunakan Metode Greedy)

PERANCANGAN LAMPU LALU LINTAS.

Yang diharapkan pola lampu lalu lintas dengan jumlah fase minimal.

Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Pewarnaan Graf (juga dikenal sebagai Graph Coloring, yakni menggunakan Metode Greedy)

DEFENISI Graf merupakan struktur diskrit yang

terdiri himpunan sejumlah berhingga obyek yang disebut simpul (vertices, vertex) dan himpunan sisi (edges) yang menghubungkan simpul-simpul tersebut. terdiri dari dari Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Notasi sebuah graph adalah G= (V,E) dimana :

V merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), misalkan V = { v1, v2 , ... , vn }

E merupakan himpunan sisi – sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul, misalkan E = {e1, e2 , ... , en}

CONTOH Graf dari masalah jembatan Konigsberg

dapat disajikan sebagai berikut :

Pada graf tersebut sisi e1 = (A, C) dan sisi e2 = (A, C) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul A dan simpul C. Begitu pun dengan sisi e3 dan sisi e4 . Sementara itu, pada graf diatas, tidak terdapat gelang (loop), yaitu sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Dari definisi graf, himpunan sisi

(E)

memungkinkan berupa

himpunan kosong. Jika graf

tersebut mempunyai himpunan

sisi yang merupakan himpunan

kosong maka graf tersebut

dinamakan graf kosong (null

graph atau empty graph)

CONTOH :

Dengan memperhatikan kondisi sisinya, suatu graf dapat dikategorikan sebagai graf tidak berarah dan graf berarah.

Graf tidak berarah, seperti telah dijelaskan pada contoh graf untuk jembatan Konigsberg.

Graf berarah (directed graph, digraph) merupakan graf yang mempunyai sisi yang berarah, artinya satu buah simpul yang dihubungkan oleh sisi tersebut merupakan simpul awal (initial vertex) dan simpul yang lain dikatakan sebagai simpul akhir (terminal vertex)

BEBERAPA JENIS GRAPH GRAPH SEDERHANA (SIMPLE GRAPH)

GRAPH GANDA (MULTI GRAPH)

GRAPH SEMU (PSEUDO GRAPH)

GRAPH BERARAH (DIRECTED GRAPH ATAU DIGRAPH)

PERBANDINGAN JENIS-JENIS GRAPH

DERAJAT GRAPH

Derajat graf adalah jumlah dari derajat vertex-vertexnya. Sedangkan derajat vertex adalah banyaknya edge yang incidence (terhubung) ke edge tersebut.

Contoh :

JUMLAH DERAJAT :

Berdasarkan derajat vertex, sebuah vertex dapat disebut : 

Vertex Ganjil, bila derajat vertexnya merupakan bilangan ganjilVertex Genap, bila derajat vertexnya merupakan bilangan genap Vertex Bergantung / Akhir, bila derajat vertexnya adalah 1 

Vertex Terpencil, bila derajat vertexnya adalah 0

KETERHUBUNGAN

Dalam keterhubungan sebuah graf, akan dikenal beberapa istilah-istilah berikut :1. Walk : barisan vertex dan edge2. Trail : Walk dengan edge yang berbeda3. Path / Jalur : Walk dengan vertex yang

berbeda4. Cycle / Sirkuit : Trail tertutup dengan

derajat setiap vertex = 2

CONTOH :

1. A, B, C, D, E, F, C, A, B, D, C (Walk)

2. A, B, C, D, E, F, C, A (Trail) 3. A, B, C, A (Cycle) 4. A, B, D, C, B, D, E (Walk) 5. A, B, C, D, E, C, F (Trail) 

6. A, B, D, C, E, D (Trail)7. A, B, D, E, F, C, A (Cycle)8. C, E, F (Path)9. B, D, C, B (Cycle)10. C, A, B, C, D, E, C, F, E

(Trail)11. A, B, C, E, F, C, A (Trail)