Teori Graph Widya

25
1 B A B I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang matematika, yang diperkenalkan pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Ide besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan K o nisberg. Dari permasalahan itu, akhirnya Euler mengembangkan beberapa konsep mengenai Teori graf. Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah eksentris digraf pada graf, ED (G), yang diperkenalkan pertama kali oleh Fred Buckley (Boland, J.,1999). Misalkan G adalah graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Jarak dari u ke v di G, dinotasikan d(u,v), adalah panjang lintasan terpendek dari u ke v. Jika tidak ada lintasan titik u dan v, maka d(u,v) = . Eksentrisitas titik v dalam graf G, dinotasikan e(v), adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap titik di G. Titik u adalah titik eksentrik dari v jika jarak dari u ke v sama dengan eksentrisitas dari v atau d(u, v) = e(v). Eksentris digraf pada graf, ED (G), didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan G, V(ED (G)) = V(G), dimana arc (sisi yang mempunyai arah) menghubungkan titik u ke v, jika v adalah titik eksentrik dari u. Contoh graf dan eksentrik digrafnya diberikan pada gambar 1.1. Buckley menyimpulkan bahwa hampir setiap graf G, eksentrik digrafnya adalah ED (G) = ( G )*, dimana ( G )* adalah komplemen dari G yang setiap sisinya diganti dengan arc simetrik.

Transcript of Teori Graph Widya

Page 1: Teori Graph Widya

1

B A B I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu bidang matematika, yang diperkenalkan

pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Ide

besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan K o��nisberg. Dari

permasalahan itu, akhirnya Euler mengembangkan beberapa konsep mengenai

Teori graf.

Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah eksentris digraf pada graf,

ED (G), yang diperkenalkan pertama kali oleh Fred Buckley (Boland, J.,1999).

Misalkan G adalah graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G).

Jarak dari u ke v di G, dinotasikan d(u,v), adalah panjang lintasan terpendek

dari u ke v. Jika tidak ada lintasan titi k u dan v, maka d(u,v) = ∞. Eksentrisitas titi k v

dalam graf G, dinotasikan e(v), adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek)

dari v ke setiap titi k di G. Titik u adalah titi k eksentrik dari v ji ka jarak dari u ke v

sama dengan eksentrisitas dari v atau d(u, v) = e(v).

Eksentris digraf pada graf, ED (G), didefinisikan sebagai graf yang

mempunyai himpunan titi k yang sama dengan G, V(ED (G)) = V(G), dimana arc (sisi

yang mempunyai arah) menghubungkan titi k u ke v, ji ka v adalah titi k eksentrik

dari u. Contoh graf dan eksentrik digrafnya diberikan pada gambar 1.1.

Buckley menyimpulkan bahwa hampir setiap graf G, eksentrik digrafnya

adalah ED (G) = (G )*, dimana (G )* adalah komplemen dari G yang setiap sisinya

diganti dengan arc simetrik.

Page 2: Teori Graph Widya

3

G ED(G)

Gambar 1.1 graf dan eksentrik digrafnya

Boland (1999) memperkenalkan eksentris digraf pada digraf, ED (D). Teori

ini terinspirasi dari peneliti an yang dilakukan oleh Buckley. Tetapi graf yang dikaji

adalah graf berarah (digraf) dengan himpunan titi k dan arc. Titik u menyatakan arc

yang dapat dicapai dari v dalam digraf D ji ka terdapat lintasan berarah dari v ke u.

Eksentrisitas titi k v dalam digraf D, dinotasikan e(v), adalah jarak dari v ke

titi k terjauh dari v. Eksentris digraf pada digraf, ED (D), didefinisikan sebagai graf

yang mempunyai himpunan titi k yang sama dengan G, V(ED (G)) = V(G), dimana

arc menghubungkan titi k v ke u, ji ka dan hanya jika u adalah titi k eksentrik dari v.

1.2 Masalah

Permasalahan yang kita bahas dalam skripsi ini adalah eksentrik digraf pada

kelas-kelas graf, khususnya graf path (lintasan), graf cycle (sikel) dan graf complete

(lengkap).

1.3 Batasan Masalah

Pada skripsi ini graf yang dikaji adalah graf sederhana dan graf hingga.

Dimana graf sederhana adalah graf yang tidak memuat loop dan sisi rangkap

(multiple edges). Loop adalah sisi yang menghubungkan suatu titi k dengan dirinya

sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titi k, maka sisi-sisi

tersebut dinamakan sisi rangkap. Sedangkan graf hingga didefinisikan sebagai graf

v1

v4v3

v2

v5 v6

v1

v4v3

v2

v5 v6

Page 3: Teori Graph Widya

3

yang mempunyai order terbatas. Order didefinisikan sebagai banyaknya titi k yang ada

dalam graf.

1.4 Tujuan

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mendapatkan eksentrik digraf dari graf

lintasan, graf sikel dan graf lengkap.

1.5 Manfaat

Manfaat yang dapat diambil dari peneliti an ini adalah dapat menentukan

maksimal lintasan terpendek dari suatu titi k ke titi k yang lain. Hal ini dapat

diaplikasikan dalam sistem saluran air PDAM, sistem ali ran listrik PLN dan

sebagainya.

Page 4: Teori Graph Widya

4

B A B II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Graf dan Digraf

Graf tak berarah (Undirected Graph) G didefinisikan sebagai pasangan

himpunan (V(G), E(G)) dimana V(G) adalah himpunan tak kosong dari

elemen-elemen yang disebut titi k (vertex) dan E(G) adalah himpunan (mungkin

kosong) dari pasangan tak terurut (u,v) dari titi k titi k u,v di V yang disebut sisi (edge).

Selanjutnya sisi e = (u,v) dalam graf G akan ditulis dengan e = uv dan graf tak

berarah G akan disebut dengan graf G saja. Sebagai contoh graf G diberikan pada

Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Graf G dengan 5 titik dan 6 sisi

Graf G pada Gambar 2.1 adalah graf dengan himpunan titi k V(G) = { v1, v2, v3, v4, v5}

dan himpunan sisi E(G) = { e1, e2, e3, e4, e5, e6} yaitu pasangan tak terurut dari { v1 v2,

v2v3, v3 v4, v4 v5, v5v1, v5v2}.

Digraf (Graf berarah/ Directed Graph) D adalah pasangan himpunan

(V(D), A(D)) dimana V(D) adalah himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang

disebut titi k (vertex) dan A(D) adalah himpunan dari pasangan terurut (uv), yang

mempunyai arah dari u ke v, dari titi k-titi k u,v di V yang disebut arc. Arc yang

menghubungkan titi k u ke titi k v dan titi k v ke titi k u dinamakan arc simetrik, yang

dinotasikan dengan a = uv. Contoh digraf D diberikan pada Gambar 2.2, dengan

v1

v2 v3

v4

e4

e1 e3

e5

e2

e6

v5

Page 5: Teori Graph Widya

5

himpunan titi k V(D) = { v1, v2, v3, v4, v5} dan himpunan arc A(D) = { a1, 2a , a3, a4,

a5, 6a } yaitu pasangan terurut dari { v1v2, vv , v3v4, v4v5, v1v5, vv }.

Gambar 2.2 Digraf D dengan 5 titik dan 6 sisi

2.2 Definisi dan Notasi

Order n dari graf G adalah banyaknya titi k yang ada di G yaitu n. Graf yang

mempunyai order terbatas dinamakan graf hingga. Sebagai contoh Gambar 2.3

adalah graf order 4.

Gambar 2.3 Graf G order 4

Dalam suatu graf G, apabila suatu titi k v dihubungkan dengan dirinya sendiri

atau e = vv, maka sisi e dinamakan loop. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang

menghubungkan dua titi k, maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple

edges). Graf yang tidak memuat loop dan sisi rangkap dinamakan graf sederhana

(simple graf). Pada skripsi ini, graf yang dikaji adalah graf sederhana dan graf hingga.

v3

v2v1

v4

2 3 5 2

v1 v4

a2v2 v3

a4

a3

a5

a6

a1 v5

Page 6: Teori Graph Widya

6

Contoh graf yang memuat loop dan sisi rangkap diberikan pada Gambar 2.4, dimana

e2 dan e4 adalah loop, sedangkan sisi e6 e7 adalah sisi rangkap.

Jika dua titi k v1 dan v2 di graf G dihubungkan oleh suatu sisi e, maka titi k v1

dan v2 dikatakan adjacent (tetangga) dan sisi e insiden dengan kedua titi k yang

dihubungkan.

Gambar 2.5 Graf untuk mengilustrasikan adjacent dan insiden

Pada Gambar 2.5, titi k-titi k yang adjacent adalah v1 dan v2, v2 dan v3, v3 dan v4, v4 dan

v1, v1 dan v3, sedangkan sisi e1 insiden dengan v1 dan v2, e2 insiden dengan v2 dan v3, e3

insiden dengan v3 dan v4, e4 insiden dengan v4 dan v1, dan e5 insiden dengan v1 dan v3.

Derajat (degree) dari titi k v adalah jumlah sisi yang berinsiden dengan titi k v,

dinotasikan dengan deg (v). Misalkan pada gambar 2.5, deg (v1) = deg (v3) = 3 dan

deg (v2) = deg (v4) = 2. Jika setiap titi k dalam suatu graf G mempunyai derajat yang

sama, maka graf tersebut dinamakan graf reguler.

Gambar 2.4 Graf dengan loop dan sisi rangkap

v3

v1

v4

v2e1

e2

e3

e4e5

e2v1 v2

v4 v3

e1

e3

e4

e5

e8e7

e6

Page 7: Teori Graph Widya

7

Sebuah jalan (walk) W pada graf G adalah barisan berhingga yang diawali dan

diakhiri dengan titi k, yaitu:

W = v0, e1, v1, e2, v2, e3, . . ., vn-1, en, vn (n ≥ 0)

dimana suku-sukunya bergantian antara titi k dan sisi, sedemikian hingga (vi,vi+I)

adalah sisi di G, untuk 1≤ i ≤ n-1. Jalan dikatakan tertutup jika v0 = vn dan terbuka

jika v0 ≠ vn. Suatu jalan yang barisan titi k-titi knya tidak ada pengulangan dinamakan

lintasan (path), tetapi ji ka yang berbeda adalah sisi-sisinya, maka jalan tersebut

disebut jejak (trail ). Sikel (cycle) didefinisikan sebagai jalan tertutup dengan barisan

titi k yang berbeda. Dengan kata lain, sikel adalah suatu lintasan yang tertutup.

Barisan v1, e1, v2, e7, v4, e6, v1, e5, v5, e4, v4, e3, v3 dari Gambar 2.6 adalah jalan,

barisan v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v5 adalah lintasan, barisan v1, e1, v2, e7, v4, e6, v1, e5,

v5, e4, v4, e3, v3 adalah jejak dan barisan v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v5, e5, v1 adalah

sikel.

2.3 Graf Terhubung dan Komplemen Graf

Graf H dikatakan subgraf dari graf G ji ka setiap titi k di H adalah titi k di G

dan setiap sisi di H adalah sisi di G. Dengan kata lain V(H) ⊆ V(G) dan E(H) ⊆ E(G).

Pada Gambar 2.7, G1 adalah subgraf dari G tetapi G2 bukan subgraf dari G karena ada

sisi v2 v3 di G2 yang bukan merupakan elemen dari E(G).

Gambar 2.6 Graf untuk mengilustrasikan jalan

v3

v1

v4

v2e1

e2

e3

e4

e5

v5

e6 e7

Page 8: Teori Graph Widya

8

Jika setiap pasang titi k di graf G ada lintasannya, maka G dinamakan

terhubung (connected). Komponen dari graf adalah subgraf terhubung maksimal

dari G. Jadi, setiap graf terhubung hanya mempunyai satu komponen. Sedangkan

untuk graf tak terhubung, memiliki sedikitnya dua komponen. Gambar 2.8 adalah

contoh untuk graf terhubung dan graf tak terhubung.

(a) (b)

Gambar 2.8 Graf terhubung dan graf tak terhubung

Misalkan ada dua graf G1 dan G2, dimana himpunan titi k V(G1) dan himpunan

titik V(G2) saling asing, begitu juga himpunan sisi E(G1) dan himpunan sisi E(G2).

Gabungan dari G1 dan G2 dinotasikan dengan G1 ∪ G2, adalah graf dengan himpunan

titik V(G1 ∪ G2) = V(G1) ∪ V(G2) dan himpunan sisi E(G1 ∪ G2) = E(G1) ∪ E(G2).

Gambar 2.7 Graf dan subgraf

v1v1

v4

v3

v2

v3

v4 v2

G: G1: v1

v4 v2

v3

G2:

Page 9: Teori Graph Widya

9

Sebagai contoh graf gabungan diberikan pada Gambar 2.9.

Gambar 2.9 Gabungan graf

Komplemen dari Graf G, dinotasikan dengan G , adalah graf dengan

himpunan titi k yang sama dengan himpunan titi k di G, dengan kata lain

V(G) = V(G ), dan titi k u,v di G adalah adjacent ji ka dan hanya jika titi k u,v di G

tidak adjacent. Contoh graf dan komplemennya dapat dili hat pada Gambar 2.10.

2.4 Kelas-kelas Graf

Graf terbagi dalam beberapa kelas. Pada skripsi ini, kelas graf yang kita kaji

adalah graf path (lintasan), graf cycle (sikel) dan graf complete (lengkap).

Gambar 2.10 Graf dan komplemennya G

G GG

v1

v3 v2

v5v4v2

v1

v2

v1

v3

G1:

G2:

G : G1 ∪ G2

v1

v2

v3

v4v5

v1

v2

v3

v5 v4

Page 10: Teori Graph Widya

10

2.4.1 Graf Path (lintasan)

Graf path (lintasan) ialah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan

dengan n titi k, dinotasikan dengan Pn. Beberapa contoh dari graf lintasan, diberikan

pada Gambar 2.11.

P1 :

P2 :

P3 :

Gambar 2.11 Graf lintasan

2.4.2 Graf cycle (sikel)

Graf cycle (sikel) ialah graf yang terdiri dari satu sikel. Graf sikel dengan n

titi k, dinotasikan dengan Cn. Pada graf sikel, jumlah titi knya minimal 3. Gambar 2.12

adalah contoh dari graf sikel.

Gambar 2.12 Graf sikel

v1

v1 v2

v2v1 v3

C5C4C3

v2

v3 v2

v2

v4 v3

v1

v1

v5

v3v4

Page 11: Teori Graph Widya

11

2.4.3 Graf Complete (lengkap)

Graf complete (lengkap) didefinisikan sebagai graf dimana setiap dua titi k

berbeda di G dihubungkan dengan sisi. Graf lengkap dengan n titi k dinotasikan

dengan Kn. Beberapa contoh dari graf lengkap, diberikan pada Gambar 2.13.

2.4.4 Graf n - partit

Graf n- partit didefinisikan sebagai graf dimana himpunan titi k V(G) dapat

dipisah menjadi n himpunan titi k, yaitu V1(G), V2(G), …, Vn(G). Sisi-sisi pada graf

n-partit terhubung dari titi k-titi k pada Vi(G) ke titi k-titi k pada himpunan titi k selain

Vi(G) atau )(GVi , dimana )(GVi adalah komplemen dari Vi(G). Untuk n = 2,

dinamakan graf bipartit. Jika V1 = k dan V2 = l, maka graf bipartit tersebut

dinotasikan dengan Bk,l. Sedangkan untuk n = 3, dinamakan graf tripatit, yang

dinotasikan dengan Tk,l,m. Contoh graf bipartit dan graf tripartit dapat dili hat pada

Gambar 2.14

K4K3 K5

Gambar 2.13 Graf lengkap

v3 v2

v1 v2

v4 v3

v1

v1

v2v5

v3v4

Page 12: Teori Graph Widya

12

Gambar 2.14 Graf bipartit dan graf tripartit

2.5 Eksentrisitas

Jarak (distance) antara titi k u dan v di graf G, dinotasikan dengan d(u,v)

adalah panjang lintasan terpendek dari u ke v di G. Jika tidak ada lintasan dari titi k u

ke v, maka d(u,v) = ∞.

Gambar 2.15 Graf untuk mengilustrasikan jarak

Pada Gambar 2.15, d(v1, v3) = d(v1, v4) = 2, d(v2, v6) = ∞.

Untuk masalah lintasan terpendek, kita akan bahas mengenai algoritma BFS

(Breadth First Search) Moore. Ini berarti bahwa didalam setiap langkah, algoritma itu

mengunjungi semua titi k yang adjacent dari titi k yang dicapai pada langkah tersebut.

Algoritma BFS Moore untuk lintasan terpendek, dimana semua sisi mempunyai

panjang 1, adalah:

[G = (V(G), E(G), u, v]

1. Mengambil salah satu titi k, misal u, dan diberi label 0

v2

v4 v6

v1 v3

v5 v7

B3,2 T3,2,3

v1 v2 v3

v7 v8v6

V1

V3

v4V2v5

v5v4

v1 v2 v3V1

V2

Page 13: Teori Graph Widya

13

2. Semua titi k yang adjacent dengan u diberi label 1

3. Semua titi k yang adjacent dengan 1 diberi label 2 dan demikian seterusnya

sampai titi k yang dimaksud, misal v, sudah berlabel

4. Selanjutnya penelusuran langkah mundur menghasilkan lintasan terpendek, yaitu

k (= label titi k v), k – 1, k – 2, ..., 0.

Eksentrisitas titi k v di graf G, dinotasikan e(v), adalah jarak terjauh

(maksimal li ntasan terpendek) dari v ke setiap titi k di G, dengan kata lain:

e(v) = max { d(v, u) u ∈ V(G)} .

Titik v adalah titi k eksentrik dari u ji ka jarak dari v ke u sama dengan eksentrisitas

dari u atau d(v, u) = e(u). Radius pada graf G, dinotasikan dengan rad(G), adalah

eksentrisitas minimum dari G. Sedangkan diameter pada graf G, dinotasikan dengan

diam (G), didefinisikan sebagai eksentrisitas maksimum dari G. Sebuah titi k pada G,

dinamakan titi k sentral ji ka eksentrisitasnya adalah sama dengan rad (G), dengan kata

lain e(u) = rad (G). Center dari graf G adalah subgraf pada G yang terbentuk dari titi k

sentral yang saling dihubungkan.

Gambar 2.16 Graf untuk mengilustrasikan eksentrisitas

Dari graf G pada Gambar 2.16:

e(v1) = 3 dengan titi k eksentrik v4;

e(v2) = 2 dengan titi k eksentrik v4 dan v5;

e(v3) = 2 dengan titi k eksentrik v1 dan v6;

e(v4) = 3 dengan titi k eksentrik v1;

v1 v2 v3

v4v5v6

Page 14: Teori Graph Widya

14

e(v5) = 2 dengan titi k eksentrik v1 dan v2;

e(v6) = 2 dengan titi k eksentrik v3 dan v4.

Setelah titi k eksentrik dari setiap titi k v di G didapatkan, maka antara titi k v

dengan titi k eksentriknya dihubungkan oleh arc. Graf yang dihasilkan dinamakan

eksentrik digraf dari graf G, ED(G), yang didefinisikan sebagai graf yang

mempunyai himpunan titi k yang sama dengan G atau V(ED(G)) = V(G) dimana arc

menghubungkan titi k u ke v, ji ka v adalah titi k eksentrik dari u. Contoh graf dengan

eksentrik digrafnya diberikan pada gambar 2.17. Eksentrik digraf dari graf lintasan,

graf sikel dan graf lengkap akan dibahas secara lengkap pada BAB II I.

G ED(G)

Gambar 2.17 Graf G dan eksentrik digrafnya

v4v5v6

v4

v3v2

v5v6

v1v1 v2 v3

Page 15: Teori Graph Widya

15

B A B III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini, akan kita bahas mengenai eksentrik digraf pada graf lintasan,

graf sikel dan graf lengkap. Diasumsikan bahwa pada graf lintasan, graf sikel dan graf

lengkap, jarak antara dua titi k berbeda yang adjacent adalah 1.

3.1 Eksentrik Digraf pada Graf Lintasan

Misalkan graf lintasan Pn dengan himpunan titik

V(Pn) = { v1, v2, v3, ..., vn}

dan himpunan sisi

E(Pn) = { e1, e2, e3, ..., en-1}

dimana

ei = vivi+1 untuk setiap i = 1, 2, ..., n.

Eksentrisitas titik v pada graf lintasan Pn untuk n ganjil adalah sebagai berikut:

e(v1) = e(vn) = n - 1

e(v2) = e(vn-1) = n – 2�

e( ) = e(v ) = n - 2

1+n,

maka

e(vi) = n – i untuk i = 1, 2, …, 2

1+n

dan

e(vi) = i – 1 untuk i = 2

3+n,

2

5+n, …, n

Jadi dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn untuk n ganjil

adalah:

e(vi) = î

++=

+=

..., ,2

5 ,

2

3

2

1 ..., ,2 ,1

untuk 1

untuk

nnn

ii

niin

Setelah nilai eksentrisitas e(vi) diperoleh, maka kita dapat menentukan titik eksentriknya

dengan mudah, yaitu:

vn+1

2n -

2

n- 1

Page 16: Teori Graph Widya

16

î

++=

+=

= 1 , untuk

untuk darieksentrik titik

... ,2

3 ,

2

1

2

1 ..., ,2 ,1

niv

ivv

nn

nn

Graf Pn dengan n ganjil mempunyai center berupa titik, yaitu titik v , sehingga titik eksentriknya

ada 2 yaitu titik v1 dan titik vn, dimana jarak antara v ke v1 adalah sama dengan jarak antara v ke

vn. Sehingga akan ada arc dari v ke vn dan dari v ke v1 yang akan kita notasikan secara

berturut-turut dengan a dan � .

Eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) dengan n ganjil adalah digraf dengan himpunan

titik V(ED(Pn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Pn)) = { a1, a2, a3, ..., an, � } ,

dimana:

nnn

ivv

nivv

i

ni

..., ,

,

untuk

..., , ,untuk

2

5

2

3

2

1 3 ,21

1

++

+

=

=

dan

� i = viv1 2

1 untuk

+= ni .

Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n ganjil adalah n + 1. Dengan demikian, eksentrik digraf pada

graf lintasan ED(Pn) untuk n ganjil adalah digraf tripartit T1, , , dengan himpunan titik V1 = { v

} , V2 = { v1, v2, …, v } dan V3 = { v ,v , …, vn} . Contoh eksentrik digraf dari graf Pn untuk n

ganjil diberikan pada Gambar 3.1.

P3 ED (P3) = T1, 1, 1

ai =

n+1

2

v1 v2 v3v1 v2

v3

v1

v2

v3 V3

V2

V1

n+12

n+1

2

n+1

2

n+1

2

n+1

2

n+1

2

n+1

2

n-1

2

n-1

2n+1

2

n-1

2

n+3

2

n+5

2

i

Page 17: Teori Graph Widya

17

Gambar 3.1 Graf P3, P5, P7 dan eksentrik digrafnya

Dengan cara serupa seperti pada n ganjil , maka eksentrisitas titik v pada graf lintasan Pn

dengan n genap dapat dijelaskan sebagai berikut:

e(v1) = e(vn) = n - 1

e(v2) = e(vn-1) = n – 2

� e(v ) = e(v ) = n -

2

n.

Sehingga eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn untuk n genap adalah:

n2

P5

ED (P5) = T1, 2, 2

P7

ED (P7) = T1, 3, 3

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

a3

n+22

v1 v2 v3 v4 v5

V3

v1 v2 v3 v4v5

v1 v2

v5 v4

v3

V2

V1

v1

v2

v3

v4

v5

v6v7

v1 v2 v3

v6 v5v7

v4

V1

V2

V3

Page 18: Teori Graph Widya

18

e(vi) = î

=−

=−

++ . ..., , , untuk 1

, ..., ,untuk

2

4

2

22

2 ,1

nnn

ii

niin

Dengan demikianî

++=

==

. , untuk

untuk darieksentrik titik

... ,2

4 ,

2

2

2

..., ,2 ,1

1

,

nnn

iv

ivv

nn

i

Untuk n genap, eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf dengan

himpunan titik V(ED(Pn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(Pn) = { a1, a2, a3, ..., an} , dimana:

vivn i = 1,2

..., ,3 ,2n

viv1 i = ..., ,2

4 ,

2

2n

nn ++

Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n genap adalah n. Dengan demikian untuk n genap, maka

eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B , , dengan himpunan titik V1 = { v1,

v2, …, v } dan V2 = { v , v , …, vn} . Gambar 3.2 adalah contoh eksentrik digraf pada graf Pn untuk

n genap.

P2 ED (P2) = B1, 1

P4 ED (P4) = B2, 2

ai =

v1 v2 v1 v2

v1

v2 V2

V1

v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4

v1

V1

v2

v3 v4

V2

v1

V1

v2

v3 v4

V2

n2

n2

n2

n+22

n+22

Page 19: Teori Graph Widya

19

Gambar 3.2 Graf P2, P4, P6 dan eksentrik digrafnya

3.2 Eksentrik Digraf pada Graf Sikel

Misalkan graf sikel Cn mempunyai himpunan titik

V(Cn) = { v1, v2, v3, ..., vn}

dan himpunan sisi

E(Cn) = { e1, e2, e3, ..., en}

dimana

ei =î

=−=+

1

1

121

nivv

, ..., n, ivv

i

ii

Eksentrisitas titik e(vi) pada graf sikel Cn adalah sama untuk setiap titiknya, yaitu e(v1) =

e(v2) = …= e(vn). Hal ini disebabkan karena jarak terjauh (maksimal li ntasan terpendek) dari setiap

titiknya adalah sama, yaitu 2

1−n untuk n ganjil dan

2

n untuk n genap. Jadi eksentrisitas titik e(vi)

pada graf sikel Cn untuk setiap i = 1, 2, ..., n adalah:

e(vi) = î

− ganjil jika

genap jika

2

1

2

nn

nn

Dengan demikian, untuk n ganjil:

P6

ED (P6) = B3, 3

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 v2 v3 v4 v5v6

v1

V1

v2

v4 v5

V2v6

v3

Page 20: Teori Graph Widya

20

. ..., , ,dan

,dan

, ..., , dan

2

5

2

3

2

1

2

12 ,1

1

nnn

ivv

nivv

nivv

n

++

+

=

=

=

Eksentrik digraf pada graf sikel, ED(Cn), untuk n ganjil , adalah digraf dengan

himpunan titik V(ED(Cn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Cn)) = { a1, a2, ..., an, � 1, � 2,

..., � n } , dimana:

ai = î

++=

+=

..., , , untuk

...,untuk

2

5

2

32

1 ,2 ,1

nnn

ivv

nivv

dan

� i =î

++=

−=

..., ,2

3 ,

2

12

121

untuk

..., , ,untuk

nnn

ivv

nivv

Jadi jumlah arc dalam ED(Cn) untuk n ganjil adalah dua kali jumlah titiknya, yaitu 2n.

Dengan demikian, untuk n ganjil eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah digraf

sikel nC dengan jarak setiap arcnya 2

1−n, dimana arcnya adalah arc simetrik. Contoh eksentrik

digraf dari graf Cn dengan n ganjil diberikan pada Gambar 3.3.

v1

v2v3

v1

v2v3C3 ED(C3) = 3C

titik eksentrik dari vi =

n - 12

i +

n - 12

i - n + 12

i -

n - 12

i +

n + 1

2i -

i

i

n + 12

i +

n - 12

i -

i

i

n + 12

i +

Page 21: Teori Graph Widya

21

Gambar 3.3 Graf C3, C5, C7 dan eksentrik digrafnya

Selanjutnya, dengan cara yang sama seperti pada n ganjil , maka titik eksentrik dari graf Cn

dengan n genap adalah sebagai berikut:

titik eksentrik dari vi = î

++=

=

nnn

iv

niv

..., ,2

4,

2

22

..., ,2 ,1

untuk

untuk

Eksentrik digraf dari graf sikel, ED(Cn), untuk n genap, adalah digraf dengan

himpunan titik V(ED(Cn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Cn)) = { a1, a2, a3, ..., an} ,

dimana:

ai = î

=

=

++ . ..., , ,untuk

, ..., ,untuk

2

4

2

22

2 ,1

nnn

ivv

nivv

n2

i +

n2

i +i

i n2

i -

n2

i -

C5 ED(C5) = 5C

v1

v5 v2

v3v4

v1

v5 v2

v3v4

v1

v4 v3

v5v2

v4v5

v1

v7 v2

v3v6

v1

v5 v4

v3

v4

v1

v7 v2

v5

v6 v7v3v6 v2

C7 ED(C7) = 7C

Page 22: Teori Graph Widya

22

Jadi jumlah arc dalam ED(Cn) untuk n genap adalah n, dimana ai dapat digambarkan sebagai l intasan

dengan dua titik yang berjarak 2

n.

Sehingga eksentrik digraf dari graf sikel dengan n genap ED(Cn) adalah gabungan 2

n

digraf lintasan dengan dua titik, yang dinotasikan dengan � 2

1

2

n

i

P=

, dimana setiap arcnya adalah

simetrik. Contoh eksentrik digraf pada graf Cn dengan n genap diberikan pada Gambar 3.4.

C4 ED(C4) = 2 2P

C6 ED(C6) = 3 2P

v6

v1

v5 v4

v2

v3

v1

v6

v5 v4

v2

v3

v2

v1

v4

v3

v6v5

C8 ED(C8) = 4 2P

v8

v7

v5

v1 v2

v3

v4

v6 v5

v1 v2

v3

v4

v8

v7

v6

v4

v8

v1

v5

v3

v7v6

v2

v1

v4

v2

v3

v1

v4

v2

v3

v2

v4

v1

v3

Page 23: Teori Graph Widya

23

Gambar 3.4 Graf C4, C6, C8 dan eksentrik digrafnya

3.3 Eksentrik Digraf pada Graf Lengkap

Misalkan graf lengkap Kn mempunyai himpunan titik

V(Kn) = { v1, v2, v3, ..., vn}

dan himpunan sisi

E(Kn) = { vivj | i ≠ j, i< j dan i, j = 1, 2, …, n }

dimana jumlah sisinya adalah 2

1n(n – 1).

Dari definisi graf lengkap, maka dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas titik e(vi) pada

setiap graf lengkap Kn adalah sama pada setiap titiknya, yaitu 1. Sehingga titik eksentrik dari vi untuk

setiap i = 1, 2, …, n adalah semua titik dalam Kn kecuali dirinya sendiri atau vi, dimana vi adalah

komplemen dari vi.

Jadi eksentrik digraf dari graf lengkap ED(Kn) adalah graf dengan himpunan titik V(ED

(Kn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc

A(ED (Kn)) = { jivv | i ≠ j dan i, j = 1, 2, …, n }

Dimana jivv adalah arc yang terhubung dari titik vi ke titik vj dan dari tit ik vj ke titik vi. Jadi

banyaknya arc pada ED(Kn) adalah n(n – 1).

Sehingga eksentrik digraf dari graf lengkap ED (Kn) adalah digraf lengkap nK yang setiap

arcnya simetrik. Contoh eksentrik digraf dari graf lengkap Kn diberikan pada Gambar 3.5.

K4 ED(K4)

v1

v4

v2

v3

v1

v4

v2

v3

Page 24: Teori Graph Widya

24

Gambar 3.5 Graf K4, K5 dan eksentrik digrafnya

v1

v5 v2

v3v4

v1

v5 v2

v3v4

K5 ED(K5)

Page 25: Teori Graph Widya

27

B A B IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka kesimpulan yang dapat

diambil mengenai eksentrik digraf pada graf lintasan, graf sikel dan graf lengkap

adalah sebagai berikut:

1. Eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) dibedakan menjadi dua, yaitu:

a. Untuk jumlah titik n ganjil , eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf

tripartit T1, , dengan himpunan titik V1 = { v } , V2 = { v1, v2, …, v } dan V3 = { v ,v ,

…, vn} .

b. Untuk jumlah titik n genap, eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B

, dengan himpunan titik V1 = { v1, v2, …, v } dan V2 = { v , v , …, vn} .

2. Eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) dibedakan menjadi dua, yaitu:

a. Untuk jumlah titik n ganjil , eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah digraf sikel nC

yang setiap arcnya adalah arc simetrik yang berjarak 2

1−n.

b. Untuk jumlah titik n genap, eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah gabungan

2

n digraf lintasan dengan 2 titik � 2

1

2

n

i

P=

, dimana arcnya adalah arc simetrik.

3. Eksentrik digraf dari graf lengkap ED(Kn) adalah digraf lengkap nK yang setiap

arcnya adalah simetrik.

4.2 Saran

Peneliti an mengenai eksentrik digraf masih dapat dikembangkan pada graf-

graf yang lain, misalnya pada graf berbobot, baik yang berarah maupun yang tidak

berarah.

n-12

n

2

n

2

n-12

n+12

n-1

2n+3

2

n+5

2

n

2n+22

n+42