Teori Graph Widya
-
Upload
api-3839714 -
Category
Documents
-
view
3.206 -
download
4
Transcript of Teori Graph Widya
1
B A B I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu bidang matematika, yang diperkenalkan
pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Ide
besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan K o��nisberg. Dari
permasalahan itu, akhirnya Euler mengembangkan beberapa konsep mengenai
Teori graf.
Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah eksentris digraf pada graf,
ED (G), yang diperkenalkan pertama kali oleh Fred Buckley (Boland, J.,1999).
Misalkan G adalah graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G).
Jarak dari u ke v di G, dinotasikan d(u,v), adalah panjang lintasan terpendek
dari u ke v. Jika tidak ada lintasan titi k u dan v, maka d(u,v) = ∞. Eksentrisitas titi k v
dalam graf G, dinotasikan e(v), adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek)
dari v ke setiap titi k di G. Titik u adalah titi k eksentrik dari v ji ka jarak dari u ke v
sama dengan eksentrisitas dari v atau d(u, v) = e(v).
Eksentris digraf pada graf, ED (G), didefinisikan sebagai graf yang
mempunyai himpunan titi k yang sama dengan G, V(ED (G)) = V(G), dimana arc (sisi
yang mempunyai arah) menghubungkan titi k u ke v, ji ka v adalah titi k eksentrik
dari u. Contoh graf dan eksentrik digrafnya diberikan pada gambar 1.1.
Buckley menyimpulkan bahwa hampir setiap graf G, eksentrik digrafnya
adalah ED (G) = (G )*, dimana (G )* adalah komplemen dari G yang setiap sisinya
diganti dengan arc simetrik.
3
G ED(G)
Gambar 1.1 graf dan eksentrik digrafnya
Boland (1999) memperkenalkan eksentris digraf pada digraf, ED (D). Teori
ini terinspirasi dari peneliti an yang dilakukan oleh Buckley. Tetapi graf yang dikaji
adalah graf berarah (digraf) dengan himpunan titi k dan arc. Titik u menyatakan arc
yang dapat dicapai dari v dalam digraf D ji ka terdapat lintasan berarah dari v ke u.
Eksentrisitas titi k v dalam digraf D, dinotasikan e(v), adalah jarak dari v ke
titi k terjauh dari v. Eksentris digraf pada digraf, ED (D), didefinisikan sebagai graf
yang mempunyai himpunan titi k yang sama dengan G, V(ED (G)) = V(G), dimana
arc menghubungkan titi k v ke u, ji ka dan hanya jika u adalah titi k eksentrik dari v.
1.2 Masalah
Permasalahan yang kita bahas dalam skripsi ini adalah eksentrik digraf pada
kelas-kelas graf, khususnya graf path (lintasan), graf cycle (sikel) dan graf complete
(lengkap).
1.3 Batasan Masalah
Pada skripsi ini graf yang dikaji adalah graf sederhana dan graf hingga.
Dimana graf sederhana adalah graf yang tidak memuat loop dan sisi rangkap
(multiple edges). Loop adalah sisi yang menghubungkan suatu titi k dengan dirinya
sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titi k, maka sisi-sisi
tersebut dinamakan sisi rangkap. Sedangkan graf hingga didefinisikan sebagai graf
v1
v4v3
v2
v5 v6
v1
v4v3
v2
v5 v6
3
yang mempunyai order terbatas. Order didefinisikan sebagai banyaknya titi k yang ada
dalam graf.
1.4 Tujuan
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mendapatkan eksentrik digraf dari graf
lintasan, graf sikel dan graf lengkap.
1.5 Manfaat
Manfaat yang dapat diambil dari peneliti an ini adalah dapat menentukan
maksimal lintasan terpendek dari suatu titi k ke titi k yang lain. Hal ini dapat
diaplikasikan dalam sistem saluran air PDAM, sistem ali ran listrik PLN dan
sebagainya.
4
B A B II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Graf dan Digraf
Graf tak berarah (Undirected Graph) G didefinisikan sebagai pasangan
himpunan (V(G), E(G)) dimana V(G) adalah himpunan tak kosong dari
elemen-elemen yang disebut titi k (vertex) dan E(G) adalah himpunan (mungkin
kosong) dari pasangan tak terurut (u,v) dari titi k titi k u,v di V yang disebut sisi (edge).
Selanjutnya sisi e = (u,v) dalam graf G akan ditulis dengan e = uv dan graf tak
berarah G akan disebut dengan graf G saja. Sebagai contoh graf G diberikan pada
Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Graf G dengan 5 titik dan 6 sisi
Graf G pada Gambar 2.1 adalah graf dengan himpunan titi k V(G) = { v1, v2, v3, v4, v5}
dan himpunan sisi E(G) = { e1, e2, e3, e4, e5, e6} yaitu pasangan tak terurut dari { v1 v2,
v2v3, v3 v4, v4 v5, v5v1, v5v2}.
Digraf (Graf berarah/ Directed Graph) D adalah pasangan himpunan
(V(D), A(D)) dimana V(D) adalah himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang
disebut titi k (vertex) dan A(D) adalah himpunan dari pasangan terurut (uv), yang
mempunyai arah dari u ke v, dari titi k-titi k u,v di V yang disebut arc. Arc yang
menghubungkan titi k u ke titi k v dan titi k v ke titi k u dinamakan arc simetrik, yang
dinotasikan dengan a = uv. Contoh digraf D diberikan pada Gambar 2.2, dengan
v1
v2 v3
v4
e4
e1 e3
e5
e2
e6
v5
5
himpunan titi k V(D) = { v1, v2, v3, v4, v5} dan himpunan arc A(D) = { a1, 2a , a3, a4,
a5, 6a } yaitu pasangan terurut dari { v1v2, vv , v3v4, v4v5, v1v5, vv }.
Gambar 2.2 Digraf D dengan 5 titik dan 6 sisi
2.2 Definisi dan Notasi
Order n dari graf G adalah banyaknya titi k yang ada di G yaitu n. Graf yang
mempunyai order terbatas dinamakan graf hingga. Sebagai contoh Gambar 2.3
adalah graf order 4.
Gambar 2.3 Graf G order 4
Dalam suatu graf G, apabila suatu titi k v dihubungkan dengan dirinya sendiri
atau e = vv, maka sisi e dinamakan loop. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang
menghubungkan dua titi k, maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple
edges). Graf yang tidak memuat loop dan sisi rangkap dinamakan graf sederhana
(simple graf). Pada skripsi ini, graf yang dikaji adalah graf sederhana dan graf hingga.
v3
v2v1
v4
2 3 5 2
v1 v4
a2v2 v3
a4
a3
a5
a6
a1 v5
6
Contoh graf yang memuat loop dan sisi rangkap diberikan pada Gambar 2.4, dimana
e2 dan e4 adalah loop, sedangkan sisi e6 e7 adalah sisi rangkap.
Jika dua titi k v1 dan v2 di graf G dihubungkan oleh suatu sisi e, maka titi k v1
dan v2 dikatakan adjacent (tetangga) dan sisi e insiden dengan kedua titi k yang
dihubungkan.
Gambar 2.5 Graf untuk mengilustrasikan adjacent dan insiden
Pada Gambar 2.5, titi k-titi k yang adjacent adalah v1 dan v2, v2 dan v3, v3 dan v4, v4 dan
v1, v1 dan v3, sedangkan sisi e1 insiden dengan v1 dan v2, e2 insiden dengan v2 dan v3, e3
insiden dengan v3 dan v4, e4 insiden dengan v4 dan v1, dan e5 insiden dengan v1 dan v3.
Derajat (degree) dari titi k v adalah jumlah sisi yang berinsiden dengan titi k v,
dinotasikan dengan deg (v). Misalkan pada gambar 2.5, deg (v1) = deg (v3) = 3 dan
deg (v2) = deg (v4) = 2. Jika setiap titi k dalam suatu graf G mempunyai derajat yang
sama, maka graf tersebut dinamakan graf reguler.
Gambar 2.4 Graf dengan loop dan sisi rangkap
v3
v1
v4
v2e1
e2
e3
e4e5
e2v1 v2
v4 v3
e1
e3
e4
e5
e8e7
e6
7
Sebuah jalan (walk) W pada graf G adalah barisan berhingga yang diawali dan
diakhiri dengan titi k, yaitu:
W = v0, e1, v1, e2, v2, e3, . . ., vn-1, en, vn (n ≥ 0)
dimana suku-sukunya bergantian antara titi k dan sisi, sedemikian hingga (vi,vi+I)
adalah sisi di G, untuk 1≤ i ≤ n-1. Jalan dikatakan tertutup jika v0 = vn dan terbuka
jika v0 ≠ vn. Suatu jalan yang barisan titi k-titi knya tidak ada pengulangan dinamakan
lintasan (path), tetapi ji ka yang berbeda adalah sisi-sisinya, maka jalan tersebut
disebut jejak (trail ). Sikel (cycle) didefinisikan sebagai jalan tertutup dengan barisan
titi k yang berbeda. Dengan kata lain, sikel adalah suatu lintasan yang tertutup.
Barisan v1, e1, v2, e7, v4, e6, v1, e5, v5, e4, v4, e3, v3 dari Gambar 2.6 adalah jalan,
barisan v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v5 adalah lintasan, barisan v1, e1, v2, e7, v4, e6, v1, e5,
v5, e4, v4, e3, v3 adalah jejak dan barisan v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v5, e5, v1 adalah
sikel.
2.3 Graf Terhubung dan Komplemen Graf
Graf H dikatakan subgraf dari graf G ji ka setiap titi k di H adalah titi k di G
dan setiap sisi di H adalah sisi di G. Dengan kata lain V(H) ⊆ V(G) dan E(H) ⊆ E(G).
Pada Gambar 2.7, G1 adalah subgraf dari G tetapi G2 bukan subgraf dari G karena ada
sisi v2 v3 di G2 yang bukan merupakan elemen dari E(G).
Gambar 2.6 Graf untuk mengilustrasikan jalan
v3
v1
v4
v2e1
e2
e3
e4
e5
v5
e6 e7
8
Jika setiap pasang titi k di graf G ada lintasannya, maka G dinamakan
terhubung (connected). Komponen dari graf adalah subgraf terhubung maksimal
dari G. Jadi, setiap graf terhubung hanya mempunyai satu komponen. Sedangkan
untuk graf tak terhubung, memiliki sedikitnya dua komponen. Gambar 2.8 adalah
contoh untuk graf terhubung dan graf tak terhubung.
(a) (b)
Gambar 2.8 Graf terhubung dan graf tak terhubung
Misalkan ada dua graf G1 dan G2, dimana himpunan titi k V(G1) dan himpunan
titik V(G2) saling asing, begitu juga himpunan sisi E(G1) dan himpunan sisi E(G2).
Gabungan dari G1 dan G2 dinotasikan dengan G1 ∪ G2, adalah graf dengan himpunan
titik V(G1 ∪ G2) = V(G1) ∪ V(G2) dan himpunan sisi E(G1 ∪ G2) = E(G1) ∪ E(G2).
Gambar 2.7 Graf dan subgraf
v1v1
v4
v3
v2
v3
v4 v2
G: G1: v1
v4 v2
v3
G2:
9
Sebagai contoh graf gabungan diberikan pada Gambar 2.9.
Gambar 2.9 Gabungan graf
Komplemen dari Graf G, dinotasikan dengan G , adalah graf dengan
himpunan titi k yang sama dengan himpunan titi k di G, dengan kata lain
V(G) = V(G ), dan titi k u,v di G adalah adjacent ji ka dan hanya jika titi k u,v di G
tidak adjacent. Contoh graf dan komplemennya dapat dili hat pada Gambar 2.10.
2.4 Kelas-kelas Graf
Graf terbagi dalam beberapa kelas. Pada skripsi ini, kelas graf yang kita kaji
adalah graf path (lintasan), graf cycle (sikel) dan graf complete (lengkap).
Gambar 2.10 Graf dan komplemennya G
G GG
v1
v3 v2
v5v4v2
v1
v2
v1
v3
G1:
G2:
G : G1 ∪ G2
v1
v2
v3
v4v5
v1
v2
v3
v5 v4
10
2.4.1 Graf Path (lintasan)
Graf path (lintasan) ialah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan
dengan n titi k, dinotasikan dengan Pn. Beberapa contoh dari graf lintasan, diberikan
pada Gambar 2.11.
P1 :
P2 :
P3 :
Gambar 2.11 Graf lintasan
2.4.2 Graf cycle (sikel)
Graf cycle (sikel) ialah graf yang terdiri dari satu sikel. Graf sikel dengan n
titi k, dinotasikan dengan Cn. Pada graf sikel, jumlah titi knya minimal 3. Gambar 2.12
adalah contoh dari graf sikel.
Gambar 2.12 Graf sikel
v1
v1 v2
v2v1 v3
C5C4C3
v2
v3 v2
v2
v4 v3
v1
v1
v5
v3v4
11
2.4.3 Graf Complete (lengkap)
Graf complete (lengkap) didefinisikan sebagai graf dimana setiap dua titi k
berbeda di G dihubungkan dengan sisi. Graf lengkap dengan n titi k dinotasikan
dengan Kn. Beberapa contoh dari graf lengkap, diberikan pada Gambar 2.13.
2.4.4 Graf n - partit
Graf n- partit didefinisikan sebagai graf dimana himpunan titi k V(G) dapat
dipisah menjadi n himpunan titi k, yaitu V1(G), V2(G), …, Vn(G). Sisi-sisi pada graf
n-partit terhubung dari titi k-titi k pada Vi(G) ke titi k-titi k pada himpunan titi k selain
Vi(G) atau )(GVi , dimana )(GVi adalah komplemen dari Vi(G). Untuk n = 2,
dinamakan graf bipartit. Jika V1 = k dan V2 = l, maka graf bipartit tersebut
dinotasikan dengan Bk,l. Sedangkan untuk n = 3, dinamakan graf tripatit, yang
dinotasikan dengan Tk,l,m. Contoh graf bipartit dan graf tripartit dapat dili hat pada
Gambar 2.14
K4K3 K5
Gambar 2.13 Graf lengkap
v3 v2
v1 v2
v4 v3
v1
v1
v2v5
v3v4
12
Gambar 2.14 Graf bipartit dan graf tripartit
2.5 Eksentrisitas
Jarak (distance) antara titi k u dan v di graf G, dinotasikan dengan d(u,v)
adalah panjang lintasan terpendek dari u ke v di G. Jika tidak ada lintasan dari titi k u
ke v, maka d(u,v) = ∞.
Gambar 2.15 Graf untuk mengilustrasikan jarak
Pada Gambar 2.15, d(v1, v3) = d(v1, v4) = 2, d(v2, v6) = ∞.
Untuk masalah lintasan terpendek, kita akan bahas mengenai algoritma BFS
(Breadth First Search) Moore. Ini berarti bahwa didalam setiap langkah, algoritma itu
mengunjungi semua titi k yang adjacent dari titi k yang dicapai pada langkah tersebut.
Algoritma BFS Moore untuk lintasan terpendek, dimana semua sisi mempunyai
panjang 1, adalah:
[G = (V(G), E(G), u, v]
1. Mengambil salah satu titi k, misal u, dan diberi label 0
v2
v4 v6
v1 v3
v5 v7
B3,2 T3,2,3
v1 v2 v3
v7 v8v6
V1
V3
v4V2v5
v5v4
v1 v2 v3V1
V2
13
2. Semua titi k yang adjacent dengan u diberi label 1
3. Semua titi k yang adjacent dengan 1 diberi label 2 dan demikian seterusnya
sampai titi k yang dimaksud, misal v, sudah berlabel
4. Selanjutnya penelusuran langkah mundur menghasilkan lintasan terpendek, yaitu
k (= label titi k v), k – 1, k – 2, ..., 0.
Eksentrisitas titi k v di graf G, dinotasikan e(v), adalah jarak terjauh
(maksimal li ntasan terpendek) dari v ke setiap titi k di G, dengan kata lain:
e(v) = max { d(v, u) u ∈ V(G)} .
Titik v adalah titi k eksentrik dari u ji ka jarak dari v ke u sama dengan eksentrisitas
dari u atau d(v, u) = e(u). Radius pada graf G, dinotasikan dengan rad(G), adalah
eksentrisitas minimum dari G. Sedangkan diameter pada graf G, dinotasikan dengan
diam (G), didefinisikan sebagai eksentrisitas maksimum dari G. Sebuah titi k pada G,
dinamakan titi k sentral ji ka eksentrisitasnya adalah sama dengan rad (G), dengan kata
lain e(u) = rad (G). Center dari graf G adalah subgraf pada G yang terbentuk dari titi k
sentral yang saling dihubungkan.
Gambar 2.16 Graf untuk mengilustrasikan eksentrisitas
Dari graf G pada Gambar 2.16:
e(v1) = 3 dengan titi k eksentrik v4;
e(v2) = 2 dengan titi k eksentrik v4 dan v5;
e(v3) = 2 dengan titi k eksentrik v1 dan v6;
e(v4) = 3 dengan titi k eksentrik v1;
v1 v2 v3
v4v5v6
14
e(v5) = 2 dengan titi k eksentrik v1 dan v2;
e(v6) = 2 dengan titi k eksentrik v3 dan v4.
Setelah titi k eksentrik dari setiap titi k v di G didapatkan, maka antara titi k v
dengan titi k eksentriknya dihubungkan oleh arc. Graf yang dihasilkan dinamakan
eksentrik digraf dari graf G, ED(G), yang didefinisikan sebagai graf yang
mempunyai himpunan titi k yang sama dengan G atau V(ED(G)) = V(G) dimana arc
menghubungkan titi k u ke v, ji ka v adalah titi k eksentrik dari u. Contoh graf dengan
eksentrik digrafnya diberikan pada gambar 2.17. Eksentrik digraf dari graf lintasan,
graf sikel dan graf lengkap akan dibahas secara lengkap pada BAB II I.
G ED(G)
Gambar 2.17 Graf G dan eksentrik digrafnya
v4v5v6
v4
v3v2
v5v6
v1v1 v2 v3
15
B A B III
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini, akan kita bahas mengenai eksentrik digraf pada graf lintasan,
graf sikel dan graf lengkap. Diasumsikan bahwa pada graf lintasan, graf sikel dan graf
lengkap, jarak antara dua titi k berbeda yang adjacent adalah 1.
3.1 Eksentrik Digraf pada Graf Lintasan
Misalkan graf lintasan Pn dengan himpunan titik
V(Pn) = { v1, v2, v3, ..., vn}
dan himpunan sisi
E(Pn) = { e1, e2, e3, ..., en-1}
dimana
ei = vivi+1 untuk setiap i = 1, 2, ..., n.
Eksentrisitas titik v pada graf lintasan Pn untuk n ganjil adalah sebagai berikut:
e(v1) = e(vn) = n - 1
e(v2) = e(vn-1) = n – 2�
e( ) = e(v ) = n - 2
1+n,
maka
e(vi) = n – i untuk i = 1, 2, …, 2
1+n
dan
e(vi) = i – 1 untuk i = 2
3+n,
2
5+n, …, n
Jadi dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn untuk n ganjil
adalah:
e(vi) = î
−
−
++=
+=
..., ,2
5 ,
2
3
2
1 ..., ,2 ,1
untuk 1
untuk
nnn
ii
niin
Setelah nilai eksentrisitas e(vi) diperoleh, maka kita dapat menentukan titik eksentriknya
dengan mudah, yaitu:
vn+1
2n -
2
n- 1
16
î
++=
+=
= 1 , untuk
untuk darieksentrik titik
... ,2
3 ,
2
1
2
1 ..., ,2 ,1
niv
ivv
nn
nn
Graf Pn dengan n ganjil mempunyai center berupa titik, yaitu titik v , sehingga titik eksentriknya
ada 2 yaitu titik v1 dan titik vn, dimana jarak antara v ke v1 adalah sama dengan jarak antara v ke
vn. Sehingga akan ada arc dari v ke vn dan dari v ke v1 yang akan kita notasikan secara
berturut-turut dengan a dan � .
Eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) dengan n ganjil adalah digraf dengan himpunan
titik V(ED(Pn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Pn)) = { a1, a2, a3, ..., an, � } ,
dimana:
nnn
ivv
nivv
i
ni
..., ,
,
untuk
..., , ,untuk
2
5
2
3
2
1 3 ,21
1
++
+
=
=
dan
� i = viv1 2
1 untuk
+= ni .
Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n ganjil adalah n + 1. Dengan demikian, eksentrik digraf pada
graf lintasan ED(Pn) untuk n ganjil adalah digraf tripartit T1, , , dengan himpunan titik V1 = { v
} , V2 = { v1, v2, …, v } dan V3 = { v ,v , …, vn} . Contoh eksentrik digraf dari graf Pn untuk n
ganjil diberikan pada Gambar 3.1.
P3 ED (P3) = T1, 1, 1
ai =
n+1
2
v1 v2 v3v1 v2
v3
v1
v2
v3 V3
V2
V1
n+12
n+1
2
n+1
2
n+1
2
n+1
2
n+1
2
n+1
2
n-1
2
n-1
2n+1
2
n-1
2
n+3
2
n+5
2
i
17
Gambar 3.1 Graf P3, P5, P7 dan eksentrik digrafnya
Dengan cara serupa seperti pada n ganjil , maka eksentrisitas titik v pada graf lintasan Pn
dengan n genap dapat dijelaskan sebagai berikut:
e(v1) = e(vn) = n - 1
e(v2) = e(vn-1) = n – 2
� e(v ) = e(v ) = n -
2
n.
Sehingga eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn untuk n genap adalah:
n2
P5
ED (P5) = T1, 2, 2
P7
ED (P7) = T1, 3, 3
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
a3
n+22
v1 v2 v3 v4 v5
V3
v1 v2 v3 v4v5
v1 v2
v5 v4
v3
V2
V1
v1
v2
v3
v4
v5
v6v7
v1 v2 v3
v6 v5v7
v4
V1
V2
V3
18
e(vi) = î
=−
=−
++ . ..., , , untuk 1
, ..., ,untuk
2
4
2
22
2 ,1
nnn
ii
niin
Dengan demikianî
++=
==
. , untuk
untuk darieksentrik titik
... ,2
4 ,
2
2
2
..., ,2 ,1
1
,
nnn
iv
ivv
nn
i
Untuk n genap, eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf dengan
himpunan titik V(ED(Pn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(Pn) = { a1, a2, a3, ..., an} , dimana:
vivn i = 1,2
..., ,3 ,2n
viv1 i = ..., ,2
4 ,
2
2n
nn ++
Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n genap adalah n. Dengan demikian untuk n genap, maka
eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B , , dengan himpunan titik V1 = { v1,
v2, …, v } dan V2 = { v , v , …, vn} . Gambar 3.2 adalah contoh eksentrik digraf pada graf Pn untuk
n genap.
P2 ED (P2) = B1, 1
P4 ED (P4) = B2, 2
ai =
v1 v2 v1 v2
v1
v2 V2
V1
v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4
v1
V1
v2
v3 v4
V2
v1
V1
v2
v3 v4
V2
n2
n2
n2
n+22
n+22
19
Gambar 3.2 Graf P2, P4, P6 dan eksentrik digrafnya
3.2 Eksentrik Digraf pada Graf Sikel
Misalkan graf sikel Cn mempunyai himpunan titik
V(Cn) = { v1, v2, v3, ..., vn}
dan himpunan sisi
E(Cn) = { e1, e2, e3, ..., en}
dimana
ei =î
=−=+
1
1
121
nivv
, ..., n, ivv
i
ii
Eksentrisitas titik e(vi) pada graf sikel Cn adalah sama untuk setiap titiknya, yaitu e(v1) =
e(v2) = …= e(vn). Hal ini disebabkan karena jarak terjauh (maksimal li ntasan terpendek) dari setiap
titiknya adalah sama, yaitu 2
1−n untuk n ganjil dan
2
n untuk n genap. Jadi eksentrisitas titik e(vi)
pada graf sikel Cn untuk setiap i = 1, 2, ..., n adalah:
e(vi) = î
− ganjil jika
genap jika
2
1
2
nn
nn
Dengan demikian, untuk n ganjil:
P6
ED (P6) = B3, 3
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 v2 v3 v4 v5v6
v1
V1
v2
v4 v5
V2v6
v3
20
. ..., , ,dan
,dan
, ..., , dan
2
5
2
3
2
1
2
12 ,1
1
nnn
ivv
nivv
nivv
n
++
+
−
=
=
=
Eksentrik digraf pada graf sikel, ED(Cn), untuk n ganjil , adalah digraf dengan
himpunan titik V(ED(Cn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Cn)) = { a1, a2, ..., an, � 1, � 2,
..., � n } , dimana:
ai = î
++=
+=
..., , , untuk
...,untuk
2
5
2
32
1 ,2 ,1
nnn
ivv
nivv
dan
� i =î
++=
−=
..., ,2
3 ,
2
12
121
untuk
..., , ,untuk
nnn
ivv
nivv
Jadi jumlah arc dalam ED(Cn) untuk n ganjil adalah dua kali jumlah titiknya, yaitu 2n.
Dengan demikian, untuk n ganjil eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah digraf
sikel nC dengan jarak setiap arcnya 2
1−n, dimana arcnya adalah arc simetrik. Contoh eksentrik
digraf dari graf Cn dengan n ganjil diberikan pada Gambar 3.3.
v1
v2v3
v1
v2v3C3 ED(C3) = 3C
titik eksentrik dari vi =
n - 12
i +
n - 12
i - n + 12
i -
n - 12
i +
n + 1
2i -
i
i
n + 12
i +
n - 12
i -
i
i
n + 12
i +
21
Gambar 3.3 Graf C3, C5, C7 dan eksentrik digrafnya
Selanjutnya, dengan cara yang sama seperti pada n ganjil , maka titik eksentrik dari graf Cn
dengan n genap adalah sebagai berikut:
titik eksentrik dari vi = î
++=
=
nnn
iv
niv
..., ,2
4,
2
22
..., ,2 ,1
untuk
untuk
Eksentrik digraf dari graf sikel, ED(Cn), untuk n genap, adalah digraf dengan
himpunan titik V(ED(Cn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Cn)) = { a1, a2, a3, ..., an} ,
dimana:
ai = î
=
=
++ . ..., , ,untuk
, ..., ,untuk
2
4
2
22
2 ,1
nnn
ivv
nivv
n2
i +
n2
i +i
i n2
i -
n2
i -
C5 ED(C5) = 5C
v1
v5 v2
v3v4
v1
v5 v2
v3v4
v1
v4 v3
v5v2
v4v5
v1
v7 v2
v3v6
v1
v5 v4
v3
v4
v1
v7 v2
v5
v6 v7v3v6 v2
C7 ED(C7) = 7C
22
Jadi jumlah arc dalam ED(Cn) untuk n genap adalah n, dimana ai dapat digambarkan sebagai l intasan
dengan dua titik yang berjarak 2
n.
Sehingga eksentrik digraf dari graf sikel dengan n genap ED(Cn) adalah gabungan 2
n
digraf lintasan dengan dua titik, yang dinotasikan dengan � 2
1
2
n
i
P=
, dimana setiap arcnya adalah
simetrik. Contoh eksentrik digraf pada graf Cn dengan n genap diberikan pada Gambar 3.4.
C4 ED(C4) = 2 2P
C6 ED(C6) = 3 2P
v6
v1
v5 v4
v2
v3
v1
v6
v5 v4
v2
v3
v2
v1
v4
v3
v6v5
C8 ED(C8) = 4 2P
v8
v7
v5
v1 v2
v3
v4
v6 v5
v1 v2
v3
v4
v8
v7
v6
v4
v8
v1
v5
v3
v7v6
v2
v1
v4
v2
v3
v1
v4
v2
v3
v2
v4
v1
v3
23
Gambar 3.4 Graf C4, C6, C8 dan eksentrik digrafnya
3.3 Eksentrik Digraf pada Graf Lengkap
Misalkan graf lengkap Kn mempunyai himpunan titik
V(Kn) = { v1, v2, v3, ..., vn}
dan himpunan sisi
E(Kn) = { vivj | i ≠ j, i< j dan i, j = 1, 2, …, n }
dimana jumlah sisinya adalah 2
1n(n – 1).
Dari definisi graf lengkap, maka dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas titik e(vi) pada
setiap graf lengkap Kn adalah sama pada setiap titiknya, yaitu 1. Sehingga titik eksentrik dari vi untuk
setiap i = 1, 2, …, n adalah semua titik dalam Kn kecuali dirinya sendiri atau vi, dimana vi adalah
komplemen dari vi.
Jadi eksentrik digraf dari graf lengkap ED(Kn) adalah graf dengan himpunan titik V(ED
(Kn)) = { v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc
A(ED (Kn)) = { jivv | i ≠ j dan i, j = 1, 2, …, n }
Dimana jivv adalah arc yang terhubung dari titik vi ke titik vj dan dari tit ik vj ke titik vi. Jadi
banyaknya arc pada ED(Kn) adalah n(n – 1).
Sehingga eksentrik digraf dari graf lengkap ED (Kn) adalah digraf lengkap nK yang setiap
arcnya simetrik. Contoh eksentrik digraf dari graf lengkap Kn diberikan pada Gambar 3.5.
K4 ED(K4)
v1
v4
v2
v3
v1
v4
v2
v3
24
Gambar 3.5 Graf K4, K5 dan eksentrik digrafnya
v1
v5 v2
v3v4
v1
v5 v2
v3v4
K5 ED(K5)
27
B A B IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka kesimpulan yang dapat
diambil mengenai eksentrik digraf pada graf lintasan, graf sikel dan graf lengkap
adalah sebagai berikut:
1. Eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Untuk jumlah titik n ganjil , eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf
tripartit T1, , dengan himpunan titik V1 = { v } , V2 = { v1, v2, …, v } dan V3 = { v ,v ,
…, vn} .
b. Untuk jumlah titik n genap, eksentrik digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B
, dengan himpunan titik V1 = { v1, v2, …, v } dan V2 = { v , v , …, vn} .
2. Eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Untuk jumlah titik n ganjil , eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah digraf sikel nC
yang setiap arcnya adalah arc simetrik yang berjarak 2
1−n.
b. Untuk jumlah titik n genap, eksentrik digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah gabungan
2
n digraf lintasan dengan 2 titik � 2
1
2
n
i
P=
, dimana arcnya adalah arc simetrik.
3. Eksentrik digraf dari graf lengkap ED(Kn) adalah digraf lengkap nK yang setiap
arcnya adalah simetrik.
4.2 Saran
Peneliti an mengenai eksentrik digraf masih dapat dikembangkan pada graf-
graf yang lain, misalnya pada graf berbobot, baik yang berarah maupun yang tidak
berarah.
n-12
n
2
n
2
n-12
n+12
n-1
2n+3
2
n+5
2
n
2n+22
n+42