Post on 29-Dec-2015
description
PERUBAHAN BASIS
PERUBAHAN BASIS
Perubahan Basis
suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis Dari sifat inilah tentunya jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor di A dan B. Kajian yang dilakukan sekarang ini adalah melihat hubungan antar kombinasi linier tersebut
Jika B dan B’ adalah basis untuk ruang vektor V dan v1 dalam V, maka akan dicari hubungan [ v ]B dengan ( v )B’
Misalkan B = { u1 , u2} adalah basis ruang vektor yang berdimensi 2
(u1)B’ = , (u2)B’ = , ( v ) B = a
b
c
d
1
2
k
k
Diubah kedalam persamaan
• u1= a u1’ + b u2’
• u2 = c u1’ + d u2’
• v1 = k1 u1 + k2 u2
• Disubstitusikan nilai u1 dan u2 pada persamaan v1 = k1 u1 + k2 u2 sehingga didapat :
v1 = k1(a u1’ + b u2’) + k2 (c u1’ + d u2’)
= (k1a + k2c) u1’ + (k1b + k2d) u2’
( v )B’ =
= [ v ] B
( v )B’ = P [V]B
P =
1 1
2 2
k a k b
k c k d
1
2
k
k
a b
c d
a b
c d
P = adalah matriks yang kolom2nya
diambil dari vektor koordinat u1 dan u2 terhadap basisB’.
Umumnya jika B = {u1, u2,…, un} dan B’= {u’1, u’2, …, u’n}
Adalah basis untuk ruang vektor V yang berdimensi –n dan v dalam V maka hubungan antara [ v ]B dengan [ v ]B’ adalah [ v ]B’= P[ v ]B
Dimana P =[[ u1]B’, [ u2]B’,…, [ un]B’] adalah matriks yang kolom-kolomnya diambil dari matriks koordinat dari u1, u2,…, un terhadap basis B’. Matriks P disebut matriks transisi dari B ke B.
a b
c d
Contoh 1 : B = { u1, u2} dan B’ = { u1 , u2} adalah basis untuk R2 u1=(1, 0); u2=(0,1); u1=(1, 1); u2=(2,1)
a. Carilah matriks transisi dari B ke B’b. Tentukan [ v ]B’ ; jika [ v ]B =
Penyelesaian U1 = c 1 u‘1 + c 2 u‘2
= c1 + c2
c1 + 2c2 = 1c1 + c2 = 0
sehingga c1= -1 dan c 2 = 1u2 = k1u1’ + k2u2’
k 1 + 2k2 = 0 k 1 + k2 = 1
k1 = 2 dan k2 = -1
P = jadi P =
P merupakan matriks transisi dari B ke B’
7
2
1 1
2 2
c k
c k
1 2
1 1
[ v ]B’= P [ v ]B karena [ v ]B = (7,2) maka
v = 7 u1 + 2 u2
v = 7 + 2
[ v ]B =
Jadi [ v ]B’ =
=
1
0
0
1
7
2
1 2
1 1
7
2
3
5
cos
sin
sin
cos
cos sin
sin cos
Matriks koordinat v =(x, y) terhadap B adalah :
( v )B =x
y
Dan matriks koordinat v =(x’, y’) terhadap B’ adalah :
(v )B’ = '
'
x
y
Jadi hubungan antara ( v )B dengan (v )B’ aadalah :
(v )B = P( v )B’
= '
'
x
y
cos sin
sin cos
x
y
Teorema 1 : Jika P adalah matriks transisi dari B ke B’ maka :P mempunyai invers P-1 adalah matriks transisi dari B’ ke B. Bukti :Misalkan Q matriks transisi dari B’ ke B, B = { u1, u2,…, un} dan
QP =
Untuk setiap vektor x dalam V selalu berlaku :(x)B’ = P (x)B
(x)B = P (x)B’
Sehingga : (x)B = QP (x)B
(u1) B =
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
c c c
c c c
c c c
1
0
...
0
Sehingga :=
=
Jika x = u2, u3,…., un maka dengan cara yang sama akan didapat :
= , …., =
Sehingga c11= 1,c22, …, cnn= 1Jadi QP = 1 atau Q = P-1
1
0
...
0
11 12 1
221 22
1 2
...
...
.... ..... .....
....
n
n
n n mn
c c c
cc c
c c c
1
0
...
0
11
21
1
....
n
c
c
c
1
0
...
0
11
21
1
....
n
c
c
c
0
0
...
1
11
21
....
mn
c
c
c
Teorema 2 :Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis orthogonal ke basis orthonormal yang lain untuk sebuah ruang inner product maka P-1= Pt.
Contoh 3:Misalkan B = {u1, u2} adalah basis orthonormal untuk ruang product yang berdimensi dua.
u1 = au’1 + bu’2u1 = cu’1 + du’2
(u1, u 2) = a2 (u’1 , u’2) + 2ab (u’1 , u’2) + b2(u’1 , u’2)= a2 + b2
= 1(u2, u 2) = c2 (u’1 , u’2) + 2cd (u’1 , u’2) + d2(u’1 , u’2)
= c2 + d2
= 1(u1, u 2) = ac(u’1 ,u’1) + ad(u’1 ,u’2) + bc(u’2 ,u’2) + bd(u’2 , u’2)
= ac + bd= 1
Karena P = maka Pt =
Pt . P =
=
Pt . P = 1 Sehingga Pt = P-1
a c
b d
a b
c d
a c
b d
a b
c d
1 0
0 1
Definisi 2 :
Sebuah matriks bujursangkar A yang bersifat A-1 = At disebut matriks orthogonal.
Teorema 3 :
Yang berikut ekivalen satu sama lain :a.A orthogonalb.Vektor-vektor dari baris A membentuk sebuah himpunan orthogonal di dalam Rn dengan Euclidean Inner Product.c.Vektor-vektor kolom dari A membentuk sebuah himpunan orthonormal di dalam Rn dengan Euclidean Inner Product.