PERUBAHAN BASIS

PERUBAHAN BASIS

Perubahan Basis

suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis Dari sifat inilah tentunya jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor di A dan B. Kajian yang dilakukan sekarang ini adalah melihat hubungan antar kombinasi linier tersebut

Jika B dan B’ adalah basis untuk ruang vektor V dan v1 dalam V, maka akan dicari hubungan [ v ]B dengan ( v )B’

Misalkan B = { u1 , u2} adalah basis ruang vektor yang berdimensi 2

(u1)B’ = , (u2)B’ = , ( v ) B = a

b

c

d

1

2

k

k

Diubah kedalam persamaan

• u1= a u1’ + b u2’

• u2 = c u1’ + d u2’

• v1 = k1 u1 + k2 u2

• Disubstitusikan nilai u1 dan u2 pada persamaan v1 = k1 u1 + k2 u2 sehingga didapat :

v1 = k1(a u1’ + b u2’) + k2 (c u1’ + d u2’)

= (k1a + k2c) u1’ + (k1b + k2d) u2’

( v )B’ =

= [ v ] B

( v )B’ = P [V]B

P =

1 1

2 2

k a k b

k c k d

1

2

k

k

a b

c d

a b

c d

P = adalah matriks yang kolom2nya

diambil dari vektor koordinat u1 dan u2 terhadap basisB’.

Umumnya jika B = {u1, u2,…, un} dan B’= {u’1, u’2, …, u’n}

Adalah basis untuk ruang vektor V yang berdimensi –n dan v dalam V maka hubungan antara [ v ]B dengan [ v ]B’ adalah [ v ]B’= P[ v ]B

Dimana P =[[ u1]B’, [ u2]B’,…, [ un]B’] adalah matriks yang kolom-kolomnya diambil dari matriks koordinat dari u1, u2,…, un terhadap basis B’. Matriks P disebut matriks transisi dari B ke B.

a b

c d

Contoh 1 : B = { u1, u2} dan B’ = { u1 , u2} adalah basis untuk R2 u1=(1, 0); u2=(0,1); u1=(1, 1); u2=(2,1)

a. Carilah matriks transisi dari B ke B’b. Tentukan [ v ]B’ ; jika [ v ]B =

Penyelesaian U1 = c 1 u‘1 + c 2 u‘2

= c1 + c2

 c1 + 2c2 = 1c1 + c2 = 0

sehingga c1= -1 dan c 2 = 1u2 = k1u1’ + k2u2’

k 1 + 2k2 = 0 k 1 + k2 = 1

k1 = 2 dan k2 = -1

P = jadi P =

P merupakan matriks transisi dari B ke B’

7

2

1 1

2 2

c k

c k

1 2

1 1

[ v ]B’= P [ v ]B karena [ v ]B = (7,2) maka

v = 7 u1 + 2 u2

v = 7 + 2

[ v ]B =

Jadi [ v ]B’ =

=

1

0

0

1

7

2

1 2

1 1

7

2

3

5

cos

sin

sin

cos

cos sin

sin cos

Matriks koordinat v =(x, y) terhadap B adalah :

( v )B =x

y

Dan matriks koordinat v =(x’, y’) terhadap B’ adalah :

(v )B’ = '

'

x

y

Jadi hubungan antara ( v )B dengan (v )B’ aadalah :

(v )B = P( v )B’

= '

'

x

y

cos sin

sin cos

x

y

Teorema 1 : Jika P adalah matriks transisi dari B ke B’ maka :P mempunyai invers P-1 adalah matriks transisi dari B’ ke B. Bukti :Misalkan Q matriks transisi dari B’ ke B, B = { u1, u2,…, un} dan

QP =  

Untuk setiap vektor x dalam V selalu berlaku :(x)B’ = P (x)B

(x)B = P (x)B’

Sehingga : (x)B = QP (x)B

(u1) B =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn

c c c

c c c

c c c

1

0

...

0

Sehingga :=

 

=

 

Jika x = u2, u3,…., un maka dengan cara yang sama akan didapat :

= , …., =

 

Sehingga c11= 1,c22, …, cnn= 1Jadi QP = 1 atau Q = P-1

1

0

...

0

11 12 1

221 22

1 2

...

...

.... ..... .....

....

n

n

n n mn

c c c

cc c

c c c

1

0

...

0

11

21

1

....

n

c

c

c

1

0

...

0

11

21

1

....

n

c

c

c

0

0

...

1

11

21

....

mn

c

c

c

Teorema 2 :Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis orthogonal ke basis orthonormal yang lain untuk sebuah ruang inner product maka P-1= Pt.

Contoh 3:Misalkan B = {u1, u2} adalah basis orthonormal untuk ruang product yang berdimensi dua.

u1 = au’1 + bu’2u1 = cu’1 + du’2

(u1, u 2) = a2 (u’1 , u’2) + 2ab (u’1 , u’2) + b2(u’1 , u’2)= a2 + b2

= 1(u2, u 2) = c2 (u’1 , u’2) + 2cd (u’1 , u’2) + d2(u’1 , u’2)

= c2 + d2

= 1(u1, u 2) = ac(u’1 ,u’1) + ad(u’1 ,u’2) + bc(u’2 ,u’2) + bd(u’2 , u’2)

= ac + bd= 1

Karena P = maka Pt =

Pt . P =

=

Pt . P = 1 Sehingga Pt = P-1

a c

b d

a b

c d

a c

b d

a b

c d

1 0

0 1

Definisi 2 :

Sebuah matriks bujursangkar A yang bersifat A-1 = At disebut matriks orthogonal.

Teorema 3 :

Yang berikut ekivalen satu sama lain :a.A orthogonalb.Vektor-vektor dari baris A membentuk sebuah himpunan orthogonal di dalam Rn dengan Euclidean Inner Product.c.Vektor-vektor kolom dari A membentuk sebuah himpunan orthonormal di dalam Rn dengan Euclidean Inner Product.