Post on 10-Feb-2018
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
1/57
Dr. Wawan Budianta
Jurusan Teknik Geologi
UGM
PERSAMAAN LINIER DAN
NON LINIER
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
2/57
PERSAMAAN:
Hubungan Linear
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
3/57
Materi yang dipelajari Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear
- Cara dwi- kordinat
- Cara koordinat- lereng
- Cara Penggal lereng- Cara dwi- penggal
Hubungan dua garis lurus
Pencarian Akar- akar persamaan linear
- Cara substitusi- Cara eliminasi
- Cara determinan
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
4/57
PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS
fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialahfungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat satu.
Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx
a adalah penggal garisnya pada sumbu vertical -
y, sedangkan b adalah koefisien arah atau lereng
garis yang bersangkutan.
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
5/57
a: penggal garisy= a + bx, yakni
nilaiypadax = 0
b: lereng garis, yakni
padax = 0,
padax = 1,padax = 2,
lereng fungsi linear selalu konstan
bxy /
bxy /bxy /
a
1 2 3 4 5 x
y
xy=b
b
b
b
b
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
6/57
Dalam kasus- kasus tertentu, garis dari sebuah
persamaan linear dapat berupa garis horizontalsejajar sumbu -xatau garis vertical sejajar sumbu -
y.
Hal ini terjadi apabila lereng garisnya sama dengan
nol, sehingga ruas kanan persamaan hanya tinggalsebuah konstanta yang melambangkan penggal
garis tersebut.
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
7/57
y = a berupa garis lurussejajar sumbu
horizontal x, besar
kecilnya nilai x tidak
mempengaruhi nilai y
x = c berupa garis lurus
sejajar subu vertikal y,
besar kecilnya nilai y
tidak mempengaruhinilai x
y
x
a
c0
x=c
y=a
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
8/57
PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR
Pada prinsipnya persamaan linear bisadibentuk berdasarkan dua unsur. Unsurtersebut dapat berupa penggal garisnya,lereng garisnya, atau koordinat titik- titik
yang memenuhi persamaannya. empat macam cara yang dapat ditempuh
untuk membentuk sebuah persamaan linear
1. cara dwi- koordinat
2. cara koordinat- lereng3. cara penggal- lereng
4. cara dwi- penggal
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
9/57
Cara Dwi- Koordinat
Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengankoordinat masing- masing (x1, y1) dan (x2, y2),
maka rumus persamaan linearnya adalah:
12
1
yy
yy
=
12
1
xx
xx
y
x0
A (x1, y1)
B (x2, y2)
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
10/57
Cara Koordinat- LerengApabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat
(x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, makarumus persamaan linearnya adalah:
b = lereng garisyy1 = b (xx1)
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
11/57
Cara Penggal- Lereng
Sebuah persamaan linear dapat pula dibentukapabila diketahui penggalnya pada salah satu
sumbu dan lereng garis yang memenuhi
persamaan tersebut.
y = a + bx
(a= penggal, b= lereng)
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
12/57
Cara Dwi-Penggal Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila
diketahui penggal garis tersebut pada masing- masingsumbu,o penggal pada sumbu vertical (ketikax= 0)o penggal pada sumbu horizontal (ketika y= 0).
Apabila a dan cmasing-masing dalah penggal padasumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis
lurus, maka persamaan garisnya adalah :xc
aay
a = penggal vertikalb = penggal horizontal
y
x0
A P
b
B
c
1 2 3 4 5 6
a1
2
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
13/57
Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil
bagi selisih antara dua ordinat(y2 y1) terhadap
selisih antara dua absis (x2 - x1). Menurut caradwi koordinat, rumus persamaan linear adalah :
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
14/57
Bila di uraikan :
12
12
11
1
12
121
12
1
121
berarti
)(
:lereng-koordinatcaramenurutsedangkan
xx
yyb
xxbyy
xx
xx
yyyy
xx
xx
yyyy
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
15/57
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buahgaris lurus mempunyai empat macam
kemungkinan bentuk hubungan yang :
berimpit,
sejajar,
berpotongan
dan tegak lurus.
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
16/57
Berimpit :
y1 = ny2
a1 = na2
b1 = nb2
Sejajar :
a1 a2
b1 = b2
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
17/57
Berpotongan :
b1 b2
Tegak Lurus :
b1 = - 1/b2
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
18/57
PENCARIAN AKAR- AKAR
PERSAMAAN LINEAR
Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan
anu dari beberapa persamaan linear, dengan
kata lain penylesaian persamaan- persamaan
linear secara serempak (simultaneously),
dapat dilakukan melalui tiga macam cara :
cara substitus
cara eliminasi cara determinan
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
19/57
Cara Substitusi Dua persamaan dengan dua bilangan anu
dapat diselesaikan dengan caramenyelesaikan terlebih dahulu sebuahpersamaan untuk salah satu bilangan anu,kemudian mensubstitusikannya ke dalam
persamaan yang lain. Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan
y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 4y) + 3y = 21 46 8y + 3y = 21
46 5y = 21, 25 = 5y, y = 5
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
20/57
Cara Eliminasi
Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapatdiselesaikan dengan cara menghilangkan untuk
sementara (mengeliminasi) salah satu dari
bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung
nilai dari bilangan anu yang lain.
5,255
4682
2132
2
1
234
2132
yy-
yx
yx
yx
yx
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
21/57
Cara Determinan Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan
persamaan yang jumlahnya banyak.
Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi
afhdbigecchdbfgaei
ihg
fed
cb
ed
ba
a
3derajaddeterminan
db-ae
2derajaddeterminan
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
22/57
Ada 2 persamaan :
ax + by = c
dx + ey = f
Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :
dbae
dcaf
ed
ba
fd
ca
D
Dyy
dbae
fbce
ed
ba
ef
bc
D
Dxx
Determinan
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
23/57
Contoh :
2x + 3y = 21
dx + 4y = 23
Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :
55
25
41
32
231212
35
15
41
32
423
321
D
Dyy
D
Dxx
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
24/57
PERSAMAAN:
Hubungan Non-linear
P d P t k li i i kit k
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
25/57
Pada Pertemuan kali ini, kita akan
mempelajari .
Fungsi kuadrat
- Identifikasi persamaan kuadrat
- Lingkaran
- Elips- Hiperbola
- Parabola
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
26/57
Persamaan Berderajat Dua
Polinom atau suku banyakpada variabelxdilambangkan dengan P(x), mengandung suku-sukuKxn, dimana K= konstanta, dan n merupakan bilanganbulat.
Bentuk umum polinom berderajat n adalah :P(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x3+ . + anx
n
Kedua suku pertama P(x) adalah juga berbentuk Kxn,karena dapat ditulisa0x
0dana1x1
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
27/57
Persamaan Berderajat Dua
Kalau polinom berderajat n disamakan nol makadiperoleh persamaan berderajat n dalam x.
a0 + a1x + a2x2 + a3x
3+ + anxn = 0
Buat n = 2, maka diperoleh persamaan derajat
dua dalam x :a0 + a1x + a2x
2 = 0
Yang sering juga ditulis :
ax2 + bx + c = 0
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
28/57
Persamaan Berderajat Dua
2
22
2
2
2
22
2
2
4
4
2
44
:arbujursangkanmelengkapkdinamakanyang
caradengandipecahkandapatiniPersamaan
0
:memberikandenganpembagian0dengan0
a
acb
a
bx
a
c
a
b
a
b
xa
b
x
a
cx
a
bx
aacbxax
r
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
29/57
Persamaan Berderajat Dua
a
cxx
a
bxx
a
acbbx
a
acbbx
a
acbb
x
a
acb
a
bx
yry
2121
2
2
2
1
2
2
2
2
:adalahkalinyahasildanJumlah
kuadrat.persamaanakardinamakan
2
4
2
4
:yaituinijawabanKedua
2
4
4
4
2
:sehinggar,maka,Kalau
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
30/57
Persamaan Berderajat Dua Polinom atau suku banyak pada variabel x dan y
yang dilambangkan P(x,y) ialah ungkapan yangmengandung suku Kxrys, dimana K=konstanta, r dans = bilangan bulat.
Harga tertinggi (r+s) suatu suku P(x,y) dinamakanderajat polinom itu.
Jika P(x,y) berderajat n=0 Ax + By + C = 0 (grafikberupa garis lurus)
Bentuk umum persamaan derajat dua x dan y:Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0
(Grafik persamaan ini adalah sebuah potongankerucut yaitu : lingkaran, elips, parabola dan
hiperbola)
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
31/57
Gambar Potongan Kerucut
Lingkaran
Elips
Parabola
Hiperbola
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
32/57
Identifikasi Persamaan Kuadrat
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Jika B = 0 dan A = C 0 lingkaran
Jika B2 4AC < 0 Elips
Jika B2 4AC > 0 Hiperbola
Jika B2 4AC = 0 Parabola
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Jika A = C 0 lingkaran
Jika A C, tanda sama elips Jika A dan C berlawanan tanda Hiperbola
Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanyaparabola
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
33/57
PERSAMAAN LINGKARAN
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
34/57
Hal.: 34IRISAN KERUCUT
LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI
HIMPUNAN TITIK TITIK YANG BERJARAK
TETAP TERHADAP TITIK TERTENTU,
DIMANA TITIK TERTENTU TERSEBUT
DISEBUT SEBAGAI PUSAT LINGKARAN
DAN JARAK YANG TETAP DISEBUT JARI -
JARI
Persamaan lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
35/57
Hal.: 35IRISAN KERUCUT
o
r
Persamaan Lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
36/57
Hal.: 36 IRISAN KERUCUT
Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan
Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan
Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
37/57
Hal.: 37IRISAN KERUCUT
o
r
T (x,y)
OT = r
x + y = r2 2 2
( x2 - x1) + ( y2 - y1) = r2 2
( x - 0) + ( y - 0) = r2 2X
Y
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
38/57
Hal.: 38IRISAN KERUCUT
Persamaan Lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
39/57
Hal.: 39IRISAN KERUCUT
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di
titik O (0,0) dan :
a. berjari-jari 2b. melalui titik (3,4)
Soal Latihan
Persamaan lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
40/57
Hal.: 40IRISAN KERUCUT
P (a,b )
r T (x,y)
PT = r
(x-a) + (y-b) = r2 22
( x2 - x1) + ( y2 - y1) = r2 2
( x - a) + ( y - b) = r2 2
O X
Y
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
41/57
Hal.: 41IRISAN KERUCUT
Persamaan Lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
42/57
Hal.: 42IRISAN KERUCUT
Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4
b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)
Soal Latihan
Persamaan lingkaran
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
43/57
Hal.: 43IRISAN KERUCUT
Elips
Pengertian Elips
Elips adalahtempat kedudukan titik-titik pada bidang
datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentuyang diketahui adalah tetap (konstan).
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
44/57
Hal.: 44 IRISAN KERUCUT
Perhatikan Gambar Elips
Elips
Unsur-unsur pada elips:
1. F1 dan F2 disebut fokus.
Jika T sembarang titik pada elips makaTF1 + TF2 = 2a, F1F2 = 2c, dengan 2a >
2c.
2. A1A2 merupakan sumbu panjang
(mayor)= 2a. B1B2 merupakan sumbu
pendek (minor) = 2b, karena itu a > b.
bB1
a
T
A2
E
D
A1
B2
(0,-b)
(0,b)
F1 F2P (c, 0)(- c, 0)
K
L
Lanjut
Unsur-unsur elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
45/57
Hal.: 45IRISAN KERUCUT
Elips
Lanjutan Elips
3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor
dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus RectumDE = KL =
4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.
5. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, B2.
a
b2
2
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
46/57
Hal.: 46 IRISAN KERUCUT
Elips
1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)
Persamaan Elips : TF1 + TF2 = 2a
+ = 2a
= 2a -
Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga
diperoleh
)0,(1 aA )0,(2 aA
),0(1 bB
),0(2 bB
),( yxT
(a2- c2) x2 + a2y2 = a2(a2-c2) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada sumbu minor
(0,b) maka diperoleh . b2 =a2 c2 . . . . (ii)
22)( ycx 22)( ycx
22)( ycx 22)( ycx
Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh:
Persamaan Elips
12
2
2
2
b
y
a
x
Eli
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
47/57
Hal.: 47 IRISAN KERUCUT
Elips
Contoh
Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12, 0) dan
F2(12,0).
Jawab:
Diketahui pusat elips O(0,0)Titik puncak (13,0) a = 13
Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12
Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:
125169
1513
22
2
2
2
2
yx
atauyx
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
48/57
Hal.: 48 IRISAN KERUCUT
Elips
1)()(
2
2
2
2
b
ny
a
mx
2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)
a. Persamaan elips dengan titik
pusat (m, n):
b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n,
dengan panjang2a dan sumbuminornya adalah sumbu x = n, dengan
panjang 2b.
3.Titik fokus F1(m-c, n) dan F2( m + c, n )
4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )
5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan 222 cab
a
b22
O
B
C
D
P(m,n)
X= m
X
Y
A F1 F2
m
Eli
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
49/57
Hal.: 49 IRISAN KERUCUT
Elips
Contoh:
Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan puncaknya
(10,3).
Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4
dan c= 3
Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3
Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6
b2
= a2
c2
= 62
- 32
= 36 - 9 = 27Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:
Jawab:
127
)3(
36
)4(1
27
)3(
6
)4(222
2
2
yx
atauyx
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
50/57
Hal.: 50IRISAN KERUCUT
Elips
022 EDyCxByAx
Bentuk umum persamaan elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:
Hubungan antara persamaan dengan
persamaan adalah sebagai berikut:
022 EDyCxByAx
1)()(
2
2
2
2
b
ny
a
mx
0
22
EDyCxByAx
Jika A > B, maka A = a2, B = b2, C=-2a2m, D= -2b2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2
Jika A < B, maka A = b2, B = a2, C=-2b2m, D= -2a2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2
Elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
51/57
Hal.: 51 IRISAN KERUCUT
Elips
Contoh:
Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2-16x+ 18y -11=0.
Jawab:
Diketahui persamaan elips: 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.
A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11b2 = A = 4 b = 2
A2 = B = 9 a = 3
C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2b2 = 9 -4 = 5
-16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C =-16= -8m 18= -18n
2= m -1 = n
Pusat P(m,n) P(2, -1)
FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2)1,52( )1,52(
Elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
52/57
Hal.: 52 IRISAN KERUCUT
Elips
Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada elips
ataub
yy
a
xx1
2
1
2
1
1. Untuk persamaan elips persamaan garis
singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
12
2
2
2
b
y
a
x
22
1
2
1
2 bayyaxxb
2. Untuk persamaan elips persamaan garis
singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
1)()(
2
2
2
2
b
ny
a
mx
2
1
2
1 ))(())((
b
nyny
a
mxmx
Elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
53/57
Hal.: 53 IRISAN KERUCUT
Elips
Persamaan garis singgung dengan gradien p
12
2
2
2
b
y
a
xPada elips atau ,adalah222222 bayaxb
y= p 222
bpax
Untuk elips dengan persamaan:
Persamaan garis singgungnya adalah:
y - n = p(x-m)
1)()(
2
2
2
2
b
ny
a
mx
222 bpa
Elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
54/57
Hal.: 54 IRISAN KERUCUT
Elips
Contoh:
,12128
22
yx
Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.
a. pada titik (4, 3)
b. pada titik(5,-3)
Jawab:
,19
)2(
18
)1(22
yx
a. Diketahui :
(4,3) x1 = 4 dan y1= 3
Persamaan garis singgung:
,12128
22
yx
12
1
2
1
b
yy
a
xx
Elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
55/57
Hal.: 55 IRISAN KERUCUT
Elips
1
21
3
28
4
yx
177
yx
7 yx
b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)
( 5, -3) y1 = -3
Persamaan garis singgung:
19
)2(
18
)1( 22 yx
danx 51
1))(())((
2
1
2
1
b
nyny
a
mxmx
Elips
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
56/57
Hal.: 56 IRISAN KERUCUT
Elips
19
)23(18
)1)(15( x
19
)2(
18
)1(4
yx
19
)2(
9
)1(2
yx
9)2()1(2 yx
132 yx
7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips
57/57
TERIMAKASIH