Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”

PRESENTASI

PENILAIANPENILAIAN

MATERI PERS DIFERENSIALMATERI PERS DIFERENSIAL

Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir)

PERKENALANPERKENALAN

NANDANGNANDANGJL.GUNUNG CIREMAIJL.GUNUNG CIREMAI

BLOK 16, NO. 10BLOK 16, NO. 10TLP. (0234)275530TLP. (0234)275530HP. 08122170975HP. 08122170975

e-mail: nndg67@yahoo.comwww.nandangfkip.blogspot.com

www.fkipunwir.com

KEHADIRAN (KHD)KEHADIRAN (KHD) TUGAS (TGS)TUGAS (TGS) UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)

NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/100+40(UAS)]/100

85 <= NA <=100 (A)85 <= NA <=100 (A)NA = NILAI AKHIRNA = NILAI AKHIR

KOMPONEN PENILAIANKOMPONEN PENILAIAN

MATERI PERS DIFERENSIALMATERI PERS DIFERENSIAL

DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL

PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIERPERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER

PERS DIFERENSIAL EKSAKPERS DIFERENSIAL EKSAK

FAKTOR INTEGRASIFAKTOR INTEGRASI

PERS DIFERENSIAL LINIERPERS DIFERENSIAL LINIER

PERS DIFERENSIAL HOMOGENPERS DIFERENSIAL HOMOGEN

PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGENPERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN

Definisi Persamaan Diferensial

Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.

ORDE DAN DEGREE PDORDE DAN DEGREE PD

1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat 1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat tertinggi turunan yang muncul tertinggi turunan yang muncul pada PD tersebut.pada PD tersebut.

2. Degree (derajat) PD yang dapat 2. Degree (derajat) PD yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam ditulis sebagai polinomial dalam turunan adalah derajat turunan turunan adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang muncul tingkat tertinggi yang muncul pada PD tersebut. pada PD tersebut.

Beberapa Contoh PD

5xdx

dy

0232

2

ydx

dy

dx

yd

xyyy cos')''(2 ''' 2

232 3)'()''( xyyy

SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG

5xdx

dy

Cxxy 52

1 2

Selesaikan PD berikut!

Penyelesaian:

(fungsi kuadrat)

homehome

PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIERDENGAN KOEFISIEN LINIER

PD dgn Koefisien LinierPD dgn Koefisien Linier Bentuk umum:Bentuk umum:

(ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*)

Jika c = r = 0, maka (*) menjadi:

(ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH)

Jika px + qy = k(ax + by), maka (*) menjadi:

(ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0, PDVT

Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk:mengambil bentuk:

ax + by + c = 0

px + qy + r = 0

adalah persamaan dua garis yang berpotongan, misal TP(x1, y1)

maka lakukan substitusi:

X = x – x1 atau x = X + x1, dx = dX

Y = y – y1 atau y = Y + y1, dy = dY

terhadap persamaan (*)

maka diperoleh:

(aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0, PDH

selanjutnya lakukan substitusi Y = vX,

atau dY = vdX + Xdv.

Contoh soalContoh soalSelesaikan persamaan di bawah ini!

0)72()12( dyyxdxyx 1.

homehome

PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAKEKSAK

Pers Diferensial EksakPers Diferensial EksakBentuk umum:

*).........( 0),(),( dyyxQdyyxP

adalah PD eksak bila ruas kiri adalah

diferensial dari f(x,y) =0.

0),(

dyy

fdxx

fyxdf

y

fQ

x

fP

Maka :

yx

f

x

Q

yx

f

y

P

22

Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak,

maka berlaku

x

Q

y

P

Jika

x

Q

y

P

maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.

Soal latihanSoal latihanSelesaikan persamaan di bawah ini!

0)43()32( dyyxdxyx 1.

Penyelesaian:

yxQyxP 4332

33

xy

P Q (PDE)

yxy

fQyx

x

fP 4332

,

)(3

)()32(),(

2 yCxyx

yCdxyxyxf

yxyCxy

f43)('3

1224)(

4)('

CydyyyC

yyC

Cyxyxyxf 22 23),(

Cyxyx 22 23homehome

FAKTOR FAKTOR INTEGRASIINTEGRASI

FAKTOR INTEGRASIFAKTOR INTEGRASI

Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*)

Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers (*) dengan suatu fungsi tertentu, misal u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi.

Sehingga persamaan (*) menjadi: uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**). Persamaan (**) sudah menjadi PDE, selajutnya selesaikan persamaan tersebut sesuai dengan prosedur yang berlaku.

Bila diberikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat dicari dengan beberapa kemungkinan berikut. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi x, maka fungsi x dapat dicari dengan cara:

Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:

)(xfQ

x

Q

y

P

dxxfe

)(

Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi y, maka fungsi y dapat dicari dengan cara:

Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:

dyyge

)(

Bila faktor integrasi sudah diperoleh Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan terhadap pers (*) untuk kalikan terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**) sehingga mengasilkan pers (**) sehingga terbentuk PDE.terbentuk PDE.

)(ygP

x

Q

y

P

Contoh soalContoh soalSelesaikan persamaan di bawah ini!

0)2( xdydxyx 1.

Penyelesaian:

12

x

Q

y

PKarena maka bukan PDE.

)(1

xfxQ

x

Q

y

P

Selanjutnya

xee xdxx ln1

Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah:

Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap persamaan semula, maka diperoleh persamaan baru (PDE), yaitu:

0)2( 22 dyxdxxyx

Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai dengan prosedur yang benar, untuk dengan prosedur yang benar, untuk memperoleh:memperoleh:

Cyxx 23 3

Kemungkinan lain untuk mencari faktor integrasi adalah:

Jika pers (*) merupakan PDH dan 0QyPx

maka faktor integrasi adalah QyPx

1

Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy), maka faktor integrasi adalah:

QyPx 1

Soal latihanSoal latihan

2. 0)( 22 xydydxxyx

0)3(

)22(2242

34

dyxyxeyx

dxyxyexyy

y

3.

0)222(

)2242(23

42223

dyxyxy

dxyxyxyyxyx

4.

0)( 344 dyxydxyx 5.

2. 0)( 22 xydydxxyx

A

B

C

D

01243 2234 yxxx

01234 2243 yxxx

0643 2234 yxxx

0634 2243 yxxx

Coba lagi Coba lagi ya!ya!

Terima kasih, Anda berhasil

homehome

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL LINIER (PDL)LINIER (PDL)

Pers Diferensial LinierPers Diferensial Linier

Bentuk umum:

QPyy '

P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.

………(i)

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (i) di atas adalah dengan memisalkan y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x.

Karena y = uv, maka y’ = u’v + uv’ ……….(ii)

Dari pers (i) dan (ii) diperoleh:

u’v +uv’ + Puv = Q atau v(u’ + Pu) + uv’ = Q, dalam hal ini ambil syarat (u’ + Pu)=0 atau uv’ = Q ……(iii)

Karena (u’ + Pu)=0, maka

.......(*) atau

atau maka

atau

PdxPdx

eueu

PdxuPdxu

du

Pudx

du

Pu

u

lnln

ln

,'

Karena

.....(**) maka

atau maka

CQdxeveQv

QveQuvPdxPdx

Pdx

..

.

'

''

Berdasarkan pemisalan y = uv, maka dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:

].[ CQdxeey

uvyPdxPdx

Soal latihanSoal latihan

Selesaikanlah persamaan di bawah ini!

xydx

dy2cos2 1.

xydx

dysin 2.

x

yx

dx

dy

tan

sin 2 3.

homehome

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL HOMOGEN HOMOGEN

Pers Diferensial HomogenPers Diferensial Homogen

Bentuk umum PD orde 2:

)()()( 2'

1'' xkyxayxay

PDH Orde 2:

02'

1'' yayay

Subtitusi:rxey

……(*)

Karena rxey rxrey '

rxery 2''

maka……(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh:Dari (*) dan (**) diperoleh:

0

0)(

0)()(

212

212

212

arar

arare

eareaerrx

rxrxrx

………(#)

Pers (#) dinamakan persamaan bantu.Pers (#) dinamakan persamaan bantu.

Jika r1 dan r2 adalah akar-akar real berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:

02'

1'' yayay

xrxr eCeCy 2121

adalah:

Contoh:

1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:

0127 ''' yyy

Penyelesaian:

-

4,3

0)4)(3(

0127

21

2

rr

rr

rr

xx eCeCy 42

31

Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:

02'

1'' yayay

adalah:

rxrx xeCeCy 21

Contoh:

1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:

Penyelesaian:

096 ''' yyy

3

0)3(

0)3)(3(

096

21

2

2

rr

r

rr

rr

xx xeCeCy 32

31

Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari:

02'

1'' yayay

adalah:

)( 21

)(2

)(1

bixbixax

xbiaxbia

eCeCe

eCeCy

)sincos(

sin)(cos)(

)sincos

sincos(

2121

22

11

bxBbxAey

bxiCCbxCCey

bxiCbxC

bxiCbxCey

ax

ax

ax

Contoh:

1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:

Penyelesaian:

0134 ''' yyy

irir

rr

32,32

0134

21

2

xBexAey xx 3sin3cos 22

Soal latihanSoal latihan

042

2

ydx

yd 1.

0542

2

ydx

dy

dx

yd 2.

0332

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd 3.

013932

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd 4.

04

4

dx

yd 5.

01683

3

5

5

dx

dy

dx

yd

dx

yd 6.

homehome

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL

TIDAK TIDAK HOMOGENHOMOGEN

Pers Dif Tidak HomogenPers Dif Tidak Homogen

Bentuk umum PD orde 2:

)()()( 2'

1'' xkyxayxay

PDTH Orde 2 dengan koefisien konstan:

PenyelesaiaPenyelesaian?n?

……(*)0)(2'

1'' xkyayay

Penyelesaian PDTH dapat Penyelesaian PDTH dapat direduksi atas tiga tahapandireduksi atas tiga tahapan

1.1.Tentukan penyelesaian umum dari Tentukan penyelesaian umum dari persamaan homogen ypersamaan homogen y’’’’ + a + a11y’ + ay’ + a22y = 0, y = 0, ditulis yditulis yhh..

2.2.Tentukan suatu penyelesaian khusus Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen (*), terhadap persamaan tak homogen (*), ditulis yditulis ykk..

3.Tambahkan kedua penyelesaian di atas, yh + yk = y (dinamakan penyelesaian umum dari (*)).

MetodeMetode

Metode Metode ??

Metode Koefisien Tak Tentu

Metode Variasi

Parameter

Metode Koefisien Tak TentuMetode Koefisien Tak Tentu

Perhatikan persamaan:

)(2'

1'' xkyayay

Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling mungkin adalah berupa polinom, mungkin adalah berupa polinom, eksponen, sinus dan kosinus.eksponen, sinus dan kosinus.

Untuk menentukan yk didasarkan pada penyelesaian coba-coba.

Fungsi coba2

Penyelesaian Coba-cobaPenyelesaian Coba-coba

k(x) k(x) ??

Coba Coba yykk ? ?

11

22 3311 2233

01...)( bxbxbxk mm

01... BxBxBy mmk

rxbexk )(

rxk Bey

xcxbxk sincos)(

xCxByk sincos

Catatan:Catatan:

Jika salah satu fungsi dari Jika salah satu fungsi dari k(x) adalah suatu k(x) adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, penyelesaian homogen, maka kalikan maka kalikan penyelesaian coba-coba penyelesaian coba-coba dengan x (atau mungkin dengan x (atau mungkin dengan suatu pangkat dengan suatu pangkat dari x yang lebih tinggi).dari x yang lebih tinggi).

Metode Variasi ParameterMetode Variasi Parameter

Jika u1(x) dan u2(x) adalah penyelesaian yang saling bebas terhadap persamaan homogen, maka terdapat suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk:

)()()()()(

0)()()()(

)()()()(

'2

'2

'1

'1

2'

21'

1

2211

xkxuxvxuxv

xuxvxuxv

xuxvxuxvyk

dengan

Contoh soalContoh soal

Tentukan penyelesaian umum dari persamaan berikut dengan menggunakan metode variasi paramater!

xyy sec'' Penyelesaian:

Untuk menentukan penyelesaian homogen, cari dulu persamaan bantu sehingga diperoleh:

xCxCyh sincos 21

Untuk menentukan penyelesaian khusus, maka tulis yk sebagai berikut:

xxxvxxv

xxvxxv

xxvxxvyk

seccos)(sin)(

0sin)(cos)(

sin)(cos)(

'2

'1

'2

'1

21

dengan

…(*)

Dengan menyelesaikan sistem (*), Dengan menyelesaikan sistem (*), maka diperoleh:maka diperoleh:

1)(tan)( '2

'1 xvxxv dan

Sehingga:

xdxxv

xxdxxv

)(

coslntan)(

2

1

xxxxyk sincos)cos(ln

Berdasarkan uraian di atas, maka Berdasarkan uraian di atas, maka penyelesaian umum yang harus penyelesaian umum yang harus dicari adalah:dicari adalah:

xCxC

xxxxy

sincos

sincos)cos(ln

21

Soal latihanSoal latihan

xyy 9'' 1.

xxyyy 2''' 2 2.

xeyyy 65 3. '''

xeyyy 3''' 34 4.

xyyy sin22''' 5.

xexyy 2'' sin9 6.homehome

Untuk mengakhiri pembelajaran ini, marilah kita bersama-sama membaca “ALHAMDULILLAH”