Bab 2

Penggambaran

Grafik Canggih

1. Grafik Fungsi Naik/Turun

Syarat grafik fungsi naik pada sub interval

bila pada sub interval tersebut

0'y

0'y

• Syarat grafik fungsi turun pada sub

interval bila pada sub interval tersebut

Ex

• Tentukan sub interval dimana grafik

fungsi naik/turun

43 ,12243012)( 3.

42 ),2()1()( .2

71232)( .1

23

3

23

xxxxxfy

xxxxfy

xxxxfy

71232)( 23 xxxxf

Syarat perlu adanya nilai ekstrim

relatif

• Misal maka akan diperoleh

koordinat titik ekstrim relatif yang disebut dengan

titik kritis.

• Sehingga syarat adanya titik kritis adalah :

0)('' xfy

0)('' xfy

• Misal titik kritis

relatif maksimal ekstrim nilai )(negatif ' Bila

positif ' Bila

relatif minimal ekstrim nilai )(positif ' Bila

negatif ' Bila

0

0

0

0

0

0

xfyxx

yxx

xfyxx

yxx

Relatif lokal

00 , yx

Sisi Kiri Sisi Kanan Hasil

Turunan I positif x0 Turunan I negatif f Maksimum relatif di x0

Turunan I negatif x0 Turunan I positif f Minimum relatif di x0

Turunan I negatif x0 Turunan I negatif Tidak ada ekstrim relatif

Turunan I positif x0 Turunan I positif Tidak ada ekstrim relatif

Ex

• Tentukan titik kritis dan nilai ekstrim dari

5242)( .2

)3(1)( .1

3

32

xxxfy

xxfy

24 2)( xxxf

latihan

Grafik Cekung ke atas atau Cekung ke

bawah

Bila pada subdomain ttt titik dari grafik fungsi berada diatas garis singgung maka pada sub domain tersebutgrafik disebut cekung ke atas (cembung ke bawah)

• Bila pada subdomain ttt titik dari grafik fungsi

berada di bawah garis singgung maka pada sub

domain tersebut grafik disebut cekung ke bawah

(cembung ke atas)

Syarat

Grafik cekung ke atas bila pada sub domain

tersebut berlaku

0)("" xfy

0)("" xfy

• Grafik cekung ke bawah bila pada sub domain

tersebut berlaku

Dari syarat cekung ke atas/ ke

bawah maka diperoleh :

Syarat perlu ada nilai ekstrim adalah

0)('' xfy

Bila pada titik kritis berlaku y ”>0 maka titik kritis

berupa titik ekstrim minimum/ min lokal

Bila pada titik kritis berlaku y ” <0 maka titik kritis

berupa titik ekstrim maksimal/ maks lokal

Ex

• Tentukan sub domain dimana grafik fungsi

cekung ke atas (ke bawah)

71212103)(.2 234 xxxxxfy

43)(.1 23

31 xxxxf

Titik Balik

Andai f kontinu di c. Koord. (c,f(c)) disebut

titik balik dari f jika f cekung ke atas pada

satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi

yang lainnya dari c

Search f ”(x)=0

Ex

baliktitik )0,0(

0)0("0

0)0("0

balik?? titik )0,0(

0)0(

00)(")("

22

1)('

26

1)(

2

3

fx

fx

f

xxfxxf

xxf

xxxf

Asymtot

Definisi : Garis lurus yang akan disinggung

oleh kurvanya di titik tak hingga

Ada 3 macam :

1.Asymtot datar garis lurus yang sejajar

dengan sumbu x ( mgkn sb. x sendiri)

2.Asymtot tegak garis lurus yang sejajar

dengan sumbu y ( mgkn sb. y sendiri)

3. Asymtot Miring garis dengan pers.

mxxfn

x

xfm

nmxy

x

x

)(lim

)(lim

dengan

Ex

Tentukan persamaan dari macam asymtot dari

persamaan :

20)127( .2

2094 .1

22

2

xxxxy

xxyxy

Melukis Grafik y=f(x)

Langkah-langkah melukis grafik y=f(x) adlh:

1. Menentukan titik potong dengan kedua sumbu koordinat

2. Menent. Sub domain dimana grafik naik/turun serta koord. Titik kritis serta nilai dari macam ekstrim

3. Menent. Sub domain dimana grafik cekung ke atas/ kebawah dan koord. Titik balik/ belok

4. Menent.macam pers. Asymtot (jk ada)

5. Menent. Beberapa koord.titik yang terletak pada grafiknya

(gunakan tabel)

6. Membuat sketsnya

Exercise (1)

12

x

xxf

Frame: look at back the step to

Graph the function!

Starts here Ends here

Next Question:

How does the

graph wiggle

between the two

ends ?

11

3

0

19

First Derivative:

2nd derivative:

22

2

1

1'

x

xxf

32 1

332''

x

xxxxf

xf

22 1

11

x

xx

xf '

xf "

01 1

33

+

++

– –

––

3 3

1

1

3

0

20

xf

01 1

33

3

Starts here

Decreasing;

Concave down

Decreasing;

Concave up

Increasing;

Concave up

Increasing;

Concave downDecreasing;

Concave down

Decreasing;

Concave up

Ends here

A “twist” :

Concavity

changes – a

point of

inflection

Graph rebounds

after a dip – a

local min

A “twist” :

Concavity

changes – a

point of

inflection

Local max

A “twist” :

Concavity

changes – a

point of

inflection

Exercise (2)

12

x

xxf

21

Sketch

Frame:

Domain:

Asymptotes:

Starts here Ends here

Next Question:

How does the

graph wiggle

within each of the

three sections ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

22

Wiggle:

Derivative:

2nd derivative:

22

2

1

1'

x

xxf

32

2

1

32''

x

xxxf

1 0 1 xf

Example (3)

4

92

2

x

xxf

23

Sketch

Frame:

Domain:

Asymptotes:

Starts here Ends here

Next Question:

How does the

graph wiggle

within each of the

three sections ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

24

Wiggle:

Derivative:

2nd derivative:

22 4

10'

x

xxf

32

2

4

4310''

x

xxf

2 0 2 xf

Example (4)

523/2 xxxf

25

Sketch

Frame:

Domain:

Asymptotes:

Starts here

Ends here

Next Question:

How does the

graph wiggle

between the two

ends ?

?

?

?

26

Wiggle:

Derivative:

2nd derivative:

13

10' 3/1 xxxf

129

10'' 3/4 xxxf

1 0 21

xf

Example (5)

3

22

x

xxxf

27

Sketch

Frame:

Domain:

Asymptotes:

Starts here

Ends here

Next Question:

How does the

graph wiggle

within the two

regions ?

?

?

?

?

?

?

28

Wiggle:

Derivative:

2nd derivative:

23

51'

x

xxxf

33

8''

xxf

1 3 5

xf

Example (6)

x

xxf

sin1

cos

29

Sketch

Frame:

Domain:

Asymptotes:

Repeat here

Next Question:

How does the

graph wiggle in

one of the

regions ?

?

?

?

Periodicity:

?

Repeat here

30

Wiggle:

Derivative:

2nd derivative:

x

xfsin1

1'

2sin1

cos''

x

xxf

2

2

23

xf