DOSEN : NURSYAMSI, ST, MT

DIKERJAKAN OLEH :NURUL HASANAH ARWI (11 0404

018)ELVANZARI HASDIANA HASAN (11

0404 080)

TUGASBAHASA PEMROGRAMAN

PENGOPERASIAN MATRIKSPADA MICROSOFT EXCEL

Matriks didefinisikan sebagai suatu himpunan angka, variabel atau parameter dalam bentuk suatu persegi panjang, yang tersusun di dalam baris dan kolom. Pada umumnya matriks dinotasikan dalam huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dalam huruf kecil sebagai berikut :

a11 a12 a13 a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 atau A = a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33

A = matriks A

[ ] atau ( ) = notasi matriks

DEFINISI MATRIKS

1. Matriks Diagonal

Adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar elemen diagonal utama sama dengan nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol.

Contoh :

A = 1 0 5 0 0 1 0 0 0

0 5 2x2 B = 0 0 0 C = 0 2 0 0

0 0 7 3x3 0 0 3 0

0 0 0 4 4x4

JENIS – JENIS MATRIKS

2. Matriks Identitas

Adalah suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya sama dengan nol, dan semua elemen pada diagonal utama sama dengan satu. Matriks identitas yang berorde n biasanya diberi simbol In.

I2 = 1 0 5 0 0

0 1 2x2 I3 = 0 0 0

0 0 7 3x3

JENIS – JENIS MATRIKS

3. Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular)

Adalah suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.

Contoh :

1 2 3 2 0 0 0

A = 0 0 7 B = 1 3 0 0

0 0 5 3x3 5 4 6 0

2 9 5 1 4x4

JENIS – JENIS MATRIKS

4. Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular)

Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga bawahnya, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.

Contoh :

1 0 0 2 0 0 0

A = 2 0 0 B = 1 3 0 0

4 5 0 5 4 6 0

2 9 5 1

JENIS – JENIS MATRIKS

5. Matriks Nol

Adalah suatu matriks yang elemennya bernilai nol. Matriks ini biasanya diberi simbol O dan bentuknya tidak selalu bujur sangkar.

O = 0 0 0 0

0 0 2x2 O = 0 0

0 0 3x2

JENIS – JENIS MATRIKS

6. Matriks Baris

Adalah matrik yang hanya terdiri satu baris. Matriks ini sering disebut dengan vektor baris.

Contoh :

A = [ 1 6 2 ]1x3 B = [ 2 4 1 3 5 ]1x5

7. Matriks Kolom

Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Matriks ini sering disebut dengan vektor kolom.

Contoh :

1 2

A = 2 B = 4

3 3x1 7

1 4x1

JENIS – JENIS MATRIKS

8. Matriks Simetris

Matriks simetris atau matriks setangkup adalah suatu matriks bujur sangkar yang memiliki aij = aji , sehingga transposenya sama dengan matriks semula.

Contoh :

7 4 5 7 4 5

A = 4 0 2 maka A’ = 4 0 2

5 2 1 3x3 5 0 1 3x3

JENIS-JENIS MATRIKS

1. Penjumlahan atau Pengurangan Matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan “jika dan hanya jika” kedua matriks tersebut berordo sama. Pada proses penjumlahan atau pengurangan ini yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah elemen-elemen dari matriks yang bersesuaian (seletak).

Contoh :

A B C C

a11 a12 b11 b12 c11 c12 a11±b11 a11±b11

a21 a22 ± b21 b22 = c21 c22 = a11±b11 a11±b11

a31 a32 3x2 b31 b32 3x2 c31 c32 3x2 a11±b11 a11±b11`

OPERASI MATRIKS

Sifat-sifat Penjumlahan atau Pengurangan Matriks :

1. Komutatif : A + B = B + A

2. Asosiatif : A + B + C = A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

3. Identik : A + O = O + A = A

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel

Fungsi : (array1+array2+array3)

Syarat : Jumlah baris dan kolom pada matriks yang akan dijumlahkan

harus sama (berordo sama).

Langkah-langkah :

a. Buat matriks pada Ms. Excel, dengan jumlah baris dan kolomkedua matriks sama. Tertera pada contoh tersebut yaitu matriks ( 10 x 10 ).

b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel

c. Ketik fungsi =(B42:K51)+(N42:W51)+(Z42:AI51). Setelah itu, tekan

Ctrl + Shift + Enter. Maka hasil penjumlahan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel

d. Contoh soal operasi penjumlahan matriks ini bisa diterapkan pada operasi pengurangan matriks karena prinsipnya sama.

2. Perkalian Matriks dengan Skalar

Skalar adalah bilangan riil (matriks 1 x 1).

Perkalian matriks dengan suatu skalar berarti mengalikan setiap elemen dari matriks dengan skalar tersebut, sebagai berikut :

λ A = λ a11 a12 = λa11 λa12

a21 a22 λa21 λa22

OPERASI MATRIKS

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :

1. k ( A + B ) = kA + kB

2. ( k1 + k2 ) A = k1A + K2A

3. k1 ( k2 A ) = ( k1k2 ) A

4. 0A = O

5. kO = O

Catatan :

0 ≠ O dimana : 0 = skalar

O = matriks nol

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel

Fungsi : =(3*((array1)-(array2))+(array3))

Langkah-langkah :

a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu matriks ( 10 x 10 ).

b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks

( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel

c. Ketik fungsi =(3*((C84:L93)-(O84:X93))+(AB84:AK93)). Setelah itu, tekan Ctrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan skalar akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel

3. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan “jika dan hanya jika” jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

a11 a12 b11 b12 b13 c11 c12 c13

A B = C a21 a22 b21 b22 b23 = c21 c22 c23

a31 a32 c31 c32 c33

Hasil perkalian matriks A dengan matriks B adalah matriks C.

Perhitungan elemen-elemennya sebagai berikut :

c11 = a11b11 + a12b21 c12 = a11b12 + a12b22 c13 = a11b13 + a12b23

c21 = a21b11 + a22b21 c22 = a21b12 + a22b22 c23 = a21b13 + a22b23

c31 = a31b11 + a32b21 c32 = a31b12 + a32b22 c33 = a31b13 + a32b23

OPERASI MATRIKS

Sifat-sifat perkalian matriks :

1. Asosiatif : A B C = ( A B ) C = A ( B C )

2. Distributif : A ( B + C ) = A B + A C

3. A B ≠ B A (pada umumnya)

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

Fungsi: =MMULT(array1;array2) =MMULT(array3;array4)

Syarat : Jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

Contoh : Matriks ( 10 x 9 ) dikalikan dengan matriks ( 9 x 8 ), maka akan menghasilkan matriks ( 10 x 8 ).

Langkah-langkah :a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu

matriks ( 10 x 10 ).b. Tahap pertama yaitu kalikan terlebih dahulu matriks C dengan

matriks A atau ( C * A ) dengan cara : - Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 ) - Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

- Ketik fungsi =MMULT(B70:K79;N70:W79). Setelah itu, tekanCtrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

c. Tahap kedua yaitu kalikan hasil perkalian tahap pertama tadi dengan matriks B dengan cara : - Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama

maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 )

- Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

- Ketik fungsi =MMULT(Z70:AI79;AL70:AU79). Setelah itu, tekanCtrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini. Hasil matriks di bawah ini merupakan hasil akhir dari contoh soal ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel

4. Perpangkatan Suatu Matriks

Bila suatu matriks bujur sangkar dipangkatkan n ( n = bilangan asli ) maka berarti matriks itu dikalikan sebanyak n kali. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka A2 = A ( A ).

Jika pada Ms. Excel, perpangkatan matriks tidak sama dengan perpangkatan biasa. Sebagai contoh apabila perpangkatan biasa yaitu : A2 = A^2, namun dalam perpangkatan matriks tidak berlaku seperti perpangkatan biasa. Contoh : A2 = A ( A ) ≠ A^2.

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

Langkah-langkah :

a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu

matriks ( 10 x 10 ).

b. Tahap pertama yaitu kalikan terlebih dahulu matriks A dengan matriks A atau ( A * A ) dengan cara :

- Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 )

- Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks

( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

- Ketik fungsi =MMULT(B112:K121;N112:W121). Setelah itu, tekan Ctrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

c. Tahap kedua yaitu kalikan hasil perkalian tahap pertama tadi dengan matriks A dengan cara : - Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama

maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 )

- Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

- Ketik =MMULT(AL112:AU121;AX112:BG121). Setelah itu, tekanCtrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini. Hasil matriks di bawah ini merupakan hasil akhir dari contoh soal ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

5. Determinan Suatu Matriks

Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diturunkan dari suatu matriks bujur sangkar melalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian sesuai dengan aljabar matriks. Suatu matriks yang mempunyai determinan disebut dengan matriks singular sedangkan matriks yang tidak mempunyai determinan (determinannya = 0) disebut matriks non singular.

Determinan dinotasikan dengan tanda || Harap hal ini diperhatikan dan dibedakan dengan notasi matriks [ ]

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

Fungsi : =MDETERM(array)

Syarat : Jumlah baris dan kolom matriks harus sama.

Contoh : matriks ( 10 x 10 )

Langkah-langkah :

a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu

matriks ( 10 x 10 ).

b. Ketik fungsi =MDETERM(C196:L205) seperti di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excelc. Tekan Enter, dan kemudian didapat hasil determinannya yaitu 4,18102E+29 seperti di bawah ini.

6. Invers Suatu Matriks

Invers matriks sering disebut dengan matriks kebalikan. Hal ini bisa digambarkan sebagai berikut : jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka = A-1 merupakan invers matriksnya sehingga

A A-1 = 1

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel

Fungsi : =MINVERSE(array)

Langkah-langkah :

a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu

matriks ( 10 x 10 ).

b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu

matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel

c. Ketik fungsi =MINVERSE(B210:K219) seperti di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel

7. Transpose Suatu Matriks

Adalah merubah ordo suatu matriks dari m x n menjadi n x m.

Jika A’ atau AT adalah transpose dari matriks A, maka baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’ dan sebaliknya kolom pada matriks A menjadi baris pada matriks A’.

OPERASI MATRIKS

Sifat-sifat Matriks Transpose :

1. ( A + B + C )T = AT + BT + CT

2. ( A B C )T = CT BT AT

3. ( AT )T = A

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel

Fungsi : =TRANSPOSE(array)

Langkah-langkah :

a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu matriks ( 10 x 10 ).

b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu

matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel

OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel

c. Ketik fungsi =TRANSPOSE(B154:K163) seperti di bawah ini.

OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel

Pudjiastuti, Matriks Teori dan Aplikasi, Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta, 2006.

DAFTAR PUSTAKA

SELESAI