Post on 16-Oct-2021
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN i
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 1
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
PENYUSUN
Yusdi Irfan, S.Pd, M.Pd SMAN 1 Kramatwatu
Kabupaten Serang - Banten
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 2
DAFTAR ISI PENYUSUN ................................................................................................................................................ 1
DAFTAR ISI ............................................................................................................................................... 2
GLOSARIUM .............................................................................................................................................. 3
PETA KONSEP .......................................................................................................................................... 4
PENDAHULUAN ...................................................................................................................................... 5
A. Identitas Modul .............................................................................................................. 5
B. Kompetensi Dasar .......................................................................................................... 5
C. Deskripsi Singkat Materi ............................................................................................... 5
D. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ....................................................................... 5
E. Materi Pembelajaran ...................................................................................................... 6
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 .......................................................................................................... 7
DETERMINAN MATRIKS ORDO 2 X 2 ............................................................................................. 7
A. Tujuan Pembelajaran ..................................................................................................... 7
B. Uraian Materi ................................................................................................................. 7
C. Rangkuman .................................................................................................................... 9
D. Latihan Soal ................................................................................................................... 9
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 ........................................................................................................ 12
DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 ........................................................................................... 12
A. Tujuan Pembelajaran ................................................................................................... 12
B. Uraian Materi ............................................................................................................... 12
C. Rangkuman .................................................................................................................. 18
D. Latihan Soal ................................................................................................................. 19
Latihan Soal Essay ............................................................................................................. 19
E. Penilaian Diri ............................................................................................................... 21
INVERS MATRIKS ................................................................................................................................. 22
A. Tujuan Pembelajaran ................................................................................................... 22
B. Uraian Materi ............................................................................................................... 22
C. Rangkuman .................................................................................................................. 26
D. Latihan Soal ................................................................................................................. 26
EVALUASI ................................................................................................................................................ 31
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................... 36
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 3
GLOSARIUM
Determinan Matriks : Nilai yang dapat dihitung dari elemen suatu matriks
Invers Matriks : Matriks baru yang merupakan sebuah kebalikan dari matriks asal
Metode Sarrus : Sebuah cara (metode) yang digunakan untuk menentukan determinan sebuah matriks dengan cara mengalikan, menjumlahkan dan mengurangkan elemen-elemen matriks tertentu
Metode Kofaktor : Sebuah cara (metode) yang digunakan untuk menentukan determinan sebuah matriks dengan cara mengekspansi elemen-elemen baris dan kolomnya
Matriks Singular : Matriks yang nilai determinannya sama dengan nol dan tidak mempunyai invers
Matriks Non Singular : Matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol dan mempunyai invers
Minor Matriks : Determinan matriks bagian dari matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen pada baris tertentu dan kolom tertentu
Adjoint Matriks
: Transpose dari suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen-elemen matriks
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 4
PETA KONSEP
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 5
PENDAHULUAN
A. Identitas Modul
Mata Pelajaran : Matematika Umum Kelas : XI Alokasi Waktu : 12 JP Judul Modul : Determinan dan Invers Matriks
B. Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2x2 dan 3x3 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo
2x2 dan 3x3
C. Deskripsi Singkat Materi
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang menuntut penyelesaiannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus banyak keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip matriks dengan permasalahan masalah nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep matriks dapat dibangun/ditemukan di dalam penyelesaian nya permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu siswa diharapkan mampu menyelesaiakan permasalahan-permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari yang diberikan. Permasalahan-permasalahan tersebut dibuat dalam bentuk matriks untuk dicari penyelesaiannya dengan menggunakan determinan dan Invers Matriks.
D. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
Sebelum peserta didik membaca isi modul, terlebih dahulu membaca petunjuk khusus dalam penggunaan modul agar memperoleh hasil yang optimal.
1. Sebelum memulai menggunakan modul, marilah berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan kemudahan dalam memahami materi ini dan dapat mengamalkan dalam kehidupansehari-hari.
2. Bacalah uraian materi dan contoh dengan cermat secara berulang-ulang sehingga benar-benar memahami dan menguasai materi, sebaiknya peserta didik mulai membaca dari peta konsep, pendahuluan, kegiatan pembelajaran, rangkuman, hingga daftar pustaka secaraberurutan.
3. Setiap akhir kegiatan pembelajaran, peserta didik mengerjakan latihan soal secara mandiri dengan jujur tanpa melihat uraianmateri, jika dalam kasus tertentu mengalami kesulitan dalam menjawab maka lihatlah rambu-rambu jawabannya, jika langkah tersebut masih belum berhasil maka mintalah bantuan guru atau orang lain yang lebih tahu dan memahami.
4. Peserta didik dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan latihan soal memperoleh nilai β₯ 75 sehingga dapat melanjutkan ke materi selanjutnya.
5. Jika peserta didik memperoleh nilai < 75 maka peserta didik harus mengulangi materi pada modul ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 6
E. Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 3 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi. Modul siswa tentang matriks ini terdiri atas 3 kompetensi dasar yang meliputi Kompetensi dasar 3.4 dan kompetensi dasar 4.4 dengan pembagian kegiatan pembelajaran sebagai berikut: 1. Kegiatan Pembelajaran 1 mempelajari tentang metode (cara) menentukan
determinan matriks ordo 2x2, dan menggunakannya dalam permasalahan kehidupan sehari-hari.
2. Kegiatan Pembelajaran 2 mempelajari tentang metode (cara) menentukan determinan matriks ordo 3x3, dan menggunakannya dalam permasalahan kehidupan sehari-hari
3. Kegiatan Pembelajaran 3 mempelajari tentang cara menetukan invers matriks ordo 2 x 2 dan 3x3, serta pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL).
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 7
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 2 X 2
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan siswa mampu: 1. Menentukan determinan matriks ordo 2x2, sifat-sifat determinan matriks ordo 2x2, 2. Menggunakan determinan matriks dalam pemecahan masalah kehidupan sehari-hari
dengan cermat.
B. Uraian Materi
1. Determinan Matriks berordo 2 x 2 Cermati permasalahan berikut ini: Siti dan teman-temannya makan di kantin sekolah. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk. Tak lama kemudian, Beni dan teman-temannya datang memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk pergelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya Alternatif Penyelesaian: Cara I Petunjuk: Ingat kembali materi sistem persamaan linear yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks. Misalkan x = harga ayam penyet per porsi
y = harga es jeruk per gelas Sistem persamaan linearnya: 3x + 2y = 70.000
5x + 3y = 115.000 Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut.
[3 25 3
] [π₯π¦]= [
70.000115.000
]
Ingat kembali bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
ππ₯ + ππ¦ = π ππ₯ + ππ¦ = π
Apabila disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
[π ππ π
] [π₯π¦]= [
ππ] solusi persamaan tersebut adalah :
π₯ =ππ βππ
ππβππ dan π¦ =
ππβππ
ππβππ , ππ β ππ
Cara II Dalam konsep matriks ad β bc disebut dengan determinan matriks berordo 2 x 2.
Apabila matriks A berordo 2 x 2, yaitu [π ππ π
] maka determinan dari matriks A
didefinisikan sebagai:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 8
|π΄| = |π ππ π
| = ad β bc
Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan det A atau |A|, oleh karena itu nilai x dan y pada persamaan di atas dapat ditulis menjadi :
π₯ =|π ππ π
|
|π ππ π
| dan y =
|π ππ π|
|π ππ π
| dengan syarat |
π ππ π
| β 0
Sehingga apabila kita kembalikan ke permasalahan awal, maka nilai x = harga ayam penyet per porsi dan nilai y = harga es jeruk per gelas dapat ditentukan dengan mempergunakan rumus di atas, yaitu :
π₯ =|π ππ π
|
|π ππ π
| =
|70.000 2115.000 3
|
|3 25 3
| =
70.000(3)β115.000(2)
3(3)β2(5) =
210.000β230.000
9β10 =
β 20.000
β 1 = 20.000 dan
y = |π ππ π|
|π ππ π
| =
|3 70.0005 115.000
|
|3 25 3
| =
(3)115.000β(5)70.000
3(3)β2(5) =
345.000β350.000
9β10 =
β 5.000
β 1 = 5.000
jadi harga ayam penyet satu porsinya (x) adalah Rp. 20.000,00 dan harga es jeruk per gelasnya (y) adalah Rp. 5.000,00.
2. Sifat-sifat determinan matriks Misalkan matriks A dan B berordo m x n dengan m,n β N 1. Jika det A = |π΄| dan det B = |π΅|, maka det A. det B = det AB atau |π΄||π΅|= |π΄π΅| 2. Jika det A = |π΄| dan det π΄π‘= |π΄π‘|, maka det A = det π΄π‘ atau |π΄|= |π΄π‘|
3. Jika det A = |π΄| dan det π΄β1= |π΄β1|, maka |π΄β1| = β1
|π΄|
Contoh soal
1. Diketahui matriks A = [2 β24 3
] tentukanlah det A !
2. Diketahuai matriks A = [4 52 6
] dab matriks B = [1 23 4
] tentukanlah :
a. det A b. det B c. det A det B d. det π΄π‘
Jawaban:
1. Det A = |π΄| = |2 β74 3
| = 2(3) β (-7)(4) = 6 β (-28) = 34
2. Diketahuai matriks A = [4 52 6
] dan matriks B = [1 23 4
]
maka :
a. det A = |π΄| = |4 52 6
| = 4(6) β 2(5) = 24 β 10 = 14
b. det B = |π΅| = |1 23 4
| = 1(4) β 3(2) = 4 β 6 = - 2
c. det A. det B = |π΄||π΅| = 14 (-2) = - 28 atau kita tentukan dulu hasil perkalian AxB
AxB = [4 52 6
] [1 23 4
]=[4(1) + 5(3) 4(2) + 5(4)
2(1) + 6(3) 2(2) + 6(4)]= [
4 + 15 8 + 202 + 18 4 + 24
]
= [19 2820 28
]
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 9
Jadi det AB=|π΄π΅| = |19 2820 28
|= 19(28) β 20(28) = 532 β 560 = - 28 (sifat ke 1)
d. A = [4 52 6
] maka π΄π‘= [4 25 6
]
Sehingga det π΄π‘= |π΄π‘|= |4 25 6
|=4(6) β 5(2)= 24 β 10 = 14 (sifat ke 2)
C. Rangkuman
1. Apabila matriks A berordo 2 x 2, yaitu [π ππ π
] maka determinan dari matriks A
berordo 2 x 2 didefinisikan sebagai: |π΄| = |π ππ π
| = ad β bc
2. Sifat-sifat determinan matriks Misalkan matriks A dan B berordo m x n dengan m,n β N a. Jika det A = |π΄| dan det B = |π΅|, maka det A. det B = det AB atau |π΄||π΅|= |π΄π΅| b. Jika det A = |π΄| dan det π΄π‘= |π΄π‘|, maka det A = det π΄π‘ atau |π΄|= |π΄π‘|
c. Jika det A = |π΄| dan det π΄β1= |π΄β1|, maka |π΄β1| = β1
|π΄|
D. Latihan Soal
I. Latihan Soal Essay Jawablah soal di bawah ini
1. Diketahui A = [3 β34 β5
]
a. Tentukan determinan matriks A b. Tentukan invers matriks A
2. Ahmad, Budi dan Catur bersama-sama pergi ke toko buku. Ahmad membeli 2 buku dan
1 pensil dengan membayar Rp 8.000,00. Budi membeli 1 buku dan 3 pensil dengan membayar Rp 9000,00. Berapa yang harus dibayar oleh Catur bila ia membeli sebuah buku dan sebuah pensil ? (Petunjuk: selesaikan dengan menggunakan determinan)
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 10
Kunci Jawaban, Pembahasan dan Pedoman Penskoran
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor 1. Diketahui A = [
3 β34 β5
]
a. |π΄| = |3 β34 β5
|= ad β bc
= 3(-5) β (-3)(4) = - 15 + 12 = - 3
b. π¨βπ = π
π ππ π¨ Adj A
= π
βπ[β5 3β4 3
]
= [
β5
β3
3
β3β4
β3
3
β3
] = [
5
3β1
4
3β1
]
2
2
1
2
3 2. Mengidentifikasi masalah :
Buku Pensil Harga Ahmad 3 2 15000 Budi 1 2 7000 Catur 1 1 ?
Membuat model matematika sebagai berikut: Misal buku = x dan pensil = y
Diperoleh sistem persamaan linear : {3π₯ + 2π¦ = 15000π₯ + 2π¦ = 7000
Ditanyakan nilai x + y
Dibuat persamaan matriks [3 21 2
] [π₯π¦] = [
150007000
] A.X = B
Menggunakan determinan
π₯ = |3 21 2
| = 3.2 β 2.1 = 4
π₯π₯ = |15000 27000 2
| = 15000.2 β 2.7000 = 16000
π₯π¦ = |3 150001 7000
| = 3.7000 β 15000.1 = 6000
Diperoleh π₯ =π₯π₯
π₯=
16000
4= 4000
π¦ =π₯π¦
π₯=
6000
4= 1500
Jadi bila Catur membeli 1 buku dan 1 pensil, dia harus membayar Rp. 4.000,00 + Rp. 1.500,00 = Rp 5.500,00.
2
2
2
1
1
1
1
Jumlah Skor maksimum 20
Untuk mengetahui tingkat penguasaan, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus Tingkat penguasaan=π½π’πππβ π πππ
π½π’πππβ π πππ ππππ πππ’ππ₯ 100%
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 11
Kriteria 90% β 100% = baik sekali 80% β 89% = baik 70% β 79% = cukup < 70% = kurang
Jika tingkat penguasaan cukup atau kurang, maka harus mengulang kembali seluruh pembelajaran.
E. Penilaian Diri Berilah tanda V pada kolom βYaβ jika mampu dan βTidakβ jika belum mampu memahami kemampuan berikut:
No Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1 Apakah sudah bisa menuliskan permasalahan nyata dalam kehidupan sehari-hari kedalam bentuk matriks?
2 Apakah telah mampu memahami konsep tentang determinan matriks berorodo 2x2?
3 Apakah sudah mampu menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks Dengan menggunakan metode determinan?
4 Apakah mengerjakan soal-soal bekerja secara mandiri dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang lain?
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 12
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan siswa mampu: 1. menentukan determinan matriks ordo 3x3 dengan menggunakan Metode Sarrus dan
metode kofaktor 2. Menyimpulkan sifat-sifat yang berlaku pada determinan matriks.
B. Uraian Materi
1. Determinan Matriks berordo 3 x 3
Cermati permasalahan berikut: Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenispesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.
Kategori Airbus 100 Airbus 200 Airbus 300
Kelas Turis 50 75 40
Kelas Ekonomi 30 45 25
Kelas VIP 32 50 30
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut
Kategori Jumlah Penumpang
Kelas Turis 305
Kelas Ekonomi 185
Kelas VIP 206
Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?
Penyelesaian: Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan: x = banyaknya pesawat Airbus100 y = banyaknya pesawat Airbus 200 z = banyaknya pesawat Airbus 300 Sistem persamaan yang terbentuk adalah: 50x + 75y + 40z = 305 30x + 45y + 25z = 185 32x + 50y + 30z = 206
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 13
Apabila kita tuliskan dalam bentuk matriks, maka persamaan matriks nya adalah:
[50 75 4030 45 2532 50 30
] [π₯π¦π§]=[
305185206
]
Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita harus periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular (Non singular).
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah membahas tentang cara mencari determinan matriks yang berordo 2 x 2. Sekarang pembahasannya kita lanjutkan tentang bagaimanakah mencari determinan suatu matriks yang berordo 3 x 3?
2. Mencari determinan ordo 3x3 dengan Metode Sarrus
Sebenarnya ada beberapa cara untuk mencari determinan matriks, tetapi untuk pembahasan kita kali ini kita hanya akan membahas tentang menghitung determinan matriks yang berordo 3 x 3 dengan memakai metode Sarrus. Baik sebelum kita lanjut ke materi pokoknya, kita berkenalan dulu dengan struktur matriks berordo 3 x 3. Apa sih yang dimaksud dengan matriks yang berordo 3 x 3?. Matriks 3 x 3 artinya matriks yang jumlah barisnya sebanyak tiga dan jumlah kolomnya juga sebanyak tiga. Secara lengkap matriks 3 x 3 bisa dilihat di bawah ini:
Atau jika ditulis sesuai dengan identitas baris dan kolomnya, maka penulisan matriks A diatas dapat ditulis dengan:
Dan untuk mencari determinannya maka matriks di atas kita keluarkan dua kolom pertama yaitu kolom pertama dan kolom kedua kita keluarkan menjadi
_ _ _
|π΄|= |
π π ππ π ππ β π
|π ππ ππ β
+ + +
Det A = |π¨| = (aef + bfg + cdh) β ( ceg + afh + bdi)
β’ Matriks Singular adalah Matriks yang determinannya sama dengan Nol dan tidak mempunyai matriks Inversnya
β’ Matriks Nonsingular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan Nol, dan mempunyai matriks Inversnya.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 14
Setelah dua kolom pertama tadi kita keluarkan, kemudian kita tarik garis diagonal yang menghubungkan tiap tiga elemen seperti gambar. Garis yang rebah dari kiri atas ke kanan bawah kita berikan tanda β+β plus, dan sebaliknya garis diagonal yang rebah dari kanan atas ke kiri bawah kita berikan tanda β-β minus. Selanjutnya determinan dihitung dengan mengalikan tiap garis yang segaris -maksudnya berada dalam satu garis diagonal β dan memberikan tanda sesuai dengan tanda dibawah garis. Kelihatannya abstrak sekali kalau kita melihat rumus β rumusnya saja. Baiklah kita langsung saja sekarang kita lihat dan selesaikan soal permasalahan di atas dengan persamaan matriksnya:
[50 75 4030 45 2532 50 30
] [π₯π¦π§]=[
305185206
]
A = |50 75 4030 45 2532 50 30
| = |50 75 4030 45 2532 50 30
|50 7530 4532 50
= ((50x45x30)+(75x25x32)+(40x30x50)) β ((40x45x32)+(50x25x50)+(75x30x30)) = (67.500+60.000+60.000) β (57.600+62.500+67.500) = 187.500 - 187.600 = - 100 Untuk menentukan nilai x, y, dan z kita akan menggunakan determinan matriks sebagai cara menyelesaikan permasalahan tersebut
βX = |305 75 40185 45 25206 50 30
|305 75185 45206 50
=((305x45x30)+(75x25x206)+(40x185x50))β((40x45x206)+(305x25x50)+(75x185x30))
= (411.750+386.250+370.000) + (370.800+381.250+416.250) = 1.168.000 - 1.168.300 = - 300
βπ = |50 305 4030 185 2532 206 30
|50 30530 18532 206
=((50x185x30)+(305x25x32)+(40x30x206))-((40x185x32)+(50x25x206)+(305x30x30))
= (277.500+244.000+247.200) β (236.800+257.500+274.500) = 768.700 - 768.800 = - 100
βπ = |50 75 30530 45 18532 50 206
|50 7530 4532 50
=((50x45x206)+(75x185x32)+(305x30x50))-((305x45x32)+(50x185x50)+(75x30x206))
= (463.500+444.000+457.500) β (439.200+462.500+463.500) = 1.365.000 - 1.365.200 = - 200
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 15
x =βX
π΄=
|305 75 40185 45 25206 50 30
|
|50 75 4030 45 2532 50 30
|
= β 300
β 100= 3 y =
βπ
π΄=
|50 305 4030 185 2532 206 30
|
|50 75 4030 45 2532 50 30
|
= β 100
β 100= 1
x =βX
π΄=
|50 75 30530 45 18532 50 206
|
|50 75 4030 45 2532 50 30
|
= β 200
β 100= 2
Sehingga dari hasil perhitungan dengan menggunakan determinan, diperoleh kesimpulan, banyaknya pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit, banyaknya pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, dan banyaknya pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.
3. Metode (Cara) Kofaktor
Setelah kita membahas tentang mencari determinan menggunakan Metode Sarrus, berikutnya kita akan membahas tentang mencari determinan dengan menggunakan Metode Kofaktor suatu matriks yang berordo 3x3. Baiklah kita langsung saja ke pokok bahasannya. Yang pertama kita bahas tentang kofaktor suatu matriks. Kofaktor suatu matriks dirumuskan sebagai β1 pangkat baris ditambah kolom elemen minor dari matriks bersangkutan. Secara matematis dirumuskan sebagai : πΎππ = (-1) ππ+π. πππ
Keterangan : πΎππmaksudnya kofaktor dari suatu matriks baris ke β i dan kolom ke β j.
i menyatakan baris j menyatakan kolom. πππmerupakan minor baris ke β i kolom ke β j dari suatu matriks.
Contoh :
Tentukanlah kofaktor dari matriks π΄ = [2 43 5
]
Jawab : Terlebih dulu kita cari minor dari matriks A tersebut. Disini minor dari matriks A di dapat :
ππ΄ = [5 34 2
]
Kemudian kita cari kofaktor tiap elemen dari minor tersebut : Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1. πΎππ = (-1) ππ+π. πππ
πΎ11 = (-1) π1+1. π11 πΎ11 = (-1)2. 5 πΎ11 = (1) 5 = 5 Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2. πΎ12 = (-1) π1+2. π12 πΎ12 = (-1)3 . π12 πΎ12 = (-1) . 3 = 3
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 16
Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1 πΎ21 = (β1)2+1. π21 πΎ21 = (β1)3. 4 = (- 1) 4 = - 4 Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2 πΎ22 = (β1)2+2. π22 πΎ22 = (β1)42 = 1. 2 = 2
Jadi, kofaktor dari matriks A adalah πΎπ΄ = [5 β3
β4 2]
Sekarang bagaimana dengan Adjoinnya? Kita langsung mencari adjoin matriks A di atas. Tetapi terlebih dulu kita bahas secara singkat apa sih yang dimaksud dengan adjoin? Adjoin merupakan transfose dari kofaktor matriks A. secara matematis dirumuskan sebagai :
π΄ππ = πΎπ΄π
Dimana : πΎπ΄
π= Transpose kofaktor dari matriks A Adj A = adjoin matriks A Jika kita mau mencari adjoin sebuah matriks, maka terlebih dulu kita cari minornya dulu, setelah itu dari minor ini kita akan mendapatkan matriks kofaktor. Kemudian kofaktor ini kita transfuskan itulah adjoin sebuah matriks, dalam kalimat tadi ada kata transfose, apa yang dimaksud dengan matriks transfose? Matriks transfose adalah matriks yang urutan baris diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Dari soal di atas , maka kita bisa menentukan adjoinnya adalah sebagai berikut :
π΄ππ π΄ = [5 β3
β4 2]
Sekarang bagaimana kalau matriksnya berordo 3 x 3? Kita perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh : Tentukanlah Kofaktor dan Adjoin dari matriks berikut :
A = [2 4 61 3 20 1 2
]
Penyelesaian : Terlebih dahulu kita cari minor matriks A, disini didapat bahwa minor matriks A adalah : π11= artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π11 = [2 4 61 3 20 1 2
] = |3 21 2
| = 3(2) β 2(1) = 6 β 2 = 4
π12 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 17
π12 = [2 4 61 3 20 1 2
] = |1 20 2
| = 1(2) β 2(0) = 2 β 0 = 2
π13= artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π13 = [2 4 61 3 20 1 2
]= |1 30 1
| = 1(1) β 3(0) = 1 β 0 = 1
π21 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π21= [2 4 61 3 20 1 2
] = |4 61 2
| = 4(2) β 6(1) = 8 β 6 = 2
π22 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π22= [2 4 61 3 20 1 2
] = |2 60 2
| = 2(2) β 6(0) = 4 β 0 = 4
π23 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π23= [2 4 61 3 20 1 2
] = |2 40 1
| = 2(1) β 4(0) = 2 β 0 = 2
π31 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π31= [2 4 61 3 20 1 2
] = |4 63 2
| = 4(2) β 6(3) = 8 β 18 = - 10
π32 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π32= [2 4 61 3 20 1 2
] = |2 61 2
| = 2(2) β 6(1) = 4 β 6 = -2
π33 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π33= [2 4 61 3 20 1 2
] = |2 41 3
| = 2(3) β 4(1) = 6 β 4 = 2
Jadi Minor Matriks A = [π π ππ π πππ βπ π
]
Sehingga kofaktor matriks A adalah: Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1. πΎππ = (-1) ππ+π. πππ
πΎ11 = (-1) π1+1. π11 πΎ11 = (-1)2. 4 πΎ11 = (1) 4 = 4 Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 18
πΎ12 = (-1) π1+2. π12 πΎ12 = (-1)3 . π12 πΎ12 = (-1) . 0 = 0 Kofaktor matriks A baris pertama kolom ketiga, berarti i = 1 dan j = 3. πΎ13 = (-1) π1+3. π13 πΎ13 = (-1)4 . π13 πΎ13 = (1) . 1 = 1 Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1 πΎ21 = (β1)2+1. π21 πΎ21 = (β1)3. 4 = (- 1) 2 = - 2 Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2 πΎ22 = (β1)2+2. π22 πΎ22 = (β1)42 = 1. 4 = 4 Kofaktor matriks A baris kedua kolom ketiga, berarti i = 2 dan j = 3 πΎ23 = (β1)2+3. π23 πΎ23 = (β1)52 = -1. 2 = - 2 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom pertama, berarti i = 3 dan j = 1 πΎ31 = (β1)3+1. π31 πΎ31 = (β1)42 = 1. 10 = 10 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom kedua, berarti i = 3 dan j = 2 πΎ32 = (β1)3+2. π32 πΎ22 = (β1)5(-2) = -1(-2) = 2 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom ketiga, berarti i = 3 dan j = 3 πΎ33 = (β1)3+3. π33 πΎ23 = (β1)6(2) = 1(2) = 2
Jadi Kofaktor Matriks A = [π π π
βπ π βπππ π π
]
Adjoin matriks A dicari dengan mencari transpose dari kofaktor matriks A, sehingga :
π΄ππ π΄ = π΄π = [4 β2 100 4 21 β2 2
]
C. Rangkuman
1. Matriks Singular adalah Matrisk yang determinannya sama dengan Nol dan tidak mempunyai matriks Inversnya.
2. Matriks Nonsingular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan Nol, dan mempunyai matriks Inversnya.
3. Determinan matriks berordo 3 x 3 dengan metode (cara) Sarrus
Apabila matriks A berordo 3 x 3, yaitu A = [
π π ππ π ππ β π
]maka determinan dari matriks A
berordo 3 x 3 didefinisikan sebagai: _ _ _
|π΄|= |
π π ππ π ππ β π
|π ππ ππ β
+ + + det A = |π¨| = (aef + bfg + cdh) β ( ceg + afh + bdi)
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 19
4. Metode (cara) Kofaktor
a. Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.
b. Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor
c. Minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.
d. Minor dilambangkan dengan βMijβ dimana βiβ sebagai baris dan βjβ sebagai kolom matriks yang dihilangkan.
e. Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.
f. Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3Γ3 maka submatriksnya berordo 2Γ2.
g. Jadi, menghitung minor matriks 3Γ3 adalah menghitung determinan submatriks 2Γ2 h. Kofaktor suatu matriks dirumuskan sebagai β1 pangkat baris ditambah kolom elemen
minor dari matriks bersangkutan. Secara matematis dirumuskan sebagai: πΎππ = (-1) ππ+π. πππ
Keterangan: i. πΎππmaksudnya kofaktor dari suatu matriks baris ke β i dan kolom ke β j.
ii. i menyatakan baris iii. j menyatakan kolom. iv. πππmerupakan minor baris ke β i kolom ke β j dari suatu matriks.
D. Latihan Soal Latihan Soal Essay
1. Diketahui π΄ = [1 2 03 β4 25 6 β1
], tentukan:
a. Determinan matriks A dengan Metode Sarrus b. Adjoint matriks A dengan Metode Kofaktor
Kunci Jawaban, Pembahasan, dan Psedoman Penskoran Alternatif Penyelesaian
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor 1a.
Diketahui π΄ = [1 2 03 β4 25 6 β1
]
Determinannya dengan metode Sarrus
|π΄| = |1 2 03 β4 25 6 β1
β|β1 23 β45 6
|
=((1)(-4)(-1)+(2)(2)(5)+(0)(3)(6))β((0)(-4)(5)+(1)(2)(6)+(2)(3)(-1)) = (4 + 20 + 0) β (0 + 12 + (-6)) = 24 β 6 = 18
2
4
3
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 20
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor 1b. Metode Kofaktor
i) Minor
π11 = |9 β10
β2 7| = 9 β 7 β (β10) β (β2) = 63 β 20
= 43
π12 = |6 β10
β3 7| = 6 β 7 β (β10) β (β3) = 42 β 30
= 12
π13 = |6 9
β3 β2| = 6 β β2 β 9 β (β3) = β12 + 27 = 15
π21 = |1 β2
β2 7| = 1 β 7 β (β2) β (β2) = 7 β 4 = 3
π22 = |1 β2
β3 7| = 1 β 7 β (β2) β (β3) = 7 β 6 = 1
π23 = |1 1
β3 β2| = 1 β β2 β 1 β (β3) = β2 + 3 = 1
π31 = |1 β29 β10
| = 1 β (β10) β (β2) β 9 = β10 + 18 = 8
π32 = |1 β26 β10
| = 1 β (β10) β (β2) β 6 = β10 + 12 = 2
π33 = |1 16 9
| = 1 β 9 β 1 β 6 = 9 β 6 = 3
ii) Kofaktor πΎ11 = (β1)2 β 43 = 1 β 43 = 43
πΎ12 = (β1)3 β 12 = β1 β 12 = β12 πΎ13 = (β1)4 β 15 = 1 β 15 = 15 πΎ21 = (β1)3 β 3 = β1 β 3 = β3
πΎ22 = (β1)4 β 1 = 1 β 1 = 1 πΎ23 = (β1)5 β 1 = β1 β 1 = β1
πΎ31 = (β1)4 β 8 = 1 β 8 = 8 πΎ32 = (β1)5 β 43 = β1 β 2 = β2
πΎ33 = (β1)6 β 3 = 1 β 3 = 3
Adj (A)= [43 β3 8
β12 1 β215 β1 3
]
Alternatif lain mencari adjoin matriks A:
π΄ππ(π΄) =
[ + |
π πβ π
| β |π πβ π
| + |π ππ π
|
β |π ππ π
| + |π ππ π| β |
π ππ π|
+ |π ππ β
| β |π ππ β
| + |π ππ π
|]
9
9
3
Jumlah Skor Maksimum 30
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 21
Untuk mengetahui tingkat penguasaan, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus Tingkat penguasaan=π½π’πππβ π πππ
π½π’πππβ π πππ ππππ πππ’ππ₯ 100%
Kriteria 90% β 100% = baik sekali 80% β 89% = baik 70% β 79% = cukup < 70% = kurang
Jika tingkat penguasaan cukup atau kurang, maka harus mengulang kembali seluruh pembelajaran.
E. Penilaian Diri Berilah tanda V pada kolom βYaβ jika mampu dan βTidakβ jika belum mampu memahami kemampuan berikut:
No Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1 Apakah sudah bisa menuliskan permasalahan nyata dalam bentuk matriks?
2 Apakah telah mampu memahami konsep dan menetukan determinan matriks berorodo 3x3 dengan metode Sarrus?
3 Apakah telah mampu memahami dan menentukan konsep metode Kofaktor?
4 Apakah sudah mampu mampu menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang mempunyai 3 variabel dihubungkan dengan Matriks dengan menggunakan metode determinan?
5 Apakah dalam mengerjakan soal-soal bekerja secara mandiri dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang lain?
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 22
KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 INVERS MATRIKS
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan siswa mampu: 1. Menentukan invers matriks ordo 2x2 dan ordo 3x3 2. Membuat kesimpulan mengenai cara menyelesaikan operasi matriks dengan
menggunakan sifat-siftanya, serta pemanfaatan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahan masalah nyata.
B. Uraian Materi Invers Matriks Perhatikan masalah bentuk matriks berordo 2x2 di atas. Selain dengan menggunakan metode determinan, kita bisa menentukan nilai x dan y permasalahan di atas dengan metode Invers Matriks. Apakah Invers Matriks itu? Invers matriks A adalah sebuah matriks baru yang merupakan kebalikan dari matriks A dan apabila dikalikan antara matriks A dengan kebalikannya akan menghasilkan matriks Identitas. Invers matriks A dinotasikan dengan π¨βπ
[3 25 3
] [π₯π¦]= [
70.000115.000
] A.X = B β X = π¨βπ B
Karena matriks A adalah matriks Nonsingular (matriks yang determinannya sama dengan Nol, dan mempunyai kebalikan/Invers), oleh karena itu, akan kita coba menentukan nilai x dan y dengan menggunakan metode Invers, sebagai berikut:
X = π΄β1 B π¨βπ = π
π ππ π¨[π βπβπ π
]
=π
ππ βππ[π βπβπ π
]
=π
π(π)βπ(π)[
3 β2β5 3
]
=π
πβππ[
3 β2β5 3
]= π
βπ[
3 β2β5 3
]= [β3 25 β3
]
o Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 2x2 A = [π ππ π
] adalah
π¨βπ = π
π ππ π¨[
π βπ
βπ π]
o Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 3x3 A = [
π π ππ π ππ β π
] adalah
π¨βπ = π
π ππ π¨ Adj A
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 23
[π₯π¦] = π¨βπ [
70.000115.000
]= [β3 25 β3
] [70.000115.000
]
= [(β3)70.000 + 2(115.00)
5(70.000) + (β3)(115.000)]
= [β210.000 + 230.000
350.000 + (β345.000)]
= [20.0005.000
]
[π₯π¦]= [
20.0005.000
] sehingga nilai x = 20.000 dan y = 5.000
Dengan demikian jawaban untuk permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan dua metode (cara) yaitu dengan metode (cara) determinan dan dengan metode (cara) invers yang menghasilkan nilai atau jawaban yang sama. Untuk melengkapi contoh selanjutnya, akan kita bahas permasalahan pada matriks yang berordo 3x3. Perhatikan permasalahan yang sudah dibahas sebelumnya dengan menggunakan metode determinan, sekarang permasalahan tersebut akan kita selesaikan dengan metode invers.
[50 75 4030 45 2532 50 30
] [π₯π¦π§]=[
305185206
]
Terlebih dahulu kita cari minor matriks A, disini didapat bahwa minor matriks A adalah : π11= artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π11 = [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |45 2550 30
| = 45(30) β 25(50) = 1350 β 1.250 = 100
π12 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π12 = [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |30 2532 30
| = 30(30) β 25(32) = 900 β 800 = 100
π13= artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π13 = [50 75 4030 45 2532 50 30
]= |30 4532 50
| = 30(50) β 45(32) = 1.500 β 1.440 = 60
π21 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π21= [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |75 4050 30
| = 75(30) β 40(50) = 2.250 β 2.000 = 250
π22 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 24
π22= [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |50 4032 30
| = 50(30) β 40(32) = 1.500 β 1.280 = 220
π23 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π23= [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |50 7532 50
| = 50(50) β 75(32) = 2.500 β 2.400 = 100
π31 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π31= [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |75 4045 25
| = 75(25) β 40(45) = 1.875 β 1.800 = 75
π32 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π32= [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |50 4030 25
| = 50(25) β 40(30) = 1.250 β 1.200 = 50
π33 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π33= [50 75 4030 45 2532 50 30
] = |50 7530 45
| = 50(45) β 75(30) = 2.250 - 2.250 = 0
Jadi Minor Matriks A = [πππ πππ πππππ πππ πππππ ππ π
]
Sehingga kofaktor matriks A adalah: Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1. πΎππ = (-1) ππ+π. πππ
πΎ11 = (-1) π1+1. π11 πΎ11 = (-1)2. 100 πΎ11 = (1) 100 = 100 Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2. πΎ12 = (-1) π1+2. π12 πΎ12 = (-1)3 . π12 πΎ12 = (-1) . 100 = -100 Kofaktor matriks A baris pertama kolom ketiga, berarti i = 1 dan j = 3. πΎ13 = (-1) π1+3. π13 πΎ13 = (-1)4 . π13 πΎ13 = (1) . 60 = 60 Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1 πΎ21 = (β1)2+1. π21 πΎ21 = (β1)3. 250 = (- 1) 250 = - 250 Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2 πΎ22 = (β1)2+2. π22 πΎ22 = (β1)4 220 = (1) 220= 220
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 25
Kofaktor matriks A baris kedua kolom ketiga, berarti i = 2 dan j = 3 πΎ23 = (β1)2+3. π23 πΎ23 = (β1)5100 = (-1) 100 = - 100 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom pertama, berarti i = 3 dan j = 1 πΎ31 = (β1)3+1. π31 πΎ31 = (β1)4.75 = 1. 75 = 75 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom kedua, berarti i = 3 dan j = 2 πΎ32 = (β1)3+2. π32 πΎ22 = (β1)5(50) = -1(50) = - 50 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom ketiga, berarti i = 3 dan j = 3 πΎ33 = (β1)3+3. π33 πΎ33 = (β1)6(0) = 1(0) = 50
Jadi Kofaktor Matriks A = [πππ βπππ ππ
βπππ πππ βπππππ βππ π
]
Adjoin matriks A dicari dengan mencari transpose dari kofaktor matriks A, sehingga :
π΄ππ π΄ = [100 β250 75
β100 220 β5060 β100 0
]
Dari matriks di atas, diperoleh invers dari matriks A adalah:
π¨βπ = π
π ππ π¨ Adj A
Sehingga :
π¨βπ = π
π ππ π¨ Adj A=
π
βπππ[
100 β250 75β100 220 β5060 β100 0
] = [β1 2,5 β0,751 β2,2 0,5
β0,6 1 0]
Bentuk matriks permaslahan di atas adalah:
[50 75 4030 45 2532 50 30
] [π₯π¦π§]=[
305185206
]
Bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan AX=B, untuk memperoleh matriks X, yang elemen-elemennya merupakan banyaknya pesawat Airbus100 (x), banyaknya pesawat Airbus 200 (y), dan banyaknya pesawat Airbus 300 (z), kita kalikan dengan matriks π¨βπke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX=B, sehingga diperoleh: π¨βπAX=π¨βπB X = π¨βπB
X = [β1 2,5 β0,751 β2,2 0,5
β0,6 1 0] [
305185206
]
= [
(β1)(305) + (2,5)(185) + (β0,75)(206)
(1)(305) + (β2,2)(185) + (0,5)(206)(β0,6)(305) + (1)(185) + (0)(206)
]=[
β305 + 462,5 + (β154,5)
305 + (β407) + 103(β183) + 185 + 0
]
X = [312] β [
π₯π¦π§] = [
312]
Hasil yang diperoleh dengan menerapkan metode (cara) Invers dan metode (cara) determinan, diperoleh hasil yang sama, yaitu banyaknya pesawat Airbus 100 yang
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 26
disediakan sebanyak 3 unit, banyaknya pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, dan banyaknya pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit. Sifat-sifat Invers matriks 1. Misalkan matriks A berordo n x n dengan n β N, dan determinan A tidak sama
dengan nol, jika π¨βπ adalah invers dari A, maka (π¨βπ)βπ = A 2. Misalkan matriks A dan B berordo n x n dengan n β N, dan determinan A dan B
tidak sama dengan nol, jika π¨βπ dan π©βπadalah invers dari matriks A dan B, maka (π¨π©)βπ = π©βππ¨βπ
C. Rangkuman
1. Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 2x2 A = [π ππ π
] adalah
π¨βπ = π
π ππ π¨[π βπβπ π
]
2. Invers dari matriks A yang mempunyai ordo 3x3 A = [
π π ππ π ππ β π
] adalah
π¨βπ = π
π ππ π¨ Adj A
3. Mencari matriks X dalam bentuk persamaan Matriks:
β’ A.X = B β X = π¨βπ B
β’ X.A = B β X = B π¨βπ
D. Latihan Soal
1. Diketahui matriks berordo 2x2 A = [3 21 2
]. Carilah invers matirksnya (π΄β1)
2. Diketahui A = [1 1 β26 9 β10
β3 β2 7], tentukan invers matriksnya (π΄β1)
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 27
Kunci Jawaban, Pembahasan dan Pedoman Penskoran
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor 1.
Matriks koefisien A = [3 21 2
]
,
Determinan matriks A adalah det A = |3 21 2
| = 3(2) β 2(1) = 6 β 2 = 4
Invers matriks koefisien A
π΄β1 =1
|π΄|π΄ππ. π΄
=1
4[
2 β2β1 3
]
π¨βπ = π
π ππ π¨[
2 β2β1 3
] = π
π[
2 β2β1 3
]
3 2 2
2.
Diketahui A = [1 1 β26 9 β10
β3 β2 7]
det A = |1 1 β26 9 β10
β3 β2 7|
1 16 9
β3 β2
= ((1)(9)(7)+(1)(-10)(-3)+(-2)(6)(-2))-((-2)(9)(-3)+(1)(-10)(-2)+(1)(6)(7)) = (63+30+24) β (54+20+42) = 117 β 116 = 1
Minor Matriks π11= artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π11 = [1 1 β26 9 β10
β3 β2 7] = |
9 β10β2 7
|
= 9(7) β (-10)(-2) = 63 β 20 = 43 π12 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π12 = (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
6 β10β3 7
|
= 6(7) β (-10)(-3) = 42 β 30 = 12 π13= artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π13 = (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7)= |
6 9β3 β2
|
= 6(-2) β 9(-3) = - 12 β (-27) = 15 π21 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
3 4 9
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 28
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor
π21= (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
1 β2β2 7
|
= 1(7) β (-2)(-2) = 7 β 4 = 3 π22 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π22= (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
1 β2β3 7
|
= 1(7) β (-2)(-3) = 7 β 6 = 1 π23 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π23= (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
1 1β3 β2
|
= 1(-2) β 1(-3) = (- 2) β (-3) = 1 π31 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3
π31= (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
1 β29 β10
|
= 1(-10) β (-2)(9) = - 10 β (-18) = 8 π32 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3
π32= (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
1 β26 β10
|
= 1(-10) β (-2)(6) = - 10 β (-12) = 2 π33 = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3
π33= (1 1 β26 9 β10
β3 β2 7) = |
1 16 9
|
= 1(9) β 1(6) = 9 - 6 = 3
Jadi Minor Matriks A = (ππ ππ πππ π ππ π π
)
Sehingga kofaktor matriks A adalah: Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1.
1 9
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 29
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor
πΎππ = (-1) ππ+π. πππ
πΎ11 = (-1) π1+1. π11 πΎ11 = (-1)2. 43 πΎ11 = (1) 43 = 43 Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2. πΎ12 = (-1) π1+2. π12 πΎ12 = (-1)3 . π12 πΎ12 = (-1) . 2 = -12 Kofaktor matriks A baris pertama kolom ketiga, berarti i = 1 dan j = 3. πΎ13 = (-1) π1+3. π13 πΎ13 = (-1)4 . π13 πΎ13 = (1) . 15 = 15 Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1 πΎ21 = (β1)2+1. π21 πΎ21 = (β1)3. 3 = (- 1) 3 = - 3 Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2 πΎ22 = (β1)2+2. π22 πΎ22 = (β1)4 1 = (1)(1)= 1 Kofaktor matriks A baris kedua kolom ketiga, berarti i = 2 dan j = 3 πΎ23 = (β1)2+3. π23 πΎ23 = (β1)51 = (-1) (1) = - 1 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom pertama, berarti i = 3 dan j = 1 πΎ31 = (β1)3+1. π31 πΎ31 = (β1)4.(8) = 1. (8) = 8 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom kedua, berarti i = 3 dan j = 2 πΎ32 = (β1)3+2. π32 πΎ22 = (β1)5(2) = -1(2) = - 2 Kofaktor matriks A baris ketiga kolom ketiga, berarti i = 3 dan j = 3 πΎ33 = (β1)3+3. π33 πΎ33 = (β1)6(3) = 1(3) = 3
Jadi Kofaktor Matriks A = (ππ βππ ππβπ π βππ βπ π
)
Adjoin matriks A dicari dengan mencari transpose dari kofaktor matriks A, sehingga :
π΄ππ π΄ = (43 β3 8
β12 1 β215 β1 3
)
π¨βπ = π
π ππ π¨ Adj A
1 2 2 2
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 30
No. Kunci Jawaban dan Pembahasan Skor
π¨βπ = π
π (
43 β3 8β12 1 β215 β1 3
)= (43 β3 8
β12 1 β215 β1 3
)
Jumlah Skor Maksimum 40
Untuk mengetahui tingkat penguasaan, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus Tingkat penguasaan=π½π’πππβ π πππ
π½π’πππβ π πππ ππππ πππ’ππ₯ 100%
Kriteria 90% β 100% = baik sekali 80% β 89% = baik 70% β 79% = cukup < 70% = kurang
E. Penilaian Diri F. Berilah tanda V pada kolom βYaβ jika mampu dan βTidakβ jika belum mampu memahami
kemampuan berikut: No Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1 Apakah sudah bisa menuliskan permasalahan nyata dalam bentuk matriks?
2 Apakah telah mampu memahami konsep dan mampu menentukan invers matriks berordo 2x2?
3 Apakah telah mampu memahami konsep dan mampu menentukan invers matriks berordo 3x3?
4 Apakah sudah mampu menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks Dengan menggunakan Invers Matriks?
5 Apakah dalam mengerjakan soal-soal bekerja secara mandiri dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang lain?
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 31
EVALUASI
Pilihlah salah satu jawaban yang benar!
1. Diketahui matriks A = [3 β24 β2
] B = [4 4
β2 β1] dan C = [
9 109 12
]. Nilai determinan dari
matriks (AB β C) adalah ... A. β 7 B. β 5 C. 2
D. 3 E. 12
2. Determinan dari matriks A = [5 1
β3 2] adalahβ¦
A. 13 B. 14 C. 15
D. 16 E. 17
3. Matriks X yang memenuhi persamaan [2 75 3
] . π = [β3 87 β9
] adalahβ¦
A. [2 3
β1 2]
B. [3 β1
β2 2]
C. [2 31 β3
]
D. [2 3
β1 β2]
E. [β1 23 β2
]
F. 4. Himpunan penyelesaian dari:
{3π₯ β 2π¦ = 13π₯ + 4π¦ = β5
Adalah⦠A. x = 2 dan y = -2 B. x = - 2 dan y = 2 C. x = -2 dan y = 3
D. x = 3 dan y = -2 E. x = -1 dan y = 2
5. Diketahui matriks P = (2 51 3
) dan Q = (5 41 1
). Jika Pβ1 adalah invers matriks P dan Qβ1
adalah invers matriks Q, maka determinan matriks Qβ1 Pβ1 adalah β¦ A. 209 B. 10
C. 1 D. β 1
E. - 209
6. Invers dari matriks P = [7 23 1
] adalahβ¦
A. [
11
9β
2
3
β7
9
1
3
]
B. [β
11
9β
2
3
β7
9β
1
3
]
C. [
11
9
2
37
9
1
3
]
D. [β
11
9
2
37
9β
1
3
]
E. [
11
9β
2
3
β7
9β
1
3
]
7. Diketahui persamaan matriks (5 β29 β4
) (2 β1π₯ π₯ + π¦
) = (1 00 1
).
Nilai x β y = β¦
A. 5
2
B. 22
2
C. 15
2
D. 23
2
E. 19
2
F.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 2
8. Bu Ani seorang pengusaha makanan kecil yang menyetorkan dagangannya ke tiga kantin sekolah. Tabel banyaknya makan yang disetorkan setiap harinya sebagai berikut :
Kacang Keripik Permen Kantin A 10 10 5 Kantin B 20 15 8 Kantin C 15 20 10
Harga sebungkus kacang adalah Rp. 2.000,00, keripik adalah Rp. 3.000,00, dan permen adalah Rp. 1.000,00. Pemasukan total harian yang diterima ibu Ani adalahβ¦
A. Rp. 235.000,00. B. Rp. 248.000,00. C. Rp. 254.000,00.
D. Rp. 256.000,00. E. Rp. 325.000,00.
9. Diketahui matriks A = = [
π π ππ π ππ β π
] dan B = [
3π 3π 3πβπ βπ βπ4π 4β 4π
]Jika determinan matriks A = -
8, maka determinan matriks B adalah⦠A. 96 B. -96
C. -64 D. 48
E. -48
10. Diketahui |3 π₯ 14 0 β1
β2 1 β3| = 35, maka nilai x adalahβ¦
A. β 2 B. β 1
C. 0 D. 2
E. 3
11. Diberikan matriks π΅ = (2 00 1
) dan π΅ + πΆ = (2 1
β3 1). Jika matriks A berordo 2 x 2
sehingga AB + AC = (4 2
β3 1), maka determinan matriks AB adalah β¦.
A. 4 B. 2
C. 1 D. -1
E. -2
12. Diberikan matriks π΄ = (1 23 5
) dan π΅ = (3 β21 4
). Jika At adalah transpose dari matriks A
dan AX = B + At. Maka determinan matriks A adalah β¦. A. -46 B. -33
C. 27 D. 22
E. 46
13. Jika A adalah matriks berordo 2x2 yang memenuhi persamaan matriks π΄ (12) = (
10) dan
π΄ (46) = (
02) . Maka hasil kali π΄ (
2 24 3
) adalah β¦.
A. (1 00 2
)
B. (2 00 2
)
C. (2 00 1
)
D. (0 12 0
)
E. (0 10 2
)
14. Jika matriks π = (2 00 1
) dan 2πβ1 = (π₯ π¦βπ§ π§
). Jika πβ1 menyatakan invers dari
matriks P, maka nilai x + y = β¦. A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
E. 4
15. Diketahui matriks π = (2 51 3
) dan π = (5 41 1
). Jika πβ1 dan πβ1 masing-masing
adalah invers dari matriks P dan Q, maka determinan dari πβ1πβ1 adalah β¦. A. 223 B. 1
C. -1 D. -10
E. -223
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 35
KUNCI JAWABAN EVALUASI 1. D 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B 7. D 8. B 9. A 10. E 11. B 12. B 13. C 14. C 15. B
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.4.
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 36
DAFTAR PUSTAKA
https://www.wardayacollege.com/matematika/matriks/operasi-pada-matriks/operasi-
matriks/, 2020
https://tanya-tanya.com/rangkuman-contoh-soal-pembahasan-matriks/, 2020
Kemendikbud RI.______. Buku Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Kurikulum 2103
Kemendikbud RI.______. Buku Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Kurikulum 2103
Edisi Revisi 2015
Kemendikbud RI.______.Buku Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Kurikulum 2103
Edisi Revisi 2016