Post on 03-Apr-2018
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
1/11
MAKALAH
ANALISIS NUMERIK
METODE TERBUKA
OLEH:
DIANA ARIFUDDIN
HASNAWIYAH
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN
MAKASSAR
2010
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
2/11
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa kita panjatkan ke hadirat Allah swt atas segala nikmat dan
karunia-Nya. Shalawat dan salam semoga tercurah kepada Rasulullah saw, keluarga, sahabat,
dan para pengikutnya. Amin. Atas berkat rahmat Allah sajalah, sehingga penyusunan makalah
ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.
Tak lupa pula, ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga
makalah ini dapat diselesaikan, khususnya kepada dosen pembimbing mata kuliah Analisis
Numerik.
Penyusun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, kritik
dan saran yang membangun dari pembaca sangat diharapkan guna perbaikan pada
penyusunan selanjutnya. Harapan penyusun, semoga makalah ini dapat dijadikan bahan
bacaan bagi semua pihak.
Makassar, April 2010
Penyusun
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
3/11
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN
BAB II PEMBAHASAN
BAB III PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
4/11
BAB I
PENDAHULUAN
Untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model suatu persoalan
nyata bidang rekayasa, seiring solusi yang di cari berupa suatu nilai variabel x atau variabel t
sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) atau f(t) = 0 yang digunakan dalam model.
Dalam beberapa kasus, melalui faktorasi f(x) atau f(t) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti
yang diinginkan, akan tetapi, jauh lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai
bentuk yang rumit, sehingga teknik analitis matematika murni tidak dapat memberikan solusi.
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
5/11
BAB II
PEMBAHASAN
A. Metode Titik Tetap
Metode ini kadang-kadang juga dinamakan juga metode lelaran sederhana, metode langsung, atau
metode sulih beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur lelarannya mudah
dibentuk sebagai berikut:
Susunlah persamaanf(x)=0 menjadi bentuk(x)= g(x). Lalu, bentuklah menjadi prosedur leleranxr+1=
g(xr). Dan terkalah sebuah nilai awalx0, lalu hitung nilai x1, x2, x3, yang mudah-mudahan
konvergen ke akar sejati s sedemikian sehinnga,
F(s) = 0 dan s = g(s).
Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila
xr+1 - xr<
Atau bila menggunakan galat relatif hampiran
Nmaks);
{ x adalah hampiran akar }
If i > Nmaks then
write ( Divergen! );
else
write (Hampiran akar x = , x:10:6);
end;
Contoh Program metode titik tetap:
x=0;
x2=exp(x)/9;
epsilon = 0.0000001;
iterasi=0;
fprintf('iterasi x(i) |x(i+1)-x(i)|\n');
while abs(x2-x)>=epsilon
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
8/11
x2=x;
x=exp(x)/9;
fprintf(' %3g %8.7f %8.7f\n',iterasi, x2, (x2-x));
iterasi=iterasi+1;
end
akar = x2;
fprintf('Akarnya adalah = %8.7f\n', akar);
fprintf('Jumlah Iterasi = %g\n', iterasi);
B. Metode Newton-Raphson
Salah satu cara untuk mencari akar kuadrat suatu bilangan adalah dengan melakukan iterasi
berdasarkan suatu persamaan tak linier. Metode Newton- Raphson merupakan metode yang
relative cepat menyelesaikannya secara numerik. Masalah utama yang dihadapi pada metode
Newton Raphson adalah dalam hal menentukan nilai awal iterasi. Dengan pemberian nilai awal
yang salah, maka iterasi akan menjadi lambat dan bahkan kadang-kadang tidak konvergen.
Karena tidak ada petunjuk yang pasti untuk menentukannya, makabiasanya nilai awal tersebut
hanya ditentukan dengan prinsip coba-coba. Penelitian ini mencoba mengevaluasi unjuk kerja
metode Reza (1990) dalam menentukan nilai awal iterasi Newton Raphson pada kasus pencarian
akar kuadrat suatu bilangan bulat.
Asumsi:
f(x) Kontinu dan dapat dapat diturunkan (differetiable) pada [a, b]
Nilai akar dugaan awal (x0) berada pada interval [a, b] dapat ditetntukan
)('
)(
)('
)(
)()('
1
1
1
i
iii
i
iii
ii
ii
xf
xfxx
xf
xfxx
xx
xfxf
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
9/11
Langkah-langkah Menentukan Akar
Menentukan akar suatu fungsi/persamaan tidak linear dengan metode Newton-Raphson:
1) Andaikanxi sebagai akar dugaan awal
2) Tentukanxi+1 dengan
3) Andaikanxi=xi+1 ulangi langkah 2 dan 3 hingga hasilnya cukup akurat, misalnya bila
, =bilangan bulat positif kecil.
Contoh :
Deksripsi :
Metode Newton Rapshon menggunakan formula atau algoritma untuk mendapatkan nilai x maka
:
x[n+1] = x[n]f(x)/f`(x)
Parameter awal x diinput dan nilai e = 0.0005
f(x) = fungsi persamaan x2
+ 3x10 = 0, maka x = 2 atau x = -5, jadi kita menginputkan
bilangan x awal apabila mendekati 2 maka hasil x akhir = 3, dan apabila mendekati = -5
maka hasil x akhir = 5
f`(x) = fungsi turunan pertama f(x) 2x + 3
nilai e = 0.0005
kondisi dimana perulangan berhenti nilai mutlak (Absolute) |x[n+1]x[n]| < e, dimana
hasil x[n] = x.
Contoh Program Newton Raphson:
x0=1;
y0=2;
disp('Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar');
disp('f1(x,y)=3x^2 + xy - 1');
)('
)(1
i
iii
Xf
XfXX
1
1
n
nn
x
xx
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
10/11
disp('f2(x,y)=4y + 2xy - 5');
disp('iterasi akar1 akar2');
for iterasi=1:100;
x1=x0-((3*x0.^2+x0*y0-1)*(4+2*x0)+(4*y0+2*x0*y0-5)*(x0))/((6*x0+y0)*(4+2*x0)-
(x0)*(2*y0));
y1=y0+((3*x0.^2+x0*y0-1)*(2*y0)-(4*y0+2*x0*y0-5)*(6*x0+y0))/((6*x0+y0)*(4+2*x0)-
(x0)*(2*y0));
fprintf(' %3g %10.7f %10.7f\n', iterasi, x1, y1);
if (abs(x1-x0)
7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson
11/11
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain
sehingga diperoleh : x = g(x).
dikenal juga sebagai metodex = g(x)
Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk
x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,....