7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

1/11

MAKALAH

ANALISIS NUMERIK

METODE TERBUKA

OLEH:

DIANA ARIFUDDIN

HASNAWIYAH

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN

MAKASSAR

2010

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

2/11

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur senantiasa kita panjatkan ke hadirat Allah swt atas segala nikmat dan

karunia-Nya. Shalawat dan salam semoga tercurah kepada Rasulullah saw, keluarga, sahabat,

dan para pengikutnya. Amin. Atas berkat rahmat Allah sajalah, sehingga penyusunan makalah

ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.

Tak lupa pula, ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga

makalah ini dapat diselesaikan, khususnya kepada dosen pembimbing mata kuliah Analisis

Numerik.

Penyusun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, kritik

dan saran yang membangun dari pembaca sangat diharapkan guna perbaikan pada

penyusunan selanjutnya. Harapan penyusun, semoga makalah ini dapat dijadikan bahan

bacaan bagi semua pihak.

Makassar, April 2010

Penyusun

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

3/11

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

BAB II PEMBAHASAN

BAB III PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

4/11

BAB I

PENDAHULUAN

Untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model suatu persoalan

nyata bidang rekayasa, seiring solusi yang di cari berupa suatu nilai variabel x atau variabel t

sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) atau f(t) = 0 yang digunakan dalam model.

Dalam beberapa kasus, melalui faktorasi f(x) atau f(t) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti

yang diinginkan, akan tetapi, jauh lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai

bentuk yang rumit, sehingga teknik analitis matematika murni tidak dapat memberikan solusi.

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

5/11

BAB II

PEMBAHASAN

A. Metode Titik Tetap

Metode ini kadang-kadang juga dinamakan juga metode lelaran sederhana, metode langsung, atau

metode sulih beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur lelarannya mudah

dibentuk sebagai berikut:

Susunlah persamaanf(x)=0 menjadi bentuk(x)= g(x). Lalu, bentuklah menjadi prosedur leleranxr+1=

g(xr). Dan terkalah sebuah nilai awalx0, lalu hitung nilai x1, x2, x3, yang mudah-mudahan

konvergen ke akar sejati s sedemikian sehinnga,

F(s) = 0 dan s = g(s).

Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila

xr+1 - xr<

Atau bila menggunakan galat relatif hampiran

Nmaks);

{ x adalah hampiran akar }

If i > Nmaks then

write ( Divergen! );

else

write (Hampiran akar x = , x:10:6);

end;

Contoh Program metode titik tetap:

x=0;

x2=exp(x)/9;

epsilon = 0.0000001;

iterasi=0;

fprintf('iterasi x(i) |x(i+1)-x(i)|\n');

while abs(x2-x)>=epsilon

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

8/11

x2=x;

x=exp(x)/9;

fprintf(' %3g %8.7f %8.7f\n',iterasi, x2, (x2-x));

iterasi=iterasi+1;

end

akar = x2;

fprintf('Akarnya adalah = %8.7f\n', akar);

fprintf('Jumlah Iterasi = %g\n', iterasi);

B. Metode Newton-Raphson

Salah satu cara untuk mencari akar kuadrat suatu bilangan adalah dengan melakukan iterasi

berdasarkan suatu persamaan tak linier. Metode Newton- Raphson merupakan metode yang

relative cepat menyelesaikannya secara numerik. Masalah utama yang dihadapi pada metode

Newton Raphson adalah dalam hal menentukan nilai awal iterasi. Dengan pemberian nilai awal

yang salah, maka iterasi akan menjadi lambat dan bahkan kadang-kadang tidak konvergen.

Karena tidak ada petunjuk yang pasti untuk menentukannya, makabiasanya nilai awal tersebut

hanya ditentukan dengan prinsip coba-coba. Penelitian ini mencoba mengevaluasi unjuk kerja

metode Reza (1990) dalam menentukan nilai awal iterasi Newton Raphson pada kasus pencarian

akar kuadrat suatu bilangan bulat.

Asumsi:

f(x) Kontinu dan dapat dapat diturunkan (differetiable) pada [a, b]

Nilai akar dugaan awal (x0) berada pada interval [a, b] dapat ditetntukan

)('

)(

)('

)(

)()('

1

1

1

i

iii

i

iii

ii

ii

xf

xfxx

xf

xfxx

xx

xfxf

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

9/11

Langkah-langkah Menentukan Akar

Menentukan akar suatu fungsi/persamaan tidak linear dengan metode Newton-Raphson:

1) Andaikanxi sebagai akar dugaan awal

2) Tentukanxi+1 dengan

3) Andaikanxi=xi+1 ulangi langkah 2 dan 3 hingga hasilnya cukup akurat, misalnya bila

, =bilangan bulat positif kecil.

Contoh :

Deksripsi :

Metode Newton Rapshon menggunakan formula atau algoritma untuk mendapatkan nilai x maka

:

x[n+1] = x[n]f(x)/f`(x)

Parameter awal x diinput dan nilai e = 0.0005

f(x) = fungsi persamaan x2

+ 3x10 = 0, maka x = 2 atau x = -5, jadi kita menginputkan

bilangan x awal apabila mendekati 2 maka hasil x akhir = 3, dan apabila mendekati = -5

maka hasil x akhir = 5

f`(x) = fungsi turunan pertama f(x) 2x + 3

nilai e = 0.0005

kondisi dimana perulangan berhenti nilai mutlak (Absolute) |x[n+1]x[n]| < e, dimana

hasil x[n] = x.

Contoh Program Newton Raphson:

x0=1;

y0=2;

disp('Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar');

disp('f1(x,y)=3x^2 + xy - 1');

)('

)(1

i

iii

Xf

XfXX

1

1

n

nn

x

xx

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

10/11

disp('f2(x,y)=4y + 2xy - 5');

disp('iterasi akar1 akar2');

for iterasi=1:100;

x1=x0-((3*x0.^2+x0*y0-1)*(4+2*x0)+(4*y0+2*x0*y0-5)*(x0))/((6*x0+y0)*(4+2*x0)-

(x0)*(2*y0));

y1=y0+((3*x0.^2+x0*y0-1)*(2*y0)-(4*y0+2*x0*y0-5)*(6*x0+y0))/((6*x0+y0)*(4+2*x0)-

(x0)*(2*y0));

fprintf(' %3g %10.7f %10.7f\n', iterasi, x1, y1);

if (abs(x1-x0)

7/28/2019 Metode Titik Tetap Dan Newton Rapson

11/11

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain

sehingga diperoleh : x = g(x).

dikenal juga sebagai metodex = g(x)

Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk

x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,....