Kuliah 13Pendahuluan tentang Gelombang

• Persamaan yg berkuasa mendukung banyak gerakan menyerupai gelombang (gelombang secara luas didefinisikan sbg osilasi dari variabel-variabel terikat).

• Sebagian gelombang yg didukung oleh persamaan-persamaan yg berkuasa adalah:– Gelombang gravitas (permukaan) eksternal.– Gelombang gravitas internal– Gelombang gravitas inersia– Gelombang akustik (termasuk gelombang Lamb)– Gelombang Rossby– Gelombang Kelvin– Gelombang Kelvin-Helmholtz

– Beberapa gelombang tsb adalah penting bagi dinamika sistem skala sinoptik, sedangkan yg lain hanya sbg “noise”

– Utk memahami meteorologi dinamik, kita harus memahami gelombang yg dpt terjadi di atmosfer.

• Definisi dasar– Amplitudo – setengah dari selisih ketinggian antara puncak

dan lembah.– Panjang gelombang ()- jarak antara puncak (atau lembah)

yg berurutan.– Angka gelombang (K) – 2/; banyaknya radian dlm satu

satuan jarak yg searah dg penjalaran gelombang (kadang-kadang angka gelombang didefinisikan sbg 1/, yg dlm hal ini adalah banyaknya gelombang per satuan jarak).

• Makin besar angka gelombang berarti panjang gelombang makin pendek.• Satuannya adalah radian m-1, atau kadang-kadang

hanya ditulis m-1.• Kita dpt juga mendefinisikan angka gelombang

sepanjang masing-masing sumbu.– k adalah angka gelombang dlm arah x (k=2/x).

– l adalah angka gelombang dlm arah y (k=2/y).

– m adalah angka gelombang dlm arah z (k=2/z).

• Vektor angka gelombang ditentukan oleh

kmjlik ˆˆˆK

gelombang. penjalaranarah dlm

titik -dan titik )ˆdan artikan disalah jangan ( kk

– Frekuensi angular () – 2 kali banyaknya puncak yg melewati sebuah titik dlm satu satuan waktu.• Satuan: radian s-1, kadang-kadang hanya ditulis s-1.

– Kecepatan fase (phase speed) (c) – kecepatan masing-masing puncak atau lembah.• Utk gelombang yg bergerak hanya dlm arah x, c=/k.• Utk gelombang yg bergerak hanya dlm arah y, c=/l.• Utk gelombang yg bergerak hanya dlm arah z, c=/m.• Utk gelombang yg bergerak dlm arah acak, c=/K, dimana

K adalah angka gelombang total yg ditentukan oleh K2 = k2 + l2 + m2.

• Utk gelombang yg bergerak dlm arah acak, ada kecepatan fase (phase speed) sepanjang masing-masing sumbu, ditentukan oleh cx = /k, cy = /l, cz = /m. Perhatikan bhw itu semua bukan komponen vektor!

kcjcicc

cccc

zyx

zyx

ˆˆˆ

2222

Vektor kecepatan fase (phase velocity) sebenarnya ditentukan oleh

.KK2

c

• Kecepatan group (group velocity) (cg) – kecepatan dimana energi gelombang bergerak. Komponennya ditentukan oleh:

km

jl

ik

c g ˆˆˆ

Jika kecepatan grup sama seperti kecepatan fase dari masing-masing gelombang yg membentuk paket, maka gelombang tsb adalah non-dispersif. Jika kecepatan grup berbeda dari kecepatan fase gelombang yg membentuk paket, maka gelombang tsb adalah dispersif.

– Hubungan dispersi – sebuah persamaan yg menghasilkan frekuensi angular gelombang sbg fungsi angka gelombang

),,( mlkF

Setiap jenis gelombang mempunyai hubungan dispersi yg unik. Satu dari tujuan kita mempelajari gelombang adalah menentukan hubungan dispersi.

Persamaan utk Gelombang

• Persamaan utk gelombang yg bergerak dlm arah x positif adalah

)cos()sin(),( tkxBtkxAtxu

Cara lain penulisan persamaan tsb adalah

)(cos)(sin),( ctxkBctxkAtxu

Utk gelombang yg bergerak dlm arah x negatif, persamaan tsb adalah

)cos()sin(),( tkxBtkxAtxu

• Rumus Euler– Rumus Euler menegaskan bhw

sincos iei Dari rumus Euler kita mempunyai dua identitas berikut:

)(),( tkxiAetxu

2sin

2cos

ii

ii

eei

ee

Dg menggunakan rumus Euler, sebuah gelombang yg bergerak dlm arah x positif

• Sebuah gelombang yg bergerak dlm arah x negatif dpt ditulis sbg

)(),( tkxiAetxu dimana amplitudo A bisa merupakan sebuah bilangan kompleks,

ir iaaA

dan menghasilkan informasi ttg fase dari gelombang.

• Kita akan sering menggunakan notasi kompleks tsb utk gelombang krn notasi tsb membuat diferensiasi lebih langsung krn anda tdk hrs mengingat apakah ada perubahan tanda atau tdk (spt anda lakukan ketika mendiferensiasi fungsi sinus dan cosinus).

• Amplitudo kompleks, A, memberikan informasi ttg fase gelombang. Dlm bentuk ini berikut ini kita mempunyai hubungan fase antara dua gelombang (u dan v), yg ditentukan oleh

)(

)(

tkxi

tkxi

Bev

Aeu

0

0

0

270 fase berbeda

180 fase berbeda

90 fase berbeda

fasesatu

ivu

vu

ivu

vu

Analisis Spektral

• Jarang mendapatkan gelombang dg panjang gelombang tunggal di atmosfer.

• Sebaliknya, banyak gelombang dg panjang gelombang yg berbeda saling tumpang tindih.

• Namun, kita dapat menggunakan konsep analisis spektral utk mengisolasi dan mempelajari gelombang individu, kemudian mengenali bhw kita dpt menjumlahkannya jika kita perlu.

• Maka selalu ingat bhw gangguan atmosfer yg nyata merupakan kumpulan dari banyak gelombang individu dg panjang gelombang berbeda.

• Deret Fourier – berlaku utk Fungsi Periodik, Kontinu

• Hampir semua fungsi periodik, kontinu (periode = L) dpt ditunjukkan dg jumlah tekberhingga dari fungsi sinus dan cosinus sbg

110

22)(

nn

nn L

nxb

L

nxaaxf

• Dimana koefisien Fourier ditentukan oleh

2/

2/

2/

2/

2/

2/

.2

sin)(2

2

cos)(2

)(1

L

L

n

L

L

n

L

L

o

dxL

nxxf

Lb

dxL

nxxf

La

dxxfL

a

• Koefisien Fourier menghasilkan amplitudo dari berbagai gelombang sinus dan cosinus yg diperlukan utk menggandakan fungsi semula.

• Koefisien 0 merupakan rata-rata fungsi.

• Koefisien n merupakan koefisien gelombang cosinus (bagian genap dari fungsi).

• Koefisien bn adalah koefisien gelombang sinus (bagian ganjil dari fungsi).

• Utk yg benar-benar fungsi genap, bn semuanya akan nol, sedangkan utk yg benar-benar fungsi ganjil, n semuanya akan nol.

• Deret Fourier dpt juga disajikan dg menggunakan notasi kompleks, dan dlm hubungan ini

L

nxixf

nn

2exp)(

Dimana koefisien nadalah bilangan kompleks, dg bagian real menyatakan amplitudo gelombang cosinus, dan bagian imajiner menyatakan amplitudo gelombang sinus,

dxL

nxixf

Liba

L

L

nnn

2/

2/

2exp)(

1

2

1

• Setiap koefisien Fourier, n, berkaitan dg gelombang sinusoidal dg panjang gelombang tertentu.

• Jika fungsi semula mengandung satu gelombang murni, maka akan hanya ada dua koefisien Fourier (1dan b1). Makin banyak sinusoidal (makin banyak angka gelombang) diperlukan utk menyatakan fungsi tsb, makin perlu banyak koefisien Fourier.

• Umumnya:– Fungsi yg semakin halus (smoother) memerlukan lebih sedikit

gelombang utk dibentuk kembali, dan memiliki lebih sedikit komponen frekuensi yg lebih tinggi.

– Fungsi yg semakin tajam (sharper) memerlukan lebih banyak gelombang utk dibentuk lagi, dan memiliki lebih banyak komponen frekuensi yg lebih tinggi.

– Fungsi yg lebih luas memerlukan lebih sedikit gelombang utk dibentuk, dan memiliki lebih sedikit komponen frekuensi yg lebih tinggi.

– Fungsi yg lebih sempit memerkukan lebih banyak gelombang utk dibentuk lagi, dan memiliki lebih banyak komponen frekuensi yg lebih tinggi.

• Transformasi Fourier – berlaku utk Fungsi tidak-periodik, kontinu.

• Analisis Fourier dpt dikembangkan ke fungsi yg kontinu, tetapi bukan fungsi periodik (fungsi aperiodik). Ini dilakukan dg menyajikan kembali fungsi sbg integral takberhingga

(1) exp)(2

1)( dkikxkFxf

Dimana koefisien Fourier dinyatakan dg F(k), yg merupakan bilangan kompleks yg ditentukan oleh

(2) exp)()( dxikxxfkF

• Persamaan (1) dan (2) dinamakan pasangan transformasi Fourier.

• Persamaan (1) adalah pernyataan dari fungsi dlm ruang “fisik”.

• Persamaan (2) merupakan representasi dari fungsi dlm “frekuensi” atau ruang “angka gelombang”.

• Seperti dg deret Fourier, bagian real dari koefisien Fourier, Re[F(k)], menyatakan cosinus, atau bagian genap dari fungsi, sedangkan bagian imajiner, Im[F(k)], menyatakan sinus, atau bagian ganjil dari fungsi.

• Spektra Fourier dari beberapa Contoh Fungsi.• Seperti dinyatakan sebelumnya, fungsi yg tajam,

sempit mempunyai lebih banyak gelombang dg frekuensi yg lebih tinggi dlm spektra Fouriernya, daripada fungsi yg halus dan luas.

• Di bawah ini ditunjukkan gambar sbg contoh fungsi dan spektra Fourier yg terkait.

• Empat gambar pertama menunjukkan fungsi kotak dg berbagai lebar, sedangkan empat gambar ke dua menunjukkan kurva Gaussian dg berbagai lebar.

• Hal yg perlu dicatat:– Umumnya fungsi yg makin sempit, makin luas

spektrumnya, dan sebaliknya.– Deret pangkat dari kurva Gaussian juga

merupakan kurva Gaussian.– Fungsi impuls mempunyai spektrum pangkat yg

luas takberhingga, sedangkan fungsi yg luas tak berhingga mempunyai lonjakan tunggal pd spektrum pangkatnya.

Latihan

1. Tunjukkan bhw di bawah ini adalah benar:

)(

)(

)(

)(

Re)sin(

Re)sin(

Re)cos(

Re)cos(

tkxi

tkxi

tkxi

tkxi

ietkx

etkx

etkx

etkx

2. Tunjukkan bhw berikut ini benar:

)(2)(2

2

)()(

)(2)(2

2

)()(

tkxitkxi

tkxitkxi

tkxitkxi

tkxitkxi

eet

eiet

ekex

ikeex

PR

3. Sebuah gelombang dinyatakan dalam notasi kompleks sbb:

).sin(3)cos(2),(

sbb gelombangpernyatan

dgekivalen ini bhwTunjukkan .32 dimana

),( )(

tkxtkxtxu

iA

Aetxu tkxi

4. Cari perbedaan fase antara dua gelombang berikut:

)(

)(

),(

),(tkxi

tkxi

Betxv

Aetxu

utk harga-harga A dan B berikut

iBiA

iBiA

iBiA

iBiA

iBiA

69 ;32 e.

64 ;32 d.

23 ;32 c.

32 ;32 b.

23 ;32 a.