Kehidupan Nyata

Bahasa Matematika

Model Matematika

Persamaan atau pertidaksamaan

Matematika

Penyelesaian masalah

Bisa Disajikan

Diperlukan Alat Bantu

Menggunakan

Tujuan

Kemampuan yang akan

dibahas

Menentukan nilai optimum dari

fungsi tujuan sebagai

penyelesaian program linear

4

Program Linear

adalah suatu metode

untuk mencari nilai optimum

suatu bentuk linear f(x,y) = ax + by

pada daerah himpunan penyelesaian

suatu sistem pertidaksamaan

5

Nilai optimum dapat ditentukan dengan tahapan:

1. Menentukan model matematika

2. Menggambar daerah himpunan penye

lesaian sistem pertidaksamaan linear

3. Menentukan koordinat titik sudut pada

daerah tersebut

4. Menentukan nilai optimum bentuk

linear pada titik-titik tersebut

6

Untuk menggambar daerah himpunan

penyelesaian sistem pertidaksamaan

anda harus ingat hal-hal sbb:

7

Y Persaaman garis nya:

X (a,0)

(0,b)

O

X 2

3

O

Persaaman garis nya:

bx + ay = ab

3x + 2y = 6

1. Persamaan garis

8

2. Menentukan daerah pertidaksamaan

X

Y

x

y ax + by c; a > 0

ax + by c; a > 0

9

Contoh menentukan daerah

pertidaksamaan

X

Y

6

2 x + 3y 6, 0 + 0 6 ™

x + 3y 6, 0 + 0 6 (m)

X

Y

a

b

bx + ay ab

bx + ay ab

Titik uji (0,0) gbr garis: x + 3y = 6,

10

Contoh 1: Nilai maksimum fungsi sasaran

Z= 6x + 8y dari sistem

pertidaksamaan linear:

adalah….

0,0

4842

6024

yx

yx

yx

11

Pembahasan:

X

Y

O 24 15

12

30

Titik-titik potong garis batas

4x + 2y = 60

2x + 4y = 48 x2

x1

(12,6)

12

4x + 2y = 60

4x + 8y = 96

-6y = -36

y = 6

4x + 2y = 60 4x + 12 = 60

4x = 48 x = 12

Jadi titik potongnya (12,6)

13

Substitusi titik-titik sudut ke: Z = 6x + 8y

(0,0) Z = 6.0 + 8.0 = 0

(15,0) Z = 6.15 + 8.0 = 90

(12,6) Z = 6.12 + 8.6 = 72 + 48 = 120

(0,12) Z = 6.0 + 8.12 = 96

Jadi, maksimum Z adalah 120

14

Contoh 2:

Pesawat penumpang mempunyai

tempat duduk 48 kursi. Setiap

penumpang kelas utama boleh

membawa bagasi 60 kg sedang kelas

ekonomi 20 kg.

15

Pesawat hanya dapat membawa bagasi

1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp.

150.000,00 dan kelas ekonomi Rp

100.000, 00.

Supaya pendapatan dari penjualan tiket

pada saat penuh mencapai maksimum

jumlah tempat duduk kelas utama

haruslah…

16

Pembahasan:

Rp100.000 Rp150.000 Harga

tiket

1440 kg 20 kg 60 kg bagasi

48 y x Tempat

duduk

Jumlah Kelas

Ekonomi (y)

Kelas

utama (x) kelas

kapasitas

17

Syarat adalah

Tempat duduk tidak boleh lebih dari 48

x + y 48

Bagasi tidak boleh lebih dari 1440 kg

60x + 20y 1440 atau

3x + y 72

Banyak penumpang kelas utama dan

ekonomi harus 0, yaitu x 0 dan y 0

18

Jadi model matematisnya:

x + y 48

3x + y 72

x 0

y 0

Himpunan penyelesaian dari syarat

(model matematis) merupakan daerah

yang diarsir pada gambar berikut:

19

Fungsi sasaran adalah

memaksimumkan laba yaitu: f(x,y)=

150000x + 100000y

20

48

(0,48)

(24,0)

72

X

Y

0

garis: x + y = 48

garis: 60x + 20y = 1440

3x + y = 72 (12, 36)

21

Titik potong kedua garis:

x + y = 48

3x + y = 72

-2x = -24 x = 12,

Jadi titik potongnya: (12, 36) y = 36

22

Substitusi titik-titik sudut (24,0),

(12,36) dan titik (0,48) ke

f(x,y) = (150x + 100y)1000

(24,0) f(x,y) = 150.24 + 100.0

= 3.600.000

23

(12,36)f(x,y)=150.12 +100.36

=1800 + 3600 = 5.400.000 (maks)

(0,48)f(x,y)=150.0 + 100.48

= 4.800.000

Supaya laba maksimum, maka

tempat duduk kelas utama, x = 12

24

Contoh 3:

Dengan persediaan kain polos 20 m dan

kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan

membuat model pakaian jadi.

25

Model I :

memerlukan

1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.

Model II:

memerlukan

2 m kain polos dan 0,5 kain bergaris.

26

Bila pakaian tersebut dijual, setiap

model I memperoleh untung Rp 15.000, 00

dan

model II memperoleh untung Rp. 10.000.

Laba maksimum yang diperoleh adalah…

27

Pembahasan:

Laba max? Rp10.000 Rp15.000 Laba

10 m 0,5 m 1,5 m bergaris

20 m 2 m 1m Polos

Tersedia Model II (y) Model I (x) Model

Kain

28

Fungsi sasaran adalah

memaksimumkan

laba yaitu: f(x,y)= 15000x + 10000y

29

Syarat adalah

Kain polos tidak boleh lebih dari 20 m

x + 2y 20

Kain bergaris tidak boleh lebih dari 10 m

1,5x + 0,5y 10 atau

3x + y 20

Banyak model I dan II harus 0

yaitu x 0 dan y 0

30

Jadi model matematisnya:

x + 2y 20

3x + y 20

x 0

y 0

Himpunan penyelesaian dari syarat

(model matematis) merupakan daerah

yang diarsir pada gambar berikut:

31

20

(0,10)

(20/3,0)

20

X

Y

0

garis: x + 2y = 20

garis: 3x + y = 20 (4, 8)

32

Titik potong garis batas:

x + 2y = 20

3x + y = 20

-5x = -20 x = 4,

Jadi titik potongnya: (4, 8)

y = 8

x1

x2 x + 2y = 20

6x + 2y = 40

Titik potong(4, 8)

33

Substitusi titik-titik sudut (20/3,0),

(4,8) dan titik (0,10) ke

f(x,y) = (15x + 10y)1000

(20/3,0) f(x,y) = 15.20/3 + 100.0

= 100

(4,8)f(x,y)= 15.4 +10.8

= 60 + 80 = 140 (maks)

(0,10)f(x,y)=15.0 + 10.10

= 100

Jadi laba maksimum Rp140.000,00

34

Contoh 4: Nilai maksimum fungsi f(x,y) =2x + 3y

yang memenuhi sistem pertidaksamaan

linear: x + 2y 6,

x – y -1, x – 4 0, adalah….

Pembahasan:

35

6

3

-1

1

x = 4

X

grs: x + 2y = 6

grs: x - y = -1

Y

36

Titik-titik potong garis batas

x + 2y = 6

x – y = -1

x = 4

4 + 2y = 6

2y = 2

y = 1 A(4,1)

x = 4

4 – y = -1

y = 5 B(4,5)

37

6

3

-1

1

x = 4

x

Y

A(4,1)

B(4,5)

x + 2y = 6

x - y = -1

3y = 7

y = 7/3

C

38

x – 7/3 = -1

x = 4/3 Titik C(4/3,7/3)

y = 7/3 x - y = -1

39

Substitusi titik-titik sudut A(4,1),

B(4,5) dan titik C(4/3,7/3) ke

f(x,y) = 2x + 3y

40

A(4,1) f(x,y) = 2.4 + 3.1 = 11

B(4,5) f(x,y) = 2.4 + 3.5 = 23 (maks)

C(4/3,7/3)f(x,y) =2.4/3 + 3.7/3

= (8 + 21)/3

= 29/3

Fungsi sasaran ber nilai maksimum, di titik

(4,5). Jadi nilai maksimum 23

Nilai optimum dari fungsi tujuan f = ax + by

dapat juga ditentukan dengan menggunakan

garis selidik ax + by = k

yang melalui titik terjauh atau titik terdekat dari

titik pusat koordinat pada daerah himpunan

penyelesaiannya

Langkah-langkah mencari nilai optimum

dengan garis selidik :

1. Menentukan nilai k, misalnya sama dengan k1, sehingga

ax + by = k1 mudah digambar

2. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan

garis ax + by = k1 :

a. Jika garis ax + by = k2 merupakan garis yang

paling kanan pada daerah penyelesaian, k2

merupakan nilai maksimum.

b. Jika garis ax + by = k3 merupakan garis yang

paling kiri, pada daerah penyelesaian, k3

merupakan nilai minimum.

Seorang penjahit profesional mempunyai bahan 30 meter wol dan 20 meter katun. Ia akan membuat stelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas memerlukan 3 meter wol dan 1 meter katun, Sedangkan untuk satu stel rok memerlukan 1 meter Wol dan 2 meter katun. Berapa stel jas dan rok yang harus ia buat agar ia mendapatkan keuntungan Sebesar-besarnya, apabila harga satu stel jas Rp. 150.000,00 dan harga satu stel rok Rp. 75.000,00 ?

Perhatikan model matematika dan fungsi tujuannya ::

Model Matematika :

3x + y ≤ 30

x + 2y ≤ 20

x 0 ; y 0 x є C ; y є C

Fungsi tujuan : “ Memaksimumkan”

f((x,y) = 150.000x + 75.000y

Kita akan selesaikan masalah ini dengan metode garis selidik

Fungsi tujuan : f = 150.000x + 75.000y

Buatlah garis-garis yang memenuhi 150.000x + 75.000y = k

Melalui titik (0,0) 150.000x + 75.000y = 0

75.000y = -150.000x

y = -2x

Buat garis – garis lain yang sejajar dengan garis y = -2x

Perhatikan Grafik berikut :

x

y

(0,0)

(0,30)

(10,0)

3x+y ≤ 30

(0,10)

(20,0)

x+2y ≤ 20

(8,6)

y =-2x

Dari grafik, terlihat bahwa garis putus-putus

(garis selidik) yang paling kanan melalui

titik (8,6).

Jadi nilai maksimumnya =

150.000 (8) + 75.000 (6) = 1.650.000

Sehingga Penjahit profesional itu agar mendapatkan

Keuntungan maksimum harus membuat

8 jas dan 6 rok

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

Perhatikan gambar

Soal-1

Nilai maksimum

f(x,y) = x – 2y + 4

adalah…..

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

Perhatikan gambar, persamaan-persamaan

garisnya adalah

Pembahasan-1

x + y = 4

x - y = -2

x + 2y = -2

x = 3

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya

Pembahasan-1

A(3,…)

B(3,…)

C(…,…)

D(-2,0)

Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya

Pembahasan-1

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

A(3,…)

B(3,…)

C(…,…)

D(-2,0)

A(3,…)

titik potong x = 3

dan x + 2y = -2

diperoleh A(3, -5/2)

Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya

Pembahasan-1

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

A(3,-5/2)

B(3,…)

C(…,…)

D(-2,0)

B(3,…)

titik potong x = 3

dan x + y = 4

diperoleh B(3, 1)

Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya

Pembahasan-1

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

A(3,-5/2)

B(3,1)

C(…,…)

D(-2,0)

C(…,…)

titik potong

x – y = -2 dan

x + y = 4

diperoleh C(1,3)

Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya

Pembahasan-1

X

Y

O 4

4

-1

-2 3

2

A(3,-5/2)

B(3,1)

C(1,3)

D(-2,0)

Titik-titik A(3,-5/2),

B(3,1), C(1,3)

dan D(-2,0)

disubstitusi ke

f(x,y) = x – 2y + 4

Pembahasan-1

Titik-titik A(3,-5/2), B(3,1), C(1,3) dan D(-2,0)

disubstitusi ke f(x,y) = x – 2y + 4

Diperoleh: f(3,-5/2) = 3 + 5 + 4 = 12

f(3,1) = 3 – 2 + 4 = 5

f(1,3) = 1 – 6 + 4 = -2

f(-2,0) = -2 – 0 + 4 = 2

Jadi nilai maksimumnnya adalah 12

58

Contoh 5 Pedagang makanan membeli tempe

seharga Rp250,00 per buah dijual de-

ngan laba Rp50,00 per buah, sedang

kan tahu seharga Rp400,00 per buah

dijual dengan laba Rp100,00 per buah.

59

Pedagang tersebut mempunyai modal

Rp145.000,00 dan kiosnya dapat me-

nampung 400 buah maka keuntungan

maksimum pedagang tersebut adalah….

60

Pembahasan:

Rp100,00 Rp50,00 Laba

Rp145.000,00 Rp400,00 Rp250,00 Harga beli

400 y x Daya

tampung

Modal Tahu (y) Tempe (x) jenis

kapasitas

Laba max?

61

Fungsi sasaran adalah

memaksimumkan

laba yaitu: f(x,y)= 50x + 100y

62

Syarat adalah

Jumlah tahu tidak boleh lebih dari 400

x + y 400

Modal tidak boleh lebih dari Rp145.000

250x + 400y 145000 atau

5x + 8y 2900

Banyak tempe dan tahu harus 0

yaitu x 0 dan y 0

63

Jadi model matematisnya:

x + y 400

5x + 8y 2900

x 0

y 0

Himpunan penyelesaian dari syarat

(model matematis) merupakan daerah

yang diarsir pada gambar berikut:

64

(400,0)

400

580

(0,362½)

X

Y

0

garis: x + y = 400

garis: 5x + 8y = 2900

(100,300)

65

Titik potong garis batas:

x + y = 400

5x + 8y = 2900

-3y = -900

y = 300,

Jadi titik potongnya: (100, 300)

x = 100

x5

x1

5x + 5y = 2000

5x + 8y = 2900

Titik potong(100,300)

66

Substitusi titik-titik sudut (400,0),

(100,300) dan titik (0,362½) ke

f(x,y) = 50x + 100y

(400,0) f(x,y) = 50.400 + 100.0

= 20000

(100,300)f(x,y)= 50.100 +100.300

= 35000

(0,362½)f(x,y)=50.0 + 100.362½

= 36250 (max)

Jadi laba maksimum Rp36.250,00