Pertemuan 8 – Aljabar Linear & Matriks

1

Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b

dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b

mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu

x = A-1 b

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan

invers matriks.

2

Dalam bentuk matriks Ax = b maka dari sistem persamaan

linier tsb diperoleh:

Invers matriks A (sesuai yg tlh diperoleh pd pertemuan yg

sblmnya) adl:

maka dgn menggunakan invers matriks A dpt diperoleh:

3

Sehingga x1 = 1, x2 = -1, dan x3 = 2

Teorema

Jika Ax1 = b1, Ax2 = b2, Ax3 = b3, …, Axk = bk maka

x1 = A-1 b1, x2 = A-1 b2, x3= A-1 b3, …, xk = A-1 bk

Sejumlah sistem persamaan linier yg spt itu dpt dinyatakan dlm

btk matriks augmentasi sbb:

[ A | b1 | b2 | … |bk ]

4

Contoh:

Selesaikan dua sistem persamaan linier berikut:

Penyelesaian:

Matriks augmentasi yg dpt diperoleh dr soal adl sbb:

operasi elementer baris

Brp harga-harga x utk masing-masing sistem persamaan?

Coba selesaikan menggunakan invers matriks A!

5

Matriks diagonal adl sebuah matriks bujursangkar dimana

semua elemen selain pd diagonal utama bernilai nol. Secara

umum dpt dinyatakan sbg:

Contoh:

6

Invers matriks diagonal

Matriks diagonal invertible jika dan hanya jika semua elemen

diagonalnya tidak sama dengan nol, dan jk dmk mk inversnya

adl:

Perpangkatan matriks diagonal

Perpangkatan matriks diagonal dgn suatu bilangan bulat k

didefinisikan sbg:

7

Perkalian dgn matriks diagonal

Perkalian dgn matriks diagonal sangat mudah utk dihitung.

Ilustrasi:

8

Matriks bujursangkar dimana semua elemen di atas diagonal

utama bernilai nol disebut matriks segitiga bawah.

Matriks bujursangkar dimana semua elemen di bawah

diagonal utama bernilai nol disebut matriks segitiga atas.

9

Sifat-sifat matriks segitiga:

Transpose matriks segitiga bawah adl matriks segitiga atas. Dmk

pula sebaliknya.

Hasil kali dgn matriks segitiga atas adl matriks segitiga atas.

Hasil kali dgn matriks segitiga bawah adl matriks segitiga

bawah.

Sebuah matriks segitiga dpt diinverskan jika dan hanya jika

semua elemen diagonalnya tdk sama dgn nol.

Invers matriks segitiga atas juga berbentuk matriks segitiga atas.

Invers matriks segitiga bawah juga berbentuk matriks segitiga

bawah.

10

Contoh:

11

Sebuah matriks bujursangkar A disebut simetris jika AT = A.

Contoh:

12

3

2

1

00

00

00

705

034

541

53

37

d

d

d

Determinan mrpk suatu fungsi yg menghubungkan sebuah

bilangan real dgn matriks bujursangkar.

Dalam matriks ukuran 2x2:

maka determinan matriks A dinyatakan sbg:

det (A) = ad – bc

dan invers matriks A dinyatakan sbg:

13

Jika A adl matriks bujursangkar, maka minor elemen aij

(dinotasikan dgn Mij) adl determinan submatriks yg tertinggal

setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari matriks A.

Kofaktor elemen aij (dinotasikan dgn Cij) didefinisikan sbg:

Cij = (-1)i+j Mij

Contoh:

Temukan minor dan kofaktor dari matriks

14

Untuk elemen a11 maka

Untuk elemen a32 maka

15

Untuk matriks A bujursangkar 3x3, maka determinan dpt

diperoleh menggunakan ekspansi kofaktor sbb:

Secara umum, determinan matriks nxn didefinisikan sbg:

disebut mencari determinan A menggunakan ekspansi

kofaktor menurut baris pertama matriks A.

16

Contoh:

Temukan determinan matriks berikut dgn ekspansi kofaktor

mnrt baris pertama.

Penyelesaian:

Coba temukan determinan menggunakan ekspansi kofaktor

menurut baris kedua atau ketiga. Bgmn hasilnya?

17

Secara umum, utk matriks 3x3 maka determinan dpt dicari

dgn:

Teorema:

Determinan matriks nxn dpt ditentukan menggunakan

ekspansi kofaktor mnrt kolom ke j

atau ekspansi kofaktor mnrt baris ke i

18

Memilih baris atau kolom

Tentukan determinan matriks

Pilihlah kolom kedua sbg dasar ekspansi kofaktornya.

Mengapa?

19

Jika A adl matriks nxn dan Cij adl kofaktor elemen aij maka

matriks

disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks ini

disebut adjoint matriks A atau dinotasikan sbg adj(A)

Soal Latihan:

Temukan adj (A) jika

20

Adjoint matriks dpt digunakan utk mencari invers matriks

(yang invertible)

Quiz (40 Minutes)

Temukan invers matriks A menggunakan adjoint matriksnya.

21

Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005.