Post on 06-Feb-2018
DEFINISI
MATRIKS
Bentuk umum
A=(aij) ,i= 1,2,...m
J=1,2,...m
a11 a12……a1n baris 1
a21 a22…..a2n baris 2
Am1 am2…amn baris m
Kolom n
Kolom 2
Kolom 1
Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom
maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
Kesamaan dua matriks
Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij=bij.
1 2 4
2 1 3 A =
1 2 4
2 1 3 B =
1 2 2
2 1 3 C =
2 1 2
2 1 3 D =
1 2 4
2 2 2 E =
x 2 4
2 2 2 F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C ≠ D
E = F jika x = 1
G = H
2 2 2
4 5 6
9 0 7
Contoh penjumlahan matriks:
Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama
A + B
1 2
6 3
2 4
6 3
A = B =
+ = 3 6
+ = 6 12
2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari A=(aij)
maka λ A diperoleh dengan mengalikan
semua elemen matriks A dengan λ
Contoh:
1/2-03/2
7/22/32A
2
1
3-09
219123A maka
1-03
734A
3. Perkalian Matriks Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:
Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B).
Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).
CBApxmpxnnxm
A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p
Maka :
A x B = (aij) x (bjk)=(cik)
Contoh:
1 3
5 0
0
1 2 A B 2
4
1
2 1 0
= =
A x B =
-4
4
x + x + x = 9
1 3
5 0
2
4
1 3
5 0
2
4
0
1 2
1
2 1 0
-4
4
x + x + x = 16
x + x + x = 3
1 2 3
0 4 5
x x x
x x x
x x x
+
+
+ +
+
+ =
=
=
13
8
14
1
4
0
-4
2
1
1 2 3
0 4 5
0
1
2
0
1
2
Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di perlukan, maka:
A(B+C)=AB+AC
A(BC)=(AB).C
Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB=BA
Bila AB=AC , belum tentu B=C
Bila AB=0(matriks nol)
Maka kemungkinan-kemungkinan:
1. A=0 & B=0
2. A=0 atau B=0
3. A≠B dan B≠0
Transpose
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya
adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari
A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……
[AT]ij = [A]ji n x m
Sifat-sifat transpose matriks
A AT (AT)T
(AT )T = A 1. Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:
Jenis Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
Contoh
elemen diagonal utama
3x3 2x2
012
1-31
210
, 21
02
2. Matriks Nol
Adalah matriks yang semua elemennya nol
2x2 3x3
3. Matriks Diagonal
Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol
Contoh:
400
020
001
000
000
00
00
4. Matriks Identitas
Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1
Contoh:
5. Matriks Skalar
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K
Contoh:
6. Matriks Segitiga Bawah
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0
Contoh:
3I
100
010
001
200
020
002
311
022
001
7. Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0
Contoh:
8. Matriks Simetris
Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT).
Contoh:
1000
3300
2010
1121
340
412
021
A
340
412
021
A T
9. Matriks Anti Simetris
Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.
Contoh:
10. Matriks Hermitian
Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri
Contoh:
0142
1031-
43-01
211-0
A ,
0142
103-1
4-301-
2-1-10
A T
42
23A ,
42
23A T
i
i
i
i
11. Matriks Invers
Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B
invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1
Contoh:
12. Matriks Komutatif
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku
AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Contoh:
IBxAAxB
101
011
32-6
B ,
421
331
321
A
75
57
31
13
21
12AxB
75
57
21
12
31
13BxA
31
13B ,
21
12A
Transformasi Elementer
Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:
1. Bij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. Kij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan
dengan skalar λ≠0
4. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan
skalar λ≠0
5. Bij(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ
kali baris ke j
6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ
kali kolom ke j
Contoh:
Di ketahui matriks , maka:
103
112
413
B
123
112
473
B)(K ,
516
112
413
B)(B
1-03
1-12
4-13
B)(K ,
103
112
826
(B)B
)2(
23
)1(
31
)1(
3
)2(
1
Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom.
Contoh:
B1203
1315B
1315
1203
K2303
1215K
2314
1203A
~12
~
)1(
42~
)1(
12
1203
1315Bdan
2314
1203A
Adalah ekivalen karena:
Matriks Eselon
Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah
menjadi matriks eselon dengan menggunakan
“Transformasi Elementer”.
Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang
sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri
semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut
“ Matriks Eselon “.
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi:
1. Elemen pertama yang tidak
nol adalah 1 (satu utama)
2. Satu utama baris
berikutnya berada lebih
kanan dari baris
sebelumnya
3. Baris nol berada di paling
bawah
4. Elemen di atas satu utama
nol semua
1 0 2 4
0 1 3 6
0 0 1 0
1 0 2 4
0 0 1 6
0 1 0 0
1 0 2 4
0 1 3 6
0 0 1 0
0 1 6 0 0 1
0 0 0 1 0 6
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0
1 0 2 4
0 0 0 0
0 1 6 0
1 0 2 4
0 1 6 0
0 0 0 0
1 0 2 4
0 3 1 6
0 0 1 0
1 0 2 4
0 0 1 6
0 0 0 1
Ya Tidak
Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt)
Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris.
Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi.
* *
* * *
* *
1 utama
Sembarang nilai
Nol
* *
* * *
*
eselon baris. eselon baris tereduksi
Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks
eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer.
Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks.