Matematika Teknik TPE 214 / ( 3 + 0 )...

Matematika Teknik TPE 214 / ( 3 + 0 ) SKS

Dr. Andasuryani, STP,MSi

Putri Wulandari Zainal, STP, MSi.

Konsep Dasar Persamaan Diferensial-

Andasuryani 1

KONTRAK PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Matematika Teknik

Kode Mata Kuliah : TPE 214

Pengajar : Dr. Andasuryani, STP,MSi

: Putri Wulandari Z, STP,MSi

Semester : III

Andasuryani 2

Mata Kuliah Matematika Teknik merupakan kelompok mata kuliah

Ipteks Pendukung yang wajib diambil oleh mahasiswa. Mata kuliah

ini ditawarkan dengan bobot 3 (3+0) sks untuk membantu

mahasiswa mempelajari karakteristik dan jenis persamaan

diferensial, metoda pemecahan persamaan diferensial dan sistem

persamaan diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang teknik.

Mata kuliah ini dilaksanakan secara Team Teaching (diampu beberapa

dosen).

Latar Belakang

Andasuryani 3

Deskripsi Mata Kuliah: Nama Mata Kuliah : Matematika Teknik

Kode Mata Kuliah/ SKS : TPE 214 /3 (3+0)

Pelaksanaan : Semester (Ganjil)

Prasyarat : Kalkulus

Status Mata Kuliah : Wajib

No. Pokok Bahasan

1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial

2 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu

3 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu

4 Persamaan diferensial biasa orde tinggi

5 Integral lipat dan aplikasinya

6 Matrik dan matrik eksponensial

7 Pemecahan PDL dengan matrik

8 Operator polinomial

9 Pemecahan PDL dengan operator polinomial Konsep Dasar Persamaan Diferensial-

Andasuryani 4

Tujuan Pembelajaran

Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa

mampu menyelesaikan persoalan-persoalan

persamaan diferensial dan sistem persamaan

diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang

teknik khususnya teknik pertanian.

Andasuryani 5

Self-Directed Learning (SDL): untuk merumuskan sistem

perkuliahan dan silabus MK

Contextual Teaching and Learning (CTL): dengan memberikan

contoh kasus dalam kehidupan sehari – hari

Small Grup Discussion dan Cooperative Learning (CL): membagi

mahasiswa menjadi kelompok – kelompok untuk berdiskusi tentang

pokok bahasan

Student Centered Learning (SCL).

Metode Pembelajaran:

Andasuryani 6

Referensi

RK Jain & SRK Iyengar. 2002. Advanced Engineering

Matehmatics. Alpha Science International Ltd. Pangbourne

England.

Zill, Dennis G. 1982. A first course in differential equation with

applications. Prindle, Weber &Schmidt. Boston.

Bronson R. 2003. Theory and Problems of Differential

Equations. Schaum’s Outline Series, Mc Graw Hill.

John, Bird. 2007.Engineering Mathematics. Elsevier Ltd. USA

Andasuryani 7

Setiap mahasiswa diwajibkan mengikuti latihan dan penyelesaian

tugas yang diberikan oleh dosen.

Setiap mahasiswa diwajibkan menyerahkan tugas-tugas yang

diberikan sesuai dengan jangka waktu yang ditetapkan.

UTS akan diadakan pada minggu ke-8 sedangkan UAS pada minggu

Andasuryani 8

Norma Akademik

Akan mengikuti perkuliahan dengan sungguh-sungguh.

Akan menjujung tinggi aspek kejujuran dan tidak akan

membuat kecurangan, mengganggu proses belajar

mengajar, dan plagiatisme.

Kecurangan dalam ujian, nilai mata kuliah yang

bersangkutan nol.

Kehadiran perkuliahan mahasiswa minimal 80% dari total

pertemuan kuliah yang terlaksana.

Andasuryani 9

Norma Akademik Kegiatan pembelajaran sesuai dengan jadwal resmi dan jika

terjadi perubahan ditetapkan bersama antara dosen dan

mahasiswa.

Baik dosen maupun mahasiswa bersedia untuk menghadiri kelas

tepat pada waktunya.

Jika keterlambatan terjadi 15 menit setelah waktu yang

ditentukan (tanpa ada konfirmasi sebelumnya kepada penanggung

jawab kelas/dosen) maka orang/dosen tersebut bersedia untuk

tidak masuk kelas (Absen).

Jika tidak bisa menghadiri kelas karena izin / sakit maka disertai

dengan Surat Pengantar/Surat Dokter.

Andasuryani 10

Norma Akademik

Tidak menggunakan fasilitas telekomunikasi selama

berlangsungnya perkuliahan.

Pengumpulan tugas ditetapkan sesuai jadwal.

Berpakaian sopan dan bersepatu dalam perkuliahan.

Pakai baju/ kemeja putih dan celana hitam untuk pria dan

rok hitam bagi perempuan pada saat UTS dan UAS

Mematuhi norma akademik lainnya.

Andasuryani 11

Penilaian

Ujian MID Ujian UAS KuisTugas dan

PRKehadiran

Keaktifan di

kelasEtika

Persentase (%) 25 25 15 10 10 10 5

ilai (

Andasuryani 12

Pelaksanaan Mata Kuliah: No. Pokok Bahasan

1 Pendahuluan: Penyampaian RPS

2 Konsep Dasar Persamaan Diferensial

3 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu

4 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu

5 Persamaan diferensial biasa orde tinggi

6 Integral lipat dan aplikasinya

Andasuryani 13

Dosen Pengampu:

Dr. Andasuryani, S.TP, M.Si

Putri Wulandari Z, STP,MSi

Andasuryani 14

Apa yang saudara ketahui dari istilah berikut dan berikan

contoh:

1) Orde

2) Derajat

3) Syarat awal

4) Syarat batas

5) Persamaan diferensial implisit

6) Persamaan diferensial eksplisit

Andasuryani 15

Sebutkan jenis persamaan diferensial berikut:

Selesaikan persamaan diferensial berikut:

dxxxdy )563( 2

Andasuryani 16

Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)

Konsep Dasar Persamaan Diferensial

Kuliah ke : 2

Dr. Andasuryani, STP, MSi

Andasuryani 17

OUTLINE

Konsep Dasar Persamaan Diferensial

PENGERTIAN/ DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL

KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL

BENTUK SOLUSI (PENYELESAIAN) PDB

Andasuryani 18

TUJUAN

Mempelajari definisi persamaan diferensial.

Mempelajari klasifikasi persamaan diferensial

Mempelajari bentuk-bentuk solusi persamaan diferensial

Andasuryani 19

Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematika

untuk merekayasa sebab banyak hukum dan hubungan fisika

muncul secara matematis dalam bentuk persamaan

diferensial.

Persamaan diferensial dalam bidang teknik umumnya

digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, yaitu sistem

yang berubah menurut waktu.

Contoh: Rangkaian linstrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu

Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran dll selalu berubah terhadap

Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah

Hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem yang bersifat dinamis –

sistem kontrol

Andasuryani 20

Andasuryani 21

Beberapa

aplikasi

persamaan

diferensial

Andasuryani 22

a) Definisi

Persamaan diferensial (PD):

Persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan

derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.

Contoh:

Andasuryani 23

b) Klasifikasi PD

Klasifikasi PD

Berdasarkan tipe

PD Biasa (PDB)

PD Parsil (PDP)

Berdasarkan orde

Orde 1

Orde 2, dst

Berdasarkan derajat (degree)

Derajat 1

Derajat 2, dst

Berdasarkan nilai variabel

Syarat awal (IC)

Syarat Batas (BC)

Berdasarkan liniearitas

Linear

Non linear

Berdasarkan homogenitas

Homogen

Non Homogen

Andasuryani 24

Berdasarkan Tipe

Persamaan diferensial biasa (PDB)

Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent

Persamaan diferensial parsial (PDP)

Persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel

independent

Andasuryani 25

Berdasarkan Tipe

ydx 0sin' xey x

Andasuryani 26

Persamaan diferensial orde 1 ditulis secara matematis sebagai

berikut:

Persamaan diferensial orde 2 ditulis secara matematis sebagai

berikut:

),( yxfdx

Berdasarkan Orde

Andasuryani 27

Berdasarkan Orde

Andasuryani 28

Berdasarkan Derajat

Andasuryani 29

Berdasarkan Nilai Variabel Bebas

Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi

tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel

independent-nya (baik fungsi maupun turunannya), maka

dikatakan persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai

awal (intial-value problem).

Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang

berbeda pada variabel independent-nya, maka dikatakan

sebagai masalah nilai-nilai batas (boundary-value problem)

Andasuryani 30

Contoh:

merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi

tambahan yaitu pada x=π dengan y(π)=1 dan y’(π)=2

merupakan bentuk boundary – value problem, karena dua kondisi

tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda yaitu pada x=0 dan x =

2)(',1)(

1)1(',1)0(

Andasuryani 31

Andasuryani 32

Persamaan diferensial dikatakan linear jika:

Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu

Tidak ada perkalian antara variabel dependent dan turunannya

Variabel depedent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi

sinus, cosinus, eksponensial

Berdasarkan Linearitas dan Homogenitas

linearnondt

Andasuryani 33

),( yxfdx

)()()()(2

xfyxrdx

Jika f(x) = 0homogen

Jika f(x) ≠ 0tidak homogen

Andasuryani 34

yd 0cos ydx

Contoh: Tentukan apakah persamaan berikut linear atau tidak linear

Andasuryani 35

Contoh: Tentukan apakah persamaan berikut homogen atau tidak homogen

)()()()(2

xfyxrdx

Andasuryani 36

Solusi eksplisit :

Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas dapat dibedakan

dengan jelas

Contoh: y=x2+ 5x +4

Solusi implisit:

Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas tidak dapat dibedakan

dengan jelas

Contoh: x2+ y2 = 25 atau x2+ y2 -25 =0

BENTUK SOLUSI (PENYELESAIAN) PDB

Andasuryani 37

Matematika Teknik (TPE 214 / 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Kuliah ke : 3

Dr. Andasuryani, STP,MSi.

Andasuryani 38

OUTLINE Persamaan Diferensial Orde 1

PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG

PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL

PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI

PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK

PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI

PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

nQyPydx

Andasuryani 39

TUJUAN

Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde 1 dengan integral langsung

dan pemisahan variabel

Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi

y =v. x

Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk

Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli

Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak dan Tak Eksak

Andasuryani 40

a). Penyelesaian PDB dengan Integral Langsung

Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk

Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:

),( yxgdx

cdxyxgy

dxyxgdy

Andasuryani 41

Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c :

SOLUSI UMUM/ PRIMITIF

Nilai c dihitung :SOLUSI KHUSUS

Andasuryani 42

Contoh

Tentukan solusi khusus dari persamaan

563 2 xxdx

45 3 xdx

xSindx

Andasuryani 43

Tugas Tentukan PDB dari persamaan berikut:

Tentukan solusi PD dengan nilai awal yang diketahui:

xCosxxSindx

1)0(;cos).2

1)0(;).1 2

Andasuryani 44

b). Penyelesaian PDB dengan Pemisahan Variabel

Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk

Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:

dxxgdyyh

cdxxgdyyh

ccdxxgdyyh

cdxxgcdyyh

dxxgdyyh

12)()(

2)(1)(

Andasuryani 45

Contoh 1-PDB dengan pemisahan variabel

)1)(1( yxdx

Andasuryani 46

Contoh 2- PDB dengan pemisahan variabel

049 xdx

Andasuryani 47

Tugas PDB dengan pemisahan variabel

Tentukan PDB dari persamaan berikut:

dyeydxxy

dxydyx

0)2().2

)1().1

Andasuryani 48

c). Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx

Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka

penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan subsitusi y =

v.x, dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.

Diferensial dari persamaan y = v.x:

Andasuryani 49

Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x

Andasuryani 50

Latihan

Selesaikan PD berikut

0)()( 222 dyxyxdxyx

Andasuryani 51

d). Persamaan diferensial dalam bentuk

Bila persamaan diferensial dalam bentuk

Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas

dengan faktor integrasi

Andasuryani 52

Contoh

xdxdxxP

faktor

:integrasi

Andasuryani 53

Kedua ruas dikali dengan faktor integrasi tersebut.

dxxeye

xeyedx

Andasuryani 54

Latihan

4)0(;3).2

3sin2).1

yxeydx

Andasuryani 55

Latihan subsitusi y= v x

0)()( 222 dyxyxdxyx

Andasuryani 56

Latihan

0)()( 222 dyxyxdxyx

Andasuryani 57

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 (Lanjutan)

Kuliah ke : 4

Andasuryani 58

nQyPydx

Andasuryani 59

TUJUAN

Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi

Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk

Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli

nQyPydx

Andasuryani 60

c). Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx

Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka

penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan subsitusi y =

v.x, dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.

Diferensial dari persamaan y = v.x:

Andasuryani 61

Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x

Andasuryani 62

Latihan

0)()( 222 dyxxydxyx

Andasuryani 63

d). Persamaan diferensial dalam bentuk

Bila persamaan diferensial dalam bentuk

Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas

dengan faktor integrasi

Andasuryani 64

Contoh 1

xdxdxP

faktor

:integrasi

Andasuryani 65

Kedua ruas dikali dengan faktor integrasi tersebut.

dxxeyed

xeyedx

ceexye

dxeexye

Andasuryani 66

Latihan

4)0(;3).2

3sin2).1

yxeydx

Andasuryani 67

e). PDB Bernoulli

Persamaan diferensial dalam bentuk dengan P dan Q

merupakan fungsi x atau konstanta.

Solusinya dapat diselesaikan dengan cara

A). Membagi ke dua ruas dengan sehingga persamaan menjadi

B). Misalkan , sehingga

nQyPydx

dyy nn 1

Andasuryani 68

Supaya suku pertama dari persamaan dapat

digantikan dalam bentuk dalam bentuk maka persamaan

dikali dengan

sehingga didapat: dengan P1 dan Q1 fungsi x atau

konstanta

dyy nn 1

dyy nn 1 )1( n

QnyPndx

dyyn nn )1()1()1( 1

11. QzPdx

dz 1P z1Q

Andasuryani 69

C). Persamaan didapat diselesaikan dengan faktor

integrasi

D). Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, subsitusi untuk

mendapatkan

11. QzPdx

Andasuryani 70

Contoh PD Bernoulli

Andasuryani 71

Latihan PD Bernoulli

).1(2.4

Andasuryani 72

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 (Lanjutan)

Kuliah ke : 5

Andasuryani 73

nQyPydx

Andasuryani 74

TUJUAN

Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak

Mampu memahami dan menyelesaikan PD Tak Eksak

Andasuryani 75

f). PDB Eksak

Persamaan diferensial dalam bentuk

dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y) sehingga

0),(),( dyyxNdxyxM

),( yxMx

),( yxN

Andasuryani 76

1. Tulislah PD dalam bentuk diferensial

2. Lakukan uji eksak

3. Jika sudah eksak, integral M terhadap x atau N terhadap y.

Misalkan pilih M, maka

Misalkan pilih N, maka

0),(),( dyyxNdxyxM

)(),(),( ygdxyxMyxQ

Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak

)(),(),( xgdyyxNyxQ

Andasuryani 77

4. Turunkan Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)

Turunkan Q terhadap x dan samakan hasilnya dengan M(x,y)

5. Integralkan g’(y) untuk mendapatkan g(y)

Integralkan g’(x) untuk mendapatkan g(x)

6. Tuliskan persamaan umum dalam bentuk implisit

7. Tentukan nilai c jika diberi kondisi awal

)('),(),( ygdxyxMy

cyxQ ),(

Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak

)('),(),( xgdyyxNy

Andasuryani 78

Contoh PD Eksak

Andasuryani 79

f). PDB Tak-Eksak

Persamaan diferensial dalam bentuk dikatakan

tidak eksak jika

Untuk mengubah PD tak eksak menjadi eksak, maka dikalikan

dengan faktor integral x.

0),(),( yxNyxM

Andasuryani 80

1. Tulislah PD dalam bentuk diferensial

2. Lakukan uji eksak, jika tidak eksak kalikan dengan faktor

integral x,

3. Lakukan uji eksak lagi, jika sudah eksak maka langkah-

langkahnya sama dengan penyelesaian PD eksak.

0),(),( dyyxNdxyxM

Langkah-langkah untuk penyelesaian PD tak-eksak

Andasuryani 81

Contoh PD Tak-Eksak

0).2( dxexydyx x

Andasuryani 82

Latihan PD Eksak

yySinx

3)0(,22

Andasuryani 83

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1

Kuliah ke : 6

Andasuryani 84

OUTLINE

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1

PERTUMBUHAN DAN KERUSAKAN

PENDINGIAN

RANGKAIAN LISTRIK

CAMPURAN KIMIA

Andasuryani 85

TUJUAN

Mampu memahami dan menyelesaikan beberapa persoalan dengan menggunakan persamaan diferensial orde 1.

Andasuryani 86

a). Pertumbuhan dan Kerusakan

Persamaan diferensial yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan persoalan

pertumbuhan dan kerusakan adalah

konstant

Andasuryani 87

Contoh

N0 adalah jumlah bakteri pada kondisi awal. Pada t=1 jam, jumlah bakteri yang terukur adalah 3/2 N0. Jika laju pertumbuhan bakteri adalah proporsional terhadap jumlah bakteri, maka

a). Tentukan jumlah bakteri sekarang

b). Tentukan waktu yang diperlukan bakteri menjadi 3

kali lipat.

Andasuryani 88

Diketahui:

t0 = N0

t1 = 3/2 N0

Ditanya:

t pada saat N= 3N0

Andasuryani 89

1 1.50005

2 2.25016

2.71 3.00088

3 3.37535

4 5.06321

5 7.59507

Andasuryani 90

b). Pendinginan

Hukum Newton tentang pendinginan menyatakan bahwa laju

perubahan suhu adalah sebanding dengan perbedaan suhu

antara benda dengan lingkungan

konstanta

lingkungansuhu

Andasuryani 91

Contoh

Ketika sepotong irisan pinang dikeluarkan dari oven pengering, suhunya terukur 300 0F. Tiga menit kemudian suhunya menjadi 200 0F. Berapa lama irissan pinang tersebut akan menjadi dingin pada suhu ruang 70 0F.

Andasuryani 92

Diketahui:

t0 T= 300 0F. t3 T= 200 0F.

Ditanya:

t pada saat T= 70 0F.

Andasuryani 93

t(menit) Tt

20.1317 75

21.305 74

22.8177 73

24.9497 72

28.5944 71

32.2391 70.5

Andasuryani 94

c). Rangkaian seri L-R

Pada rangkaian seri yang terdiri dari resistor dan induktor,

Hukum Kirchoff ke dua menyatakan bahwa penjumlahan

tegangan yang melewati induktor (L(di/dt)) dan resistor (i

R) adalah sama dengan E(t) padan rangkaian.

sistem dari responsedengan disebut kadng-kadang i(t) Arus

konstanta,

Tegangan)(

tERidt

Andasuryani 95

Contoh

Sebuah baterai 12 volt dihubungkan secara seri dengan induktasni ½ Henry dan tahanan 10 ohm. Tentukan arus i jika arus awal sama dengan nol.

Andasuryani 96

Diketahui:

L= 0.5

R = 10

E = 12

i0 i= 0

Ditanya:

Andasuryani 97

d). Campuran kimia

keluar yangbahan laju

masuk yangbahan laju

Andasuryani 98

Contoh

Pada saat awal, sebanyak 50 pounds garam dilarutkan dalam tangki dengan 300 gallon air. Larutan air garam dipompakan ke dalam tangki pada kecepatan 3 gallon per menit dan larutan yang teraduk dengan baik akan dipompakan keluar pada kecepatan yang sama. Jika konsentrasi larutan yang masuk adalah 2 pounds per gallon, tentukan jumlah garam di dalam tangki pada suatu waktu. Berapa banyak garam setelah 50 menit.

Jika larutan yang teraduk dengan baik dipompakan keluar dengan kecepatan 2 galloan per menit, berapa jumlah garam dalam tangki pada suatu waktu

Andasuryani 99

Diketahui:

A0 = 50

vi = 3 gallon/ menit

vo = 3 gallon/ menit

ci = 2 pound/ gallon

Ditanya:

A(t) , A(50) pada kecepatan masuk bahan=keluar

A(t) pada kecepatan masuk bahan≠keluar

Andasuryani 100

50 266.408

100 397.666

150 477.278

200 525.566

250 554.853

300 572.617

Andasuryani 101

Matematika Teknik

Integral Lipat dan Aplikasinya

Kuliah ke : 7

Andasuryani 102

OUTLINE

Integral Lipat 2

Intehral Lipat 3

Andasuryani 103

TUJUAN

Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan integral lipat 2 dan 3.

Andasuryani 104

Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2

berikut:

2). LipatIntegrala

Andasuryani 105

Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2

berikut:

dxdydz

3). LipatIntegralb

dxdydz

Andasuryani 106

Mencari luas bidang yang dibatasi grafik.

2LipatIntegralAplikasi

Y= g(x) Y= f(x)

x=a x=b

Andasuryani 107

Pias vertikal

piasJenis

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y=2x+3dy

Andasuryani 108

Pias horizontal

piasJenis

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y^2=4-4x

Y^2=4-x

Andasuryani 109

Hitung luas kurva antara

32dan2 xyxy

vertikalPiasContoh

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y=2x+3dy

Andasuryani 110

Hitung luas kurva antara

xyxy 44dan4 22

horizontalPiasContoh

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y^2=4-4x

Y^2=4-x

Andasuryani 111

Matrik

Kuliah ke : 8-9

Putri Wulandari Zainal, STP, MSi

Matriks

Adalah set bilangan real atau bilangan

kompleks (elemen-elemen) yang disusun

dalam baris dan olom sehingga membentuk

jajaran persegi panjang (rectangular array)

o suatu matriks yang memiliki baris (m) dan

kolom (n) disebut sebagai matriks yang

memiliki orde m x n

= 2 x 3

Contoh soal :

1. = matriks berode ............

2. = matriks berode ............

3. = matriks berode ...........

Matriks Baris & Matriks Kolom

o Matriks baris adalah suatu matriks baris yang

terdiri dari satu baris saja

o Matriks kolom adalah suatu matriks kolom

yang terdiri dari satu kolom

Contoh Soal :

1. = matriks ............ Berode ..............

2. = matriks .........

Berode...............

3. = matriks..........

Berode...............

Penambahan & Pengurangan Matriks

1. + =

2. - =

3. - =

Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar

2. Perkalian dua matriks

Jika A = (aij) =

b = (bij) =

Maka A.b = .

Contoh :

Jk A = (aij) = dan B = (bij) =

Maka A . B =

Matriks 3 x 2 dan 2 x4 menghasilkan matriks 3

Transpos

Jika baris dan kolom suatu matriks disaling

tukarkan :

Yaitu baris pertama menjadi kolom pertama

baris kedua menjadi kolom kedua

baris ketiga menjadi kolom ketiga

Maka matriks yang baru dibentuk disebut

transpos dari matriks aslinya

Jika A = , maka =

Determinan Suatu Matriks Bujur Sangkar

Determinan dari ialah

Det A = = - -

Quiz (45 menit)

1. A = , dan B = , maka A. B

=...........

dan = .................

Pemecahan DPL dengan Matrik

Kuliah ke : 10-12

ADJOIN SUATU MATRIKS BUJUR

SANGKAR

Langkah-langkah untuk adjoin matriks bujur-sangkar A adalah

1. Bentuk matriks C kofkator

2. Tulis transpos C, yakni

det A =

Matriks baru C dari kofaktor-kofaktornya

C = dimana merupakan

kofaktor

merupakan

kofaktor

= + = +(0-24) = - 24

= - = -(0-6) = 6

= + = (16-1) = 15

= - = 20

= + = -5

= - = -5

= + = 13

= - = 8

= + = -10

Matriks kofaktor ialah

transpos C, yakni =

INVERS SUATU MATRIKS BUJUR-

SANGKAR Jika setiap elemen adjoin A dibagi dengan nilai

determinan A (asalkan ≠ 0) maka matriks yang dihasilkan disebut invers A ( )

Langkah-langkah untuk membentuk invers:

1. Tentukan nilai determinan A

2. Bentuklah matriks C kofaktor dari elemen

3. Tulislah transpos C ( ) untuk memperoleh adjoin A

4. Bagilah setiap elemen dengan

5. Matriks yang dihasilkan ialah invers dari matriks asli A

Det A = =

= 2 (0-24) – 3 (0-6) + 5 (16-1)

Matriks kofaktor C =

Adjoin A yakni =

Invers A adalah

Hasil Kali Suatu Matriks Bujur-Sangkar

dan Inversnya Mis A =

= 1/28

Maka . A = 1/28

= 1/28

Maka hasil kali dari matriks bujur sangkar dan

inversnyaialah matriks satuan dengan orde

matriks yang sama

Matriks satuan ialah suatu matriks diagonal

yang elemen-elemen pada diagonal utama

semuanya satu

Invers Suatu Matriks Bujur Sangkar

mengggunakan Vektor

Cara ini didasarkan atas suatu fakta bahwa

inverse suatu matriks A memenuhi syarat

sebagai berikut :

A = , cari

Misalkan

(2) 2a + 3c = 1

(3) 2b + 3d = 0

(4) 3a + 5c = 0

(5) 3b + 5d = 1

a = 5, b = -3

Subsitusi (1) & (2) 2a + 3c = 1 x3 6a + 9c = 3

3a + 5c = 0 x2 6a + 10c = 0

•C = -3

Subsitusi (2) & (3)

2b + 3d = 0 x3 6b + 9d = 0

3b + 5d = 1 x2 6b + 10d = 2

•d = 2

PENYELESAIAN SET PL

MENGGUNAKAN MATRIKS

Jika kita kalikan kedua sisi persamaan

matriks dengan invers A maka :

Contoh soal

Maka selesaikanlah persamaan tersebut :

Metode Eliminasi Gaus untuk

Menyelesaikan Set Persamaan Linear

Contoh Soal

2. Hitunglah x1, x2, x3, dan x4 dari Persamaan

Linear berikut

ATURAN CRAMER

Beberapa langkah langkah pemecahan

Sistem Persamaan Linear menggunakan

metode cramer antara lain :

1. Ubah persamaan linier menjadi matriks

2. Hitung nilai determinan A

3. Nilai variabel

a. Ganti kolom pertama dengan nilai ruas

kanan (h1, h2, h3)

b. Hitunglah nilai variabel dengan cara

3. Nilai variabel

a. Ganti kolom kedua dengan nilai ruas

kanan (h1, h2, h3)

b. Hitunglah nilai variabel dengan

cara :

Contoh Soal

1. Sistem Persamaan Linear berikut adalah:

Persamaan Lininer dan Persamaan Linier Simultan

Kuliah ke : 13-14

Penyelesaian persamaan sederhana

Pada dasaranya berupa penyederhanaan

pernyataan pada setiap sisi persamaan

tersebut untuk memperoleh suatu persamaan

yang berbentuk :

ax + b = cx + d

menghasilkan,

Ax – cx = d – b

contoh

KPK dari 2,3,4,&6 ialah 12

6(x+2) – 4(x+5) = 3(2x-5) + 2(x+3)

6x+12-4-20 = 6x-15+2x+6

x = 1/6

Persamaan linear simultan dengan dua anu

(Variabel)

Suatu PL dalam dua variabel meiliki sejumlah

penyelesaian yang tak terhingga. Contoh:

y – x = 3 y = x + 3

Penyelesaian PL dapat dilakukan dengan 2 cara

yaitu :

1. Penyelesaian subsitusi

2. Penyelesaian dengan menyamakan koefisien

Transpos

1. Penyelesaian dengan subsitusi

Untuk menyelessaikan sepasang persamaan :

5x + 2y = 14...........(1)

3x – 4y = 24...........(2)

Dari (1) : 5x + 2y = 14

y = 7 – 5x/2 ......(3)

Subsitusikan (3) pada (2), maka

3x – 4(7 – 5x/2) = 24 5(4) + 2y = 14

13x = 52 y = -3

2. Penyelesaian dengan menyamakan

koefisien

Untuk menyelesaikan persamaan berikut :

3x + 2y – z = 19 .............(1)

4x – y + 2z = 10 .............(2)

2x + 4y – 5z = 32 .............(3)

(1) 3x + 2y – z = 19 x2 6x + 4y – 2z = 38

(2) 4x – y + 2z = 10 x1 4x – y + 2z = 4

10x + 3y = 42

....(4)

(1) 3x + 2y – z = 19 x5 15x + 10y – 5z = 95

(3) 4x – y + 2z = 10 x1 2x + 4y - 5z = 32

13x + 6y = 63.(5)

(4) 10x + 3y = 42 x2 20x + 6y = 84

(5) 13x + 6y = 63 x1 13x + 6y = 63

(4) 10x + 3y = 42

(2) 4x – y + 2z = 10

z = -2

Persamaan polinom

Persamaan kuadratik

1. Penyelesaian dengan faktor

2. Penyelesaian dengan melengkapi kuadrat

3. Penyelesaian dengan rumus

1. Penyelesaian dengan faktor

(x+7)(x-2)=0 ; x = -7 , x = 2

x = 3 , x = 6

x = -4 , x = -7

x = 7, x = -3

Contoh 1

a=3, b=14, c=8

Pengujian untuk faktor sederhana :

= 100 =

ac = 24 , faktor-faktor 24 yg mungkin ialah (1 , 24), (2 ,12), (3 , 8), dan (4 , 6).

C positif : faktor tersebut dijumlah menjadi b yaitu (2 , 12)

C positif : kedua faktor memiliki tanda yang sama seperti tanda b yaitu positif

= x(3x+2) + 4(3x+2) =0

= (3x + 2)(x+4) = 0

x = -4 , x = -2/3

2. Penyelesaian dengan melengkapi

kuadratnya

Syarat : jika persamaan kuadratik tidak dapat

difaktorisasi menjadi dua faktor sederhana.

Tambahkan 4 dikedua sisi

Tambahkan setengah dari koefesien

x pada kedua sisi

3. Penyelesaian dengan rumus

Kita dapat membuat suatu rumus untuk

menyelesaikan persamaan kuadratik umum

yang didasarkan pada metode

penyelesaian kuadratnya :

Bagi dengan koefesien x yaitu a

Kurangkan c/a dari kedua sisi

Tambahkan kedua sisi dari

setengah koefesien x

Contoh soal

Matematika Teknik TPE 214 / ( 3 + 0 )...

Documents

Transcript of Matematika Teknik TPE 214 / ( 3 + 0 )...

214 LAMPIRAN 1 CONTOH SURAT IZIN APOTEK

Edisi 214 : 1 - 15 Juli 2013

J Vol 1, No 2, 2013 (hal 214-225) ...

Mekanika Teknik TPE 121 / 3 sks - tep.fateta.unand.ac.idtep.fateta.unand.ac.id/images/MATERI_KULIAH/Bahan_Ajar/Mekanika... · menyederhanakan aplikasi dari teori. ... • Hukum Newton

pendis.kemenag.go.idpendis.kemenag.go.id/file/dokumen/PTAI20… · XLS file · Web view · 2014-10-113 12 38326 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Rubrik Tata Perayaan Ekaristi (TPE) 2005: Tata Perayaan ...

JULI 2016 - pvtpp.setjen.pertanian.go.idpvtpp.setjen.pertanian.go.id/.../2016/06/7.-Lapbul-Juli-2016_90816.pdf · Tanaman Perkebunan/Industri 8 0 1 7 214 3 Tanaman Hias 50 1 0 25

PENGADILAN AGAMA SAMPIT€¦ · 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rp. 25.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rp. 2.550.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rp. 280.000 0 0 \ rp-0 rp. q..^.^. rp jumlah

· XLS file · Web view · 2014-10-110 24 73823 830309 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 11 0 0 30 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 109 4 0. 1 3 5 0 1 1 1 1. 1 3 5 0

PERATURAN MENTERI KEUANGAN NOMOR 214 /PMK.1/2011

Soal un-matematika-smp-21-214-ali-lia-23

VEGETASI GULMA PADA EKOSISTEM RAWA GAMBUT DI … · Rumput senayang 0 25 0 9 34 72,00 5 Stenochlaena palustris (Burm.f.) Bedd. Paku sayur 0 250 113 214 577 61,00 6 Blechnum serrulatum

STATISTIKA (TPE 225) - tep.fateta.unand.ac.idtep.fateta.unand.ac.id/images/MATERI_KULIAH/Bahan_Ajar/Statistika.pdf · Jika tidak bisa menghadiri kelas karena izin / sakit maka disertai

bppsdmk.kemkes.go.idbppsdmk.kemkes.go.id/info_sdmk/dokumen/2017/form/Form... · XLS file · Web view2017-03-22 · 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0.

214 Wikarta Kuliah II

TPE BAHASA KARO

Pp 214 Kwarnas 2007

JKP 214 - Politik Perbandingan

GENDER & KELUARGA IKK 214 [ 3(3-0)] MATERI 1: INTRODUCTION

Koran BiNNews Edisi 214