MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

30 Oktober 2019

Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 4

1. Notasi Sigma dan Luas Daerah di BawahKurva

2. Jumlah Riemann dan Integral Tentu

3. Teorema Dasar Kalkulus I dan MetodeSubstitusi

4. Teorema Dasar Kalulus II

5. Sifat-sifat Integral Tentu & Teorema NilaiRata-rata Integral

6. Pengintegralan Numerik

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 2

Galat pada Pengintegralan Numerik

Aturan Jumlah Riemann Kiri/Kanan:

𝐸 ≤𝑏 − 𝑎 2

2𝑛2max |𝑓′ 𝑥 |

Aturan Jumlah Riemann Tengah:

𝐸 ≤𝑏 − 𝑎 3

24𝑛3max 𝑓′′ 𝑥

Aturan Trapesium:

𝐸 ≤𝑏 − 𝑎 3

12𝑛3max 𝑓′′ 𝑥

Aturan Parabola:

𝐸 ≤𝑏 − 𝑎 5

180𝑛5max 𝑓 4 𝑥

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 3

Contoh

Dalam menaksir 12 1

𝑥𝑑𝑥 dengan Aturan

Parabola, dengan 𝑛 = 4, galat yang terjadiadalah

𝐸 ≤1

180 ⋅ 45⋅ 24 = 0,000130.

Catatan. Turunan ke-4 dari1

𝑥adalah

24

𝑥5. Nilai

maksimumnya pada [1, 2] adalah 24.

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 4

BAB 5. PENGGUNAAN INTEGRALMA1101 MATEMATIKA 1A

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 5

Sasaran Kuliah Hari Ini

5.1 Luas Daerah

Menghitung luas daerah (pada bidang) yang dibatasi oleh beberapa kurva.

5.2 Volume Benda Putar dan Benda denganPenampang Tertentu

Menghitung volume benda putar (denganmetode cakram/cincin) dan volume bendadengan penampang tertentu (dengan metodeirisan sejajar).

11/08/2013 6(c) Hendra Gunawan

5.1 LUAS DAERAHMA1101 MATEMATIKA 1A

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 7

Menghitung luas daerah (pada bidang) yang dibatasi oleh beberapa kurva.

Luas Daerah

Bila f(x) kontinu dan bernilai tak negatif, maka

menyatakan luas daerah pada bidang-xy

yang terletak di bawah kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b,

dan di atas sumbu-x.

Bila f(x) bernilai tak positif, maka luas daerah

yang terletak di atas kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b, dan

di bawah sumbu-x sama dengan

b

a

dxxf )(

(c) Hendra Gunawan

b

a

dxxf )(

Luas Daerah

Secara umum, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x adalah

Contoh: Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1, garisx = -2, garis x = 2, dan sumbu-x. [Petunjuk: Gambar terlebih dahuludaerah yang dimaksud.]

(c) Hendra Gunawan

.|)(|b

a

dxxf

Jawab: Luas daerah yang dimaksud adalah

Karena f(x) = |x2 – 1| genap, maka luas daerahtsb sama dengan

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 10

2

2

1

2

1

1

2

1

2222 .)1()1()1(|1| dxxdxxdxxdxx

.4

3

2

3

20

3

22

332

)1()1(2|1|

2

1

31

0

3

2

2

1

0

2

1

222

xxx

x

dxxdxxdxx

Luas Daerah di Antara Dua Kurva

Misalkan f(x) ≥ g(x) pada [a, b] dan kita inginmenentukan luas daerah yang dibatasi oleh duakurva y = f(x) dan y = g(x), serta garis x = a dangaris x = b. Luas irisan ke-i dapat ditaksir sbb:

∆Li ≈ [f(xi) – g(xi)].∆xi.

Bila kita jumlahkan dan ambil limitnya, makaluas daerah yang dimaksud dapat dinyatakansebagai

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 11

.)]()([

b

a

dxxgxfL

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 12

Li

y=f(x)

y=g(x)

∆Li ≈ [f(xi) – g(xi)].∆xi

.)]()([

b

a

dxxgxfL

IRIS,TAKSIR,INTEGRALKAN

Contoh

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi olehkurva y = x dan y = x2.

Jawab: Luas irisan sama dengan ∆Li ≈ [xi – xi2].∆xi;

jadi luas daerah tsb sama dengan

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 13

.6

1

3

1

2

1

32][

1

0

321

0

2

xx

dxxxL

Latihan

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasioleh kurva-kurva:

1. y = x2 dan y = √x.

2. y = x dan y = x3.

3. y = √x, y = x – 2, dan x = 0.

4. x = y2 dan y = x – 2.

5. x = y2 – 2y dan x – y = 4.

[Petunjuk: Bila dianggap lebih memudahkan, iris daerahnya secara horisontal!]

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 14

5.2 VOLUME BENDA PUTAR DAN BENDADENGAN PENAMPANG TERTENTU

MA1101 MATEMATIKA 1A

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 15

Menghitung volume benda putar (denganmetode cakram/cincin) dan volume bendadengan penampang tertentu (dengan metodeirisan sejajar).

Benda Putar

Benda pejal seperti bola, tabung lingkaran, dankerucut merupakan contoh benda putar, yang dapat diperoleh dengan memutar daerah setengahlingkaran, persegipanjang, dan segitiga terhadapsumbu putar yang berimpit dengan salah satu sisidaerah tsb.

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 16

Menghitung Volume Benda Putar: Metode Cakram/Cincin

Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dany = x2 diputar mengelilingi sumbu-x, dan kita inginmenghitung volume benda putar yang terbentuk. Kita iris dan taksir volume cincin yang terbentuk, yaitu ∆Vi ≈ π[xi

2 – xi4].∆xi.

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 17

.15

2

5

1

3

1

53][

1

0

531

0

42

xxdxxxV

Menghitung Volume Benda Putar: Metode Cakram/Cincin

Tentukan volume benda putar yang terbentuk biladaerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x2

diputar mengelilingi sumbu-y. Irislah secara men-datar, taksir volumenya, dan integralkan!

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 18

Benda dengan Penampang Tertentu

Piramida bukan benda putar, tetapi ia mempunyaipenampang mendatar yang sama, berbentuk persegi.

Volumenya dapat dihitungdengan mengiris piramida tsbsecara mendatar, menaksirvolume tiap irisannya, lalumengintegralkannya.

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 19

Metode Irisan Sejajar

Bila panjang sisi alas = S dantinggi piramida = T, makavolume irisan mendatar padaketinggian t sama dengan

∆V ≈ (St/T)2.∆t;

jadi volume piramida tsbsama dengan

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 20

.3

0

22

2

2

TTS

dttT

SV

Contoh Lainnya

Alas sebuah benda berbentuk setengah lingkaranberjari-jari 1. Misalkan penampang benda tsbyang tegak lurus terhadap sisi setengah lingkaran(yang merupakan diameter) berbentuk persegi. Tentukan volume benda tsb. (Buat sketsa benda tsbterlebih dahulu!)

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 21

Latihan

1. Tentukan volume benda putar yang terbentukbila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

dan y = √x diputar mengelilingi:a. sumbu-x c. sumbu-y

b. garis x = 1 d. garis y = 1.

2. Alas sebuah benda berbentuk lingkaranberjari-jari 1. Misalkan semua penampangbenda tsb yang tegak lurus terhadap suatudiameter berbentuk persegi. Tentukanvolume benda tsb.

11/08/2013 (c) Hendra Gunawan 22