Toto Warsita, S.PdToto Warsita, S.PdNIP. 19660110 199003 1 006NIP. 19660110 199003 1 006

SMAN 1 RAJAGALUHSMAN 1 RAJAGALUHMAJALENGKA-JABARMAJALENGKA-JABAR

28/04/2328/04/23

BAHAN AJAR MATEMATIKABAHAN AJAR MATEMATIKA

ProdProductuct

STANDAR KOMPETENSI: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi

dalam pemecahan masalah

Menggunakan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

KOMPETENSI DASAR:

Menjelaskan pengertian limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga melalui pengamatan grafik dan perhitungan nilai-nilai fungsi.

Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di suatu titik dan di tak hingga

Indikator :

SELAMATSELAMATMENGIKUTIMENGIKUTI

PENGERTIAN LIMIT :PENGERTIAN LIMIT :Kata “Kata “LimitLimit” dapat berarti” dapat berartiMendekatiMendekati, , hampirhampir, , sedikit lagisedikit lagi, atau , atau harga batasharga batas

Notasi Limit fungsi:Notasi Limit fungsi:Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki limit = A untuk x mendekati a limit = A untuk x mendekati a

Dinotasikan dengan : Dinotasikan dengan :

Lim F(x) = A Lim F(x) = A X aX adengan a adalah bilangan dengan a adalah bilangan konstanta konstanta atau bilangan tak hingga atau bilangan tak hingga yang lambang nya “∞ “ yang lambang nya “∞ “

Perhatikan!!!Perhatikan!!!

Dengan demikian maka : Dengan demikian maka : Lim x + 1 = Lim x + 1 = 33

x x 2 2

Jika f(x) = x+1 dan x mendekati 2Ditulis (x 2) maka f(x) akan mendekati 3

xx 1,91,9 1,991,99 1,9991,999 2,0002,000 2,0012,001 2,012,01 2,12,1f(x)=x +

1 2,9 2,99 2,999 …?... 3,001 3,01 3,1

Penyelesaiannya ditunjukan dalam tabel berikut :

                   f(x) = x +1                  

                   

3.100 

               

3.010                 

3.001                 

3.000                 

2.999                 

2.990                 

2.900                 

2.800                                        1.8001.9001.9901.9992.0002.0012.0102.100

Perhatikan Grafik di bawah ini !!!

Langkat-langkah menghitung limit :Langkat-langkah menghitung limit :1.1. Mensubstitusi variabel yang diketahuiMensubstitusi variabel yang diketahui2.2. Faktorisasi jika f(x) bentuk pecahan Faktorisasi jika f(x) bentuk pecahan

dan hasil substitusi = .dan hasil substitusi = .3.3. Merasionalkan penyebut bentuk akar.Merasionalkan penyebut bentuk akar.4.4. Membagi dengan variabel pangkat Membagi dengan variabel pangkat

tertinggi untuk limit f(x) dengan a ∞ tertinggi untuk limit f(x) dengan a ∞ ; (∞; dibaca tak hingga) ; (∞; dibaca tak hingga)

5.5. Mengalikan dengan bilangan sekawan Mengalikan dengan bilangan sekawan

00

Contoh Soal:Contoh Soal:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x x 22

a. 1a. 1b. 2b. 2c. 3c. 3d. 4d. 4

e. 6e. 6

Pembahasan : Pembahasan : Bisa dengan cara substitusi langsungBisa dengan cara substitusi langsung

Lim 3x = 3(2)Lim 3x = 3(2)x 2x 2

= 6= 6

SOAL-SOAL LATIHANSOAL-SOAL LATIHAN

2

Slide 25

Slide 18

Latihan ke-1…! Latihan ke-1…! Berlombalah masing-masing kelompok Berlombalah masing-masing kelompok

…!…!!!!!!!

a.- 6 d. 12b. 4 e. 16c. 8

Latihan ke-2Latihan ke-2

265

2

2

2

xxxxLim

x

Adalah …

00.a

31. b

31.c

32. d

3. e

LIMIT BENTUK TAK TENTU ATAU LIMIT BENTUK TAK TENTU ATAU

Ingat Teorema Faktor !Ingat Teorema Faktor !Jika f(x) = (x-a).h(x)Jika f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x)g(x) = (x-a).k(x)Maka:Maka:

)().()().(

)()(

xkaxxhax

xgxf LimLim

axax

00

)()(

)()(

akah

xkxhLim

ax

Contoh Soal:Contoh Soal:Tentukan Nilai dari :Tentukan Nilai dari :

Dengan substitusi langsung Dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk akan menghasilkan bentuk sebagai berikut :sebagai berikut :

xxxxxxLim

x 2243

23

24

0

Pembahasan: Dengan cara substitusi Pembahasan: Dengan cara substitusi sbb:sbb:

(bukan solusi) sehingga soal(bukan solusi) sehingga soaldiselesaikan dengan cara faktorisasi diselesaikan dengan cara faktorisasi Sebagai berikut :Sebagai berikut :

00

0.200.20.40.302243

23

24

23

24

0

xxxxxxLim

x

Perhatikan langkah-langkahnya !Perhatikan langkah-langkahnya !

224

200400

22432243

2243

2

3

0

2

3

0

23

24

0

xxxxxxxxxxxxxxxx

Lim

Lim

Lim

x

x

x

Jadi :Jadi :Nilai dari Nilai dari

adalahadalah

xxxxxxLim

x 2243

23

24

0

2

Nilai limitNilai limit

Adalah …Adalah …64

2

2

2

xxxLim

x

1.a

52.d

LATIHAN - 3..!Berlomba lah antar

Kelompok

54.b

53.c 1. e

64

2

2

2

xxxLim

x

54

3222

32

2

x

xLimx

)3)(2()2)(2(

2

xx

xxLimx

PEMBAHASAN - 3Perhatikan

Pembahasannya…!!!

Limit Fungsi BentukLimit Fungsi Bentuk

Jika diketahui limit tak hingga (Jika diketahui limit tak hingga (~~))Sebagai berikut:Sebagai berikut:

Maka:Maka:1. R= 0 jika n<m1. R= 0 jika n<m2. R= 2. R= aa jika n=m jika n=m pp3. R= 3. R= ~~ jika n>m jika n>m

~~

Rrqxpxcbxax

mm

nn

xLim

......

~ 1

1

Limit Fungsi Bentuk (Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)~ - ~)a.a.

1. R= ~ jika a>p1. R= ~ jika a>p2. R= 0 jika a=p2. R= 0 jika a=p3. R= -~ jika a<p 3. R= -~ jika a<p

RqpxbaxLimx

~

b.b.

1. R= 1. R= ~~ jika a>p jika a>p

2. jika a=p 2. jika a=p

3. R= 3. R= --~~ jika a<p jika a<p

RrqxpxcbxaxLimx

22

~

aqbR

2

6. Nilai dari6. Nilai dari

adalah …. adalah ….

a. -6a. -6d. 16d. 16b. 2b. 2e. 32e. 32c. 10c. 10

182634

2

2

~

xxxxLim

x

Pembahasan 1:Pembahasan 1:

182634

2

2

~

xxxxLim

x

2

2

222

2

222

2

182

634

182

634

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

Pembahasan 1:Pembahasan 1:

002004

~1

~82

~6

~34

2

2

224

Pembahasan 2:Pembahasan 2:

Perhatikan bahwa pangkat diatas samaPerhatikan bahwa pangkat diatas samadengan pangkat bawah sehingga p = qdengan pangkat bawah sehingga p = q(p dibagi q)(p dibagi q)

182634

2

2

~

xxxxLim

x

224

qpL

6. Nilai dari6. Nilai dari

adalah …. adalah ….

a. -6a. -6d. 16d. 16b. 2b. 2e. 32e. 32c. 10c. 10

182634

2

2

~

xxxxLim

x

7. Nilai dari7. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -3a. -3 d. 0d. 0b. -2b. -2 e. 1e. 1c. -1c. -1

}124624{~

22

xxxxLimx

Pembahasan:Pembahasan:

2.24

4222

2

aqbR

144

7. Nilai dari7. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -3a. -3 d. 0d. 0b. -2b. -2 e. 1e. 1c. -1c. -1

}124624{~

22

xxxxLimx

8. Nilai dari 8. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -4a. -4 d. 4d. 4b. 0b. 0 e. 8e. 8c. 2c. 2

2

2

)14()28(

~

xxLim

x

Pembahasan:Pembahasan:

181643264

)14()28(

2

2

~2

2

~

xxxxLim

xx

xxLim

41664

8. Nilai dari 8. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -4a. -4 d. 4d. 4b. 0b. 0 e. 8e. 8c. 2c. 2

2

2

)14()28(

~

xxLim

x

xxxxLim

ox 22

2

9. Nilai dari 9. Nilai dari

adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2c. c. e. e. 21

21

Pembahasan:Pembahasan:

)2()1(

2 02

2

0

xxxx

xxxx LimLim

xx

21

2010

21

0

x

xLimx

xxxxLim

ox 22

2

9. Nilai dari 9. Nilai dari

adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2c. c. e. e. 21

21

25231246

34

22

~

xxxxxxLim

x

21

21

10. Nilai dari10. Nilai dari

adalah….adalah….a. d. 2a. d. 2

b. 0b. 0 e. 3 e. 3

c. c.

Pembahasan:Pembahasan:

PerhatikanPerhatikanPangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi dibawah 4Pangkat tertinggi dibawah 4Jadi n < mJadi n < mNilai R = 0Nilai R = 0

25231246

34

22

~

xxxxxxLim

x

25231246

34

22

~

xxxxxxLim

x

21

21

10. Nilai dari10. Nilai dari

adalah….adalah….a. d. 2a. d. 2

b. 0b. 0 e. 3 e. 3

c. c.

11. Nilai dari11. Nilai dari

adalah….adalah….

41331252

2

2

4

xxxxLim

x

1311.

138.

135.

c

b

a

1314.

1312.

e

d

Pembahasan:Pembahasan:

41331252

2

2

4

xxxxLim

x

)4)(13()4)(32(

4

xxxxLim

x

1)4(33)4(2

1332

4

xxLim

x

1311

1311

11. Nilai dari11. Nilai dari

adalah….adalah….

41331252

2

2

4

xxxxLim

x

1311.

138.

135.

c

b

a

1314.

1312.

e

d

741042

2

2

~

xxxLim

x

21

21

12. Nilai dari12. Nilai dari

adalah….adalah….

a. a. d. -1d. -1

b. 0b. 0 e. -6e. -6

c. c.

Pembahasan:Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat Pangkat diatas = Pangkat dibawahdibawah

MakaMaka

741042

2

2

~

xxxLim

x

21

42

741042

2

2

~

xxxLim

x

21

21

12. Nilai dari12. Nilai dari

adalah….adalah….

a. a. d. -1d. -1

b. 0b. 0 e. -6e. -6

c. c.

Berapa teorema limit:Berapa teorema limit:Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = BBila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x ax a x adan k adalah konstanta maka berlaku :dan k adalah konstanta maka berlaku : 1. Lim [k1. Lim [k..f(x)] = k Lim f(x)f(x)] = k Lim f(x)

x a x ax a x a = k. A= k. A

2. Lim [f(x)2. Lim [f(x)++g(x)] = Lim f(x) g(x)] = Lim f(x) ++ Lim g(x) Lim g(x) x a x a x ax a x a x a

= A = A ++ B B

3. Lim 3. Lim x ax a = Lim f(x) . Lim g(x)= Lim f(x) . Lim g(x) x a x ax a x a = A x B= A x B4. 4.

[f(x) . g(x)]

BA

xg

xf

xgxf

LimLim

Limax

ax

ax

)(

)(

)()(

nn

ax

n

axAxfxf LimLim

)()(5.5.

6. 6. Axf

n

ax

nn

axLimxfLim

)()(