Lembar Kerja Mahasiswa

Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup

Yus Mochamad Cholily

Jurusan Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Malang

email:ymcholily@gmail.com

April 5, 2013

1

Lembar kerja ini memberikan banyak latihan pada mahasiswa tentang subgrup. Ada

beberapa konsep yang dimasukkan dalam latihan sehingga mahasiswa seharusnya menger-

ajakan semua latihan di Lembar Kerja ini.

1. Untuk n ∈ {0, 1, 2, . . .} tunjukkan bahwa nZ = {nm : m ∈ Z} merupakan subgrup

dari Z dengan operasi penjumlahan.

2. Telah diketahui R∗ = R − {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian. Tun-

jukkan bahwa himpunan bilangan rasional taknol, dinotasikan dengan Q∗ meru-

pakan subgrup dari R∗.

3. Misal P = {3k : k ∈ Z}, Selidiki apakah himpunan P merupakan subgrup dari Q∗

terhadap operasi perkalian.

4. Didefinisikan himpunan G = {a+ b√

3 : a, b di Q dan tidak keduanya nol}. Selidiki

apakah G terhadap operasi perkalian bilangan merupakan subgrup dari R∗ atau

bukan.

5. GL2(R) merupakan himpunan matriks berukuran 2×2 dengan determinan tidak nol.

Tunjukkan bahwa GL2(R) dengan operasi perkalian matriks merupakan grup (soal

no 8, LKM 3). Himpunan SL2(R) merupakan himpunan matriks yang berukuran

2 × 2 dengan determinan 1. Tunjukkan bahwa SL2(R) merupakan subgrup dari

GL2(R).

6. Misal G adalah himpunan matriks berukuran 2× 2 yang berbentuk:(cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos(θ)

),

dengan θ ∈ R. Terhadap operasi perkalian matriks, selidiki apakah G merupakan

subgrup dari grup SL2{R}, yaitu grup matrik berukuran 2× 2 dengan determinan

1.

7. Diketahui G adalah sebuah grup dan a ∈ G. Didefinisikan himpunan

〈a〉 = {ak : k ∈ Z}.

Himpunan 〈a〉 adalah himpunan bagian terkecil dari G yang memuat a. Selidiki

apakah 〈a〉 merupakan subgrup atau bukan.

8. Buktikan bahwa setiap grup siklis adalah grup abelian.

2

9. Misal G adalah sebuah grup dan a ∈ G. Ingat kembali bahwa order dari grup G

adalah banyaknya unsur di G dan order dari a adalah bilangan bulat positif terkecil

n sehingga an = i, i adalah identitas di G. Jika G = 〈a〉 maka ak = i jika dan hanya

jika n membagi k.

10. Perhatikan kembali grup (S3, ◦). Tentukan semua subgrup dari grup tersebut. Dari

subgrup-subgrup yang ada tersebut selidiki mana-mana subgrup yang abelian dan

mana yang tidak.

3