Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan...
Transcript of Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan...
Lembar Kerja Mahasiswa
Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup
Yus Mochamad Cholily
Jurusan Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Malang
email:[email protected]
April 5, 2013
1
Lembar kerja ini memberikan banyak latihan pada mahasiswa tentang subgrup. Ada
beberapa konsep yang dimasukkan dalam latihan sehingga mahasiswa seharusnya menger-
ajakan semua latihan di Lembar Kerja ini.
1. Untuk n ∈ {0, 1, 2, . . .} tunjukkan bahwa nZ = {nm : m ∈ Z} merupakan subgrup
dari Z dengan operasi penjumlahan.
2. Telah diketahui R∗ = R − {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian. Tun-
jukkan bahwa himpunan bilangan rasional taknol, dinotasikan dengan Q∗ meru-
pakan subgrup dari R∗.
3. Misal P = {3k : k ∈ Z}, Selidiki apakah himpunan P merupakan subgrup dari Q∗
terhadap operasi perkalian.
4. Didefinisikan himpunan G = {a+ b√
3 : a, b di Q dan tidak keduanya nol}. Selidiki
apakah G terhadap operasi perkalian bilangan merupakan subgrup dari R∗ atau
bukan.
5. GL2(R) merupakan himpunan matriks berukuran 2×2 dengan determinan tidak nol.
Tunjukkan bahwa GL2(R) dengan operasi perkalian matriks merupakan grup (soal
no 8, LKM 3). Himpunan SL2(R) merupakan himpunan matriks yang berukuran
2 × 2 dengan determinan 1. Tunjukkan bahwa SL2(R) merupakan subgrup dari
GL2(R).
6. Misal G adalah himpunan matriks berukuran 2× 2 yang berbentuk:(cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
),
dengan θ ∈ R. Terhadap operasi perkalian matriks, selidiki apakah G merupakan
subgrup dari grup SL2{R}, yaitu grup matrik berukuran 2× 2 dengan determinan
1.
7. Diketahui G adalah sebuah grup dan a ∈ G. Didefinisikan himpunan
〈a〉 = {ak : k ∈ Z}.
Himpunan 〈a〉 adalah himpunan bagian terkecil dari G yang memuat a. Selidiki
apakah 〈a〉 merupakan subgrup atau bukan.
8. Buktikan bahwa setiap grup siklis adalah grup abelian.
2
9. Misal G adalah sebuah grup dan a ∈ G. Ingat kembali bahwa order dari grup G
adalah banyaknya unsur di G dan order dari a adalah bilangan bulat positif terkecil
n sehingga an = i, i adalah identitas di G. Jika G = 〈a〉 maka ak = i jika dan hanya
jika n membagi k.
10. Perhatikan kembali grup (S3, ◦). Tentukan semua subgrup dari grup tersebut. Dari
subgrup-subgrup yang ada tersebut selidiki mana-mana subgrup yang abelian dan
mana yang tidak.
3