Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan...

3
Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:[email protected] April 5, 2013 1

Transcript of Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan...

Page 1: Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup Yus Mochamad Cholily ... dengan operasi perkalian matriks merupakan

Lembar Kerja Mahasiswa

Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup

Yus Mochamad Cholily

Jurusan Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Malang

email:[email protected]

April 5, 2013

1

Page 2: Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup Yus Mochamad Cholily ... dengan operasi perkalian matriks merupakan

Lembar kerja ini memberikan banyak latihan pada mahasiswa tentang subgrup. Ada

beberapa konsep yang dimasukkan dalam latihan sehingga mahasiswa seharusnya menger-

ajakan semua latihan di Lembar Kerja ini.

1. Untuk n ∈ {0, 1, 2, . . .} tunjukkan bahwa nZ = {nm : m ∈ Z} merupakan subgrup

dari Z dengan operasi penjumlahan.

2. Telah diketahui R∗ = R − {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian. Tun-

jukkan bahwa himpunan bilangan rasional taknol, dinotasikan dengan Q∗ meru-

pakan subgrup dari R∗.

3. Misal P = {3k : k ∈ Z}, Selidiki apakah himpunan P merupakan subgrup dari Q∗

terhadap operasi perkalian.

4. Didefinisikan himpunan G = {a+ b√

3 : a, b di Q dan tidak keduanya nol}. Selidiki

apakah G terhadap operasi perkalian bilangan merupakan subgrup dari R∗ atau

bukan.

5. GL2(R) merupakan himpunan matriks berukuran 2×2 dengan determinan tidak nol.

Tunjukkan bahwa GL2(R) dengan operasi perkalian matriks merupakan grup (soal

no 8, LKM 3). Himpunan SL2(R) merupakan himpunan matriks yang berukuran

2 × 2 dengan determinan 1. Tunjukkan bahwa SL2(R) merupakan subgrup dari

GL2(R).

6. Misal G adalah himpunan matriks berukuran 2× 2 yang berbentuk:(cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos(θ)

),

dengan θ ∈ R. Terhadap operasi perkalian matriks, selidiki apakah G merupakan

subgrup dari grup SL2{R}, yaitu grup matrik berukuran 2× 2 dengan determinan

1.

7. Diketahui G adalah sebuah grup dan a ∈ G. Didefinisikan himpunan

〈a〉 = {ak : k ∈ Z}.

Himpunan 〈a〉 adalah himpunan bagian terkecil dari G yang memuat a. Selidiki

apakah 〈a〉 merupakan subgrup atau bukan.

8. Buktikan bahwa setiap grup siklis adalah grup abelian.

2

Page 3: Lembar Kerja Mahasiswa Materi: Sub Grup dan Sifat-sifat ... · PDF fileMateri: Sub Grup dan Sifat-sifat Sub Grup Yus Mochamad Cholily ... dengan operasi perkalian matriks merupakan

9. Misal G adalah sebuah grup dan a ∈ G. Ingat kembali bahwa order dari grup G

adalah banyaknya unsur di G dan order dari a adalah bilangan bulat positif terkecil

n sehingga an = i, i adalah identitas di G. Jika G = 〈a〉 maka ak = i jika dan hanya

jika n membagi k.

10. Perhatikan kembali grup (S3, ◦). Tentukan semua subgrup dari grup tersebut. Dari

subgrup-subgrup yang ada tersebut selidiki mana-mana subgrup yang abelian dan

mana yang tidak.

3