Post on 18-Jan-2020
Halaman 1 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Naskah Soal dan Solusi
Kontes Terbuka Olimpiade Fisika
November 2018
Oleh :
Komunitas Olimpiade Fisika Indonesia
Waktu : 55 Jam
Tahun 2018
Halaman 2 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Tata cara dan petunjuk pelaksanaan tes
1. Soal terdiri dari 5 soal essay. Waktu total pengerjaan tes adalah 55 Jam, dimulai dari
Jumat, 30 November 2018 pukul 17.00 WIB s.d. Minggu, 2 Desember 2018 pukul 23.59
WIB.
2. Jawaban dituliskan di lembar jawaban yang telah disediakan. Lembar jawaban telah
dikirim bersama soal, silahkan di print dan diperbanyak sendiri (boleh fotocopy).
Peserta juga diperbolehkan menggunakan kertas sendiri yaitu kertas HVS putih.
3. Tuliskan nomor peserta anda pada tempat yang telah disediakan di lembar jawaban.
4. Skore nilai untuk setiap soal berbeda dan telah tertulis pada setiap soal.
5. Peserta diharuskan menulis jawabannya pada lembar jawaban yang terpisah untuk
setiap nomor.
6. Gunakan ballpoint untuk menulis jawaban anda dan jangan menggunakan pensil.
7. Peserta mengerjakan soal tes secara mandiri. Peserta dilarang bekerja sama dengan
orang lain dalam mengerjakan tes.
8. Jawaban discan atau difoto kemudian dikirimkan ke email ktof.kofi@gmail.com
dengan judul:
Nomor Peserta_KTOF November 2018
Contoh : KTOF-18-10-01-123_KTOF November 2018
Selambat-lambatnya hari Minggu, 2 Desember 2018 pukul 23.59 WIB
Halaman 3 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
1. Batas Aman Gunung Meletus : 20 Poin
Suatu gunung api meletus melontarkan banyak batu dari perut bumi ke segala arah
dimodelkan seperti ditunjukkan pada gambar di bawah. Kelajuan setiap batu dianggap
sama ketika lepas dari puncak gunung. Sudut kemiringan lereng gunung terhadap
horizontal sama dengan πΌ. Ketinggian puncak gunung dari kaki bukit adalah π». Suatu batu
diamati mencapai ketinggian maksimum πΏ ketika kecepatan batu tersebut vertikal ke atas.
Percepatan gravitasi bumi konstan π.
a. Hitung kelajuan setiap awal batu lepas dari puncak gunung.
b. Hitung sudut kecepatan suatu batu terhadap horizontal ketika batu tersebut tepat
mendarat di kaki gunung.
c. Jarak terjauh batu jatuh dari kaki bukit (π maksimum) disebut sebagai batas aman
masyarakat diijinkan beraktivitas di sekitar gunung ketika gunung meletus. Hitung
sudut kecepatan suatu batu terhadap horizontal ketika batu tersebut tepat jatuh di
batas aman. Hitung batas aman gunung meletus.
Solusi:
a. Pilih pusat koordinat di puncak gunung dengan sumbu π¦ positif ke atas.
π£2 = π£02 β 2π(π¦ β π¦0)
0 = π£02 β 2ππΏ
π£0 = β2ππΏ
Halaman 4 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
b. Kita pilih sumbu π₯ sepanjang bidang miring dan sumbu π¦ tegak lurus dengan bidang
miring.
Persamaan posisi batu dalam arah sumbu π₯ dan sumbu π¦:
π₯ = π₯0 + π£0π₯π‘ +1
2ππ₯π‘
2 = π£0 cos(π + πΌ) π‘ +1
2π sin πΌ π‘2
π₯ = π₯0 + π£0π₯π‘ +1
2ππ₯π‘
2 = π£0 cos(π + πΌ) π‘ +1
2π sin πΌ π‘2
Batu mengenai kaki gunung ketika π¦ = 0 pada π‘ = π‘total
π¦ = π£0 sin(π + πΌ) π‘total β1
2π cos πΌ π‘total
2
π‘total =2π£0 sin(π + πΌ)
π cos πΌ
Selanjutnya,
π»
sinπΌ= π£0 cos(π + πΌ) π‘total +
1
2π sinπΌ π‘total
2
π»
sinπΌ= π£0 cos(π + πΌ)
2π£0 sin(π + πΌ)
π cos πΌ+1
2π sinπΌ (
2π£0 sin(π + πΌ)
π cos πΌ)
2
π»
sinπΌ=2π£0
2 sin(π + πΌ)
π cos2 πΌ[cos(π + πΌ) cos πΌ + sin(π + πΌ) sin πΌ]
Menggunakan rumus trigonometri cos(π₯ β π¦) = cos π₯ cos π¦ + sin π₯ sinπ¦ maka
π»
sinπΌ=
π£02
π cos2 πΌ2 sin(π + πΌ) cos π
π»
sinπΌ=
π£02
π cos2 πΌ2[sin π cos π cos πΌ + cos2 π sin πΌ]
π»
sinπΌ=
π£02
π cos2 πΌ2 [1
2sin 2π cos πΌ +
cos 2π + 1
2sinπΌ]
π£0
π
π sin πΌ
π cos πΌ
πΌ
πΌ
π + πΌ
π₯
π¦
Halaman 5 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
π»
sinπΌ=
π£02
π cos2 πΌ[sin 2π cos πΌ + cos 2π sin πΌ + sin πΌ]
Menggunakan rumus trigonometeri sin(π₯ + π¦) = sinπ₯ cos π¦ + cos π₯ sin π¦ dan ingat
bahwa π£02 = 2ππΏ sehingga
π»
sinπΌ=
2ππΏ
π cos2 πΌ[sin(2π + πΌ) + sinπΌ]
sin(2π + πΌ) + sinπΌ =π» cos2 πΌ
2πΏ sinπΌ
sin(2π + πΌ) =π» cos2 πΌ
2πΏ sin πΌβ sinπΌ
2π + πΌ = sinβ1 (π» cos2 πΌ
2πΏ sin πΌβ sinπΌ)
π =1
2[sinβ1 (
π» cos2 πΌ
2πΏ sin πΌβ sin πΌ) β πΌ]
c. Pilih pusat koordinat di puncak gunung dengan sumbu X positif searah horizontal dan
sumbu Y positif ke atas. Persamaan lintasan batu :
π¦ = π₯ tan π βπ
2π£02 cos2 ππ₯2
Batu jatuh di posisi π₯ = π + π»/ tan πΌ dan π¦ = βπ» sehingga diperoleh
π
2π£02(π +
π»
tan πΌ)2
sec2 π β (π +π»
tan πΌ) tan π β π» = 0
π(π + π»/ tan πΌ)2
2π£02tan2 π β (π + π»/ tan πΌ) tan π +
π(π + π»/ tan πΌ)2
2π£02βπ» = 0
Dari rumus kuadrat akan kita peroleh
tan π =βπ Β± βπ2 β 4ππ
2π= β
π
2π(1 β β1 β
4ππ
π2)
tan π =π£02
π(π + π»/ tan πΌ)(1 β β1 +
2ππ»
π£02βπ2(π + π»/ tan πΌ)2
π£04)
tan π =2πΏ
π + π»/ tan πΌ(1 β β1 +
π»
πΏβ(π + π»/ tan πΌ)2
4πΏ2)
Solusi di atas memiliki arti jika
Halaman 6 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
1 +π»
πΏβ(π + π»/ tan πΌ)2
4πΏ2β₯ 0
(π + π»/ tan πΌ)2
4πΏ2β€ 1 +
π»
πΏ
π + π»/ tan πΌ
2πΏβ€ β1 +
π»
πΏ
π +π»
tan πΌβ€ 2πΏβ1 +
π»
πΏ
π β€ 2πΏβ1 +π»
πΏβ
π»
tan πΌ
Batas aman gunung meletus adalah
π maks β€ 2πΏβ1 +π»
πΏβ
π»
tan πΌ
Davit Sipayung
Pembina Lembaga Olimpiade Pendidikan Indonesia
2. Dua Buah Roda di Atas Bidang Kasar : 20 Poin
Dua buah roda silinder pejal dengan massa πdan berjari-jari π diberi lubang kecil (ukuran
lubang tidak mempengaruhi momen inersia roda) yang melewati pusat roda, agar sebuah
batang tipis bermassa π dapat masuk ke lubang kedua roda ini (Kedua roda berada di
dekat kedua ujung batang). Nantinya, kedua roda ini akan berputar dengan batang tipis
menjadi porosnya. Sistem ini diletakkan diatas bidang kasar dengan koefisien gesek statik
dan kinetik berturut-turut π dan 3π/4. Lalu, bagian tengah batang diberi gaya yang
berubah terhadap waktu mengikuti hubungan πΉ(π‘) = πΎπ‘. Selama roda berputar, tidak ada
gesekan antara roda dan batang. Anggap ada percepatan gravitasi π yang uniform dan
mengarah ke bawah (tegak lurus bidang). Pada saat π‘ = 0, sistem masih diam.
Halaman 7 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
a. Kita akan meninjau keadaan dimana roda belum slip terhadap bidang. Tentukan
percepatan sistem.
b. Tentukan waktu yang ditempuh sistem sampai roda tepat akan slip terhadap bidang.
c. Sekarang, tinjau keadaan dimana roda sudah slip terhadap bidang. Tentukan
percepatan sistem dan percepatan sudut roda.
d. Buatlah grafik percepatan sistem vs. waktu. Pastikan semua hal yang dihitung di sub-
soal sebelumnya ditampilkan dengan jelas di grafik tersebut. (Jika anda kesulitan
dalam memasukkan variabel tertentu yang cukup panjang ke dalam grafik, wakilkan
saja variabel yang panjang itu dengan variabel yang kalian nyatakan sendiri.)
Solusi :
a. Perhatikan diagram gaya dibawah ini.
Dari diagram diatas, maka persamaan gaya pada batang, serta gaya dan torsi pada
roda adalah (Perhatikan bahwa total torsi yang bekerja pada batang adalah nol)
πΉ β 2π = ππ β― (1)
π β π = ππ β― (2)
π π =1
2ππ 2πΌ β― (3)
(π + 2π)π β 2πβ² = 0 β― (4)
πΉ
π
π π
π
π
Tampak Atas Tampak Samping
πΉ
π
π π
π
πβ² π
π
Halaman 8 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Persamaan (4) akan digunakan di sub-soal selanjutnya. Dalam keadaan roda tidak slip
terhadap bidang, berlaku hubungan
πΌπ = π β― (5)
Dari persamaan (3) dan (5), maka didapat
π =1
2ππ β― (6)
Dari persamaan (1), (2), dan (6), maka didapat
πΉ β 2 β3
2ππ = ππ
π =πΉ
π + 3π=
πΎπ‘
π + 3π
b. Besar gaya gesek statik pada sistem adalah
π =ππΎπ‘
2π + 6π
Nilai gaya gesek statik maksimum pada sistem ini adalah (dengan menggunakan
persaman (4))
ππππ₯ = ππβ² = π
π + 2π
2π
Dari kedua persamaan ini, maka didapat
ππΎπ‘ππππ‘2π + 6π
= ππ + 2π
2π
π‘ππππ‘ =(π + 2π)(π + 3π)
ππΎππ
c. Untuk bagian ini, persamaan (1) sampai (4) masih bisa digunakan, dengan tambahan
persamaan
π =3
4ππβ² β― (7)
Dari persamaan (4) dan (7), maka didapat
π =3π
8(π + 2π)π β― (8)
Dari persamaan (1), (2), dan (8), maka didapat
πΉ β 2(ππ +3π
8(π + 2π)π) = ππ
π =πΉ
π + 2πβ3ππ
4=
πΎπ‘
π + 2πβ3ππ
4
Halaman 9 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
d. Grafik percepatan (π) vs. waktu (π‘)
Variabel pada grafik:
π‘ππππ‘ =(π + 2π)(π + 3π)
ππΎππ
π1 =π + 2π
πππ
π2 =4π + 9π
4πππ
Yuwanza Ramadhan
SMAN 1 Depok
3. Tumbukan di Antara Dua Bidang : 20 Poin
Terdapat 2 dinding berjarak πΏ satu sama lain yang memiliki koefisien restitusi yang
berbeda, yaitu π1 dan π2 di sebelah kiri dan kanan berturut-turut. Pada awalnya, terdapat
2 massa π1 dan π2, masing-masing ditempatkan tepat di samping kanan dinding 1 dan
samping kiri dinding 2 berturut-turut, dan diberikan kecepatan awal π£ menjauhi dinding.
Nilai π1 dan π2 diatur sedemikian rupa sehingga besar kecepatan setiap massa setelah
menumbuk dinding 1 dan 2 tidak berubah. Untuk soal ini, anggap π1 = π2 = π, π1 > 1
dan π2 < 1 (Dinding 1 menambah besar kecepatan massa, dan dinding 2 mengurangi
besar kecepatan benda).
π
π‘
π‘crit
π1
π2
β3ππ
4
Halaman 10 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
a. Tentukan hubungan antara π1 dan π2.
Untuk sub-soal dibawah ini, kita akan berurusan dengan rata-rata suatu besaran fisika
terhadap waktu. Jika suatu benda dapat memiliki besaran fisika π΄1 dan π΄2 dan
kemunculannya berlangsung selama waktu π‘1 dan π‘2 berturut-turut, maka rata-rata dari
π΄ untuk benda tersebut terhadap waktu adalah
β¨π΄β© =π΄1π‘1 + π΄2π‘2π‘1 + π‘2
b. Tentukan waktu yang ditempuh π1 dan π2 ketika masing-masing massa bergerak ke
kanan dan ke kiri.
c. Tentukan rata-rata momentum dan energi dari massa π1 dan π2, lalu tentukan rata-
rata momentum dan energi untuk keseluruhan sistem ini.
Solusi :
a. Tinjau benda 1 yang awalnya bergerak ke kanan dengan kecepatan π£. Dalam
pembahasan soal ini, tanda positif akan menunjukkan arah ke kanan, dan sebaliknya.
Setelah menumbuk dinding 2, kecepatannya menjadi
π£β² = βπ2π£
Setelah menumbuk dinding 1, kecepatannya harus kembali menjadi π£ lagi, sehingga
π£β²β² = π£ = βπ1π£β²
π1π2 = 1
b. Untuk benda 1, besar kecepatannya ketika bergerak ke kanan dan ke kiri adalah
π£1πππππ = π£ π£1ππππ = π2π£
Sehingga,
π‘1πππππ =πΏ
π£1πππππ=πΏ
π£
π‘1ππππ =πΏ
π£1ππππ=
πΏ
π2π£
π1 π2 π2
π1 π£ π£
πΏ
Halaman 11 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Untuk benda 2, besar kecepatannya ketika bergerak ke kanan dan ke kiri adalah
π£2πππππ = π1π£
π£2ππππ = π£
Sehingga,
π‘2ππππ =πΏ
π£2ππππ=πΏ
π£
π‘2πππππ =πΏ
π£2πππππ=
πΏ
π1π£
c. Momentum kedua benda untuk 2 keadaan (bergerak ke kanan dan ke kiri) adalah
π1πππππ = ππ£
π1ππππ = βπ2ππ£
π2πππππ = π1ππ£
π2ππππ = βππ£
Sehingga, rata-rata dari momentum benda 1 dan 2 adalah
β¨π1β© =π1ππππππ‘1πππππ + π1πππππ‘1ππππ
π‘1πππππ + π‘1ππππ=ππΏ β ππΏ
πΏπ£+πΏπ2π£
= 0
β¨π2β© =π2ππππππ‘2πππππ + π2πππππ‘2ππππ
π‘2πππππ + π‘2ππππ=ππΏ βππΏ
πΏπ£ +
πΏπ1π£
= 0
Analisis yang sama dapat dilakukan untuk energi kinetik kedua benda.
πΈ1πππππ =1
2ππ£2
πΈ1ππππ =1
2π22ππ£2
πΈ2πππππ =1
2π12ππ£2
πΈ2ππππ =1
2ππ£2
Sehingga, rata-rata energi dari kedua benda adalah
β¨πΈ1β© =πΈ1ππππππ‘1πππππ + πΈ1πππππ‘1ππππ
π‘1πππππ + π‘1ππππ=
12ππΏπ£ +
12π2ππΏπ£
πΏπ£ +
πΏπ2π£
=1
2π2ππ£
2
β¨πΈ2β© =πΈ2ππππππ‘2πππππ + πΈ2πππππ‘2ππππ
π‘2πππππ + π‘2ππππ=
12ππΏπ£ +
12 π1ππΏπ£
πΏπ£ +
πΏπ1π£
=1
2π1ππ£
2
Rata-rata momentum dan energi sistem adalah
β¨πβ© = 0
β¨πΈβ© =1
2(β¨πΈ1β© + β¨πΈ2β©) =
1
4(π1 + π2)ππ£
2
Yuwanza Ramadhan
SMAN 1 Depok
Halaman 12 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
4. Usaha oleh Gaya Angin yang Konstan : 20 Poin
Sebuah bola bermassa π dihubungkan dengan seutas tali yang kuat dan memiliki panjang
πΏ ke suatu titik poros yang tetap (titik O) dan posisinya dipertahankan vertikal. Pada
sistem ini terdapat gaya gravitasi yang arahnya ke bawah dan besarnya adalah π.
a. Tentukan gaya tegangan tali pada kasus ini!
Kemudian, ada angin yang bertiup ke arah kanan dan memberikan gaya πΉ yang konstan
pada bola.
b. Jika bola dilepaskan dari keadaan diam, tentukan berapakah ketinggian maksimum π»
yang dicapai bola ini diukur dari posisi awalnya. Tunjukan bahwa hasil ini berlaku baik
untuk kasus 0 β€ π» β€ πΏ maupun kasus πΏ β€ π» β€ 2πΏ.
c. Berpakah sudut yang dibentuk tali dengan vertikal saat bola mencapai kesetimbangan
π0!
O
πΏ
π
πΉ
O
π
O
π
π»
πΉ
πΉ π0
π»0
O
π
Halaman 13 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
d. Tentukan ketinggian keseimbangan bola π»0! Apakah ketinggian ini mungkin lebih
besar dari πΏ? Jelaskan dengan singkat!
e. Sekarang tinjau kondisi saat bola diberi simpangan yang kecil dari posisi
kesetimbangan, untuk lebih mudahnya, asumsikan sudut yang dibentuk tali dengan
vertikal sekarang menjadi π = π0 + π dimana sudut π ini sangat kecil.
Bagaimana persamaan gerak bola pada arah tangensial! Tunjukkan bahwa persamaan
gerak ini memenuhi bentuk
οΏ½ΜοΏ½ + π2π = 0
f. Parameter π disebut sebagai frekuensi sudut osilasi sistem. Tentukan periode dan
frekuensi osilasi bola ini!
Solusi :
a. Hukum I Newton untuk arah vertikal pada massa π
βπΉy = 0
π βππ = 0 βΉ π = ππ
b. Angin memberikan usaha pada pada massa π. Misal saat ketinggian maksimum massa
tercapai, dia telah berpindah sejauh π dari posisi awal dimana nilai π ini adalah
π = βπΏ2 β (πΏ β π»)2βΉ π = β2π»πΏ β π»2
Kemudian dari teorema usaha-energi akan kita peroleh
πnc = ΞπΈπsistem
πΉπ = πππ»
πΉβ2π»πΏ β π»2 = πππ»
2π»πΏ β π»2 = (ππ
πΉ)2
π»2
2πΏ = π» [1 + (ππ
πΉ)2
] βΉ π» =2πΏ
1 + (ππ/πΉ)2
πΉ π
O π = π0 + π
π
Halaman 14 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Untuk pengecekan
π» β€ πΏ
2πΏ
1 + (ππ/πΉ)2β€ πΏ
1 + (ππ/πΉ)2 β₯ 2
ππ/πΉ β₯ 1
Ini tercapai saat πΉ β€ ππ dan hal ini memang mungkin terjadi karena gaya dari angin
tentu bisa diatur agar sesuai batas ini.
Berikutnya untuk kondisi kasus πΏ β€ π» β€ 2πΏ
π» β₯ πΏ
2πΏ
1 + (ππ/πΉ)2β₯ πΏ
1 + (ππ/πΉ)2 β€ 2
ππ/πΉ β€ 1
Ini tercapai saat πΉ β₯ ππ dan sekali lagi, ini memang mungkin. Selanjutnya
π» β€ 2πΏ
2πΏ
1 + (ππ/πΉ)2β€ 2πΏ
1 + (ππ/πΉ)2 β₯ 1
ππ/πΉ β₯ 0
Artinya, untuk nilai πΉ yang sangat besar, dimana limit ππ/πΉ menuju nol, massa π
akan terangkat sampai ketinggian 2πΏ.
c. Saat setimbang, resultan gaya yang bekerja pada massa π akan bernilai nol.
Menggunakan Hukum I Newton untuk benda π pada arah tangensial (arah π) akan
kita peroleh
πΉ
π0
ππ
O
π0
π0
π
π
Halaman 15 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
βπΉΞΈ = 0
βππ sin π0 + πΉ cos π0 = 0
tan π0 =πΉ
ππβΉ π0 = tan
β1 (πΉ
ππ)
d. Ketinggian keseimbangan bola adalah
π»0 = πΏ β πΏ cos π0 = πΏ(1 β cos π0)
dari modifikasi trigonometri kkita peroleh
tan π0 =πΉ
ππβΉ cos π0 =
ππ
βπΉ2 + (ππ)2βΉ sinπ0 =
πΉ
βπΉ2 + (ππ)2
Sehingga
π»0 = πΏ (1 βππ
βπΉ2 + (ππ)2)
e. Sekarang, karena massa π disimpangkan, dia mempunyai kecepatan sudut pada arah
tangensial. Menggunakan Hukum II Newton untuk arah ini pada massa π akan kita
peroleh (arah tangensial adalah arah yang mengikuti lintasan melingkar dari massa π,
arah positifnya adalah arah bertambahnya sudut π)
βπΉΞΈ = 0
βππ sin π + πΉ cos π = ππΏοΏ½ΜοΏ½
Untuk sudut π yang kecil kita bisa lakukan pendekatan suku pertama pada nilai sinus
dan cosinus dari π dan mengabaikan suku dengan orde lebih tinggi
sinπ =π
1!βπ3
3!+π5
5!βπ7
7!β¦ β π
cos π = 1 βπ2
2!+π4
4!βπ6
6!β¦ β 1
Sehingga
sin π = sin(π0 + π) = sin π0 cos π + cos π0 sinπ β sin π0 + π cos π0
cos π = cos(π0 + π) = cos π0 cos π β sin π0 sinπ β cos π0 β π sin π0
π = π0 + π βΉ οΏ½ΜοΏ½ = οΏ½ΜοΏ½
Akan kita peroleh
βππ(sinπ0 + π cos π0) + πΉ(cos π0 β π sin π0) = ππΏοΏ½ΜοΏ½
Halaman 16 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
βππ sinπ0 + πΉ cos π0β 0
β (ππ cos π0 + πΉ sin π0)π = ππΏοΏ½ΜοΏ½
Subtitusi sin π0 dan cos π0
β(ππππ
βπΉ2 + (ππ)2+ πΉ
πΉ
βπΉ2 + (ππ)2)π = ππΏοΏ½ΜοΏ½
ππΏοΏ½ΜοΏ½ +πΉ2 + (ππ)2
βπΉ2 + (ππ)2 π = 0
οΏ½ΜοΏ½ +βπΉ2 + (ππ)2
ππΏ π = 0
Analog dengan bentuk οΏ½ΜοΏ½ + π2π = 0.
f. Hubungan periode dan frekuensi osilasi dengan kecepatan sudut osilasi π adalah
π =2π
π dan π =
1
π
Sehingga
π = 2πβππΏ
βπΉ2 + (ππ)2 dan π =
1
2πββπΉ
2 + (ππ)2
ππΏ
Ahmad Basyir Najwan
SMAN 3 Banjarbaru
5. Bidang Berosilasi : 20 Poin
Sebuah benda titik bermassa π diletakkan diatas bidang yang membentuk sudut π
terhadap garis horizontal. Orientasi dari bidang ini dipaksa berosilasi mengikuti
persamaan π(π‘) = ππ cosππ‘, dimana ππ adalah sudut maksimum bidang terhadap garis
horizontal, dan π adalah periode osilasi orientasi bidang ini. Poros putaran dari orientasi
bidang ini akan dijadikan pusat koordinat. Pada awalnya, benda masih diam dan berada
pada posisi (π₯0, π¦0) diukur dari pusat koordinat. Untuk seterusnya, anggap medan
gravitasi bekerja ke arah bawah dengan besar π, selalu gunakan pendekatan ππ βͺ 1,
selalu gunakan koordinat kartesius, dan anggap nilai π tidak terlalu besar untuk bagian
(a) sampai (c) sehingga benda ini tidak akan terlepas dari bidang.
Halaman 17 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
a. Tuliskan persamaan-persamaan gerak yang berlaku untuk benda ini!
b. Pada π‘ = 0, tentukan hubungan antara π¦0 dengan π₯0!
c. Selesaikan persamaan yang telah didapatkan di sub-soal a) untuk π₯(π‘) dan π¦(π‘)!
d. Jika nilai π₯0 melebihi π₯0C, maka suatu saat, benda ini akan lepas dari bidang. Tentukan
π₯0C!
Solusi :
a. Persamaan gaya dan konstrain yang bekerja pada benda adalah
ποΏ½ΜοΏ½ = βπ sin(π)
ποΏ½ΜοΏ½ = π cos(π) β ππ
π¦ = π₯ tan(π)
Dengan menggunakan pendekatan π = ππ cos(ππ‘) βͺ 1, maka ketiga persamaan
diatas menjadi
ποΏ½ΜοΏ½ = βπππ cos(ππ‘) β¦ (1)
ποΏ½ΜοΏ½ = π β ππ β¦ (2)
π¦ = π₯ππ cos(ππ‘) β¦ (3)
b. Pada π‘ = 0, π¦ = π¦0 dan π₯ = π₯0, sehingga
π¦0 = π₯0ππ
c. Gunakan persamaan (1) dan (2), untuk mengeliminasi variabel π, maka didapat
οΏ½ΜοΏ½ = β(οΏ½ΜοΏ½ + π)ππ cos(ππ‘)
Perhatikan bahwa di persamaan (3), π¦ mengandung koefisien ππ. Maka turunan π¦
terhadap waktu pun juga mengandung koefisien ππ. Sehingga βοΏ½ΜοΏ½ππ cos(ππ‘)
mengandung koefisien ππ2 , suku ini dapat diabaikan. Sehingga
οΏ½ΜοΏ½ = βπππ cos(ππ‘) β¦ (4)
Persamaan (4) bisa diselesaikan dengan 2 cara, yaitu:
π
π¦
π₯
π₯(π‘)
π(π‘)
π
π¦(π‘)
Halaman 18 dari 18 KTOF II November 2019
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
1) Integralkan persamaan (4) 2 kali terhadap waktu, dengan menggunakan syarat
batas οΏ½ΜοΏ½(π‘ = 0) = 0 dan π₯(π‘ = 0) = π₯0, dan
2) Tebak solusi umum dalam bentuk π₯(π‘) = π΄ + π΅ cos(ππ‘), dan mencari nilai π΄
dan π΅ dari persamaan (4) dan syarat batas π₯(π‘ = 0) = π₯0.
Hasil akhirnya adalah
π₯(π‘) = π₯0 +ππππ2
(β1 + cos(ππ‘))
Substitusi hasil ini ke persamaan (3), dengan mengabaikan suku yang
mengandung koefisien ππ2 , maka didapat
π¦(π‘) = π₯0ππ cos(ππ‘)
d. Substitusi π¦(π‘) ke persamaan (2), lalu selesaikan untuk π, maka didapat
π = π(π β π₯0πππ2 cos(ππ‘))
Benda akan dapat lepas dari bidang jika π suatu saat akan dapat bernilai negatif.
Sehingga,
π β π₯0πππ2 cos(ππ‘) < 0
π₯0 >π
πππ2
π₯0πΆ =π
πππ2
Yuwanza Ramadhan
SMAN 1 Depok