TELAAH KURIKULUM

MATEMATIKA III

SMA KELAS XII IPASEMESTER 1

INTEGRAL

Nama Kelompok :

1. Eka Ririn Haryati (112144172)

2. Endah Kusumaningrum (112144173)

INSPIRASI

Pernahkan kalian berfikir cara menghitung luas suatu

bidang datar yang tidak beraturan? Atau mungkin

menghitung volume sebuah kaleng atau vas bunga?

Untuk menghitung luas atau volume benda tidak beraturan

yaitu dengan menggunakan integral.

MERANCANG ATURAN INTEGRAL TAK TENTU

DARI ATURAN TURUNAN

1. Pengertian Integral

Operasi pendiferensialan adalah proses menentukan

turunan dari suatu fungsi F’(x) = f(x) diketahui.

Invers dari operasi pendiferensialan dan invers dari

operasi pendiferensialan ini dinamakan sebagai operasi

pengintegralan.

Untuk memahami hubungan antara operasi

pengintegralan dengan operasi pendiferensialan

digunakan bantuan tabel sebagai berikut.

Pendiferensialan

F(x) F’(x)=f(x)

Pengintegralan

x2 2x

x2 – 1 2x

x2 + 3 2x

x2 – 4 2x

x2 + 10 2x

. .

. .

. .

x2 + C 2x

2. Notasi Integral dan Pengertian Integral Tak Tentu

ʃf(x) dx = F(x) + C

• F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F(x) bersifat

F’(x) = f(x)

• f(x) disebut fungsi integran

• C konstanta real sembarang dan sering disebut sebagai

konstanta pengintegralan.

Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar

Berikut ini rumus-rumus integral tak tentu dan fungsi

aljabar

1. (i) ʃdx = x + C

(ii) ʃa dx = ax + C

2. (i) ʃ{f(x) + g(x)} dx = ʃf(x) dx + ʃg(x) dx

(ii) ʃ{f(x) – g(x)} dx = ʃf(x) dx - ʃg(x) dx

3. (i) ʃxn dx = , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1

(ii) ʃaxn dx = , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1

CONTOH

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana tertulis dalam

tabel berikut.

No. F(x) F’(x) = f(x)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

sin x

cos x

tan x

cot x

sec x

cosec x

cos x

-sin x

sec2 x

-cosec2 x

tan x . sec x

-cot x . cosec x

Dengan menggunakan aturan integral tak tentu

yang mempunyai sifat bahwa F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi

trigonometri dalam tabel maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi

trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

Fungsi-fungsi trigonometri dalam veriabel sudut ax + b

(a dan b bilangan real dengan a ≠ 0) sebagai berikut.

No F(x) F’(x) = f(x)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

sin (ax + b)

cos (ax + b)

tan (ax + b)

cot (ax + b)

sec (ax + b)

cosec (ax + b)

a cos (ax + b)

-a sin (ax + b)

a sec2 (ax + b)

-a cosec2 (ax + b)

a tan (ax + b) . sec (ax+b)

-a cot (ax + b) . cosec (ax + b)

Berdasarkan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam tabel tersebut,

maka aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam

variable sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut.

Dimana

a dan b

masing-masing

bilangan real

dengan a ≠ 0.

CONTOH

Integral Tentu Sebagai Luas Daerah

di Bidang Datar

Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit

Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurvay = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas Lditentukan oleh hubungan

dinamakan integral tentu.

Gambar hal.10

MENGHITUNG INTEGRAL TENTU

1. Luas di Bawah Kurva dan Teorema Dasar Integral

Kalkulus

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X,

garis x = a, dan garis x = x (x>a) atau luas daerah AA1P1P

ditentukan oleh:

Gambar hal.15

Misalkan kurva f(x) kontinu dalam interval tertutup

[a, b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu X, garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan

rumus

Notasi Kurung Siku

F(b) – F(a) dapat diringkas dengan menggunakan kurungsiku [ ], maka

2. Menghitung Integral Tentu dengan Menggunakan

Teorema Dasar Integral Kalkulus

Jika y = f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi dalam

interval tertutup [a, b]. Maka integral tentu f(x) terhadap x

dari x = a dampai x = b dinyatakan

dengan F(x) adalah pengintegralan dari f(x).

Sifat-sifat Integral Tentu

CONTOH

Hal. 19

Pengintegralan Dengan Rumus Integral

Substitusi

1. Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ʃ f(u) du

Jika f(u) adalah pengintegralan dari f(x), maka

Langkah-langkah menggunakannya:

.

2. Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F’(du) = f(u).

Rumus integral umum yang dikembangkan denganmenggunakan rumus-rumus integral tak tentu dari fungsialjabar atau fungsi trigonometri, dirangkumkan sebagaiberikut:

1. Pengintegralan Fungsi Aljabar

2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri

CONTOH

Hal. 24

PENGINTEGRALAN DENGAN

RUMUS INTEGRAL PARSIAL

Misalkan u (x) dan v (x) masing- masing adalah fungsi

dalam variable x, maka pengintegralan ʃ u dv ditentukan

oleh hubungan:

2. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Beberapa Kurva

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), kurva y = g

(x) , garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan rumus:

Dengan catatan f(x) ≥ g (x) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b

PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU

UNTUK MENGHITUNG

LUAS DAERAH

1. Luas Daerah yang dibatasi oleh distribusi Kurva dengan

Sumbu x

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X,

garis x = a, dan garis x = b ditentukan oleh :

dan

PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU

UNTUK MENGHITUNG VOLUME

BENDA PUTAR

1. Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap

Sumbu x

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), sumbu X, garis x

= a, dan garis x=b diputar 360ᵒ mengelilingi sumbu X, maka

volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan

rumus :

2. Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap

Sumbu Y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g (y), sumbu Y, garis y =

c, dan garis y = d diputar sejauh 360⁰ mengelilingi sumbu Y,

maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan

rumus :

3. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang

Diputar terhadap Sumbu X

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x),

garis x = a, dan garis x=b diputar sejauh 360⁰ mengelilingi

sumbu X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi

ditentukan dengan rumus :

Dengan catatan bahwa y1 = f(x) ≥ y2 = g(x) dalam interval

tertutup a ≤ x ≤ b.

4. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang

Diputar terhadap Sumbu Y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x),

garis x = a, dan garis x=b diputar sejauh 360⁰ mengelilingi sumbu

X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan

dengan rumus :

Dengan catatan bahwa x1 = f(y) ≥ x2 = g(y) dalam interval

tertutup c ≤ y≤ d.