INTEGER PROGRAMING 0-1Penyelesaian persoalan ransel

( knapsack problem)

KELOMPOK 2ROBI SAMSUDIN (08.10075)AGUS PURNOMO (08.10019)RIAN RACHMADI (08.10027)

INTEGER PROGRAMING 0-1

• A.Penyelesaian persoalan ransel ( knapsack problem)

• Pada bagian ini kita membahas tentang integer programing 0-1 karena pada persoalan ini

mempunyai pembatas tunggal maka ini disebut dengan knapsack problem. Jadi knapsack

problem adalah bentuk lain dari LP yang setiap variabel keputusannya berharga 0 atau 1.

• Contoh:

• Misalnya pendaki gunung ingin membawa sebuah peralatan yang ia perlukan dalam satu

kantong (sack) saja. Misalkan ada sejumlah n peralatan yang diperlukan tetapi ia tidak ingin

berat seluruhnya melebihi b kg ,bila berat peralatan ke – j adalah aj kg dan harganya adalah cj

maka persoalan yang dihadapi ialah maksimumkan harga semua peralatan tanpa melebihi

batas berat yakni b kg.

• Formulasi dari IP 0-1 ini sebagai berikut :

• Maksimumkan : z = C1 X1 + C2 X2 + . . . + Cn Xn

• Berdasarkan :

• a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ≤ b

• xj = 0 atau 1 ( i = 1 , 2 , . . . , n )

• Ingat bahwa ci adalah manfaat yang diperoleh apabila barang ke – i di pilih , b adalah jumlah

sumber yang tersedia , dan ai adalah jumlah sumber yang digunakan oleh barang ke i.

Apabila persoalan ini di selesaikan dengan branch and bound yang maka ada dua aspek dari

pendekatan branch and bound yang disederhanakan. Pertama, karena setiap variabel harus

berharga 0 atau 1 , maka pencabangan apada xi akan menghasilkan cabang xi =0 dan xi =1. kedua

LP relaksasi dapat di selesaikan dengan melakukan pemeriksaan terhadap nilai ci/ai. Untuk

melihat ini ,perhatikan bahwa ci/ai dapat di interpretasika sebagi manfaat yang diperoleh barang

ke –I dari setiap unit sumber yang digunakan oleh barang ke – i jadi barang yang terbaik adalah

barang yang nilai ci/ai terbesar, yang terburuk adalah barang yang memiliki nilai ci/ai terkecil.

Untuk menyelesaikan setiap subpersoalan yang di hasilkan dari suatu persoalan ransel ini,

hitunglah seluruh rasio ci/ai. Kemudian, masukan barang terbaik ke dalam rangsel. Setelah itu,

masukan barang ke –dua terbaik, dan seterusnya, hinggga ransel terisi sebanyak-banyaknya

barang ini. Sebagian ilustrasi, perhatikan contoh soal berikut ini:

Maksimumkan:

untuk menyelesaikan persoalan diatas, kita mulai dengan menghitung rasio ci/ai dan menentukan

peringkat (rank) setiap variable berdasarkan rasio ini (peringkat 1 menyatakan variable terbaik) hasilnya

adalah berikut:

Ca/ci PeringkatBarang ke -1 1 3,5

2 8/5 2

3 1/3 7

4 1 3,5

5 4/10 6

6 1/2 5

7 2 1

Z = 40x1 + 80x2 + 10x3 + 10x4 + 4x5 + 20x6 + 60x7Berdasarkan: 40x1 + 50x2 + 30x3 + 10x4 + 10x5 + 40x6 + 30x7 ≤ 100Xi = 0 atau 1 (i = 1,2,….,7)

Penyelesaian LP relaksai dari persoalan diatas dimulai dengan memilih barang ke-7 (x =7)

Maka sumber yang tersisa adalah 100 – 30 = 70 unit

Selanjutnya pilih barang yang terbaik ke -2 dengan menjadikan x2 = 1 maka sumber yang tersisa

Adalah 70 – 50 = 20 unit .

Kemudian dikarenakan barang ke – 1 dan ke – 4 mempunyai rasio yang sama maka kita dapat memilih

Salah satu dari brang tersebut

Misalkan kita memilih barang menjadikan x4 = 1 . Maka sumber yang tersisa adalah 20 – 10 = 10

Barang yang tersisa adalah barang ke – 1 .

Jadi barang yang terbaik adalah barang ke – 1

Contoh soal

1. Tuan sugih, yang memiliki uang tunai sebesar 14 miliar rupiah , bermaksud mmenginvestasikan

uangnya itu dalam beberapa jenis usaha . Setelah memperoleh informasi yang lengkap ia

mendapatkan bahwa ada 4 macam investasi yang patut di pertimbangkan investasi 1 akan

menghasilkan NPV sebesar 16 miliar sedangkan investasi 2,3,dan 4 masing- masing menghasilkan

NPV sebesar 22 miliar , 12 miliar, dan 8 miliar rupiah masing – masing investasi memerlukan

pengeluaran awal sebesar 5, 7 , 4 , dan 3 miliar rupiah untuk investasi 1,2, 3, dan 4 forulasikan

persoalan di atas ke bentuk persoalan IP sehingga tuan sugih dapat mengetahui bagimana NPV

maksimum diperoleh dari keempat investasi itu :

Jawab:

jawab:

FT max z = 16 x1 + 22 x2 +12 x3 + 8 x4

s/t (1) 5 x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 ≤ 14

pertama hitung rasio ci/ai dan tentukan peringkatnya

Solusi LP relaksasinya adalah Z = 16 + 22 + (1/2) (12) = 44• Selanjutnya melakukan proses branch and bound

Investasi

Ci/ai Peringkat LP Relaksai

1 16/5 1 X1= 1

2 22/7 2 X2=2

3 12/4 3 X3=2/4 sisa 1/2

4 8/3 4 0

• t=1

• x3= 1

• x3=0

t=7 t=2

x2=0 x4=0 x4=1 x2=1

X X t=8 t=9 t=3 t=4

x1= 0 x= 1

t= 5 t=6 X

Sub persoalan 1 Z= 44X1=x2= 1 ; x3 = 1/2

Subpersoalan 3Z= 306/7

X1= =X3= 1X2=5/7 ; X4 = 0

Subpersoalan 2Z= 130/3X1=x2= 1

X3= 0 ; x4= 2/3LB = 42

Subpers.8Z = 38

X1=x2=1X3=x4=0LB =42

Subpers.9Z= 300/7X1=x4= 1X2=6/7X3 = 0LB 42

Subpers.4Z= 36

X1=x3=1 X2= 0X4= 1

Calon solusi

Subpers.5Z= 218/5X1= 3/5

X2= x3 =1LB= 36

Subpers. 6Z =42

X1 = 0 X2 = x3= x4= 1

LB 38Calon solusi

Subpers.7LB = 42

Tidak fisibel

TERIMAKASIH