Post on 08-Mar-2019
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Elektrik IUntai Orde 1
Dr. Iwan Setyawan
Fakultas TeknikUniversitas Kristen Satya Wacana
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pendahuluan
• Setiap kali suatu untai berubah dari satu kondisi ke kondisilainnya, arus dan tegangan dalam untai tersebutmembutuhkan waktu untuk menyesuaikan diri. Keadaanini disebut keadaan transien.
• Setelah kondisi ini lewat, untai masuk ke dalam kondisisteady-state.
• Solusi persamaan diferensial yang mendefinisikan untai iniakan memiliki 2 bagian, yaitu complementary function(atau homogenous solution) dan particular solution.
• Complementary function berhubungan dengan kondisitransien, particular solution berhubungan dengan kondisisteady-state.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (1)
• Misalkan sebuah kapasitor memiliki beda potensial V0.Jika terminal kapasitor dihubungkan ke sebuah resistor R,muatan yang tersimpan akan mengalir berupa arus i .
• Jadi, beda tegangan pada kapasitor secara bertahapberkurang sampai nol. Pada saat itu, arus juga menjadinol.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (2)
• Misalkan pada untai berikut:
• Pada untai ini Ri = v dan i = −Cdv/dt, atau
dv
dt+
1
RCv = 0 (1)
• Satu-satunya fungsi yang kombinasi linearnya denganturunannya akan menghasilkan 0 adalah fungsieksponensial dengan bentuk Aest .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (3)
• Dengan memasukkan v = Aest dan dv/dt = sAest , kitaperoleh
sAest +1
RCAest = A
(s +
1
RC
)est = 0
atau
s +1
RC= 0 atau s = − 1
RC(2)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (4)
• Jika v(0) = A = V0, kita peroleh v(t) dan i(t) sebagaiberikut:
v(t) = V0e−t/RC , t > 0 (3)
i(t) = −C dv
dt=
V0
Re−t/RC , t > 0 (4)
• Tegangan dan arus pada kapasitor merupakan fungsieksponensial dengan nilai awal masing-masing V0 danV0/R.
• Nilai tegangan dan arus akan turun dengan konstantawaktu τ = RC .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (5)
• Plot tegangan dan arus adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (6)
Contoh soal 1:
Sebuah kapasitor 1 µFmemiliki tegangan 10 V untuk t < 0.Pada saat t = 0, sebuah resistor 1 MΩ dihubungkan kekapasitor tersebut. Carilah konstanta waktu τ , v(t) dan v(5).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (7)
Jawab:
Dari pembahasan sebelumnya, kita peroleh
τ = RC = 106 × 10−6 = 1 s
v(t) = 10e−t V, t > 0
v(5) = 10e−5 = 0.067V
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (8)
Contoh soal 2:
Perhatikan untai berikut:
Pada untai ini tegangan awal kapasitor adalah 4 V. Carilaharus yang mengalir pada resistor 6 kΩ.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Pengosongan Kapasitor ke Resistor (9)
Jawab:
Resistor ekuivalen untuk untai ini adalah R = 2 kΩ. Konstantawaktu untai ini adalah RC = 10−2 s. Tegangan dan arus padaresistor 6 kΩ adalah
v = 4e−100t dan i = v/6000 = 0.67e−100t mA
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (1)
• Misalkan sebuah kapasitor yang tidak bermuatandihubungkan ke sebuah baterai dengan tegangan V0 padat = 0 seperti untai berikut
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (2)
• Untuk t > 0, analisis KVL memberikan Ri + v = V0. Jikadimasukkan i = C (dv/dt), kita peroleh:
dv
dt+
1
RCv =
1
RCV0 t > 0 (5a)
dengan kondisi awal
v(0+) = v(0−) = 0 (5b)
• Solusi yang dicari harus memenuhi (5a) dan (5b).
• Particular solution (forced response), vp(t) = V0, dapatmemenuhi (5a) tapi tidak (5b).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (3)
• Untuk menyelesaikan hal ini, kita tambahkan homogenoussolution (natural response) vh(t) = Ae−t/RC sebagaiberikut: (5a) dan (5b):
v(t) = vp(t) + vh(t) = V0 + Ae−t/RC (6a)
• Berdasarkan kondisi awal, diperoleh v(0+) = V0 + A = 0,atau A = −V0.
• Jadi solusi lengkap adalah:
v(t) = V0(1− e−t/RC )u(t) (6b)
i(t) =V0
Re−t/RCu(t) (6c)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (4)
• Plot tegangan dan arus ditunjukkan pada gambar-gambarberikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (5)
Contoh soal 3:
Sebuah kapasitor 4 µF dengan tegangan awal v(0−) = 2 Vdisambungkan ke baterai 12 V melalui resistor 5 kΩ pada saatt = 0. Cari tegangan dan arus pada kapasitor untuk t > 0.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (6)
Jawab:
Konstanta waktu untai adalah τ = RC = 0.02 s. Dari sinidapat diperoleh:
v(t) = 12 + Ae−50t
Berdasarkan kondisi awal, v(0−) = v(0+) = 12 + A atauA = −10. Jadi untuk t > 0:
v(t) = 12− 10e−50t V
i(t) = (12− v)/5000 = 2× 10−3e−50t = 2e−50t mA
Arus dapat juga dicari dari i = C (dv/dt).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (7)
Jawab (cont.):
Jadi tegangan naik secara eksponensial dari 2 V ke 12 V, danarus turun dari 2 mA ke nol. Plot tegangan ditunjukkan padagambar berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Tegangan DC pada kapasitor (8)
Jawab (cont.):
Plot arus ditunjukkan pada gambar berikut
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (1)
• Perhatikan untai RL sebagai berikut:
• Misalkan pada t = 0 arus yang mengalir adalah I0.
• Untuk t > 0, arus i harus memenuhi persamaanRi + L(di/dt) = 0 yang memiliki solusi i = Aest .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (2)
• Dengan melakukan substitusi, kita peroleh:
A(R + Ls)est = 0, R + Ls = 0, s = −R/L
• Karena kondisi awal i(0) = A = I0 maka
i(t) = I0e−Rt/L untuk t > 0 (7)
• Konstanta waktu untai ini adalah τ = L/R.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (3)
Contoh soal 4:
Baterai pada untai berikut dilepas pada waktu t = 0. Carilaharus dan tegangan pada induktor untuk semua t.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (4)
Jawab:
Jika diasumsikan bahwa switch S sudah tertutup cukup lama,maka arus induktor konstan dan tegangannya 0. Untaiekuivalen untuk t = 0− ditunjukkan sebagai berikut.
Dari sini terlihat bahwa i(0−) = 12/4 = 3 A.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (5)
Jawab (cont.):
Setelah baterai dilepas (t > 0), untai ekuivalen menjadi sebagaiberikut.
Pada saat t > 0, arus turun secara eksponensial dari 3 A ke 0.Konstanta waktu untai adalah L/R = 1/100 s.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (6)
Jawab (cont.):
Dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada contoh soal 3,kita peroleh arus dan tegangan induktor sebagai berikut:
i(t) = 3e−100t A
v(t) = L(di/dt) = −30e−100t V
Plot arus adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL tanpa sumber (7)
Jawab (cont.):
Plot tegangan adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Arus DC pada Induktor (1)
• Misalkan sebuah untai sebagai berikut.
• Jika switch S ditutup secara mendadak, arus pada untainaik secara eksponensial dari 0 ke sebuah nilai konstan,dengan konstanta waktu L/R.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Arus DC pada Induktor (2)
• Dengan menerapkan KVL pada untai, kita peroleh
Ri + Ldi
dt= V0 untuk t > 0, i(0+) = 0 (8)
• Karena i = ih(t) + ip(t), dengan ih(t) = Ae−Rt/L danip(t) = V0/R, maka
i = Ae−Rt/L + V0/R
• Koefisien A dicari dari i(0+) = A + V0/R atauA = −V0/R.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Arus DC pada Induktor (3)
• Arus pada induktor adalah:
i(t) =V0
R
(1− e−Rt/L
)untuk t > 0 (9)
• Plot arus adalah sebagai berikut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Arus DC pada Induktor (4)
• Tegangan pada induktor adalah:
v(t) = Ldi
dt= V0e
−Rt/L untuk t > 0 (10)
• Plot tegangan adalah sebagai berikut.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Fungsi Eksponensial (1)
• Fungsi peluruhan eksponensial (exponential decayfunction) dapat dituliskan dalam bentuk e−t/τ , dengan τmeerupakan konstanta waktu (dalam detik).
• Untuk sebuah untai RC, τ = RC . Untuk sebuah untai RL,τ = L/R.
• Secara umum, fungsi ini bisa ditulis
f (t) = Ae−t/τ (t > 0)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Fungsi Eksponensial (2)
• Plot fungsi ini adalah sebagai berikut.
• Dapat dilihat bahwa f (τ) = Ae−1 = 0.368A. Dengan katalain, pada saat t = τ nilai fungsi tinggal kurang dari 37%nilai awal.
• Pada t = 5τ , nilai fungsi adalah 0.0067A atau kurang dari1% nilai awal. Oleh karena itu, pada prakteknya padat = 5τ masa transien sudah dianggap selesai.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Fungsi Eksponensial (3)
• Garis yang tangensial terhadap kurva eksponensial padatitik t = 0+ dapat digunakan untuk mengestimasi τ ,karena
slope = f ′(0+) = −A
τ
sehingga garis ini harus memotong sumbu t pada t = τseperti pada gambar berikut
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Fungsi Eksponensial (4)
• Secara lebih umum, garis tangensial pada t = t0 akanmemotong sumbu t pada t0 + τ .
• Jadi, jika nilai f (t0) dan f ′(t0) diketahui, kurva dapatdibuat.
• Pada prakteknya, terkadang nilai-nilai diatas tidak dapatdiketahui.
• Dalam kondisi seperti ini, dapat digunakan 2 buah titikdata untuk melakukan perhitungan.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Fungsi Eksponensial (5)
• Misalkan kita memiliki grafik sebagai berikut:
• Dari grafik ini kita peroleh 2 titik data, yaitu
f1 = Ae−t1/τ f2 = Ae−t2/τ
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Fungsi Eksponensial (6)
• Persamaan diatas dapat diselesaikan sehingga memberikan
τ =t2 − t1
ln f1 − ln f2
• Kemudian, A dapat dicari dalam τ dan f1 atau f2.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (1)
• Sebuah untai yang lebih kompleks—terdiri atas sumber,resistor dan sebuah elemen penyimpan energi—dapatdiubah menjadi untai ekuivalen Thevenin/Norton.
• Dengan cara ini, untai kompleks ini dapat disederhanakanmenjadi untai RL/RC.
• Jika sumber pada untai secara tiba-tiba diubah ke sebuahnilai DC, untai dan tegangan merupakan eksponensialdengan τ sama tapi mungkin nilai awal dan akhir yangberbeda.
• Nilai τ adalah RC atau R/L, dengan R = RTh.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (2)
Contoh soal 5:
Carilah i , v dan i1 pada untai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (3)
Jawab:
Untai ekuivalen Thevenin untai diatas adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (4)
Jawab (cont.):
Konstanta waktu untai ini adalah:
τ = L/RTh =5× 10−3
4= 1.25ms
Nilai awal arus induktor nol, nilai akhirnya adalah
i(∞) =vThRTh
=3
4= 0.75A
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (5)
Jawab (cont.):
Jadi diperoleh
i = 0.75(1− e−800t)u(t) A
v = Ldi
dt= 3e−800tu(t) V
i1 =9− v
12=
1
4(3− e−800t)u(t) A
Tegangan, v , dapat juga dicari dari nilai awalnya,v(0+) = (9× 6)/(12 + 6) = 3V, nilai akhirnya, v(∞) = 0 dankonstanta waktu untai.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (6)
Contoh soal 6:
Perhatikan untai berikut:
Kapasitor dihubungkan ke untai pada t = 0. Pada saat itu,tegangan pada kapasitor adalah v0 = 17 V. CarilahvA, vB , vC , iAB , iACdaniBC untuk t > 0.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (7)
Jawab:
KCL pada node A:(1
2+
1
3+
1
6
)vA −
1
2vB −
1
6vC = 0
6vA − 3vB − vC = 0 (11)
KCL pada node B:
−1
2vA +
(1
2+
1
4
)vB − 103i − 1
4vC = 0
−2vA + 3vB − vC = (4× 103)i (12)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (8)
Jawab:
KCL pada node C :
−1
6vA −
1
4vB +
(1
4+
1
6+
1
23
)vC = 0
−2vA − 3vB + 6vC = 0 (13)
Dengan menyelesaikan Persamaan (11), (12) dan (13) kitaperoleh:
vA =
(7
3× 103
)i vB =
(34
9× 103
)i vC =
(8
3× 103
)i
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (9)
Jawab (cont.):
Dari sudut pandang kapasitor, untai terdiri atas sumber dansebuah resistor R = vB/i = 34/9 kΩ. Kapasitor mengeluarkantegangan awal V0 dalam bentuk eksponensial denganτ = RC = 34
9 × 103 × 9× 10−6 = 0.034 s. Untuk t > 0,tegangan dan arus adalah
vB = V0e−t/τ = 17e−1000t/34V
i = −C dvBdt
= (9×17×10−3/34)e−1000t/34 = 4.5e−1000t/34mA
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai RL & RC Kompleks (10)
Jawab (cont.):
vA =7
3× 103i = 10.5e−1000t/34V
vC =8
3× 103i = 12e−1000t/34V
vAB = vA − vB = −6.5e−1000t/34V
iAB = vAB/2000 = −3.25e−1000t/34mA
vAC = vA − vC = −1.5e−1000t/34V
iAC = vAC/6000 = −0.25e−1000t/34mA
vBC = vB − vC = 5e−1000t/34V
iBC = vBC/4000 = 1.25e−1000t/34mA
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (1)
• Komponen eksponensial respon suatu untai RL dan RCakan meluruh sesuai waktu.
• Pada t =∞, untai mencapai steady-state dan responhanya terdiri atas komponen DC.
• Secara teoretis, suatu untai membutuhkan waktu takhingga untuk mencapai steady-state. Akan tetapi, padaprakteknya steady state sudah dianggap selesai padawaktu t = 5τ .
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (2)
• Pada saat untai mencapai DC steady-state, semua arusdan tegangan dalam untai bernilai konstan.
• Jika tegangan pada suatu kapasitor bernilai konstan, makaarus yang mengalir pada kapasitor tersebut 0. Jadi padakondisi DC steady-state semua kapasitor dianggapopen-circuit.
• Jika arus pada induktor bernilai konstan, tegangannyabernilai 0. Jadi pada kondisi DC steady-state semuainduktor dianggap short-circuit.
• Oleh karena itu, pada kondisi DC steady-state untai dapatdianggap sebagai sebuah untai resistif (hanya mengandungsumber dan resistor).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (3)
Contoh soal 7:
Carilah iL, vC1 dan vC2 pada untai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (4)
Jawab:
Pada saat DC steady-state, untai menjadi sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (5)
Jawab (cont.):
Untuk menyelesaikan soal ini, kita terapkan KCL pada node Adan B:
vA3
+vA − vB
6+
vA + 18− vB6
= 3 atau 2vA − vB = 0
vB12
+vB − vA
6+
vB − 18− vA6
= 0 atau − 4vA + 5vB = 36
Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, diperolehvA = 6 V dan vB = 12 V. Dari sini dapat diperoleh iL = 2 mA,vC1 = 8 V dan vC2 = 6 V.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (6)
Contoh soal 8:
Carilah i dan v pada untai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
DC Steady-State pada L & C (7)
Jawab:
Pada saat t = 0, tegangan pada kapasitor 0. Dari analisis DC,dapat diperoleh bahwa nilai akhir tegangan kapasitor adalah−2 V. Konstanta waktu untai ini adalah τ = 0.034 s (lihatContoh soal 6). Dari sini diperoleh
v = −2(1− e−1000t/34)u(t)V
i = Cdv
dt
= −(9× 10−6)(2× 103)
34e−1000t/34u(t)
= −0.53e−1000t/34u(t)mA
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (1)
• Jika sebuah sumber pada untai dinyalakan secaramendadak, atau jika amplitudo sebuah sumber berubahsecara mendadak, arus dan tegangan pada untai jugadapat berubah secara mendadak.
• Perubahan tegangan pada kapasitor membutuhkan arusberupa impulse.
• Perubahan arus pada induktor membutuhkan teganganberupa impulse.
• Tanpa adanya impulse tersebut tegangan pada kapasitoratau arus pada induktor akan tetap konstan.
• Keadaan induktor dan kapasitor setelah peristiwaswitching berlalu dapat dicari dari keadaan sebelum terjadiswitching.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (2)
Contoh soal 9:
Perhatikan untai berikut. Pada untai ini, switch ditutup padasaat t = 0. Carilah i dan v untuk semua t.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (3)
Jawab:
Pada t = 0− untai adalah sebagai berikut:
Dari untai ini, dapat diperoleh arus pada induktor adalahi(0−) = 2 A.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (4)
Jawab (cont.):
Setelah switch ditutup, untai adalah sebagai berikut:
Untuk t > 0, arus merupakan sebuah eksponensial denganτ = L/R = 1/30 s, dan dengan nilai awal i(0+) = i(0−) = 2 Adan nilai akhir 12/3 = 4 A.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (5)
Jawab (cont.):
Arus dan tegangan induktor adalah:
i = 2A v = 0, t < 0
i = 4− 2e−30t A v = Ldi
dt= 6e−30t V t > 0
Plot arus adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (6)
Jawab (cont.):
Plot tegangan adalah sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (7)
Contoh soal 10:
Carilah i dan v untuk t = 0− dan t = 0+ pada untai berikut,jika R = 5 Ω dan L = 10 mH dan
vs =
5V t < 0
5 sinωt V t > 0
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Transition at Switching Time (8)
Jawab:
Pada t = 0−, i(0−) = 5/5 = 1 A dan v(0−) = 0. Selama masatransisi antara t = 0− dan t = 0+, arus induktor konstankarena tidak ada diskontinuitas tegangan. Jadi,i(0−) = i(0+) = 1 A.Untuk mencari v(0+), kita gunakan KVL: vs = RI + v dankarena vs(0+) = 0, maka v(0+) = vs(0+)− Ri(0+) = −5 V.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (1)
• Pada bagian ini akan diturunkan respon untai orde 1terhadap pulsa kotak.
• Penurunan berlaku untuk untai RC dan RL dengan inputarus atau tegangan.
• Sebagai contoh, digunakan untai sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (2)
• Sumber memberikan pulsa kotak selama T detik denganamplitude V0.
• Untuk t < 0, v dan i nol. Selama ada pulsa kotak, kitaperoleh
v = V0(1− e−t/RC ) 0 < t < T (14a)
i =V0
Re−t/RC 0 < t < T (14b)
• Pada saat pulsa berakhir, untai menjadi untai tanpasumber dengan kapasitor memiliki tegangan awal
VT = V0(1− e−T/RC ) (14c)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (3)
• Dengan menggunakan Persamaan (3) dan (4) sambilmengingat pergeseran waktu sebesar T , kita peroleh:
v = VT e−(t−T )/RC t > T (15a)
i = −VT
Re−(t−T )/RC t > T (15b)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (4)
• Tegangan dan arus kapasitor digambarkan sebagai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (5)
Contoh soal 11:
Misalkan pada untai diatas R = 1 kΩ dan C = 1 µF, sertasumber tegangan merupakan pulsa dengan amplitude V0
selama selang waktu T . Carilah i dan v untuk:
a. V0 = 1 V dan T = 1 ms.
b. V0 = 10 V dan T = 0.1 ms.
c. V0 = 100 V dan T = 0.01 ms.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (6)
Jawab (a.):
Dalam kasus ini τ = 1 ms. Dengan menggunakan Persamaan(14) dan (15) diperoleh:Untuk 0 < t < 1:
v = (1− e−t), i = e−t , VT = (1− e−1) = 0.632V
Untuk t > 1:
v = 0.632e−(t−1) = 1.72e−t , i = −1.72e−t
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (7)
Jawab (b.):
Untuk 0 < t < 0.1:
v = 10(1− e−t), i = 10e−t , VT = 10(1− e−0.1) = 0.95V
Untuk t > 0.1:
v = 0.95e−(t−0.1) = 1.05e−t , i = −1.05e−t
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Respon terhadap Pulsa (8)
Jawab (c.):
Untuk 0 < t < 0.01:
v = 100(1− e−t) ≈ 100t, i = 100e−t ≈ 100(1− t),
VT = 100(1− e−0.01) = 0.995V
Untuk t > 0.01:
v = 0.995e−(t−0.01) = 1.01e−t , i = −1.01e−t
Pada kasus ini, kita gunakan pendekatan e−t = 1− t karenat 1. Kita lihat juga bahwa jika tegangan pemicu mendekatibentuk sebuah impulse, tegangan dan arus kapasitor mendekativ = e−tu(t) dan i = δ(t)− e−tu(t).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (1)
• Sebuah pulsa sempit dapat dimodelkan sebagai sebuahimpulse. Luasan impulse menunjukkan kekuatannya.
• Respon impulse merupakan alat penting dalam analisisuntai.
• Respon impulse dapat diturunkan dengan cara:• Mencari limit respon terhadap pulsa sempit (limit
approach).• Penurunan respon step.• Penyelesaian persamaan diferensial.
• Respon impulse biasanya dinyatakan sebagai h(t).
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (2)
Contoh soal 12:
Carilah limit i dan v pada untai soal sebelumnya, untuk sebuahtegangan berbentuk pulsa dengan luasan 1 jika lebar pulsamendekati 0.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (3)
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan respon pulsa padaPersamaan (14) dan (15) dengan V0 = 1/T kemudian mencarilimit T → 0. Dari Persamaan (14c) kita peroleh:
limT→0
VT = limT→0
(1− e−T/RC
)/T = 1/RC
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (4)
Jawab (cont.):
Dari Persamaan (15) kita peroleh:
hv = 0 dan hi = 0, t < 0
0 ≤ hv ≤1
RCdan hi =
1
Rδ(t), 0− < t < 0+
hv (t) =1
RCe−t/RC dan hi (t) = − 1
R2Ce−t/RC , t > 0
Sehingga
hv (t) =1
RCe−t/RCu(t)
hi (t) =1
Rδ(t)− 1
R2Ce−t/RCu(t)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (5)
Contoh soal 13:
Carilah respon impulse untai soal diatas, dengan cara mencariturunan respon unit step-nya.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (6)
Jawab:
Sebuah unit-impulse dapat dipandang sebagai turunan suatuunit-step. Respon step sebuah untai RC sudah diturunkan padaPersamaan (6) sebagai berikut:
v(t) = (1− e−t/RC )u(t) dan i(t) = (1/R)e−t/RCu(t)
Turunan v(t) dan i(t) adalah
hv (t) =1
RCe−t/RCu(t)
hi (t) =1
Rδ(t)− 1
R2Ce−t/RCu(t)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (7)
Contoh soal 14:
Carilah respon impulse hi (t), hv (t) dan hi1(t) pada untaiberikut dengan cara penurunan respon unit step.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (8)
Jawab:
Respon untai untuk fungsi step dengan amplitudo 9 sudahditurunkan pada contoh soal 5. Dengan cara mencari turunanrespon step tersebut dan memberi faktor penskalaan 1/9, kitaperoleh respon unit impulse sebagai berikut:
hi (t) =1
9
d
dt
[0.75
(1− e−800t
)u(t)
]=
200
3e−800tu(t)
hv (t) =1
9
d
dt
[3e−800tu(t)
]= −800
3e−800tu(t) +
1
3δ(t)
hi1(t) =1
9
d
dt
[1
4(3− e−800t)u(t)
]=
200
9e−800tu(t) +
1
18δ(t)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Impulse Response untai RC & RL (9)
Ringkasan respon untai RL dan RC untuk input step danimpulse disajikan pada Tabel 7-1 buku acuan.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Exponential Response untai RC & RL (1)
• Misalkan sebuah untai RL seri dengan sumbervs = V0e
stu(t) seperti pada gambar berikut:
• Untai dalam keadaan diam (tidak ada arus dan tegangan)untuk t < 0. Dengan menggunakan KVL, kita peroleh
Ri + Ldi
dt= V0e
stu(t) (16)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Exponential Response untai RC & RL (2)
• Untuk t > 0, solusi persamaan ini adalah:
i(t) = ih(t) + ip(t) dan i(0+) = 0 (17a)
• Bagian ih(t) adalah solusi jika tidak vs = 0, yang memilikibentuk:
ih(t) = Ae−Rt/L (17b)
• Bagian ip(t) harus memenuhi Persamaan (16), sehinggamemiliki bentuk:
ip(t) = I0est (17c)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Exponential Response untai RC & RL (3)
• Dengan mensubstitusikan ip ke Persamaan (16), diperolehI0 = V0/(R + Ls).
• Dengan memilih A = −V0/(R + Ls), syarat batasi(0+) = 0 dapat dipenuhi sehingga
i(t) =V0
R + Ls
(est − e−Rt/L
)u(t) (17d)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Exponential Response untai RC & RL (4)
• Terdapat kasus khusus jika sumber memiliki eksponensialyang sama dengan natural response (s = −R/L).
• Dalam kasus ini, ip(t) = I0te−Rt/L.
• Respon untai secara keseluruhan adalah
i(t) = ip(t) + ih(t) = (I0t + A)e−Rt/L
• Karena i(0−) = i(0+) = 0 maka A = 0 atau
i(t) = I0te−Rt/Lu(t), I0 = V0/L
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Sinusoid Response untai RC & RL (1)
• Misalkan sebuah untai RL seri dihubungkan dengansumber vs = V0 cosωt seperti pada gambar berikut:
• Dalam kasus ini kita peroleh:
Ri + Ldi
dt= V0(cosωt)u(t) (18)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Sinusoid Response untai RC & RL (2)
• Solusi persamaan tersebut adalah i(t) = ip(t) + ih(t),dengan:
ih(t) = Ae−Rt/L
ip(t) = I0 cos(ωt − θ)
• Dengan memasukkan ip ke Persamaan (18) kita peroleh:
I0 =V0√
R2 + L2ω2
θ = tan−1Lω
R
• Sehingga diperoleh:
i(t) = Ae−Rt/L + I0 cos(ωt − θ) t > 0
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Sinusoid Response untai RC & RL (3)
• Dari syarat batas i(0+) = 0, kita peroleh A = −I0 cos θ.Jadi kita peroleh:
i(t) = I0[cos(ωt − θ)− cos θ
(e−Rt/L
)]• Secara umum, suatu persamaan diferensial dengan bentuk
sebagai berikut:
dv
dt(t) + av(t) = f (t) (19)
memiliki forced response, vp(t), yang bergantung padaf (t).
• Pada tabel 7-2 buku referensi, disajikan beberapapasangan f (t) dan vp(t) yang sering dijumpai.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (1)
• Untai aktif yang menggunakan op-amp lebih tidak rentanterhadap efek pembebanan jika dihubungkan dengan untailain.
• Pada bagian ini akan dibahas beberapa buah untai aktiforde 1.
• Dalam semua untai berikut, diasumsikan op-amp yangdigunakan merupakan op-amp ideal.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (2)
Contoh soal 15 (HPF):
Perhatikan untai berikut. Pada untai ini, diasumsikan op-ampideal. Cari respon untai terhadap input step.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (3)
Jawab:
Terminal inverting op-amp memiliki tegangan 0 dan kapasitorjuga memiliki tegangan 0 pada t = 0+. Oleh karena itu, inputstep akan menghasilkan arus i yang meluruh menurut waktumelalui R1C (dengan arah dari kiri ke kanan, τ = R1C dan nilaiawal 1/R1):
i =1
R1e−t/(R1C)u(t)
Karena op-amp tidak menarik arus, semua arus mengalir ke R2
sehingga menghasilkan v2 = R2i . Jadi respon step untai adalah
v2 = −R2
R1e−t/(R1C)u(t)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (4)
Contoh soal 16:
Untuk untai pada soal sebelumnya, carilah persamaandiferensial yang menghubungkan v1 dan v2. Cari responunit-step dan bandingkan dengan hasil contoh soal 15.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (5)
Jawab:
Karena op-amp tidak menarik arus, arus yang mengalir melaluiC , R1 dan R2 dari kiri ke kanan adalah −v2/R2. Misalkan vAadalah tegangan pada node yang menghubungkan R1 dan C .Maka tegangan kapasitor adalah v1 − vA. Arus dan tegangankapasitor adalah
− v2R2
= Cd(v1 − vA)
dt
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (6)
Jawab (cont.):
Untuk mengeliminasi vA perhatikan bahwa bagian yang terdiriatas R1, R2 dan op-amp membentuk sebuah untai invertingdengan v2 = −(R2/R1)vA atau vA = −(R2/R1)v2. Jadi dapatdiperoleh
v2 + R1Cdv2dt
= −R2Cdv1dt
Untuk mendapatkan respon step, kita harus mencari solusipersamaan berikut:
v2 + R1Cdv2dt
=
−R2C t > 0
0 t < 0
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (7)
Jawab (cont.):
Solusi persamaan diatas adalah −R2C (1− e−t/(R1C)u(t).Respon step untai adalah turunan solusi ini terhadap waktu,atau
v2(t) = −R2
R1e−t/(R1C)u(t)
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (8)
Contoh soal 17 (Penggeser fase pasif):
Carilah hubungan v2 dan v1 pada untai berikut:
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (9)
Jawab:
Kita gunakan node D sebagai referensi. Dengan menggunakanKCL pada node A dan B kita peroleh:
CdvAdt
+(vA − v1)
R= 0
Cd(vB − v1)
R+
vBR
= 0
Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaanpertama dan karena v2 = vA − vB kita peroleh:
v2 + RCdv2dt
= v1 − RCdv1dt
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (10)
Contoh soal 18 (Penggeser fase aktif):
Tunjukkan bahwa hubungan v2 dan v1 pada untai dibawah inisama dengan hubungan pada soal sebelumnya.
Untai 1
I. Setyawan
Pendahuluan
C discharge
Teg. DCkapasitor
Source-free RL
Arus DCInduktor
FungsiEksponensial
RL & RCKompleks
DC tunak
Transition
Pulse Resp.
Impulse Resp.
ExponentialResp.
Sinusoid Resp.
Untai aktif
Untai Aktif Orde 1 (11)
Jawab:
Dengan menerapkan KCL pada terminal inverting (node A) dannon-inverting (node B) kita peroleh:
(vA − v1)
R1+
(vA − v2)
R1= 0
(vB − v1)
R+ C
dvBdt
= 0
Karena op-amp ideal, kita peroleh vA = vB . Dari persamaanKCL node A, kita peroleh vA = (v1 + v2)/2. Oleh karena itukita peroleh:
v2 + RCdv2dt
= v1 − RCdv1dt