Post on 29-Nov-2015
FUNGSI
•Relasi R dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang
mengawankan anggota A dengan anggota B.
•Fungsi dari A ke B adalah relasi dari A ke B dengan syarat
setiap anggota A mempunyai kawan tunggal di B.
•Contoh 1:
i. ii. iii.12
36
A Bf
12
12
36
36
AA BBf f
• Dari contoh di atas, i dan ii merupakan fungsi, sedangkan iii
bukan fungsi dari A ke B, karena ada anggota A, yaitu 1, yang
menentukan lebih dari satu nilai di B.
• Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f,g,h,F,H, dst.
Selanjutnya, bila f merupakan fungsi dari himpunan A ke
himpunan B, maka dituliskan:
:f A B
•Himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah
asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah
kawan fungsi f.
•Domain fungsi f ditulis dengan notasi
•Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A
dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis atau
fD
fR Im f
: ada (terdefinisi)fD x f x
,f fR x B y f x x D
• Contoh 2: Tentukan domain .
Penyelesaian:
Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak
nol. Jadi,
1
2f x
x
1: terdefinisi
2fD xx
: 2 0x x
: 2x x
2
Catatan: artinya “y merupakan nilai fungsi f di x.”
• Contoh 3:
Jika , maka tentukan:
a. b. c.
Penyelesaian:
a.
b.
c.
12f x x
x
1f 1f x 1f
x
y f x
1 1 1 22
1f x
x x xx
1 11 2 1 2 2
1 1f x x x
x x
11 2 1 2 1 3
1f
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
Diberikan fungsi .
• Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota
himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada
(onto function).
Dengan kata lain, f surjektif
:f A B
fR B
a1
a2
a3
b1
b2
A Bf
• Apabila setiap anggota himpunan B yang mempunyai kawan
di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau
fungsi 1-1 (into function).
• Apabila f merupakan fungsi surjektif sekaligus injektif, maka f
disebut fungsi bijektif.
a1
a2
b1
b2
b3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
A B
A B
f
f
Operasi Fungsi
Diberikan fungsi f dan g dengan domain berturut-turut dan
Didefinisikan:
1.
2.
3.
4.
fD
, f gf g x f x g x x D D
, ,ff x f x x D
. . , f gf g x f x g x x D D
, 0,
f xfx g x
g g x
: 0
0
f f g
g
f g
x D x D D g x
D D g x
gD
• Contoh 4:
Jika f dan g masing-masing dan ,
maka tentukan: f + g, f.g, dan f/g beserta domainnya!
Penyelesaian:
Karena dan , maka 1fD
g x x 1
1f x
x
1
1f g x x
x
1
. .1 1
xf g x x
x x
1 11
1
f xxg x x x
gD
1,0f
g
D
1f g fg f gD D D D
Fungsi Invers
Diberikan fungsi .
Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari B ke A.
Umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi.
Sebagai contoh, perhatikan gambar berikut.
:f A B
A B
f
Jika f fungsi bijektif maka f fungsi invers, dinotasikan dengan
merupakan fungsi dari ke A.
Perhatikan gambar berikut.
Jadi, dengan dan
fR
1f
1f y x y f x 1 ffD R 1 ff
R D
A B
f
1f
• Contoh 5:
Tentukan jika diketahui
a. b.
Penyelesaian:
a. b.
Jadi,
Jadi,
2
3 1
xf x
x
2 3f x x
1
2 3
2 3
3
2
y f x x
x y
yx f y
1 3
2
xf x
1
2
3 13 1 2
3 2
3 2
3 2
3 2
xy f x
xy x x
xy y x
xy x y
x y y
yx f y
y
1f
1
3 2
xf x
x
13
Contoh:
Tentukan 1f dan domainnya jika diberikan fungsi berikut:
2 5 , 0
15 , 0
x xf x
xx
Jawab:Untuk 0x , 2 5f x x maka
15 52 5
2 2
y xy x x f x
1
5: 0
2
: 5 0
: 5
f
xD x
x x
x x
14
Untuk 0x , 15f x
x maka
11 1 1 15 5 ( )
5 5y y x f x
x x y x
1
1: 0
5
: 5 0
: 5
fD x
x
x x
x x
Jadi, 1
5, 5
21
, 55
xx
f x
xx
Fungsi Komposisi
Definisi:
Fungsi komposisi dari f dan g , ditulis , didefinisikan
sebagai
dengan domain
f g
f g x f g x
:f g g fD x D g x D
Fungsi komposisi
z f g xx y = g(x)
g f
f g
f g
• Contoh 6:
Jika dan , maka tentukan fungsi-fungsi
berikut beserta domainnya
a. b. c. d.
Penyelesaian:
a.
b.
c.
d.
f g g f f f g g
2f x x 1g x x
21 1 , f gf g x f g x f x x D
2 2 1, g fg f x g f x g x x D
22 2 4 , f ff f x f f x f x x x D
1 1 1 2, g gg g x g g x g x x x D
18
Latihan soal:
1.Tentukan domain fungsi-fungsi berikut:
2
2
a. 1 b.10
1c. ln 1 d. ln 4 4
3 6
xf x x f x
x
g x x h x x xx
2.Tentukan fungsi invers dan domainnya dari fungsi berikut:
2 , 1
7 1, 1
1
x xf x x
xx
3.Jika 1
xf x
x
dan 24 1g x x , tentukan
, , ,f g g ff g g f D D