FUNGSI

•Relasi R dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang

mengawankan anggota A dengan anggota B.

•Fungsi dari A ke B adalah relasi dari A ke B dengan syarat

setiap anggota A mempunyai kawan tunggal di B.

•Contoh 1:

i. ii. iii.12

36

A Bf

12

12

36

36

AA BBf f

• Dari contoh di atas, i dan ii merupakan fungsi, sedangkan iii

bukan fungsi dari A ke B, karena ada anggota A, yaitu 1, yang

menentukan lebih dari satu nilai di B.

• Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f,g,h,F,H, dst.

Selanjutnya, bila f merupakan fungsi dari himpunan A ke

himpunan B, maka dituliskan:

:f A B

•Himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah

asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah

kawan fungsi f.

•Domain fungsi f ditulis dengan notasi

•Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A

dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis atau

fD

fR Im f

: ada (terdefinisi)fD x f x

,f fR x B y f x x D

• Contoh 2: Tentukan domain .

Penyelesaian:

Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak

nol. Jadi,

1

2f x

x

1: terdefinisi

2fD xx

: 2 0x x

: 2x x

2

Catatan: artinya “y merupakan nilai fungsi f di x.”

• Contoh 3:

Jika , maka tentukan:

a. b. c.

Penyelesaian:

a.

b.

c.

12f x x

x

1f 1f x 1f

x

y f x

1 1 1 22

1f x

x x xx

1 11 2 1 2 2

1 1f x x x

x x

11 2 1 2 1 3

1f

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Diberikan fungsi .

• Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota

himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada

(onto function).

Dengan kata lain, f surjektif

:f A B

fR B

a1

a2

a3

b1

b2

A Bf

• Apabila setiap anggota himpunan B yang mempunyai kawan

di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau

fungsi 1-1 (into function).

• Apabila f merupakan fungsi surjektif sekaligus injektif, maka f

disebut fungsi bijektif.

a1

a2

b1

b2

b3

a1

a2

a3

b1

b2

b3

A B

A B

f

f

Operasi Fungsi

Diberikan fungsi f dan g dengan domain berturut-turut dan

Didefinisikan:

1.

2.

3.

4.

fD

, f gf g x f x g x x D D

, ,ff x f x x D

. . , f gf g x f x g x x D D

, 0,

f xfx g x

g g x

: 0

0

f f g

g

f g

x D x D D g x

D D g x

gD

• Contoh 4:

Jika f dan g masing-masing dan ,

maka tentukan: f + g, f.g, dan f/g beserta domainnya!

Penyelesaian:

Karena dan , maka 1fD

g x x 1

1f x

x

1

1f g x x

x

1

. .1 1

xf g x x

x x

1 11

1

f xxg x x x

gD

1,0f

g

D

1f g fg f gD D D D

Fungsi Invers

Diberikan fungsi .

Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari B ke A.

Umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi.

Sebagai contoh, perhatikan gambar berikut.

:f A B

A B

f

Jika f fungsi bijektif maka f fungsi invers, dinotasikan dengan

merupakan fungsi dari ke A.

Perhatikan gambar berikut.

Jadi, dengan dan

fR

1f

1f y x y f x 1 ffD R 1 ff

R D

A B

f

1f

• Contoh 5:

Tentukan jika diketahui

a. b.

Penyelesaian:

a. b.

Jadi,

Jadi,

2

3 1

xf x

x

2 3f x x

1

2 3

2 3

3

2

y f x x

x y

yx f y

1 3

2

xf x

1

2

3 13 1 2

3 2

3 2

3 2

3 2

xy f x

xy x x

xy y x

xy x y

x y y

yx f y

y

1f

1

3 2

xf x

x

13

Contoh:

Tentukan 1f dan domainnya jika diberikan fungsi berikut:

2 5 , 0

15 , 0

x xf x

xx

Jawab:Untuk 0x , 2 5f x x maka

15 52 5

2 2

y xy x x f x

1

5: 0

2

: 5 0

: 5

f

xD x

x x

x x

14

Untuk 0x , 15f x

x maka

11 1 1 15 5 ( )

5 5y y x f x

x x y x

1

1: 0

5

: 5 0

: 5

fD x

x

x x

x x

Jadi, 1

5, 5

21

, 55

xx

f x

xx

Fungsi Komposisi

Definisi:

Fungsi komposisi dari f dan g , ditulis , didefinisikan

sebagai

dengan domain

f g

f g x f g x

:f g g fD x D g x D

Fungsi komposisi

z f g xx y = g(x)

g f

f g

f g

• Contoh 6:

Jika dan , maka tentukan fungsi-fungsi

berikut beserta domainnya

a. b. c. d.

Penyelesaian:

a.

b.

c.

d.

f g g f f f g g

2f x x 1g x x

21 1 , f gf g x f g x f x x D

2 2 1, g fg f x g f x g x x D

22 2 4 , f ff f x f f x f x x x D

1 1 1 2, g gg g x g g x g x x x D

18

Latihan soal:

1.Tentukan domain fungsi-fungsi berikut:

2

2

a. 1 b.10

1c. ln 1 d. ln 4 4

3 6

xf x x f x

x

g x x h x x xx

2.Tentukan fungsi invers dan domainnya dari fungsi berikut:

2 , 1

7 1, 1

1

x xf x x

xx

3.Jika 1

xf x

x

dan 24 1g x x , tentukan

, , ,f g g ff g g f D D