Post on 11-Dec-2014
description
BAB 5
ANALISIS REGRESI LINEAR BERGANDA : PERSOALAN ESTIMASI
Dalam bab 3 dan 4 telah dibahas hubungan atau korelasi antara dua variabel (antara X
dan Y) dengan menggunakan garis Regres linear sederhana (sample linear regression) untuk
meramalkan nilai variabel tidak bebas Y kalau nilai X sudah diketahui, yaitu X=X0.
Dalam praktiknya, hubungan atau korelasi antara dua variabel melalui regresi sederhana
untuk meramalkan nilai Y dengan X yang sudah diketahui nilainya tidak cukup, sebab selain
X, masih da variabel lainnya. Misalnya, kalau Y=konsumsi, variabel yang mempengaruhi,
selain pupuk, juga bibit/benih, luas sawah yang ditanami, curah hujan, petani padi, hama dan
lain sebagainya. Kalau Y=hasil penjualan, variabel yang mempengaruhi, selain biaya
advertensi, juga tingkat pendapatan masyarakat, tingkat harga, selera, dan lain sebagainya.
Apabila dalam persamaan garis regresi tercakup lebih dari dua variabel termasuk
variabel tidak bebas Y), maka regresi ini disebut garis regresi ini disebut garis regresi linear
berganda (multiple linear regression). Dalam regresi linear berganda, variabel tidak bebas Y
tergantung dua atau lebih variabel.
Ada beberapa cara untuk menuliskan persamaan regresi linear berganda yang
mencakup dua atau lebih variabel, yaitu sebagai berikut.
Populasi :Yi= A + B1X1i + B2X2i + ... + BkXki + i (5.1)
Atau : Yi= B1+ B2X2i + B3X3i + ... + BkXki + i (5.2)
Sampel : Yi= a + b1X1i + b2X2i + ... + bkXki + ei (5.3)
atau : Yi= b1 + b2X2i + b3X3i + ... + bkXki + ei (5.4)
Untuk selanjutnya, dalam buku ini akan dipergunakan (5.2) untuk populasi (regresi
sebenarnya) dan (5.4) untuk sampel (regresi pewrkiraan). Baik (5.2) maupun (5.4) masing-
masing terdiri dari 1 variabel tidak bebas Y dan (k – 1) variabel bebas X,l yaitu : X2,X3, ..., Xk.
Jadi, semuanya ada 1 + (k – 1) = k variable. Untuk model dengan 3 variabel, berarti k = 3,
satu variabel tidak bebas Y dan dua variabel bebas X2 dan X3.
Y = B1 + B2X2 + B3X3 + (5.5)
Sedangkan untuk sampel ditulis sebagai berikut.
Yi = b1 + b2X2i + b3X3i + ei (5.6)
Y i = b1 b2X2i + b3X3i, I = 1, 2, …,n
ei = Yi – Y i = perkiraan kesalahan pengganggu.
Selanjutnya, untuk menjelaskan pengertian masing-masing koefisien regresi parsial (partial
coefficient of regression), regresi (5.2) dan (5.40 ditulis sebagai berikut.
Populasi : Yi = B1.23 + B12.3X2i + B13.2X3i + I (5.7)
Sampel : Yi = b1.23 + b12.3X12.3+ b13.2X3i + ei (5.8)
: Y i = b1.23 + b12.3X2i + b13.2X3i
1
Angka-angka yang tercantum pada setiap koefisien disebut indeks atau subscript, angka satu
menunjukan variabel Yi atau X ii (bisa juga Yi ditulis Xii, sebagai variabel pertama), angka dua
dan tiga menunjukan variabel X2 dan X3.
Koefesien b1.23 pemeriksa B1.23 disebut intercept, yaitu titik potong antara garis regresi dengan
sumbu tegak Y. Arti sesungguhnya sebetulnya merupakan rata-rata pengaruh (mean or
average effect) dari berbagai variabel atau faktor yang mempengaruhi Y, tetapi tidak
dimasukan dalam persamaan regresi. Interpretasi yang paling mudah ialah bahwa
b1.23merupakan nilai perkiraan rata-rata Y kalau X2 = X3 = 0, sebab Y i = b1.23 + b12.3X2 + b13.2X3,
Yi = b1.23. jadi, b1.23merupakan nilai perkiraan/ramalan Y kalau X2 = X3 = 0 (b1.23 dibaca b satu,
titik, dua tiga).
b12.3 dan b13.2 pemeriksa B12.3 dan B13.2 disebut koefisien regresi parsial (partial coefficient of
regression). b12.3 dan b13.2 dibaca b satu dua, titik, tiga dan b satu tiga,titik, dua. Didalam
analisis ekonomi, sering kali kita membuat asumsi/anggapan bahwa suatu faktor variabel
tetap, misalnya kita akan melihat pengaruh biaya advertensi (X3) terhadap hasil penjualan (Y2)
kalau pendapatan (X3) tetap, atau pengaruh harga terhadap jumlah permintaan kalau
pendapatan masyarakat konstan/tetap tidak berubah.
b12.3 menunjukan besarnya pengaruh X2 terhadap Y kalau X3 tetap.
B13.2menunjukan besarnya pengaruh X3 terhadap Y kalau X2 tetap.
Untuk 4 variabel, notasinya menjadi sebagai berikut:
Y i = b1.234 + b12.34X2 + b13.24X3 + b14.23X4
Misalnya:
Y = hasil penjualan (perkiraan atau ramalan)
X2 = biaya advertensi
X3 = pendapatan
X4 = harga, atau
Y = produksi padi (perkiraan atau ramalan)
X2 = pupuk
X3 = bibit
X4 = luas sawah
Notasi ini diciptakan oleh G. U. Yale12), yang kelihatannya secara sepintas terlalu ruwet,
tetapi sangat bermanfaat. Notasi ini sangat jelas menunjukan mana variabel yang tidak bebas
(selalu diberi symbol angka 1, merupakan variabel yang pertama), kemudian mana variabel
bebas yang dimulai dengan angka 2, 3, ..., dan seterusnya. Urutan angka-angka ini tidak
menunjukan pentingnya suatu variabel, fungsinya hanya sekedar untuk membedakan variabel
yang satu dengan yang lainnya.
Apabila kita perhatikan, setiap variabel tercantum dua indeks, yaitu X1i, X2i
,X3i’ dibaca Y
satu 1, X dua I, X tiga I,. indeks pertama menunjukan jenis variabel (hasil penjualan,
konsumsi, pendapatan nasional, produksi padi, dan lain sebagainya), sedangkan indeks yang
2
kedua menunjukan nilai observasi yang keberapa dari suatu variabel tertentu. Indeks i
menunjukan observasi ke i, yaitu data hasil pencatatan/penelitian dari suatu jenis variabel
tertentu. Indeks i bergerak/mempunyai nilai 1 atau satu sampai dengan n (n = banyaknya
elemen sampel, yaitu i = 1, 2, 3,..,n. kalau n = 25, I = 1, 2, 3,..., 25).
Contoh: Y11’ Y12’ Y13’ dibaca Y satu satu, Y satu dua, Y satu tiga, artinya nilai observasi Y
yang pertama, kedua dan ketiga.
X24’ X25’ X29 dibaca X dua empat, X dua lima, X dua Sembilan, artinya nilai
observasi X2 yang keempat, kelima, dan kesembilan.
X33’X37’X38 dibaca X tiga tiga, X tiga tujuh, X tiga delapan, artinya nilai observasi
X3 yang ketiga, ketujuh dan kedelapan.
Untuk regresi dengan tiga variabel (X1, X2,dan X3).
Seiap koefisien tercantum tiga angka sebagai indeks. Angka disebelah kiri tanda titik
disebut indeks utama (primary subscript), sedangkan yang disebelah kanan tanda titik disebut
indeks sekunder (secondary subscript).
Indeks utama yang pertama selalu menunjukan variabel tidak bebas Y, sedangkan
yang kedua menunjukan variabel bebas untuk koefisien regresi terkait, sedangkan indeks
sekunder menunjukan variabel-variabel bebas mana yang tercakup dalam model.
Conoth: b12.3 = besarnya pengaruh X2 terhadap Y kalau X3 tetap
b13.2 = besarnya pengaruh X3 terhadap Y kalau X2 tetap
b12.345 = besarnya pengaruh X2 terhadap Y kalau X3, X4, dan X5 tetap
b14.235 = besarnya pengaruh X4 terhadap Y,kalau X2,X3, dan X5 tetap
b15.234 = besar pengaruhnya X5 terhadap Y,kalau X2,X3, dan X4 tetap
5.1.1 Asumsi dalam Model Regresi Berganda
Untuk model regresi linear 3 variabel atau lebih, kita pergunakan asumsi-asumsi sebagai
berikut.
(1). E(i) = untuk setiap I, I = 1, 2,…,n. (5.9)
Artinya, rata-rata kesalahan pengganggu nol.
(2). Kov(i,j) = 0, I j (5.10)
Artinya, kovarin (i, j) nol. Dengan perkataan lain, tidak ada korelasi antara
kesalahan pengganggu yang satu dengan yang lainnya.
3
(3). Var(i) = σ 2 setiap i, i = 1, 2,…, n (5.11)
Artinya, setiap kesalahan pengganggu mempunyai varian yang sama.
(4). kov(i, X2i) = kov(i, X3i) = 0 (5.12)
Artinya, kovarian setiap kesalahan pengganggu dengan setiap variabel bebas nol.
Dengan perkataan lain, tidak ada korelasi antara kesalahan pengganggu dengan
setiap variabel bebas yang tercakup dalam persamaan regresi linear berganda.
(5). Tidak ada multicollinearity, yang berarti tidak ada hubungan linear yang ekstra antara
variabel-variabel bebas. Dalam hal 3 variabel, tidak ada korelasi antara X2 dan X3. Dengan
menggunakan bahasa matriks, tidak ada multicollinearity, berarti berlaku hubungan
berikut.
K1X2i + k2X3i = 0 (5.13)
Dimana k1 = k2 = 0. Dalam hal ini X2i dan X3i dikatakan linearly independent13) kalau
hubungan (5.13) berlaku, maka X2i dan X3i merupakan vector yang mencakup seluruh
observasi.
Persoalan kolinearitas ganda atau multicollinearity akan dibahas dalam buku jilid II,
sebab sudah termasuk penyimpangan asumsi statistika yang klasik mengenai regresi
linear. Walaupun demikaian, asumsi tidak adanya multicollinearity sangat mudah
dipahami, Misalkan dalam persamaan (5.7); Y, X2, dan X3 masing-masing menunjukan
konsumsi, pendapatan dan kekayaan. Dengan memasukan variabel pendapatan (X2) dan
kekayaan (X3) kedalam p[ersamaan regresi linear untuk meramalkan konsumsi (Y), teori
ekonomi menganggap bahwa kedua variabel tersebut mempunyai pengaruh yang bebas
(independent influence) terhadap konsumsi, ini berarti tidak ada hubungan atau korelasi
antara pengaruh pendapatan terhadap konsumsi dn pengaruh kekayaan terhadap
konsumsi. Kalau memang jelas X2 dan X3 ada hubungan linear yang eksak, maka cukup
satu variabel saja yang dimasukan dalam persamaan regresi linear berganda, tidak perlu
kedua duannya.
Skali lagi ditegaskan disini, bahwa persoalan multicollinearity akan dibahas secara
mendalam dalam buku jilid II, termasuk jalan keluarnya kalau memang terjadi
multicollinearity.
5.2 Interpretasi Persamaan Regresi Berganda, Arti, dan Cara Estimasi Koefisien
Regresi Parsial serta Variannya.
4
Perhatikan persamaan (5.7) berikut.
Yi = B1.23 + B12.3X2i + B13.2X3i + i
Apabila kita mengambil nilai harapan bersyarat (conaitional expectation) terhadap
Y, maka oleh karena E(i) = 0, kita peroleh hasil berikut.
E(Yi/X2,X3) = B1.23 + B12.3X2 + B13.2X3 (5.14)
Persamaan (5.14) merupakan rata-rata atau nilai harapan bersyarat Y dengan X2 dan
X3 yang nilainya diketahui (given). Jadi, analisis regrasi menghasilkan nilai rata-rata atau
nilai harapan bersyarat Y kalau X2 dan X3 nilainya diketahui. Nilai Y ini sangat
tergantung kepada nilai X2 dan X3 dan disebut rata-rata bersyarat oleh karena nilainya
akan berbeda, tergantung syaratnya. Kalau nilai X2 dan X3 berubah, nilai Y dengan
sendirinya akan bertambah. Bandingkan dengan hubungan dua variabel dalam bab 4,
E(Y0/X0) = A + Bx0, nilai E(Y0/X0) sangat tergantung kepada nilai X = X0.
5.2.1 Arti Koefisien Regresi Parsial
Arti koefisien regresi parsial adalah sebagai berikut. B mengukur perubahan rata-rata
atau nilai harapan Y, yaitu E(Y/X2,X3), kalau X2 berubah sebesar satu satuan (unit),
dimana X2 berubah satu satuan, diman X3 konstan. B13.2 mengukur besarnya perubahan Y
kalau X3 berubah sebesar satu satuan, diman X2 konstan. Dengan menggunakan bahasa
kalkulus B12.3 dan B13.2 merupakan turunan parsial E(Y/X2,X3) terhadap X2 dan X3.
Misalnya, Y = output, X2 = tenaga kerja (labour), X3 = modal (capital). Kita anggap
bahwa X2 dan X3 sangat diperlukan untuk menghasilkan output Y dan proporsinya yang
masing-masing dipergunakan untuk maksud tersebut dapat berubah-ubah (berbeda).
Misalkan, sekarang kita menaikan tenaga kerja satu satuan, maka akan terjadi
kenaikan pada Y (disebut the gross marginal product of labouri). Dapatkah kita
memisahkan pengaruh tenaga kerja (X2) terhadap output (Y) dari pengaruh faktor lain?
Kalau tidak, seolah-olah kenaikan Y hanya dimonopoli oleh X2, padahal X3 terhadap Y,
kita harus mengontrol pengaruh X3. Juga untuk menghitung andil tenaga kerja (X2)
terhadap Y, kita harus mengontrol pengaruh X2.
Bagaimana cara mengontrol pengaruh suatu variabel kalau akan dihitung andil suatu
variabel terhadap kenaikan Y? seperti contoh, kita akan mengontrol pengaruh linear
modal (X3) didalam mengukur pengaruh (X2) terhadap Y kalau X2 berubah (naik) satu
satuan. Caranya sebagai berikut.
Tahap 1 : Buat regresi Y terhadap X3 saja, sebagai berikut.
Yi = b1.3 + b13X3i + wi (5.15)
5
Persamaan (5.15) regresi linear sederhana, wi = kesalahan pengganggu.
Tahap 2 : Buat regresi X2 terhadap X3 saja, sebagai berikut.
X2i = b2.3 – b23X3i + vi (5.16)
Dimana vi = kesalahan pengganggu.
Sekarang wi = Yi – b1.3 – b13X3i
wi = Yi – Y I’ Y i = b1.3 + b13X3i
Dan
V1 = X2i - b2.3 – b23 X3i
V1 = X2i - X 2i’ X 2i = b2.3 + b23 X3i
Dimana Y i dan X 2i merupakan nilai perkiraan / ramalan dari regresi (5.15 dan 5.16).
Nilai Wi mewakili nilai Yi setelah dibebaskan dari pengaruh linier dari X3i’ artinya Wi
adalah nilai Yi yang sudah bebas dari pengaruh X3i . demikian pula dengan Vi’ yang
merupakan nilai X2i yang sudah bebas dari pengaruh X3i . Kemudian kita terus lanjutkan
ke tahap 3 sebagai berikut.
Tahap 3 : Buat regresi wi terhadap vi sebagai berikut.
Wi = a0 + a1 vi + zi
Dimana zi = kesalahan pengganggu.
Di sini a1 merupakan perkiraan besarnya pengaruh X2 terhadap Y (the net
marginal product of labor ) atau koefisien regresi ( koefesien arah ) dari Y
terhadap X2’ yaitu merupakan perkiraan dari B12.3.
Di dalam praktiknya, kita langsung menghitungnya berdasarkan rumus, tahapan-
tahapan tersebut hanya sekedar ilustrasi untuk dasar berpikir logis. Untuk menghitung
pengaruh X2’ masing-masing harus dubebaskan dari pengaruh X3. Rumus yang dipergunakan
untuk menghitung koefesien regresi parsial sudah memperhitungkan semua pertimbangan
diatas tersebut.
5.2.2. Cara Estimasi Koefisien Regresi Parsial
Ada dua cara untuk memperkirakan koefisien regresi parsial, yaitu dengan metode
kuadrat terkecil biasa (ordinary least squere=OSL) dan maximum likelihood method (ML).
Perhatikan persamaan berikut.
6
Y = b1.23+ b12.3X2 + b13.2X3 + ei
Metode kuadrat terkecil biasa terdiri dari pemilihan nilai parameter yang tidak
diketahui, sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat kesalahan pengganggu minimum
(terkecil). Atau dikemnkakanb secara sederhana cara menghitung b1.23’ b12.3’ dan b13.2 sebagai
perkiraan parameter B1.23’ B12.3’ dan B13.2 sedemikian rupa sehingga ∑ ei2= minimum.
Caranya ialah dengan jalan menurunkan parsial dari ∑ ei2 berturut-turut terhadap b1.23’
b12.3’ dan b13.2’ kemudian menyamakan dengan nol sebagai berikut.
∂∑ e i2
∂ b1.23
=2∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i ) (−1 )=0
∂∑ e i2
∂ b12.3
=2∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i ) (−X2 i )=0
∂∑ e i2
∂ b13.2
=2∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i ) (−X3 i )=0
Setelah disederhanakan, dapat diperoleh persamaan normal sebagai berikut.
nb1.23+b12.3∑ X2 i+¿b13.2∑ X3 i=∑Y i ¿
b1.23∑ X 2i+b12.3∑ X2i2 +b13.2∑ X2 i X3 i=¿∑ X2 iY i ¿
b1.23∑ X 3i+b12.3∑ X3 i X 2i+b13.2∑ X 3i2 =¿∑ X3 i Y i¿
Dari (5.19), kalau kita bagi n, kita peroleh rumus b1.23 sebagai berikut.
b1.23+b12.3 X2+b13.2 X3=Y
b1.23=Y−b12.3 X2−b13.2 X3
b12.3 dan b13.2 dapat dihitung berdasarkan rumus berikut14).
b12.3=(∑ x2i y i ) (∑ x3 i
2 )−(∑ x3 i y i ) (∑ x2 i x3 i )(∑ x2 i
2 ) (∑ x3 i2 )−(∑ x2 i x3 i )
2
b13.2=(∑ x3 i y i ) (∑ x2 i
2 )−(∑ x2i y i ) (∑ x2 i x3 i )(∑ x2 i
2 ) (∑ x3 i2 )−(∑ x2 i x3 i )
2
Di mana x2i = X2i - X2 , X 3 i=X3 i−X3 , y i=Y i−Y
7
∑ x2 i
2=∑ X
2 i
2−
(∑ X2 i )2
n, ∑ x
2 iy i=∑ X
2 iY i−∑ X
2i∑ Yi/n
∑ x3 i
2=∑ X
3 i
2−
(∑ X 3i )2
n, ∑ x
3 iy i=∑ X
3 iY i−∑ X
3i∑Yi/n
∑ yi
2=∑ Y
i
2−
(∑Y i )2
n ∑ x
2 ix3 i=∑ X
2 iX 3i−∑ X
2 i∑ X3 i/n
Uraian lebih lanjut mengapa a1 = b12.3
a1=∑ (W i−W ) (V i−V )
∑ (V i−V )2
¿∑W 1V 1
∑ V 1
, sebab ∑W 1 = ∑V 1 = 0, jadi W = V = 0
Perhatikan persamaan (5,15) dan (5,16)!
Karena W = V = 0, maka
y1 = b13 X3 i+W i dan X2 i = b23 X3 i+V i
Dimana y i=Y i+Y , x2 i=X2 i+X2 i , dan x3 i=X3 i+X3
w i= y i−b13 x3 i dan V i=x2 i−b23 x3 i,
Dimasukan dalam a1
a1 = ∑ ( y i−b13 x3 i )(x2i−b23 x3 i)
∑ (x¿¿2 i−b23 x3 i)2¿
= ∑ x2i y i−b23∑ x3 i y i−¿b13∑ x2 i+b13 b23∑ x3 i
2
∑ x3 i2 +b23
2 ∑ x3 i2 −2b23∑ x2 i x3 i
¿
= Pembilangpenyebut
Ingat !
b23 = ∑ x2i x3i
∑ x3 i2
b13 = ∑ x3i y i
∑ x3 i2 , sekarang perhatikan!
b13∑ x2 i x3 i = ∑ x3i y i
∑ x3 i2 ∑ x2 i x3 i
b13b23∑ x3i2 =
∑ x3i y i
∑ x3 i2
∑ x2i x3i
∑ x3 i2 ∑ x3 i
2
Bagian pembilang dari a1
8
∑ x2 i y i−∑ x2 i x3 i∑ x3i y i
∑ x3 i2 −¿
∑ x3i y i∑ x2 i x3 i
∑ x3 i2 +
∑ x3 i y i∑ x2 i x3 i
∑ x3 i2
= ¿¿
Bagian penyebut dari a1
∑ x2 i2 +¿¿¿
= (∑ x2 i2 ) (∑ x3 i
2 )−¿¿¿
a1 = Pembilangpenyebut
= (∑ x2 i y i ) (∑ x3 i
2 )−(∑ x3 i yi ) (∑ x2i x3i )(∑ x2i
2 ) (∑ x3 i2 )−(∑ x2 i x3 i )
2
Jadi, memang benar a1= b1.23
5.2.3 Varian don Standard Error Koefisien Regresi Persial
Begitu varian koefisien regresi parsial dihitung, standard error-nya segera dapat
diketahui. yaitu dengan jalan mengambil akamya. Standard errorini sangat penting,
karena dapat dipergunakan untuk menguji hipotesis dan membuat perkiraan interval
koefisien regresi parsial. Rumus tentang varian dan standard error lebih mudah
diterangkan dengan menggunakan marriks, yang akan dijelaskan dalam bab terakhir
dalam buku jilid I ini. Untuk sementara, pernbaca dianjurkan untuk menggunakan
rumus berikut.
var (b12.3)=σ2 ∑ x3 i2
(∑ x2 i2 ) (∑ x3 i
2 )−(∑ x2 i x3 i )2 (5.25)
σ b12.3=√var (b12.3 )= standar error b12.3 (5.26)
var (b13.2 )=σ2 ∑ x2 i2
(∑ x2 i2 ) (∑ x3 i
2 )−(∑ x2 i x3 i )2 (5.27)
σ b13.2=√var (b13.2)= standar error b13.2 (5.28)
Karena σ 2 = varian kesalahan pengganggu, dan dalarn praktiknya tidak pernah diketahui,
maka diperkirakan dengan Se2sebagai berikut.
(5.29)
Pada umumnya, kalau persamaan garis regresi memuat 3 variabel (terrnasuk variabel
tidak bebas Y), maka:
(5.30)
Untuk selanjutnya, lebih baik kalau ∑ ei2 dihitung berdasarkan rumus berikut.
(5.31)
Uraian lebih lanjut tentan persamaan (5.31): \
Se2=∑ e i
2
n−3
∑ ei2=∑ y i
2−b12.3∑ x2 i y i−¿b13.2∑ x3 i yi ¿
Se2=∑ e i
2
n−k
9
Y i=b1.23+b12.3 X2 i+b13.2 X3. i+e i¿¿
e i=Y i−b1.23−b12.3 X 2i+b13.2 X 3iatau
e i=Y i−(Y−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i )−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i
=(Y i−Y )−b12.3 ( X2 i−X2 )−b13.2 (X3 i−X 3 )e i=Y i−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i
∑ ei2=∑ ei . ei
=∑ ei ( y i−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i )
=∑ ei y i−b12.3∑ e iX2 i−b13.2∑ e iX
3 i
=∑ ei Y i , seb ab∑ e iX2i=∑ e iX
3 i=0
Sekarang,∑ ei Y i=∑ y i e i=∑ y i ( y i−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i)
Jadi,∑ ei2=∑ y i
2−b12.3∑ x2 i y i−¿b13.2∑ x3 i yi ¿ (terbukti)
Sifat-Sifat yang Dimiliki Pemerkira Berdasarkan Kuadrat Terkecil.
Beberapa sifat yang dimiliki oleh pemeriksa berdasarkan metode kuadrat terkecil adalah
sebagai berikut:
(1) Seperti halnya dengan garis regresi linear sederhana yang melalui koordinat (X , Y )
berdasarkan persamaan Y=a+b Xdalam dua dimensi, maka garis regresi linear
berganda juga melalui titik koordinat dalam tiga dimensi (X 2 , X3 , Y )berdasarkan
persamaan Y=b1.23+b12.3 X2−b13.2 X3
(2 ) Rata-rata perkiraan Y, yaitu Y sarna dengan rata-rata Y, yaitu Y , maksudnya Y=Y
.
Coba perhatikan hal berikut!
Y=b1.23+b12.3 X2 i−b13.2 X 3i
¿ (Y −b12.3 X2−−b13.2 X 3 )+b12.3 X2 i−b13.2 X3 i
¿Y +b12.3 ( X2i−X2 )+b13.2 (X 3i−X3 )
Y=Y +b12.3 X2 i+b13.2 X3 i, jumlahkan
∑ Y i=n Y +¿b12.3 X2 i−b13.2 X 3i ¿, bagi n
Y=Y , sebab ∑ X2 i=¿∑ X3 i=¿0¿¿ , jadi Y=Y
10
y i=Y +b12.3 X2 i+b13.2 X3 i, y i=Y i−Y
Dalam bentuk deviasi terhadap rata-rata, Y i dapat ditulis:
y i= y i+ei=b12.3 x2 i+b13.2 x3 i+e i
(3) ∑ ei=0, jadie=1n∑ ei=0
∑ ei=∑ (Y i−Y i )=∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i )
= ∑ (Y i−Y +b12.3 X2−b13.2 X3−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i )
= ∑ yi+b12.3∑ X2 i+b13.2 X3 i
∑ ei=0
(4) Kesalahan pengganggu e i tidak berkorelasi dengan perkiraan Y i yaitu Y i, artinya :
∑ ei Y i=0
(5) Kesalahan pengganggu e i tidak berkorelasi dengan variabel bebas X2 i dan X3 i, yaitu
∑ ei X2 i=∑ ei X3 i=0
(6) Seperti halnya dalam bab 4, untuk keperluan pengujian hipotesis, kita membuat asumsi
bahwa ε i mengikuti distribusi normal dengan rata-rata nol dan varian σ 2. Dengan
asumsi ini maka pemerkira b12.3 ,b13.2, b1.23 juga mengikuti distribusi normal dengan rata-
rata B12.3 ,B13.2, B1.23, dan varian masing-masing.
Coba perhatikan b12.3=Y−b12.3 X−b13.2 X3 sebagai fungsi Y, padahal Y fungsi e i. Oleh
karena e i mengikuti distribusi normal, maka dengan sendirinya b1.23 juga mengikuti
distribusi normal.
Baik b12.3 danb13.2 juga fungsi Y yang mengikuti dsitribusi normal, maka dengan
sendirinya juga normal, karena setiap fungsi linear distribusi normal akan normal juga.
Hal ini sangat berguna untuk pengujian hipotesis.
(7) Mengikuti logika dalam bab 4, dengan menggunakan asumsi normal, bisa ditunjukkan
bahwa (n-3) Se2/σ 2 akan mengikuti distribusi khai-kuadrat dengan derajat kebebasan (n-3).
. Hal ini sangat berguna untuk pengujian hipotesis.
(8) Baik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil maupun maximum likelihood method,
kita akan mendapat pemerkira koefisien regresi yang sama, berapa pun jumlah variabel
yang dicakupnya. Akan tetapi, tidak akan berlaku bagi pemerkira Se2=∑ e1
2/ n, tanpa
memperhatikan banyaknya variabel yang dicakup dalam garis regresi. Sedangkan dengan
metode kuadrat terkecil, hal ini diperhitungkan, misalnya untuk hubungan 2 variabel, 3
variabel, dan k variabel, pemerkiraσ 2 masing-masing menjadi ∑ e12/(n-2), ∑ e1
2/ (n-3),
∑ e12/(n-k). Metode kuadrat terkecil memperhatikan derajat kebebasan (degrees of
freedom), sedangkan metode ML tidak.
11
5.3 Koefisien Determinasi dan Korelasi Berganda
Dalam hal dua variabel, Y dan X, koefisien (r2) mengukur tingkat
ketepatan/kecocokan (goodness of fit) dari regresi linear sederhana, yaitu merupakan
proporsi/ presentase sumbangan X variasi (terhadap naik turunnya) Y. Pengertian
tentang koefisien determinasi (r¿¿2)¿ dapat diperluas untuk regresi linear berganda
yang mencakup lebih dari dua variabel. Jadi, dalam hubungan 3 variabel, regresi Y
terhadap X2 danX3 , ingin diketahui berapa besarnya proporsi (persentase) sumbangan
X2 danX3 terhadap variasi (terhadap naik turunnya) Y secara bersama-sama.
Besarnya proporsi persentase sumbangan ini disebut koefisien determinasi berganda,
dengan simbol R2.
Uraian tentang R2 sama saja seperti uraian r2. Perhatikan persamaan berikut!
(5.32)
Dimana Yi = b1.23 + b12.3X2i + b13.2X3i merupakan perkiraan yang dihitung dari regresi linear
berganda dan juga merupakan pemerkira rata-rata Y, dengan syarat X2, dan X3, yaitu
E(Y/X2,X3). Selanjutnya, perhatikan perubahan yang terjadi kalau masing-masing variabel
dinyatakan dalam deviasi (diukur dari rata-ratanya, dengan simbol huruf latin kecil y i,x2i, dan
x3i, dimana yi = Yi - Y , x2i = X2i – X 2, x3i = X3i - X 3).
(1) Yi = b1.23 + b12.3 X2i+ b13.2X3i + e, jumlahkan
∑Yi = nb1.23 = b12.3∑X2i + b13.2∑X3i + ∑ei, bagi n
(2) Y = b1.23 + b12.3 X 2 + b13.2X 3 + e, (1) – (2)
Yi - Y = b12.3 (X2i - X 2) + b13.2 (X3i - X 3) + ei - e
yi = b12,3x2i + b13.2x3i + ei
Jadi, yi = y i + ei (5.33)
di mana y b12.3x2i + b13.2 x3i
sekarang persamaan (5.33) dkuadratkan kemudian dijumlahkan :
∑y i2 = ∑( y i + ei)2
= ∑( y i2 + 2 y iei + e i
2)
∑ y i2 = ∑ y i
2 + ∑e i2, sebab 2 y iei = 0 (5.34)
Dengan perkataan lain, persamaan (5.34) berarti bahwa total jumlah kuadrat (TSS) sama
dengan jumlah kuadrat dari regresi (ESS) ditambah dengan jumlah kuadrat kesalahan
pengganggu (RSS). Dengan jalan mengganti ∑e i2 seperti dalam persamaan (5.31), maka kita
peroleh persamaan berikut.
∑y i2 = ∑ y i
2 + ∑y i2 - b12.3 ∑X2iyi – b13.2 ∑x3iyi
setelah diadakan pengaturan kembali, ∑ y i2 akan hilang, maka diperoleh persamaan berikut.
Y1 = b1.23 + b12.3X21 + b13.2X3i + ei
= Yi + ei
12
ESS = ∑ y i2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi (5.35)
Sekarang rumus R2 diperoleh dengan menggunakan definisi :
R2 = ESS/ TS = ∑ y i2 / ∑y i
2
R2 = b12.3 ∑ x2 i y i+b13.2 ∑ x3 i y i
∑ y i2 (3.36)
Seperti halnya r2, R2 nilainya antara nol dan satu :
0 ≤ R2 ≤ 1
Kalau R2 berarti proporsi / persentase sumbanan X2 dan X3 terhadap variasi atau naik
turunnya Y sebesar 100%. Jadi, variasi yang terjadi seluruhnya disebabkan oleh X2, dan X3,
tidak ada faktor / variabel lain yang mempengaruhi Y. Dalam praktiknya, hal ini jarang
terjadi, sebab bagaimanapun juga, walaupun secara teoritis kita bisa memasukkan semua
variabel yang mempengaruhi Y di dalam persamaan regresi linear berganda, di dalam
praktiknya hal ini tidak mungkin. Sebagai contoh, kita ingin meramalkan hasil penjualan
suatu jenis barang tertentu (Y), kita masukkan variabel lain yang mempengaruhi hasil
penjualan, misalnya biaya advertensi (X3), harga (X3), pendapatan masyarakat (X4), selera
masyarakat (sulit diukur), adanya barang substitusi /Imitasi (sulit diukur), banyaknya suami
istri yang bercekcok dalam memutuskan jadi membeli barang atau tidak (mula-mula suami
tidak mau membelikan, tetapi setelah terjadi percekcokan/perselisihan, suami mengalah,
diputuskan untuk membeli barang dipersilakan), juga susah diukur, karena cuaca (pasangan
suami/istri lebih senang tinggal di rumah daripada pergi berbelanja), karena demonstrasi, dan
faktor-faktor lainnya lagi yang susah diukur, biasanya dimasukkan dalam kesalahan
pengganggu (disturbance’s error).
Kesalahan pengganggu ini, yang sumbangannya terhadap variasi Y diukur dengan ∑e i2,
sebagai penyebab nilai R2 tidak dapat mencapai nilai satu. Inilah sebabnya ramalan suatu nilai
variabel jarang tepat, karena walaupun secara teoretis kita bisa memasukkan semua nilai
variabel yang mempengaruhi Y, di dalam praktiknya sukar diukur atau data tidak tersedia.
Contoh lainnya, kita ingin meramalkan produksi padi (Y) dengan mema sukkan
variabel-variabel yang mempengaruhi, misalnya jumlah bibit yang tersedia untuk ditanam
(X), jumlah pupuk (X3), luas sawah yang ditanami padi (X4), curah hujan (X5) jumlah petani
panenan padi (X6), harga padi/beras (X), dan banyaknya hama (tikus, wereng, walang sangit),
Yang terakhir ini susah diukur, sampai sekarang tidak ada statistik yang menunjukkan jumlah
tikus, wereng, dan walang sangit.
Hal-hal yang sukar diukur atau dapat diukur tetapi datanya tidak tersedia, biasanya
dimasukkan dalam kesalahan pengganggu, sehingga bisa mengganggu ramalan, yang
menyebabkan ramalan tidak tepat.
Contoh untuk meramalkan produksi padi ini kalau dituliskan persamaan regresinya
menjadi:
Y = B1 + B2 + B3X3 + B4X4 + B5X5 + B6X6 + B7X7 + ε
13
atau perkiraannya berdasarkan data sampel:
Y = bi +b2X2 + b3X3 + b4X4 + b5X5 + b6X6 + b7X7 + e
atau pada umumnya:
Y = B1 + B2X2 + B3X3 + ... + B1X1 + ... + BkXk + ε
atau perkiraannya berdasarkan data sampel:
Y = b1 + b2X2 + b3X3 + ... + b1X1 + ... + bkXk + e
Kembali lagi ke nilai R2, nilainya paling besar 1 dan paling kecil nol. Kalau R2= 0, garis
regresi tidak dapat dipergunakan untuk membuat ramalan Y, sebab variabelvariabel bebas
yang dimasukkan dalam persamaan regresi tidak mempunyai pengaruh terhadap Y,
sumbangan/kontribusinya terhadap variasi Y nol. Makin dekat R2 dengan satu, makin tepat
/cocok garis regresi untuk meramalkan Y, itulah sebabnya, baik r2 maupun R2 dipergunakan
sebagai suatu kriteria untuk rnengukur cocok tidaknya suatu garis regresi untuk
rnernperkirakan/rneramalkan variabel tidak bebas Y (goodness of fit criteria).
Kalau r disebut koefisien korelasi dalam-hubungan dua variabel X dan Y yang
rnengukur kuatnya hubungan antara X dan Y, maka R disebut koefisien korelasi berganda
untuk mengukur kuatnya hubungan antara X2, X3, ... , Xk secara bersamasama dan Y. Dalam
praktiknya, R2 lebih penting daripada R, sebab langsung dapat mengetahui besarnya
proporsi/persentasi sumbangan dari X2, X3, … , Xk secara bersama-sama terhadap variasi atau
naik turunnya Y. Dihitung dahulu r2 (R2), kemudian untuk memperoleh r (R), tinggal
mengambil akar dari masing-masing.
Berikut ini contoh penggunaan fungsi produksi cobb-douglas.
Y – B1.23 X2 iB 12.3 X2 i
B 13.2
setelah diambil lognya dengan bilangan pokok e,
In Yi = B0 + B12.3 In X2i+ B13.2 In X3i
dimana:
Y = output, X2 = tenaga kerja dalam satuan,
X3= modal, B0 = In B1.23
Penggunaan fungsi produksi cobb-douglas sangat dikenal oleh para ahli ekonomi yang
menggunakan metode analisis kuantitatif dan banyak manfaatnya. Sebagai contoh, B12.3 dan
B13.2 mengukur elastisitas tenaga dan modal terhadap output. Jumlah B12.3 + B13.2 memberikan
informasi mengenai returns to scale, yaitu besarnya reaksi output terhadap perubahan input
secara proporsional. Kalau B12.3 + B13.2 = 1, maka akan ada returns to scale yang konstan,
artinya kalau input menjadi dua kali, maka secara proporsional output juga menjadi dua kali.
Kalau B12.3 + B13.2 < 1 (kurang dari 1), akan terjadi penurunan returns to scale, artinya kalau
input menjadi dua kali, maka secara proporsional output akan menjadi kurang dari dua kali.
Akhirnya, kalau B12.3 + B13.2 > 1 (lebih besar dari 1), akan terjadi peningkatan/kenaikan returns
14
to scale, artinya kalau input menjadi dua kali, maka secara proporsional, output akan menjadi
lebih dari dua kali.
Contoh soal 5.1
Y X2X3
In Y In X2In X3
16607,699
17511,301
20171,199
20932,898
20406,000
20831,602
24806,301
26465,801
27403,000
28628,699
29904,500
27508,199
29035,500
29281,500
31535,500
275,500
274,400
269,700
267,000
267,800
275,000
283,000
300,700
307,500
303,700
304,700
298,600
295,500
299,000
288,100
17803,699
18096,801
18271,801
19167,301
19647,602
20803,500
22076,602
23445,199
24939,000
26713,699
29957,801
31585,898
33474,500
34821,801
41794,301
9,718
9,771
9,912
9,949
9,924
9,944
10,119
10,184
10,218
10,262
10,306
10,222
10,276
10,285
10,359
5,619
5,615
5,597
5,587
5,590
5,617
5,645
5,706
5,728
5,716
5,719
5,699
5,689
5,700
5,663
9,787
9,803
9,813
9,861
9,886
9,943
10,002
10,062
10,124
10,193
10,308
10,360
10,419
10,458
10,641
X2 = tenaga kerja (jutaan tenaga kerja)
X3 = modal (jutaan satuan mata uang)
Y = output (jutaan satuan mata uang)
Penggunaan fungsi produksi cobb-douglas dengan metode kuadrat terkecil, kemudian carilah
persamaan regresi berganda!
In Yi = b0 + b12..3 In X2i + b13.2 In X3i (dilengkapi dengan standard error, R2
, S
e ).
Pemecahan
Pergunakan rumus (5.23) dan (5.24)!
Y* = b0 + b12.3 X*2i + b13.2 X*3
Dimana:
Y* = In Yi
15
X*2i = In X2i
X*3i = In X3i
Rumus:
b12.3 = ( x*2i y*i) ( x*2 3i) – ( x* 3i y*i) ( x*2i x* 3i )
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
b13.2 = ( x*3i y*i) ( x*2 2i) - ( x* 2i y*i) ( x*2i x* 3i )
(x2 i¿ 2
) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
b0 = Y * - b12.3 X 2* - b13.2 X 3*
S2b12.3 = Se2 x*2 3i
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
Sb12.3 = √ S2 b12..3 = standard error (b12.3)
S2 b13.2 = S2e x*2 2i
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
ei2 = y*i 2- b12..3 x* 2i yi - b13..2 x* 3i yi
Se2 = ei2 / n - 3
X*2
In X2
X*3
In X3
Y*
In Y
x*2
(X*2 – X*2)
x*3
(X*3 – X*3)
y*
(Y* - Y*)
5,619
5,615
5,597
5,587
5,590
5,617
5,645
5,706
5,728
5,716
5,719
5,699
5,689
5,700
5,663
9,787
9,803
9,813
9,861
9,886
9,943
10,002
10,062
10,124
10,193
10,308
10,360
10,419
10,458
10,641
9,718
9,771
9,912
9,949
9,924
9,944
10,119
10,184
10,218
10,262
10,306
10,222
10,276
10,285
10,359
-0,040
-0,044
-0,062
-0,072
-0,069
-0,042
-0,014
0,047
0,069
0,057
0,060
0,040
0,030
0,041
0,004
-0,324
-0,308
-0,298
-0,250
-0,225
-0,168
-0,109
-0,049
0,013
0,082
0,197
0,249
0,308
0,347
0,530
-0,379
-0,326
-0,185
-0,148
-0,173
-0,153
0,022
0,087
0,121
0,165
0,209
0,125
0,179
0,188
0,262
X*2 = 84,89 X*3 = 151,66 Y* = 151,449
16
X*2 = 5,659 X*3 = 10,111 Y* =10,097
x*2 x*3 y* x*2 2 x*2 3 x*2x*3 x*2 y* x*3 y*
-0,040
-0,044
-0,062
-0,072
-0,069
-0,042
-0,014
0,047
0,069
0,057
0,060
0,040
0,030
0,041
0,004
-0,324
-0,308
-0,298
-0,250
-0,225
-0,168
-0,109
-0,049
0,013
0,082
0,197
0,249
0,308
0,347
0,530
-0,379
-0,326
-0,185
-0,148
-0,173
-0,153
0,022
0,087
0,121
0,165
0,209
0,125
0,179
0,188
0,262
0,0016
0,0019
0,0038
0,0052
0,0048
0,0018
0,0002
0,0022
0,0048
0,0032
0,0036
0,0016
0,0009
0,0017
0,00002
0,1050
0,0949
0,0888
0,0625
0,0506
0,0282
0,0119
0,0024
0,0002
0,0067
0,0388
0,0620
0,0949
0,1204
0,2809
0,0130
0,0136
0,0185
0,0180
0,0155
0,0071
0,0015
-0,0023
0,0009
0,0047
0,0118
0,0100
0,0092
0,0142
0,0021
0,0152
0,0143
0,0115
0,0107
0,0119
0,0064
-0,0003
0,0041
0,0083
0,0094
0,0125
0,0050
0,0054
0,0077
0,0010
0,1228
0,1004
0,0551
0,0370
0,0389
0,0257
-0,0024
-0,0043
0,0016
0,0135
0,0412
0,0311
0,0551
0,0652
0,1389
x*2 2
0,0373
x*2 3
1,0482
x*2x*3
0,1378
x*2 y*
0,1231
x*3 y*
0,7198
b12.3 = ( x*2i y*i) ( x* 2 3i) – ( x* 3i y*i) ( x*2i x* 3i )
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
Pembilang : (∑x*2iy*3i2) (∑x*3i
2) – (∑x*3iy*i) (∑x*2ix*3i)
= (0,1231) (1,0482) – (0,7198) (0,1378)
= 0,0299
Penyebut : (x*2i 2) (x*3i 2) - (x*2i x* 3i )2
= (0,0373) (1,0482) – (0,1378)2
= 0,0201
b12.3 = 0,0299
0,0201
= 1,4876
b13.2 = ( x*3i y*i) ( x* 2 2i) - ( x* 2i y*i) ( x*2i x*3i )
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
Pembilang = (0,7198) (0,0373) - (0,1231) (0,1378)
17
= 0,0268 – 0,0170 = 0,0099
Penyebut sama dengan diatas
b13.2 = 0,0099
0,0201
= 0,4925
b0 = Y* - b12.3 X*2 - b13.2 X*3
= 10,097 - 1,4876 (5,659) – 0,4925 (10,111)
= 10,097 – 8,4183 – 4,9797
= -3,3010
y*2i = (-0,379)2 + (0,326)2 + … + (0,262)2
= 0,6046
e2i = y*2i - b12.3x*2i y*i – b13.2x*3i y*i
= 0,6046 – (1,4876) (0,1231) – (0,4925) (0,7198)
= 0,6046 – 0,1831 – 0,3545
= 0,067
S2e = e2i / n – 3
= 0,067 / 12
= 0,00558
R2 = Ŷ*2i / y*2i
= b12.3 x*2i y*i + b13.2 x*3i y*i
y*2i
= 0,1831 + 0,3545
0,6046
= 0,5376
0,6046
= 0,8892
18
S2b12.3 = S2e x*2 3i
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
1,0482
= 0,005583
0,0201
= 0,00585
0,0201
= 0,2910
Sb12.3 = √ S2 b12.3
= √0,2910
= 0,5394
S2 b13.2 = S2e x*2 2i
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
= 0,005583 0,0373
0,0201
= 0,00028 = 0,0103
0,0201
S b13.2 = 0,1015
Persamaan regresi linear berganda:
Ŷ = -3,3010 + 1,4876X*2 + 0,4925X*3 R2 = 0,8892
Standard error : (0,5394) (0,1015) Se = 0,0747
Perhatian!
Apabila dihitung dengan komputer, hasilnya pasti akan lain (berbeda), oleh karena adanya
kesalahan pembulatan (rounding error). Tentu saja perhitungan dengan komputer memberikan
hasil yang lebih teliti. Standard error untuk b0 = log b1.23 , yang disebut intercept, tidak
dihitung. Dalam praktik, biasanya hanya standard error dari koefisien regresi yang dihitung.
19
b1.23 = 1,4876, artinya kalau X2 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 1,5 kali, kalau X3
tetap.
b13.2 = 0,4925, artinya kalau X3 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 0,49 kali, kalau
X2 tetap.
X2 = X2 , X3 = log X3 , Y* = log Y, Ŷ* = perkiraan/ramalan Y*, merupakan nilai regresi.
R2 = 0,8892, artinya besarnya sumbangan (andil) X2 dan X3 terhadap variasi (naik turunnya)
Y* sebesar 89%, sedangkan sisanya sebanyak 11%, merupakan sumbangan faktor lainnya
dengan persamaan regresi Y* = -3,3010 + 1,4876X2 + 0,4925X3 sudah diketahui lainnya.
Contoh soal 5.1 Berdasarkan Data dari BPS dan BI
Y X2X3
In Y In X2In X3
3943876745758025514601755982115668234880
1,5981,6701,7051,7431,824
336113,72651606,1981598,6118246,58783141,04
17,49017,63917,75617,90718,038
0,4690,5130,5330,5560,601
12,72513,38711,3099,81113,571
X2 = tenaga kerja (jutaan tenaga kerja)
X3 = modal (jutaan satuan mata uang)
Y = output (jutaan satuan mata uang)
Penggunaan fungsi produksi cobb-douglas dengan metode kuadrat terkecil, kemudian carilah
persamaan regresi berganda!
In Yi = b0 + b12..3 In X2i + b13.2 In X3i (dilengkapi dengan standard error, R2
, Se ).
Pemecahan
Pergunakan rumus (5.23) dan (5.24)!
Y* = b0 + b12.3 X*2i + b13.2 X*3
Dimana:
Y* = In Yi
X*2i = In X2i
X*3i = In X3i
Rumus:
b12.3 = ( x* 2i y* i ) ( x*2 3i ) – ( x* 3i y* i ) ( x* 2i x* 3i )
(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
b13.2 = ( x* 3i y* i ) ( x*2 2i ) - ( x* 2i y* i ) ( x* 2i x* 3i )
(x2 i¿ 2
) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
20
b0 = Y * - b12.3 X 2* - b13.2 X 3*
S2b12.3 = Se2 x*2 3i
(x*2 2i) (x*2
3i) - (x*2i x*3i)2
Sb12.3 = √ S2 b12..3 = standard error (b12.3)
S2 b13.2 = S2e x*2
2i
(x*2 2i) (x*2
3i) - (x*2i x*3i)2
ei2 = y*i 2- b12..3 x* 2i yi - b13..2 x* 3i yi`
Se2 = ei2 / n - 3
X*2
In X2
X*3
In X3
Y*In Y
x*2
(X*2 – X*2)x*3
(X*3 – X*3)y*
(Y* - Y*)0,4690,5130,5330,5560,601
12,72513,38711,3099,81113,571
17,49017,63917,75617,90718,038
-0,065-0,021-0,0010,0220,067
0,5641,226-0,852-2,351,41
-0,276-0,127-0,010,1410,272
X*2 = 2,672 X*3 = 60,803 Y* = 88,83
X*2 = 0,534 X*3 = 12,161 Y* =17,766
x*2 x*3 y* x*2 2 x*2 3 x*2x*3 x*2 y* x*3 y*
-0,065-0,021-0,0010,0220,067
0,5641,226-0,852-2,351,41
-0,276-0,127-0,010,1410,272
0,0042250,0004410,0000010,0004840,004489
0,3180961,5030760,7259045,52251,9881
-0,03666-0,0257460,000852-0,05170,09447
0,017940,0026670,000010,0031020,004489
-0,155664-0,1557020,00852-0,331350,38352
x*2 20,00964
x*2 3
10,057676x*2x*3
0,018784x*2 y*0,028208
x*3 y*0141364
b12.3 = ( x* 2i y* i ) ( x* 2 3i ) – ( x* 3i y* i ) ( x* 2i x* 3i )
(x*2 2i) (x*2
3i) - (x*2i x*3i)2
Pembilang : (∑x*2iy*3i2) (∑x*3i
2) – (∑x*3iy*i) (∑x*2ix*3i)
= (0,028208) (10,057676) – (0,141364) (0,018784) = 0,283706924 – 0,002655381
= 0,281051543= 0,2811
Penyebut : (x*2i 2) (x*3i
2) - (x*2i x* 3i )2
= (0,00964) (10,057676) – (0,018784)2
= 0,096955996 – 0,000352838
= 0,096603158 = 0,0966
b12.3 = 0, 2811
21
0,0966
= 2,9099
b13.2 = ( x* 3i y* i ) ( x* 2 2i ) - ( x* 2i y* i ) ( x* 2i x* 3i ) (x*2
2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2
Pembilang = (0,141364) (0,00964) - (0,028208) (0,018784) = 0,001362748 – 0,000529859
= 0,000832889= 0,0008
Penyebut sama dengan diatas
b13.2 = 0,00 08
0,0966
= 0,0083
b0 = Y* - b12.3 X*2 - b13.2 X*3
= 17,766 – 2,9099 (0,534) – 0,0083 (12,161)
= 17,766 – 1,5539 – 0,1009
= 16,1112
y*2i = (-0,276)2 + (-0,127)2 +(-0,01)2 + (0,141)2 + (0,272)2
= 0,1863
e2i = y*2i - b12.3x*2i y*i – b13.2x*3i y*i
= 0,1863 – (2,9099) (0,028208) – (0,0083) (0,141364)
= 0,1863 – 0,0821 – 0,0012
= 0,103
S2e = e2i / n – 3
= 0,103 / 2
= 0,0515
R2 = Ŷ*2i / y*2i
= b 12.3 x* 2i y* i + b 13.2 x* 3i y* i y*2i
= 0, 0821 + 0, 0012 0,1863
= 0, 0833 0,1863
22
= 0,4471
S2b12.3 = S2e x*2
3i
(x*2 2i) (x*2
3i) - (x*2i x*3i)2
10,057676= 0,0515
0,096603158= 5,361836246
= 5,3618
Sb12.3 = √ S2 b12.3
= √5,3618
= 2,3156
S2 b13.2 = S2e x*2 2i
(x*2 2i) (x*2
3i) - (x*2i x*3i)2
= 0,0515 0,00964
0,096603158
= 0,005139169
= 0,0051
S b13.2 = 0,0717
Persamaan regresi linear berganda:
Ŷ = 16,1112 + 2,9099X*2 + 0,0083X*3 R2 = 0,4471
Standard error : (2,3156) (0,0717) Se = 0,2269
b1.23 = 2,9099, artinya kalau X2 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 2,9 kali, kalau X3
tetap.
b13.2 = 0,0083, artinya kalau X3 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 0,0083 kali,
kalau X2 tetap.
X2 = X2 , X3 = log X3 , Y* = log Y, Ŷ* = perkiraan/ramalan Y*, merupakan nilai regresi.
23
R2 = 0,4471, artinya besarnya sumbangan (andil) X2 dan X3 terhadap variasi (naik turunnya)
Y* sebesar 44%, sedangkan sisanya sebanyak 56%, merupakan sumbangan faktor lainnya
dengan persamaan regresi Y* = 16,1112+ 2,9099X2 + 0,0083X3 sudah diketahui lainnya.
Contoh Soal 5.2
X2 = indeks pendapatan nasional suatu Negara
X3 = indeks harga impor suatu komoditi
Y = indeks impor suatu komoditi
Ada anggapan bahwa impor dari suatu Negara (Y) dipengaruhi oleh pendapatan
nasional
Negara tersebut (X2 ) dan harga impor komoditi tersebut (X3 ).
Buat persamaan garis regresi linear berganda, lengkapi dengan standard error, R2
, dan
Se
berdasarkan data berikut:
X2 X3 Y
100 100 100
104 99 106
106 110 107
111 126 120
111 113 110
115 103 116
130 102 123
134 103 133
136 98 137
Pergunakan rumus (5.23) dan (5.24)
Ŷ= b12.3 + b12.3 X2 +b13.2 X3
Dimana :
b12.3 = (∑x2iyi)(∑x23i)- (∑x2ix3i) (∑x2ix3i)
(∑ x22i) (∑ x2
3i) – (∑ x2ix3i)2
24
b13.2 = (∑x3iyi) (∑x22i) – (∑x2iyi) (∑x2ix3i)
(∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
b1.23 = Y – b12.3 X
2 – b13.2 X 3
Berdasarkan pengolahan data diatas :
∑X2i = 1047 ∑X3i =954 ∑Yi = 1052 ∑X22i = 123.271
∑X23i = 101.772 ∑Y2
i = 124.228 ∑X2i Yi= 123.680 ∑X3iYi = 111.433
∑X2i X3i= 110.720 X2 = 116,33 ∑X
3 = 106 Y = 116,89
∑x22i = ∑X2
2i – ( ∑X2i )2/n = 123.271 – (1.047)2/9
= 123.271 – 121,801 = 1.047
∑x23i = ∑X2
3i – (∑X3i)2/n = 101.772 – (954)2/9
= 101.772 – 101.124 = 648
∑y2i = ∑Y2
i – (∑i)2/n = 124.228 – (1.052)2/9
= 124.228 – 122.967,11 = 1.260,89
∑x2ix3i = ∑X2iX3i - ∑X2i∑X3i = 110.720 – ( 1.047) (954)
n 9
= 110.720 – 110.982 = -262
∑x2iyi = ∑X2iYi - ∑X2i∑2i∑Yi/n = 123.680 – (1.047) (1.052)
9
= 123.680 – 122.382,67 = 1.297,33
∑x3iyi =∑X3iYi - ∑X3i∑Yi/n = 111.433 – (954) (1.052)
9
= 111.433 – 111.512 = -79
Menghitung b12.3:
Pembilang : = (∑x2iyi) (∑x23i)- (∑x3iyi) (∑x2ix3i)
= (1.297,33) (648) – (-79) (-262)
= 819.971,84
Penyebut : = (∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
= (1.407) (648) – (-262)2
= 883.916
b12.3 = 819.971,84 = 0,9277
25
883.916
Menghitung b13.2 :
Pembilang :
(∑x3iyi) (∑x22i) – (∑x2iyi) (∑x2ix3i)
= (-79)(1.470) – (1.297,33)(-262)
= 223.770,46
Penyebut : sama
b13.2 =
223 .770,46833 . 916 = 0,2532
b1.23 = Y – b12.3X
2 – b13.2X
3
= 116,89 – ( 0,9277) (116,33) – (0,2532) (106)
= -17,8685
∑e2i = ∑y2
i – b12.3 ∑x2iyi – b13.2 ∑x3iyi
= 1.260,889 – 1.203,533 + 20,0028
= 77,3588
S2e =
77,35886 = 12,8931
S2e = 3,5907
R2 = ∑y2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi
∑y2i ∑y2
i
= 1.203,533 + 20,0028 = 0,9387
1.260,889
S2b12.3 = S2
e ∑x23i
(∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
=12 , 8931
648883 . 916 = 0,0095
Sb12.3 = 0,0972
26
S2b13.2 = S2
e ∑x22i
(∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
= 12 , 8931
1 . 470883 . 916 = 0,0214
Sb13.2 = 0,1464
Persamaan garis regresi linear berganda :
Ŷ = b1.23 + b12.3 + b13.2X3
Ŷ = -17,8685 + 0,9277X2 + 0,2532X3 R2 = 0,9387
Standard error : (0,0972) (0,1464) Se = 3,5907
b12.3 = 0,93. Artinya, kalau X2 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0,93 kali,
kalau X3 tetap.
b13.2 = 0,25. Artinya, kalau X3 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0,25 kali,
kalau X2 tetap.
R2 = 0,9387. Artinya, besarnya sumbangan X2dan X3 terhadap variasi ( naik turunnya ) Y
sebesar 94%, sedangkan sisanya sebesar 6% disebabjan oleh faktor-faktor lainnya, dengan
persamaan regresi Ŷ = -17,8685 = 0,9277X2 + 0,2532X3
Contoh soal 5.2
Tahun X2 X3 Y2006 100 100 100
2007113.75
3 93.321 93.972
2008131.97
9134.61
5139.93
5
2009148.42
6104.18
1817.46
2
2010 196.81126.92
3872.02
9
X2 = Indeks Pendapatan Domestik Regional BrotoX3 = Indeks Harga Impor Bahan baku untuk industri (olahan)Y = Indeks Impor Bahan baku untuk industri (olahan)
Tahun X2 X3 Y X22 X32 Y2 X2Y X3Y X2X3
2006 100 100 100 10000 10000 10000 10000 10000 10000
2007 113.753 93.321 93.97212939.7
58708.80
98830.73
7 10689.68769.56
110615.5
4
2008 131.979 134.615 139.93517418.4
6 18121.2 19581.818468.4
818837.3
517766.3
5
2009 148.426 104.181 817.46222030.2
810853.6
8668244.
1121332.
685164.0
115463.1
7
2010 196.81 126.923 872.029 38734.1 16109.4 760434. 171624 110680. 24979.7
27
8 5 6 5 2
∑❑ 690.968 559.042023.39
8101122.
763793.1
4 1467091332114.
7233451.
578824.7
8
Belanja statistic
∑ x22=5.635,344596 ∑ x2 x3=1.569,029856
∑ x32=1.287,99568 ∑ x2 y=52.494,04615
∑ y2=648.263,1067 ∑ x3 y=7.219,416416
Menghitung b12.3:Pembilang : = (∑x2iyi) (∑x2
3i)- (∑x3iyi) (∑x2ix3i)= (52.494,04615) (1.287,99568) – (7.219,416416) (1.569,029856)= 56.284.624,77
Penyebut : = (∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
= (5.635,344596) (1.287,99568) – (1.569,029856)2
= 4.796.444,806
b12.3 = 56.284 .624,774.796 .444,806
= 11,73465495= 11,7347
Menghitung b13.2 :Pembilang :
(∑x3iyi) (∑x22i) – (∑x2iyi) (∑x2ix3i)
= (7.219,416416)(5.635,344596) – (52.494,04615)(1.569,029856) = -41.680.826,38
Penyebut : sama
b13.2 =−41.680 .826,384.796 .444,806
= -0,008689941 = -0,0087
b1.23 = Y – b12.3X
2 – b13.2X
3
= 404.679,6 – ( 11,7347) (138.193,6) – (-0,0087) (11180,8) = 404.679,6 – 1.621.660,438 – ( -97,27296)
= -1.216.883,565
∑e2i = ∑y2
i – b12.3 ∑x2iyi – b13.2 ∑x3iyi
= 648.263,1067 – 616.001,8834 – (- 62,8089)= 32.324,0322
S2e =
32.324,03222
S2e = 16.162,0161
Se = 127,1299182= 127,1299
R2 = ∑y2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi
∑y2i ∑y2
i
= 616.001,8834−62,8089
648.263,1067= 0,950137479= 0,9501
S2b12.3 = S2
e ∑x23i
28
(∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
= 16.162,0161 1.287,99568
4.796 .444,806= 4,340007601
Sb12.3 = 2,08326849 = 2,0833
S2b13.2 = S2
e ∑x22i
(∑x22i) (∑x2
3i) – (∑x2ix3i)2
= 16.162,0161 5.635,3445964.796 .444,806
= 18,98875809
Sb13.2 = 4,357609217 = 4,3576
Persamaan garis regresi linear berganda :Ŷ = b1.23 + b12.3 + b13.2X3
Ŷ = -1.216.883,565 + 11,7347X2 + (-0,0087X3 R2 = 0,9501Standard error : (2,0833) (4,3576) Se = 127,1299
b12.3 = 11,7. Artinya, kalau X2 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0\11,7 kali, kalau X3 tetap.b13.2 = -0,0087. Artinya, kalau X3 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0,0087 kali, kalau X2 tetap.R2 = 0,9501. Artinya, besarnya sumbangan X2dan X3 terhadap variasi ( naik turunnya ) Y sebesar 95%, sedangkan sisanya sebesar 5% disebabjan oleh faktor-faktor lainnya, dengan Ŷ = -1.216.883,565 + 11,7347X2 + (-0,0087X3.
5.3.1 Perbandingan Dua R2 atau lebih dan R2 yang disesuaikan
Yang menarik dari sifat-sifat atau ciri-ciri dari R2 ialah bahwa R2 merupakan fungsi
yang selalu menarik (nondecreasing function) dan variabel-variabel bebas yang tercakup
dalam persamaan regresi linear berganda. Makin banyak variabel yang tercakup dalam suatu
model garis regresi, makin menaik fungsi tersebut, artinya makin besar nilai R2 tersebut.
Dengan perkataan lain, setiap pertambahan variabel bebsa dalam model regresi selalu akan
memperbesar nilai R2.
Ingat definisi tentang R2, sebagai berikut.
R2 = jumlah kuadrat regresitotal jumlahkuadrat
= ESSTSS
= ESS−RSS
TSS = 1 -
RSSTSS
, RSS = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu
(residual sum of squares)
R2 = 1 - ∑ei
2
∑ y i2
29
5.4 Koefisien Korelasi Parsial dan Hubungan Berbagai Koefisien Korelasi dan
Regresi.
Dalam bab 4 telah dibahas mengenai koefisien korelasi antara dua variabel X dan Y ,
yang dimaksudkan untuk mengukur kuat tidaknya hubungan antara dua variabel
tersebut. Makin besar r, makin kuat hubungan dan makin kecil r, berarti makin lemah
hubungan. Untuk hubungan tiga variabel X2,X3, dan Y, dapatdihitung tiga koefisien
korelasi, yaitu:
r12 = koefisien korelasi antara Y dan X2 (antara X2 dan Y)
r13 = koefisien korelasi antara Y dan X3 (antara X3 dan Y)
r23 = koefisien korelasi antara X2 dan X3( antara X3 dan X2)
Koefisien korelasi tersebut, masing-masing dinamakan koefisien korelasi sederhana
(simple coefficient of correlation) atau koefisien korelasi order nol (correlation
coefficient of zero order), hitung berdasarkan rumus berikut.
Antara X dan Y, r=∑ xi y i
√∑ x i
2√∑ y i2
Antara X2 dan Y, r=∑ x2 i y i
√∑ x2 i
2 √∑ y i2
Antara X3 dan Y, r=∑ x3 i y i
√∑ x3 i
2 √∑ y i2
Antara X2 dan X3, r=∑ x2 i y3 i
√∑ x2 i
2 √∑ y3 i2
Sekarang perhatikan pertanyaan berikut!
Apakah kenyataannya r12 mengykur kuat tidaknya hubungan antara Y dan X2 (antara
X2 dan Y) , apabila variabel ketiga (X3) mungkin berhubungan / berkorelasi dengan
X2 dan Y (kedua-duanya)?
Pertanyaan diatas juga analog dengan pertanyaan berikut ini.
Apakah koefisien regresi B12 mengukur X2 terhadap Y kalau X3 juga tercakup dalam
model regresi? Sekarang jelaskan kalau X2 berada dalam model regresi, r12tidak
mengukur kuat tidaknya hubungan antara X2dan Y. Maka dari itu, kita memerlukan
suatu koefisien korelasi yang bebas dari pengaruh X3, kalau ada, baik terhadap X2
maupun terhadap Y. Yang kita cari adalah koefisien korelasi antara X2 dan Y yang
bersih atau bebas dari pengaruh X3. Koefisien korelasi yang demikian itu disebut
koefisien korelasi parsial (parsial correlation coefficient). Secara, konseptual, sama
pengertiannya dengan koefisien regresi parsial (partial regression coefficient).
Kita definisikan sebagai berikut:
r12.3 = koefisien korelasi antara X2 dan Y, kalau X3 konstan
30
r13.2 = koefisien korelasi antara X3 dan Y, kalau X2 konstan
r23.1 = koefisien korelasi antara X2 dan X3, kalau Y konstan
Cara menghitung koefisien korelasi parsial diatas sama seperti menghitung koefisien
regresi parsial yang sudah diterangkan dalam bab 5 ini, juga mengikuti 3 fase, dimana
fase yang ketiga kita buat regresi w1 terhadap v1, dimana Y i dan X2 i sudah dibebaskan
dari pengaruh linear X3. Kalau kita menghitung koefisien korelasi antara w i dan v i,
sama halnya kita menghitung r12.3, sebab X3 sekarang konstan.
Secara simbol:
rwv = r12.3
¿∑ (w¿¿ i−w)(v i−v)
√∑ ¿¿¿¿¿
rwv ¿∑ wi v i
√∑ wi2∑ v i
2
(5.43)
Sebab w = v = 0
Y i=b1.3+b13 X 3i+wi
w i = Y i - b13 -b13 X3 i
= y i - b13 x3i (deviasi)
X2 i = b1.3+b23 X3 i+vi
= X2 i - b2.3 -b23 X3 i
= x - b23 x3 i (deviasi)
Ingat! Untuk hubungan dua variabel X danY, huruf kecil menunjukan deviasi.
∑ yi2=∑ y i
2 + ∑ ei2 bagi dengan ∑ yi
2
1 =∑ yi2/¿ ∑ yi
2 - ∑ ei2/¿ ∑ yi
2 padahal ∑ yi2/¿ ∑ yi
2 = r2
Jadi, 1 = r2 + ∑ ei2/¿ ∑ yi
2 , ∑ ei2 = ∑ yi
2 (1 - r2)
Dengan alasan yang sama,
∑ wi2 = ∑ yi
2 (1 - ∑ r132 )
∑ v i2 = ∑ x21
2 (1 - ∑ r132 )
Perhatikan hal-hal berikut! Y= bx + e
Sy =√∑ y i2/n
Sx = √∑ x i2/n
b = ∑ x i y i
∑ x i2
31
= ∑ x i y i
∑ x i2
√∑ y i2√n
√∑ y i2√n
= ∑ xi y i
√∑ y i2√∑ y i
2
= √∑ y i
2/n
√∑ y i2/n
b = r S y
Sx . dengan jalan yang sama, b13 = r13
S1
S3 , b23 = r23
S2
S3
dimana S1 = √∑ y i2/n S2 = √∑ y2 i
2 /n S3 = √∑ y3 i2 /n
r13= = ∑ x3i y i
√∑ y3i2 ∑ y1
2 r12 = ∑ x2i y i
√∑ y2i2 ∑ y1
2 r23 = ∑ x2 i y3 i
√∑ y2i2 ∑ y31
2
Dari (5.43);
1. Pembilang : ∑ wi v i =∑ ¿¿) (x2 i−b23 x3i)
= ∑ x i y i - b13∑ x2 i x3 i - b23∑ x3 i y i + b13b23∑ x3i2
= ∑ x2 i y i - r13
S1
S3 ∑ x2 i x3 i - r23
S2
S3 ∑ x3 i y i + r13 r23
S1 S2
S32 ∑ x3 i
2
= r12√∑ x2 i2 √∑ y i
2 - r13
S1
S3 r23√∑ x2 i
2 √∑ x3 i2 - r23
S2
S3 r13 √∑ x3 i
2 √∑ y i2 + r13 r23
S1 S2
S32 ∑ x3 i
2
= r12n S1 S2 - r13
S1
S3 r23n S2 S3 - r23
S2
S3 r13n S1 S3 + r13 r23 nS1 S2
= n S1 S2r12 - r13 S1r23 n S2 - r23 S2r13 n S1 + r13 r23n S1 S2
= n S1 S2 (r12- r13 r23)
2. Penyebut : √∑ w i2∑ v i
2 = √∑ y i2(1−r 13
2 ) √∑ x2i2 (1−r23
2 )
= √∑ y i2√∑ x2 i
2 √(1−r132 ) √¿¿)
= n S1 S2 √(1−r132 ) √¿¿)
Jadi, r12.3 = r12−r13r 23
√¿¿¿
(5.44)
32
Dengan jalan yang sama:
r13.2 = r13−r12r 23
√¿¿¿(5.45)
r23.2 = r23−r12r 13
√¿¿¿(5.46)
Koefisien parsial dari (5.44(. (5.45), dan (5.46) disebut koefisien korelasi satu (first
order correlation coefficient). Kata order disini dimaksudkan banyaknya angka indeks
dibelakang titik.
r13 = order nol, tidak ada angka dibelakang titik
r13.24 = order dua, ada dua angka dibelakang titik
r13.245 = order tiga, ada tiga angka dibelakang titik
r13.24 = koefisien korelasi antara X3 dan Y kalau X2 dan X 4 tetap
r13.245 = koefisien korelasi antara X3 dan Y kalau X2 , X 4, dan X5 tetap
5.4.1 Interpretasi Koefisien Korelasi Sederhana dan Parsial
Dalam hal hubungan dua variabel X dan Y, koefisien korelasi r mempunyai
arti mengukur kuatnya hubungan linear antara variabel tidak bebas Y dan variabel
bebas X.
Kalau hubungan sudah mencakup lebih dari dua variabel, maka interprestasinya tidak
semudah itu. Sekarang perhatikan hal-hal berikut.
(1) Dari (5.44) walaupun r12= 0, r12.3 belum tentu akan n ol, kecuali kalau r13 atau r23
mempunyai nilai nol, atau kedua-duanya nol.
(2) Kalau r12= 0.r13= 0, r23= 0 dan mempunyai tanda yang sama, r12.3 akan negative,
padahal kalau tandanya berlawanan (yang satu plus dan yang satu minus), akan
menjadi positif. Sebagai contoh:
Y= produksi padi, X2 = curah hujan, X3 = suhu/ temperature. Kita anggap r12= 0 ,
yaitu tidak ada hubungan antara produksi padi dan curah hujan. Selanjutnya, kita
anggap bahwa r13 positif dan r23 negatif. Kemudian menurut (5.44), r12.3 akan
positif, yaitu dengan menganggap X3konstan (temperature tidak berubah), aka
nada hubungan yang positif antara produksi padi dan curah hujan.
Hal ini kelihatannya suatu hal yang bertentangan, tetapi sebetulnya tidak
mengherankan. Sebabnya ialah temperature (X3 ¿ mempengaruhi kedua-duanya,
yaitu mempengaruhi produksi padi (Y) dan curah hujan (X2 ¿, sehingga untuk
mencari hubungan yang bersih (net relationship) antara produksi padi (Y) dan
curah hujan (X2 ¿, kita harus menghilangkan pengaruh temperature (X3 ¿terhadap
keduanya. Contoh ini dimasukkan untuk menunjukan bahwa seseorang bias
tersesat didalam menginterprestasikan kosfisien korelasi sederhana r tanpa
memperhitungkan pengaruh variabel lainnya.
33
(3). r12.3 dan r12 tidak perlu mempunyai tanda yang sama.
(4). Dalam hubungan dua variabel, kita telah melihat bahwa nilai r2 terletak antara 0 dan 1.
Setiap kosfisien korelasi parsial kalau dikuadratkan juga mempunyai nilai antara 0 dan 1. Bisa
ditunjukan bahwa dari (5.44) dapat diperoleh hubungan berikut.
0 ≤ r122 + r13
2 + r232 - 2r12 r13r23 ≤ 1
(5.47)
(5). Misalkan, r13= r23 = 0. Apakah ini berarti bahwa r12 juga nol? Jawabannya bias dilihat
dari (5.47). kenyataannya ialah bahwa walaupun Y dan X3 serta X2 dan X3 tidak berkolerasi,
tidak berarti bahwa Y dan X2 tidak berkolerasi.
Selanjutnya, r12.32 disebut kosfisien determinasi parsial dan dapat diartikan sebagai
proporsi/ persentase sumbangan X2 terhadap variasi Y kalau X3 tetap. (X3 tidak memberikan
sumbangan terhadap variasi Y).
Contoh soal 5.3
Berdasarkan data berikut :
X2 X3 Y
100 100 100
104 99 106
106 110 107
111 126 120
111 113 110
115 103 116
120 102 123
124 103 133
126 98 137
Hitung :
a) S1,S2,S3
b) r12,r13,r23
c) r12.3,r13.2 dan r212.3,r2
13.2, apa artinya ?
Pemecahan
∑x2i2 = 650 ∑x3i
2 = 648 ∑yi2 = 1260,89
∑x2ix3i= -112 ∑x2iyi= 874 ∑x3iyi= -79
a). S1 = √∑yi2/n = √1260,89/9 = 11,8363
34
S2 = √∑x2i2/n = √650/9 = 8,4984
S3 = √∑x3i2/n = √648/9 = 8,4853
b). r12 = ∑x2i yi = 874 = 0,9654
√∑x2i2√∑yi
2 √650 √1260,89
r13 = ∑x3i yi = -79 = -0,0874
√∑x3i2√∑yi
2 √648 √1260,89
r23 = ∑x2i x3i = -112 = -0,1726
√∑x2i2√∑x3i
2 √650 √648
c). r12.3 = r12 – r12r23
√(1-r132) √(1-r23
2)
= 0.9654 – ( -0.0874)(-0.1726) = 0,9685
√1 – (-0,0874)2 √1 – (-0,1726)2
\
r212.3 = (0,9685)2 = 0,9830. Artinya, kalau X3 konstan (tetap) , maka sumbangan X2
terhadap variasi ( naik turunnya ) Y sebesar 93,80%.
r13.2 = r13 – r12 r23
√(1 – r212) √(1 – r2
23)
= (-0,0874) – ( 0,9654) (-0,1726) = 0,3085
√1 – (0,9654)2 √1 – ( -0,1726)2
r213.2 = (0,3085)2 = 0,0951 = 0,10. Artinya, kalau X2 konstan (tetap), maka sumbangan X3
terhadap variasi Y sebesar 10%.
Hitungan berdasarkan data dari contoh soal 5.2
a) S1 = √∑ y2
n
= √ 648.263,10675
= √129.652,6213
= 360,0730777
S2 = √∑ x22
n
35
= √ 5.635,3445965
= √1.127,068919
= 33,57184712
S3 = √∑ x32
n
= √ 1.287,995685
= √257,599136
= 16,0498952
b) r12=∑ x2 y
√∑ x22√∑ y2
=52.494,0461
√5.635,344596 √648.263,1067
¿52.494,0461
(75,0689323 )(805,1478788)
¿52.494,046160.441,5916
¿0,8685087
r13=∑ x3 y
√∑ x32√∑ y2
=7.219,416416
√1.287,99568√648.263,1067
¿7.219,416416
(35,8886567 )(805,1478788)
¿7.219,41641628.895,67581
¿0,24984427
r23=∑ x2 x3
√∑ x22√∑ x3
2
=1.569,029856
√5.635,344596 √1.287,99568
¿1.569,029856
(75,0689323 )(35,8886567)
¿1.569,0298562.694,12314
¿0,5823898
c) r12.3=r12−r13 r23
√ (1−r132 ) √(1−r23
2 )
36
¿0,8685087− (1,2498442 . 0,5823898 )
√1− (0,2498442 )2√1−(0,5823898 )2
¿ 0,8685087−0,1455067
√1−0,0624221√1−0,3391779
¿ 0,723002
√0,9375779 √0,6608221
¿ 0,7230020,9682861.0,8129096
¿ 0,7230020,7871281
¿0,9185304
r12.32 =0,8436981, Artinya, kalau X3 Konstan (tetap), maka sumbangan X2 terhadap
Variasi ( naik turunya) Y sebesar 84,37 %
r13.2=r13−r12r 23
√ (1−r122 )√ (1−r23
2 )
¿0,24984427− (0,8685087 . 0,5823898 )
√1−(0,8685087 )2√1−(0,5823898 )2
¿ 0,24984427−0,5058106
√1−0,7543074√1−0,3391779
¿ −0,25596633
√0,2456926 √0,6608221
¿ −0,255966330,4956739 .0,8129096
¿−0,255966330,4029381
¿0,6352498
r13.22 =0,4035423=0,4035, Artinya, kalau X2 Konstan (tetap), maka sumbangan X3
terhadap Variasi ( naik turunya) Y sebesar 40,35 %.
5.5 Hubungan Berbagai Koefisien Korelasi dan Regresi, yang Sederhana, Parsial, dan
Berganda.
Dalam sub bab 5.5 ini akan ditunjukan berbagai hubungan antara koefisien regresi dan
sederhana , antara koefisien regresi parsial dengan koefisien korelasi parsial, antara koefisien
determinasi berganda, sederhan, dan parsial.
Berbagai hubungan ini bias dibuktikan berdasarkan definisi dasrnya, dalam subbab 5.5 ini
tidak semua akan dibuktikan, namun sebagian akan dibuat latihan soal dalam akhir bab 5 ini
untuk dipecahkan oleh pembaca.
37
5.5.1 Hubungan Antara Koefisien Regresi Parsial, Sederhana, dan Koefisien Korelasi
Sederhana.
b12.3 = b12−b23b32
1−b23b32 =
r12−r13r 23
1−r232
S1
S2
b13.2 = b13−b12b23
1−b32b23 =
r13−r12r 23
1−r232
S1
S3
Dimana b12 = koefisien regresi Y terhadap X2, b12 = ∑ x2i y i
∑ x2 i2
(5.48)
b13 = koefisien regresi Y terhadap X3, b13 = ∑ x3i y i
∑ x3 i2
(5.49)
b32 = koefisien regresi X3 terhadap X2 ' b32 =∑ x3i x2i
∑ x2 i2
b23 = koefisien regresi X2 terhadap X3 ' b23 =∑ x2i x3i
∑ x3 i2
S1 = √∑ y i2/n, S2 = √∑ y2 i
2 /n, S3 = √∑ y3 i2 /n
Bukti :
b12.3 = ¿¿ x ¿¿
= ¿¿¿
= ¿¿
Jadi, b12.3 = b12−b13b32
1−b23b32 terbukti!
b12 = r12
S1
S2 , b13 = r13
S1
S3 , b23 = r23
S2
S3 , b32 = r13
S3
S2
b12.3 = b12−b13b32
1−b23b32
= r12(S1¿ S2)−r13(S1 ¿S3)r32(S3 ¿S2)
1−r23(S2 ¿S3)r32(S3 ¿S2)
= r12(S1¿ S2)−r13(S1 ¿S3)r32(S3 ¿S2)
1−r 23r32
= r12−r13r 32
1−r 23r32
S1
S2 , sebab r23 = r32
Jadi, terbukti bahwa :
38
b12.3 = b12−b13b32
1−b23b32 =
r12−r13r 32
1−r 23r32
S1
S2
Dengan jalan yang sama, (5.49) dapat dibuktikan.
5.5.2 Hubungan Antara Koefisien Regresi Parsial dan Koefisien Korelasi Parsial
b12.3 = r12.3 (∑ e1.3 i2
∑ e2.3 i2 )
1/2
(5.50)
b12.3 = r13.2 (∑ e1.2 i2
∑ e3.2 i2 )
1/2
(5.51)
dimana
∑ e1.3 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi Y terhadap x3’
∑ e1.2 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi Y terhadap x2’
∑ e2.3 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi X2 terhadap x3’
∑ e3.2 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi X3 terhadap x2’
Telah ditunjukkan sebelumnya, bahwa untuk hubungan dua variabel X dan Y1 ∑ ei2
Jadi, dalam hal ini :
∑ e1.2 i2 = ∑ y1
2(1-r122 ¿
∑ e1.3 i2 = ∑ y1
2(1-r132 ¿
∑ e2.3 i2 = ∑ x2 i
2 (1-r232 ¿
∑ e3.2 i2 = ∑ x3 i
2 (1-r322 ¿
r12.3 = r12−r13r 23
√1−r132 √1−r 23
2 , r23 = r32
Bukti :
b12.3 = r12−r13r 23
1−r232
S1
S2
= r12−r13r 23
1−r232
(√∑ y i2/n )1 /2√1−r13
2
(√∑ x2 i2 /n)1 /2√1−r13
2
= r12−r13r23
√1−r232 √1−r23
2 √1−r132
(√∑ y i2/n)1/2√1−r 13
2
(√∑ x2 i2 /n)1/2
= r12−r13r 23
√1−r132 √1−r 23
2 {∑ yi
2(1−r132 )}1/2
{∑ x2 i2 (1−r23
2 )}1/2
Jadi, b12.3 = r12.3 (∑ e1.3 i2
∑ e2.3 i2 ) terbukti
39
5.5.3 Hubungan Antara R2 dengan Koefisien Korelasi Sederhana dan Parsial
R2 = r12
2 +r132 −2r 12r13r 23
1−r232 (5.52)
R2 = r122 +(1−r12
2 )r13.22 (5.53)
R2 = r132 +(1−r13
2 )r12.32 (5.54)
Bukti (5.52) :
R2 = R1.232 =
b12.3∑ x2i
y i+b13.2∑ x3 i
y i
∑ y i2
Telah ditunjukkan bahwa :
b12.3 = r12−r13r 23
1−r32
S1
S2
b13.2 = r13−r12r 23
1−r232
S1
S3
R1.232 =
r13−r12r 23
1−r232
∑ x2i y i
∑ y i2
(√∑ y i2/n)1 /2
(√∑ x2 i2 /n)1 /2
+ r13−r12r 23
1−r232
∑ x3i y i
∑ y i2
(√∑ y i2/n )1 /2
(√∑ x3 i2 /n)1 /2
=r12−r13r 23
1−r232
∑ x2i y i
√∑ y i2√∑ y i
2 √∑ y i
2
√∑ x2 i2
+ r13−r12r 23
1−r232
∑ x3i y i
√∑ y i2√∑ y i
2 √∑ y i
2
√∑ x3 i2
= (r12−r13 r23) r12+(r13−r12r23 ) r13
1−r232
= r12
2 −r12r13 r23+r132 −r12r 13r23
1−r232
Jadi, R2 = r12
2 +r132 −2r 12r13r 23
1−r232 , terbukti
Perhatikan! Pangkat 1/2 berarti akar pangkat 2 ()
Bukti (5.54) :
R2 = r132 +(1−r13
2 )r12.32
r12.32 =
(r¿¿12−r13r23)(1−r23
2 )(1−r232 )
2
¿
= r12
2 2 r12r13 r23+r132 r23
2
(1−r132 ) (1−r 23
2 )
R2 = r12
2 +r132 −2r 12r13r 23
1−r232 , sudah dibuktikan.
R2 = r12
2 +r132 −2r 12r13r 23
1−r232
= r13
2 −r132 r23
2 +r 132 r23
2 +r122 −2 r12r13 r23
1−r 232
40
= r132 −r 13
2 r232 +r12
2 −2 r12r13
r23+¿r132 r23
2
1−r 232 ¿
= r132 (1−r 13
2 )−¿¿
= r132 +
(1−r132 )
(1−r132 )
¿¿
= r13+¿2 (1−r132 )¿¿¿
Jadi, R2 = r132 +(1−r13
2 )r12.32 , terbukti.
Contoh soal 5.4
Berdasarkan data contoh soal 5.3
a) Hitung
b12.3 = b12 – b13 b32
1 – b 23 b 32
b12.3 = r12 – r13 r23 S1
1 – r232 S2
b). b13.2 = b13 – b12 b23
1 – b 32 b 23
b13.2 = r13 – r12 r23 S1
1 – r232 S3
Pemecahan
b12 = ∑x2iyi / ∑x2i2 = 874/650 = 1,3446
b13 = ∑x3iyi / ∑x3i2 = -79/648 = -0,1219
b32 = ∑x2iy3i / ∑x2i2 = -112/650 = -0,1723
b 23 = ∑x2iy3i / ∑x3i2 = -112/648 = 0,1728
b12.3 = b12 – b13 b32 = 1,346 – (-0.1219) (-0,1723)
1 – b 23 b 32 1 – (-0,1728) (-0,1723)
= 1,3642
r12 = ∑x2i yi = 874 = 0,9654
√∑x2i2√∑yi
2 √650 √1260,89
r13 = ∑x3i yi = -79 = 0,0874
√∑x3i2√∑yi
2 √648 √1260,89
r23 = ∑x2i x3i = -112 = -0,1726
41
√∑x2i2√∑x3i
2 √650 √648
S1 = 11,8363, S2 = 8,4984 S3 = 8,4853
b12.3 = r12 – r13 r23 S1
1 – r232 S2
= (0,9654) – (-0.0874) (-0,1726) 11,8363
1 – (-0,1726)2 8,4984
= 1,3643
b13.2 = b13 – b12 b23
1 – b 32 b 23
= -0,1219 – (1,3446)(-0,1728)
1 – (-0,1723)(-0,1728)
= 0,1138
b13.2 = r13 – r12 r23 S1
1 – r232 S3
= -0,0874 – (0,9654)(-0,1726) 11,8363
1 – (-0,1726)2 8,4853
= 0,1139
Contoh Soal 5.4 Berdasarkan data contoh soal 5.3,
1) Hitunglah
b12.3 = b12−b23b32
1−b23b32
b12.3 = r12−r13r 23
1−r232
S1
S2
2) b13.2 = b13−b12b23
1−b32b23
b13.2 = r13−r12r 23
1−r232
S1
S3
Pemecahan
b12 = ∑ x2i y i
∑ x2 i2 b32 =
∑ x3i x2i
∑ x2 i2
=52494,046155635,344596
= 1569,0298565635,344596
=9,3151439 = 1,2181949
42
b13 = ∑ x3i y i
∑ x3 i2 b23 =
∑ x2i x3i
∑ x3 i2
= 7219,4164161287,99568
= 1569,0298561287,99568
=5,6051557 = 1,2181949
1) b12.3 = b12−b23b32
1−b23b32
= 9,3151439− (5,6051557 )(0,2784266)
1−(1,2181949)(0,2784266)
= 7,754551940,6608221
= 11,73465506
r12= 0,8685087 r13= 0,2498442 r23= 0,5823898
S1= 360,0730777 S2= 33,57184712 S3=16,0498952
b12.3 = r12−r13r 23
1−r232
S1
S2
= 0,8685087− (0,2498442 )(0,5823898)
1−(0,339177)2
360,073077733,57184712
= 0,8685087− (0,2498442 )(0,5823898)
1−0,03391779
=0,8685087−0,1455067
0,6608221 10,7254473
= 0,723002
0.660822110,72544473
=7,54519850,6608221
= 11,4178967
2) b13.2 = b13−b12b23
1−b32b23
=5,6051557−( 9,3151439 )(1,2181949)
1−(0,2784266 )(1,2181949)
= 5,6051557−11,34766079
1−0,3391778
=−5,7425050,6608222
= -8,6899395
b13.2=r13−r12r23
1−r 232
S1
S3
43
= 0,2498442−(0,8685087 )(0,5823898)
1−(0,5823898)2
360,073077716,0498952
=0,2498442−0,5058106
1−0,339177922,4346062
=−5,74250530,6608221
= - 8,6899414
5.6 Soal-soal Latihan
1. Data time series selama 15 tahun meliputi tiga variabel, yaitu X2 = tenaga kerja
(ribuan orang), X3 = modal (dalam satuan mata uang), dan Y = output nasional (dalam
satuan mata uang).
X2 X3 Y
281,5
284,4
289,0
375,8
375,2
402,5
478,0
553,4
616,7
695,7
790,3
816,0
848,4
873,1
999,2
120.753
122.242
125.263
128.539
131.427
134.267
139.038
146.450
153.714
164.783
176.864
188.146
205.841
221.748
239.715
2.911,4
10.873,2
11.132,5
12.086,5
12.767,5
16.347,1
19.542,7
21.075,9
23.052,0
26.128,2
29.563,7
33.376,6
38.354,3
46.868,3
54.308,0
a) Terapkan dua model berikut untuk data diatas!
44
Yi = B0 + B12.3X2i + B13.2X3i + i (populasi)
(1) Yi = b0 + B12.3X2i + B13.2X3i + ei (sampel)
dan
In Yi = A0 + A12.3 InX2i + A13.2 InX3i + i (populasi)
(2) In Yi =a0 + a12.3InX2i + a13.2InX3i + ei (sampel)
b) Diantara model tersebut, mana yang lebih baik?
c) Hitung R2 dari dua model tersebut!
d) Hitung elastisitas output terhadap tenaga kerja dan model dengan menggunakan
model pertama!
2. Tunjukkan bahwa :
r13.2 = r13−r12r 23
√(1−r 122 )√(1−r23
2 )
r23.1 = r23−r12 r13
√(1−r 122 )√(1−r13
2 )
3. a) Tunjukkan bahwa r12.3 = (R2 – r12.3) / (1 – r13)
b) Tunjukkan bahwa b12.3 b23.1 b31.2 = r12.3 r23.1 r31.2
Pada umumnya, b31.2 b13.2, tetapi r31.2 = r13.2
4. Dapatkah dari suatu kelompok data kita peroleh hasil seperti berikut ini?
(a) r23 = 0,9 r13 = -0,2 r12 = 0,8
(b) r12 = 0,6 r23 = -0,9 r31 = -0,5
(c) r23 = 0,01 r13 = 0,66 r31 = -0,7
5. Kalau Z = aX + bY dan W = cX – dY, dan kalau koefisien korelasi antara X dan Y = r,
tetapi Z dan W tidak berkorelasi, tunjukkan bahwa :
2w = (a2+b2) xy = (1-r2)1/2, dimana 2,,w,x,y merupakan standard deviasi Z, W,
X, Y dan a,b,c,d = konstan.
6. Kalau X3 = a1X1 + a2X2’ dimana a1 dan a2 konstan, tunjukkan bahwa ketiga koefisien
korelasi parsial masing-masing mempunyai nilai satu 91), r13.2 mempunyai tanda
seperti tanda dari a1, r23.1 mempunyai tanda seperti tanda dari a2’ dan a12.3 mempunyai
tanda yang berlawanan dengan tanda dari a1/a2.
7. Dalam keadaan yang bagaimana b12.3 = b12 dan b13.2 = b13?
8. Hitung koefisien regresi parsial, standard error masing-masing, R2 dan R2
berdasarkan data berikut :
n = 15
∑ x2 i = 848555,096
∑ x2 i y i = 74778,346
X2 = 402,70
∑ x3 i = 280
∑ x3 i y i = 4250,900
X3 = 8
∑ yi =66042,269
∑ x2 i x3 i = 4796
Y = 367693
9. Jelaskan bahwa pada umumnya R2 r122 +r13
2 , tetapi akan sama halnya kalau r23 = 0.
10. a) Dalam hubungan tiga variabel X2’, X3’ dan Y, ada tiga koefisien korelasi
45
order nol : r12’, r13’, dan r23’ dan ada tiga koefisien korelasi order satu r12.3’, r13.2’, dan
r23.1’.
Ada berapa banyak koefisien korelasi nol dan order satu, kalau hubungan
mencakup 4 variabel dan n variabel?
b) Buktikan bahwa r12.3 = b12.3 b21.3 ; r13.2 = b13.2 b31.2; r23.1 = b23.1 b32.1.
11. Tunjukkan bahwa varian b12.3 dan b13.2 seperti dalam rumus (5.25) dan (5.27) dapat
juga dinyatakan sebagai berikut :
var (b12.3) = σ2
∑ x2i2 (1−r23
2 )
var (b3.2) = σ2
∑ x3i2 (1−r23
2 )
dimana r23 = koefisien korelasi antara X2 dan X3
r232 =(∑ x2 i x3 i)
2 / (∑ x2 i
2 x3 i2 ¿
12. Y = a + bX + ct, koefisien a,b,c diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat
berdasarkan data sebanyak n observasi serta X dan Y, sedangkan t adalah variabel
waktu yang dinyatakan dalam tahun (ada n tahun), sebagai berikut :
X X1 X2 …. Xi … Xn
Y Y1 Y2 …. Yi … Yn
t t1 t2 …. ti … tn
Tunjukkan bahwa perkiraan b akan sama apabila diperoleh dengan menggunakan
regresi linear sederhana dari Y terhadap X setelah pengaruh linear dari variabel waktu
t dihilangkan dari X.
13. X1’ X2’ dan X3 merupakan 3 variabel yang saling berkorelasi. S1=1, S2 =1,3, S3 = 1,9,
dan r12 = 0,370, r13 = 0,641, dan r23 = -0,736. Hitung r13.2! Kalau X4 = X1 + X2’, hitung
r42’ r43’ dan r43.2. Apakah r13.2 dan r43.2? Dapatkah Saudara menjelaskan!
14.
X 0 1,8 3,6 5,4 7,2 9,0 10,8 12,6 14,4 16,2 18,0
Y 250 276 298 335 374 414 454 503 558 604 671
Dua bentuk fungsi berikut supaya diterapkan pada data diatas :
a) Y = A + BX + CX2 =
(anggap sebagai regresi linear berganda Y = B123 + B123X2 + B123X3’ dimana X2 = X
dan X3 = X2)
b) Y = AeBX (ingat In e = 1)
Menurut saudara, mana yang lebih bagus untuk meramalkan nilai Y?
15. Dalam persamaan yi = Bx1i + i (I = 1, 2, …, n), semua variabel dinyatakan dalam
deviasi.
46
Berbagai prosedur berikut dipergunakan untuk memperkirakan B, dimana b dan c
merupakan perkiraan B dan C.
a) Hitung b dan c dengan menggunakan regresi y terhadap x1 dan x2!
b) Buat regresi y terhadap x2 dan hitung residual y* (y* = y – Px2i). Buat regresi xi
terhadap x2’ dan hitung residual x1 (x1 = x1 – Qx2). Sekarang buat regresi y
terhadap x1 untuk memperoleh b sebagai perkiraan B.
Tunjukkan bahwa hasil a) = b), artinya b= b.
c) Tunjukkan bahwa residual regresi dari setiap prosedur yaitu : y i = bx1i – cx2i dari a)
dan y i∙ - b ∙ x1 i
∙ dari b) sama.
Jawaban Soal-Soal Latihan Bab 5
Jawaban
1.
X2 X3 Y X2*
In X2
X3*
In X3
Y*
In Y
281,5
284,4
289,0
375,8
375,2
402,5
478,0
553,4
616,7
695,7
790,3
816,0
848,4
873,1
999,2
120.753
122.242
125.263
128.539
131.427
134.267
139.038
146.450
153.714
164.783
176.864
188.146
205.841
221.748
239.715
8.911,4
10.873,2
11.132,5
12.086,5
12.767,5
16.347,1
19.542,7
21.075,9
23.052,0
26.128,2
29.563,7
33.376,6
38.354,3
46.868,3
54.308,0
5,640
5,650
5,667
5,930
5,927
5,997
6,169
6,316
6,424
6,544
6,672
6,704
6,743
6,772
6,906
11,701
11,713
11,738
11,763
11,786
11,807
11,842
11,894
11,942
12,012
12,083
12,144
12,234
12,309
12,387
9,095
9,294
9,317
9,399
9,454
9,701
9,880
9,955
10,045
10,170
10,294
10,415
10,554
10,755
10,902
X2* = 94,061 X3
* = 179,355 Y* = 149,23
X2* = 6,270 X3
* = 11,957 Y* = 9,948
X2*
(X2* - X2
*)
X3*
(X3* - X3
*)
Y*
(Y* - Y*)
47
-0,630
-0,620
-0,603
-0,340
-0,343
-0,273
-0,101
0,046
0,154
0,274
0,402
0,434
0,473
0,502
0,636
-0,256
-0,244
-0,219
-0,194
-0,171
-0,150
-0,115
-0,063
-0,015
0,055
0,126
0,187
0,277
0,352
0,430
-0,853
-0,654
-0,631
-0,549
-0,494
-0,247
-0,068
0,007
0,097
0,222
0,346
0,467
0,606
0,807
0,954
X2*2 X3
*2 X2* X3
* X2* Y* X3
* Y*
0,3969
0,3844
0,3636
0,1156
0,1176
0,0745
0,0102
0,0021
0,0237
0,0750
0,1616
0,1883
0,2237
0, 2520
0,4044
0,0655
0,0595
0,0479
0,0376
0,0292
0,0225
0,0132
0,0039
0,0002
0,0030
0,0158
0,0349
0,0767
0,1239
0,1849
0,1612
0,1512
0,1320
0,0660
0,0590
0,0409
0,0016
-0,0029
-0,0024
0,0150
0,0506
0,0812
0,1310
0,1768
0,2735
0,5374
0,4055
0,3805
0,1867
0,1694
0,0675
0,0070
0,0003
0,0150
0,0608
0,1390
0,2026
0,2867
0,4051
0,6067
0,2184
0,1596
0,1382
0,1065
0,0844
0,0370
0,0080
-0,0004
-0,0014
0,0122
0,0435
0,0874
0,1680
0,2840
0,4102
X2*2
2,7936
X3*2
0,7187
X2*X3
*
1,3447
X2*Y*
3,4702
X3*Y*
1,7556
b12.3 = (X2i* Yi
*) (X3i*2) – (X3i
*Yi*) (X2i
*X3i*)
(X2i*2) (X3i
*2) – (X2i*X3i
*)2
= (3,4702) (0,7187) – (1,7556) (1,3447)
48
(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2
= 2,4940 – 2,3607
2,0078 – 1,8082
= 0,1334
0,1996
b12.3 = 0,6683
b13.2 = (X3i*Yi
*) (X2i*2) - (X2i
* Yi*) (X2i
*X3i*)
(X2i*2) (X3i
*2) – (X2i*X3i
*)2
= (1,7556) (2,7936) – (3,4702) (1,3447)
(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2
= 4,9045 – 4,6664
2,0078 – 1,8082
= 0,2381
0,1996
b13.2 = 1,1930
b0 = Y* - b12.3 X2* - b13.2X3
*
= 9,948 - 0,6683 (6,270) - 1,1930 (11,957)
= 9,948 – 4,1902 – 14,2650
= -8,5072
Yi*2 = (-0,853)2 + (-0,654)2 + (-0,631) 2 + (-0,549) 2 + (-0,494) 2 + (-0,247) 2 +
(0,068) 2 + (0,007) 2 + (0,097) 2 + (0,222) 2 + (0,346) 2 + (0,467) 2 + (0,606)2 +
(0,807)2 + (0,954) 2 = 3,7682
ei2 = Yi
*2 - b12.3X2i* Yi
* - b13.2X3i*Yi
*
= 3,7682 - 0,6683 (3,4702) - 1,1930 (1,7556)
= 3,7682 – 2,3191 – 2,0945
= -0,6454
Se2 = ei
2/ n – 3
= -0,6454 / 12
= -0,0540
Se = √-0,0540
= Tak terhingga / angka hayal
R2 = Ŷi*2 / y i
*2 atau b12.3X2i* Yi
* + b13.2X3i*Yi
*
y i*2
49
= 0,6683 (3,4702) + 1,1930 (1,7556)
3,7682
= 2,3191 + 2,0945 = 4,4136
3,7682 3,7682
= 1,1712
Sb12.32 = Se
2 X3i*2
(X2i*2) (X3i
*2) – (X2i*X3i
*)2
= -0,0540 0,7187
(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2
= -0,0540 0,7187
2,0078 – 1,8082
= -0,0540 0,7187
0,1996
= -0,0540 (3,6007)
= -0,1945
Sb12.3 = √-0,1945
= Tak terhingga / angka hayal
Sb13.22 = Se
2 X2i*2
(X2i*2) (X3i
*2) – (X2i*X3i
*)2
= -0,0540 2,7936
(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2
= -0,0540 2,7936
2,0078 – 1,8082
= -0,0540 2,7936
0,1996
= -0,0540 (14,0000)
= -0,756
Sb13.2 = √-0,756
= Tak terhingga / angka hayal
Persamaan regresi linear berganda:
Ŷ = -8,5072 + 0,6683X2* + 1,1930X3
*
R2 = 1,1712
Standard error: √-0,1945 = (Tak terhingga / angka hayal)
√-0,756 = (Tak terhingga / angka hayal)
Se = √-0,0540 = Tak terhingga / angka hayal
2. Tunjukkan bahwa :
50
r13.2 = r13−r 12r
23
√(1−r122 )√ (1−r23
2 )
r23.1 = r 23−r 12r
13
√(1−r122 )√ (1−r13
2 )
Jawabannya :
Pembilang : ∑aici = ∑ (y2i – b13x3i) (x2i – b23x3i)
= ∑x2iyi – b13 ∑x2ix3i – b23 ∑x3iyi + b13 b23 ∑x23i
= ∑x2i yi – r13 S1
S3 ∑x2ix3i – r23
S2
S3 ∑x3iyi + r13 r23
S1 S2
S32 ∑x2
3i
= r12 √∑ x2i2 √∑ y i
2 - r13 S1
S3 r23 √∑ x2i
2 √∑ x3i2 - r23
S2
S3 r13√∑ x3i
2 √∑ y i2 + r13
r23 S1 S2
S32 ∑x2
3i
= r12 nS1S2 – r13 S1
S3r23 nS2S3 – r23
S2
S3 r13 nS1S3 + r13 r23 nS1S3 + r13 r23
nS1S2
= nS1S2r12 – r13S1r23nS2 – r23 S2r13nS1 + r13r23 nS1S2
= nS1S2 (r12 – r13r23)
Penyebut : √∑ai2∑c i
2 = √∑ y i ¿¿¿ √∑ x2i ¿ ¿¿
= √∑ y i2 √∑ x2i
2 √(1−r132 ¿)¿ √(1−r23
2 ¿)¿
= nS1S2 √(1−r132 ¿)¿ √(1−r23
2 ¿)¿
Jadi, r12.3 = r12−r 13r
23
√(1−r132 )√ (1−r23
2 )
Dengan jalan yang sama :
r13.2 = r13−r 12r
23
√(1−r122 )√ (1−r23
2 )
r23.1 = r 23−r 12r
13
√(1−r122 )√ (1−r13
2 )3. a). Bukti : r1.23 = (R2 – r13) / (1-r13)
Telah ditunjukkan bahwa:
R2 = r122 + r13
2 - 2r12 r13 r23 _ x3i yi
1 - r232 √x3i
2 √ yi2
1 - r13
= r122 + r13
2 - 2r12 r13 r23 _ r13
51
1 - r232
1 - r13
= R2 - r13
1 - r13
Jadi, r1.23 = (R2 – r13) / (1-r13) , terbukti
4. r23 = 0,9 artinya sumbangan X3 terhadap X2 sebesar 9%
r12 = 0,6 artinya sumbangan X2 terhadap Y sebesar 6%
r23 = 0,01 artinya sumbangan X3 terhadap X2 sebesar 10%
r13 = -0,2 artinya sumbangan X3 terhadap Y sebesar 2%
r23 = -0,9 artinya sumbangan X3 terhadap X2 sebesar 9%
r13 = 0,66 artinya sumbangan X3 terhadap Y sebesar 6,6%
r12 = 0,8 artinya sumbangan X2 terhadap Y sebesar 8%
r31 = -0,5 artinya sumbangan Y terhadap X3 sebesar 5%
r31 = -0,7 artinya sumbangan Y terhadap X3 sebesar 7%
7. Dalam keadaan yang bagaimana b12.3 = b12 dan b13.2 = b13 ?
b12.3 = (∑x2iyi)( ∑x3i2) – (∑x3iyi)(∑x2ix3i) = b12 = (∑x2iyi)– (∑yi)(∑x2i)
(∑x2i2) ( ∑x3i
2) - (∑x2ix3i)2 (∑x2i2) - (∑x2i)2
b13.2 = (∑3iyi)( ∑x2i2) – (∑x2iyi)(∑x2ix3i) = b13 = (∑x3iyi)– (∑yi)(∑x3i)
(∑x2i2) ( ∑x3i
2) - (∑x2ix3i)2 (∑x3i2) - (∑x3i)2
8. b12.3 = (∑x2iyi)(∑x3i2) - (∑x3iyi)(∑x2ix3i)
(∑x2i2)(∑x3i
2) - (∑x2ix3i)2
= (74.778,346)(280) - (4.250,900)(4.796)
(84.855,096)(280) - (23.001.616)
= 20.937.936,88 - 20.387.316,4
23.759.426,88 – 23.001.616
= 550.620,48
757.810,88
= 0,726593526
52
b13.2 = (∑x3iyi)(∑x2i2) - (∑x2iyi)(∑x2ix3i)
(∑x2i2)(∑x3i
2) - (∑x2ix3i)2
= (4.250,900)( 84.855,096) – (74.778,346)( 4.796)
(84.855,096)(280) - (23.001.616)
= 360.710.527,6 – 358.636.947,4
23.759.426,88 – 23.001.616
= 2.073.580,2
757.810,88
= 2,736278629
b1.23 = Y - b12.3 X
2 – b13.2X
3
= 367.693 – (0,726593526)(402,70) – (2,736278629)(8)
= 367.693 – 292,5992129 – 21,89022903
= 367.378,5106
∑ei2 = ∑yi2 – b12.3∑x2iyi – b13.2
∑x3iyi
= 66.042,269 – (0,726593526)( 74.778,346) – (2,736278629)( 4.250,900)
= 66.042,269 – 54.333,46209 – 11.631,64682
= 77,16009
Se2 = ( ∑ei
2 )
n-3
= 77,16009
12
= 6,4300075
Se = 2,535745945
R2 = ∑ŷi2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi
∑yi2 ∑yi
2
53
= (0,726593526)( 74.778,346) + ((2,736278629)( 4.250,900)
66.042,269
= 54.333,46209 + 11.631,64682
66.042,269
= 65.965,10891
66.042,269
= 0,998831656
∑ei2/ (n-k)
R2= 1-
∑yi2/(n-1)
77,16009/(15-3)
= 1-
66.042,269/(15-1)
6,4300075
= 1-
4.717,304929
= 1 - 0,001363068
= 0,998636932
54
Daftar Pustaka
Supranto, J. 2005. Ekonometri. Bogor : Ghalia Indonesiawww.bps.go.idwww.bappeda.go.idBadan Pusat StatistikBank Indonesia
55