Post on 19-Jan-2017
Deret dan Transformasi Fourier Risanuri Hidayat,
Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM, Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIA
risanuri@te.ugm.ac.id (risanuri@gmail.com)
Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan non-periodis yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier.
1.1 Deret Fourier
1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis kontinyu
Sebuahisyaratperiodispastiakanmempunyaipersamaan,
.............................................. (1)
Untuksemua t (waktu).T adalahperiodewaktuketikafungsimulaiterulang.
Setiapfungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodic dengan periode T = 1 / f = 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz) dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis, dengan T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 = frekuensi fundamental
Gambar 1.Contoh isyarat periodis
Suatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyarat-isyarat cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0
∑+∞
−∞=
=k
tjkkeatx 0)( ω
............................................................................................... (2)
Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k= 0,±1,±2, ... . Untuk k=0 maka akdisebut komponen dc. Untukk=±1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk k=±2, ±3,..maka ak disebut komponen harmonik ke –k.
Ketika k=0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari +1 ∞, maka persamaan menjadi
∑+∞
+=
−−++=
10
00)(k
tjkk
tjkk eaeaatx ωω
.............................................................. (3)
Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*
-k=ak atau a*k=a-k. Sehingga persamaan
menjadi
∑+∞
=
−++=1
*0
00)(k
tjkk
tjkk eaeaatx ωω
................................................................... (4)
Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan
{ }∑+∞
=
+=1
00Re2)(
k
tjkkeaatx ω
.............................................................................. (5)
Jika ak = Ak e jθk
{ }∑+∞
=
++=1
(0
0Re2)(k
tkjk
keAatx θω
.................................................................... (6)
Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z=x+iy, maka Re{z} adalah bagian real dari z, yaitu x. Persamaan menjadi
∑+∞
=
++=1
00 )(2)(k
kk tkCosAatx θω......................................................................(7)
Dan jikaakdinyatakandenganak= Bk + j Ck,makadapatdibuktikanbahwa
[ ]∑+∞
=
−+=1
000 )()(2)(k
kk tkSinCtkCosBatx ωω ....................................................(8)
1.1.2 Koefisien Fourier ak
Anggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2), maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengan
tjne 0ω− , akan diperoleh
∑+∞
−∞=
−− =k
tjntjkk
tjn eeaetx 000 .).( ωωω
..............................................................(9)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 = 2π/ω0 , sehingga
∫ ∑∫∞+
−∞=
−− =0
00
0
0
00
.).(T
k
tjntjkk
Ttjn dteeadtetx ωωω
...............................................(10)
T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selama satu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan,
∑ ∫∫∞+
−∞=
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
k
Ttnkj
k
Ttjn dteadtetx
0
0
0
0
0
)(
0
).( ωω
...............................................(11)
Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k≠n, kedua integral di sisikananadalah nol. Untuk k= n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0. Secararingkaskemudiankitamendapatibahwa
∫ ⎢⎣
⎡≠=
=−0
0
0
0)(
,0,T
tnkj
nknkT
dte ω
.......................................................................(12)
Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k=n. Integralsepanjang interval T0 menghasilkan ekspresi
00
0
)(
0
.).(
).(
0
0
0
0
0
0
Tadtetx
dteadtetx
n
Ttjn
k
Ttnkj
k
Ttjn
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
∫
∑ ∫∫
−
∞+
−∞=
−−
ω
ωω
......................................................(13)
Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut,
∫ −=0
0
00
).(1 Ttjn
n dtetxT
a ω
....................................................................................(14)
Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier, [yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic], maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,
∫
∑
−
+∞
−∞=
=
=
0
0
0
00
).(1
.)(
Ttjk
k
k
tjkk
dtetxT
a
eatx
ω
ω
...............................................................................(15)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
∫=0
)(1
00
T
dttxT
a .......................................................................................(16)
Contoh 1:
Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.
Gambar 2.
Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0 = 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2< t <T0). Dengan batas-batasintegrasitersebut danmenerapkan pada () maka untuk k = 0 didapatkan,
0
11
100
21TTdt
Ta
T
T
== ∫+
−
Sepertidisebutkansebelumnya, a0adalah nilai rata-rata x(t). Untuk k≠0 didapatkan,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
−==
−
+
−
−+
−
−∫
jee
Tka
eTjk
dteT
a
TjkTjk
k
T
T
tjkT
T
tjkk
22
11
1010
00
00
1
100
1
10
ωω
ωω
ω
ω
πωπω
ωω
=≠
==
00
10
00
10
,0
sinsin2
Tkk
TkTk
Tkak
Gambar 3. Koefisien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T0=4T1, (b)
T0=8T1, (c) T0=16T1
.
1.1.3 Deret Fourier untuk isyarat Periodis diskret
Sebuahisyaratperiodisdiskret niscaya memenuhipersamaan,
...........................................................................................(16)
Periode fundamental adalah nilai N, dan ω0= 2Π/Nadalah fundamental frekuensi.Sebagaimana deret Fourier untuk isyarat kontinyu, deret untuk isyarat diskret ini mempunyai bentuk yang sama sebagai berikut,
∑
∑
=
=
=
=
Nk
jk(2πk(2πk
Nk
njkωk
.eax[n]
.eax[n] 0
...............................................................................(17)
Persamaan ini dinyatakan sebagai deret Fourier untuk isyarat (waktu) diskret dan ak adalah koefisien deret Fourier.
1.1.4 Koefisien Fourier ak untuk isyarat diskret Sebagaimana pada isyarat kontinyu, untuk menentukan koefisien ak,kalikan kedua sisi dengan , akan diperoleh
∑=
−− =Nk
njrnjkk
njr eeaenx 000 .].[ ωωω
.................................................(18)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke N , dan ω0 = 2π/N, sehingga
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
= =
−
=
−
= =
−
=
−
= =
−
=
−
=
=
=
Nk Nn
nNrkjk
Nn
nNjr
Nn Nk
nNrkjk
Nn
nNjr
Nn Nk
nNjrnNjkk
Nn
nNjr
eaenx
eaenx
eeaenx
)/2)(()/2(
)/2)(()/2(
)/2()/2()/2(
].[
].[
.].[
ππ
ππ
πππ
..................(19)
Lihat sigma untuk ∑=
−
Nn
nNrkje )/2)(( π . Untuk k≠r, nilainya adalah nol. Untuk k= n, nilai e0
sama dengan l, sehingga nilai sigma adalah N. Secara ringkas kemudian kita mendapati bahwa
⎢⎣
⎡≠=
=∑=
−
rkrkN
eNn
nNrkj
,0,)/2)(( π
..........................................................................(20)
Sigma sepanjang interval N menghasilkan ekspresi
Naenx
Naenx
rNn
nNjr
Nkrk
Nn
nNjr
=
=
∑
∑∑
=
−
==
=
−
)/2(
)/2(
].[
].[
π
π
........................................................(21)
Sehingga ak dapat dinyatakan sebagai,
∑=
−=Nn
Njknk enx
Na )/2(].[1 π
.....................................................................(22)
Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,
∑
∑
=
−
=
=
=
Nn
Njknk
Nk
Njknk
enxN
a
eanx
)/2(
)/2(
].[1
.][
π
π
.........................................................................(23)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
∑=
=Nn
nxN
a ][10
...........................................................................................(24)
Contoh 2. Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar 3 berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.
Gambar 3. Isyarat kotak diskret periodis
Komponen dc = a0adalah:
∑+
−=
+==1
1
10
12][1 N
Nn NNnx
Na
Koefisien Fourier secara umum adalah,
∑−=
−=1
1
)/2(1 N
Nn
Njknk e
Na π
Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi
[ ]∑
∑∑
=
−+
−
−=
−
=
−
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=
1
1
)/2()/2(0
1
1
)/2(1
1
)/2(0
1
1
N
n
NjknNjknk
N
n
NjknN
n
Njknk
eeN
aa
eeN
aa
ππ
ππ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=−+
2)cos(
αα
αjj ee
∑
∑
=
=
−+
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=
1
10
1
1
)/2()/2(
0
)/2cos(2
22
N
nk
N
n
NjknNjkn
k
NknN
aa
eeN
aa
π
ππ
( ) ∑
=
++=1
11 )/2cos(.212
N
nk NknNNa π
Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1+1)=5, dan (a) N=10, (b) N=20,
dan (c) N=40.
1.2 Transformasi Fourier
1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyu
Sebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhi persamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Deret Fourier sebuah fungsi periodis dinyatakan sebagai,
∑+∞
−∞=
=k
tjkk eatx 0.)( ω
...........................................................................................(25)
DenganT0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 : frekuensi sudut fundamental, f0 = 1/T0. Sedangkan koefisien deret Fourier dinyatakan dengan persamaan,
∫+
−
−=2
20
0
0
0).(1 T
T
tjkk dtetx
Ta ω
..................................................................................(26)
atau
∫+
−
−=2
20
0
0
0).(T
T
tjkk dtetxaT ω
....................................................................................(27)
Ketika T0 bertambah besar, yang berarti ω0 mengecil, maka jarak antar koefisien Fourier menjadi semakin kecil juga (merapat). Gambar 5 memperlihatkan bahwa jarak antar koefisien Fourier semakin rapat. Ketika T0 bernilai sangat besar, maka koefisien Fourier sangat rapat dan menjadi fungsi kontinyu ketika T0 ∞. Ketika T0 bernilai sangat besar, T0 ∞, maka koefisien Fourier dinyatakan dengan,
∫+∞
∞−
−= dtetxaT tjkk
0).(0ω
...................................................................................(28)
Dengan X(ω)=T0ak dan ω=k ω0 maka persamaan menjadi,
∫+∞
∞−
−= dtetxX tjωω ).()( ..................................................................................(29)
Gambar 6. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis. (a) fungsi aperiodis, (b) fungsi periodis dengan
periode T0
Sebagaimana terlihat pada Gambar 6, Fungsi Aperiodis dapat dilihat sebagai fungsi periodis dengan T0 ∞. Diketahui bahwa
000 ,/2 ωωωπ kdanT ==
)(1)(1
00
0
ωω XT
kXT
ak ==
Maka persamaan (25) menjadi,
0
0
)(21)(
)(1)(
ωωπ
ω
ω
ω
∑
∑∞+
−∞=
+∞
−∞=
=
=
k
tj
k
tj
eXtx
eXT
tx
...........................................................................(30)
Ketika T0 ∞, sehingga ω0 dω. Dengan demikian persamaan (30) menjadi berbentuk integral,
ωωπ
ω∫+∞
∞−
= deXtx tj)(21)(
.............................................................................(31)
Persamaan pasangan Transformasi Fourier adalah,
∫
∫∞+
∞−
−
+∞
∞−
=
=
dtetxX
deXtx
tj
tj
ω
ω
ω
ωωπ
).()(
)(21)(
............................................................................(32)
Contoh 3:
Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut,
Tentukan Trnasformasi Fourier dari isyarat tersebut.
Jawab:
Transformasi Fourier dapat ditentukan dengan persamaan (32), sehingga ditemukan
Hasilnya dapat dilihat seperti pada Gambar 7.
Gambar 7. Isyarat Kotak dan Transformasi Fourier-nya.
Contoh 4:
Ketika sebuah isyarat x(t) mempunyai Transformasi Fourier sebagai berikut,
Carilah persamaan isyarat tersebut,
Jawab:
dengan persamaan (32) isyarat x(t) dapat ditemukan
Isyarat x(t) dan Kawasan Frekuensinya terlihat seperti pada Gambar 8.
Gambar 8. Pasangan Transformasi Fourier dalam contoh 4.
1.2.2 Transformasi Fourier untuk isyarat diskret
Sebagaimana pada isyarat kontinyu aperiodis, isyarat diskret apriodis juga dapat dipertimbangkan sebagai isyarat diskret periodis dengan periode tak terhingga. Ketika periode isyarat semakin besar dan semakin besar, maka deret Fourier akan semakin mendekati menjadi Transformasi Fourier.
Ketika sebuah runtun isyarat aperiodis x[n] yang mempunyai durasi tertentu. Katakanlah N1, sehingga x[n]=0 jika |n|>N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyarat ini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yang diperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar 9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. Ketika N ∞, maka x[n] menjadi tak periodis.
Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahui dari persamaan (23) sebagai berikut,
∑
∑
=
−
=
=
=
Nn
Njknk
Nk
Njknk
enxN
a
eanx
)/2(
)/2(
].[1
.][
π
π
............................................................................(33)
Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis.
(a) fungsi aperiodis,
(b) fungsi periodis dengan periode T0
Untuk N ∞, maka
∑
∑∞+
−∞=
−
+∞
−∞=
−
=
=
N
Njknk
N
Njknk
enxNa
enxN
a
)/2(
)/2(
].[
].[1
π
π
Jika envelope didefinisikan X(ω)=akN, maka persamaan menjadi,
∑+∞
−∞=
−=N
NjknenxX )/2(].[)( πω ........................................................................(34)
Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodis dengan N ∞. Diketahui bahwa
00 ,/2 ωωωπ kdanN ==
)(1)(10 ωω X
NkX
Nak ==
Maka persamaan (33) dan (34) menjadi,
∑
∑∞+
−∞=
−
=
=
=
N
jkn
Nk
njk
enxX
ekXN
nx
0
0
].[)(
).(1][ 0
ω
ω
ω
ω
.........................................................................(35)
Diketahui bahwa ω0 =2π/N, sehingga 1/N=ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskan kembali menjadi,
∑
∑∞+
−∞=
−
=
=
=
N
jkn
Nk
njk
enxX
ekXnx
0
0
].[)(
.).(21][ 00
ω
ω
ω
ωωπ
........................................................................(36)
Ketika N ∞, maka ω0 dω, dan 0ωω k= . Persamaan (36) membentuk persamaan pasangan Transformasi Fourier sebagai berikut,
∑
∫∞+
−∞=
−=
=
N
jn
nj
enxX
deXnx
ω
π
ω
ω
ωωπ
].[)(
).(21][
2
................................................................................(37)
Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π.
Contoh 5:
Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,
Dengan N1 = 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.
Jawab:
Dengan N1 = 2, )(ωX dapat dicari yaitu,
ωωωωωω 222
2
)( jjjj
N
jn eeeeeX −−+
−=
− +++== ∑
1.3 Transformasi Fourier Diskret (DFT)
Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesis sinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untuk implementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier Transform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga.
Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehingga
N n 0 intervaldiluar x[n]untuk 0=x[n] ≤≤ ................................................(38)
Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperoleh dengan
∑=
−=Nn
Njknk enx
Na )/2(].[1 π
Menjadi
∑−
=
−=1
0
)/2(].[1 N
n
Njknk enx
Na π ..........................................................................(39)
Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian, isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyarat periodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,
∑−
=
−=1
0
)/2(].[1)(N
n
NjknenxN
kX π ..........................................................................(39)
Persamaan (39) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier Transform). Ketika x[n] dianggap periodis dengan periode N, dari (23) isyarat tersebut dibentuk dari koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut,
∑
∑−
=
=
=
=
1
0
)/2(
)/2(
).(][
.][
N
n
Njkn
Nk
Njknk
ekXnx
eanx
π
π
.............................................................................(40)
Persamaan (40) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret Balik (IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform).
Persamaan (39) dan (40) membentuk pasangan Transformasi Fourier Diskret (DFT), yaitu,
∑
∑−
=
−
=
−
=
=
1
0
)/2(
1
0
)/2(
).(][
].[1)(
N
n
Njkn
N
n
Njkn
ekXnx
enxN
kX
π
π
.......................................................................(41)