DAFTAR PUSTAKA

Arifin,M. Ilmu Pendidikan Islam. Jakarta: Bumi Aksara, 1996.

Arikunto, Suharsimi. Prosedur Penelitian. Jakarta : Rineka Cipta, 1993.

Arikunto,Suharsimi. Prosedur Penelitian. Cet.VIII;Jakarta:Renika Cipta,1991.

Departemen Pendidikan Dan Kebudayaan. Kamus Besar Bahasa Indonesia Edisi Ii. Cet. Iv; Jakarta: Balai Pustaka, 1995.

Djamarah,Syaiful Bahri. Prestasi Belajar dan Kompetensi Guru. Surabaya: Usaha Nasional, 1994.

Departemen Agama RI., Al-Qur`an Terjemah Perkata (Type Hijaz). Jakarta: Syaamil Internsional, 2007.

Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Kamus Besar Bahasa Indonesi.,

Djamarah, Syaiful Bahri. Prestasi Belajar dan Kompetensi Guru. Surabaya: Usaha Nasional, 1994.

Djamarah,Syaiful Bahri. Guru dan Anak Didik dalam Intraksi Edukatif. Cet. I; jakarta:Rineka Cipta, 2000.

Dradjat, Zakiah. Ilmu Pendidikan Islam.,

Dradjat,Zakiah. Ilmu Pendidikan Islam. Cet.Iv;Jakarta :Bumi Angkasa, 2000.

Hamalik,Oemar. Pendidikan Guru Berdasarkan Pendekatan Kompetensi. Cet. IV; Jakarta: Bumi Aksara, 2006.

Ismail,Feiby. Kurikulum Berbasis Kompetensi Dan Kurikulum Tingkat Satuan Pengajaran,Jurnal Iqro Vol. Ii Negeri: Manado, 2006.

Joko Susilo,Muhammad. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan. Cet. I;Yogyakarta :Pustaka Pelajar,2007.

John Echol,M dan Hargon shadily. Kamus Inggris-Indonesia. Cet. Iv; Jakarta: Balai Pustaka, 1994.

Liw es, Sanusi. Manajemen Pengembangan Mutu, Jakarta: Logos Wacana Ilmu, 1999.

Mulyasa. Kurikulum Berbasis Kompetensi, Konsep,Karakteristik dan Implementasi. Cet V ; Bandung : Rosda, 2004.

Munawwir,Ahmad Warson. Kamus Arab-Indonesia. Cet Xiv;Surabaya: Pustaka Progresif,1997.

Mulyasa. Kurikulum Tingkat Satuan Pembelajaran. Cet. I;Bandung:Remaja Rosdakarya, 2006.

Nasution,Harun. Didaktik Asas-Asas Mengajar. Cet. Ii;Jakarta :Bumi Aksara,2000.

Nurdin,Syarifuddin dan Basyiruddin Usman. Profesional dan Implementasi Kurikulum., Shihab,M. Quraish. Tafsir al – Misbah Vol. 5, Jakarta : Lentera Hati, 2007.

Syah, Muhibbin. Psikologi Pendidikan. Cet. VI; Bandung:Remaja Rosdokarya,2001.

Surahmat,Winarno. Dasar dan Teknik Resaerch. Bandung:Tarsita,1972.

Sudjana,Nana. Penelitian dan Pendidikan. Bandung: Sinar Baru, 1998.

Thontowi,Ahmad. Psikologi Pendidikan. Cet.I; Bandung: Angkasa,1993.

Undang-undang RI No. 2 Tahun 1989, 1992.

Uzer Usman,Moh. Menjadi Guru Profesional. Bidang: PT Remaja Rosdakarya, 2006

KALKULUS 1

MODUL 6

V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI )

5.1. Pengertian

Diketahui y = F(x) suatu fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pertama, kedua

dan ketiga pada domainnya.

Kita anggap turunan pertama, kedua, dan ketiga suatu fungsi y = F(x) masih

merupakan fungsi juga, berturut-turut f(x), g(x) dan h(x) :

y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=F'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x)

y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x)

fungsi ↔ grafik / kurva

ekstrem ↔ puncak

maksimum ↔ tertinggi

minimum ↔ terendah

harga nol ↔ titik potong dengan sumbu x

Kita bicarakan fungsi y = f(x) dengan gambarnya.

Yang akan kita bicarakan hanya titik–titik puncak (stasioner),

titik belok (datar dan miring).

A P Q

y = F(x) B C

(a)

T

y' = f(x) C1

(b) Q1

B1

(c)

y'' = g(x)

(d)

y''' = h(x)

Titik P & T = titik puncak

Titik B, C, Q = titik belok (B, C belok miring, Q belok datar)

A – P

Naik, y' > 0

T – C – Q

P-B-T turun, y' < 0

P = Titik tertinggi relatif

T = Titik terendah relatif

Q = Titik belok mendatar pada P → y''< 0

B, C = Titik belok miring

pada T → y'' > 0

Pada P, T, Q → y' = 0, dan y'' = 0

pada Q → y''' ≠ 0

y' ≠ 0

Pada B dan C → y'' = 0

y''' ≠ 0

xP xB

xT diperoleh dari y' = 0 diperoleh dari y'' = 0

xQ xC

(a) = grafik fungsi yang dicari ekstrem dan titik beloknya

(b) = grafik fungsi turunan pertama

(c) = grafik fungsi turunan kedua

(d) = grafik fungsi turunan ketiga

Ciri-ciri titik tersebut (lihat gambar) sebagai berikut:

P titik tertinggi/maksimum: y' = 0, y'' < 0

T titik terendah/minimum: y' = 0, y'' > 0

Q titik belok datar: y' = 0, y''= 0, y''' > 0

B titik belok miring ke kiri: y' < 0, y'' = 0, y''' > 0

C titik belok miring ke kanan: y' < 0, y'' = 0, y''' < 0

Sebenarnya masih ada lagi titik-titik khusus yaitu:

D y' = +∞ → D = titik tertinggi / maksimum

E y' = - ∞ → E = titik terendah / minimum

F

y' = tak tentu → F = titik terasing

Tetapi titik D, E, dan F disini tidak di bicarakan.

Contoh Soal-Jawab

1. Selidiki maksimum dan minimum f(x) = x ( 12 – 2x )2 dengan menggunakan metode

turunan kedua !

Dari uraian dapat disimpulkan :

Syarat perlu ekstrem / belok datar y' = 0

Syarat cukup : maksimum bila y'' < 0

minimum bila y'' > 0

y'' = 0

belok datar bila

y = F(x) → y''' ≠ 0

Jawab:

f1(x) = (12-2x)2 + 2x(-2)(12-2x) = (12-2x)(12-6x) = 12(6-x)(2-x)

Syarat ekstrem f1(x) = 0 = 12(6-x)(2-x) x1 = 6 , x2 = 2

f11(x) = -12(2-x) + 12(6-x)(-1) = -24+12x-72+12x = 24(x-4)

f11(6) = 24 ( 6 – 4 ) > 0 f(6) = 0 = harga minimum di x = 6 (6,0) min.

f11(2) = 24 (2–4)<0 f(2) = 128 = harga maksimum di x = 2 (2,128) max.

Titik belok f11(x) = 0 = 24(x-4) x = 4 y = 4(12-2.4)2 = 4.16 = 64 (4, 64)

( Batas grafiks cembung dan grafiks cekung ).

Grafiks:

- Perpotongan dengan sumbu y x = 0 y = 0 (12-0)2 = 0 (0,0)

- Perpotongan dengan sumbu x y = 0 0 = x ( 12 – 2x )2 (0,0) & (6, 0)

- Perilaku grafiks: ada 3 daerah:

- Daerah I: x < 2 y1 > 0 grafiks naik

- Daerah II: 2< x < 6 y1 < 0 grafiks turun

- Daerah III: x > 6 y1 > 0 grafiks naik

Y 128

O 6 x

2. Soal sama 1) untuk y = x2 +

Jawab:

y1 = 2x - = ; y1 = 0 x = 5

y11 = 2 + y11 > 0 di x = 5 y = 75 = harga minimum

Grafiks : y

75

(x2 + ) =

(x2 + ) = O 5 x

3. Soal sama 1) untuk y = (x-2)5/3

Jawab:

y1 = 5/3 ( x – 2)2/3 ; y1 = 0 x = 2

y11 = 10/9 (x – 2)-1/3 = y11 = ∞ di x = 2

Untuk x < 2 y1 > 0 di x = 2

untuk x > 2 y1 > 0 titik belok datar

Grafiks:

Daerah x < 2 grafiks cembung ( y11< 0 ),

daerah x > 2 grafiks cekung ( y11> 0 ).

2

4. Soal sama 1) untuk y = (x-2)4/3

Jawab:

y1 = 4/3 ( x – 2)1/3 ; y1 = 0 x = 2

y11 = 4/9 (x – 2)-2/3 = y11 = ∞ di x = 2

Untuk x < 2 y1 < 0

untuk x > 2 y1 > 0 y = 0 harga minimum di x = 2

Grafiks 4):

2

5. Soal sama 1) untuk y = (x-2)2/3

Jawab:

y1 = 2/3 ( x – 2)-1/3 ; y1 = ∞ x = 2 harga kritis

y11 = -2/9 (x – 2)-4/3 = - y11 = ∞ di x = 2

Untuk x < 2 y1 < 0 di x = 2

untuk x > 2 y1 > 0 y = 0 harga minimum relatif

Grafiks:

Daerah grafiks dibelah jadi 2:

Daerah I : x < 2 y11 < 0 grafiks cembung

Daerah II : x > 2 y11 < 0 grafiks cembung

2

6. Soal sama 1) untuk y = (x-2)1/3

Jawab:

y1 = 1/3 ( x – 2)-2/3 ; y1 = ∞ x = 2 harga kritis

y11 = -2/9 (x – 2)-5/3 = - y11 = ∞ di x = 2

Untuk x < 2 y1 < 0 di x = 2

untuk x > 2 y1 > 0 titik belok miring

Grafiks:

Mirip dengan soal 2), tetapi di sini terjadi titik belok miring.

Daerah grafiks dibelah jadi 2:

Daerah I : x < 2 y11 > 0 grafiks cekung (ekstrem minimum)

Daerah II : x > 2 y11 < 0 grafiks cembung (ekstrem maksimum)

2

Menggambar grafiks dengan menggunakan turunan/deferensial

Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = a x3 + b x2 + c x + d,

a, b ,c , d konstanta, a ≠ 0.

Jawab:

a). Titik potong dengan sumbu y x = 0 y = d (0,d)

b). Titik potong dengan sumbu x y = 0 a x3 + b x2 + c x + d = 0

ada tiga titik potong.

c). Titik stasioner : dy/dx = 3 ax2 + 2 bx + c = 0 ada dua titik puncak.

Daerah grafik terbelah tiga oleh garis absis koordinat puncak.

Pada umumnya bila a < 0: grafik dari kiri turun kemudian naik terakhir turun

( ); a > 0 : ( )

d). Titik belok d2y/dx2 = 0 = 6 ax + 2 b x = - b/(3a) (- b/(3a) , y)

Titik belok: biasanya terletak di antara dua titik puncak, atau merupakan

batas antara grafiks cekung dan grafiks cembung.

Contoh Soal:

Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = 3x – x3 !

Jawab: y = 3x – x3

- Titik potong dengan sumbu y x = 0 y = 0 (0,0)

- Titik potong dengan sumbu x y = 0 3x – x3 = 0

x (3 – x2) = 0 x1=0, x2= -√3, x2= √3

jadi tiga titik potong: (0,0), (-√3,0), ( √3,0)

- Titik stasioner: dy/dx = 0 = 3 – 3x2 3(1+x)(1-x)=0 x1=-1, x2= 1

x1=-1 y1 = 3.(-1) - (-1)3 = -3 + 1 = -2 (-1,-2) (ttk puncak)

x2= 1 y2 = 3.(1) - (1)3 = 3 - 1 = 2 ( 1, 2 ) (ttk puncak)

Karena koef x3 < 0, maka grafik : ( )

- Titik belok d2y/dx2 = - 6 x = 0 x = 0 y = 3.0 – 03 = 0 (0,0)

y (1,2)

,-√3 ,-1 0 ,1 ,√3 x

. - -2

.(-1,-2)

Soal: Buktikan gambar grafik y = x3 - 3x seperti di bawah ini !

y

,-√3 ,-1 0 ,1 ,√3 x

.

5.2. Aplikasi Ekstrem Fungsi

Yang baru saja kita bicarakan adalah tentang ekstrem fungsi, kita kenakan pada grafik

fungsi tersebut yang di gambarkan sebagai ordinat puncak dan titik belok.

Pengertian ekstrem fungsi banyak digunakan dalam bidang fisika, kimia, biologi,

ekonomi, kerekayasaan, dan sebagainya.

Biasanya masalah-masalah / persoalan yang bersifat kuantitatif yang dapat

di’fungsi’kan, dengan demikian dapat dicari ekstremnya. Dalam hal ini arti ekstrem

aplikasinya dapat berarti terbanyak-tersedikit, terjauh-terdekat, terbesar-terkecil, dan

sebagainya. Berikut ini beberapa contoh kegunaan pengertian ekstrem.

Contoh:

1. Petruk dan Bagong membagi uang Rp. 1000,-. Bila bagian Petruk dan Bagong

dikalikan akan mencapai ekstrem. Berapakah bagian masing-masing? Dan

berapakah ekstrem tersebut? Ekstrem maksimum atau ekstrem minimum?

Jawab: Masalah tersebut kita matematikkan demikian:

misalnya uang Petruk = p dan uang Bagong = b,

maka p + b = 1000.

Misal p . b = z berarti z = (1000–b).b = -b2 + 1000b

z sebagai fungsi dari b.

z mencapai ekstrem bila = - 2b + 1000 = 0

b = 500 p = 500

= -2 < 0

Jadi uang masing-masing adalah Rp. 500,-

Ekstrem hasil kali uang mereka adalah Rp. 250.000,-

Dan jenis ekstrem adalah masksimum, karena z'' = -2 < 0

2. Kawat sepanjang 100 m dipotong menjadi dua, yang satu

dibentuk lingkaran dan yang lain dibentuk bujur sangkar.

Tentukan panjang masing-masing agar jumlah luas daerah

lingkaran dan bujur sangkar tersebut maksimum ! ( π = 22/7 )

Jawab: - Potongan kawat AC dibentuk

A C B lingkaran

- Potongan kawat CB dibentuk

bujur sangkar.

P1 = 2πR, L1 = πR2, P2 = 4 x, L2 = x2

P1 + P2 = 2πR + 4 x = 100 x = 25 – ½ πR ............... (i)

L = L1 + L2 = πR2 + (25 - ½ πR)2

dL/dR = 2πR + 2(25 - ½ πR).(- ½ π) = 2πR - 25π + ½ π2 R

Syarat ekstrem: dL/dR = 0, jadi 2πR - 25π + ½ π2 R = 0

Atau 4R- 50 + π R = 0 R = 50/(4 + π) = 50/(4+22/7) = 7 ..(ii)

(ii) masuk (i) diperoleh x = 25 – ½ . 22/7 . 7 = 25 – 11 = 14

Jadi panjang msing-masing: P1 = 2πR = 2 . 22/7 . 7 = 44 m //

P2 = 4 x = 4 . 14 = 56 m //

3. Sebuah container, volumenya = 72 m3, panjang = 2 kali lebarnya. Tentukan ukuran

container tersebut agar bahan yang digunakan sehemat-hematnya.

Jawab:

Container V = 2 x2 y = 72 y = 36/x2

y

Bahan sehemat-hematnya, berarti

x luas (selubung) minimum.

2 x

L = 2 . 2x2 + 2 . xy + 2 . 2xy

Untuk y = 36/x2 , maka L = 4x2 + 2x (36/x2) + 4x(36/x2)

L = 4x2 + 216/x

L' = 8 x – 216/x2 = 0 x3 = 27 x = 3; y = 36/9 = 4

Jadi ukuran container: panjang = 6 m, lebar = 3 m, tinggi = 4 m

4. Sebuah kaleng susu berbentuk silinder, luas = 924 cm2.

Tentukan ukuran silinder, agar isi silinder tersebut sebanyak-banyaknya.

Jawab:

Silinder Luas = 2πR2 + 2πRt = 924

t =

t V = πR2t = πR2 . = 462 R – πR3

R

V' = 462 - 6πR2 = 0 R2 = 462/6π = 49 R = 7

t = = = 14

Jadi ukuran silinder tersebut: R = 7 cm, dan tinggi = 14 cm //

5. Dalam daerah ½ lingkaran jari-jari

R, dibuat empat persegi panjang

y seperti gambar disamping.

x R Tentukan luas maksimum daerah

empat persegi tersebut.

Jawab:

Misal sisi-sisi 4 persegi tersebut x dan y, maka

x2 + ( ½ y )2 = R2 y = 2

Luas = L = x y = 2x .

dL/dx = 0 2 + 2x . ½ (R2 – x2)-1/2 . (-2x) = 0

R2 – x2 = x2 x = ½ R√2

Jadi Luas maksimum = 2x . =

2. ½ R√2 . = R2

6. C Pada lingkaran jari-jari R dibuat ∆

Singgung ABC sama kaki (AC=BC)

Tentukan luas minimum ∆ tersebut.

Q Jawab:

N R

Misal AB = 2x dan CP = t, maka

CN = t – R, ∆CQN ∞ ∆CPB

A P x B = =

= R2 t2 = x2 (t2 – 2tR) t =

Luas ∆ ABC = L = x t = L' = =0

= 0 2 x4 R = 6 x2 R3

x2 = 3 R2 x = R√3

Luas ∆ ABC = = = 3 R2 √3 //

Soal-Soal

1. Tentukan maksimum/minimum dari bentuk x2 + y2–4x + 6y –3 = 0.

2. Tentukan ekstrem f(x) = cos2x + 2 sinx, ½ π < x < π.

Ekstrem tersebut maksimum atau minimum ?

3. Kaleng berbentuk silinder: bila volume 1 liter, tentukan perbandingan tinggi dan jarijari kaleng itu

agar bahan (luasnya) untuk membuat sehemat-hematnya.

4. C ∆ABC sama kaki, AB = 6 cm dan DC = 4 cm

Dibuat 4 persegi panjang PQRT.

Tentukan maksimum luas 4 persegi panjang

tersebut.

T R

A P D Q B

5.

D C Diketahui titik C pada ellips:

A B

Titik A, B, D pada sumbu-sumbu.

ABCD = 4 segi panjang.

Tentukan maksimum kuas daerah ABCD tersebut !

6. Garis AB melalui titik P(4,2).

B

Tentukan :

P(4,2) a). minimum panjang AB

b). minimum luas ∆OAB

O A

7. Kurva dengan persamaan y = x3 – 3x + 2. Tentukan koordinat:

a). titik tertinggi

b). titik terendah

c). titik belok (miring).

8. Lingkaran, jari-jari = 3. Dibuat ∆ singgung (lingkaran) sama kaki. Tentukan minimum luas

daerah segitiga tersebut.

9. Hasil kali dua bilangan asli = 36. Tentukan minimum kuadrat jumlah kedua bilangan itu.

10. Di dalam bola jari-jari R dibuat kerucut tegak, puncak dan lingkaran kerucut pada bidang

bola. Tentukan maksimum volume kerucut tersebut.

11. Di luar bola jari-jari R dibuat kerucut tegak singgung bola. Tentukan minimum volume

kerucut tersebut.

12. Segitiga ABC siku-siku di A, BC = 10 cm. Tentukan:

a). nilai minimum keliling tersebut.

b). nilai maksimum luas tersebut.

KALKULUS 2

MODUL-8

Bab 11. Integrasi Luas Bidang Datar

b

1. ∫ f(x) dx adalah Luas bidang datar yang dibatasi

a oleh y = f(x), y = 0, x = a, dan x = b.

y y = f(x)

b

Luas = ∫ f(x) dx

a

a dx b sumbu x

d

2. ∫ f(y) dy adalah Luas bidang datar yang dibatasi

c oleh x = f(y), x = 0, y = c, dan y = d.

y

d x = f(y)

dy d

Luas = ∫ f(y) dy

c c

sumbu x

b

3. ∫ (y1 – y2) dx adalah Luas bidang datar yang dibatasi

a oleh y1 = f1(x), y2 = f2(x), x = a, dan x = b.

y

y1 = f1(x) b

Luas = ∫ (y1 – y2) dx

y2 = f2(x) a

a dx b sumbu x

d

4. ∫ (f1 – f2) dy adalah Luas bidang datar yang dibatasi

c oleh x1 = f1(y), x2 = f2(y), y = c, dan y = d.

y x2 = f2(y)

d x1 = f1(y)

dy d

Luas = ∫ (x1 – x2) dy

c c

sumbu x

5. Bentu lain dari 3). Bila y1 dan y2 berpotongan adalah

Luas bidang datar yang dibatasi oleh

y1 = f1(x), y2 = f2(x), x = a, dan x = b.

y y1 = f1(x) y2 = f2(x) Luas =

c b

= ∫(y1–y2)dx + ∫(y2–y1)dx

a c

a dx c dx b sumbu x

6. Bentu lain dari 4). Bila x1 dan x2 berpotongan adalah

Luas bidang datar yang dibatasi oleh

x1 = f1(y), x2 = f2(y), y = c, dan y = d.

y x2 = f2(y)

d

dy e d

Luas = ∫(x1–x2)dy + ∫ (x2–x1)dy

e c e

dy

c x1 = f1(y)

sumbu x

Contoh-Contoh Soal-Jawab:

1). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan

parabola y = 4 x – x2 !

Jawab: Parabola y = 4 x – x2, berpotongan dengan sumbu x,

maka y = 0 4 x – x2 = 0 x1 = 0, x2 = 4.

Karena y”=-2, maka parabola membuka ke bawah.

y 4 4

y=4x–x2 Luas = ∫ f(x) dx = ∫ (4x–x2) dx

0 0

= (2x2- ⅓ x3)|4

0

O dx 4 x = 2(16)- ⅓(64) = 32/3

2). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola

x = 8 + 2 y - y2 , dari y = -1 sampai dengan y = 3 !

Jawab: Karena d2x/dy2 = x”=-2, maka parabola membuka

ke kiri.

y 3 3

3 Luas = ∫ f(y) dy = ∫ (8 + 2 y - y2) dy

-1 -1

dy = (8y + y2 - ⅓y3)|3

-1

x = {8(3)+9-⅓(27)}-{-8+1+1/3} =

-1

= 24 - ( - 20/3 ) = 92/3

3). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola

y1 = 6 x – x2 (P1) dan y2 = x2 – 2x (P2).

Jawab: P1 : y” = -2 (ymax), P2 : y” = 2 (ymin).

Perpotongan P1 dan P2 : 6 x – x2 = x2 – 2x

2x2 – 8x = 0 x1 = 0, x2 = 4

y y=6x–x2 4 4

Luas = ∫ (y1-y2) dx = ∫ (8x–x2) dx

0 0

y =x2–2x = (4x2- ⅔ x3)|4

0

O dx 4 x = 4(16)- ⅔(64) = 64/3

4). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola (P)

x = 3 – y2 dan garis g: x = y + 1.

Jawab: Parabola P : d2x/dy2 = x” = -2 (Jadi xmax).

Perpotongan P dan g : 3 – y2 = y + 1

y2 + y - 2 = (y+2)(y-1) = 0 y1 = -2, y2 = 1

y 1 1

Luas = ∫ (x1-x2)dy = - ∫(y2+y-2) dy

1 x2=y+1 -2 -2

= - ( ⅓y3 + ½ y2 – 2y) |1

x -2

dy x1 = 3 – y2 =-{(1/3+ 1/2–2)-(⅓.(-8)+2+4)}=

-2

= - {( - 7/6 ) – ( 10/3)} = 27/6

Soal-Soal :

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola

y = x2 – 7x + 6, sumbu x, x = 2 dan x = 6. (jwb.= 56/3)

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x3 - 6x2 + 8x dan sumbu x. (jwb.= 8)

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y2

dan sumbu x. (jwb.= 32/3)

4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y2 = 4x

dan garis y = 2x – 4. (jwb.= 9)

5. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva (tertutup)

y2 = x2 – x4. (jwb.= 4/3)

6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh perpotongan dua

lingkaran:

L1: x2 + y2 = 4 dan L2: x2 + y2 = 4x. (jwb.=8π/3 - 2√3)

7. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh:

a). y = x2, y = 0, x = 2, x = 5 b). y = x2, y = 0, x = 1, x = 3

c). y =4x-x2, y = 0, x = 1, x = 3 d). x = 1 + y2, x = 10

e). x =3y2-9, x = 0, y = 0, y = 1 f). x = y2+4y, x = 0

g). y =9-x2, y = x + 3 h). y = 2-x2, y=-x

i). y =x2-4, y = 8 - 2x2 j). y = x4 - 4x2, y = 4x2

k). y =ex, y = e-x, x = 0, x = 2 l). xy = 12, y=0, x=1, x = e2

Jawaban: a). 39, b). 20, c). 22/3, d). 36, e). 8, f). 32/3,

g). 125/6, h). 9/2, i). 32, j). 512√2/15, k). (e2 +1/e2 –2), l). 24

Bab 12. Integrasi Volume Benda Putaran

Jika suatu bidang datar diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatu benda

yang alas dan tutupnya akan berupa sebuah lingkaran.

Untuk menghitung volume benda tersebut akan didekati oleh jumlahan volume tabung-tabung

kecil berupa lempengan-lempengan.

Integrasi Volume Benda Putaran adalah jumlahan volume lempeng-lempeng kecil

berupa tabung pendek, yang volumenya adalah luas alas kali tinggi ( π r2 δt ),

r = jari-jari alas, δt = tinggi.

δt V = ∑ π r2 δt

Misal suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x,

seperti di bawah ini. Maka volume (V) dari benda yang terjadi adalah

y=f(x)

y b

V = ∫ π y2 δx

a

a b x

δx

Contoh-Contoh Soal-Jawab :

1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y2 = 8 x, sumbu x dan x = 2 diputar

mengelilingi sumbu x satu kali.

2

Jawab: V = ∫ π y2 dx

y y2=8x 0

2

= π ∫ 8 x dx = 8 π ( ½ x2)|2

2 x 0 0

= 8 π ( ½ . 4 ) = 16 π

dx

2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y2 = 8 x, sumbu x dan x = 2 diputar

mengelilingi garis x = 2 satu kali.

Jawab: Perpotongan antara y2 = 8 x dan x = 2

y diperoleh y2=16

4 y2=8x y1 = - 4, y2 = 4

dy 4

2 x V = ∫ π (2-x)2 dy =

-4 4

= 2 π ∫ (2-y 2 )2 dy

-4 x=2 0 8

= ………….= 256 π/15

Soal-Soal (Buktikan):

1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y2 = 8 x dan x = 2 diputar mengelilingi

sumbu y. ( Jwb: 128 π/5 )

2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y = 4 x – x2 dan x = 2 diputar mengelilingi

garis y = 6. ( Jwb: 1408 π/15 )

3). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y = – x2 - 3 x + 6 dan garis x + y = 3 diputar

mengelilingi (a). garis x = 3, (b). garis y = 0.

( Jwb: (a). 256 π/3, (b). 1792 π/15 )

4). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh

perputaran bidang yang diberikan dan mengelilingi

suatu garis yang diketahui:

a). y=2x2, y=0, x=0, x=5; sb-x b). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-x

c). y=4x2, x=0, y=16; sb-y d). y=4x2, x=0, y=16; y=16

e). y2=x3, y=0, x=2; sb-x f). y=x3, x=2, y=0; x=2

(Jwb: a). 2500 π, b). 256 π/3, c). 32 π, d). 4096 π/15, e). 4 π, f). 16π/5)

5). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh

perputaran bidang yang diberikan dan mengelilingi

suatu garis yang diketahui:

a). y=2x2, y=0, x=0, x=5; sb-y b). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-y

c). y=4x2, x=0, y=16; sb-x d). y=x3, x=0, y=8;x=2

e). y=x2, y = 4x-x2; sb-x f). y=x2, y = 4x-x2; y=6

(Jwb: a). 625 π, b). 128 π√3, c). 2048 π/5, d). 144 π/5, e). 32 π/3, f). 64π/3)