Post on 25-Jun-2015
CUT SETS DAN CUT VERTEX
Oleh :Sri Widaningsih, MT
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai :Cut sets (himpunan-potong)Edge connectivity (keterhubungan
/konektivitas sisi)Vertex connectivity (keterhubungan
/konektivitas simpul)Separable graph (graph yang dapat
dipisahkan)Cut-vertex (simpul-potong)
Cut-SetsDEFINISICut set dari graf terhubung G adalah
himpunan sisi yang bila dibuang menyebabkan G tidak terhubung.
Cut-set adalah himpunan sisi minimal dalam graf terhubung dimana pengahapusan sisi mengurangi rank graf sebanyak satu.
Cut-set adalah jumlah minimal sisi-sisi yang dihapus dari G yang menghilangkan semua lintasan antara dua himpunan simpul
Cut set selalu menghasilkan dua buah komponen terhubung
Nama lain cut set adalah jembatan (bridge)Jembatan adalah himpunan sisi yang jika
dihapuskan akan menyebabakan graf tidak terhubung (disconnect).
Dalam cut-set tidak boleh mengandung himpunan bagian yang juga cut-set.
Setiap sisi graf pohon merupakan cut-set
G1 G2 G3
G4Grafik G1 dapat dibagi menjadi dua komponen dengan
menghapus salah satu ujung bc atau bd. Oleh karena itu, sisi bc atau bd adalah jembatan.
Grafik G2 di atas dapat diputuskan dengan menghapus tepi tunggal, cd. Oleh karena itu, sisi cd adalah jembatan
Grafik G3 di atas tidak dapat diputuskan dengan menghapus sisi tunggal, tetapi harus menghapus dua sisi (ac dan bc)
Grafik G4 di atas dapat diputus dengan menghapus dua sisi seperti ac dan dc.
Himpunan sisi {a,c,d,f} adalah cut-set.Cut-set lainnya {a,b,g}, {a,b,e,f}, {a,c,h} dan {h,d,f}Himpunan sisi {a,c,h.d} bukan merupakan cut set
karena {a,c,h} adalah cut set.Rank pada gbr (a) adalah 5 sedangkan pada (b)
adalah 4.Cut-set (a,c,d,f} menghubungkan himpunan simpul
{1,2,6} dengan (3,4,5}.
Pada graf di atas, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.
Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)} adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set,
Tetapi {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.
1
3 4
5
2
6
21
3
5
4
6
Sifat-sifat Cut-SetBeberapa sifat (properties) cut-set :Setiap cut-set di dalam graf terhubung, pasti
mengandung sedikitnya satu cabang untuk setiap spanning tree dari G
Penghapusan semua sisi dalam S akan membuat graf G tidak terhubung
Penghapusan beberapa (tetapi tidak semua) sisi S tidak akan membuat graf tidak terhubung G.
Lihat spanning tree yang dibentuk dari {h,f,g,e,d,b,a,c} maka mengandung minimal satu anggota cut set yaitu bd
Kita dapat memutuskan G dengan menghapus tiga tepi bd, be, dan ce, tapi kita tidak bisa memutuskan dengan menghapus hanya dua sisi.
Edge ConnectivityKonektivitas sisi dari suatu graf terhubung G
adalah jumlah minimum sisi yang dihapuskan untuk memutus G.
Konektivitas sisi dari suatu graf pohon adalah 1.
G1 dan G2 memiliki konektivitas sisi 1.G3 dan G4 memiliki konektivitas sisi 2.
G1 G2 G3 G4
Vertex ConnectivityKonektivitas simpul dari suatu graf terhubung G
adalah jumlah minimum simpul yang dihapuskan untuk memutus G.
G1 G2 G3 G4
Grafik G1 dapat diputus dengan penghilangan simpul tunggal (baik b atau c). G memiliki konektivitas 1.
Graf G2 dapat diputus dengan penghilangan simpul tunggal (baik c atau d). Simpul c atau d adalah cut-vertex. G2 memiliki konektivitas 1.
Graf G3 dapat diputus dengan menghapus hanya satu yaitu simpul c. Simpul c adalah cut-vertex. G3 memiliki konektivitas 1.
Graf G4 tidak dapat diputuskan dengan menghapus satu simpul tunggal, tetapi penghapusan dilakukan pada dua simpul tidak bertetangga (seperti b dan c). G4 memiliki konektivitas 2.
Separable Graph & Cut VertexGraf G disebut separable jika memiliki
konektivitas simpul sebesar 1.Semua graf terhubung yang lain disebut
sebagai nonseparable.Di dalam separable graph, sebuah simpul
yang dihapus dan membuat graf G tidak terhubung disebut cut-vertex
Sehingga cut-vertex adalah sebuah simpul yang apabila dihapuskan akan membuat graf G tidak terhubung.
Graf G dikatakan k-connected jika konektivitas G adalah k,sehingga 1-connected graf sama dengan separable graph
Kedua gambar di atas adalah separable graph dan memiliki konektivitas simpul sebesar 1.
Pada gbr (a) 4 adalah cut-vertex Pada gbr (b) v adalah cut-vertex
Vertex-Cut SetVertex-cut set dari sebuah graf G adalah himpunan
simpul S dengan sifat sebagai berikut :Penghapusan semua simpul pada S akan menyebabkan G
tidak terhubungPengahapusan beberapa (tidak semua) simpul di S tidak
akan menyebabkan G tidak tak terhubung.Kita dapat memutus grafik dengan menghapus dua
simpul b dan e, tapi kita tidak bisa lepaskan dengan hanya menghapus satu simpul. Vertex-cutset dari G adalah {b, e}.
Perbandingan KonektivitasKonektivitas sisi graf G tidak dapat melebihi derajat
simpul yang memiliki derajat terkecil graf GKonektivitas simpul dari graf G tidak dapat
melebihi konektivitas sisi graf G.Jika :
δ (G) adalah derajat terkecil suatu simpul dalam graf G
λ (G) adalah konektivitas sisiK(G) adalah konektivitas simpul,
maka :K (G) ≤ λ (G) ≤ δ (G)
K(G)=1, λ(G) = 3, and δ(G) = 3.K (G) ≤ λ (G) ≤ δ (G)
K(G)=1, λ(G) = 2, and δ(G) = 3.K (G) ≤ λ (G) ≤ δ (G)
Cut-set berperan besar dalam jaringan komunikasi dan transportasi.
Misalkan keenam simpul pada gambar di bawah adalah enam kota yang dihubungkan dengan saluran telepon (sisi). Kita ingin menemukan apakah terdapat titik-titik lemah dalam jaringan yang memerlukan penguatan dengan alat saluran tambahan. Cut-set dengan jumlah sisi paling sedikit (edge connectivity) adalah saluran yang mudah diserang